2020年内蒙古赤峰市中考数学试卷(含答案解析)

2020年内蒙古赤峰市中考数学试卷副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共14小题，共42.0分）1.实数|−5|，−3，0，√4中，最小的数是()A. |−5|B. −3C. 0D. √42.2020年6月23日9时43分，我国成功发射了北斗系统第55颗导航卫星，其授时精度为世界之最，不超过0.0000000099秒．数据“0.0000000099”用科学记数法表示为()A. 99×10−10B. 9.9×10−10C. 9.9×10−9D. 0.99×10−83.下列图形绕某一点旋转一定角度都能与原图形重合，其中旋转角度最小的是()A. 等边三角形B. 平行四边形C. 正八边形D. 圆及其一条弦4.学校朗诵比赛，共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数据特征是()A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差5.下列计算正确的是()A. a2+a3=a5B. 3√2−2√2=1C. (x2)3=x5D. m5÷m3=m26.不等式组{x+2>0−2x+4≥0的解集在数轴上表示正确的是()A. B.C. D.7.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A′B′C′，则四边形ABC′A′的面积是()A. 15B. 18C. 20D. 228.如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB=90°，且AB=8，BC=14，则EF的长是()A. 2B. 3C. 4D. 59.估计(2√3+3√2)×√1的值应在()3A. 4和5之间B. 5和6之间C. 6和7之间D. 7和8之间10.如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O.若OA=3，则△ABC外接圆的面积为()A. 3πB. 4πC. 6πD. 9π11.如图，⊙A经过平面直角坐标系的原点O，交x轴于点B(−4,0)，交y轴于点C(0,3)，点D为第二象限内圆上一点．则∠CDO的正弦值是()A. 35B. −34C. 34D. 4512.某几何体的三视图及相关数据(单位：cm)如图所示，则该几何体的侧面积是()A. 652πcm2B. 60πcm2C. 65πcm2D. 130πcm213.如图，点B在反比例函数y=6x(x>0)的图象上，点C在反比例函数y=−2x(x>0)的图象上，且BC//y轴，AC⊥BC，垂足为点C，交y轴于点A.则△ABC的面积为()A. 3B. 4C. 5D. 614.如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2.动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线BA→AC运动到点C，同时动点Q从点A出发，以相同速度沿折线AC→CD运动到点D，当一个点停止运动时，另一点也随之停止．设△APQ的面积为y，运动时间为x秒．则下列图象能大致反映y 与x之间函数关系的是()A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）15.一个正n边形的内角和是它外角和的4倍，则n=______．16.如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部C的仰角是30°，测得底部B的俯角是60°，此时无人机与该建筑物的水平距离AD是9米，那么该建筑物的高度BC为______米(结果保留根号)．17.某校为了解七年级学生的身体素质情况，从七年级各班随机抽取了数量相同的男生和女生，组成一个容量为60的样本，进行各项体育项目的测试．下表是通过整理样本数据，得到的关于每个个体测试成绩的部分统计表：某校60名学生体育测试成绩频数分布表成绩划记频数百分比优秀a30%良好30b合格915%不合格35%合计6060100%如果该校七年级共有300名学生，根据以上数据，估计该校七年级学生身体素质良好及以上的人数为______人．18.一个电子跳蚤在数轴上做跳跃运动．第一次从原点O起跳，落点为A1，点A1表示的数为1；第二次从点A1起跳，落点为OA1的中点A2，第三次从A2点起跳，落点为OA2的中点A3；如此跳跃下去…最后落点为OA2019的中点A2020，则点A2020表示的数为______．三、解答题（本大题共8小题，共96.0分）19.先化简，再求值：m−m2−1m2+2m+1÷m−1m，其中m满足：m2−m−1=0．20.小琪同学和爸爸妈妈一起回老家给奶奶过生日，他们为奶奶准备了一个如图所示的正方形蛋糕，蛋糕的每条边上均匀镶嵌着4颗巧克力．爸爸要求小琪只切两刀把蛋糕平均分成4份，使每个人分得的蛋糕和巧克力数都相等．(1)请你在图1中画出一种分法(无需尺规作图)；(2)如图2，小琪同学过正方形的中心切了一刀，请你用尺规作图帮她作出第2刀所在的直线．(不写作法，保留作图痕迹)21.如图1，一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面，并分别标有1，2，3，4四个数字；如图2，等边三角形ABC的三个顶点处各有一个圆圈．丫丫和甲甲想玩跳圈游戏，游戏的规则为：游戏者从圈A起跳，每投掷一次骰子，骰子着地的一面点数是几，就沿着三角形的边逆时针方向连续跳跃几个边长．如：若第一次掷得点数为2，就逆时针连续跳2个边长，落到圈C；若第二次掷得点数为4，就从圈C继续逆时针连续跳4个边长，落到圈A．(1)丫丫随机掷一次骰子，她跳跃后落回到圈A的概率为______；(2)丫丫和甲甲一起玩跳图游戏：丫丫随机投掷一次骰子，甲甲随机投掷两次骰子，都以最终落回到圈A为胜者．这个游戏规则公平吗？请说明理由．22.甲、乙两支工程队修建二级公路，已知甲队每天修路的长度是乙队的2倍，如果两队各自修建公路500m，甲队比乙队少用5天．(1)求甲，乙两支工程队每天各修路多少米？(2)我市计划修建长度为3600m的二级公路，因工程需要，须由甲、乙两支工程队来完成．若甲队每天所需费用为1.2万元，乙队每天所需费用为0.5万元，求在总费用不超过40万元的情况下，至少安排乙队施工多少天？23.如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的一条弦，点P是⊙O上一点，且PA=PC，PD//AC，与BA的延长线交于点D．(1)求证：PD是⊙O的切线；(2)若tan∠PAC=23，AC=12，求直径AB的长．24.阅读理解：材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”．材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1，x2，则有x1+x2=−ba ，x1⋅x2=ca．问题解决：(1)请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数______；(2)若x1，x2是关于x的方程ax2+bx+c=0(a,b，c均不为0)的两根，x3是关于x的方程bx+c=0(b,c均不为0)的解．求证：x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”；(3)若A(m,y1)，B(m+1,y2)，C(m+3,y3)三个点均在反比例函数y=4的图象上，x 且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值．25.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A(1,0)，B(4,0)两x+2经过B，C两点．点，与y轴交于点C，直线y=−12(1)直接写出二次函数的解析式______；(2)平移直线BC，当直线BC与抛物线有唯一公共点Q时，求此时点Q的坐标；(3)过(2)中的点Q作QE//y轴，交x轴于点E.若点M是抛物线上一个动点，点N是x轴上一个动点，是否存在以E，M，N三点为顶点的直角三角形(其中M为直角顶点)与△BOC相似？如果存在，请直接写出满足条件的点M的个数和其中一个符合条件的点M的坐标；如果不存在，请说明理由．26.如图，矩形ABCD中，点P为对角线AC所在直线上的一个动点，连接PD，过点P作PE⊥PD，交直线AB于点E，过点P作MN⊥AB，交直线CD于点M，交直线AB于点N.AB=4√3，AD=4．(1)如图1，①当点P在线段AC上时，∠PDM和∠EPN的数量关系为：∠PDM______∠EPN；②DP的值是______；PE(2)如图2，当点P在CA延长线上时，(1)中的结论②是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由；(3)如图3，以线段PD，PE为邻边作矩形PEFD.设PM的长为x，矩形PEFD的面积为y.请直接写出y与x之间的函数关系式及y的最小值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵|−5|=5，√4=2，−3<0<2<5，∴−3是最小的数，故选：B．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比较大小，绝对值大的反而小，据此判断即可．此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数>0>负实数，两个负实数绝对值大的反而小．2.【答案】C【解析】解：0.0000000099=9.9×10−9，故选：C．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3.【答案】C=120°；【解析】解：A、最小旋转角度=360°3=180°；B、最小旋转角度=360°2=45°；C、最小旋转角度=360°8D、最小旋转角度=360°；综上可得：旋转一定角度后，能与原图形完全重合，且旋转角度最小的是C．故选：C．求出各旋转对称图形的最小旋转角度，继而可作出判断．本题考查了旋转对称图形的知识，求出各图形的最小旋转角度是解题关键．4.【答案】B【解析】解：根据题意，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是中位数．故选：B．根据平均数、中位数、众数、方差的意义即可求解．本题考查了平均数、中位数、众数、方差的意义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．5.【答案】D【解析】解：A、a2+a3，无法计算，故此选项错误；B、3√2−2√2=√2，故此选项错误；C、(x2)3=x6，故此选项错误；D、m5÷m3=m2，正确．故选：D．直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．此题主要考查了合并同类项以及幂的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．6.【答案】C【解析】解：解不等式x+2>0，得：x>−2，解不等式−2x+4≥0，得：x≤2，则不等式组的解集为−2<x≤2，故选：C．分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键．7.【答案】A【解析】解：∵把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A′B′C′，∴A′B′=AB=5，A′C′=AC=3，∠A′C′B′=∠ACB=90°，A′A=CC′=3，∴B′C′=√52−32=4，AC//A′C′，∴四边形ACC′A′是矩形，∴四边形ABC′A′的面积=12(AA′+BC′)⋅AC=12×(3+4+3)×3=15，故选：A．根据平移的性质得到A′B′=AB=5，A′C′=AC=3，∠A′C′B′=∠ACB=90°，A′A= CC′=3，由勾股定理得到B′C′=√52−32=4，根据梯形的面积公式即可得到结论．本题考查了勾股定理，梯形的面积，平移的性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行计算的能力，题目比较典型，但难度不大．8.【答案】B【解析】解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∵BC=14，∴DE=12BC=7，∵∠AFB=90°，AB=8，∴DF=12AB=4，∴EF=DE−DF=7−4=3，故选：B．根据三角形中位线定理和直角三角形的性质即可得到结论．本题考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．9.【答案】A【解析】解：原式=2+√6，∵2<√6<3，∴4<2+√6<5，故选：A．先根据二次根式的运算法则进行计算，再估算无理数的大小．本题主要考查了二次根式的乘法，无理数的大小估算，关键是正确掌握二次根式的摊牌法则．10.【答案】D【解析】解：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∴BD=CD，AD⊥BC，∵EF是AC的垂直平分线，∴点O是△ABC外接圆的圆心，∵OA=3，∴△ABC外接圆的面积为9π．故选：D．由等腰三角形的性质得出BD=CD，AD⊥BC，则点O是△ABC外接圆的圆心，则由圆的面积公式可得出答案．本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的外接圆和外心的概念和性质．11.【答案】A【解析】解：连接BC，如图，∵B(−4,0)，C(0,3)，∴OB=4，OC=3，∴BC=√32+42=5，∴sin∠OBC=OCBC =35，∵∠ODC=∠OBC，∴sin∠CDO=sin∠OBC=35．故选：A．连接BC，如图，先利用勾股定理计算出BC=5，再根据正弦的定义得到sin∠OBC=35，再根据圆周角定理得到∠ODC=∠OBC，从而得到ssin∠CDO的值．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．12.【答案】C【解析】解：观察图形可知：圆锥母线长为：√52+122=13，所以圆锥侧面积为：πrl=5×13×π=65π(cm2).答：该几何体的侧面积是65πcm2．故选：C．根据几何体的三视图得这个几何体是圆锥，再根据圆锥的侧面是扇形即可求解．本题考查了几何体的表面积，解决本题的关键是根据几何体的三视图得几何体，再根据几何体求其侧面积．13.【答案】B【解析】解：过B点作BH⊥y轴于H点，BC交x轴于D，如图，∵BC//y轴，AC⊥BC，∴四边形ACDO和四边形ODBH都是矩形，∴S矩形OACD=|−2|=2，S矩形ODBH=|6|=6，∴S矩形ACBD=2+6=8，∴△ABC的面积=12S矩形ACBD=4．故选：B．过B点作BH⊥y轴于H点，BC交x轴于D，如图，利用反比例函数系数k的几何意义得到S矩形OACD=2，S矩形ODBH=6，则S矩形ACBD=8，然后根据矩形的性质得到△ABC的面积．本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|.在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12|k|，且保持不变．14.【答案】A【解析】解：当0≤x≤2时，如图1，过点Q作QH⊥AB于H，由题意可得BP=AQ=x，∵在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2，∴AB=BC=AD=CD，∠B=∠D=60°，∴△ABC和△ADC都是等边三角形，∴AC=AB=2，∠BAC=60°=∠ACD，∵sin∠BAC=HQAQ，∴HQ=AQ⋅sin60°=√32x，∴△APQ的面积=y=12(2−x)×√32x=−√34(x−1)2+√34；当2<x≤4时，如图2，过点Q作QN⊥AC于N，由题意可得AP=CQ=x−2，∵sin∠ACD=NQCQ =√32，∴NQ=√32(x−2)，∴△APQ的面积=y=12(x−2)×√32(x−2)=√34(x−2)2，∴该图象开口向上，对称轴为直线x=2，∴在2<x≤4时，y随x的增大而增大，∴当x=4时，y有最大值为√3，故选：A．由菱形的性质可证△ABC和△ADC都是等边三角形，可得AC=AB=2，∠BAC=60°=∠ACD，分两种情况讨论，由锐角三角函数和三角形的面积公式可求y与x之间函数关系，由二次函数的性质可求解．本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数，二次函数的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．15.【答案】10【解析】解：多边形的外角和是360°，根据题意得：180°⋅(n−2)=360°×4，解得n=10．故答案为：10．利用多边形的内角和公式和外角和公式，根据一个n边形的内角和是其外角和的4倍列出方程求解即可．本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．16.【答案】12√3【解析】解：根据题意可知：在Rt△ADC中，∠CAD=30°，AD=9，=3√3，∴CD=AD⋅tan30°=9×√33在Rt△ADB中，∠BAD=60°，AD=9，∴BD=AD⋅tan60°=9√3，∴BC=CD+BD=3√3+9√3=12√3(米)．答；该建筑物的高度BC为12√3米．故答案为：12√3．根据题意可得在Rt△ADC中，∠CAD=30°，AD=9，在Rt△ADB中，∠BAD=60°，AD=9，再根据特殊角三角函数即可分别求出CD和BD的长，进而可得该建筑物的高度BC．本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．17.【答案】240【解析】解：根据频数分布表可知：9÷15%=60，∴a=60×30%=18，b=1−30%−15%−5%=50%，∴300×(30%+50%)=240(人)．答：估计该校七年级学生身体素质良好及以上的人数为240人．故答案为：240．根据频数分布表数据可得a 和b 的值，进而可以估计该校七年级学生身体素质良好及以上的人数．本题考查了频数分布表、总体、个体、样本、样本容量、用样本估计总体，解决本题的关键是掌握统计的相关知识．18.【答案】122019【解析】解：第一次落点为A 1处，点A 1表示的数为1；第二次落点为OA 1的中点A 2，点A 2表示的数为12；第三次落点为OA 2的中点A 3，点A 3表示的数为(12)2；…则点A 2020表示的数为(12)2019，即点A 2020表示的数为122019；故答案为：122019．根据题意，得第一次跳动到A 1处，离原点为1个单位，第二次跳到OA 1的中点A 2处，即在离原点12个单位处，第三次从A 2点跳动到A 3处，即距离原点(12)2处，依此即可求解． 本题考查了数轴，是一道找规律的题目，本题注意根据线段中点的定义表示出各个点跳动的规律． 19.【答案】解：原式=m −(m+1)(m−1)(m+1)2⋅m m−1=m −m m +1=m 2m+1，∵m 2−m −1=0，∴m 2=m +1，∴原式=m+1m+1=1．【解析】根据分式乘法法则和减法法则化简原式，再将已知方程变形为m 2=m +1，最后代入求值便可．本题主要考查分式乘法法则和减法法则，求代数式的值，考查了整体代入思想，关键是熟练掌握分式混合运算的顺序和运算法则，解题技巧是将已知方程变形，巧用整体代入思想可快速求值．20.【答案】解：(1)如图，直线a，直线b即为所求．(2)如图，直线c即为所求．【解析】(1)作正方形的对角线即可．(2)连接AC交直线EF于O，过点O作直线c⊥EF即可．本题考查作图−应用与设计，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．21.【答案】14【解析】解：(1)丫丫随机掷一次骰子，她跳跃后落回到圈A的概率=14；(2)这个游戏规则不公平．理由如下：画树状图为：共有16种等可能的结果，其中甲甲随机投掷两次骰子，最终落回到圈A的结果数为5，所以甲甲随机投掷两次骰子，最终落回到圈A的概率=516，因为14<516，所以这个游戏规则不公平．(1)直接利用概率公式计算；(2)画树状图展示所有16种等可能的结果，找出甲甲随机投掷两次骰子，最终落回到圈A的结果数，则可计算出甲甲随机投掷两次骰子，最终落回到圈A的概率，然后通过比较她们回到圈A的概率的大小可判断游戏是否公平．本题考查了游戏公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了树状图法．22.【答案】解：(1)设乙工程队每天修路x米，则甲工程队每天修路2x米，依题意，得：500x −5002x=5，解得：x=50，经检验，x=50是原方程的解，且符合题意，∴2x=100．答：甲工程队每天修路100米，乙工程队每天修路50米．(2)设安排乙工程队施工m天，则安排甲工程队施工3600−50m100=(36−0.5m)天，依题意，得：0.5m+1.2(36−0.5m)≤40，解得：m≥32．答：至少安排乙工程队施工32天．【解析】(1)设乙工程队每天修路x米，则甲工程队每天修路2x米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合两队各自修建公路500m时甲队比乙队少用5天，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；(2)设安排乙工程队施工m天，则安排甲工程队施工(36−0.5m)天，根据总费用不超过40万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．23.【答案】解：(1)连接PO，交AC于H，∵PA=PC，∴∠PAC=∠PCA，∵∠PCA=∠PBA，∴∠PAC=∠PCA=∠PBA，∵DP//AC，∴∠DPA=∠PAC=∠PCA=∠PBA，∵OA=OP，∴∠PAO=∠OPA，∵AB是直径，∴∠APB=90°，∴∠PAB+∠ABP=90°，∴∠OPA+∠DPA=90°，∴∠DPO=90°，又∵OP是半径，∴DP是⊙O的切线；(2)∵DP//AC，∠DPO=90°，∴∠DPO=∠AHO=90°，又∵PA=PC，∴AH=HC=12AC=6，∵tan∠PAC=PHAH =23，∴PH=23×AH=4，∵AO2=AH2+OH2，∴AO2=36+(OA−4)2，∴OA=132，∴AB=2OA=13．【解析】(1)连接PO，交AC于H，由等腰三角形的性质可得∠PAC=∠PCA，∠PAO=∠OPA，由平行线的性质和圆周角定理可得∠DPA=∠PAC=∠PCA=∠PBA，∠APB= 90°，可证∠DPO=90°，可得结论；(2)由等腰三角形的性质可求AH=HC=12AC=6，由锐角三角函数可求PH=4，由勾股定理可求AO的长，即可求解．本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．24.【答案】如12,13,15【解析】解：(1)根据题意得，能构成“和谐三数组”的实数有，12，13，15； 理由：12的倒数为2，13的倒数为3，15的倒数为5，而2+3=5， ∴12,13,15能过程“和谐三数组”， 故答案为：如∴12,13,15；(2)证明：∵x 1，x 2是关于x 的方程ax 2+bx +c =0(a,b ，c 均不为0)的两根， ∴x 1+x 2=−b a ，x 1⋅x 2=ca ， ∴1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2=−bc ，∵x 3是关于x 的方程bx +c =0(b,c 均不为0)的解， ∴x 3=−cb ，∴1x 3=−bc ，∴1x 1+1x 2=1x 3，∴x 1，x 2，x 3可以构成“和谐三数组”；(3)A(m,y 1)，B(m +1,y 2)，C(m +3,y 3)三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”， ∵A(m,y 1)，B(m +1,y 2)，C(m +3,y 3)三个点均在反比例函数y =4x 的图象上， ∴y 1=4m ，y 2=4m+1，y 3=4m+3， ∴1y 1=m 4，1y 2=m+14，1y 3=m+34，∵A(m,y 1)，B(m +1,y 2)，C(m +3,y 3)三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”， ∴①1y 1+1y 2=1y 3，∴m 4+m+14=m+34，∴m =2， ②1y 2+1y 3=1y 1，∴m+14+m+34=m4，∴m =−4， ③1y 3+1y 1=1y 2， ∴m+34+m 4=m+14，∴m =−2，即满足条件的实数m 的值为2或−4或−2． (1)根据“和谐三数组”写成一组即可得出结论；(2)先根据材料2，得出1x 1+1x 2=−b c ，再求出一元一次方程的解，进而得出1x 3=−bc ，即可得出结论；(3)先用m 表示出y 1，y 2，y 3，进而表示出它们的倒数，再根据“和谐三数组”分三种情况，建立方程求解即可得出结论．此题主要考查了新定义的理解和运用，反比例函数图象上点的坐标特征，利用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．25.【答案】y =12x 2−52x +2【解析】解：(1)∵直线y =−12x +2经过B ，C 两点． ∴点C(0,2)，∵二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)的图象经过A(1,0)，B(4,0)，点C(0,2)， ∴{0=a +b +c0=16a +4b +c c =2， 解得：{a =12b =−52c =2，∴抛物线解析式为y =12x 2−52x +2， 故答案为：y =12x 2−52x +2；(2)∵B(4,0)，点C(0,2)，∴直线BC 解析式为：y =−12x +2， ∴设平移后的解析式为：y =−12x +2+m ， ∵平移后直线BC 与抛物线有唯一公共点Q∴12x 2−52x +2=−12x +2+m ，∴△=4−4×12×(−m)=0，∴m =−2，∴设平移后的解析式为：y =−12x ， 联立方程组得：{y =−12xy =12x 2−52x +2， ∴{x =2y =−1， ∴点Q(2,−1)；(3)设点M 的坐标为(m,12m 2−52m +2)，∵以E ，M ，N 三点为顶点的直角三角形(其中M 为直角顶点)与△BOC 相似， ∴①当△MEN∽△OBC 时， ∴∠MEN =∠OBC ， 过点M 作MH ⊥x 轴于H ， ∴∠EHM =90°=∠BOC ， ∴△EHM∽△BOC ， ∴EH MH =OBOC ，∴MH =|12m 2−52m +2|，EH =|m −2|， ∵OB =4，OC =2． ∴|m−2||12m 2−52m+2|=2，∴m =3±√3或m =2±√2， 当m =3+√3时，12m 2−52m +2=√3+12，∴M(3+√3,√3+12)， 当m =3−√3时，12m 2−52m +2=1−√32，∴M(3−√3,1−√32)，当m =2+√2时，12m 2−52m +2=−√22，∴M(2+√2,−√22)， 当m =2−√2时，12m 2−52m +2=√22，∴M(2−√2,√22)， ②当△NEM∽△OBC 时， 同①的方法得，|m−2||12m 2−52m+2|=12，∴m =9±√332或m =1±√172， 当m =9+√332时，12m 2−52m +2=5+√33， ∴M(9+√332,5+√33)，当m =9−√332时，12m 2−52m +2=5−√33， ∴M(9−√332,5−√33)，当m =1+√172时，12m 2−52m +2=3−√17，∴M(1+√172,3−√17)，当m =1−√172时，12m 2−52m +2=3+√17，∴M(1−√172,3+√17)，即满足条件的点M 共有8个，其点的坐标为(3+√3,√3+12)或(3−√3,1−√32)或(2+√2,−√22)或(2−√2,√22)或(9+√332,5+√33)或(9−√332,5−√33)或(1+√172,3−√17)或(1−√172,3+√17).(1)先求出点C 坐标，利用待定系数法可求解析式； (2)先求出直线BC 平移后的解析式，联立方程组可求解；(3)分两种情况，构造出两三角形相似，得出EHMH =OBOC 或EHMH =OCOB ，进而建立绝对值方程求解即可得出结论．此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，一元二次方程的解法，相似三角形的判定和性质，解绝对值方程，用方程的思想解决问题是解本题的关键．26.【答案】= √3【解析】解：(1)①如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB//CD，∵NM⊥AB，∴NM⊥CD，∵DP⊥PE，∴∠PMD=∠PNE=∠DPE=90°，∴∠PDM+∠DPM=90°，∠DPM+∠EPN=90°，∴∠PDM=∠EPN．故答案为=．②连接DE.∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAE=∠B=90°，AD=BC=4．∴tan∠CAB=BCAB =√33，∴∠CAB=30°，∵∠DAE+∠DPE=180°，∴A，D，P，E四点共圆，∴∠EDP=∠PAB=30°，∴PEPD =tan30°=√33，∴PDPE=√3．(2)如图2中，结论成立．理由：连接DE．∵∠DPE=∠DAE=90°，∴A，D，E，P四点共圆，∴∠PDE=∠EAP=∠CAB=30°，∴DPPE =1tan30∘=√3．(3)如图3中，由题意PM=x，MN=4−x，∵∠PDM=∠EPN，∠DMP=∠PNE=90°，∴△DMP∽△PND，∴DMPN =PMEN=PDPE=√3，∴DM4−x =xEN=√3，∴DM=√3(4−x)，EN=√33x，∴PD=√DM2+PM2=√[√3(4−x)]2+x2=2√x2−6x+12，PE=√33PD=2√33⋅√x2−6x+12，∴y=PD⋅PE=4√33(x2−6x+12)=4√33x2−8√3x+16√3(x>0)，∵y=4√33(x−3)2+4√3，∵4√33>0，∴当x=3时，y有最小值，最小值为4√3．(1)①利用等角的余角相等证明即可．②证明∠CAB=30°，推出∠PDE=∠CAB=30°即可．(2)结论成立．证明方法类似②．(3)利用相似三角形的性质求出DM，利用勾股定理求出PD，再利用(2)中结论．求出PE，即可解决问题．本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，二次函数等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题．。