菱形与矩形基础练习题
菱形练习
1.(2011?衡阳)如图所示,在平面直角坐标系中,菱形MNPO 的
顶点P 的坐标是(3,4),则顶点M 、N 的坐标分别是( ) A .M (5,0),N (8,4) B .M (4,0),N (8,4) C .M (5,0),N (7,4) D .M (4,0),N (7,4) 2.(2010?肇庆)菱形的周长为4,一个内角为60°,则较短的对角线长为( )
A .2
B .
C .1
D .
3.(2010?襄阳)菱形的周长为8cm ,高为1cm ,则该菱形两邻角度数比为( ) A .3:1 B .4:1 C .5:1 D .6:1 4.(2010?宜昌)如图,菱形ABCD 中,AB=15,∠ADC=120°,则B 、D 两点之间的距离为( )
A .15
B .
C .7.5
D .
5.(2011?铜仁地区)已知菱形的两条对角线长分别为2cm ,3cm ,则它的面积是 _________ cm 2.
6.如图所示,已知菱形ABCD 中,E 、F 分别在BC 和CD 上,且∠B=∠EAF=60°,∠BAE=15°,求∠CEF 的度数。
7.已知:如图,在菱形ABCD 中,E 、F 分别是BC 、CD 上的点,且CE=CF 。过点C 作CG ∥EA 交AF 于H ,交AD 于G ,若∠BAE=25°,∠BCD=130°,求∠AHC 的度数。
8.如图所示,已知菱形ABCD 中E 在BC 上,且AB=AE ,∠BAE=2
1
∠EAD ,AE 交BD 于M ,试说明BE=AM 。
H
G
F
E
D
C
B
A
9.如图,在△ABC中,AB=BC,D、E、F分别是BC、AC、AB上的中点,(1)求证四边形BDEF是菱形。(2)若AB=12cm,求菱形BDEF的周长?
矩形
1.如图,矩形ABCD沿AE折叠.使D点落在BC边上的F点处.若∠BAF=58°.则∠DAE 等于( )
A.29° B. 32°C.16° D. 11°
2.下列条件中,能判断一个四边形是矩形的是()
A. 对角相等
B. 对角线互相垂直
C. 对角线互相垂直且相等
D. 对角线互相平分且相等
3.下列给出的条件中,不能判断一个四边形是矩形的是()
A. 一组对边平行且相等,有一个内角是直角
B. 有三个角都是直角
C. 两条对角线把四边形分成两对全等的等腰三角形
D. 一组对边平行,另一组对边相等.且两条对角线相等
4. 下面的图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是()
A. 角
B. 任意三角形
C. 矩形
D. 等腰三角形
5.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是()
A. 对角相等
B. 对边相等
C. 对角线相等
D. 对角线互相平分
6.一个平行四边形,如果一个内角等于_____时,这个平行四边形变成矩形.如果两条对角线_____时.这个平行四边形变成矩形。
7.如图.矩形ABCD中,E是BC的中点,且∠AED=90°.当AD=10cm时,AB=____cm
8.如果一个矩形较短的边长为5cm.两条对角线所夹的角为60°,则这个矩形的面积是_____cm2. 9.四边形ABCD的对角线相交于点O,在下列条件中,不能判别它是矩形的是
A. AB=CD,AD=BC.∠BAD=90°
B.AO=CO,BO=CO.AC=BD
C. ∠BAD=∠ABC=90°,∠BCD+∠ADC=180°
D. ∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC=90°
10. 已知矩形的一条对角线与一边的夹角是40°,则两条对角线所成锐角的度数为()
A. 50°
B. 60°
C. 70°
D. 80°
11.已知一边长为acm的矩形面积与一个腰长为acm的等腰直角三角形的面积相等,则矩形的周长为()
A.2acm B. 3acm C. 4acm D.5acm
12. 如图,有一个矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠,使AD边落在AB边上,折痕为AE,再将△AED的DE为折痕向右折叠,AE与BC交于点F,则△CEF的面积为()
A 4
B 6C8D10
13. 如图,过矩形ABCD的对角线BD上一点R分别作矩形两边的平行线MN与PQ,那么图中矩形AMRP的面积S1,与矩形QCNR的面积S2的大小关系是()
A. S1>S2
B. S1=S2
C. S1 D. 不能确定 14. 如图,将矩形ABCD纸片对折,设折痕为MN,再把B点叠在折痕线MN上,若,则折痕AE的长为 () A. 15. 矩形一个角的平分线分矩形一边成2cm和3cm,则这个矩形的面积为____ 16. 如图,矩形内有两个相邻的正方形,面积分别为4和2,则阴影部分的面积为___ 17.矩形是轴对称图形,它有______条对称轴. 18.在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,若对角线AC=10cm,?边BC=?8cm,?则△ABO 的周长为________. 19.如图1,周长为68的矩形ABCD被分成7个全等的矩形,则矩形ABCD的面积为(). (A)98 (B)196 (C)280 (D)284 (1) (2) (3) 20.如图2,根据实际需要,要在矩形实验田里修一条公路(?小路任何地方水平宽度都相等),则剩余实验田的面积为________. 21.如图3,在矩形ABCD中,M是BC的中点,且MA⊥MD.?若矩形ABCD?的周长为48cm,?则矩形ABCD的面积为_______c m2. 22.已知,如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F分别是OA,OB的中点. (1)求证:△ADE≌△BCF;(2)若AD=4cm,AB=8cm,求OF的长. 23.如图,在矩形ABCD中,已知AB=8cm,BC=10cm,折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边的中点F处,折痕为AE,求CE的长. 特殊的平行四边形——菱形 一.菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 二.菱形的性质:菱形具有平行四边形一切性质,此外,它还具有如下特殊性质: 1.菱形的四条边相等。 2.菱形的两条对角线互相垂直,且每一条对角线平分一组对角。 3.菱形是轴对称图形也是中心对称图形,两条对角线所在的直线是它的两条对称轴。 三.菱形的判定办法:1.用菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形; 2.四条边都相等的四边形是菱形; 3.对角线垂直的平行四边形是菱形; 4.对角线互相垂直平分的四边形是菱形。 四.菱形的面积:等于两条对角线乘积的一半.(有关菱形问题可转化为直角三角形或 等腰三角形的问题来解决.),周长=边长的4倍 复习: 1.如图,在ABC △中,E 是AD 的中点,过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于F ,且AF DC =,连接CF . (1)求证:D 是BC 的中点;(2)若AB AC =,试猜测四边形ADCF 的形状,并证明. 解答:(1)证明:AF BC ∥,AFE DBE ∴∠=∠.∵E 是AD 的中点,AE DE ∴=. 又AEF DEB ∠=∠,AEF DEB ∴△≌△.AF DB ∴=.∵AF DC =,DB DC ∴=. (2)解:四边形ADCF 是矩形,证明:∵AF DC ∥,AF DC =,∴四边形ADCF 是平 行四边形.∵AB AC =,D 是BC 的中点,AD BC ∴⊥.即90ADC ∠=.∴四边形ADCF 是矩形. 菱形例题讲解: 1.已知点D 在△ABC 的BC 边上,DE ∥AC 交AB 于E ,DF ∥AB 交AC 于F .若AD 平分∠BAC , 试判断四边形AEDF 的形状,并说明理由. 解答:四边形AEDF 是菱形,∵DE ∥AC ,∠ADE=∠DAF ,同理∠DAE=∠FDA ,∵AD=DA , ∴△ADE ≌△DAF ,∴AE=DF ; ∵DE ∥AC ,DF ∥AB ,∴四边形AEDF 是平行四边形,∴∠DAF=∠FDA .∴AF=DF .∴平行四边形AEDF 为菱形. 2.已知:如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,BC=CD ,AD ⊥BD ,E 为AB 中点,求证:四边形BCDE 是菱形. 证明:∵AD ⊥BD ,∴△ABD 是Rt △∵E 是AB 的中点,∴BE=DE ,∴∠EDB=∠EBD , ∵CB=CD ,∴∠CDB=∠CBD ,∵AB ∥CD ,∴∠EBD=∠CDB , ∴∠EDB=∠EBD=∠CDB=∠CBD ,∵BD=BD ,∴△EBD ≌△CBD (ASA ),∴BE=BC , ∴CB=CD=BE=DE ,∴菱形BCDE .(四边相等的四边形是菱形) 3.如图,△ABC 与△CDE 都是等边三角形,点E 、F 分别在AC 、BC 上,且EF ∥AB , (1)求证:四边形EFCD 是菱形;(2)设CD=4,求D 、F 两点间的距离. 解答:(1)证明:∵△ABC 与△CDE 都是等边三角形,∴ED=CD=CE .∵EF ∥AB ∴∠EFC=∠ACB=∠FEC=60°, ∴EF=FC=EC ∴四边形EFCD 是菱形. (2)解:连接DF ,与CE 相交于点G ,由CD=4,可知CG=2, ∴ ∴. 4.如图,平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于点E 、F .求证:四边形AFCE 是菱形. 证明:∵AE ∥FC .∴∠EAC=∠FCA .又∵∠AOE=∠COF ,AO=CO ,∴△AOE ≌△COF . ∴EO=FO .又EF ⊥AC ,∴AC 是EF 的垂直平分线. ∵EF 是AC 的垂直平分线.∴四边形AFCE 为菱形 5.在 ABCD 中,E F ,分别为边AB CD ,的中点,连接DE BF BD ,,. (1)求证:ADE CBF △≌△. (2)若AD BD ⊥,则四边形BFDE 是什么特殊四边形?请证明你的结论. 解:(1)在平行四边形ABCD 中,∠A =∠C ,AD =CB ,AB =CD .∵E ,F 分别为AB ,CD 的中点∴AE =CF , (S A S )A E D C F B ∴△≌△. (2)若AD ⊥BD ,则四边形BFDE 是菱形. 证明:AD BD ⊥,ABD ∴△是Rt △, 且AB 是斜边(或90ADB ∠=),E 是AB 的中点,12 DE AB BE ∴==.由题意可EB DF ∥且EB DF =, ∴四边形BFDE 是平行四边形,∴四边形BFDE 是菱形. O D C B A 菱形复习中难题含答案 1.菱形的概念:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 2.菱形的性质 (1)具有平行四边形的一切性质 (2)菱形的四条边相等 (3)菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角 (4)菱形是轴对称图形 3.菱形的判定 (1)定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形 (2)定理1:四边都相等的四边形是菱形 (3)定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形 4.菱形的面积 S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半 (★★)若菱形的一条对角线与边的夹角为25°,则这个菱形各内角的度数 为. 【答案】50°、130°、50°、130°. (★★)1.菱形ABCD的周长为20,两对角线长3:4,则菱形的面积为. 【答案】24. (★★)2.如图,E、F分别为菱形ABCD中BC、CD边上的点,△AEF是等边三角形,且AE=AB,求∠B和∠C的度数. F E D C B A 【答案】利用三角形内角和180度和同旁内角互补来解决问题,易得∠B=80°和∠C=100°. (★★)菱形的两条对角线与各边一起围成三角形中,共有全等的等腰三角形的对数是. 【答案】4. (★★)用直尺和圆规作一个菱形,如图,能得到四边形ABCD是菱形的依据是().A.一组临边相等的四边形是菱形 B.四边相等的四边形是菱形 C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D.每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 D C B A (★★★)若菱形一边上的高的垂足是这边的中点,则这个菱形的最大内角是. 答案:120°. (★★★)1.菱形的对称轴共有条. 【答案】2. 2.已知:如图,菱形ABCD的对角线交于点O,且AO、BO的长分别是方程x2-2mx+4(m-1)=0的两根,菱形ABCD的周长为20,求m的值. 【答案】先解方程求得两根分别为2和(2m-2),再根据周长为20求得m的值为5. (★★★)3.菱形的周长为20cm,一条对角线长为8cm,则菱形的面积为. 【答案】24. (★★)下列命题错误的有(填写序号). ①菱形四个角都相等. ②对角线互相垂直且相等的四边形是矩形. ③对角线互相垂直且相等的四边形是菱形. ④对角线互相平分,且每一条对角线平分一组对角的四边形是菱形. 【答案】①②③. (★★)1.已知四边形ABCD中,过点A、C分别作BD的平行线,过点B、D分别作AC的平行线,如果所作的四条直线围成一个菱形,则四边形ABCD必须是() A.矩形B.菱形C.AC=BD的任意四边形D.平行四边形 【答案】C (★★)2.(1)用两个边长为a的等边三角形拼成的是形. (2)用两个全等的等腰三角形拼成的是形. (3)用两个全等的直角三角形拼成的是形. 【答案】(1)菱形;(2)菱形和平行四边形;(3)矩形和平行四边形. (★★)如图,在△ABC中,AB=AC,M点是BC的中点,MG⊥AB于点G,MD⊥AC于点D,GF⊥AC于点F,DE⊥AB于点E,GF与DE相交于点H,求证:四边形GMDH是菱形. 《菱形的性质与判定》典型例题 例1 如图,在菱形ABCD 中,E 是AB 的中点,且a AB AB DE =⊥,,求: (1)ABC ∠的度数;(2)对角线AC 的长;(3)菱形ABCD 的面积. 例2 已知:如图,在菱形ABCD 中,AB CE ⊥于AD CF E ⊥,于 F . 求证:.AF AE = 例 3 已知:如图,菱形ABCD 中,E ,F 分别是BC ,CD 上的一点,?=∠=∠60EAF D ,?=∠18BAE ,求CEF ∠的度数. 例4 如图,已知四边形ABCD 和四边形BEDF 都是长方形,且DF AD =. 求证:GH 垂直平分CF . 例 5 如图,ABCD中,AB =,E、F在直线CD上,且 AD2 =. DE= CF CD 求证:AF BE⊥. 例6 如图,在Rt△ABC中, ∠ACB,E为AB的中点,四边形BCDE = 90 是平行四边形. 求证:AC与DE互相垂直平分 参考答案 例1 分析 (1)由E 为AB 的中点,AB DE ⊥,可知DE 是AB 的垂直平分线,从而DB AD =,且AB AD =,则ABD ?是等边三角形,从而菱形中各角都可以求出.(2)而OC AO BD AC =⊥,,利用勾股定理可以求出AC .(3)由菱形的对角线互相垂直,可知.2 1BD AC S ?= 解 (1)连结BD ,∵四边形ABCD 是菱形,∴.AB AD = E 是AB 的中点,且AB DE ⊥,∴.DB AD = ∴ABD ?是等边三角形,∴DBC ?也是等边三角形. ∴.120260?=??=∠ABC (2)∵四边形ABCD 是菱形,∴AC 与BD 互相垂直平分, ∴.2 12121a AB BD OB === ∴a a a OB AB OA 2 3)21(2222=-=-=,∴.32a AO AC == (3)菱形ABCD 的面积.2 3321212a a a BD AC S =??=?= 说明:本题中的菱形有一个内角是60°的特殊的菱形,这个菱形有许多特点,通过解题应该逐步认识这些特点. 例2 分析 要证明AF AE =,可以先证明DF BE =,而根据菱形的有关性质不难证明DCF BCE ???,从而可以证得本题的结论. 证明 ∵四边形ABCD 是菱形,∴D B CD BC ∠=∠=,,且?=∠=∠90DFC BEC ,∴DCF BCE ???,∴DF BE =, AD AB = , ~ 菱形性质练习题 一.选择题(共4小题) 1.如图所示,在平面直角坐标系中,菱形MNPO的顶点P的坐标是(3,4),则顶点M、N 的坐标分别是() A.M(5,0),N(8,4)B.M(4,0),N(8,4)C.M(5,0),N(7,4) D.M(4,0),N(7,4) 2.菱形的周长为4,一个内角为60°,则较短的对角线长为() A.2 B.C.1 D. 3.菱形的周长为8cm,高为1cm,则该菱形两邻角度数比为() A.3:1 B.4:1 C.5:1 D.6:1 | 4.如图,菱形ABCD中,AB=15,∠ADC=120°,则B、D两点之间的距离为() A.15 B.C. D. 二.填空题(共15小题) 5.已知菱形的两条对角线长分别为2cm,3cm,则它的面积是_________ cm2. 6.如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且AC=8,BD=6,过点O作OH丄AB,垂足为H,则点0到边AB 的距离OH= _________ . 7.如图,菱形ABCD的边长是2cm,E是AB的中点,且DE丄AB,则菱形ABCD的面积为cm2. 《 6题图 7题图 8题图 9题图 8.如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AB=13,AC=10,过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E,则△BDE的周长为_________ . 9如图,已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°,对角线AC、BD相交于点O,点E在AB上且BE=BO,则∠BEO=_________ 度. / 10如图,一活动菱形衣架中,菱形的边长均为16cm,若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm,则∠1=_________ 度. 10题图12题 13题图 14题图 11.已知菱形的一个内角为60°,一条对角线的长为,则另一条对角线的长为_________ . 【 12.如图所示,两个全等菱形的边长为1米,一个微型机器人由A点开始按A﹣>B﹣>C﹣>D﹣>E﹣>F﹣>C﹣>G﹣>A的顺序沿菱形的边循环运动,行走2009米停下,则这个微型机器人停在_________ 点. 13如图,P为菱形ABCD的对角线上一点,PE⊥AB于点E,PF⊥AD于点F,PF=3cm,则P点到AB的距离是______cm.14已知:如图,菱形ABCD中,∠B=60°,AB=4,则以AC为边长的正方形ACEF的周长为_________ .菱形练习题(含答案)
菱形 复习中难题 含答案
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菱形性质练习题(详细答案)
矩形菱形正方形练习题及答案