运用均值定理求最值的八种方法
均值定理求最大值公式
均值定理求最大值公式好的，以下是为您生成的文章：咱们在数学的世界里呀，经常会碰到各种各样求解最值的问题。
这时候，均值定理就像是一把神奇的钥匙，能帮咱们打开最值的大门。
先来说说均值定理到底是啥。
简单来讲，对于任意两个正实数 a 和b，都有算术平均数大于等于几何平均数，也就是(a + b) / 2 ≥ √(ab) 。
当且仅当 a = b 时，等号成立。
举个例子哈，比如说咱要围一个矩形的菜园子。
已知菜园子的周长是固定的，比如说 20 米，那怎么围才能让这个菜园子的面积最大呢？这时候均值定理就派上用场啦。
假设这个矩形的长是 x 米，宽就是 (10 - x) 米，那它的面积就是 S = x(10 - x) 。
根据均值定理，x + (10 - x) = 10 ，所以√[x(10 - x)] ≤ 10 / 2 = 5 ，也就是 x(10 - x) ≤ 25 。
当且仅当 x = 10 - x ，也就是 x = 5 时，等号成立，此时菜园子是个正方形，面积最大，就是 25 平方米。
再比如说，咱要生产一批无盖的长方体盒子，每个盒子的体积要固定，比如说是 8 立方米。
那怎么设计这个盒子才能让用料最省呢？设长方体的长、宽、高分别是 a 米、b 米、c 米，那体积 V = abc = 8 。
表面积 S = ab + 2ac + 2bc 。
根据均值定理，ab + 2ac + 2bc ≥ 3׳√(a²b²×4ac×4bc) = 3׳√(16a²b²c²) 。
因为 V = 8 ，所以 c = 8 / (ab) ，代入上式可得ab + 2ac + 2bc ≥3׳√(16×64) 。
当且仅当 ab = 2ac = 2bc 时，等号成立，此时可以求出长、宽、高的具体值，也就得到了用料最省的方案。
例说利用均值不等式求函数最值的几种技巧
例说利用均值不等式求函数最值的几种技巧利用均值不等式求函数最值是数学中常用的一种方法，通过这种方法，可以简单地确定函数的最大值和最小值。
本文将介绍几种利用均值不等式求函数最值的常用技巧。
1.权值平均：使用均值不等式时，通过给定变量的权重，我们可以找到一个平均值，该平均值应该落在函数的最大值和最小值之间。
例如，如果我们要找出一个函数f(x)在一些闭区间[a,b]上的最大值，我们可以找到一个适当的c，使得a<c<b，并应用以下均值不等式：f(a)≤f(c)≤f(b)然后，我们可以将函数的值乘以相应的权重（比如(a-c)和(b-c)），并利用均值不等式得出结论。
2.凸函数和凹函数：对于凸函数而言，任意两个点之间的连线位于这两个点所对应的函数值之上。
如果我们要找到函数f(x)在一些闭区间上的最大值，我们可以在该区间上找到两个点，判断这两个点的连线是否位于这个函数值之上。
如果是，那么函数值将成为该区间的最大值。
对于凹函数来说，与凸函数类似，只是方向相反。
3.形象化问题：通过将问题形象化，我们可以更好地理解利用均值不等式求函数最值的思路。
例如，我们有一个数轴上的几个点，我们想找到距离它们最近和最远的点。
我们可以将这些点放在数轴上，并根据它们的位置找到距离最近和最远的点。
同样地，在函数的最大值和最小值问题中，我们可以通过绘制图形并观察函数曲线来找到函数的最大值和最小值。
4.极值问题：利用均值不等式求函数最值时，我们可以寻找函数的极值点。
当函数的导数为0时，函数可能取得最大值或最小值。
我们可以计算导数，找到可能的极值点，并对这些极值点应用均值不等式，从而确定函数的最大值和最小值。
5.多元函数：均值不等式也可以应用于多元函数的情况。
在多元函数的情况下，我们可以将问题转化为一元函数的情况，并使用上述方法解决。
综上所述，利用均值不等式求函数最值是一个实用的方法。
通过使用权值平均、凸函数和凹函数特性、形象化问题、极值问题和多元函数等技巧，我们可以更好地利用均值不等式来确定函数的最大值和最小值，从而解决数学中的一些问题。
均值定理在求最值中的应用
．
’ ＞则 ＋ ２ ｘ４ ｘ时 等 ． ９ ｘ ．ｏ ｘ 、 ・ ， ＝ 取号・ ＞ ， ≥／ －当 ２ ｏ ． ｙ ≥
根据不等式的性 质 ： ｂ ｏ ’ ａ ＞ ｊ８ ＞
得： （ 下转 ２ ９页） ２
压力容器人孔接管与筒体相焊的焊接质量控制
张 丽 王江 涛 （ 尔滨锅 炉厂 工 业 锅 炉公 司 ， 哈 黑龙 江 哈 尔滨 １０ ４ ） ５０ ６
＋ｂ ￣
～ … 一 ．
＝ Ｘ ２ ２ｆ
当 ａ ｂ 、 时取等 号 ． ＿＝ ／ ・ ． ａ 例 ４ 求函数 ｙ ＝ 解 ｘ ％２
ａ－ｂ
】 ：２ ／ ，ｍ 为 （、 ＋ ）
的最小值 （２１ ＋ ｘ ＋ 一 ＋ ２／） １＝ 、 １
’ ＋ ． ／１ ’ ＝丁 丽 ＾
例 ３ 如果 ａ ｂ ａ ： 求 ． ＞ ，ｂ １ ａ ％ｂ
…
＂
…
一
．
ａ Ｄ －
ｕ ４
解 ： ２ —＋ ２ ａｂ
ａ－ Ｄ
・ ．
＝
—
（－ ） ２ ｂ ａｂ ａ ２ ＋
— 一
＝
ａ－ Ｄ
（ ） ａ ＋
ａ－ Ｄ
ｂ． ｂｏ （ ｂ ’一 测 ａ ） ・ － ＋
２
≥２
摘 要： 以某 电厂制造 的高压加 热器为例 。 介绍人孔接 管与 简体相焊的质量控制及超 声波检测技术 。 关键词 ： 压力容器； Ｌ 管； ＡＡ 接 筒体相焊 ； 焊接
应在试件 Ｅ 试焊 ， 获得合理的焊接工艺 以 随着压力容器成套装置的高参数、 大型化 、 容器用钢的品种和强度也是 参数，焊材选用 ４ ｍ的焊条 ， ｍ 牌号为 多样化和高强化， 我公司为某电厂制造的高压加热器为例 ， 介绍人孔接管与 Ｅ ５ ５ Ｂ ， ５ － ２焊接工艺如表 ５ １ 。 波检测技术。 ２ 焊接工艺评定。焊接工艺评定是编 ２
2.利用均值定理求最值
4x 9 y 当且仅当 , 即x =15 , y=10时,x+y取 y x
得最小值25.
题型二:配凑定值, 求最值 2 x 7 x 10 1.设x＞0，则函数 y 的最小 x 值是 2 10 7 .
10 x 6 x 10 2.函数 y 的最小值是 3
x3
.
注意验证等号能否成立!
恒成立，则a的取值范围是__________.
1 1 (2010’四川)设a>b>0，则 a ab a(a b )
2
的最小值是(
A.1 B.2
)
C.3 D.4
题型三:两数和与积同时出现的题目
1.若正数a、b满足ab=a+b+3，则a+b的取值范
围是___________. [6, ) 2.(2010’浙江)若正实数x,y满足xy=2x+y+6，则
18 xy的最小值是__________.
3.(07’北京)如果正数a，b，c，d 满足 a+b=cd=4，那么（ A ） Ａ．ab≤c+d，且等号成立时a，b，c，d的取 值唯一 Ｂ．ab≥c+d，且等号成立时a，b，c，d的取 值唯一 Ｃ．ab≤c+d，且等号成立时a，b，c，d的取 值不唯一 Ｄ．ab≥c+d，且等号成立时a，b，c，d的取 值不唯一
∴ x+y的最小值为24.
此 解 法 是 否 正 确
多次利用均值定理时,不要忽视“相等”
4 9 3.已知正数x、y满足 1 ,求x+y的最小值. y x
正解：
4 9 x y ( x y )( ) y x 4x 9 y 13 y x 4x 9 y 2 13 25 y x
用均值不等式最值的方法和技巧
用均值不等式最值的方法和技巧均值不等式是数学中的一种重要的不等式关系，用于描述一组数据的平均值与其他性质之间的关系。
它可以应用于各种问题，如最值问题、优化问题等。
使用均值不等式来求解最值问题的方法和技巧有以下几个方面。
1.确定使用哪种均值不等式：均值不等式有许多种，如算术均值不等式、几何均值不等式、平方均值不等式等。
不同的均值不等式适用于不同的情况。
在解题时，要根据具体情况选择适合的均值不等式。
通常，当问题中涉及到平方和、乘积、根号等运算时，选择平方均值不等式；当问题中涉及到和、平均数等运算时，选择算术均值不等式；当问题中涉及到几何平均数、平方根等运算时，选择几何均值不等式。
2.清晰确定问题的条件和目标：在解决最值问题时，首先要清晰地确定问题的条件和目标。
条件是指问题中已知的信息，目标是指要求解的最值。
只有明确了条件和目标，才能有针对性地选择适合的均值不等式，并通过变换和推导进行求解。
3.运用不等式性质进行变换：在使用均值不等式进行求解时，可以根据题目中给出的条件进行变换，使得问题更容易求解。
如将含有平方和的表达式进行整理，将含有乘积的表达式进行拆分等。
变换后可利用不等式的性质，如对称性、单调性、对数性质等来推导和求解。
4.找到合适的等号成立条件：根据均值不等式的性质，等号成立的条件通常与数据的性质相关。
找到合适的等号成立条件不仅是验证结果的正确性，还可以通过这些条件求解最值问题。
例如，在求解两个数的平方和的最小值时，可通过设等号成立条件来求解。
5.结合其他方法进行求解：在使用均值不等式解决最值问题时，有时候也需要结合其他方法和技巧进行求解。
例如，可以结合求导、代数方法、几何方法等来解决一些复杂的最值问题。
这样可以提高问题的求解效率和准确性。
综上所述，运用均值不等式求解最值问题需要根据题目的条件和目标选择合适的不等式，进行变换和推导，并找到合适的等号成立条件。
同时，也可以结合其他方法和技巧进行求解。
利用均值不等式求最值的方法
利用均值不等式求最值的方法均值不等式当且仅当a=b时等号成立)是一个重要的不等式，利用它可以求解函数最值问题。
对于有些题目，可以直接利用公式求解。
但是有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。
下面是一些常用的变形方法。
一、配凑1. 凑系数【例1】当时，求的最大值。
【解析】由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。
注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。
当且仅当，即x=2时取等号。
所以当x=2时，的最大值为8。
【评注】本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。
2. 凑项【例2】已知，求函数的最大值。
【解析】由题意知，首先要调整符号，又不是定值，故需对进行凑项才能得到定值。
当且仅当，即时等号成立。
【评注】本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
3. 分离【例3】求的值域。
【解析】本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项，再将其分离。
当，即时(当且仅当x=1时取“=”号)。
当，即时(当且仅当x=-3时取“=”号)。
∴的值域为。
【评注】分式函数求最值，通常化成，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。
二、整体代换【例4】已知，求的最小值。
【解法1】不妨将乘以1，而1用a+2b代换。
当且仅当时取等号，由即时，的最小值为。
【解法2】将分子中的1用代换。
【评注】本题巧妙运用“1”的代换，得到，而与的积为定值，即可用均值不等式求得的最小值。
三、换元【例5】求函数的最大值。
【解析】变量代换，令，则当t=0时，y=0当时，当且仅当，即时取等号。
故。
【评注】本题通过换元法使问题得到了简化，而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求最值问题，从而为构造积为定值创造有利条件。
四、取平方【例6】求函数的最大值。
【解析】注意到的和为定值。
又，所以当且仅当，即时取等号。
故。
【评注】本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。
高考知识点归纳总结：利用均值不等式求最值
高考知识点归纳总结：利用均值不等式求最值均值不等式设12,,0n a a a >是实数222333121212312111+nnnna a a a a a a a a nna a a +++++++++≤≤≤≤++（其中0,1,2,i a i n >=.当且仅当12n a a a ===时，等号成立）（1）12111+nna a a ++:调和平均，（2）（3） 12na a a n+++：算术平均（4：平方平均， （5高考应用:(1) 和(可以是算术和、平方和、立方和等)定，积最大：若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab ， 222b a ab +≤ (当且仅当b a =时取“=”） 若*,,a b c R ∈，则33a b c abc ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭， 32222()3a b c abc ++≤ (当且仅当a b c ==时取“=”）(2) 积定和(可以是算术和、平方和、立方和等)最小.若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+，ab b a 222≥+，33322()ab ab +≥（当且仅当b a =时取“=”）若*,,a b c R ∈，则a bc++≥222233()a b c abc++≥，3333a b c abc ++≥（当且仅当=c a b ==时取“=”）(3)平方和定，算术和最大 若*,,a b c R ∈，则ab +≤a bc ++≤（当且仅当=c a b ==时取“=”） (4)算术和定，平方和最小。
若*,,a b c R ∈，则222()2a b a b ++≥，2222()3a b c a b c ++++≥（当且仅当=c a b ==时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”解题技巧：技巧一：调整项的符号、凑项、拆项、凑系数、拆系数。
均值定理最大值最小值公式
均值定理最大值最小值公式
泰勒均值定理是一种重要的数学定理，用于解决最大值、最小值
等问题。
它是指一个变量满足特定条件时，最小值或最大值必定存在。
泰勒均值定理提供了一种量化的方法用来确定最小值和最大值的数值
表示，也就是最小值最大值的公式。
首先，用数学符号表示，泰勒均值定理的通用表达式如下：设f （x）是连续函数，那么，存在某个c使得f（c）的导数等于零。
其次，要求出最小值和最大值的数值表示，需要用解析求积法，
它是改进梯形求积法和牛顿梯形求积法之类求积方法的一种。
这种方
法通过极值函数的导数来应用泰勒均值定理，从而求出f（c）的最小
值和最大值。
最后，泰勒均值定理最大值最小值公式如下：最小值=f（c）-f （c）的导数，最大值=f（c）+f（c）的导数。
结论：泰勒均值定理非常重要，可以帮助我们通过数学解析方法
得出最小值和最大值的数值表示，从而解决科学实验中的难题，极大
的提高效率。
巧用均值定理求函数最值
巧用均值定理求函数最值今天我们要介绍一种求函数最值的方法，那就是利用均值定理。
首先，我们先来了解一下均值定理。
均值定理是微积分中的重要定理之一，它指出，若函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，则存在 $cin(a,b)$，使得$$f(c)=frac{1}{b-a}int_a^bf(x)mathrm{d}x.$$也就是说，函数在某一点的函数值等于函数在该区间上的平均值。
那么，我们如何利用均值定理来求函数最值呢？我们可以对于一个函数 $f(x)$，假设其在区间 $[a,b]$ 上连续，那么根据均值定理，我们有$$f(c)=frac{1}{b-a}int_a^bf(x)mathrm{d}x.$$其中$cin(a,b)$，因此，对于函数 $f(x)$，我们可以得到$$maxf(x)leqslant frac{1}{b-a}int_a^bf(x)mathrm{d}x$$$$minf(x)geqslant frac{1}{b-a}int_a^bf(x)mathrm{d}x.$$也就是说，函数在区间 $[a,b]$ 上的最大值不会超过函数在该区间上的平均值，最小值不会小于函数在该区间上的平均值。
因此，我们可以利用均值定理来快速估算函数的最值。
比如，如果我们要求 $f(x)=x^2-x+1$ 在区间 $[0,1]$ 上的最大值，那么根据均值定理，我们有$$max f(x)leqslantfrac{1}{1-0}int_0^1(x^2-x+1)mathrm{d}x=frac{5}{6}.$$因此，$f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上的最大值不会超过 $dfrac{5}{6}$。
实际上，我们可以通过求导来得到 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上的最大值为$dfrac{5}{6}$。
当然，利用均值定理来求函数最值并不是万能的，它只能给出函数最值的估计值，而不能精确计算。
但是，均值定理可以帮助我们快速估算函数的最值，从而加快我们的计算速度。
均值不等式应用(技巧)
均值不等式应用（技巧）应用一：求最值 例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。
技巧三： 分离 例3. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。
技巧四：换元 例4（同例3）技巧五：注意：在应用均值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()af x x x=+的单调性。
例5：求函数2y =的值域。
练习．1.求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.（1）231,(0)x x y x x++=> （2）12,33y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈2．已知01x <<，求函数y =.； 3．203x <<，求函数y =.条件求最值1.若实数满足2=+b a ，则ba 33+的最小值是 .变式：若44log log 2x y +=，求11x y+的最小值.并求x,y 的值技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。
2：已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值。
变式： （1）若+∈R y x ,且12=+y x ，求yx11+的最小值(2)已知+∈R y x b a ,,,且1=+yb x a ，求y x+的最小值技巧七、已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2 的最大值.技巧八：已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab 的最小值.变式：1.已知a >0，b >0，ab －(a ＋b )＝1，求a ＋b 的最小值。
2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。
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２０ ０ ７年 ６月
Ｊｎ２ ０ ｕ ．０ ７
Ｖｏ． ３ Ｎｏ ６ １２ ．
运 用 均 值 定 理 求最 值 的八 种 方 法
沈 丙 申
（ 顶 山财贸学校 ， 平 河南 平顶 山 ４ ７０ ） ６０ １
摘
要 ： 定理 是求最值的 常用方 法之 一 ， 均值 本文通过 举例 归纳 了几种 变化方 法 ， 之 能用均值 以使
２ 。 ４’ ‘
＝ ÷
万
用均值定理 。
．
± ± 一上
， ｙ＝ 时， 上式等
２
例 函 ｙ ÷ ０ 最 值 １求 数 ＝＋ （ ） 大． ＜的
解 ： 为 ＜ ０ 因 ，所 以 一 ＞ ０ ＋ ～ ≥ ２ ，一 １
当且仅 当 ４ ２＝１＋ｙ ２即 ＝
＝
、
配 系 洪
作者简介 ： 丙申（ ９ １ ） 男 ， 沈 １ ６ 一 ， 河南平项 山人 ， 讲师 ， ｒ ｊ 作于河南平项山财贸学校 ， ｇ－ 本科学历 ， 学士 学位 ， 从事数 学教学与研 究。
６ｌ
维普资讯
第２ ３卷
第 ６期
四川 教育学 院学报
之积 ， 而 达到凑 积或 和 为定值 的 目的 ， 为 了使等 号成 从 但
立， 常遵循 “ 平均分拆 ”的原则 。 例 ５ 已知 ｘ ｙ＞０ 且 。 ， ｙ＝２ 求 ｘ 。 ， ｙ＋ 的最小值．
在求最值时， 为了创造条件使用均值不等式， 有时需要
上 式等 号成 立． 故 ＝４ Ｙ＝１ ， ＋Ｙ ＝１ ． ， ２时 （ ） ２
Ｊ ＲＮＡＬＯＦＳ Ｃ ＡＮ ０Ｕ Ｉ ＨＵ ＣＯＬ ＥＧＥ ＯＦ ＥＤＵ Ｔ ＯＮ Ｌ ＣＡ Ｉ
２０ ０ ７年 ６月
Ｊｎ ２０ ｕ ．０ ７
Ｖ０． ３ Ｎｏ ６ １２ ．
解： 因为 ｘ ｙ＞０ 且 ｘｙ＝２ 所 以 ， ２ ，
ｘ ｙ
当且仅当ｔ ＝÷ ， ＝ ， 即ｔ 也就是 ＝１ 时等号成立，
大值 ． 解： 由题 意知 ｎ ＞０， １一ｎ ＞０ ．
又 ｙ ＝ Ｇ （ 一 ｎ ） ＝ — ｎ －ａ （ — ２ｘ ≤ ２ １ １ ｘ２ ａ）
引入参数 ， 使参数在用 均值 定理 解题 中起一 个桥 梁作
用均值定理求最值的几种方法 。
负变 正 法 如果含变量的项是负的 ， 通过 添负号转化为正 ， 以便使
一
例３ 已 ＞ ， ＞ 且 ＋ ＝ ， 、 知 Ｏ ０ 牛 １ ｙ 求 ／ ／
的最大值．
解： ＋ ＝１ ｘ＋ ＝ ． 由 午 得４ ４ 所以
一
’
、
＝、 可
运 用 均 值 定 理 ：当 ａ ，２ａ ， ， 为 正 数 时 ， 。ａ ，， … ａ
竺 ： ： ：
≥
ｉ ＝ 『 求最值是中 学数学
求最值 的基本方法之一 。 用均值定理求最值 时， 运 要注意三 个条件 ： 一正二定三相等 ”三者缺一不可 ， 即“ 求值 时， 要注 意所进行 的必须是等 价转化 。 下面就 一些具 体例子说 明运
小值．
） ４ ２ ＿ ＝ ５＋ ＋≥ ． ＝ 一 【 （一 ３ ｉｙ ＋ ｆ Ｄ ． ２ ４ ）
厂——————— 广
解： 因为 ＞０ ｙ＞０ １ ， ， ＋９
ｖ
＝
１所 以 ，
２ ４一 南 ３ ５ √（ ５ ＝・
当且 仅当（ 一 ）＝ ４ ５
ｇ１ ４ ． 一 １
五拆项法当且仅当9x在求最值时为了创造条件使用均值不等式有时需要v又v1即4yz12时将一些项作适当的变形拆为多项之和或分解为多个因子上式等号成立
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第２ ３卷
第 ６期
四川教育学 院学报
Ｊ ＯＵＲ ＮＡＬ ＯＦ Ｓ Ｃ Ｉ ＨＵＡＮ Ｃ Ｌ ＧＥ Ｏ ＤＵＣ ＯＬ Ｅ Ｆ Ｅ Ａ￣ ＯＮ
定理求解。 关键词 ： 均值 定 理 ；负 变正 ； 项 ； 项 ； 添 拆 平方 法
中图分 类号 ： １ Ｏ
文献 标识 码 ： Ｂ
文章 编 号 ：０ ０５５ （０７ ０ － ６ －２ １０ －７７ ２０ ）６０ １ ０ ０
用均值 定理求最值时 ， 常将所求 的某些 因子 同乘 或同 除以正 数 ， 使含变量 的各 因子之和为常数 。
号成立．
当 ＝ ｙ ，／ 最 值 ｝ ＝ ／ 可 √一（ ＝故＋ ２而≤２且 故 ， 时 、 的 大 为 ． （） ２ １ 一从 ｙ一当仅 ） ， ≤ ， ，号． 以 ＝一１ ，～ ＝一 所 时 ｙ
四 、 项法 添
利用均值 定理求和 的最小值 时 ， 须积为定值 ， 有时原式 不满 足 ， 但添加某个项后 即可 。
＋＝ ＋ ・ （ ｙ÷ 号 ＝ ＋ ｙ （ ｙ １ ） ＋ ）÷ 等 ） ＝ ＋（
＋１ ≥ ２ ０
， 即 ＝１ 时上式等号成立．
√ ・＋ ＝＋ ＝． ÷ 等 １ ６１ １ ０ ０６
，
故当 ＝１时 ， ＝５ ｙ ．
五 、 项法 拆
当且仅当 ＝９ ｘ
Ｖ — ÷＝即 ＝ｙ１ ， 将一些项 作适当 的变形 ， 为多项之 和或分解 为多个 因子 ｝ Ｖ １ ４ ２ 又 ＋ ， ， 。 时 ｚ 拆
例 ４ 已知 ＞ ５
，
２．
二、 … ’ 乘 １ 法
在求条 件最值 时 ， 利用 条件 中 的… ’ １ 与求解 式 子 中的 …’ １ 的联系进行代换 ， 从而得到解答 。
，
求 ｙ＝４ 一２
的最小值．
解： 因为 ＞ ５ 所 以 ４ 一５ ＞０ ．
例 知 ＞ｙ０ ÷＋ １ ｙ最 ２已 ０ ＞， ９＝， ＋的 ， 且 求
厅
‘扣 ＋ ，‘３ ４ ｙ ３ 扣 ≥－ ｊ ， ｊ （厂 ． ‘ ＿ √
＝
此 ～＝ 时ｙ 竿．
八、 引入参数法
当且仅 当 ， ＝ 且 ｘｙ＝２ 即 ＝１Ｙ＝２时取等 ， ２ ， ， 号， 故所 求最小值 为 ３ ． 例 ６ 已知０＜ ＜ ， 求函数 ｙ＝Ｇ （ ２ １一ｎ ）的最