高考二轮考点专题突破检测：集合、简易逻辑、函数与导数、不等式专题(含详细答案)

专题达标检测一、选择题1．已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |1≤x <2}，且A ∪(∁R B )＝R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤1 B ．a <1 C ．a ≥2 D ．a >2解析：∁R B ＝(－∞，1)∪[2，＋∞)，又A ∪(∁R B )＝R .数轴上画图可得a ≥2，故选C. 答案：C2．已知命题p ：14≤2x ≤12，命题q ：x ＋1x ∈⎣⎡⎦⎤－52，－2，则下列说法正确的是 ( ) A ．p 是q 的充要条件 B ．p 是q 的充分不必要条件 C ．p 是q 的必要不充分条件 D ．p 是q 的既不充分也不必要条件解析：14≤2x ≤12⇒－2≤x ≤－1，即x ∈[－2，－1]而若x ＋1x ∈⎣⎡⎦⎤－52，－2，则x ∈[－2，－12]． 又[－2，－1]⎣⎡⎦⎤－2，－12. ∴p 是q 的充分不必要条件． 答案：B3．(·湖南)⎠⎛241xdx 等于 ( )A ．－2ln 2B ．2ln 2C ．－ln 2D ．ln 2 解析：∵⎠⎛241xdx ＝ln x |42＝ln 4－ln 2＝ln 22－ln 2＝2ln 2－ln 2＝ln 2.答案：D4．(·课标全国)设偶函数f (x )满足f (x )＝x 3－8(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝( ) A ．{x |x <－2或x >4} B ．{x |x <0或x >4} C ．{x |x <0或x >6} D ．{x |x <－2或x >2} 解析：∵f (x )＝x 3－8(x ≥0)且f (x )是偶函数；∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－8，x ≥0，－x 3－8，x <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，(x －2)3－8>0， 或⎩⎪⎨⎪⎧ x －2<0，－(x －2)3－8>0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，x >4，或⎩⎪⎨⎪⎧x <2，x <0.解得x >4或x <0，故选B 答案：B5．(·浙江)设函数f (x )＝4sin(2x ＋1)－x ，则在下列区间中函数f (x )不存在零点的是( )A ．[－4，－2]B ．[－2,0]C ．[0,2]D ．[2,4] 解析：∵f (0)＝4sin 1>0， f (2)＝4sin 5－2<0，∴函数f (x )在[0,2]上存在零点； ∵ f (－2)＝－4sin 1＋1<0， ∴函数f (x )在[－2,0]上存在零点； 又∵2<5π4－12<4，f ⎝⎛⎭⎫5π4－12＝4－⎝⎛⎭⎫5π4－12>0， 而f (2)<0，∴函数f (x )在[2,4]上存在零点．故选A. 答案：A6．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如右图所示，且|x 1|<|x 2|，则有 ( ) A ．a >0，b >0，c <0，d >0 B ．a <0，b >0，c <0，d >0 C ．a <0，b >0，c >0，d >0 D ．a >0，b <0，c >0，d <0解析：因f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由题意可知导函数f ′(x )的图象如右图所示，所以 a <0，c >0，－2b3a <0，则b <0，由原函数图象可知d >0.答案：C 二、填空题7．已知函数f (x )＝ax 4＋b cos x －x ，且f (－3)＝7，则f (3)的值为________．解析：设g (x )＝ax 4＋b cos x ，则g (x )＝g (－x )．由f (－3)＝g (－3)＋3，得g (－3)＝f (－ 3)－3＝4，所以g (3)＝g (－3)＝4，所以f (3)＝g (3)－3＝4－3＝1.答案：18．已知函数f (x )＝kx 3＋3(k －1)x 2－k 2＋1(k >0)的单调减区间是(0,4)，则k 的值是________． 解析：f ′(x )＝3kx 2＋6(k －1)x∵函数的单调减区间是(0,4)，∴f ′(4)＝0，∴k ＝13.答案：139．(·烟台模拟)已知函数f (x )的值域为[0,4](x ∈[－2，2])，函数g (x )＝ax －1，x ∈ [－2,2]，任意x 1∈[－2,2]，总存在x 0∈[－2,2]，使得g (x 0)＝f (x 1)成立，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知[0,4]是g (x )值域的子集． 而g (x )的值域为[－2|a |－1,2|a |－1]．显然－2|a |－1<0，故只需2|a |－1≥4，即|a |≥52，∴a ≥52或a ≤－52.[来源:ks%5%KS%5%]答案：a ≥52或a ≤－5210．(·潍坊模拟)给出定义：若m －12<x ≤m ＋12(其中m 为整数)，则m 叫做离实数x最近的整数，记作{x }＝m .在此基础上给出下列关于函数f (x )＝|x －{x }|的四个命题：[来源:]①函数y ＝f (x )的定义域为R ，值域为⎣⎡⎦⎤0，12； ②函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝k2(k ∈Z )对称；③函数y ＝f (x )是周期函数，最小正周期为1； ④函数y ＝f (x )在[－12，12]上是增函数．其中正确的命题的序号是________． 解析：①由定义知：－12<x －{x }≤12∴0≤|x －{x }|≤12∴f (x ) 的值域为⎣⎡⎦⎤0，12， ∴①对，②对，③对，④错． 答案：①②③三、解答题11．设集合A 为函数y ＝ln(－x 2－2x ＋8)的定义域，集合B 为函数y ＝x ＋1x ＋1的值域，集合C 为不等式(ax －1a )(x ＋4)≤0的解集．(1)求A ∩B ；(2)若C ⊆∁R A ，求a 的取值范围．解：(1)由－x 2－2x ＋8>0，解得A ＝(－4,2)， 又y ＝x ＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1－1，所以B ＝(－∞，－3]∪ [1，＋∞)． 所以A ∩B ＝(－4，－3]∪[1,2)． (2)因为∁R A ＝(－∞，－4]∪[2，＋∞)． 由⎝⎛⎭⎫ax －1a (x ＋4)≤0，知a ≠0. ①当a >0时，由⎝⎛⎭⎫x －1a 2(x ＋4)≤0，得C ＝⎣⎡⎦⎤－4，1a 2，不满足C ⊆∁R A ；[来源:高,考资源,网21世纪教育网②当a <0时，由⎝⎛⎭⎫x －1a 2(x ＋4)≥0，得C ＝(－∞，－4)∪⎣⎡⎭⎫1a 2，＋∞，欲使C ⊆∁R A ，则1a 2≥2， 解得－22≤a <0或0<a ≤22. 又a <0，所以－22≤a <0. 综上所述，所求a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－22，0. 12．(·湖南)已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R )，对任意的x ∈R ，恒有f ′(x )≤f (x )．(1)证明：当x ≥0时，f (x )≤(x ＋c )2；(2)若对满足题设条件的任意b ，c ，不等式f (c )－f (b )≤M (c 2－b 2)恒成立，求M 的最小值．(1)证明：易知f ′(x )＝2x ＋b .由题设，对任意的x ∈R ,2x ＋b ≤x 2＋bx ＋c ，即x 2＋ (b －2)x ＋c －b ≥0恒成立，所以(b －2)2－4(c －b )≤0，从而c ≥b 24＋1.于是c ≥1，[来源:21世纪教育网]且c ≥2b 24×1＝|b |，因此2c －b ＝c ＋(c －b ) >0 故当x ≥0时，有(x ＋c )2－f (x )＝(2c －b )x ＋c (c －1)≥0. 即当x ≥0时，f (x )≤(x ＋c )2(2)解：由(1)知，c ≥|b |.当c >|b |时，有M ≥f (c )－f (b )c 2－b 2＝c 2－b 2＋bc －b 2c 2－b 2＝c ＋2bb ＋c .令t ＝b c ，则－1<t <1，c ＋2b b ＋c ＝2－11＋t .而函数g (t )＝2－11＋t(－1<t <1)的值域是⎝⎛⎭⎫－∞，32.因此，当c >|b |时，M 的取值集合为⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 当c ＝|b |时，由(1)知，b ＝±2， c ＝2.此时f (c )－f (b )＝－8或0，c 2－b 2＝0，从而f (c ) －f (b )≤32(c 2－b 2)恒成立综上所述，M 的最小值为32.13．(·湖南)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米．余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥 墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元． (1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)用m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？解：(1)设需新建n 个桥墩，则(n ＋1)x ＝m ，即n ＝mx －1，所以y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x ＝256⎝⎛⎭⎫m x －1＋m x (2＋x )x ＝256m x ＋m x ＋2m －256 (2)由(1)知，f ′(x )＝－256m x 2＋12mx －12＝m 2x2(x 32－512)．令f ′(x )＝0，得x 32＝512，所以x ＝64.0<x <64时，f ′(x )<0，f (x )在区间(0,64)内为减函数；当64<x <640时，f ′(x )>0，f (x )在区间(64,640)内为增函数．所以f (x )在x ＝64处取得最小值．此时n ＝m x －1＝64064－1＝9.故需新建9个桥墩才能使y 最小。