专题八动点问题人教版八年级数学上册课件
人教版八年级上册科学动点问题(精编版)
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Introduction
本文档为人教版八年级上册科学课中关于动点问题的精编版问
题集。
通过探索动点问题，帮助学生加深对科学原理的理解，培养
其动手实践和解决问题的能力。
问题集
1. 什么是运动状态？请举例说明。
2. 什么是静止状态？请举例说明。
3. 在某种情况下，物体可以既是静止的又是运动的吗？请解释。
4. 什么是参照系？为什么要设定参照系？
5. 如何确定一个物体的位置？请说明方法和步骤。
6. 请列举几种常见的运动形式，并分别解释。
7. 两个物体在不同的参照系下的运动完全相同吗？为什么？
8. 什么是匀速运动？请举例说明。
9. 什么是变速运动？请举例说明。
10. 什么是匀速直线运动？请举例说明其特点。
总结
本文档收集了人教版八年级上册科学课中关于动点问题的精编版问题集，旨在帮助学生加深对运动状态、参照系、运动形式等概念的理解。
通过解答这些问题，学生能够更好地掌握科学原理，提高动手实践和解决问题的能力。
最新人教版数学八年级上册课件 .动态变化中的全等三角形
Q ⑴若A 点P在△证AB明C：内部，求证BQ＝在CP△；AQB和△APC
P
∵∠QAP＝∠BAC 中
B
C
图⑴
∴∠QAP－∠BAP AQ＝AP
＝∠BAC－∠BAP ∠QAB＝∠PAC
即∠QAB＝∠PAC AB＝AC
另由旋转得AQ＝AP ∴△AQB≌△APC
⑵若点P在△ABC外部，以上结论还成立吗？
Q
A
B
CD
类型一：动点变化
已知：AB⊥BD，ED⊥BD，垂足分别为B、D，点C为BD
上一动点且满足BC＝DE，AB＝CD试猜想线段AC与CE得数量
关系，并证E明解你：得A结C论＝.CE，理由如 BC＝DE，
A
下：
∠B＝∠D
B C D ∵AB⊥BD，ED⊥BD
AB＝CD
∴∠B＝∠D＝90°
∴△ABC≌△CDE
类型二：图形变换
一、平移 如图1，A、B、C、D在同一直线上，AB＝CD，DE∥AF，
且DE＝AF，⑴求证：△AFC≌△DEB．⑵如果将BD沿着AD边得
方向平行移动，如图2，B点在C点右侧时，其余条件不变，结
E
E
论是否仍成立，如果成立，请A 予B证明；如果A 不成立，B 请说明
理由.
CD
C
D
F
F
如图，A、B、C、D在同一直线上，AB＝CD，DE∥AF，
二、旋转
已知，在△ABC中，AB＝AC，点P平面内一点，将AP绕A顺
Q
时针旋转至AQ，使∠QAP＝∠BAC，连接BQ、CP，
A
A
⑴若点P在△ABC内部，求证BQ＝CP；Q
P
⑵若点P在△ABC外部，以上结论还成B立吗？
专题八动点问题人教版八年级数学(上册)-【完整版】
专题八 动点问题人教版八年级数学上册-精 品课件p pt(实 用版)
（2）若 E 在 BC 的延长线上，其余条件不变，
上题的结论是否成立？若不成立，说明理由； 若成立，画出图形并给予证明.
（2）成立. 证明：如图，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB. ∵∠ACB＝∠ECF，∴∠B＝∠ECF. ∵EF⊥BC， ∴∠B+∠BDE＝90°，∠ECF+∠F＝90°. ∴∠BDE＝∠F，即∠ADF＝∠F．
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专题八 动点问题
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1. 如图，已知 E 为等腰三角形 ABC 的底边 BC
上一动点，过点 E 作 EF⊥BC 交直线 AB 于点 D，
（2）M，N 同时运动几秒后，可得等边三角形 AMN？
（2）设点M，N运动t秒后， 可得到等边三角形AMN， 如图所示. AM＝t×1＝t，AN＝AB-BN＝10-2t. ∵△AMN是等边三角形， ∴t＝10-2t. 解得t＝ . ∴点M，N运动 秒后，可得到等边三角形AMN．
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且它们同时出发.
（1）经过 2 秒后，△BMN 和 △CDM 是否全等？请说明
理由.
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解：（1）△BMN≌△CDM．理由如下. ∵vN＝vM＝3厘米/秒，且t＝2秒， ∴CM＝2×3＝6（厘米），BN＝2×3＝6（厘米）， ∴BN＝CM. BM＝BC-CM＝10-6＝4（厘米）， ∵CD＝4厘米， ∴BM＝CD. ∵△ABC为等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°. 在△BMN和△CDM中，
人教版八年级上册数学动点问题(精编版)
人教版八年级上册数学动点问题(精编版)1.已知△ABC中,CB=8cm,CA=6cm,P为一动点,沿着C→B→A→C的路径运动,(再次到达C 点则停止运动),P点的运动速度为2cm/秒(1)求AB的取值范围; (2)若∠C=90°,AB=10cm①当P点在CB上运动时,经过几秒钟PC=AC;②P从运动开始,几秒钟后P点与△ABC某一顶点的连线能将△ABC的面积分成相等的两部分2.如图所示，△ABC中，AC=8cm，BC=6cm，AB=10cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2cm，设运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分．（2）当t为何值时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，并求出此时P经过的路程；（3）画出P点的位置，使得△BCP为等腰三角形（保留作图）3.（12分）如图所示，已知△ABC中，∠B=90 º，AB=16cm，BC=12cm，P、Q是△ABC 边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t 秒．（1）出发2秒后，求PQ的长；（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．4．如图所示，已知△ABC中，∠B=∠C，AB=8厘米，BC=6厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以每秒a厘米的速度由C点向A点运动，设运动时间为t（秒）（0≤t≤3）．（1）用的代数式表示PC的长度；（2）若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；（3）若点P、Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度a为多少时，能够使△BPD与△CQP 全等？5、（10分）（1）如图(1)所示点P是等腰三角形ABC底边BC上的一动点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线于点R。
八年级数学动点问题专题通用课件
日常生活中的应用
行车路线规划
在日常生活中，动点问题 可以用于解决行车、骑车 或步行的最短路径问题。
物流配送
在物流领域，动点问题常 用于优化配送路线和时间 ，降低成本和提高效率。
时间安排
在日程安排和时间管理中 ，动点问题可以帮助我们 找到最优的时间分配方案 。
科学实验中的应用
化学反应速率
在化学反应中，动点问题可以用 来描述反应速率和反应机理。
生物种群动态
在生态学中，动点问题可以用来研 究生物种群的动态变化和演化。
天文观测
在天文学中，动点问题可以用于描 述行星、恒星的运动轨迹和观测数 据的处理。
04
动点问题的练习题和解析
基础练习题
总结词：这些题目是解决动点问 题的基础，适合初学者练习。
注意事项
在建立函数模型时，需要准确理解问题的条件和要求，并注意函数的 正确性和可解性。
03
动点问题的实际应用
物理问题中的应用
01
02
03
运动学问题
动点问题在物理运动学中 有着广泛的应用，如速度 、加速度和位移的计算。
力学问题
在力学领域，动点问题可 用于解决力的合成与分解 、牛顿运动定律等问题。
波动问题
题的效率和精确度。
注重培养学生的创新思维和实 践能力，通过解决动点问题培
养数学创新人才。
THANKS
感谢观看
注意事项
在利用几何法解决问题时，需 要准确理解几何图形的性质和 定理，并注意图形的合理性和
美观性。
函数法
总结词
通过建立函数模型，解决动点问题。
详细描述
在动点问题中，常常需要建立函数模型来表示动点的运动规律或变化 趋势，然后通过求解函数来找到动点的位置或相关参数。
人教版初中八年级数学上册专题三角形全等之动点问题讲义及答案
三角形全等之动点问题（讲义）➢课前预习已知：如图，AB=18 cm，动点P从点A出发，沿AB以2 cm/s的速度向点B运动，动点Q从点B出发，沿BA以1 cm/s的速度向点A运动．P，Q两点同时出发，当点P到达点B时，点P，Q同时停止运动．设点P运动的时间为t秒，请解答下列问题：（1）AP=_______，QB=_______（含t的式子表达）；（2）在P，Q相遇之前，若P，Q两点相距6 cm，则此时t的值为_______．➢知识点睛由点（___________）的运动产生的几何问题称为动点问题．动点问题的解决方法：1.研究_____________；2.分析_____________，分段；3.表达_____________，建等式．➢精讲精练1.已知：如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，点E为边AD上一点，且AE=7．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC向点C运动，连接AP，DP．设点P运动时间为t秒．A E DA E D（1）当t =1.5时，△ABP 与△CDE 是否全等？请说明理由；（2）当t 为何值时，△DCP ≌△CDE ．2. 已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90°，AD =12，BC =24，动点P 从点A 出发以每秒1个单位的速度沿AD 向点D 运动，动点Q 从点C 出发以每秒2个单位的速度沿CB 向点B 运动，P ，Q 同时出发，当点P 停止运动时，点Q 也随之停止，连接PQ ，DQ ．设点P 运动时间为x 秒，请求出当x 为何值时，△PDQ ≌△CQD ．QP DCB A3. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC =10 cm ，BC =8 cm ，点D 为AB 的中点．点P 在线段BC 上以每秒3 cm 的速度由点B 向点C 运动，同时点Q 在线段CA 上由点C 向点A 运动．设点P 运动时间为t 秒，若某一时刻△BPD 与△CQP 全等，求此时t 的值及点Q 的运动速度．D CBA4. 已知：如图，正方形ABCD 的边长为10 cm ，点E 在边AB 上，且AE =4 cm ，点P 在线段BC 上以每秒2 cm 的速度由点B 向点C 运动，同时点Q 在线段CD 上由点C 向点D 运动．设点P 运动时间为t 秒，若某一时刻△BPE 与△CQP 全等，求此时t 的值及点Q 的运动速度．A5. 已知：如图，在长方形ABCD 中，AB =DC =4，AD =BC =5．延长BC 到E ，使CE =2，连接DE ．动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC -CD -DA 向终点A 运动，设点P 运动时间为t 秒． （1）请用含t 的式子表达△ABP 的面积S ．（2）是否存在某个t 值，使得△DCP 和△DCE 全等？若存在，请求出所有满足条件的t 值；若不存在，请说明理由．DA6.ADCB【参考答案】➢课前预习（1）2t，t（2）4s➢知识点睛速度已知1．研究背景图形，标注；2．分析运动过程，分段；3．表达线段长，建等式．➢精讲精练1.解：（1）当t=1.5时，△ABP≌△CDE．理由如下：如图，由题意得BP=2t∴当t=1.5时，BP=3∵AE=7，AD=10∴DE=3∴BP=DE在矩形ABCD中AB=CD，∠B=∠CDE在△ABP 和△CDE 中AB CD B CDE BP DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABP ≌△CDE （SAS ） （2）如图，由题意得BP =2t ∵BC =10 ∴CP =10-2t若使△DCP ≌△CDE ，则需CP =DE即10-2t =3，t =72∴当t =72时，△DCP ≌△CDE ．2. 解：如图，由题意得AP =x ，CQ =2x∵AD =12 ∴DP =12-x要使△PDQ ≌△CQD ，则需DP =QC 即12-x =2x ，x =4∴当x =4时，△PDQ ≌△CQD ．3. 解：如图，由题意得BP =3t∵BC =8 ∴PC =8-3t∵AB =10，D 为AB 中点 ∴BD =12AB =5①要使△BDP ≌△CPQ ， 则需BD =CP ，BP =CQ 即5=8-3t ，t =1 ∴CQ =3t =3则Q 的速度为Q v =s t =31=3（cm/s ）即当t =1，Q 的速度为每秒3cm 时，△BDP ≌△CPQ ． ②要使△BDP ≌△CQP ，则需BP =CP ，BD =CQ 即3t =8-3t ，CQ =5 ∴t =43则Q 的速度为Q v =s t=5×34=154（cm/s ） 即当t =43，Q 的速度为每秒154cm 时，△BDP ≌△CQP ．综上所述，当t =1，Q 的速度为每秒3cm 或t =43，Q 的速度为每秒154cm 时，△BPD 与△CQP 全等．4. 解：如图，由题意得BP =2t∵正方形ABCD 的边长为10cm ∴AB =BC =10 ∴PC =10-2t ∵AE =4 ∴BE =10-4 =6①要使△BEP ≌△CPQ ， 则需EB =PC ，BP =CQ 即6=10-2t ，CQ =2t ∴t =2，CQ =4则点Q 的速度为Q v =s t =42=2（cm/s ）即当t =2，Q 的速度为每秒2cm 时，△BEP ≌△CPQ ． ②要使△BEP ≌△CQP ， 则需BP =CP ，BE =CQ 即2t =10-2t ，CQ =6∴t =52则点Q 的速度为Q v =s t=6×25=125（cm/s ）即当t =52，Q 的速度为每秒125cm 时，△BEP ≌△CQP ．综上所述，当t =2，Q 的速度为每秒2cm 或t =52，Q 的速度为每秒125cm 时，△BEP 与△CQP 全等．5. 解：（1）①当P 在BC 上时，如图，由题意得BP =2t （0<t ≤2.5）1214224ABP S AB BP t t∆=⋅=⨯⨯=∴②当P 在CD 上时，（2.5<t ≤4.5）12145210ABP S AB BC∆=⋅=⨯⨯=∴ ③当P 在AD 上时，由题意得AP =14-2t （4.5<t <7）12141422284ABP S AB APt t ∆=⋅=⨯⨯=∴--（） （2）①当P 在BC 上时， 如图，由题意得BP =2t要使△DCP ≌△DCE ，则需CP =CE ∵CE =2 ∴5-2t =2，t =1.5即当t =1.5时，△DCP ≌△DCE②当P 在CD 上时，不存在t 使△DCP 和△DCE 全等 ③当P 在AD 上时，由题意得BC +CD +DP =2t ∵BC =5，CD =4， ∴DP =2t -9要使△DCP ≌△CDE ，则需DP =CE 即2t -9=2，t =5.5即当t =5.5时，△DCP ≌△CDE ．综上所述，当t =1.5或t =5.5时，△DCP 和△DCE 全等．6. 解：（1）①当Q 在CD 上时，如图，由题意得CQ =2t ，BP=t ∴CP=5-t （0<t ≤1.5）2121(5)22 5CPQ S CP CQt t t t ∆=⋅=-⋅=-∴11 ②当Q 在DA 上时，（1.5<t ≤4）121(5)327.5 1.5CPQ S CP CDt t∆=⋅=⨯=∴--③当Q 在AB 上时，由题意得BQ =11-2t （4<t <5） 2121(5)(112)2215522CPQ S CP BQt t t t ∆=⋅=-⨯-=-+∴（2）①当Q 在CD 上时，不存在t 使△ABP 和△CDQ 全等 ②当Q 在AD 上时，如图，由题意得DQ =2t -3要使△ABP ≌△CDQ ，则需BP =DQ∵DQ =2t -3，BP =t∴t =2t -3，t =3即当t =3时，△ABP ≌△CDQ ．③当Q 在AB 上时，不存在t 使△ABP 和△CDQ 全等 综上所述，当t =3时，△ABP 和△CDQ 全等．。
初中数学人教版八年级上册三角形全等之动点问题(讲义及答案)
初中数学人教版八年级上册实用资料三角形全等之动点问题（讲义）➢课前预习已知：如图，AB=18 cm，动点P从点A出发，沿AB以2 cm/s的速度向点B运动，动点Q从点B出发，沿BA以1 cm/s的速度向点A运动．P，Q两点同时出发，当点P到达点B时，点P，Q同时停止运动．设点P运动的时间为t秒，请解答下列问题：（1）AP=_______，QB=_______（含t的式子表达）；（2）在P，Q相遇之前，若P，Q两点相距6 cm，则此时t的值为_______．➢知识点睛由点（___________）的运动产生的几何问题称为动点问题．动点问题的解决方法：1.研究_____________；2.分析_____________，分段；3.表达_____________，建等式．➢精讲精练1.已知：如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，点E为边EAD上一点，且AE=7．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC向点C运动，连接AP，DP．设点P运动时间为t秒．（1）当t=1.5时，△ABP与△CDE是否全等？请说明理由；（2）当t为何值时，△DCP≌△CDE．2.已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=12，BC=24，动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AD向点D运动，动点Q从点C 出发以每秒2个单位的速度沿CB向点B运动，P，Q同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止，连接PQ，DQ．设点P运动时间为x秒，请求出当x为何P D A值时，△PDQ ≌△CQD ．3. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC =10 cm ，BC =8 cm ，点D 为AB 的中点．点P 在线段BC 上以每秒3 cm 的速度由点B 向点C 运动，同时点Q 在线段CA 上由点C 向点A 运动．设点P 运动时间为t 秒，若某一时刻△BPD 与△CQP 全等，求此时t 的值及点Q 的运动速度．D CBA4.已知：如图，正方形ABCD的边长为10 cm，点E在边AB上，且AE=4 cm，点P在线段BC上以每秒2 cm的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CD上由点C向点D运动．设点P运动时间为t秒，若某一时刻△BPE与△CQP 全等，求此时t的值及点Q的运动速度．5. 已知：如图，在长方形ABCD 中，AB =DC =4，AD =BC =5．延长BC 到E ，使CE =2，连接DE ．动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC -CD -DA 向终点A 运动，设点P 运动时间为t 秒． （1）请用含t 的式子表达△ABP 的面积S ．（2）是否存在某个t 值，使得△DCP 和△DCE 全等？若存在，请求出所有满足条件的t 值；若不存在，请说明理由．DA6. 已知：如图，在长方形ABCD 中，AB =CD =3 cm ，AD =BC =5 cm ，动点P 从点B 出发，以每秒1 cm 的速度沿BC 方向向点C 运动，动点Q 从点C 出发，以每秒2 cm 的速度沿CD -DA -AB 向点B 运动，P ，Q 同时出发，当点P 停止运动时，点Q 也随之停止，设点P 运动时间为t 秒．请回答下列问题：（1）请用含t 的式子表达△CPQ 的面积S ，并直接写出t 的取值范围．（2）是否存在某个t 值，使得△ABP 和△CDQ 全等？若存在，请求出所有满足条件的t 值；若不存在，请说明理由．DA【参考答案】➢课前预习（1）2t，t（2）4s➢知识点睛速度已知1．研究背景图形，标注；2．分析运动过程，分段；3．表达线段长，建等式．➢精讲精练1.解：（1）当t=1.5时，△ABP≌△CDE．理由如下：如图，由题意得BP=2t∴当t=1.5时，BP=3∵AE=7，AD=10∴DE=3∴BP=DE在矩形ABCD 中 AB =CD ，∠B =∠CDE 在△ABP 和△CDE 中AB CD B CDE BP DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABP ≌△CDE （SAS ） （2）如图，由题意得BP =2t ∵BC =10 ∴CP =10-2t若使△DCP ≌△CDE ，则需CP =DE即10-2t =3，t =72∴当t =72时，△DCP ≌△CDE ．2. 解：如图，由题意得AP =x ，CQ =2x∵AD =12 ∴DP =12-x要使△PDQ ≌△CQD ，则需DP =QC 即12-x =2x ，x =4∴当x =4时，△PDQ ≌△CQD ．3. 解：如图，由题意得BP =3t∵BC =8 ∴PC =8-3t∵AB =10，D 为AB 中点 ∴BD =12AB =5 ①要使△BDP ≌△CPQ ， 则需BD =CP ，BP =CQ 即5=8-3t ，t =1 ∴CQ =3t =3则Q 的速度为Q v =s t =31=3（cm/s ）即当t =1，Q 的速度为每秒3cm 时，△BDP ≌△CPQ ．②要使△BDP ≌△CQP ，则需BP =CP ，BD =CQ 即3t =8-3t ，CQ =5∴t =43则Q 的速度为Q v =s t =5×34=154（cm/s ）即当t =43，Q 的速度为每秒154cm 时，△BDP ≌△CQP ．综上所述，当t =1，Q 的速度为每秒3cm 或t =43，Q 的速度为每秒154cm 时，△BPD 与△CQP 全等．4. 解：如图，由题意得BP =2t∵正方形ABCD 的边长为10cm ∴AB =BC =10 ∴PC =10-2t ∵AE =4 ∴BE =10-4 =6①要使△BEP ≌△CPQ ， 则需EB =PC ，BP =CQ 即6=10-2t ，CQ =2t ∴t =2，CQ =4则点Q 的速度为Q v =s t =42=2（cm/s ）即当t =2，Q 的速度为每秒2cm 时，△BEP ≌△CPQ ． ②要使△BEP ≌△CQP ， 则需BP =CP ，BE =CQ 即2t =10-2t ，CQ =6∴t =52则点Q 的速度为Q v =st=6×25=125（cm/s ） 即当t =52，Q 的速度为每秒125cm 时，△BEP ≌△CQP ．综上所述，当t =2，Q 的速度为每秒2cm 或t =52，Q 的速度为每秒125cm 时，△BEP 与△CQP 全等．5. 解：（1）①当P 在BC 上时，如图，由题意得BP =2t （0<t ≤2.5）1214224ABP S AB BP t t∆=⋅=⨯⨯=∴②当P 在CD 上时，（2.5<t ≤4.5）12145210ABP S AB BC∆=⋅=⨯⨯=∴ ③当P 在AD 上时，由题意得AP =14-2t （4.5<t <7）12141422284ABP S AB APt t ∆=⋅=⨯⨯=∴--（） （2）①当P 在BC 上时， 如图，由题意得BP =2t要使△DCP ≌△DCE ，则需CP =CE ∵CE =2 ∴5-2t =2，t =1.5即当t =1.5时，△DCP ≌△DCE②当P 在CD 上时，不存在t 使△DCP 和△DCE 全等 ③当P 在AD 上时，由题意得BC +CD +DP =2t ∵BC =5，CD =4， ∴DP =2t -9要使△DCP ≌△CDE ，则需DP =CE 即2t -9=2，t =5.5即当t =5.5时，△DCP ≌△CDE ．综上所述，当t =1.5或t =5.5时，△DCP 和△DCE 全等．6. 解：（1）①当Q 在CD 上时，如图，由题意得CQ =2t ，BP=t ∴CP=5-t （0<t ≤1.5）2121(5)22 5CPQ S CP CQt t t t ∆=⋅=-⋅=-∴11 ②当Q 在DA 上时，（1.5<t ≤4）121(5)327.5 1.5CPQ S CP CDt t∆=⋅=⨯=∴--③当Q 在AB 上时，由题意得BQ =11-2t （4<t <5） 2121(5)(112)2215522CPQ S CP BQt t t t ∆=⋅=-⨯-=-+∴（2）①当Q 在CD 上时，不存在t 使△ABP 和△CDQ 全等 ②当Q 在AD 上时，如图，由题意得DQ =2t -3要使△ABP ≌△CDQ ，则需BP =DQ∵DQ =2t -3，BP =t∴t =2t -3，t =3即当t =3时，△ABP ≌△CDQ ．③当Q 在AB 上时，不存在t 使△ABP 和△CDQ 全等 综上所述，当t =3时，△ABP 和△CDQ 全等．。
专题八：一元二次方程应用类型中的动点问题(有答案)
专题八：一元二次方程应用类型中的动点问题（有答案）➢知识指引所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类问题．解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题．解题时要注意动点的起始位置和终止位置、运动方向，有时还要关注动点的运动速度，注意在运动过程中寻找等量关系．动点问题思路剖析问题1：动点问题的处理框架是什么？答：读题标注，整合信息（即明确所研究的背景图形）问题2：分析运动过程需要关注四要素是什么？答：①起点、终点、速度：标注到图形中，以示说明②时间范围根据路程、时间和速度的公式s=vt，已知动点的速度，结合基本图形中线段长的研究，可以确定动点的运动时间③状态转折状态转折即点的运协发生变化的时刻，常体现在动点的运动方向，运动速度发生了改变④目标或结论导向根据题意作出图形，有序操作（分段作图并求解）问题3：在分析几何特征，表达时，常见表达线段长的方式有哪些？答：①路程即线段长，可根据s=vt直接进行表达已走路程或未走路程②根据研究几何特征的需求进行表达，即要利用动点的运动情况，又要结合背景图形信息➢知识点睛由点的运动产生的几何问题称为动点问题．动点问题的解决方法：1.研究背景图形并标注；；2.分析运动过程，并适时分段；3.表达线段长，建等式和方程．➢典型例题【例1】如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=9，BC=12，点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．如果P．Q分别从A．B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问：（1）填空：BQ= ，PB= （用含t的代数式表示）（2）经过几秒，PQ的长为6√2cm？（3）经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2？【解答】（1）根据题意得：BQ=2t，PB=9-t．故答案为：2t；9-t．（2）根据题意得：（9-t）2+（2t）2=72，，t2=3，解得：t1=35秒或3秒，PQ的长为6√2cm．∴经过35×（9-t）×2t=8，（3）根据题意得：12解得：t1=8，t2=1．∵0≤t≤6，∴t=1．答：经过1秒，△PBQ的面积等于8cm2．【例2】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC ，∠C=90°， BC=16，DC=12 ，AD=21 ，动点P从点D出发，沿线段 DA的方向以每秒2个单位长的速度运动；动点Q从点 C出发，在线段 CB 上以每秒1个单位长的速度向点B运动；点P，Q 分别从点D，C同时出发，当点P运动到点 A 时，点Q随之停止运动，设运动的时间为t秒）.（1）当t=2时，求△BPQ的面积；（2）若四边形ABQP为平行四边形，求运动时间t.（3）当t为何值时，以 B，P，Q为顶点的三角形是等腰三角形？备用图【解答】（1）如图，过点P 作PM ⊥BC 于M ，则四边形PDCM 为矩形，∴PM=DC=12．∵QB=16－t ，当t=2时，则BQ=14，则S=12QB ⋅PM =12×14×12=84；（2）当四边形ABQP 是平行四边形时，AP=BQ,即21－2t=16－t ．解得t=5． ∴当t=5时，四边形ABQP 是平行四边形.（3）由图可知，CM=PD=2t ，CQ=t ，若以B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形，可以分为以下三种情况：①若PQ=BQ ，在Rt △PMQ 中，PQ 2=t 2+122，由PQ 2= BQ 2， 得t 2+ 122= (16-t)2 解得t=72；②若BP=BQ ，在Rt △PMB 中，PB 2=(16-2t)2+122，由PB 2= BQ 2得(16-2t)2+ 122= (16-t)2，即3t 2+-32t+144= 0．此时，Δ= (-32)2 －4×3×144= －704＜0, 所以此方程无解，所以PB ≠BQ ；③若PB=PA ，由PB 2= PQ 2,得t 2+ 122= (16-2t)2 + 122 , 解得t 1=163,t 2=16，（不合题意，舍去）；综上所述，当t=72或163时，以B ，P ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形.➢ 跟踪训练1．如图，在△ABC 中，AC=50cm ，BC=40 cm ，∠C =90°，点P 从点A 开始沿AC 边向点C 以每秒2 cm 的速度匀速移动，同时另一点Q 由C 点开始以每秒3 cm 的速度沿着射线CB 匀速移动，当△PCQ 的面积等于300 cm 2运动时间为（ ）．A. 5秒B. 20秒C. 5秒或20秒D. 不确定【解答】由题意，得AP=2t ，CQ=3t ，∴PC=50-2t ，∴12•PC•CQ=300，∴12•（50-2t ）•3t=300，解得t=20或5，∴t=20s 或5s 时，△PCQ 的面积为300m 2．故选：C ．2．如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=6cm ，BC=8cm ．点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动．若P 、Q 两点同时出发，当点P 运动到点B 时，P ，Q 两点同时停止运动，当三角形PQB 的面积是三角形ABC 的面积的三分之一时，所需时间为（ ）A ．4 sB ．2 sC ．2或4sD ．3或4s【解答】设经过x 秒，三角形PQB 的面积是三角形ABC 的面积的三分之一．∵P 、Q 移动t 秒时，AP=t ，BQ=2t ，则PB=AB-AP=6-t ，∴S △P B Q =13，由S △A B C =12AB•BC=12×6×8=24，当S △P B Q =13S △A B C 时，则12•2t（6-t ）=13×24，整理，得t 2-6t+8=0，解得t 1=2，t 2=4，即当t=2或4时，△PBQ 的面积等于△ABC 的面积的三分之一． 故选：C ．3．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝BC ＝12 cm ，点D 从点A 开始沿边AB 以2 cm/s 的速度向点B 移动，移动过程中始终保持四边形DFCE (点E ，F 分别在AC ，BC 上)为平行四边形，则出发________s 时，四边形DFCE 的面积为20 cm 2.【解答】设点D从点A出发x s时，四边形DFCE的面积为20 cm2.由题意，得12×12×12−4x22−(12−2x)22＝20，解得x1＝1，x2＝5，故答案为：1或5.4.某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B，以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程l（cm）与时间t（s）满足关系l=t2+3t（t≥0），乙以8cm/s的速度匀速运动，半圆的长度为42cm．（1）甲运动4s后的路程是多少？（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间？（3）甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少时间？【解答】（1）当t=4s 时，l=t2+3t=16+12=28（cm）．答：甲运动4s后的路程是28cm．（2）由图可知，甲乙第一次相遇时走过的路程为半圆21cm，甲走过的路程为t2+3t，乙走过的路程为4t，则t2+3t+8t=42，解得：t1=3，t2=-14（不合题意，舍去）．答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了3s．（3）由图可知，甲乙第一次相遇时走过的路程为三个半圆3×42=126cm，则t2+3t+8t=126，解得：t=7或t=-18（不合题意，舍去）．答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了7s ．5.如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 开始以1cm/s 的速度沿AB 边向B 移动，点Q 从点B 开始以2cm/s 的速度沿BC 边向点C 移动．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，当点Q 运动到点C 时，P 、Q 两点同时停止运动． （1）是否存在某一时刻使得△PQD 的面积等于8cm 2？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．（2）几秒后，△PQD 是以DP 为斜边的直角三角形．【解答】（1）不存在，理由如下：设出发秒x 时△DPQ 的面积等于8cm 2． ∵S 矩形A B C D -S △A P D -S △B P Q -S △C D Q =S △D P Q ，∴6×12-12×12×x -12×（6-x ）•2x -12（12-2x ）×6=8，∴x 2-6x+28=0，∵∆=b 2-4ac=36-4×28=-76＜0，∴原方程无实数根，即不存在某一时刻使得△PQD 的面积等于8cm 2． （2）∵∠A=∠B=∠C=90°，∴PD 2=t 2+122，PQ 2=（6-t ）2+（2t ）2，QD 2=（12-2t ）2+62， ∵△PQD 是以DP 为斜边的直角三角形，∴PD 2=PQ 2+QD 2，即t 2+122=（6-t ）2+（2t ）2+（12-2t ）2+62， 整理得2t 2-15t+18=0，解之得t 1=6，t 2=32，即当t 为32秒或6秒时，△PQD 是以PD 为斜边的直角三角形．6.如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点B 出发沿线段BC 、CD 以2cm/s 的速度向终点D 运动；同时，点Q 从点C 出发沿线段CD 、DA 以1cm/s 的速度向终点A 运动（P 、Q 两点中，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止）．（1）运动停止后，哪一点先到终点？另一点离终点还有多远？（2）在运动过程中，△APQ 的面积能否等于22cm 2？若能，需运动多长时间？若不能，请说明理由【解答】（1）点P 从开始到运动停止用的时间为：（12+6）÷2=9s，点Q 从开始到运动停止用的时间为：（6+12）÷1=18s， ∵9＜18，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止，∴点P 先到终点，此时点Q 离终点的距离是：（6+12）-1×9=9cm， 答：点P 先到终点，此时点Q 离终点的距离是9cm ；（2）在运动过程中，△APQ 的面积能等于22cm 2，当P 从点B 运动到点C 的过程中，设点P 运动时间为as ，∵△APQ 的面积能否等于22cm 2， ∴12×6-2a×62−(12−2a)×a2−(6−a)×122=22，解得，此方程无解；当点P 从C 到D 的过程中，设点P 运动的时间为（b+6）s ，∵△APQ 的面积能否等于22cm 2， ∴12×6-(6+2b)×122−b(6−2b)2=22，解得，b 1=1，b 2=14（舍去），即需运动6+1=7s ，△APQ 的面积能等于22cm 2．7．如图，在矩形ABCD 中，AB=5cm ，BC=6cm ，点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1cm/s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2cm/s 的速度移动．如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，当点Q 运动到点C 时，两点停止运动，设运动时间为t 秒． （1）填空：BQ=__________，PB=_________；（用含t 的代数式表示） （2）当t 为何值时，PQ 的长度等于5cm ？（3）是否存在t 的值，使得五边形APQCD 的面积等于26cm 2？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．【解答】（1）∵P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，∴AP=tcm．∵AB=5cm，∴PB=（5-t）cm．∵点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动，∴BQ=2tcm；（2）由题意，得(5-t)2+(2t)2=52．解得t1=0（不合题意，舍去），t2=2．所以当t=2秒时，PQ的长度等于5cm．（3）存在，t=1秒时，能够使得五边形APQCD的面积等于26cm2．由矩形ABCD的面积是5×6=30cm2，若五边形APQCD的面积等于26cm2，则△PBG的面积为30－26=4 cm2，=4．解得t1=4（不合题意，舍去），t2=1．即（5－t）×2t×12即当t=1秒时，五边形APQCD的面积等于26cm2．8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC=6，动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动，到达点C停止运动．点Q在射线PC上，且PQ ＝2AP，以线段PQ为边向上作正方形PQNM．在运动过程中，设运动时间为t秒，(1)当N点落在BC上时，t= 秒;(2)若设正方形PQNM与△ABC重叠部分的面积为8，求t的值．备用图【解答】(1)当N 落在BC 上时，Q 点在C 处，此时CP+AP=2t+t=6,∴t=2,.故填：2（2）∵AP ＝t ，PQ ＝2AP ，∴PQ ＝2t ，①如图1，当0≤t ≤2时，S ＝（2t ）2﹣12t 2＝72t 2＝8， 解得：t 1＝47√7，t 2＝﹣47√7（不合题意，舍去），②如图2，当2≤t ≤3时，S ＝12×6×6﹣12t 2﹣12（6﹣2t ）2＝12t ﹣25t 2＝8， 解得：t 1＝4（不合题意，舍去），t 2＝45（不合题意，舍去）， ③如图3，当3≤t ≤6时，S ＝12×6×6﹣12t 2＝8，解得：t 1＝2√5，t 2＝﹣2√5（不合题意，舍去）， 综上，t 的值为47√7或2√5时，重叠面积为8．9.等腰△ABC 的直角边AB=BC=10cm ，点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P 沿射线AB 运动，Q 沿边BC 的延长线运动，PQ 与直线AC 相交于点D ．设P 点运动时间为t ，△PCQ 的面积为S ． （1）当点P 运动几秒时，S △PCQ =S △ABC ？（2）作PE ⊥AC 于点E ，当点P 、Q 运动时，线段DE 的长度是否改变？证明你的结论．【解答】（1）由S △ABC =12AB •BC ＝12×10×10=50.当t ＜10秒时，P 在线段AB 上，此时CQ=t ，PB=10-t. ∴S △PCQ ＝12×t×(10−t)＝12 (10t −t 2) ＝50.整理得t 2-10t+100=0无解.当t ＞10秒时，P 在线段AB 得延长线上，此时CQ=t ，PB=t-10. ∴S △PCQ ＝12×t×(t −10)＝12(t 2−10t) ＝50.整理得t 2-10t-100=0解得t=5±5√5（舍去负值）. ∴当点P 运动5+5√5秒时，S △PCQ =S △ABC .（2）当点P,Q 运动时，线段DE 的长度不会改变． 证明：过Q 作QM ⊥AC ，交直线AC 于点M 易证△APE ≌△QCM ，∴AE=PE=CM=QM=√22t ，∴四边形PEQM 是平行四边形，且DE 是对角线EM 的一半． 又∵EM=AC=10√2，∴DE=5√2.∴当点P 、Q 运动时，线段DE 的长度不会改变． 同理，当点P 在点B 右侧时，DE=5√2。
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2. 如图，在△ABC 中，∠B=∠C，AB=8，BC=6，点 D 为 AB 的中点，点 P 在线段 BC 上以每秒 2 个单 位的速度由点 B 向点 C 运动，同时点 Q 在线段 CA 上以每秒 a 个单位的速度由点 C 向点 A 运动， 设运动时间为 t（单位：秒）（0≤t≤3）.
（1）用含 t 的代数式表示线段 PC 的长；解Βιβλιοθήκη （1）PC＝BC-BP＝6-2t.
（2）若点 P，Q 的运动速度不相等，当△BPD 与 △CQP 全等时，求 a 的值.
（2）∵点P，Q的运动速度不相等， ∴BP≠CQ． ∵△BPD≌△CPQ，∠B＝∠C，∴BP＝ PC，BD＝CQ.
3. 如图，在等边三角形 ABC 中，AB=AC=BC=10 厘米，DC=4 厘米.如果点 M 在线段 CB 上以 3 厘米/秒的速度由点 C 向点 B 运动，点 N 在线 段 BA 上以同样的速度由点 B 向点 A 点运动，
且它们同时出发.
（1）经过 2 秒后，△BMN 和 △CDM 是否全等？请说明
理由.
解：（1）△BMN≌△CDM．理由如下. ∵vN＝vM＝3厘米/秒，且t＝2秒， ∴CM＝2×3＝6（厘米），BN＝2×3＝6（厘米）， ∴BN＝CM. BM＝BC-CM＝10-6＝4（厘米）， ∵CD＝4厘米， ∴BM＝CD. ∵△ABC为等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°. 在△BMN和△CDM中，
4. 如图所示，在△ABC 中，AB=AC=BC=10 厘米， M，N 分别从点 A，B 同时出发，沿三角形的 边运动.已知点 M 的速度是 1 厘米/秒，点 N 的速度是 2 厘米/秒，当点 N 第一次到达点 B 时，M，N 同时停止运动.
（1）M，N 同时运动几秒后，M，N 两点重合？
解：（1）设点M，N运动x秒后，M，N两 点重合.x×1+10＝2x. 解得x＝10. 即M，N同时运动10秒后，M，N两点重合.
∴△BMN≌△CDM（SAS）．
（2）若△BMN 是一个直角三角形，则两点的运
动时间为多少？
（2）设运动时间为t秒， △BMN是直角三角形有两种情况： ①当∠NMB＝90°时.∵∠B＝60°， ∴∠BNM＝90°-∠B＝90°-60°＝30°． ∴BN＝2BM. ∴3t＝2×（10-3t）.解得t＝ . ② 当∠BNM＝90°时.∵∠B＝60°， ∴∠BMN＝90°-∠B＝90°-60°＝30°． ∴BM＝2BN. ∴10-3t＝2×3t. 解得t＝ . 综上所述，当运动时间为 秒或 秒时， △BMN是直角三角形.
专题八 动点问题
1. 如图，已知 E 为等腰三角形 ABC 的底边 BC
上一动点，过点 E 作 EF⊥BC 交直线 AB 于点 D，
交 CA 的延长线于点 F，问：
（1）∠F 与∠ADF 的关系怎样？说明理由；
解：（1）∠F＝∠ADF. 理由如下. ∵△ABC为等腰三角形， ∴AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∵EF⊥BC， ∴∠B+∠BDE＝90°，∠C+∠F＝90°. ∴∠BDE＝∠F. ∵∠ADF＝∠BDE，∴∠ADF＝∠F.
（2）M，N 同时运动几秒后，可得等边三角形
AMN？
（2）设点M，N运动t秒后， 可得到等边三角形AMN， 如图所示. AM＝t×1＝t，AN＝AB-BN＝10-2t. ∵△AMN是等边三角形， ∴t＝10-2t. 解得t＝ . ∴点M，N运动 秒后，可得到等边三角形AMN．
（2）若 E 在 BC 的延长线上，其余条件不变，
上题的结论是否成立？若不成立，说明理由；
若成立，画出图形并给予证明.
（2）成立. 证明：如图，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB. ∵∠ACB＝∠ECF，∴∠B＝∠ECF. ∵EF⊥BC， ∴∠B+∠BDE＝90°，∠ECF+∠F＝90°. ∴∠BDE＝∠F，即∠ADF＝∠F．