2020届浙江省宁波市鄞州中学高三下学期期初考试数学试题(解析版)
2020年浙江省宁波市鄞州中学第二学期测试试题含答案
A. {1,2}
B.{0,1,2}
C.{2,1,3}
D.{2,1,0,3}
2.
已知双曲线 x2 a2
y2 b2
1 (a
0,b
0) 的一条渐近线为
y
1 2
x ,则离心率为
A. 5 2
B. 5
C. 5 或 5 2
D. 3
x y 2 0 3. 已知实数 x, y 满足 x y 0 ,则 z x 2 y 的最小值为
x k ,k Z 28
f
(x)
1 2
的解集是x
x
k 2
8
,
k
Z
（Ⅱ） f ( A ) 2 6 ， sin A 3 A
28
4
2
3
a b c 2 sin A sin B sin C
1
a b c 3 2sin B 2sin C 3 2sin B 2sin( 2 B) 3
球与10 m 个白球, B 盒中有10 m 个红球与 m 个白球( 0 m 10 ),若从 A, B 盒中各取
一个球, ξ 表示所取的 2 个球中红球的个数,则当 Dξ 取到最大值时, m 的值为
A. 3
B. 5
C. 7
D. 9
8. 在 棱 长 为 2 的 正 方 体 ABCD - A1B1C1D1 中 , 点 P 是 正 方 体 棱 上 的 一 点 , 若 满 足
一项是符合题目要求的.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
A
B
C
C
B
D
A
B
二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分.
2019-2020学年浙江省宁波市鄞州中学高三(下)期初数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年浙江省宁波市鄞州中学高三（下）期初数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知全集0，1，2，，集合，，则A. B. 1，C. D. 0，2.已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为A. B. C. D. 23.已知实数x，y满足，则的最小值为A. B. C. 0 D. 24.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A. 2B.C.D. 35.已知等比数列的前n项和为，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知是定义在R上的奇函数，且的图象关于直线对称．若当时，，则A. 0B. 1C. 2D. 47.已知A，B两个不透明盒中各有形状、大小都相同的红球、白球若干个．A盒中有m 个红球与个白球，B盒中有个红球与m个白球，若从A，B盒中各取一个球，表示所取的2个球中红球的个数，则当取到最大值时，m的值为A. 3B. 5C. 7D. 98.在棱长为2的正方体中，点P是正方体棱上的一点，若满足的点P的个数大于6个，则m的取值范围是A. B. C. D.9.已知函数满足：对任意的实数x，y，都有成立，且，则A. B. C. D.10.已知数列满足，，则使得最小的整数m是A. 65B. 64C. 63D. 62二、填空题（本大题共7小题，共42.0分）11.设i为虚数单位，给定复数，则z的虚部为______；模为______．12.二项式的展开式中常数项等于______，有理项共有______项．13.已知直线l：，到当实数m变化时，原点O到直线l距离的最大值为______；平面内所有恒不在l上的点所形成的图形面积为______．14.在中，，，，D为线段BC的中点，则______，______．15.已知抛物线E：和直线l：，P是直线上l一点，过点P做抛物线的两条切线，切点分别为A，B，C是抛物线上异于A，B的任一点，抛物线在C处的切线与PA，PB分别交于M，N，则外接圆面积的最小值为______．16.已知平面向量，满足，，则的取值范围是______．17.已知m，，，函数其中表示对于，当时表达式的最大值，则的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18.已知，，令．Ⅰ求的最小正周期及的解集；Ⅱ锐角中，，边，求周长最大值．19.如图，在四棱台中，底面是正方形，且，点E，F分别为棱BC，的中点，二面角的平面角大小为．Ⅰ证明：；Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值．20.已知数列的前n项和为，且满足，．Ⅰ证明：为常数列，并求；Ⅱ令，求数列的前n项和．21.已知，分别为椭圆E：的左、右焦点，离心率为，P是椭圆上异于左右顶点的一动点，已知的内切圆半径的最大值为．Ⅰ求椭圆E的方程；Ⅱ设直线与椭圆E交于A，B两点不同于点，直线AP，BP分别与直线相交于点M，N，证明：．22.已知函数．Ⅰ讨论函数的单调性；Ⅱ若对任意的恒成立，求a的取值范围；Ⅲ证明：．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：全集0，1，2，，集合1，，，1，，则，故选：C．求出集合A，再求出，得出结论．考查集合的交并补运算，基础题．2.答案：A解析：解：双曲线的一条渐近线方程为，，，双曲线的离心率是．故选：A．利用双曲线的一条渐近线方程为，可得，即可求出双曲线的离心率．本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握双曲线的简单性质．3.答案：A解析：解：由得；作出实数x，y对应的平面区域如图：阴影部分：平移直线；由图象可知当直线，过点时，直线的截距最大，此时z最小，代入目标函数，得，目标函数的最小值是；故选：A．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．4.答案：B解析：解：如图，该几何体为三棱锥．则该几何体的体积是，故选：B．该几何体为三棱锥利用三棱锥体积公式求得几何体的体积．本题考查了三视图还原几何体，属于基础题．5.答案：C解析：解：设等比数列的公比为q，若，由，得，反之成立；若，，与同号，则．“”是“”的充要条件．故选：C．设等比数列的公比为q，分和两类分析得答案．本题考查等比数列的前n项和，考查充分必要条件的判定，是中档题．6.答案：C解析：解：根据题意，是R上的奇函数，则有，且，又由的图象关于直线对称，则有，则有，变形可得，则有，故是周期为8的周期函数；又由当时，，则，，故有；故选：C．根据题意，分析可得，则是周期为8的周期函数；结合函数的解析式求出和的值，据此计算可得答案．本题考查函数的奇偶性与周期性的应用，注意分析函数的周期性，属于基础题．7.答案：B解析：【分析】本题考查了概率计算与离散型随机变量的分布列以及离散型随机变量的数学期望与方差计算公式，考查了基本不等式，属于中档题．由题意可得：，1，，，可得分布列，可得与．【解答】解：由题意可得：，1，2．，，．分布列为：0 1 2P．．，当且仅当时取等号．故选：B．8.答案：D解析：解：分类讨论：正方体的棱长为2，，点P是正方体棱上的一点不包括棱的端点，满足，点P是以为焦距，以为长半轴，以为短半轴的椭圆，在正方体的棱上，应是椭圆与正方体与棱的交点，结合正方体的性质可知，满足条件的点应该在正方体的12条棱上各有一点满足条件．满足的点P的个数为12个．满足条件．个顶点中，除了B，两个以外的6个顶点满足，且是正方体棱上的所有点中的最大值，只有这6个顶点．因此除了以上6个顶点以外的点满足：，不难得出满足条件：的点P都满足的点P的个数大于6个，由选择支可得只能选择D．故选：D．首先说明：满足条件的点P有12个，符合题意．再说明：个顶点中，除了B，两个以外的6个顶点满足，且是正方体棱上的所有点中的最大值，只有这6个顶点．因此除了以上6个顶点以外的点满足：，不难得出满足条件：的点P都满足的点P的个数大于6个，结合选择支即可得出结论．本题考查了正方体的性质、椭圆的意义、数形结合方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．9.答案：A解析：解：因为，令可得即，令，可得，所以因为，联立可得，，又因为，所以，因为，所以，所以，故故选：A．结合已知可对x进行合理的赋值，逐步推出的值即可求解．本题主要考查了利用抽象函数求解函数值，解题的关键是进行合理的赋值．．10.答案：B解析：解：数列满足，，，，，，，，，，，，最接近的整数是64，使得最小的整数m是64．故选：B．推导出，从而，进而利用累加法求出，，再由，得到，，利用累加法求出，由此能求出使得最小的整数m．本题考查满足条件的最小正整数的求法，考查累加求和法等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．11.答案：解析：解：复数，则z的虚部为；模，故答案为：；．利用复数的运算法则、虚部的定义、模的计算公式即可得出．本题考查复数的运算法则、虚部的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.答案：15 4解析：解：二项式的展开式的通项公式为令，求得，可得展开式中常数项为，令，1，2，3，4，5，6；可得，，0，，，，；所以其有理项有4项．故答案为：15，4．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．再把r的所有取值分别代入幂指数即可求出其有理项的个数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题13.答案：解析：解：O到直线的距离，转化为：，不在直线上的点可得关于m的方程无解，所以，即，即不在直线上的点在以为圆心，以为半径的圆上，所以圆的面积为，故答案为：，．由点到直线的距离公式求出，再由均值不等式求出最大值，方程转化不在直线上的点可得关于m的二次方程无解，可得曲线方程，进而求出面积．本题考查了点到直线的距离公式，考查了计算能力，属于基础题．14.答案：2解析：解：如图所示，在中，设，则，令，在，中，分别利用余弦定理可得：，，相加可得：．代入可得：，解得．，，，故答案为：2，．如图所示，设，则在，中，分别利用余弦定理相加可得：代入可得由，可得即可得出．本题考查了余弦定理勾股定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.答案：解析：解：由抛物线的光学性质可知，P，M，F，N四点共圆，则当点P确定时，选择恰当的C，面积最小值即为以为直径的圆，而的最小值即为焦点F到直线l的距离，即此时外接圆的半径为，此时的面积为，即外接圆面积的最小值为．故答案为：．由抛物线的光学性质可知，P，M，F，N四点共圆，则面积最小值为以为直径的圆，而的最小值即为焦点F到直线l的距离，由此即可得解．本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线性质的运用，考查运算求解能力，属于较难题目．16.答案：解析：解：不妨设，则，又，，化简整理得，则表示椭圆上的动点到定点椭圆的左焦点的距离，由椭圆性质可知，的最大值为，最小值为，．故答案为：．不妨设，由题意化简可得，则表示椭圆上的动点到定点椭圆的左焦点的距离，由椭圆性质即可得解．本题考查平面向量模长范围的求解，涉及了平面向量的坐标运算以及椭圆的简单几何性质，解题的关键是将纯平面向量问题坐标化，进而通过几何意义得解，考查化归与转化思想，属于中档题．17.答案：解析：解：不妨令，的最大值为，则，，，当且仅当时取等号，，即的最小值为．故答案为：．设，的最大值为，由题意可得，两式相加后利用不等式即可求得，进而得解．本题考查二次函数的性质以及基本不等式的运用，考查运算求解能力，属于中档题．18.答案：解：Ⅰ，，，，，，的解集是．Ⅱ，，，，，锐角三角形且角，，当时，最大为，周长最大值为．解析：Ⅰ先根据数量积以及三角函数的有关知识整理解析式，进而求解结论即可．Ⅱ先根据条件求出角A，根据正弦定理表示出周长，结合角的范围即可求解．本题考查了数量积运算性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.答案：解：Ⅰ证明：如图所示，延长，，，，EF交于点P，由题意得，取AD中点M，连接PM，EM，则，，又，所以平面PME，又平面PME，所以；Ⅱ连接AC交ME于O点，连接，则且，所以直线与平面所成角和直线与平面所成角相等，由Ⅰ得平面PME，又，所以平面PME，又平面，所以平面平面PME，又平面平面，过O作，连接，则平面，则是直线与平面所成角．由Ⅰ得是二面角的平面角，所以，在中，，，即，计算得，在直角中，，所以直线与平面所成角的正弦值为．解析：Ⅰ延长，，，，EF交于点P，取AD中点M，连接PM，EM，运用线面垂直的判定和性质，即可得证；Ⅱ连接AC交ME于O点，连接，运用中位线定理和线面角的定义可得直线与平面所成角和直线与平面所成角相等，由面面垂直的性质定理过O作，连接，是直线与平面所成角．由Ⅰ得是二面角的平面角，由解三角形的知识可得OH，再由直角三角形的正弦函数的定义可得所求值．本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，主要是平行和垂直的判定和性质，考查空间的二面角和线面角的求法，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题．20.答案：Ⅰ证明：因为，当时，，得，，即，同除得，，整理得，所以为常数列．因为，所以，则，所以．Ⅱ解：由Ⅰ得，所以，则．当，时，，当，时，，综上，．解析：Ⅰ由，当时，相减化简可得：，所以为常数列．即可得出．Ⅱ由Ⅰ得，可得，通过分类讨论求和即可得出．本题考查了数列递推关系、等比数列的求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.答案：解：Ⅰ由题意知：，，，，设的内切圆半径为r，则，故当面积最大时，r最大，即P点位于椭圆短轴顶点时，所以，把，代入，解得：，，所以椭圆方程为；Ⅱ设，，，则，，，令得，从而，同理，．解析：Ⅰ先求出，，又当面积最大时，r最大，即P点位于椭圆短轴顶点时，代入计算可得a，b，c的值，从而求出椭圆E的方程；Ⅱ先分别表达出点M，N的坐标，代入化简即可得到．本题主要考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系，是中档题．22.答案：解：函数的定义域为，．Ⅰ当时，，所以在上单调递增；当时，令，则，此时单调递增；令，则，此时单调递减；综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增；在上单调递减．Ⅱ当时，，故不合题意；当时，由Ⅰ知，解得，故a的取值范围为．Ⅲ证明：由Ⅱ知，取，有不等式成立．当时，得，所以．解析：Ⅰ函数的定义域为，，然后分和两个类别，讨论的正负性，从而确定函数的单调性；Ⅱ先将函数的恒成立问题转化为函数的最值问题，然后结合Ⅰ中函数的单调性，求出函数的最大值，列出关于a的不等式，解之即可得解；Ⅲ在Ⅱ的基础上，取，有不等式成立，再取，则，然后结合放缩法和等差数列的前n项和公式进行证明即可．本题考查导数的综合应用，涉及利用导数求含参函数的单调性和最值、函数的恒成立问题，以及放缩法证明不等式、等差数列的前n项和公式等问题，考查学生转化与回归的能力和运算能力，属于难题．。
高常考题—函数的性质(含解析)
函数的性质一、题型选讲题型一 、 函数的奇偶性正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式.奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也成立.利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性.填空题，可用特殊值法解答，但取特值时，要注意函数的定义域．例1、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）函数()y f x =是R 上的奇函数，当0x <时，()2xf x =，则当0x >时，()f x =（ ） A ．2x - B ．2x - C ．2x --D ．2x例2、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知定义在[]5,12m m --上的奇函数()f x ，满足0x >时，()21x f x =-，则()f m 的值为（ ）A ．-15B ．-7C ．3D ．15例3、（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）若函数()2ln 1f x a x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是奇函数，则使()1f x <的x 的取值范围为（ ） A ．11,1e e -⎛⎫- ⎪+⎝⎭B ．10,1e e -⎛⎫⎪+⎝⎭C ．1,11e e -⎛⎫⎪+⎝⎭D ．11,(1,)1e e -⎛⎫-⋃+∞ ⎪+⎝⎭例4、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设函数()()321f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x =题型二、函数的单调性已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：①若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.对于复合函数y ＝f [g (x )]，若t ＝g (x )在区间(a ，b )上是单调函数，且y ＝f (t )在区间(g (a )，g (b ))或者(g (b )，g (a ))上是单调函数，若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相同(同时为增或减)，则y ＝f [g (x )]为增函数；若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相反，则y ＝f [g (x )]为减函数.简称：同增异减.例5、（江苏省如皋市2019-2020学年高三上学期10月调研）已知函数22,1()1,1ax x x f x ax x ⎧+≤=⎨-+>⎩在R 上为单调増函数，则实数a 的取值范围为________．例6、函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间是例7、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当12x x ≠时，有1212[()()]()0f x f x x x --<恒成立，若(31)(2)0f x f ++>，则x 的取值范围是________．题型三、 函数的周期性1、若()f x 是一个周期函数，则()()f x T f x +=，那么()()()2f x T f x T f x +=+=，即2T 也是()f x 的一个周期，进而可得：()kT k Z ∈也是()f x 的一个周期2、函数周期性的判定：（1）()()f x a f x b +=+：可得()f x 为周期函数，其周期T b a =- （2）()()()f x a f x f x +=-⇒的周期2T a = （3）()()()1f x a f x f x +=⇒的周期2T a = （4）()()f x f x a k ++=（k 为常数）()f x ⇒的周期2T a = （5）()()f x f x a k ⋅+=（k 为常数）()f x ⇒的周期2T a =例8、(2019通州、海门、启东期末）已知函数f(x)的周期为4，且当x ∈(0，4]时，f(x)＝⎩⎨⎧cos πx 2，0<x≤2，log 2⎝⎛⎭⎫x －32，2<x≤4.则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12的值为________．例9、(2017南京三模）已知函数f (x )是定义在R 上且周期为4的偶函数． 当x ∈[2，4]时，f (x )＝|log 4(x －32)|，则f (12)的值为 ▲ ．题型四 函数的对称性函数的对称性要注意一下三点：（1）()()f a x f a x -=+⇔()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数）（2）()()()f a x f b x f x -=+⇔关于2a bx +=轴对称 （3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称。
2020届 浙江省 宁波市 十校高三下学期 3月联考数学试题(解析版)
2020届浙江省宁波市十校高三下学期3月联考数学试题一、单选题1．已知{|11}P x x =-<<，{|02}Q x x =<<，则P Q =I （ ）A ．(1,2)-B ．(0,1)C ．(1,0)-D ．(1,2)【答案】B【解析】直接根据交集的定义计算P Q I 即可得到答案.【详解】因为{|11}P x x =-<<，{|02}Q x x =<<，所以{|01}P Q x x =<<I .故选：B.【点睛】本题考查集合的交运算，考查基本运算求解能力，属于容易题.2．双曲线22194x y -=离心率是（ ）A ．133B ．53C ．23D ．59【答案】A【解析】由标准方程求出c 和a ，继而可求离心率.【详解】解：2229413c a b =+=+=，所以13c =. 由29a = 可知3a =.13c e a ∴==. 故选:A.【点睛】本题考查了双曲线的标准方程，考查了离心率的求解.3．若x y ，满足约束条件0262x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则3z x y =+的最小值是（ ）A ．4-B ．2-C ．2D ．4【答案】B【解析】由约束条件画出可行域，通过平移13y x =-分析即可得最优解，代回3z x y =+中即可求出最小值.【详解】解：画出可行域为如图所示的阴影部分.由3z x y =+可知1133y x z =-+.则当1133y x z =-+过()4,2C -时，min 462z =-=-.故选:B.【点睛】本题考查了线性规划.一般情况下，首先画出可行域，然后根据目标函数的几何意义，分析出最优解.这里在画可行域时应注意，边界线是实线还是虚线.4．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）A ．343cm B ．32cmC ．383cmD ．34cm【答案】C【解析】由三视图还原出几何体，依据锥体体积的公式即可求解.【详解】解：由三视图可知，该几何体为底面是正方形的四棱锥，高为2.所以体积为3118222333V Sh cm ==⨯⨯⨯=. 故选:C.【点睛】本题考查了几何体体积的求解，考查了三视图.5．函数()()22x b af x -=的图像如图所示，则（ ）A ．0,01a b ><<B ．0,10.4a b >-<≤C ．0,10a b <-<<D ．0,01a b <<≤【答案】D【解析】由解析式及图像判断出01b <≤，结合复合函数单调性，可知0a <.【详解】解：由()()22x b af x -=可知，()()22x af x b f b x +=-= ，所以函数对称轴为x b =，由图可知01b <≤.设()2x b u a-=，则()2uf u =.由图可知，函数先增后减.因为()2uf u =单调递增，所以()2x b u a-=应先增后减，故0a <.故选:D.【点睛】本题考查了函数的图像，考查了复合函数的单调性.若()()f x a f b x +=-，则该函数的对称轴为2a bx +=；对于复合函数的单调性，遵循同增异减的原则.6．设a R ∈，则“2a =-”关于x 的方程“20x x a ++=有实数根”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】以2a =-为条件，判断20x x a ++=有实数根是否成立；以20x x a ++=有实数根为条件，判断2a =-是否成立，即可选出正确答案.【详解】解：当2a =-时，1490a ∆=-=> ，此时20x x a ++=有实数根；当20x x a ++=有实数根时，140a ∆=-≥，即14a ≤. 故选:A.【点睛】本题考查了命题的充分必要条件的判断.一般此类问题分为两步，若p q ⇒，则p 是q 的充分条件；若q p ⇒，则p 是q 的必要条件.7．正方体1111ABCD A B C D -，P 是线段1BD （不含端点）上的点.记直线PC 与直线AB 所成角为α，直线PC 与平面ABC 所成角为β，二面角PBC A -的平面角为γ，则（ ）A ．βγα<<B ．αβγ<<C ．γβα<<D ．γαβ<<【答案】A【解析】不妨设P 为1A C 的中点，连接,AC BD 交于O ，做BC 的中点为K ，连接,,,,PO PK PC PD KO ,经过分析,,PCD PKO PCO αγβ=∠=∠=∠，从而可求出tan ,tan ,tan αβγ，进而可比较三个角的大小.【详解】解：如图，不妨设P 为1A C 的中点，连接,AC BD 交于O ，做BC 的中点为K ， 连接,,,,PO PK PC PD KO ，则PO ⊥面ABCD .设正方体的边长为2a . 由题意知,,PCD PKO PCO αγβ=∠=∠=∠.KO PO a ==，2CO a =3PC CD a ==，则tan 1a a γ==；2223cos 232a aα==⋅⋅ 则tan 2α=； 2tan 22PO CO aβ===.因为tan tan tan βγα<<，所以βγα<<. 故选:A.【点睛】本题考查了线线角，考查了线面角，考查了二面角.对于空间中角的问题，在求解时有两种思路，一是按定义直接找到所求角，结合正弦定理、余弦定理、三角函数等求解；二是结合空间向量求解.8．已知随机变量的分布列如下102a ⎛<<⎫ ⎪⎝⎭：ξ1 2Pb a - ba则（ ）A ．()E ξ有最小值12B ．()E ξ有最大值32C ．()D ξ有最小值0 D ．()D ξ有最大值12【答案】D【解析】由所有概率之和为1求出12b =,进而可求()122E a ξ=+，()211442D a ξ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=，结合102a <<，可求最值. 【详解】解：由题意知，21b a b a b -++==，即12b =.则()()113022,222b a b a a E ξ⎛⎫=⋅-++=+∈ ⎪⎝⎭，所以()E ξ没有最值. ()()222111021222222a b a a D b a a ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+--+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22111424442a a a ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭.由102a <<可知，当14a =时，()D ξ有最大值为12. 故选:D.【点睛】本题考查了分布列，考查了数学期望，考查了方差.对于分布列的题目，隐藏条件为，所有概率之和为1.本题的难点是计算化简.9．从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，这样的四位数一共有（ ）个.A ．576B ．1296C ．1632D ．2020【答案】B【解析】分成两种情况：取出数字中无0和取出数字中有0.第一种情况全排列即可；第二种情况下，千位有3种可能，再乘对剩余数字的全排列.两种情况的结果相加即可.【详解】解：当取出的4个数字中没0时，再组成四位数，这样的四位数有224444864C C A ⋅⋅=个；当取出的4个数字中有0时，共有214424C C ⋅=中组合，这四位数字所组成的四位数有223318A ⨯⨯=个，所以这种情况下的四位数共有2418432⨯=个.4328641296+=故选:B.【点睛】本题考查了排列与组合的综合应用.本题的易错点是忽略这个四位数，千位不能为零.10．数列{}n a 满足21121,n n n a a a a n N ++==-+∈，，则（ ）A ．存在k N +∈，使1122k k k a --<<B ．存在m ，k N +∈，m k a ka =C ．存在m ，,m k k N a ma +∈=D ．121111na a a ++⋅⋅⋅+< 【答案】D【解析】由数列单调性的定义作差可得10n n a a +->，可得{}n a 为递增数列，又()2111n n n n n a a a a a +=--=-，两边取到数，结合裂项求和以及不等式的性质可选出正确选项.【详解】解：由题意知， ()221211n n n n n a a a a a +-=-+=-.由于120a => ，所以()210n a ->，则10n n a a +->，所以{}n a 为递增数列. 211n n n a a a +=-+Q ，()2111n n n n n a a a a a +∴-=-=-，()11111111n n n n n a a a a a +∴==----.即111111n n n a a a +=---，则12122311111111111111 (11111111)n n n n a a a a a a a a a a a +++++=-+-++-=---------1111n a +=--.由{}n a 为递增数列，可得1101n a +>-，则11111n a +-<-. 即121111na a a ++⋅⋅⋅+<故选:D.【点睛】本题考查了数列递推式的应用，考查数列的单调性，考查了裂项求和，考查了化简运算能力和推理能力.本题的难点是对递推公式进行处理.二、填空题11．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数域，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数字中的天桥”根据欧拉公式可知，2020i e π=___________【答案】1【解析】由已知可知2020cos2020sin2020i e i πππ=+，运用诱导公式可求出cos20201π=，以及sin20200π=，继而可求2020i e π.【详解】解：由题意知，2020cos2020sin2020i e i πππ=+，()cos2020cos 021010cos01ππ=+⋅==，同理，sin2020sin00π==.故2020cos2020sin20201i e i πππ=+=.故答案为:1.【点睛】本题考查了诱导公式，考查了三角函数求值，考查了推理能力和计算能力. 12．()()421x x ++的展开式中项3x 的系数为___________【答案】14【解析】由二项式定理写出()()421x x ++的通向，求出通项中3x ，即可求系数.【详解】解：()41+x 展开式中的第1k + 项为414kkk T C x-+=，则()()54444221k k k k x C x x x C --=+++当2k =时，246C =；当1k =时，1428C =，8614+=.故答案为：14.【点睛】本题考查了二项式定理.做题关键是掌握二项展开式通项公式.13．设向量()()1122,,,a x y b x y ==r r ，记1212*a b x x y y =-r r ，若圆22:240C x y x y +-+=上的任意三点123A A A ，，，且1223A A A A ⊥，则1223**OA OA OA OA +u u u r u u u u r u u u u r u u u u r的最大值是___________【答案】16【解析】设()()()111222333,,,,,A x y A x y A x y ,根据条件得13131,222x x y y ++==-,则 ()()122321321322**24OA OA OA OA x x x y y y x y +=+-+=+u u u v u u u u v u u u u v u u u u v,所以当直线240x y b ++= 与圆相切时,24x y + 有最大值,利用圆与直线的位置关系可求出最大值.【详解】解：由圆的方程得()()22125x y -++=，则圆心()1,2C -，半径5r =.设()()()111222333,,,,,A x y A x y A x y ，由1223AA A A ⊥得13A A 为直径， 由此可得13131,222x x y y ++==-，即13132,4x x y y +=+=-. 则()()122321321322**24OA OA OA OA x x x y y y x y +=+-+=+u u u v u u u u v u u u u v u u u u v，2A 为圆上的一点，当直线240x y b ++=与圆相切时，24x y + 有最大值.则圆心到直线的距离28520b d -+==，解得16b =或4-.则当16b =时，24x y + 有最大值为16.故答案为:16.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查平面向量的运算，考查转化的思想.本题的难点在于将24x y +的最值问题转化为直线与圆相切的问题.三、双空题14．在四边形ABCD 中，12,34AB BC CD AD ====，，，且120ABC ∠=︒，则AC =___________，cos BCD ∠=___________7 2114-【解析】利用余弦定理求出AC 的值，利用勾股定理逆定理判断90ACD ∠=o ，由正弦定理和诱导公式即可求出cos BCD ∠的值.【详解】解：在ABC ∆中，由余弦定理可知2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠即21422cos1207AC =+-⨯⨯=o ，7AC ∴=又2227916AC CD AD +=+==，所以90ACD ∠=o.由sin sin AB AC ACB B =∠∠，可知21sin 147ACB ∠==o . ()21cos cos 90sin BCD ACB ACB ∴∠=∠+=-∠=o 故答案为:7;21. 【点睛】本题考查了余弦定理，考查了正弦定理，考查了诱导公式.本题的关键是判断90ACD ∠=o .在解三角形时，已知两边及其夹角或已知三边，一般套用余弦定理求解；已知两角及一角的对边，常用正弦定理解三角形.15．已知直线()():10l y k x k =+≠，椭圆22:143x yC +=，点()1,0F ，若直线和椭圆有两个不同交点A B ，，则ABF V 周长是___________，ABF V 的重心纵坐标的最大值是___________【答案】83【解析】由椭圆的定义可求出三角形的周长为224a a a +=；设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线与椭圆的方程，消去y ，即可求出122643ky y k +=+，进而可知重心纵坐标为1202334y y y k k+==+，分0,0k k >< 两种情况，结合基本不等式，即可求出033y ⎡⎫⎛∈⋃⎪ ⎢⎣⎭⎝⎦，从而可求出重心纵坐标的最大值.【详解】解：由题意知，可知()():10l y k x k =+≠恒过定点()1,0-，此点为椭圆的左焦点，记为'F .则'24,'24AF AF a BF BF a +==+==.所以ABF ∆的周长为''448AB AF BF AF AF BF BF ++=+++=+=.设()()1122,,,A x y B x y设ABF V 的重心纵坐标为0y .则12120033y y y y y +++== .联立直线与椭圆方程得 ()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得2236490y y k k ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭.则222363136414410k k k ⎛⎫⎛⎫∆=++=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1222663434k ky y k k+==++ 所以12022233434y y k y k k k+===++.当0k > 时，3424343k k+≥⨯=，当且仅当34k k =，即3k = 时，等号成立，此时03643y ≤=； 当k 0<时，()333442443k k k k k k ⎛⎫⎛⎫+=---≤--⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当34k k-=-，即3k =时，等号成立，此时0343y ≥=. 综上所述：033y ⎡⎫⎛∈⋃⎪ ⎢⎣⎭⎝⎦.所以ABF V 的重心纵坐标的最大值是36. 故答案为: 83【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了基本不等式.对于椭圆中的三角形问题，常结合椭圆的定义、性质以及解三角形的思路求解.本题的易错点是求出重心纵坐标的表达式时，未对k 进行讨论.应用基本不等式时，一定要注意一正二定三相等.16．()121f x x x =--+的值域为___________；若函数()()g x f x a =-的两个不同零点12,x x ，满足12210x x ≤-≤，则实数a 的取值范围是___________【答案】(],2-∞ 15,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】将函数化为分段函数的形式，作出图像，即可求出值域；依题意，()f x a =的零点必然在(],1-∞-和[]1,1-上或者(],1-∞-和[)1,+∞上，分类讨论结合已知即可求出.【详解】解：()3,131,113,1x x f x x x x x +≤-⎧⎪=---<<⎨⎪--≥⎩，作出图像如下，由图像可知，函数的值域为(],2-∞.由()0g x =得()f x a =，显然，零点必然在(],1-∞-和[]1,1-上或(],1-∞-和[)1,+∞上，令12331x a x a +=⎧⎨--=⎩，解得12313x a a x =-⎧⎪+⎨=-⎪⎩，又12210x x ≤-≤，则111719,,2222a ⎡⎤⎡⎤∈-⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，由121,11x x ≤--≤≤，可得14,2a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；令1233x a x a +=⎧⎨--=⎩，解得1233x a x a =-⎧⎨=--⎩，又12210x x ≤-≤，则[][]5,11,5a ∈--⋃，同时121,1x x ≤-≥，得[]5,4a ∈--. 综上所述：15,2a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.故答案为：(],2-∞;15,2a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了函数值域的求法，考查函数零点与方程根的关系，考查不等式的求解，考查数形结合的思想，考查分类讨论思想以及运算求解的能力.求函数的值域时，一般采用的思路有：图像法、导数法、结合函数的性质等.17．已知双曲线221:1C x y -=，曲线222:x yC x y y x+=-，则曲线12,C C 的交点个数是___________个，原点O 与曲线2C 上的点之间的距离最小值是___________【答案】0 2【解析】联立曲线12,C C 的方程，通过配方法，解方程可判断交点个数；由两点的距离公式和三角换元，结合同角公式和二倍角公式，以及正弦函数的值域，可得所求最小值.【详解】解：联立方程组22221x y x y x y y x ⎧-=⎪⎨+=-⎪⎩，整理可得，22x y xy +=，即2213024x y y ⎛⎫-+=⎪⎝⎭， 由0xy ≠可知方程无解，即两条曲线没有交点.设曲线2C 上的点为(),x y ，则原点与2C 上的点之间的距离为22r x y =+设cos ,sin x r y r αα==，02απ≤<，代入2C 得()()()222222cos sin cos sin cossin r r r r r r αααααα+=⋅-整理得24411sin 2cos2sin 424r r r ααα==.由sin41α≤，可得241r≤，解得2r ≥ 当sin41α= 时，r 取最小值为2.故答案为: 0;2.【点睛】本题考查曲线方程的关系，考查两曲线的交点个数，考查了两点的距离公式.应注意运用方程思想和三角换元.本题计算量较大，计算容易出错.四、解答题18．设函数()sin cos ,R f x x x x =+∈.（1）已知[]0,2θπ∈，函数()f x θ+是奇函数，求θ的值；（2）若()2f α=3f πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【答案】（1）34πθ=或74π（2）23f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭【解析】（1）由三角恒等变换求得()24f x x πθθ⎛⎫+=++⎪⎝⎭，再由奇函数可知,4k k Z πθπ+=∈，结合[]0,2θπ∈可求出符合题意的θ的值.（2）由()2f α可求出1sin 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则所求26344f a πππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即可求出值.【详解】解：（1）()sin cos 2sin 4f x x x x π⎛⎫ ⎪⎝==+⎭+，()24f x x πθθ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭因为()f x θ+为奇函数，所以,4k k Z πθπ+=∈，解得,4k k Z πθπ=-+∈∵02θπ≤≤∴当0k =或1 时，34πθ=或74π. （2）因为()2f α=，所以22sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即1sin 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得3cos 4πα⎛⎫+=± ⎪⎝⎭所以262sin sin cos 34344f a πππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 当3cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，23f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭；当3cos 4πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，23f πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了辅助角公式，考查了三角恒等变换，考查了同角三角函数的基本关系，考查了正弦函数的奇偶性.若已知()()sin f x A x ωϕ=+ 为奇函数，则,k k Z ϕπ=∈；若已知()()sin f x A x ωϕ=+为偶函数，则,2k k Z πϕπ=+∈.19．如图，三棱锥P ABC -中，PAC V 是正三角形，ABC V 是直角三角形，点D 是PB 的中点，且APB CPB ∠=∠，2PA PB =.（1）求证：PB AC ⊥；（2）求AD 与平面PAC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（211【解析】（1）取AC 的中点O ，连接OB OP ，，通过证明OP AC OB AC ⊥⊥，，则可证AC ⊥面PBO ，从而证明线线垂直.（2）由AC ⊥面PBO 可知二面角B PO A --为直二面角，作DT OP ⊥于T ，则DT ⊥ 平面PAC ，连接TA ，则DAT ∠ 是AD 和平面PAC 所成的角，由此能求出AD 和平面PAC 所成的角的正弦值.【详解】解：（1）证明：在APB △和CPB △中，∵APB CPB PA PC PB PB ∠=∠==，，，∴APB CPB △≌△，∴AB CB =.∴ABC V 为等腰直角三角形 取AC 的中点O ，连接OB OP ，，则OP AC OB AC ⊥⊥，， ∴AC ⊥面PBO ，PB ⊂面PBO ，∴PB AC ⊥（2）∵AC ⊥面PBO ，∴二面角B PO A --为直二面角，作DT OP ⊥于T ，则DT ⊥平面PAC ，连接TA ，则DAT ∠为AD 和平面PAC 所成的角. 设2PB =，则PAC V 的边长为4，22BA BC ==PBO V 中，12232PB OB OP DT ====，，APB △中，4222PA AB BP ===，，，D 为PB 的中点，∴11AD =在Rt ADT △中，11sin DT DAT AD ∠==AD 与平面PAC 11【点睛】本题考查了线线垂直的证明，考查了线面角的正弦值求法.证明线线垂直时，可利用勾股定理、等腰三角形三线合一或者线面角的性质.求二面角时，有两种思路，一是直接找到二面角，在三角形内进行求解；二是建立空间直角坐标系，结合空间向量进行求解. 20．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，4324,a a S ==.数列{}n b 的前n 项和为n T ，1n n T b +=，*n N ∈.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）记,n n nn a c b n =⎩为奇数为偶数，数列{}n c 的前n 项和为n W ，证明：13n W n <.【答案】（1）n a n =；12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）证明见解析 【解析】（1）结合基本量法，将已知4324,a a S ==用首项和公差表示出来，即可求出通项公式；由1n n T b +=推出111n n T b --+=，两式相减进行整理可求出{}n b 的通项公式.（2）求出n c ，分别讨论n 为奇数和偶数，结合数列的分组求和，以及裂项法、放缩法，结合等比数列的求和公式和不等式的性质可证明.【详解】解：（1）∵4324a a S ==，∴111a d ==，，∴n a n =∵1n n T b +=，∴111n n T b --+=，两式相减得112b =，112n n b b -=，则12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）①当2n m =时，则形211421kmmn mk k W W k ==⎛⎫==+ ⎪-⎝⎭∑∵111144111111434314mkm mk =⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦==-<⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-∑，当2k ≥21232121212123k k k k k k k =<=----+--+-∴(2121232121mmk k k k m k ==<+--=--∑112133n W m n <-.②当21n m =-时，21213n m m W W W n -=<<成立.综上①②得：13n W n 【点睛】本题考查了等差数列通项公式，考查了等比数列的通项公式，考查了裂项求和，考查了分组求和，考查了放缩法.本题易错点在于第二问没对n 取奇数和偶数进行讨论.21．已知点()0,A a ，0a >，抛物线()220x py P =>上点B 处的切线交x 轴于点P ，且直线AB 交抛物线于另一个点C ，过点C 作AP 的平行线x 轴于点Q .（1）证明：//AQ BP ；（2）记直线BP ，CQ 与x 轴围成的三角形面积为1S ，BOC V的面积为2S ，是否存在实数λ，使12S S λ=？若存在，求实数λ的值若不存在，请说明理.【答案】（1）证明见解析（2）存在；12λ= 【解析】（1）设()2002,2B pt pt ，()2112,2C p pt ，则可知直线BC 的方程，由()0,A a 在BC 可知012a t t p=，求出22x Py =在B 处的切线的方程可得()0,0P pt ，从而可求出直线CQ的方程，继而可得()1,0Q pt ，由012AQ BP ak t k pt =-==可证明平行. （2）设直线,BP CQ 相交于点T ，则1PQT S S ∆= ,四边形AQTP 为平行四边形，由此推导出存在12λ=使得12S S λ=. 【详解】解：（1）证明：设()2002,2B pt pt ，()2112,2C p pt ，则直线BC 的方程为()01012y t t x pt t =+-由()0,A a 在BC 可知，012a t t p=，又22x Py =在B 处的切线的方程为20022y t x pt =-， 令0y =可得0p x Pt =即()0,0P pt ∴0AP ak pt =-.直线CQ 的方程为 ()()2111102222ay pt x pt t x pt pt -=--=-，令0y =可得1Q x pt =即()1,0Q pt ∴012AQ BP ak t k pt =-==即AQ BP ∥ （2）设BP 和CQ 相交于点T 则1PQT S S =△，由（1）可知，四边形AQTP 为平行四边形∴1101122PQT AQP Q P S S S OA x x ap t t ===-=-V V ， ∵21011222OBC B C S S OA x x a p t t ==-=⋅-V ，∴1212=S S ，即存在12λ=【点睛】本题考查了线线平行的证明，考查了直线方程，考查了直线与抛物线的关系.本题计算量较大，应注意计算的准确性，避免出错.在解析几何中，若证明两条直线平行，通常的思路是利用斜率相等或者两条直线斜率都不存在.22．已知函数()()2112xf x x e x -=+-，其中 2.71828e ≈为自然对数的底.（1）试求函数()f x 的单调区；（2）若函数()212x e g x x x a+=++的定义域为R ，且存在极小值b .①求实数a 的取值范围；②证明：1325b e <.（参考数据：1.64 1.65e <） 【答案】（1）函数()f x 在区间(,0]-∞上单调递增，在区间(0,)+∞上单调递减（2）①()1,4a ∈②证明见解析【解析】（1）求出导数为()(1)x xf x xe x x e --'=--=-+，令导数为零，解方程，结合函数的定义域，可探究'(),()f x f x 随x 的变化情况，即可求出单调区间.（2）①由定义域为R 可知220x x a ++≠恒成立，所以440a =-<△，可求出1a >，求出()()()()22222212x x a e x g x x x a +--+'=++，令()0g x '=得()22a f x -=，结合第一问的单调性可知()2202a f -<=，即14a <<.②由()2112f a -=-<-及3359222 1.644f a ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭可知存在()1231,00,2x x ∈-∈⎛⎫ ⎪⎝⎭，，使()0g x '=，则极小值()()()2222222222221122221x x x e e e b g x x x a x x f x x ++====+++++.结合导数可证明()()21x e h x x =+在302x <<上递增，从而可求13255e b e e <【详解】（1）求导得()(1)x xf x xe x x e --'=--=-+，由()0f x '=，解得0x =.当0x <时，()0f x '≥；当0x >时，()0f x '<.又因为函数()f x 的定义域为R ， 故函数()f x 在区间(,0]-∞上单调递增，在区间(0,)+∞上单调递减. （2）①因为函数()g x 的定义域为R ，则220x x a ++≠恒成立故440a =-<△，即1a >又()()()()()()()()2222222221122122x x x x x a x e x a e x g x xx a xx a e ++-+++--+'==++++则()0g x '=等价于()()22212x a x e x f x --=+-=，由（1）知()2y f x =在(,0]-∞上递增，在(0,)+∞上递减， 故函数()g x 存在极小值，必有()2202a f -<=，即14a <<.②又()2112f a -=-<-，339592224 1.644f a e e⎛⎫-<-<- ⎪⎝⎭，故对任意()1,4a ∈， 存在()1231,00,2x x ∈-∈⎛⎫⎪⎝⎭，，使()0g x '=，即()22,1,2i a f x i -==，因此，()g x 在12(,),(,)x x -∞+∞上递增，在()12,x x 上递减，所以，极小值()()()2222222222221122221x x x e e e b g x x x a x x f x x ++====+++++.记函数()()21x e h x x =+，302x <<，则()()2021x xe h x x '=>+，即()h x 在30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增， 故()()320h h x h ⎛<<⎫⎪⎝⎭，即13255e b e e <1325b e <.【点睛】本题考查了函数的单调区间的求解，考查了结合导数证明不等式，考查了极值的求解，考查了不等式恒成立问题.。
2020届浙江省宁波市鄞州中学高三下学期期初考试数学试题(解析版)
2020届浙江省宁波市鄞州中学高三下学期期初考试数学试题一、单选题1．已知全集{}2,1,0,1,2,3U =--，集合{}|2,A x x x N =≤∈，{}1,2B =，则()U C A B =U （ ）A ．{}1,2B ．{}0,1,2C ．{}2,1,3--D ．{}2,1,0,3--【答案】C【解析】求出集合A ，按照并集、补集定义，即可求解. 【详解】全集{}2,1,0,1,2,3U =--，{}|2,{0,1,2}A x x x N ∴=≤∈=，{},{0,1,22,}1A B B ∴==U ，(){2,1,3}U C A B =--U .故选:C. 【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.2．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线为12y x =，则离心率为（ ）A B C D【答案】A【解析】根据双曲线中的,,a b c 关系，可得e =，即可求出结论. 【详解】双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线为12y x =，1,2b e a ∴====. 故选:A. 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.3．已知实数x ，y 满足2000x y x y x +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A ．-4B ．-2C ．0D ．2【答案】A【解析】做出满足条件的可行域，根据图形求出2z x y =-的最小值. 【详解】做出满足2000x y x y x +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩的可行域，如下图所示，根据图象，当目标函数2z x y =-过(0,2)A 时， 取得最小值为4-. 故答案为:A.【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合思想，求线性目标函数的最值，属于基础题.4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．2B ．43C ．83D ．3【答案】B【解析】根据三视图的特征，在正方体中还原出直观图为三棱锥，如下图示，根据三棱锥与正方体关系，即可求解. 【详解】在正方体中可得三视图对应的三棱锥S ABC -的直观图， 其中S 为11C D 中点，正方体的棱长为2，211422323S ABC V -=⨯⨯⨯=.故选:B.【点睛】本题考查三视图求体积，在特殊的几何体中还原直观图是解题的关键，属于基础题. 5．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a >”是“990S >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】根据99S 与1a 关系，结合充分必要条件的判定，即可求出结论. 【详解】设等比数列{}n a 公比为q ，当1q =时，19910990a S a >⇔=>，当1q ≠时，999999111,011q q S a q q --=⋅>--， 19900a S >⇔>∴，所以“10a >”是“990S >”的充要条件. 故选:C. 【点睛】本题考查充分必要条件的判定，涉及到等比数列的前n 项公式，属于基础题.6．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且()f x 的图像关于直线2x =对称.若当02x <≤时，()1f x x =+，则()()20192020f f +=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4【答案】C【解析】根据已知条件可得()f x 是周期函数，且周期为8，将自变量转化为[2,2]-，即可求出结论. 【详解】()f x 是定义在R 上的奇函数， ()f x 的图像关于直线2x =对称，(4)()()f x f x f x ∴+=-=-，(8)(4)()f x f x f x ∴+=-+=，()f x 是周期为8的周期函数，()()20192020(3)(4)(1)(0)2f f f f f f +=+=+=.故选:C. 【点睛】本题考查函数的周期性、函数的奇偶性和对称性，要掌握函数对称性的代数表达式，意在考查直观想象、逻辑分析能力，属于中档题.7．已知A ，B 两个不透明盒中各有形状、大小都相同的红球、白球若干个，A 盒中有m 个红球与10m -个白球，B 盒中有10m -个红球与m 个白球（010m <<），若从A ，B 盒中各取一个球，ξ表示所取的2个球中红球的个数，则当()D ξ取到最大值时，m 的值为（ ）A ．3B ．5C ．7D ．9【答案】B【解析】ξ可能值为0,1,2，分别求出各可能值的概率，得到分布列，求出期望，进而得到方差关于m 的函数，根据函数特征求出最值即可. 【详解】ξ可能值为0,1,2，10(10)(0)1010100m m m m P ξ--==⋅=，221010(10)(1)10101010100m m m m m m P ξ---+==⋅+⋅=， 10(10)(2)1010100m m m m P ξ--==⋅=， ξ分布列为22(10)(10)(10)()0121100100100m m m m m m E ξ--+-=⨯+⨯+⨯=，22222(10)(10)(10))(01)(11)(21)100100100(D m m m m m m ξ--+-=-⨯+-⨯+-⨯2(10)1101()505022m m m m -+-≤⨯==，当且仅当5m =时，等号成立.故选:B. 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、期望方差，利用基本不等式求最值，考查计算求解能力，属于中档题.8．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是正方体棱上的一点，若满足1PB PD m +=的点P 的个数大于6个，则m 的取值范围是（ ）A ．(B ．(C ．(2+D ．2⎡+⎣【答案】D【解析】由题意可得，点P 是以2c =利用三角形两边之和大于第三边，以及点P 的个数大于6，即可求出m 的范围. 【详解】点P 是正方体棱上的一点，满足1PB PD m +=点P 是以2c =正方体的棱长为2，正方体面的对角线为点P 的个数大于6个，∴椭圆的半短轴长b ≥Q短半轴长232,4m b m =∴-≥∴≥， 由三角形两边之和大于第三边可得，正方体棱上点到1,B D 之和最大值为2+，当2m =+P 只有6点，不合题意，m ∴的取值范围是2⎡+⎣. 故选:D. 【点睛】本题考查满足条件的点的个数的求法，以及正方体的结构特征，注意椭圆性质的合理应用，意在考查直观想象、逻辑推理能力，属于中档题.9．已知函数()f x 满足：对任意的实数x ，y ，都有()()()4f x y f x f y xy +=++成立，且()()2264f f -⋅≥，则23f ⎛⎫=⎪⎝⎭（ ） A ．89B ．169C ．409D ．163【答案】A【解析】抽象函数求值，考虑用赋值法，令0x y ==，求出(0)f ，再令2,2-==y x 得出(2),(2)f f -关系，利用基本不等式求出()()22f f -⋅，结合()()2264f f -⋅≥，求出(2)f ，再用赋值法即可求出结论. 【详解】令0,(0)2(0),(0)0x y f f f ===∴=， 令2,2,(0)0(2)(2)16x y f f f =-===-+-，()()4(2)(2)1226,(2)0,(2)06,f f f f f f ∴-+=>∴-⋅≥->，(2)(2)(2)(2)64f f f f ∴-+≥-⋅≤，(2)(2)64,(2)(2)8f f f f ∴-⋅=-==，422216()()2()33339f f f =+=+， 242432248(2)()()()3()83333939f f f f f =+=++=+=，28()39f ∴=.故选:A. 【点睛】本题考查抽象函数求值，赋值法是解题的关键，利用基本不等式是突破口，考查直观想象、逻辑推理能力，属于中档题.10．已知数列{}n a 满足11a =，2121n n n n a a a a +=++m 最小的整数m 是（ ）A ．65B ．64C ．63D ．62【答案】B【解析】根据递推公式，可得12111121n n a n a a a -⎛⎫=-++++ ⎪⎝⎭L ，求出2020a ，进而估算出整数m . 【详解】因为2121n n nn a a a a +=++，故可得112n n na a a +=++， 110,0n a a =>∴>Q ，当2n ≥时，()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+L 121111212n n n a a a -⎛⎫=-++++> ⎪⎝⎭L ，所以20204040a >63.5>， 另一方面()211n nna a a ++=⇒=<2n =<=≥=+⋯+264.5<<m 最小的整数m 是64故选:B. 【点睛】本题考查数列项的估值，注意累加法的应用，对数列通项放缩估值是解题的难点，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.二、填空题11．设i 为虚数单位，给定复数()212i z i+=-，则z 的虚部为______；模为______.【答案】45【解析】根据复数的乘除法运算法则求出z ，即可得出结论. 【详解】()212(2)242(2)(2)55i i i z i ii i ++===-+--+，所以z 的虚部是45.故答案为:45；. 【点睛】本题考查复数的代数运算、复数的模长，属于基础题.12．二项式61x ⎫⎪⎭的展开式中常数项等于______，有理项共有______项. 【答案】15 4【解析】(1)根据二项式定理的通项公式求解即可.(2)根据二项式定理的通项公式分析x 的指数为整数的项的个数即可. 【详解】(1)根据二项式定理的通项公式6321661rr rrr r T C C x x --+⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭.故取常数项时63022rr -=⇒=.此时常数项为2615C =. (2)当取有理项时, 632r-整数.此时0,2,4,6r =.故共有4项.故答案为：(1). 15 (2). 4 【点睛】本题主要考查了二项式定理的运用,属于中等题型. 13．已知直线l ：()22110mx my m +---=，到当实数m 变化时，原点O 到直线l 距离的最大值为______；平面内所有恒不在l 上的点(),x y 所形成的图形面积为______.【答案】124π【解析】根据点到直线距离公式，求出原点O 到直线l 的距离d ，得到d 关于m 的函数，根据函数特征求出其最大值；将直线l 方程看成关于m 的方程，由于平面内所有点(),x y 恒不在l 上的，因此关于m 的方程无实根，由判别式∆<0，得出图形，即可求出面积. 【详解】依题意，原点O 到直线l 的距离为d ，2|1|1m d m +==+要距离最大值，则0m >，2112(1)2(1)2(1)21m d m m m m +==+-++++-+12≤=，当且仅当1m =，等号成立， 所以原点O 到直线l距离的最大值为12； ()22110mx m y m +---=Q ，平面内所有点(),x y 恒不在l 上，∴关于m 的方程2(12)10ym m x y +--+=无解，显然1(0,)2不是直线l 的点20,(12)4(1)0y x y y ∴≠∆=---+<，即22111()(),0224x y y -+-<≠和点1(0,)2， 为(,)x y 所围成的图形，面积为4π. 故答案为:12；4π.【点睛】本题考查求点到直线距离、直线的一般式方程和圆的知识，转化为基本不等式求最值和关于m 的方程无实根是解决问题的关键，属于中档题.14．在ABC ∆中，AB =4AC =，AD =D 为线段BC 的中点，则BC =______，ABC S ∆=______.【答案】2【解析】根据向量的线性关系可得1()2AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r，结合向量的模长求出cos A ，进而求出sin A ，再由余弦定理求出BC 和三角形面积. 【详解】D Q 为线段BC 的中点，1()2AD AB AC ∴=+u u u r u u u r u u u r，221113()(1216)44AD AB AC A ∴==+=++u u u r u u ur u u u r ，1cos 2A A ∴==， 2222cos 28244BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅=-=，1112,sin 4222ABC BC S AB AC A ∆∴==⋅=⨯⨯=故答案为:2；【点睛】本题考查向量线性关系模长公式、余弦定理解三角形，考查计算求解能力，属于中档题. 15．已知抛物线E ：24y x =和直线l ：40x y -+=，P 是直线上l 一点，过点P 做抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，C 是抛物线上异于A ，B 的任一点，抛物线在C 处的切线与PA ，PB 分别交于M ，N ，则PMN ∆外接圆面积的最小值为______. 【答案】258π 【解析】设三个切点分别为222(,),(,),(,)444a b c A a B b C c ，求出三条切线,,PA PB MN方程，三条切线方程分别联立求出,,P M N 坐标，点P 在直线l 上，得到,a b 关系，求出||,||,||PM PN MN ，进而求出PMN S ∆，设三角形PMN 外接圆半径为R ，利用||||||4PM PN MN R s=，求出R 的解析式，根据其特征，求出最小值.【详解】设三个切点分别为222(,),(,),(,)444a b c A a B b C c ，若在点A 处的切线斜率存在，设方程为2()4a y a k x -=-与24y x =联立，得，222440,164(4)0ky y a k a k a k a --+=∆=--+=， 即222440,a k ak k a-+=∴=， 所以切线PA 方程为2202a x ay -+= ①若在点A 的切线斜率不存在，则(0,0)A ， 切线方程为0x =满足①方程，同理切线,PB MN 的方程分别为2202b x by -+=，2202c x cy -+=，联立,PA PB 方程，22202202a x ay b x by ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得42ab x a b y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即,42ab a b P +⎛⎫ ⎪⎝⎭ 同理,,,4242ac a c bc b c M N ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(),42a c b c b PM --⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u ur ， ()(),,,4242b c a c a c b a b a PN MN ----⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u u r ，设PMN ∆外接圆半径为R ，||||||||||PM b c PN a c MN a b =-=-=-，11||||sin ||||22PMN S PM PN MPN PM PN ∆=∠=1|||2PM PN ===||||||1||||||1622a b b c a c MN PM PN R---==，||||||4PM PN MN R S ⋅⋅==08c =≥时取等号，点P 在直线40,4,8422ab a b ab x y a b +-+=∴+=∴+=+，8R =∴≥==≥=当且仅当1,6,0a b c =-==或6,1,0a b c ==-=时等号成立， 此时PMN ∆外接圆面积最小为258π. 故答案为:258π. 【点睛】本题以抛物线为背景，考查切线方程、向量模长夹角、面积公式、正弦定理、二次函数最值等基础知识，综合性强、计算量大，意在考查直观想象、逻辑思维、数学计算能力，属于难题.16．已知平面向量a r ，b r满足1a =r ，42a b a b -⋅=-r r r r ，则a b +r r 的取值范围是______.【答案】[]1,3【解析】用坐标法表示向量坐标，设(1,0),(,)a b x y ==r r，a b +=r r 求(,)x y 与(1,0)-两点间距离的范围，根据已知等式求出,x y 关系式，即可求解.【详解】设(1,0),(,)a b x y ==r r，由42a b a b -⋅=-r r r r，得4x -=22143x y +=，a b +=r r(,)P x y到定点(1,0)F -（左焦点）的距离，当P 点位于椭圆长轴两端点取得最值，分别为1,3，所以a b +r r取值范围是[1,3].故答案为:[1,3]. 【点睛】本题考查向量的坐标表示、曲线轨迹方程、椭圆几何性质，解题的关键是向量坐标化，考查数形结合思想，属于中档题.17．已知,m n R ∈，m n <，函数()()()2max m t nf x x t x R ≤≤=+∈（其中max m t n≤≤表示对于x ∈R ，当[],t m n ∈时表达式()2x t +的最大值），则()f x 的最小值为______. 【答案】22n m -⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】根据()f x 的定义，设2()(),[,]h t x t t m n =+∈的最大值为()f x ，根据二次函数的性质，分类讨论求出()h t 的最大值，求出()f x ，再求出其最小值. 【详解】设2()(),[,]h t x t t m n =+∈，对称轴方程为t x =-，当2max ,,()()()()22m n m nx x f x h t h n x n ++-≤≥-===+， ,()2m n n f x +-<-Q 在[,)2m n+-+∞单调递增，2()()()22m n n m f x f +-≥-=当2max ,,()()()()22m n m nx x f x h t h m x m ++-><-===+， ,()2m n m f x +->-Q 在(,)2m n+-∞-单调递减，22()()()()222m n m n n m f x f +-->-==，所以()f x 的最小值为22n m -⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为:22n m -⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】本题以函数新定义为背景，考查二次函数的最值，注意理解题意，分清函数对应的自变量是解题的关键，属于中档题.三、解答题18．已知()sin ,cos a x x =r，()sin 2cos ,sin b x x x =-r ，令()f x a b =⋅r r .（1）求()f x 的最小正周期及()12f x =的解集；（2）锐角ABC ∆中，28A f π⎛⎫-=⎪⎝⎭，边BC =，求ABC ∆周长最大值.【答案】（1）T π=，|,28k x x k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭；（2）【解析】（1）由向量的数量积公式，求出()f x ，用降幂公式、二倍角公式和辅助角公式化简()f x 为正弦型函数，即可求解；（2）依题意求b c +的最大值，由（1）求出角A ，利用正弦定理，将b c +用,B C 表示，再把,B C 转化为B 角关系式，利用三角恒等变换，化为关于B 的正弦型函数，即可求解. 【详解】（1）()2sin 2sin cos sin cos a b x x x x x x f =⋅=-+r r111cos 2sin 241222222x x x π⎛⎫=-+ ⎪=⎝--⎭=， ∴T π=，∵()12f x =，∴sin 204x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴2,,,428k x k k Z k x Z ππππ+=∈-∈=， ∴()12f x =的解集是|,28k x x k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭.（2）2284A f π⎛⎫-=⎪⎝⎭，∴sin A =， 02A π<<Q ∴3A π=，∵2sin sin sin a b cA B C===，∴2sin 2sin a b c B C ++=+22sin 2sin 3B B π⎛⎫=+-⎪⎝⎭33sin 3cos 323sin 6B B B π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，∵锐角三角形且角3A π=，∴,62B ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，当3B π=时，a b c ++最大为33，∴ABC ∆周长最大值为33.【点睛】本题考查向量的数量积、三角恒等变换、三角函数性质、正弦定理，考查计算能力，属于中档题.19．如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面是正方形，且11112222AD AA A D DD ====，点E ，F 分别为棱BC ，11B C 的中点，二面角1A AD B --的平面角大小为56π.（1）证明：AD EF ⊥；（2）求直线1AA 与平面11BCC B 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）31326【解析】（1）将四棱台还原为棱锥，延长1AA ，1BB ，1CC ，1DD ，EF 交于点P ，取AD 中点M ，连接PM ，EM ，可得AD PM ⊥，AD ME ⊥，可证AD ⊥平面PME ，即可证明结论；（2）连接AC 交ME 于O 点，连接1C O ，可得1//C O PA ，转化为求直线1C O 与平面11BCC B 所成角，由（1）可得平面11BCC B ⊥平面PME ，过O 作OH PE ⊥，可证1OC H ∠是直线1C O 与平面11BCC B 所成角，在PME ∆中求出OH 即可.【详解】（1）如图所示，延长1AA ，1BB ，1CC ，1DD ，EF 交于点P ， 由题意得2PA PB ==，取AD 中点M ，连接PM ，EM ， 则AD PM ⊥，AD ME ⊥，又PM ME M =I ， 所以AD ⊥平面PME ，又EF ⊂平面PME ， 所以AD EF ⊥；（2）连接AC 交ME 于O 点，连接1C O ， 则1//C O PA 且112C O PA =， 所以直线1C O 与平面11BCC B 所成角和直线1AA 与平面11BCC B 所成角相等， 由（Ⅰ）得AD ⊥平面PME ，又//BC AD ，所以BC ⊥平面PME ， 又BC ⊂平面11BCC B ，所以平面11BCC B ⊥平面PME ， 又平面11BCC B I 平面PME PE =， 过O 作,OH PE OH ⊥⊥平面11BCC B ， 则1OC H ∠是直线1C O 与平面11BCC B 所成角. 由（Ⅰ）得PME ∠是二面角1A AD B --的平面角， 所以5,2,36PME ME PM π∠=== 由余弦定理可得2222cos 13PE ME MP ME MP PME =+-⋅∠=，再由正弦定理得13sin sin 3PM PE PEM PME ==∠∠32sin 13213PEM ∴∠==在PME ∆中，313sin 26OH OE PEM =⋅∠=， 在直角1OC H ∆中，11313sin OH OC H OC ∠==， 所以直线1AA 与平面11BCC B 所成角的正弦值为313.【点睛】本题考查空间点、线、面的位置关系，证明异面直线垂直，考查空间角，要注意用几何法求空间角“做”“证”“算”三步骤缺一不可，属于中档题.20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()()221n n S n a =+-，*n N ∈. （1）证明：11n a n +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为常数列，并求n a ； （2）令2sin2n nn a b a π=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）见解析；（2）()*2*421,2,327,21,3n n n n k k N T n k k N +⎧-=∈⎪⎪=⎨+⎪-=-∈⎪⎩. 【解析】（1）根据已知1n =，求出1a ，再由12,n n n n a S S -≥=-得到1,n n a a -，化简可证11n a n +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为常数列，即可求出n a ； （2）由（1）求出2n a 进而求出{}n b 通项公式，根据通项公式对n 分类讨论，分组求和，即可得出结论. 【详解】（1）因为()()221n n S n a =+- ①， 当2n ≥时，()()11211n n S n a --=+- ②，①-②得，()()12211n n n a n a n a -=+-+-，即()111n n na n a --+=，同除()1n n +得，()1111111n n a a n n n n n n --==-+++， 整理得1111n n a a n n -++=+，所以11n a n +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为常数列. 因为()()112121S a =+-，所以13a =， 则111212n a a n ++==+，所以21n a n =+. （2）由（Ⅰ）得1222121n nn a +=⋅+=+，所以()()()112121sin21sin 22n n n n b n πππ+++⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭，则()1*1*21,2,21,21,n n n n k k N b n k k N++⎧+=∈⎪=⎨-+=-∈⎪⎩， ①当2n k =，*k N ∈时，()()()()()23412121212121n n n T +=--++-++⋅⋅⋅+--++23451222222n n +=-+-++⋅⋅⋅-+()244222213n n=++⋅⋅⋅+=-， ②当21n k =-，*k N ∈时，()()21211427212133n n n n n n T T b ++++++=-=--+=-， 综上，()*2*421,2,327,21,3n n n n k k N T n k k N +⎧-=∈⎪⎪=⎨+⎪-=-∈⎪⎩. 【点睛】本题考查数列通项以及前n 项和，注意辅助数列在解题中的应用，考查计算求解能力，属于中档题.21．已知1F ，2F 分别为椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，离心率为12，P 是椭圆上异于左右顶点的一动点，已知12F PF ∆（1）求椭圆E 的方程；（2）设直线()0x m m a =<<与椭圆E 交于A ，B 两点（不同于点P ），直线AP ，BP 分别与直线4x m=相交于点M ，N ，证明：4OM ON ⋅>u u u u r u u u r . 【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析. 【解析】（1）12F PF ∆周长为定值22a c +，可得内切圆半径最大时12F PF ∆面积最大，而最大值为bc ，结合离心率，即可求解；（2）设()0,A m y ，()0,B m y -，()11,P x y ，求出,AP BP 方程，进而求出,M N 坐标，求出OM ON ⋅u u u u r u u u r ，结合22220111,14343y x y m +=+=化简，即可证明结论.【详解】 （1）由题意知：12c a =，∴2a c =，222b a c =-，∴b =. 设12PF F ∆的内切圆半径为r ，则()12121212PF F S PF PF F F r ∆=++⋅()()1222a c r a c r =+⋅=+⋅， 故当12PF F ∆面积最大时，r 最大， 即P点位于椭圆短轴顶点时3r =，)a c bc +=，把2a c =，b =代入， 解得：2a =，b =所以椭圆方程为22143x y +=.（2）设()0,A m y ，()0,B m y -，()11,P x y ，则220143y m +=，2211143x y +=()*，()1001y y y x m y x m -=-+-，令4x m=得()()011010011412343M y y mx y y y y m y x m m x m m -+-⎛⎫=-+=⎪--⎝⎭，从而()()0110141234,3y y mx y M m x m m ⎛⎫-+ ⎪ ⎪-⎝⎭， 同理()()0110141234,3y y mx y N m x m m ⎛⎫+- ⎪ ⎪-⎝⎭， ()()()()01100110211412341231633y y mx y y y mx y OM ON m x m m x m m -++-⋅=+--u u u u r u u u r()()()22220110222116123169y ymx ymx m m--=+-()()()()()22221102221123123123169m x mx ymx m m----=+-()()22211022214216m x mx y mx m m⎡⎤--+⎣⎦=+-()()222210022222141641643m x y y m m m m x m m--+=-==- 22434m m+=>. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程以及椭圆方程的应用，考查计算求解能力，属于较难题. 22．已知函数()()2f x ax a a R =+∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()0f x ≤对任意的1x ≥-恒成立，求a 的取值范围；（32600⋅⋅⋅<. 【答案】（1）()f x 在211,14a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单增；在211,4a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单减；（2）1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦；（3）证明见解析.【解析】（1）求出()f x '，对a 分类讨论，求出()0,()0f x f x ''><的解，即可得出结论；（2）根据（1）的结论，只需max ()0f x ≤求解即可；（3）由（2）知，取12a =-112x ≤+，取()1,2,3,,20482020k x k ==L 114040k ≤⨯+，即可证明结论. 【详解】()'f x a =. （1）当0a ≥时，()'0f x ≥，所以()f x 在()1,-+∞上单调递增；当0a <时，由()'0f x >解得21114x a -<<-， 所以()f x 在211,14a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增；在211,4a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.（2）当0a ≥时，()()2000f x a x =+≥+=，故不合题意；当0a <时，由（Ⅰ）知()max 21104x f f a ⎛⎫=-≤ ⎪⎝⎭， 211(21)(21)20141244a a f a a a a a a +-⎛⎫=-+- ⎪⎝-+=≤⎭ 102a a <∴≤-Q ， 综上，a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.（3）由（2）知，取12a =-112x ≤+成立. 当()1,2,3,,20482020k x k ==L 时，1111220204040k k =≤⨯+=⨯+，⋅⋅⋅ ()11234204820484040++++++<L 20491024204826004040⨯=+<. 【点睛】本题考查导数综合应用，涉及到函数的单调性、极值最值、不等式证明，考查分类讨论思想，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.。
2020届浙江省宁波市五校(奉化中学、宁波中学、北仑中学等)高三下学期高考适应性考试数学试题(解析版)
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知存在 ，使 成立，可得 ，若令 ，求出 的值域即可得到 的取值范围.
【详解】
解：由曲线 上存在点 ，使得 ，可得
，所以 ，
即存在 ，使 成立，
所以 ，即 ， ，
令 ，
因为 ，
所以 在 上为增函数，
故选：C.
【点睛】
本题以等比数列为载体，考查了等比数列前 项和，均值不等式，换元法，二次函数的最值，是多个基本知识的综合题，属于中档题.
8．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为 ；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为 ，则（ ）
【解析】利用图象得知函数 为奇函数，且在 右边附近函数值为正，逐项分析各选项中函数的奇偶性及其在区间 上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】
由图象可知函数 为奇函数，且该函数在 右边附近的函数值为正，
对于A选项，函数 的定义域为 ，
，
该函数为偶函数，不合乎题意；
对于B选项，由函数奇偶性的定义可知，函数 为偶函数，不合乎题意；
【详解】
设圆 的标准方程为 ，
，
则切线长为 ，解得 .
则圆 的标准方程为 ，
直线 的方程为 ，
作出直线 ，可得优弧 均在直线 的上方区域.
如图所示：
则优弧 上任意一点满足不等式 ，
则 .
令 ，则 .
表示直线 的 轴截距再加 .
由图知，当直线 与圆相切于第一象限时， 最大.
所以 ，解得 .
由图可知： 的最大值为 .
圆锥曲线中的离心率的问题(含解析)
圆锥曲线中的离心率的问题一、题型选讲题型一 、求离心率的值求离心率的值关键是找到等式关系，解出a 与c 的关系，进而求出离心率。
常见的等式关系主要有：1、题目中给出等式关系；2、通过几何关系如垂直或者夹角的关系得出等式关系；3、挖掘题目中的等式关系。
例1、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点．若PQ OF =，则C 的离心率为A BC ．2D例2、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知圆22:10210C x y y +-+=与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（ ）A B ．53C ．52D例3、（2020届山东省九校高三上学期联考）已知直线1l ，2l 为双曲线M ：()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线，若1l ，2l 与圆N ：2221x y 相切，双曲线M 离心率的值为（ ）A BCD ．3例4、（2020届山东省德州市高三上期末）双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为()1F ，点A 的坐标为()0,1，点P 为双曲线左支上的动点，且1APF ∆周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（ ）AB C ．2D ．例5、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知点P 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>右支上一点，12,F F 分别为C 的左，右焦点，直线1PF 与C 的一条渐近线垂直，垂足为H ，若114PF HF =，则该双曲线的离心率为（ ） A ．15 B ．21 C ．53D ．73例6、（2020·浙江省温州市新力量联盟高三上期末）已知双曲线22212x y a -=的一条渐近线的倾斜角为6π，则双曲线的离心率为（ ） A ．233B ．263C ．3D ．2题型二、求离心率的范围求离心率的值关键是找到不等关系，解出a 与c 的关系，进而求出离心率的范围。
鄞州中学高三期初考试 数学(1)
第 3 题图S S + S )h 11 2 2台体的体积公式V = 1(S + 5 ⎨ ⎩鄞州中学 2019—2020 学年第二学期期初考试高三数学试卷参考公式：一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集U = {-2,-1,0,1,2,3},集合 A = {x | x ≤ 2, x ∈ N}, B = {1,2} 则C U ( A B ) =A .{1,2}B .{0,1,2}C .{-2,-1,3}D .{-2,-1,0,3}x 2 - y 2 = =12. 已知双曲线 1 (a > 0,b > 0) 的一条渐近线为 y x ,则离心率为a 2b 2 2A.5 B. 2⎧x + y - 2 ≤ 0C.5 或 D. 23. 已知实数 x , y 满足 ⎪x - y ≤ 0⎪x ≥ 0 ,则 z = x - 2 y 的最小值为 A. - 4B. - 2C. 0D . 24. 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 A . 2B .4 C .8 D . 3335. 已知等比数列{a n }的前 n 项和为 S n ,则“ a 1 > 0”是“ S 99 > 0 ”的 A.充分不必要条件 B .必要不充分条件 C . 充要条件D .既不充分也不必要条件其中 R 表示球的半径πR 34 3球的体积公式V =球的表面积公式 S = 4πR 2 1 锥体的体积公式V = Sh3其中 S 表示锥体的底面积，h 表示锥体 的高柱体的体积公式V = Sh其中 S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高其中 S 1, S 2 分别表示台体的上、下底面积，h 表 示台体的高3nn 率 P (k ) = C k p k(1- p )n -k (k = 0,1, 2, , n ) 若事件 A , B 互斥，则 P ( A + B ) = P ( A ) + P (B )若事件 A , B 相互独立，则P ( AB ) = P ( A )P (B )若事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,则 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概5322 216. 已知 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数,且 f (x ) 的图像关于直线 x = 2 对称．若当0 < x ≤ 2时, f (x ) = x +1,则 f (2019) + f (2020) =A . 0B .1C . 2D . 47. 已知 A , B 两个不透明盒中各有形状、大小都相同的红球、白球若干个, A 盒中有 m 个 红球与10 - m 个白球, B 盒中有10 - m 个红球与 m 个白球( 0 < m < 10 ),若从 A , B 盒中各取一个球, ξ 表示所取的 2 个球中红球的个数,则当 D ξ 取到最大值时, m 的值为 A . 3 B . 5 C . 7 D . 9 8. 在 棱 长 为 2 的 正 方 体 ABCD - A 1 B 1C 1 D 1 中 , 点 P 是 正 方 体 棱 上 的 一 点 , 若 满 足| PB | + | PD 1 |= m 的点 P 的个数大于6个,则 m 的取值范围是A. (2 3,2 5)B. (2 3,2 5]C. (2 5,2 + 2 2） D . [2 5,2 + 2 2）9. 已知函数 f (x ) 满足：对任意的实数 x , y ,都有 f (x + y ) = f (x ) + f ( y ) + 4xy 成立,且f (-2) ⋅ f (2) ≥ 64 ,则 f⎛ 2 ⎫=⎪⎝ 3 ⎭A .8B .16 C .40 D . 1699910. 已知数列{a }满足 a = 1，a a = a 2+ 2a +1,则使得|3- m | 最小的整数 m 是n1n +1 nnnA . 65B . 64C . 63D . 62二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分.(1 + i )211. 设i 为虚数单位,给定复数 z =2 - i，则 z 的虚部为；模为.12. 二项式( + 1 )6的展开式中,常数项为 x；有理项共有项.13. 已知直线l : 2mx + (1 - m 2 ) y - m -1 = 0 ,到当实数 m 变化时,原点O 到直线l 距离的最大值为；平面内所有恒不在l 上的点(x , y ) 所形成的图形面积为.14. 在△ABC 中, AB = 2S △ ABC = .3, AC = 4，AD = 13，D 为线段 BC 的中点,则 BC = ，15. 已知抛物线 E ： y 2 = 4x 和直线l ： x - y + 4 = 0 , P 是直线上l 一点,过点 P 做抛物线的两条切线,切点分别为 A , B , C 是抛物线上异于 A , B 的任一点,抛物线在C 处的切线与PA , PB 分别交于 M , N ,则△PMN 外接圆面积的最小值为 .16. 已知平面向量 a , b 满足| a |= 1, 4 - a ⋅ b = 2 | a - b |,则| a + b | 的取值范围是 .a 2020 xn n n n17. 已知m , n ∈ R ，m < n ,函数 f (x ) = max (x + t )2(x ∈ R )（其中max 表示对于 x ∈ R ,m ≤t ≤nm ≤t ≤n当t ∈[m , n ]时表达式(x + t )2的最大值）,则 f (x )的最小值为．三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18. （14 分）已知 a = (sin x ,cos x ), b = (sin x - 2cos x ,sin x ) ,令 f (x ) = a ⋅ b .（Ⅰ）求 f (x ) 的最小正周期及 f (x ) = 1 的解集；2（Ⅱ）锐角△ABC 中, f ( A - 2 π ) = 8 ,边 BC = 4 ,求△ABC 周长最大值.19. （15 分）如图，在四棱台 ABCD - A 1 B 1C 1 D 1 中,底面是正方形,且 AD = 2 A A 1 = 2 A 1 D 1 =2DD = 2 ,点 E , F 分别为棱 BC , B C 的中点,二面角 A - AD - B 的平面角大小为 5π.1 1 1 16（Ⅰ）证明： AD ⊥ EF ；（Ⅱ）求直线 AA 1 与平面 BCC 1 B 1 所成角的正弦值.20. （15 分）已知数列{a }的前 n 项和为 S ,且满足 2S = (n + 2)(a -1), n ∈ N * .（Ⅰ）证明：⎧ a n +1⎫为常数列,并求 a ；⎨ n +1 ⎬ n ⎩ ⎭（Ⅱ）令b = a ⋅ sin πan ,求数列{b } 的前 n 项和T .n 2n2n n 2 - 631+ x 2021 2020 2022 2020 2024 2020 x 2 y 2 121. （15 分）已知 F 1 , F 2 分别为椭圆 E : a 2 + b 2 = 1(a > b > 0) 的左、右焦点,离心率为 , P 2是椭圆上异于左右顶点的一动点,已知△F PF 的内切圆半径的最大值为3. 123（Ⅰ）求椭圆 E 的方程；（Ⅱ）设直线 x = m (0 <| m |< a ) 与椭圆 E 交于 A , B 两点（不同于点 P ）,直线 AP , BP 分 别与直线 x =4相交于点 M , N ,证明： OM ⋅ ON > 4.m22. （15 分）已知函数 f (x ) = + ax + 2a (a ∈ R ).（Ⅰ）讨论函数 f (x )的单调性；（Ⅱ）若 f (x )≤ 0 对任意的 x ≥ -1恒成立,求 a 的取值范围；（Ⅲ）证明：+ + + + + < 2600 .202320204068 2020。
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故答案为: .
【点睛】
本题以抛物线为背景，考查切线方程、向量模长夹角、面积公式、正弦定理、二次函数最值等基础知识，综合性强、计算量大，意在考查直观想象、逻辑思维、数学计算能力，属于难题.
16．已知平面向量 ， 满足 ， ，则 的取值范围是______.
【答案】
【解析】用坐标法表示向量坐标，设 ， ，即求 与
A．0B．1C．2D．4
【答案】C
【解析】根据已知条件可得 是周期函数，且周期为 ，将自变量转化为 ，即可求出结论.
【详解】
是定义在 上的奇函数，
的图像关于直线 对称，
，
，
是周期为 的周期函数，
.
故选:C.
【点睛】
本题考查函数的周期性、函数的奇偶性和对称性，要掌握函数对称性的代数表达式，意在考查直观想象、逻辑分析能力，属于中档题.
【点睛】
本题考查空间点、线、面的位置关系，证明异面直线垂直，考查空间角，要注意用几何法求空间角“做”“证”“算”三步骤缺一不可，属于中档题.
20．已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， .
（1）证明： 为常数列，并求 ；
（2）令 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1）见解析；（2） .
【解析】（1）根据已知 ，求出 ，再由 得到 ，化简可证 为常数列，即可求出 ；
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】抽象函数求值，考虑用赋值法，令 ，求出 ，再令 得出 关系，利用基本不等式求出 ，结合 ，求出 ，再用赋值法即可求出结论.
【详解】
令 ，
令 ，
，
，
，
，
，
.
故选:A.
【点睛】
本题考查抽象函数求值，赋值法是解题的关键，利用基本不等式是突破口，考查直观想象、逻辑推理能力，属于中档题.
17．已知 ， ，函数 （其中 表示对于 ，当 时表达式 的最大值），则 的最小值为______.
【答案】
【解析】根据 的定义，设 的最大值为 ，根据二次函数的性质，分类讨论求出 的最大值，求出 ，再求出其最小值.
【详解】
设 ，对称轴方程为 ，
当 ，
在 单调递增，
当 ，
在 单调递减，
，
所以 的最小值为 .
（2）连接 交 于 点，连接 ，可得 ，转化为求直线 与平面 所成角，由（1）可得平面 平面 ，过 作 ，可证 是直线 与平面 所成角，在 中求出 即可.
【详解】
（1）如图所示，延长 ， ， ， ， 交于点 ，
由题意得 ，取 中点 ，连接 ， ，
则 ， ，又 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以 ；
（2）连接 交 于 点，连接 ，
13．已知直线 ： ，到当实数 变化时恒不在 上的点 所形成的图形面积为______.
【答案】
【解析】根据点到直线距离公式，求出原点 到直线 的距离 ，得到 关于 的函数，根据函数特征求出其最大值；将直线 方程看成关于 的方程，由于平面内所有点 恒不在 上的，因此关于 的方程无实根，由判别式 ，得出图形，即可求出面积.
（2）由（1）求出 进而求出 通项公式，根据通项公式对 分类讨论，分组求和，即可得出结论.
【详解】
（1）因为 ①，
当 时， ②，
①-②得， ，即 ，
同除 得， ，
整理得 ，所以 为常数列.
因为 ，所以 ，
则 ，所以 .
（2）由（Ⅰ）得 ，
所以 ，
则 ，
①当 ， 时，
，
②当 ， 时，
，
综上， .
【点睛】
两点间距离的范围，根据已知等式求出 关系式，即可求解.
【详解】
设 ，由 ，
得 整理得 ，
表示椭圆上的动点
到定点 （左焦点）的距离，
当 点位于椭圆长轴两端点取得最值，分别为 ，
所以 取值范围是 .
故答案为: .
【点睛】
本题考查向量的坐标表示、曲线轨迹方程、椭圆几何性质，解题的关键是向量坐标化，考查数形结合思想，属于中档题.
短半轴长 ，
由三角形两边之和大于第三边可得，
正方体棱上点到 之和最大值为 ，
当 时，满足条件的点 只有6点，不合题意，
的取值范围是 .
故选:D.
【点睛】
本题考查满足条件的点的个数的求法，以及正方体的结构特征，注意椭圆性质的合理应用，意在考查直观想象、逻辑推理能力，属于中档题.
9．已知函数 满足：对任意的实数 ， ，都有 成立，且 ，则 （）
【答案】D
【解析】由题意可得，点 是以 为焦距的椭圆，利用三角形两边之和大于第三边，以及点 的个数大于6个，短半轴长不小于 ，即可求出 的范围.
【详解】
点 是正方体棱上的一点，满足
点 是以 为焦距的椭圆与正方体棱的交点，
正方体的棱长为2，正方体面的对角线为 ，
点 的个数大于6个， 椭圆的半短轴长 ，
【详解】
做出满足 的可行域，如下图所示，
根据图象，当目标函数 过 时，
取得最小值为 .
故答案为:A.
【点睛】
本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合思想，求线性目标函数的最值，属于基础题.
4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）
A．2B． C． D．3
【答案】B
【解析】根据三视图的特征，在正方体中还原出直观图为三棱锥，如下图示，根据三棱锥与正方体关系，即可求解.
【详解】
在正方体中可得三视图对应的三棱锥 的直观图，
其中 为 中点，正方体的棱长为 ，
.
故选:B.
【点睛】
本题考查三视图求体积，在特殊的几何体中还原直观图是解题的关键，属于基础题.
5．已知等比数列 的前 项和为 ，则“ ”是“ ”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
A． B． C． 或 D．
【答案】A
【解析】根据双曲线中的 关系，可得 ，即可求出结论.
【详解】
双曲线 的一条渐近线为 ，
.
故选:A.
【点睛】
本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.
3．已知实数 ， 满足 ，则 的最小值为（）
A．-4B．-2C．0D．2
【答案】A
【解析】做出满足条件的可行域，根据图形求出 的最小值.
14．在 中， ， ， ， 为线段 的中点，则 ______， ______.
【答案】2
【解析】根据向量的线性关系可得 ，结合向量的模长求出 ，进而求出 ，再由余弦定理求出 和三角形面积.
【详解】
为线段 的中点， ，
，
，
，
.
故答案为: ； .
【点睛】
本题考查向量线性关系模长公式、余弦定理解三角形，考查计算求解能力，属于中档题.
15．已知抛物线 ： 和直线 ： ， 是直线上 一点，过点 做抛物线的两条切线，切点分别为 ， ， 是抛物线上异于 ， 的任一点，抛物线在 处的切线与 ， 分别交于 ， ，则 外接圆面积的最小值为______.
【答案】
【解析】设三个切点分别为 ，求出三条切线 方程，三条切线方程分别联立求出 坐标，点 在直线 上，得到 关系，求出 ，进而求出 ，设三角形 外接圆半径为 ，利用 ，求出 的解析式，根据其特征，求出最小值.
【答案】C
【解析】根据 与 关系，结合充分必要条件的判定，即可求出结论.
【详解】
设等比数列 公比为 ，
当 时， ，
当 时， ，
，
所以“ ”是“ ”的充要条件.
故选:C.
【点睛】
本题考查充分必要条件的判定，涉及到等比数列的前 项公式，属于基础题.
6．已知 是定义在 上的奇函数，且 的图像关于直线 对称.若当 时， ，则 （）
则 且 ，
所以直线 与平面 所成角和直线 与平面 所成角相等，
由（Ⅰ）得 平面 ，又 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ，
又平面 平面 ，
过 作 平面 ，
则 是直线 与平面 所成角.
由（Ⅰ）得 是二面角 的平面角，
所以 ，
由余弦定理可得 ，
再由正弦定理得 ，
，
在 中， ，
在直角 中， ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
【答案】15 4
【解析】(1)根据二项式定理的通项公式求解即可.
(2)根据二项式定理的通项公式分析 的指数为整数的项的个数即可.
【详解】
(1)根据二项式定理的通项公式 .
故取常数项时 .此时常数项为 .
(2)当取有理项时, 整数.此时 .故共有4项.
故答案为：(1). 15 (2). 4
【点睛】
本题主要考查了二项式定理的运用,属于中等题型.
【点睛】
本题考查向量的数量积、三角恒等变换、三角函数性质、正弦定理，考查计算能力，属于中档题.
19．如图，在四棱台 中，底面是正方形，且 ，点 ， 分别为棱 ， 的中点，二面角 的平面角大小为 .
（1）证明： ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】（1）将四棱台还原为棱锥，延长 ， ， ， ， 交于点 ，取 中点 ，连接 ， ，可得 ， ，可证 平面 ，即可证明结论；
二、填空题
11．设 为虚数单位，给定复数 ，则 的虚部为______；模为______.
【答案】
【解析】根据复数的乘除法运算法则求出 ，即可得出结论.
【详解】
，
所以 的虚部是 ，模长为 .
故答案为: ； .
【点睛】
本题考查复数的代数运算、复数的模长，属于基础题.
12．二项式 的展开式中常数项等于______，有理项共有______项.