2019高考数学二轮复习第一篇微型专题微专题20直线与抛物线的综合练习理2
专题5.2 直线与抛物线的位置关系(第01期)-2019年高考数学(理)备考之百强校大题狂练系列(原
一、解答题
1．已知抛物线的焦点为，是上关于焦点对称的两点，在点、点处的切线相交
于点.
（1）求的方程；
（2）直线交于、两点，且的面积为16，求的方程.
2．已知抛物线的焦点，点在抛物线上，过焦点的直线交抛物线于两点.
（1）求抛物线的方程以及的值；
（2）记抛物线的准线与轴交于点，若，，求的值.
3．已知直线的方程为，点是抛物线上到直线距离最小的点.
(1)求点的坐标；
(2)若直线与抛物线交于两点，的重心恰好为抛物线的焦点.求的面积.
4．双曲线的左、右焦点分别是，抛物线的焦点与点重合，点是抛物线与双曲线的一个交点，如图所示.
(1)求双曲线及抛物线的标准方程；
(2)设直线与双曲线的过一、三象限的渐近线平行，且交抛物线于两点，交双曲线于点，若点是线段
的中点，求直线的方程.
1
5．设抛物线，直线交抛物线于两点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）互相垂直的直线分别切抛物线于两点，试求两切线交点的轨迹方程.
6．已知抛物线的焦点为，抛物线上的点到的距离为3．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）斜率存在的直线与抛物线相交于相异两点，.若的垂直平分线交轴于点，且，求直线方程．
2。
(全国通用版)2019高考数学二轮复习 压轴大题突破练(二)直线与圆锥曲线(2)理
(二)直线与圆锥曲线(2)1．(2018·洛阳模拟)已知抛物线C ：y ＝－x 2，点A ，B 在抛物线上，且横坐标分别为－12，32，抛物线C 上的点P 在A ，B 之间(不包括点A ，点B )，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .(1)求直线AP 的斜率k 的取值范围；(2)求|PA |·|PQ |的最大值．解 (1)由题意可知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－14，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－94，设P (x P ，－x 2P )，－12<x P <32，所以k ＝－x 2P ＋14x P ＋12＝－x P ＋12∈(－1,1)，故直线AP 的斜率k 的取值范围是(－1,1)．(2)直线AP ：y ＝kx ＋12k －14，直线BQ ：x ＋ky ＋94k －32＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12k －14，x ＋ky ＋94k －32＝0，可知，点Q 的横坐标为x Q ＝3－4k －k 22k 2＋2，|PQ |＝1＋k 2(x Q －x P ) ＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3－4k －k22k 2＋2＋k －12 ＝(k －1)2(1＋k )1＋k 2，|PA |＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x P ＋12＝1＋k 2(1－k )，所以|PA |·|PQ |＝(1－k )3(1＋k )，令f (x )＝(1－x )3(1＋x )，－1<x <1，则f ′(x )＝(1－x )2(－2－4x )＝－2(1－x )2(2x ＋1)，当－1<x <－12时，f ′(x )>0， 当－12<x <1时，f ′(x )<0， 故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1上单调递减． 故f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2716， 即|PA |·|PQ |的最大值为2716. 2．(2018·葫芦岛模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为2c ，离心率为12，圆O ：x 2＋y 2＝c 2，A 1，A 2是椭圆的左、右顶点，AB 是圆O 的任意一条直径，△A 1AB 面积的最大值为2.(1)求椭圆C 及圆O 的方程；(2)若l 为圆O 的任意一条切线，l 与椭圆C 交于两点P ，Q ，求|PQ |的取值范围． 解 (1)设B 点到x 轴距离为h ，则1A AB S ＝12A OB S ＝2·12·|A 1O |·h ＝a ·h ， 易知当线段AB 在y 轴时，h max ＝|BO |＝c ，∴1A AB S＝a ·c ＝2，∵e ＝c a ＝12， ∴a ＝2c ，∴a ＝2，c ＝1，b ＝3，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，圆O 的方程为x 2＋y 2＝1. (2)①当直线l 的斜率不存在时，求得|PQ |＝3；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，∵直线为圆的切线，∴d ＝|m |1＋k 2＝1， ∴m 2＝k 2＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1， 得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0， 判别式Δ＝48(3k 2＋2)>0，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋3，x 1·x 2＝4m 2－124k 2＋3，∴弦长|PQ |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝43·1＋k 2·3k 2＋24k 2＋3， 令t ＝4k 2＋3≥3， 则|PQ |＝3·－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＋2t ＋3∈⎝⎛⎦⎥⎤3，463. 综上，|PQ |∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，463. 3．(2018·江西省重点中学协作体联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，短轴为MN ，点P (4,0)满足PM →·PN →＝15.(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线l 与椭圆交于点A ，B ，是否存在常数λ，使得OA →·OB →＋λPA →·PB →为定值？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解 (1)PM →·PN →＝(－4，b )·(－4，－b )＝16－b 2＝15，所以b ＝1，又c a ＝a 2－b 2a 2＝32，所以a 2＝4， 从而椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)当l 不为x 轴时，设l ：x ＝my ＋4，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立l 与C 的方程可得(m 2＋4)y 2＋8my ＋12＝0， 所以y 1＋y 2＝－8m m 2＋4，y 1y 2＝12m 2＋4， OA →·OB →＋λPA →·PB →＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[(x 1－4)(x 2－4)＋y 1y 2]＝(1＋λ)(1＋m 2)y 1y 2＋4m (y 1＋y 2)＋16＝(12λ－20)m 2＋12(λ＋1)m 2＋4＋16. 因为OA →·OB →＋λPA →·PB →为定值，所以12λ－201＝12(1＋λ)4， 解得λ＝239，此时定值为803. 当l 为x 轴时，A (－2,0)，B (2,0)．OA →·OB →＋λPA →·PB →＝－4＋239·12＝803. 综上，存在λ＝239，使得OA →·OB →＋λPA →·PB →为定值803. 4．(2018·宿州质检)已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点在x 轴上，离心率e ＝32，以椭圆C 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4 5.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若经过点P (1,0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，是否存在直线l 0：x ＝x 0(x 0>2)，使得A ，B 到直线l 0的距离d A ，d B 满足d A d B ＝|PA ||PB |恒成立，若存在，求出x 0的值；若不存在，请说明理由．解 (1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)， ∵ca ＝32，∴c ＝32a ， 又∵4a 2＋b 2＝45，∴a 2＋b 2＝5，由b 2＝a 2－c 2＝14a 2， 解得a ＝2，b ＝1，c ＝ 3.∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)若直线l 的斜率不存在，则直线l 0为任意的x ＝x 0(x 0>2)都满足要求；当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －1)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(不妨令x 1>1>x 2)，则d A ＝x 0－x 1，d B ＝x 0－x 2，|PA |＝1＋k 2(x 1－1)，|PB |＝1＋k 2(1－x 2)， ∵d A d B ＝|PA ||PB |， ∴x 0－x 1x 0－x 2＝1＋k 2(x 1－1)1＋k 2(1－x 2) ＝x 1－11－x 2，解得x 0＝2x 1x 2－(x 1＋x 2)(x 1＋x 2)－2. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k (x －1)得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0， x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－41＋4k 2， x 0＝8k 2－81＋4k 2－8k21＋4k 28k21＋4k 2－2＝4. 综上可知，存在直线l 0：x ＝4，使得A ，B 到直线l 0的距离d A ，d B 满足d A d B ＝|PA ||PB |恒成立． 5．(2018·四省大联考)如图，在平面直角坐标系中，已知点F (1,0)，过直线l ：x ＝2左侧的动点P 作PH ⊥l 于点H ，∠HPF 的角平分线交x 轴于点M ，且|PH |＝2|MF |，记动点P 的轨迹为曲线Γ.(1)求曲线Γ的方程；(2)过点F 作直线m 交曲线Γ于A ，B 两点，点C 在l 上，且BC ∥x 轴，试问：直线AC 是否恒过定点？请说明理由．解 (1)设P (x ，y )，由题意可知|MF |＝|PF |，所以|PF ||PH |＝|MF ||PH |＝22， 即(x －1)2＋y 2|x －2|＝22，化简整理得x 22＋y 2＝1， 即曲线Γ的方程为x 22＋y 2＝1. (2)由已知可得直线m 的斜率不为0，∴可设直线m 的方程为x ＝ny ＋1， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ny ＋1，x 22＋y 2＝1消去x ， 得(n 2＋2)y 2＋2ny －1＝0，Δ>0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则C (2，y 2)，则y 1＋y 2＝－2nn 2＋2，y 1y 2＝－1n 2＋2，x 1＝ny 1＋1， ∴直线AC 的斜率为k ＝y 1－y 2x 1－2，直线AC 的方程为y －y 2＝y 1－y 2x 1－2(x －2)，即y ＝y 1－y 2x 1－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －2＋y 2(x 1－2)y 1－y 2，又y 2(x 1－2)y 1－y 2＝y 2(ny 1－1)－2nn 2＋2－2y 2＝y 2＋nn 2＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫nn 2＋2＋y 2＝12，∴直线AC 的方程为 y ＝y 1－y 2x 1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2＋12＝y 1－y 2x 1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，∴直线AC 过定点N ⎝⎛⎭⎫32，0.。
2019高考数学理科二轮复习第一篇微型专题练习：微专题21 坐标系与参数方程 Word版含解析
21 坐标系与参数方程1.已知动点P ,Q 都在曲线C :(t 为参数)上,对应参数分别{x =2cos t,y =2sin t 为t=α与t=2α(0<α<2π),M 为PQ 的中点.(1)求点M 的轨迹的参数方程;(2)将点M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数,并判断点M 的轨迹是否过坐标原点.解析▶ (1)由题意得P (2cos α,2sin α),Q (2cos 2α,2sin 2α),因此M (cos α+cos 2α,sin α+sin 2α),故点M 的轨迹的参数方程为(α为参数,0<α<2π).{x =cos α+cos2α,y =sin α+sin2α(2)点M 到坐标原点的距离d==(0<α<2π),x 2+y 22+2cos α当α=π时,d=0,故点M 的轨迹过坐标原点.2.已知圆O 1,圆O 2的极坐标方程分别为ρ=4cos θ,ρ=-sin θ.(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)求经过圆O 1与圆O 2的两个交点的直线的直角坐标方程,并将其化为极坐标方程.解析▶ (1)由ρ=4cos θ得ρ2=4ρcos θ,将ρcosθ=x ,ρ2=x 2+y 2代入上式,可得x 2+y 2=4x ,所以圆O 1的直角坐标方程为x 2+y 2-4x=0.由ρ=-sin θ得ρ2=-ρsin θ,将ρ2=x 2+y 2,ρsin θ=y 代入上式,可得x 2+y 2=-y ,所以圆O 2的直角坐标方程为x 2+y 2+y=0.(2)由x 2+y 2-4x=0及x 2+y 2+y=0,两式相减得4x+y=0,所以经过圆O 1与圆O 2的两个交点的直线的直角坐标方程为4x+y=0.将4x+y=0化为极坐标方程为4ρcos θ+ρsin θ=0,即tan θ=-4.3.在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线l 的参数方程为(t 为参数),曲{x =255t ,y =2+55t线C 的极坐标方程为ρcos 2θ=8sin θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程,并指出该曲线是什么曲线;(2)若直线l 与曲线C 的交点分别为M ,N ,求|MN|.解析▶ (1)因为cosρ2θ=8sin θ,所以cos θ=8ρsin θ,ρ22即x 2=8y ,所以曲线C 表示焦点坐标为(0,2),对称轴为y 轴的抛物线.(2)易知直线l 过抛物线的焦点(0,2),且参数方程为{x =255t ,y =2+55t(t 为参数),代入曲线C 的直角坐标方程,得t 2-2t-20=0,设M ,N 对应的参5数分别为t 1,t 2,所以t 1+t 2=2,t 1t 2=-20.5所以|MN|=|t 1-t 2=10.(t 1+t 2)2-4t 1t 24.以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C 1的极坐标方程为ρsin =,曲线C 2的极坐标(θ-π4)2方程为ρ=2cos .(θ-π4)(1)写出曲线C 1的直角坐标方程和曲线C 2的参数方程;(2)设M ,N 分别是曲线C 1,C 2上的两个动点,求|MN|的最小值.解析▶ (1)依题意得,ρsin =ρsin θ-ρcos θ=(θ-π4)2222,2所以曲线C 1的直角坐标方程为x-y+2=0.由曲线C 2的极坐标方程得ρ2=2ρcos =ρcos θ+(θ-π4)22ρsin θ,所以曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2-x-y=0,即+22(x -22)2=1, (y -22)2所以曲线C 2的参数方程为(θ为参数). {x =22+cos θ,y =22+sin θ(2)由(1)知,圆C 2的圆心到直线x-y+2=0的距离d=(22,22)=.|22-22+2|22又半径r=1,所以|MN|min =d-r=-1.2能力1▶ 能用曲线极坐标方程解决问题 【例1】 在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的圆心为,半径为(0,12),现以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.12(1)求圆C 的极坐标方程;(2)设M ,N 是圆C 上两个动点,且满足∠MON=,求+的最2π3|OM ||ON |小值.解析▶ (1)由题意得圆C 的直角坐标方程为x 2+=,即(y -12)214x 2+y 2-y=0,化为极坐标方程为ρ2-ρsin θ=0,整理可得ρ=sin θ.(2)设M ,N, 则|OM|+=ρ1+ρ2=sin θ+sin(ρ1,θ)(ρ2,θ+2π3)|ON | =sin θ+cos θ=sin .(θ+2π3)1232(θ+π3)由得0≤θ≤,所以≤θ+≤,故≤sin{0≤θ≤π,0≤θ+2π3≤π,π3π3π32π332≤1,(θ+π3)即+的最小值为.|OM ||ON |32 由极坐标方程求与曲线有关的交点、距离等几何问题时,若能用极坐标系求解,可直接用极坐标求解;若不能直接用极坐标解决,可先转化为直角坐标方程,然后求解.已知曲线C :ρ=-2sin θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程;(2)若曲线C 与直线x+y+a=0有公共点,求实数a 的取值范围.解析▶ (1)由ρ=-2sin θ可得 ρ2=-2ρsin θ,即x 2+y 2=-2y ,∴曲线C 的直角坐标方程为x 2+(y+1)2=1.(2)由圆C 与直线有公共点,得圆心C 到直线的距离d=|0-1+a |2≤1,解得1-≤a ≤1+.22∴实数a 的取值范围为[1-,1+].22能力2▶ 会用参数方程解决问题 【例2】 在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为(θ为参数),直线l 的参数方程为(t 为参{x =2cos θ,y =4sin θ{x =1+t cos α,y =2+t sin α数).(1)求曲线C 和直线l 的普通方程;(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2),求l 的斜率.解析▶ (1)曲线C的普通方程为+=1.x 24y 216当cos α≠0时,l 的普通方程为y=x tan α+2-tan α;当cos α=0时,l 的普通方程为x=1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程,整理得关于t 的方程,即(1+3cos 2α)t 2+4(2cos α+sin α)t-8=0. ①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标(1,2)在C 内,所以①有两个解,设为t 1,t 2,则t 1+t 2=0.又由①得t 1+t 2=-,故2cos α+sin α=0,于是直线l4(2cos α+sin α)1+3cos 2α的斜率k=tan α=-2. 过点M 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是(t 是参数).注意以下结论的应用:{x =x 0+tcos α,y =y 0+tsin α(1)|M 1M 2|=|t 1-t 2|;(2)若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ,则t=,中点M 到t 1+t 22定点M 0的距离|MM 0|=|t|=;|t 1+t 22|(3)若M 0为线段M 1M 2的中点,则t 1+t 2=0.在平面直角坐标系xOy 中,曲线M 的参数方程为{x =2+r cos θ,y =1+r sin θ(θ为参数,r>0),曲线N 的参数方程为(t 为参数,且{x =255t ,y =1+55tt ≠0).(1)以曲线N 上的点与原点O 连线的斜率k 为参数,写出曲线N 的参数方程;(2)若曲线M 与N 的两个交点为A ,B ,直线OA 与直线OB 的斜率之积为,求r 的值.43解析▶ (1)将消去参数t ,得x-2y+2=0(x ≠0),由题{x =255t ,y =1+55t意可知k ≠.12由得.{x -2y +2=0,y =kx (k ≠12),{x =22k -1,y =2k 2k -1(k ≠12)故曲线N 的参数方程为k 为参数,{x =22k-1,y =2k2k-1.且k ≠12)(2)由曲线M 的参数方程得其普通方程为(x-2)2+(y-1)2=r 2,将代入上式,{x =22k-1,y =2k2k-1整理得(16-4r 2)k 2+(4r 2-32)k+17-r 2=0.因为直线OA 与直线OB 的斜率之积为,所以=,解得r 2=1.4317-r 216-4r 243又r>0,所以r=1.将r=1代入(16-4r 2)k 2+(4r 2-32)k+17-r 2=0,得12k 2-28k+16=0,满足Δ>0,故r=1.能力3▶ 会解极坐标与参数方程的综合问题 【例3】 在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为(t 为参数,a ∈R),以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴{x =a -22t ,y =1+22t建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ+2cos θ-ρ=0.(1)写出曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程;(2)已知点P (a ,1),曲线C 1和曲线C 2交于A ,B 两点,且|PA|·|PB|=4,求实数a 的值.解析▶ (1)由C 1的参数方程消去t 得其普通方程为x+y-a-1=0.由C 2的极坐标方程得ρ2cos 2θ+2ρcos θ-ρ2=0,所以C 2的直角坐标方程为y 2=2x.(2)将曲线C 1的参数方程代入曲线C 2:y 2=2x ,得t 2+4t+2(1-22a )=0,由Δ>0得a>-.32设A ,B 对应的参数分别为t 1,t 2,则t 1t 2=2(1-2a ).由题意得|PA|·|PB|=|t 1t 2|=|2(1-2a )|=4,解得a=-或a=,满足Δ>0,1232所以实数a的值为-或.1232 涉及参数方程和极坐标方程的综合题,求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然,还要结合题目本身特点,确定选择何种方程方便.在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为(α为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为{x =2+25cos α,y =4+25sin α极轴建立极坐标系,直线C 2的极坐标方程为θ=(ρ∈R).π3(1)求C 1的极坐标方程和C 2的直角坐标方程;(2)若直线C 3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C 2与C 1的交点为π6O ,M ,C 3与C 1的交点为O ,N ,求△OMN 的面积.解析▶ (1)将曲线C 1的参数方程消去参数α,得其普通方程为(x-2)2+(y-4)2=20,即x 2+y 2-4x-8y=0.把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入方程得ρ2-4ρcos θ-8ρsin θ=0,所以C 1的极坐标方程为ρ=4cos θ+8sin θ.由直线C 2的极坐标方程得其直角坐标方程为y=x.3(2)设M (ρ1,θ1),N (ρ2,θ2),分别将θ1=,θ2=代入ρ=4cosπ3π6θ+8sin θ,得ρ1=2+4,ρ2=4+2.33则△OMN 的面积S=ρ1ρ2sin(θ1-θ2)12=×(2+4)×(4+2)×sin =8+5.1233π631.在极坐标系中,极点为O ,已知曲线C 1:ρ=2,曲线C 2:ρsin =(θ-π4).2(1)试判断曲线C 1与曲线C 2的位置关系;(2)若曲线C 1与曲线C 2交于A ,B 两点,求过点C (1,0)且与直线AB 平行的直线l 的极坐标方程.解析▶ (1)∵ρ=2,∴x 2+y 2=4.由ρsin =,可得ρsin θ-ρcos θ=2,即x-y+2=0.(θ-π4)2圆心(0,0)到直线x-y+2=0的距离d==<2,∴曲线C 1与曲线C 2222相交.(2)∵曲线C 2的斜率为1,∴过点(1,0)且与曲线C 2平行的直线l 的直角坐标方程为y=x-1,∴直线l 的极坐标方程为ρsin θ=ρcos θ-1,即ρcos (θ+π4)=.222.已知曲线C 的参数方程为(θ为参数),在同一平面直角{x =3cos θ,y =2sin θ坐标系中,将曲线C 经过伸缩变换后得到曲线C'.{x '=13x ,y '=12y(1)求曲线C'的普通方程;(2)若点A 在曲线C'上,点B (3,0),当点A 在曲线C'上运动时,求AB 中点P 的轨迹方程.解析▶ (1)将代入得C'的参数方程为{x =3cos θ,y =2sin θ{x '=13x ,y '=12y ,{x '=cos θ,y '=sin θ,所以曲线C'的普通方程为x 2+y 2=1.(2)设P (x ,y ),A (x 0,y 0),因为点B (3,0),且AB 的中点为P ,所以{x 0=2x -3,y 0=2y .又点A 在曲线C'上,代入C'的普通方程x 2+y 2=1,得(2x-3)2+(2y )2=1,所以动点P 的轨迹方程为+y 2=. (x -32)2143.已知直线l 的参数方程为(t 为参数),以坐标原点O{x =1+12t ,y =3+3t为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为sinθ-ρcos 2θ=0.3(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程;(2)写出直线l 与曲线C 交点的一个极坐标.解析▶ (1)由消去参数t ,得y=2x-,即直线l{x =1+12t ,y =3+3t33的普通方程为y=2x-.33∵sin θ-ρcos 2θ=0,∴ρsin θ-ρ2cos 2θ=0,得y-333x 2=0,即曲线C 的直角坐标方程为y=x 2.3(2)将代入y=x 2,得+t-=0,解得{x =1+12t ,y =3+3t3333(1+12t )2t=0,∴交点坐标为(1,),3∴交点的一个极坐标为.(2,π3)4.在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为(t{x =-1+22t ,y =1+22t为参数),圆C 的直角坐标方程为(x-2)2+(y-1)2=5.以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线l 及圆C 的极坐标方程;(2)若直线l 与圆C 交于A ,B 两点,求cos∠AOB 的值.解析▶ (1)由直线l 的参数方程得其普通方程{x =-1+22t ,y =1+22t为y=x+2,∴直线l 的极坐标方程为ρsin θ=ρcos θ+2,即ρsin θ-ρcos θ=2.又∵圆C 的方程为(x-2)2+(y-1)2=5,将代入并化简得ρ=4cos θ+2sin θ,{x =ρcos θ,y =ρsin θ∴圆C 的极坐标方程为ρ=4cos θ+2sin θ. (2)将ρsin θ-ρcos θ=2与ρ=4cos θ+2sin θ联立,得(4cos θ+2sin θ)(sin θ-cos θ)=2,整理得sin θcos θ=3cos 2θ,∴θ=或tan θ=3.π2不妨记点A对应的极角为,点B 对应的极角为θ,且tan θ=3.π2∴cos∠AOB=cos=sin θ=.(π2-θ)310105.在平面直角坐标系xOy 中,圆C 1的参数方程为(α{x =2+2cos α,y =2sin α为参数).以平面直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线C 2的极坐标方程为ρsin θ=.3(1)求圆C 1圆心的极坐标;(2)设C 1与C 2的交点为A ,B ,求△AOB 的面积.解析▶ (1)由曲线C 1的参数方程(α为参数),消{x =2+2cos α,y =2sin α去参数,得C 1的直角坐标方程为x 2-4x+y 2=0,∴C 1的圆心坐标(2,0)在x 轴的正半轴上,∴圆心的极坐标为(2,0).(2)由C 1的直角坐标方程得其极坐标方程为ρ=4cos θ(ρ>0).由方程组得4sin θcos θ=,解得sin 2θ=.{ρ=4cos θ,ρsin θ=3332∴θ=k π+(k ∈Z)或θ=k π+(k ∈Z),π6π3∴ρ=2或ρ=2.3∴C 1和C 2交点的极坐标为A ,B 2,k π+(k ∈Z).(23,kπ+π6)π3∴S △AOB =|AO||BO|sin∠AOB=×2×2×sin =.12123π636.在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =3+2cos α,y =1+2sin α(α为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.在极坐标系中有射线l :θ=(ρ≥0)和曲线C 2:ρ(sin θ+2cosπ4θ)=ρ2cos 2θ+m.(1)判断射线l 和曲线C 1公共点的个数;(2)若射线l 与曲线C 2 交于A ,B 两点,且满足|OA|=|AB|,求实数m 的值.解析▶ (1)由题意得射线l 的直角坐标方程为y=x (x ≥0),曲线C 1是以(3,1)为圆心,为半径的圆,其直角坐标方程为(x-3)2+(y-21)2=2.联立解得{y =x (x ≥0),(x -3)2+(y -1)2=2,{x =2,y =2,故射线l 与曲线C 1有一个公共点(2,2). (2)将θ=代入曲线C 2的方程,π4得ρ=ρ2cos 2+m ,(sin π4+2cos π4)π4即ρ2-3ρ+2m=0.2由题知解得0<m<.{Δ=(32)2-8m >0,m >0,94设方程的两个根分别为ρ1,ρ2(0<ρ1<ρ2),由韦达定理知 ρ1+ρ2=3,ρ1ρ2=2m.2由|OA|=|AB|,得|OB|=2|OA|,即ρ2=2ρ1,∴ρ1=,ρ2=2,m=2.22。
高考备考复习解析几何(理科数学)：直线与抛物线的位置关系含答案-word文档资料
理科数学复习：直线与抛物线的位置关系最值问题1.已知直线是抛物线C：的准线，P是C上的一动点，则P到直线与直线：的距离之和的最小值为A. B. C. 6 D.2.已知点M，N是抛物线上不同的两点，F为抛物线的焦点，且满足，弦MN的中点P到直线l：的距离记为d，若，则的最小值为A. 3B.C.D. 43.已知抛物线，焦点为F，过F点的直线l交抛物线于A，B两点，则的最小值为______．斜率问题4.已知抛物线C：的焦点是F，过点F的直线与抛物线C相交于P、Q两点，且点Q在第一象限，若，则直线PQ的斜率是A. B. 1 C. D.5.已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C及其准线分别交于P，Q两点，，则直线l的斜率为1______．6.已知抛物线C：，焦点为F，过点作斜率为的直线l与抛物线C交于A，B两点，直线AF，BF分别交抛物线C于M，N两点，若，则___3___ ．7.设抛物线的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是A. B. C. D.离心率和距离问题8.已知抛物线的焦点为F，准线为l，抛物线的对称轴与准线交于点Q，P为抛物线上的动点，，当m最小时，点P恰好在以F，Q为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为A. B. C. D.9.已知抛物线C：的焦点为F，过点F作斜率为1的直线l交抛物线C与P、Q两点，则的值为A. B. C. 1 D. 210.已知抛物线C：的焦点为F，过F且倾斜角为的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于A、B两点，与它的准线交于点P，则_2_____11.F是抛物线的焦点，A、B是抛物线上的两点，，则线段AB的中点到y轴的距离为A. 4B.C.D. 312.已知直线l过点，且倾斜角为，当此直线与抛物线交于A，B时，A. B. 16 C. 8 D. 13.已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，P是l上一点，直线PF与曲线相交于M，N两点，若，则A. B. C. 10 D. 11面积综合问题14.已知抛物线C：的焦点为F，准线l：，点M在抛物线C上，点A在准线l上，若，且直线AF的斜率，则的面积为A. B. C. D.15.已知抛物线方程为，过该抛物线焦点F且不与x轴垂直的直线AB交抛物线于A，B两点，过点A，点B分别作AM，BN垂直于抛物线的准线，分别交准线于M，N两点，那么必是A. 锐角B. 直角C. 钝角D. 以上皆有可能16.（与向量结合点）已知直线与抛物线交于A，B两点在x轴上方，与x轴交于F点，，则A. B. C. D. ．抛物线综合问题17.（一）已知抛物线G：，过焦点F的动直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M．当直线l的倾斜角为时，求抛物线G的方程；定值问题对于问中的抛物线G，若点，求证：为定值，并求出该定值．（二）.已知抛物线E：，斜率为k且过点的直线l与E交于A，B两点，且，其中O为坐标原点．（）求抛物线E的方程；设点，记直线AN，BN的斜率分别为，，证明：为定值．(选做)已知曲线C：，M：，直线l与曲线C相交于A、B两点，O 为坐标原点．1若，求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；2若直线l与曲线相切，，求的取值范围第 1 页最值问题：1. C 2. A 3. .斜率问题：4. D 5. 6. 7. C离心率和距离问题：8. D9. C10. 11. C12. A13. B面积综合问题：14.C15.B16B抛物线综合问题：. 17.（一）抛物线G：，知，设直线l的方程为，由得：，显然成立．可得，，，可得．当直线l倾斜角为时，，，得， (5)所以抛物线G的方程为． (6)证明：由知，M为线段AB的中点，且， (7)可得，，即，又， (8)若满足题意， (9)此时． (11)综上为定值6． (12)(二).：根据题意，设直线l的方程为，联立方程组得，设，，所以，，又，所以，从而抛物线E的方程为．证明：因为，，所以，，因此，又，，所以，即为定值．选做由已知，可设l：，，由得：，，．．由可得：．解得：．：，直线l恒过定点．直线l与曲线相切，，显然，，整理得：由Ⅰ及可得：，即的取值范围是．。
2019-2020年高考数学大二轮专题复习第二编专题整合突破专题六解析几何第一讲直线与圆适考素能特训理
2019-2020年高考数学大二轮专题复习第二编专题整合突破专题六解析几何第一讲直线与圆适考素能特训理一、选择题1．[xx·湖南岳阳一模]已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝4，过A (－1,0)的直线l 与圆C 相交于P ，Q 两点．若|PQ |＝23，则直线l 的方程为( )A ．x ＝－1或4x ＋3y －4＝0B ．x ＝－1或4x －3y ＋4＝0C ．x ＝1或4x －3y ＋4＝0D ．x ＝1或4x ＋3y －4＝0 答案 B解析 当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－1符合题意；当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，由|PQ |＝23，则圆心C 到直线l 的距离d ＝|－k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝43，此时直线l 的方程为y ＝43(x ＋1)．故所求直线l 的方程为x ＝－1或4x －3y ＋4＝0.2．[xx·重庆测试]已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2与y 轴在第二象限所围区域的面积为S ，直线y ＝2x ＋b 分圆C 的内部为两部分，其中一部分的面积也为S ，则b ＝( )A ．－ 6B ．± 6C ．－ 5D ．± 5答案 D解析 本题考查圆的性质、点到直线的距离公式与数形结合思想．依题意圆心C 的坐标为(1,2)，则圆心C 到y 轴的距离为1，由圆的对称性可知，若直线2x －y ＋b ＝0分得圆C 内部的一部分面积也为S ，则圆心C (1,2)到直线2x －y ＋b ＝0的距离等于1，于是有|2×1－2＋b |5＝1，解得b ＝±5，故选D. 3．[xx·南昌一模]已知点P 在直线x ＋3y －2＝0上，点Q 在直线x ＋3y ＋6＝0上，线段PQ 的中点为M (x 0，y 0)，且y 0<x 0＋2，则y 0x 0的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(0，＋∞) 答案 D解析 本题考查点到直线的距离、直线的斜率．由题意得|x 0＋3y 0－2|10＝|x 0＋3y 0＋6|10，整理得x 0＋3y 0＋2＝0.又y 0<x 0＋2，设y 0x 0＝k OM ，如图，当点位于线段AB (不包括端点)上时，k OM >0，当点位于射线BN (不包括端点B )上时，k OM <－13，所以y 0x 0的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(0，＋∞)，故选D.4．[xx·金版原创四]倾斜角互补的直线l 1：m 1x －y ＋1－m 1＝0，l 2：m 2x －y ＋1－m 2＝0分别被圆O ：x 2＋y 2＝4所截得的弦长之比为62，则m 1m 2＝( ) A ．－9或－19B ．9或19C ．－9D ．－19答案 A解析 本题考查直线与圆的位置关系．由题可知两条直线斜率分别为m 1，m 2，又两直线的倾斜角互补，所以斜率互为相反数，即m 1＋m 2＝0，被圆O ：x 2＋y 2＝4所截得的弦长之比为24－1－m 12m 21＋124－1＋m 12m 21＋1＝62，化简得3m 21－10m 1＋3＝0，解得m 1＝13或3，所以m 1m 2＝－m 21＝－19或－9，故选A.5．[xx·广东综合测试]已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 是原点，且有|OA →＋OB →|≥33|AB →|，则k 的取值范围是( ) A ．(3，＋∞) B ．[2，＋∞) C ．[2，22) D ．[3，22]答案 C解析 本题考查直线与圆的位置关系、平面向量的运算．设AB 的中点为D ，则OD ⊥AB ，因为|OA →＋OB →|≥33|AB →|，所以|2OD →|≥33|AB →|，|AB →|≤23|OD →|，又因为|OD →|2＋14|AB →|2＝4，所以|OD →|≥1.因为直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点，所以|OD →|<2，所以1≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪|－k |2<2，解得2≤k <22，故选C.6．已知点A (－2,0)，B (0,2)，若点C 是圆x 2－2ax ＋y 2＋a 2－1＝0上的动点，△ABC 面积的最小值为3－2，则a 的值为( )A ．1B ．－5C ．1或－5D ．5答案 C解析 解法一：圆的标准方程为(x －a )2＋y 2＝1，圆心M (a,0)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离为d ＝|a ＋2|2，可知圆上的点到直线AB 的最短距离为d －1＝|a ＋2|2－1，(S △ABC )min ＝12×22×|a ＋2|－22＝3－2，解得a ＝1或－5.解法二：圆的标准方程为(x －a )2＋y 2＝1，设C 的坐标为(a ＋cos θ，sin θ)，C 点到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离为d ＝|a ＋cos θ－sin θ＋2|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋a ＋22，△ABC 的面积为S △ABC ＝12×22×⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋a ＋22＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋a ＋2， 当a ≥0时，a ＋2－2＝3－2，解得a ＝1； 当－2≤a <0时，|a ＋2－2|＝3－2，无解； 当a <－2时，|a ＋2＋2|＝3－2，解得a ＝－5. 故a ＝1或－5.解法三：设与AB 平行且与圆相切的直线l ′的方程为x －y ＋m ＝0(m ≠2)，圆心M (a,0)到直线l ′的距离d ＝1，即|a ＋m |2＝1，解得m ＝±2－a ， 两平行线l ，l ′之间的距离就是圆上的点到直线AB 的最短距离， 即|m －2|2＝|±2－a －2|2， (S △ABC )min ＝12×22×|±2－a －2|2＝|±2－a －2|.当a ≥0时，|±2－a －2|＝3－2，解得a ＝1. 当a <0时，|±2－a －2|＝3－2，解得a ＝－5. 故a ＝1或－5. 二、填空题7．[xx·福建厦门一模]已知a >0，b >0，若直线l 1：x ＋a 2y ＋2＝0与直线l 2：(a 2＋1)x －by ＋3＝0互相垂直，则ab 的最小值是________．答案 2解析 依题意可得，1×(a 2＋1)＋a 2·(－b )＝0，a 2－a 2b ＋1＝0，∴b ＝a 2＋1a 2，∴ab ＝a 2＋1a＝a ＋1a≥2.当且仅当a ＝1a，即a ＝1，b ＝2时，ab 取到最小值2.8．[xx·云南统考]已知f (x )＝x 3＋ax －2b ，如果f (x )的图象在切点P (1，－2)处的切线与圆(x －2)2＋(y ＋4)2＝5相切，那么3a ＋2b ＝________.答案 －7解析 由题意得f (1)＝－2⇒a －2b ＝－3， 又∵f ′(x )＝3x 2＋a ，∴f (x )的图象在点P (1，－2)处的切线方程为y ＋2＝(3＋a )(x －1)，即(3＋a )x －y －a －5＝0， ∴|3＋a ×2＋4－a －5|3＋a 2＋12＝5⇒a ＝－52， ∴b ＝14，∴3a ＋2b ＝－7.9．[xx·山东青岛质检]在平面直角坐标系xOy 中，已知点P (3,0)在圆C ：x 2＋y 2－2mx －4y ＋m 2－28＝0内，动直线AB 过点P 且交圆C 于A ，B 两点．若△ABC 的面积的最大值为16，则实数m 的取值范围为________．答案 (3－27，3－23]∪[3＋23，3＋27)解析 由题意得圆心C (m,2)，半径r ＝4 2.因为点P (3,0)在圆C ：x 2＋y 2－2mx －4y ＋m 2－28＝0内，所以32＋0－6m －0＋m 2－28<0，解得3－27<m <3＋27.设圆心C 到直线AB 的距离为d ，则d ≤|CP |.又S △ABC ＝12d ·|AB |＝12d ·2r 2－d2≤d 2＋r 2－d 22＝r 22＝16，当且仅当d 2＝r 2－d 2，即d 2＝16，d ＝4时取等号，因此|CP |≥4,m －32＋22≥4，即m ≥3＋23或m ≤3－2 3.综上，实数m 的取值范围为(3－27，3－23]∪[3＋23，3＋27)．三、解答题10．[xx·河北唐山调研]已知定点M (0,2)，N (－2,0)，直线l ：kx －y －2k ＋2＝0(k 为常数)．(1)若点M ，N 到直线l 的距离相等，求实数k 的值；(2)对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，求实数k 的取值范围． 解 (1)∵点M ，N 到直线l 的距离相等， ∴l ∥MN 或l 过MN 的中点． ∵M (0,2)，N (－2,0)， ∴直线MN 的斜率k MN ＝1，MN 的中点坐标为C (－1,1)．又∵直线l ：kx －y －2k ＋2＝0过定点D (2,2)， ∴当l ∥MN 时，k ＝k MN ＝1； 当l 过MN 的中点时，k ＝k CD ＝13.综上可知，k 的值为1或13.(2)∵对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，∴l 与以MN 为直径的圆相离，即圆心到直线l 的距离大于半径，∴d ＝|－k －1－2k ＋2|k 2＋1>2，解得k <－17或k >1.11．[xx·江西九江三模]已知点P 是圆F 1：(x ＋3)2＋y 2＝16上任意一点，点F 2与点F 1关于原点对称，线段PF 2的中垂线与PF 1交于M 点．(1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)设轨迹C 与x 轴的左、右两个交点分别为A ，B ，点K 是轨迹C 上异于A ，B 的任意一点，KH ⊥x 轴，H 为垂足，延长HK 到点Q 使得|HK |＝|KQ |，连接AQ 并延长交过B 且垂直于x 轴的直线l 于点D ，N 为DB 的中点．试判断直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系．解 (1)由题意得，F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 圆F 1的半径为4，且|MF 2|＝|MP |，从而|MF 1|＋|MF 2|＝|MF 1|＋|MP |＝4>|F 1F 2|＝23，∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为左、右焦点的椭圆，其中长轴长2a ＝4，焦距2c ＝23， 则短半轴长b ＝a 2－c 2＝4－3＝1， ∴点M 的轨迹C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)如图，设K (x 0，y 0)，则x 204＋y 20＝1.∵|HK |＝|KQ |， ∴Q (x 0,2y 0)． ∴|OQ |＝x 20＋2y 02＝2，∴Q 点在以O 为圆心，2为半径的圆上，即Q 点在以AB 为直径的圆O 上．又A (－2,0)， ∴直线AQ 的方程为y ＝2y 0x 0＋2(x ＋2)． 令x ＝2，得D ⎝⎛⎭⎪⎫2，8y 0x 0＋2. 又B (2,0)，N 为DB 的中点， ∴N ⎝⎛⎭⎪⎫2，4y 0x 0＋2.∴OQ →＝(x 0,2y 0)，NQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－2，2x 0y 0x 0＋2.∴OQ →·NQ →＝x 0(x 0－2)＋2y 0·2x 0y 0x 0＋2＝x 0(x 0－2)＋4x 0y 2x 0＋2＝x 0(x 0－2)＋x 04－x 20x 0＋2＝x 0(x 0－2)＋x 0(2－x 0)＝0. ∴OQ →⊥NQ →.∴直线QN 与以AB 为直径的圆O 相切．12．[xx·福建高考]已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(0，2)，且离心率e ＝22.(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线l ：x ＝my －1(m ∈R )交椭圆E 于A ，B 两点，判断点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，0与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．解 (1)由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2.解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，c ＝ 2.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为H (x 0，y 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 24＋y22＝1得(m 2＋2)y 2－2my －3＝0，所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－3m 2＋2， 从而y 0＝mm 2＋2.所以|GH |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋942＋y 20＝(my 0＋54)2＋y 20＝(m 2＋1)y 20＋52my 0＋2516.|AB |24＝x 1－x 22＋y 1－y 224＝1＋m2y 1－y 224＝1＋m2[y 1＋y 22－4y 1y 2]4＝(1＋m 2)(y 20－y 1y 2)，故|GH |2－|AB |24＝52my 0＋(1＋m 2)y 1y 2＋2516＝5m22m 2＋2－31＋m 2m 2＋2＋2516＝17m 2＋216m 2＋2>0， 所以|GH |>|AB |2.故点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，0在以AB 为直径的圆外．。
2019高考数学二轮复习专题五解析几何第2讲椭圆双曲线抛物线练习
地地道道的达到 第 2 讲 椭圆、双曲线、抛物线高考定位1. 圆锥曲线的方程与几何性质是高考的要点，多以选择题、 填空题或解答题的一问的形式命题； 2 直线与圆锥曲线的地点关系是命题的热门，特别是相关弦长计算及存在性问题，运算量大，能力要求高，突出方程思想、转变化归与分类议论思想方法的考察 .真题感悟1.(2018 ·全国Ⅱ卷 ) 双曲线x 222－y2＝ 1( >0， >0) 的离心率为3，则其渐近线方程为 ( )ababA. y ＝± 2xB. y ＝± 3x23C.y ＝± 2 xD. y ＝± 2 xc22b分析 法一 由题意知， e ＝a ＝ 3 ，所以 c ＝ 3 a ，所以 b ＝ c － a ＝ 2a ，即 a ＝ 2，所b以该双曲线的渐近线方程为y ＝± a x ＝± 2x .cb 2bb法二 由 e ＝ a ＝ 1＋ a ＝ 3，得 a ＝ 2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝± a x ＝± 2x .答案 A222.(2018 ·全国Ⅰ卷 ) 设抛物线 C ： y ＝ 4x 的焦点为 F ，过点 ( －2， 0) 且斜率为 3的直线与 C → → )交于 M ， N 两点，则 FM · FN ＝ ( A.5B.6C.7D.8( x ＋2) ，由 y 2x ＋ 2），过点 ( － 2， 0) 且斜率为2 的直线的方程为 y ＝ 2 ＝ （分析 3得 x 2－ 5x33 y2＝4 ，x＋4＝ 0. 设 M ( x ， y ) ， N ( x， y ) ，则 y>0， y >0，依据根与系数的关系，得x ＋x ＝ 5， x x2112212121＝4. 易知 (1 ， 0) ，所以 →＝ (x 1－ 1， 1) ，→＝(x 2－1， 2) ，所以 → · → ＝(x 1－ 1)(2－ 1)F FM y FNyFM FN x＋y 1y 2＝ x 1x 2－ ( x 1＋ x 2 ) ＋ 1＋ 4 x 1x 2＝ 4－ 5＋ 1＋ 8＝ 8.答案Dx 2 y 23.(2018 ·全国Ⅱ卷 ) 已知 F 1，F 2 是椭圆 C ：a 2＋b 2＝ 1( a >b >0) 的左、右焦点， A 是 C 的左极点，呵呵复生复生复生3点 P 在过 A 且斜率为 6 的直线上， △PF 1F 2 为等腰三角形， ∠ F 1F 2P ＝120°， 则 C 的离心率为()2 1 1 1 A.B.C.D.3234分析由题意可知椭圆的焦点在 x 轴上，以下图，设| F 1F 2| ＝ 2c ，∵△ PF 1F 2 为等腰三角形，且∠ F 1F 2P ＝120°，∴ | PF 2| ＝ | F 1F 2| ＝ 2c .∵| OF 2| ＝ c ，过 P 作 PE 垂直 x 轴，则∠ PF 2E ＝60°，所以 F 2E ＝c ，PE ＝ 3 c ，即点 P (2 c ， 3c ). ∵点 P 在过点 A ，且斜率为 33c3 6的直线上，∴ 2c ＋ a ＝6 ，解得c 1 1＝，∴＝.a 4e 4答案D2x24.(2018 ·全国Ⅰ卷 ) 设椭圆 C ： ＋ y ＝ 1 的右焦点为 F ，过 F 的直线 l 与 C 交于 A ，B 两点，点 M 的坐标为 (2 ， 0).(1) 当 l 与 x 轴垂直时，求直线AM 的方程；(2) 设 O 为坐标原点，证明：∠ OMA ＝∠ OMB .(1) 解 由已知得 F (1 ， 0) ， l 的方程为 x ＝ 1.把 x ＝ 1 代入椭圆方程x 2y 2A 的坐标为2 2＋＝ 1，可得点1， 或 1，－ .22 222又 M (2 ， 0) ，所以 AM 的方程为 y ＝－ 2 x ＋2或 y ＝ 2 x － 2.(2) 证明 当 l 与 x 轴重合时，∠ OMA ＝∠ OMB ＝0°.当 l 与 x 轴垂直时， OM 为 AB 的垂直均分线，所以∠ OMA ＝∠ OMB .当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设 l 的方程为 y＝ ( － 1)( k ≠0)， (， y ) ， ( ， y ) ，12 2 1则 x < 2，x< 2，直线 MA ， MB 的斜率之和为y 1y 2k ＋ k ＝x －2＋ x － 2.12MAMB由 y 1＝ k ( x 1－ 1) ， y 2＝ k ( x 2－1) 得2kx x － 3k （x ＋ x ）＋ 4kk MA ＋ k MB ＝ 1 21 2.（ x 1－ 2）（ x 2－ 2）将 y＝ ( －1)代入x 2 ＋ y 2＝1 得k x2呵呵复生复生复生(2 k 2＋ 1) x 2－ 4k 2x ＋ 2k 2－ 2＝0.4k 22k 2－ 2所以， x 1 ＋ x 2＝2k 2＋ 1， x 1x 2＝2k 2＋ 1.则 2 1 x 2 －3(1＋ 2) ＋4k 4k 3－ 4k － 12k 3＋ 8k 3＋ 4k kxk x x2k ＋1进而 k MA ＋ k MB ＝ 0，故 MA ， MB 的倾斜角互补 .所以∠ OMA ＝∠ OMB .综上，∠ OMA ＝∠ OMB .考点整合1. 圆锥曲线的定义(1) 椭圆： | MF 1| ＋ | MF 2| ＝2a (2 a ＞| F 1F 2|) ；(2) 双曲线： || MF 1| － | MF 2|| ＝ 2a (2 a ＜ | F 1F 2|) ；(3) 抛物线： | MF | ＝ d ( d 为 M 点到准线的距离 ).温馨提示应用圆锥曲线定义解题时，易忽略定义中隐含条件致使错误 .2. 圆锥曲线的标准方程x 2 y 2 y 2 x 2(1) 椭圆： a 2＋b 2＝ 1( a ＞ b ＞ 0)( 焦点在 x 轴上 ) 或 a 2＋ b 2＝ 1( a ＞ b ＞ 0)( 焦点在 y 轴上 ) ；x 2 y 2y 2 x 2(2) 双曲线：a 2－ b 2＝ 1( a ＞0，b ＞ 0)( 焦点在 x 轴上 ) 或 a 2－ b 2＝1( a ＞ 0，b ＞ 0)( 焦点在 y 轴上 ) ；(3) 抛物线： y 2＝ 2px ，y 2＝－ 2px ， x 2＝ 2py ，x 2＝－ 2py ( p ＞ 0). 3. 圆锥曲线的重要性质(1) 椭圆、双曲线中 a ， b ， c 之间的关系222cb 2①在椭圆中： a ＝ b ＋ c ；离心率为 e ＝ a ＝ 1－ a 2.②在双曲线中：2 22c ＝b 2c ＝ a ＋ b ；离心率为 e ＝1＋2.aa (2) 双曲线的渐近线方程与焦点坐标x 2 y 2b①双曲线 a－b ＝ 1( a>0，b>0) 的渐近线方程为 y ＝± a x ；焦点坐标 F ( － c ， 0) ， F ( c ， 0).2212y 2 x 2a②双曲线 a 2 －b 2 ＝ 1( a >0，b >0) 的渐近线方程为 y ＝± b x ，焦点坐标 F 1(0 ，－ c ) ， F 2(0 ， c ). (3) 抛物线的焦点坐标与准线方程2pp ①抛物线 y ＝2px ( p >0) 的焦点 F 2， 0 ，准线方程 x ＝－ 2.2pp②抛物线 x ＝2 py ( p >0) 的焦点 F 0， 2 ，准线方程 y ＝－ 2.4. 弦长问题呵呵复生复生复生(1) 直线与圆锥曲线订交的弦长设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入. 即当斜率为 k ，直线与圆锥曲线交于 A ( x 1，y 1) ，B ( x 2， y 2) 时， | AB | ＝ 1＋ k 2| x 1－x 2| ＝ 1＋ k 2 （x 1＋ x 2） 2－ 4x 1x 2.(2) 过抛物线焦点的弦长2112212 p21 2 2抛物线 y ＝ 2px ( p >0) 过焦点 F 的弦 AB ，若 A ( x ， y ) ， B ( x ， y ) ，则 x x ＝ 4 ， y y ＝－ p ， 弦长 | AB | ＝x 1＋ x 2＋ p .热门一圆锥曲线的定义及标准方程x 2 y 2【例 1】 (1)(2018 ·天津卷 ) 已知双曲线 a 2 －b 2＝ 1( a >0，b >0) 的离心率为 2，过右焦点且垂 直于 x 轴的直线与双曲线交于 A ，B 两点 . 设 A ， B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1 和 2 ，且 d 1＋ 2＝ 6，则双曲线的方程为()ddx 2 y 2 x 2 y 2A. 4－ 12＝ 1B. 12－ 4＝1x 2 y 2x 2 y 2C. 3－ 9＝1D. 9－ 3＝1(2)(2018 ·烟台二模 ) 已知抛物线 C ： x 2＝ 4 y 的焦点为 F ，M 是抛物线 C 上一点，若 FM 的延 长线交 x 轴的正半轴于点 N ，交抛物线 C 的准线 l→ →NT | ＝ ________.于点 T ，且 FM ＝ MN ，则 | 分析12x 2(1) 由 d ＋ d ＝ 6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以 b ＝ 3. 因为双曲线 a 2－ y 2 c a 2＋ b 2a 2＋ 9 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以 a ＝2，所以 a 2 ＝ 4，所以a2＝ 4，解得 a ＝ 3，所x 2 y 2以双曲线的方程为3－ 9＝1.(2) 由 x 2＝ 4y ，知 F (0 ，1) ，准线 l ： y ＝－ 1.设点 M ( x 0， y 0) ，且 x 0>0，y 0>0.→ → FN 的中点， N 是 FT 中点， 利用抛物线 由FM ＝ MN ，知点 M 是线段定义，| |＝| ′| ＝ 0 ＋1，且 | ′|＝2| ′| ＝2. 又 2( y 0＋1) ＝|′|＋| ′|＝3，MFMMyFFNNFFNN113知 y 0＝ 2. ∴ | MF | ＝ 2＋ 1＝ 2，进而 | NT | ＝ | FN | ＝ 2| MF | ＝ 3.答案(1)C (2)3研究提升1. 凡波及抛物线上的点到焦点距离，一般运用定义转变成到准线的距离办理. 如本例 (2) 中充分运用抛物线定义实行转变，使解答简捷、明快.呵呵复生复生复生2. 求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算” . 所谓“定型”， 就是指确定种类，所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的 a 2， b 2， p 的值，最后辈入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程 .x 2 y 2【训练 1】 (1)(2017 ·全国Ⅲ卷 ) 已知双曲线 C ： a 2－ b 2＝ 1( a >0， b >0) 的一条渐近线方程为5 x 2 y 2y ＝ 2 x ，且与椭圆 12＋ 3 ＝ 1 有公共焦点，则 C 的方程为 ()A. x 2 y 2 x 2y 2－ ＝ 1B. － ＝18 10 45 C. x 2 y 2x 2y 2－ ＝ 1D. － ＝15 443(2)(2018 ·衡水中学调研x 2212) P 为椭圆 C ： 2 ＋y＝ 1 上一动点， F ，F 分别为左、右焦点，延伸1 至点 ，使得 || ＝| 2| ，记动点 Q 的轨迹为 Ω ，设点 B 为椭圆 C 短轴上一极点，直线F P Q PQ PFBF 2 与 Ω 交于 M ， N 两点，则 | MN |＝ ________.b5分析 (1) 由题设知 a ＝ 2 ，①x 2 y 2又由椭圆 12＋ 3 ＝ 1 与双曲线有公共焦点，易知 a 2＋ b 2＝ c 2＝ 9，②由①②解得 a ＝ 2， b ＝ 5，则双曲线 C 的方程为x 2 y 24－ 5＝ 1. (2) ∵ | PF | ＋| PF | ＝ 2a ＝2 2，且 | PQ | ＝| PF | ，122∴| F 1Q | ＝ | F 1P | ＋ | PF 2| ＝ 2 2.∴Ω 为以 F 1( － 1， 0) 为圆心， 2 2为半径的圆 .∵ | BF 1| ＝ | BF 2| ＝ 2， | F 1F 2| ＝ 2，∴ BF 1⊥ BF 2，故| MN |＝ 2 | F 1M | 2－ | BF 1| 2＝ 2 （2 2）2－（ 2） 2＝2 6. 答案 (1)B (2)2 6 热门二圆锥曲线的几何性质x 2 y 2【例 2】 (1)(2018 ·全国Ⅲ卷 ) 已知双曲线 C ：a 2－b 2＝ 1( a >0，b >0) 的离心率为 2，则点 (4 ，0) 到 C 的渐近线的距离为 ()A. 2B.23 2 D.22C.2x 2 y 2x 2y 2若双曲线 N(2)(2018 ·北京卷改编 ) 已知椭圆 M ： 2＋2＝ 1( a >b >0) ，双曲线 N ： 2－ 2＝1.a bm n的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的极点， 则椭圆 M呵呵复生复生复生地地道道的达到的离心率为 ________.分析 (1) 法一由离心率 e ＝ c＝ 2，得 c ＝ 2a ，又 b 2＝ c 2－ a 2，得 b ＝a ，所以双曲线 Ca的渐近线方程为4＝y ＝± x . 由点到直线的距离公式， 得点 (4 ，0) 到 C 的渐近线的距离为1＋ 12 2.法二 离心率 e ＝ 2的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是 y ＝± x ，∴点 (4 ， 0) 到 C 的渐近线的距离为4＝2 2.1＋ 1(2) 设椭圆的右焦点为 F ( c ， 0) ，双曲线 N 的渐近线与椭圆 M 在第一象限内的交点为 A ，由题意可知A c ， 3c，22c 23c 2 2 22222由点 A 在椭圆 M 上得， 4a2＋4b 2＝ 1，∴ b c ＋ 3a c ＝ 4a b ，∵b 2＝ a 2－c 2，∴ ( a 2－ c 2) c 2＋ 3a 2c 2＝ 4a 2( a 2－ c 2) ，则 4a 4－ 8a 2c 2＋ c 4＝ 0，e 4－8 2 ＋ 4＝ 0，∴ e 2＝4＋2 3( 舍)，2＝ 4－2 3. 由 0< <1，得 ＝ 3－1.eeee答案 (1)D (2) 3－ 1研究提升 1. 剖析圆锥曲线中 a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解圆锥曲线性责问题的要点.2. 确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其要点就是确定一个对于a ，b ，c 的方程 ( 组 )或不等式 ( 组 ) ，再依据 a ，b ，c 的关系消掉 b 获得 a ，c 的关系式 . 成立对于 a ，b ，c 的方程 ( 组 ) 或不等式 ( 组 ) ，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.3. 求双曲线渐近线方程要点在于求 b a1”变成“ 0”， 然a 或b 的值，也可将双曲线等号右侧的“后因式分解获得 .x 2 y 2【训练 2】 (1)(2018 ·成都质检 ) 设椭圆 C ： a 2＋b 2＝ 1( a >b >0) 的左、右焦点分别为 F 1， F 2， 点 E (0 ， t )(0< t <b ). 已知动点 P 在椭圆上，且点 P ，E ，F 2 不共线，若△ PEF 2 的周长的最小值 为 4 ，则椭圆C 的离心率为 ()b3213 A. 2B. 2C. 2D. 32 2(2) 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线 x2－ y2＝ 1( a＞ 0， ＞ 0) 的右支与焦点为F 的抛物线x 2a bb＝2py ( p ＞ 0) 交于 A ，B 两点，若 | AF | ＋ | BF | ＝ 4| OF | ，则该双曲线的渐近线方程为 ________.分析(1) 由椭圆的定义及对称性，△ PEF 的周长的最小值为 2a . ∴ 2a ＝ 4b ， a ＝ 2b ，则 c ＝2呵呵复生复生复生22c 3a －b ＝ 3b ，则椭圆 C 的离心率 e ＝ a ＝ 2 . (2) 设 A ( x 1， y 1 ) ， B ( x 2， y 2) ，x 2 y 2＝ 1，消去 x 得 a 2y 2－ 2pb 2y ＋ a 2b 2 ＝0，联立方程：a 2－b2x 2 ＝2py ，2b 2由根与系数的关系得y 1＋ y 2＝ a 2 p ，又∵ | AF | ＋| BF | ＝ 4| OF | ，∴ y1＋ p ＋ 2＋p ＝4× p，即 y 1 ＋ 2 ＝ ，y22y p22b 2 b 21 b 2∴ a 2 p ＝ p ，即 a 2＝ 2 a ＝2.2∴双曲线渐近线方程为y ＝± 2 x .2答案(1)A(2) y ＝± 2 x热门三直线与圆锥曲线考法 1直线与圆锥曲线的地点关系【例 3－1】 (2016 ·全国Ⅰ卷 ) 在直角坐标系 xOy 中，直线 l ： y ＝ t ( t ≠0) 交 y 轴于点 M ，交抛物线 C ： y 2＝ 2px ( p >0) 于点 P ， M 对于点 P 的对称点为 N ，连结 ON 并延伸交 C 于点 H .| OH |(1) 求| ON |；(2) 除 H 之外，直线 MH 与 C 能否有其余公共点？说明原因 .t 2解 (1) 如图，由已知得 M (0 ，t ) ， P 2p ， t ，t 2又 N 为 M 对于点 P 的对称点，故 N p ， t ，p故直线 ON 的方程为 y ＝ t x ，将其代入 y 2＝2px 整理得 px 2－ 2t 2x ＝ 0，2t 22t 2解得 x 1＝ 0， x 2 ＝ p ，所以 Hp ， 2t .| OH |所以 N 为 OH 的中点，即 | ON |＝ 2.(2) 直线 MH 与 C 除 H 之外没有其余公共点，原因以下：直线的方程为y － ＝ p ，即x ＝ 2t ( y － ).MH t 2t xp t代入 y 2＝ 2px 得 y 2－ 4ty ＋4t 2＝ 0，呵呵复生复生复生解得 y 1＝ y 2＝ 2t ，即直线 MH 与 C 只有一个公共点，所以除 H 之外，直线 MH 与 C 没有其余公共点 .研究提升1. 此题第 (1) 问求解的要点是求点， H 的坐标 . 而第 (2) 问的要点是将直线 的NMH方程与曲线 C 联立，依据方程组的解的个数进行判断 .2. 判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组获得交点坐标， 也可利用消元后的一元二次方程的鉴别式来确定，需注意利用鉴别式的前提是二次项系数不为 0. 而且解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧.【训练 3】 (2018 ·潍坊三模 ) 已知 M 为圆 O ： x 2＋ y 2＝1 上一动点， 过点 M 作 x 轴， y 轴的垂线，垂足分别为 A ，B ，连结 BA 延伸至点 P ， 使得 | PA | ＝2，记点 P 的轨迹为曲线 C . (1) 求曲线 C 的方程；(2) 直线 l： ＝ kx ＋ 与圆 O 相切，且与曲线 C交于 ，两点，直线 l 1 平行于 l 且与曲线Cy mD ES2相切于点 Q ( O ， Q 位于 l 双侧 ) ， △ ODE＝ ，求 k 的值 .S △ QDE 322解 (1) 设 P ( x ， y ) ， A ( x 0， 0) ，B (0 ， y 0) ，则 M ( x 0， y 0) 且 x 0＋ y 0＝ 1，由题意知 OAMB 为矩形，∴ | AB | ＝ | OM |＝ 1，→ →y ) ＝ 2( x 0，－ y 0) ，∴AP ＝ 2BA ，即 ( x － x 0， x－ yx 2y 2∴x 0＝ 3， y 0＝ 2 ，则 9 ＋ 4 ＝ 1，x 2 y 2故曲线 C 的方程为＋ ＝ 1.94(2) 设 l 1： y ＝kx ＋ n ，∵ l 与圆 O 相切，||∴圆心 O 到 l1m22＋ 1，①的距离 d ＝＝ 1，得 m ＝ kk 2＋ 1∵ l 1 与 l 距离d | m － n |，②2＝k 2＋ 11| · 1|△ ODE 2 DE d 1 | m| ＝2，∵S ＝＝d ＝ S △ QDE 1d 2 | m － n | 32| DE | · d 22∴m ＝－ 2n 或 m ＝ 5n ，又 ， 位于 l 双侧，∴ ＝2 ，③O Qm 5n呵呵复生复生复生x 2 y 2联立 9 ＋ 4＝1，消去 y 整理得 y ＝kx ＋ n ，(9 k 2＋ 4) x 2＋ 18knx ＋ 9n 2－36＝ 0， 由＝ 0，得 n 2＝ 9k 2＋ 4，④3 11 由①③④得k ＝±.11考法 2相关弦的中点、弦长问题x 2 y 2【例 3－ 2】 (2018 ·全国Ⅲ卷 ) 已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C ： 4 ＋ 3 ＝ 1 交于 A ，B 两点，线段 AB 的中点为 M (1 ， m )( m >0).1(1) 证明： k <－ 2；→ → → → → →(2) 设 F 为 C 的右焦点， P 为 C 上一点，且 FP ＋FA ＋ FB ＝ 0. 证明： | FA | ， | FP | ， | FB | 成等差数列，并求该数列的公差.(1) 证明设 A ( x 1， y 1) ，B ( x 2， y 2) ，2222x 1y 1 x 2y 2则 4＋ 3＝1， 4＋3＝1.两式相减，并由 y 1－ y 2得x 1＋ x 2 y 1＋y 2＝ 0.＝ ＋·12k43kx － xx 1 ＋x 2＝ 1， y 1＋ y 23 . ①由题设知 22 ＝m ，于是 k ＝－4mx 2 y 2因为点 M (1 ， m )( m >0) 在椭圆 4 ＋ 3 ＝ 1 内，123 1m∴ 4＋ 3 <1，解得 0<m <2，故 k <－2. (2) 解 由题意得 F (1 ， 0). 设 P ( x 3， y 3) ，则( x 3－ 1， y 3) ＋( x 1－ 1， y 1) ＋ ( x 2－ 1， y 2) ＝ (0 ，0).由(1) 及题设得x ＝3－ ( x ＋ x) ＝ 1， y ＝－ ( y ＋ y ) ＝－ 2m <0.3123123又点 P 在 C 上，所以 m ＝ 4，1，－ 3→3进而 P 2 ，| FP | ＝2.→2x 1于是 | | ＝ （ 2 y 2（2x 1 1－1） ＋ 1＝1－1） ＋3 1－＝2－ .FAxx42同理 | →| ＝ 2－ x 2.FB2所以 |→| ＋| →| ＝ 4－1(x1＋ 2) ＝3.FAFB 2 x故 2|→| ＝|→| ＋| →|，FP FA FB→ → →即| FA | ， | FP | ， | FB | 成等差数列 .设该数列的公差为d ，则→ →12| d | ＝ || FB | － | FA || ＝2| x 1－ x 2|11221 2② ＝ 2 （ x ＋x ） － 4x x . 3将 m ＝ 4代入①得 k ＝－ 1.所以 l 的方程为 y ＝－ x ＋ 7，代入 C 的方程，并整理得 7 2－14 x ＋ 1＝0.4x 41 3 21故 x 1＋ x 2＝ 2， x 1x 2＝ 28，代入②解得 | d | ＝ 28 .3 21 3 21 所以该数列的公差为 28或－28.研究提升1. 在波及弦长的问题中，应娴熟地利用根与系数关系与弦长公式|AB |＝ 1＋ k 2| x 2 －x 1| ，设而不求计算弦长；波及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解，以简化运算 .2. 对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件>0，在用“点差法”时，要查验直线与圆锥曲线能否订交 .22【训练 4】 (2018 ·天津卷 ) 设椭圆x2＋ y2＝ 1(> >0) 的左焦点为，上极点为，已知椭圆a ba bF B5的离心率为 3 ，点 A 的坐标为 ( b ， 0) ，且 | FB | ·|AB | ＝ 6 2.(1) 求椭圆的方程；(2) 设直线 l ：y ＝ kx ( k >0) 与椭圆在第一象限的交点为| AQ | P ，且 l 与直线 AB 交于点 Q . 若||＝PQ5 2 k 的值 .sin ∠( 为原点 ) ，求4 AOQOc 2 5解 (1) 设椭圆的焦距为 2c ，由已知有 a 2＝ 9，又由 a 2＝ b 2＋ c 2，可得 2a ＝ 3b .由已知可得， | FB | ＝a ， | AB | ＝ 2b ，由| FB | ·|AB | ＝ 6 2，可得 ab ＝ 6，进而 a ＝ 3， b ＝2.x2y2所以，椭圆的方程为＋＝1.9 4(2)设点 P的坐标为( x1， y1)，点 Q的坐标为( x2， y2). 由已知有 y1>y2>0，故| PQ|sin ∠AOQ＝y1－y2.又因为 | AQ| ＝y2 π，而∠ OAB＝4，sin ∠OAB故| AQ| ＝ 2y .2| AQ| 5 2sin 1 2由| |＝ 4 ∠ AOQ，可得5y ＝ 9y .PQy＝ kx，6k由方程组 2 y 2 1x 消去 x，可得 y ＝ 2 .9＋4＝ 1，9k ＋ 4 易知直线 AB的方程为 x＋ y－2＝0，y＝ kx， 2k由方程组x＋y－2＝0，消去x，可得y2＝k＋1.代入 5y1＝ 9y2，可得 5( k＋ 1) ＝ 3 9k2＋ 4，将等式两边平方，整理得56k2－50k＋ 11＝ 0，111解得 k＝2或 k＝28.111所以， k 的值为2或28.1.椭圆、双曲线的方程形式上可一致为Ax2＋ By2＝1，此中 A，B 是不等的常数， A＞ B＞0时，表示焦点在y 轴上的椭圆； B＞ A＞0时，表示焦点在x 轴上的椭圆； AB＜0时表示双曲线.2. 对波及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦问题，恰入采用定义解题，会成效显然，定义中的定值是标准方程的基础.c3. 求双曲线、椭圆的离心率的方法：法一：直接求出a， c，计算 e＝a；法二：依据已知条c件确定 a，b， c 的等量关系，而后把 b 用 a， c 代换，求a.4.弦长公式对于直线与椭圆的订交、直线与双曲线的订交、直线与抛物线的订交都是通用的，此公式能够记忆，也能够在解题的过程中，利用两点间的距离公式推导.5.求中点弦的直线方程的常用方法(1) 点差法，设弦的两头点坐标分别为( x1，y1) ， ( x2，y2) ，分别代入圆锥曲线方程，两式作y 1－ y 2差，式中含有x 1＋ x 2，y 1＋y 2， 三个量，则成立了圆锥曲线的弦的中点坐标与弦所在直x 1－ x 2线的斜率之间的关系，借助弦的中点坐标即可求得斜率；(2) 根与系数的关系，联立直线与圆锥曲线的方程，化为一元二次方程，用根与系数的关系求解.一、选择题2 21.(2018 ·合肥调研 ) 已知双曲线： y2－ x 2＝ 1( >0， b >0) 的一条渐近线与直线2 x － ＋1＝0C ab ay垂直，则双曲线 C 的离心率为 ()A.2B. 2C.3D. 5ab 22分析 依题意， 2· － b ＝－ 1，∴ b ＝ 2a . 则 e ＝ 1＋ a ＝ 5，∴ e ＝ 5. 答案 D2.(2018 ·南昌质检 ) 已知抛物线： 2＝ 4 y ，过抛物线C 上两点 ， B 分别作抛物线的两条切C xA线 PA ， PB ， P 为两切线的交点，→ →O 为坐标原点，若 PA · PB ＝0，则直线 OA 与 OB 的斜率之积 为()11A.－ 4B. －3C. －8D.－ 422分析 设x A，x B ， x B，由 2＝，得 ′＝ x 所以 AP ＝ A B→·→＝ ，A x A ，B 4 x 4y y k x ， BP ＝ x，由4 2. 2 k2PAPB 0得 ⊥ . ∴x·x＝－ 1，则 A · B ＝－ 4，又 OA · OB ＝ x22＝－1.·x＝x xPA PBABx xkk A BA B2 24x A 4x B16 4答案A22y3.(2017 ·全国Ⅰ卷 ) 已知 F 是双曲线 C ： x － ＝ 1 的右焦点， P 是 C 上一点，且PF 与 x 轴垂直，点 A 的坐标是 (1 ， 3) ，则△ APF 的面积为 ()1 123 A.B.C.D.3232分析 由 c 2＝a 2＋ b 2＝ 4 得 c ＝ 2，所以 F (2 ，0) ，2y 2将 x ＝ 2 代入 x － 3 ＝ 1，得 y ＝± 3，所以 | PF | ＝ 3.又 A 的坐标是 (1 ，3)， 故△ APF 的面积为1×3×(2 － 1) ＝ 3 . 2 2答案D地地道道的达到：x224. 已知椭圆 2＋y2＝ 1( > >0) 的左、右焦点分别为 1， 2， O 为坐标原点， A 为椭圆上一C aba bF F点，∠ F AF ＝ ，连结 AF 交 y 轴于 点，若 3| |＝ | | ，则该椭圆的离心率为()12π 2221 3510 A. 3B. 3C. 8D. 4分析设 | AF 1| ＝ m ， | AF 2| ＝ n .以下图，由题意可得∵ R t △ F 1AF 2∽ Rt △ MOF 2.∴ |AF 1|＝ | OM |＝ 1，则 n ＝ 3m . 又 | AF 1| ＋ | AF 2| ＝m ＋n ＝ 2a ， AF 2| | OF 2| 3|a 3 ∴m ＝ 2， n ＝ 2a .22 210 22在 Rt △ F 1AF 2 中， m ＋ n ＝ 4c ，即 4 a ＝ 4c ，2 c 2 10 10 ∴e ＝ a 2＝ 16，故 e ＝ 4 . 答案 D1， 2 分别为双曲线x225.(2018 ·石家庄调研 ) 已知 2－y2＝ 1( a >0， >0) 的左、右焦点，P 为双FFabb曲线上一点， PF 与 x 轴垂直，∠PFF ＝30°，且虚轴长为 2 2，则双曲线的标准方程为()21 2A. x 2－ y 2＝ 1B. x 2－ y 2 ＝14232222C.x－ y＝ 1D. x 2－ y＝14 8 2 分析 如图，不如设点 P ( x ， y ) 在第一象限，则 PF ⊥ x 轴，2在 Rt △ PF 1F 2 中，∠ PF 1F 2＝30°， | F 1F 2| ＝ 2c ，2 34 3c2c13 ，则| PF | ＝3 ，| PF | ＝2 3又因为 | PF 1| －| PF 2| ＝ c ＝ 2a ，即 c ＝ 3a .3又 2b ＝ 2 2，知 b ＝ 2，且 c 2－ a 2＝ 2，进而得 a 2＝1， c 2＝ 3.x 2y 2故双曲线的标准方程为 － 2＝1.答案 D 二、填空题6.(2018 ·北京卷 ) 已知直线 l 过点 (1 ， 0) 且垂直于 x 轴 . 若 l 被抛物线 y 2＝ 4ax 截得的线段长为 4，则抛物线的焦点坐标为 ________.分析 由题意知， a >0，对于 y 2 ＝4ax ，当 x ＝ 1 时， y ＝±2 a ，因为 l 被抛物线 y 2＝ 4ax 截 得的线段长为 4，所以 4 a ＝4，所以 a ＝ 1，所以抛物线的焦点坐标为(1 ，0).答案 (1 ，0)x 2 y 27.(2018 ·江苏卷 ) 在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 a 2 － b 2＝ 1( a >0， b >0) 的右焦点 F ( c ，0) 到一条渐近线的距离为 3 ，则其离心率的值是 ________.2 cb分析 不如设双曲线的一条渐近线方程为y ＝ a x ，| bc |32223 2所以 a 2＋ b 2 ＝ b ＝ 2 c ，所以 b ＝ c － a ＝ 4c ，得 c ＝ 2a ，c所以双曲线的离心率e ＝ a ＝ 2.答案 28. 设抛物线 x 2＝ 4y 的焦点为 F ， A 为抛物线上第一象限内一点，知足| AF | ＝ 2；已知 P 为抛物线准线上任一点，当 | PA | ＋| PF | 获得最小值时，△ PAF 的外接圆半径为 ________. 分析 由 x 2＝4 y ，知 ＝ 2，∴焦点 (0 ，1) ，准线 y ＝－ 1.pF依题意，设 A ( x 0， y 0)( x 0>0) ，p由定义，得 | AF | ＝ y 0＋2，则 y 0＝ 2－ 1＝ 1，∴ AF ⊥ y 轴 .易知当 P (1 ，－ 1) 时， | PA | ＋| PF | 最小，∴ | PF | ＝ 12＋（－ 1－ 1） 2＝ 5. 由正弦定理， 2 ＝ |PF |＝ 5 ＝ 5， R sin A 2 255所以△ PAF 的外接圆半径R ＝4.答案54三、解答题9.(2018 ·全国Ⅱ卷 ) 设抛物线 C ：y 2＝ 4x 的焦点为 F ，过 F 且斜率为 k ( k >0) 的直线 l 与 C 交 于 A ，B 两点， | AB | ＝8.(1) 求 l 的方程；(2) 求过点 A ， B 且与 C 的准线相切的圆的方程 .解(1) 由题意得 F (1 ， 0) ， l 的方程为 y ＝ k ( x －1)( k >0).设 A ( x 1， y 1) ， B ( x 2， y 2).y ＝ k （x － ）， 由y 2＝ 4x1得 k 2x 2－ (2 k 2＋4) x ＋ k 2＝ 0.2 2＋4＝ 16k 2＋ 16>0，故 x 1＋x 2＝k2.k所以 | AB | ＝| AF | ＋ | BF | ＝ ( x ＋ 1) ＋ ( x ＋ 1) ＝4k 2＋ 4 .212k由题设知 4k 2＋4k 2 ＝ 8，解得 k ＝－ 1( 舍去 ) ， k ＝ 1.所以 l 的方程为 y ＝x － 1.(2) 由 (1) 得 AB 的中点坐标为 (3 ， 2) ，所以 AB 的垂直均分线方程为 y － 2＝－ ( x － 3) ，即 y ＝－ x ＋ 5.设所求圆的圆心坐标为( x 0， y 0) ，则0 ＝－ x 0y ＋ 5，2（ x 0＋ 1） 2＝（y － x ＋1）＋16.2x 0＝ 3， x 0＝11，解得或y 0＝ 2y 0＝－ 6.所以所求圆的方程为 ( x － 3) 2＋ ( y － 2) 2＝ 16 或 ( x － 11) 2＋ ( y ＋ 6) 2＝144.10.(2017 ·北京卷) 已知椭圆 C 的两个极点分别为 A ( － 2， 0) ， B (2 ，0) ，焦点在 x 轴上，离3心率为2.(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 点 D 为 x 轴上一点，过 D 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于不一样的两点 M ， N ，过 D 作 AM 的垂线交 BN 于点 E . 求证：△ BDE 与△ BDN 的面积之比为 4∶ 5.(1) 解 设椭圆C 的方程为 x2y 2＝ 1( > >0).2＋ 2a b a ba ＝ 2，由题意得 c3 解得 c ＝ 3. 所以 b 2＝ a 2－ c 2＝ 1. a＝2，x 22所以椭圆 C 的方程为 4＋ y ＝ 1.(2) 证明 设 ( ，)，则 ( ，0)， ( ，－ ).M m nD m N mn由题设知 ≠± 2，且n ≠0.m地地道道的达到n直线 AM 的斜率 k AM ＝，m ＋ 2故直线 DE 的斜率 k DE ＝－n .m ＋ 2所以直线 DE 的方程为 y ＝－ n( x － m ).直线 BN 的方程为 y ＝n( x －2).2－ mm ＋ 2 y ＝－n（ x － m ），联立ny ＝（ x － 2），2－ m2n （ 4－m ）解得点 E 的纵坐标 y E ＝－2 2.4－ m ＋ n22由点 M 在椭圆 C 上，得 4－ m ＝ 4n ，4En .所以 y ＝－5 12又 S △ BDE ＝2| BD | ·|y E | ＝ 5| BD | ·|n | ，1S △ BDN ＝ 2| BD | ·|n |.所以△与△ 的面积之比为 4∶ 5.BDE BDN11. 设 F ，F 分别是椭圆 C ：a22＋ b＝ 1( a >b >0) 的左、右焦点， M 是椭圆 C 上一点，且 MF 与 x12x 2y223 3轴垂直，直线 MF 1 在 y 轴上的截距为 4 ，且 | MF 2| ＝ 5| MF 1|. (1) 求椭圆 C 的方程；22→ →(2) 已知直线 l ：y ＝ kx ＋t 与椭圆 C 交于 E 、F 两点，且直线 l 与圆 7x ＋ 7y ＝12 相切，求OE · OF 的值 ( O 为坐标原点 ). 解 (1) 设直线1与 y 轴的交点为，则 || ＝ 3 .MFNON 4∵MF 2⊥ x 轴，∴在△ F 1F 2M 中， ON 綉1MF 2，23则| MF 2| ＝ 2.3又| MF 2| ＋ | MF 1| ＝ 2a ， | MF 2| ＝ 5| MF 1| ，33∴ | MF 2| ＝ 4a ＝2，∴ a ＝2.2又| MF 2| ＝ b，∴ b 2＝ 3.a地地道道的达到∴椭圆 C 的标准方程为x 2＋ y 2＝ 1.4 3(2) 设 E ( x 1， y 1 ) ， F ( x 2， y 2) ，y ＝ kx ＋ t ，联立 x 2 y 2 消 y 得(3 ＋ 4k 2) x 2＋ 8ktx ＋ 4t 2 －12＝ 0.＋ ＝ 1，438kt4t 2－ 12∴x 1＋ x 2＝－ 3＋ 4k 2， x 1x 2＝ 3＋ 4k 2 ，＝ (8 kt ) 2－4(3＋ k2t 2－12)>0 ，得 t2＋ k 2，(*)4 )(4<34→ →x ＋ y y ＝ xx ＋ ( kx ＋t )( kx ＋ t )则OE · OF ＝ x1 1 21 21 22＝ (1 ＋ k 2) x 1x 2＋ kt ( x 1＋ x 2) ＋ t 2（ 1＋ k 2）（ 4t 2－ 12） 8k 2t 2 t 2（ 3＋ 4k 2）＝3＋4k 2 － 3＋ 4k 2＋ 3＋ 4k 2 7t 2－ 12（ 1＋ k 2） ＝ 3＋ 4k 2. 又直线 l 与圆 7x 2＋ 7y 2＝12 相切，| t |1227 2∴ 1＋ k2＝7 ，则 1＋ k ＝12t 知足 (*) 式，7t 2 －12× 7 t 2→ → 12 故OE · OF ＝ 3＋4 2 ＝ 0.k呵呵复生复生复生。
【高考复习】2019年高考数学理科全程训练 直线与圆锥曲线的综合(含答案解析)
5.)已知双曲线 － =1(a>0，b>0)的实轴长为4 ，虚轴的一个端点与抛物线x2=2py(p>0)的焦点重合，直线y=kx－1与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平行，则p=()
A.4 B.3 C.2 D.1
6.若双曲线 － =1(a>0，b>0)与直线y=2x无交点，则双曲线的离心率e的取值范围是()
直线与圆锥曲线的综合
一、选择题
1.已知抛物线C：y2=8x与直线y=k(x＋2)(k>0)相交于A，B两点，F为抛物线C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=()
A. B. C. D.
2.已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，且点A在第一象限，若|AF|=3，则直线l的斜率=1(a>b>0)的右焦点F(1,0)，右顶点A，且|AF|=1.
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)若动直线l：y=kx＋m与椭圆C有且只有一个交点P，且与直线x=4交于点Q，问：是否存在一个定点M(t,0)，使得 · =0？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.
A.(1,2) B.(1,2] C.(1， ) D.(1， ]
7.如图，F1，F2分别是双曲线 － =1(a>0，b>0)的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支交于A，B两点，若△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为()
A. B.2 C. －1 D. ＋1
8.过抛物线x2=4y的焦点F作倾斜角为α的直线交抛物线于P、Q两点，过点P作抛物线的切线l交y轴于点T，过点P作切线l的垂线交y轴于点N，则△PNF为()
A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形
高考数学一轮复习抛物线专题练习(含答案)
高考数学一轮复习抛物线专题练习（含答案）【常规证法】抛物线y2=2px(p0)的焦点为F，显然直线AB 的斜率不为0，当AB斜率不存在时，直线AP方程为x=，不妨设A在第一象限，则易知A，B，C，此时kOA==2，kOC==2.kOA=kOC，A，O，C三点共线，即直线AC经过原点O.当AB斜率存在且不为0时，设直线AB方程为y=k代入y2=2px 得k2x2-(k2+2)px+=0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2=，(y1y2)2=p4，由题意知y1y20，y1y2=-p2kOC======kOA直线AC过原点O，综上，直线AC经过原点O.【巧妙证法】因为抛物线y2=2px(p0)的焦点为F，而直线AB的斜率不为零，所以经过点F的直线AB的方程可设为x=my+.代入抛物线方程消去x得y2-2pmy-p2=0.若记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是该方程的两个根，所以y1y2=-p2.因为BCx轴，且点C在准线x=-上，所以点C的坐标为，故直线CO的斜率为k===，即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O.3.(2019南师附中检测)设A(x1，y1)，B(x2，y2)为抛物线y2=2px(p0)上位于x轴两侧的两点.(1)若y1y2=-2p，证明直线AB恒过一个定点;(2)若p=2，AOB(O是坐标原点)为钝角，求直线AB在x轴上的截距的取值范围.[解] (1)设直线AB在x轴上的截距为t，则可设直线AB的方程为x=my+t.代入y2=2px得y2=2p(my+t)，即y2-2pmy-2pt=0，于是-2p=y1y2=-2pt，所以t=1，即直线AB 恒过定点(1,0).(2)因为AOB为钝角，所以0，即x1x2+y1y20.y=2px1，y=2px2，yy=2px12px2，于是x1x2===t2，故x1x2+y1y2=t2-2pt=t2-4t.解不等式t2-4t0，得00)把点P(-2，-4)代入得(-4)2=-2p(-2).解得p=4，抛物线方程为y2=-8x.当焦点在y轴负半轴上时，设方程为x2=-2py(p0)，把点P(-2，-4)代入得(-2)2=-2p(-4).解得p=.抛物线方程为x2=-y.综上可知抛物线方程为y2=-8x或x2=-y.[答案] y2=-8x或x2=-y4.(2019广东高考)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c0)到直线l：x-y-2=0的距离为.设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点.(1)求抛物线C的方程;(2)当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程;(3)当点P在直线l上移动时，求|AF||BF|的最小值.[解题思路] (1)由点到直线的距离求c的值，得到F(0，c)后可得抛物线的方程;(2)采用设而不求策略，先设出A(x1，y1)，B(x2，y2)，结合导数求切线PA，PB的方程，代入点P 的坐标，根据结构，可得直线AB的方程;(3)将|AF||BF|转化为关于x(或y)的函数，再求最值.[解] (1)依题意，设抛物线C的方程为x2=4cy(c0)，由点到直线的距离公式，得=，解得c=1(负值舍去)，故抛物线C的方程为x2=4y.(2)由x2=4y，得y=x2，其导数为y=x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x=4y1，x=4y2，切线PA，PB的斜率分别为x1，x2，所以切线PA的方程为y-y1=(x-x1)，即y=x-+y1，即x1x-2y-2y1=0.同理可得切线PB的方程为x2x-2y-2y2=0.因为切线PA，PB均过点P(x0，y0)，所以x1x0-2y0-2y1=0，x2x0-2y0-2y2=0，所以和为方程x0x-2y0-2y=0的两组解.所以直线AB的方程为x0x-2y-2y0=0.(3)由抛物线定义可知|AF|=y1+1，|BF|=y2+1，所以|AF||BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1.由消去x并整理得到关于y的方程为y2+(2y0-x)y+y=0.由一元二次方程根与系数的关系得y1+y2=x-2y0，y1y2=y.所以|AF||BF|=y1y2+(y1+y2)+1=y+x-2y0+1.又点P(x0，y0)在直线l上，所以x0-y0-2=0，即x0=y0+2，所以y+x-2y0+1=2y+2y0+5=22+，所以当y0=-时，|AF||BF|取得最小值，且最小值为.2019年高考数学一轮复习抛物线专题练习及答案的所有内容就为考生分享到这里，查字典数学网请考生认真练习。
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20 直线与抛物线的综合1.过抛物线C:y2=4x的焦点F的直线交抛物线C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,且x1+x2=,则弦AB 的长为().A.4B.C.D.解析▶抛物线的焦点弦公式为|AB|=x1+x2+p,由抛物线方程可得p=2,则弦AB的长为x1+x2+p=+2=,故选C.答案▶ C2.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y2=6x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A 为垂足,若直线AF的斜率k=-,则线段PF的长为().A.4B.5C.6D.7解析▶因为抛物线的方程为y2=6x,所以焦点为F,准线方程为x=-.因为直线AF的斜率k=-,所以直线AF的方程为y=--.当x=-时,y=3,即A-.因为PA⊥l,A为垂足,所以点P的纵坐标为3,代入抛物线方程,得点P的坐标为,所以|PF|=|PA|=--=6,故选C.答案▶ C3.已知抛物线C:y2=x,过点P(a,0)的直线与C相交于A,B两点,O为坐标原点,若·<0,则实数a的取值范围是().A.(-∞,0)B.(0,1)C.(1,+∞)D.{1}解析▶设直线方程为x=my+a,A(x1,y1),B(x2,y2),将x=my+a代入抛物线方程得y2-my-a=0,所以y1y2=-a,x1x2=(y1y2)2=a2.由·=x1x2+y1y2=a2-a<0,解得a∈( ) 故选B.答案▶ B4.已知点P(-1,4),过点P恰好存在两条直线与抛物线C有且只有一个公共点,则抛物线C的标准方程为().A.x2=yB.x2=4y或y2=-16xC.y2=-16xD.x2=y或y2=-16x解析▶∵过点P(-1,4)恰好存在两条直线与抛物线C有且只有一个公共点,∴点P一定在抛物线C上,两条直线分别为一条切线,一条与抛物线的对称轴平行的直线.若抛物线的焦点在x轴上,设抛物线方程为y2=2px,将P(-1,4)代入方程可得2p=-16,则抛物线C的标准方程为y2=-16x;若抛物线焦点在y轴上,设抛物线方程为x2=2py,将P(-1,4)代入方程可得2p=,则抛物线C的标准方程为x2=y.故选D.答案▶ D【例1】直线y=k(x-1)与抛物线y2=4x交于A,B两点,若|AB|=,则k= .解析▶设A(x1,y1),B(x2,y2),因为直线经过抛物线y2=4x的焦点,所以|AB|=x1+x2+2=,所以x1+x2=.联立得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,所以x1+x2==,所以k=±.(- )答案▶±凡涉及抛物线上的点到焦点的距离时,一般运用定义转化为到准线的距离处理.若P(x0,y0)为抛物线y2=2px(p>0)上一点,由定义易得|PF|=x0+;若过焦点的弦AB的端点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长|AB|=x1+x2+p,x1+x2可由根与系数的关系整体求出;若遇到其他标准方程,则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到.已知过抛物线y2=8x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,若|AB|=16,且|AF|<|BF|,则|AF|= .解析▶由题意可设过抛物线y2=8x的焦点F的直线方程为y=k(x-2).得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0.联立(- )设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=.∵|AB|=16,∴ 1+2+x2+2=16,即=12.∴k2=1,则x2-12x+4=0,∴ =6±4.∵|AF|<|BF|,∴ 2=6+4,x1=6-4,∴|AF|=6-4+2=8-4.答案▶8-4【例2】已知抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴上,且抛物线上有一点P(4,y0)到焦点的距离为5.(1)求抛物线C的方程;(2)已知抛物线上一点M(n,4),过点M作抛物线的两条弦MD和ME,且MD⊥ME,判断直线DE是否过定点,并说明理由.解析▶(1)由题意设抛物线的方程为y2=2px,其准线方程为x=-,∵P(4,y0)到焦点的距离等于其到准线的距离,∴4+=5,∴p=2.∴抛物线C的方程为y2=4x.(2)由(1)可得点M(4,4),直线DE的斜率不为0,设直线DE的方程为x=my+t,联立得y2-4my-4t=0,则Δ=16m2+16t>0. ①设D(x1,y1),E(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4t.∵ ·=(x1-4,y1- )·(x2-4,y2-4)=(x1-4)(x2-4)+(y1-4)(y2-4)=x1x2-4(x1+x2)+16+y1y2-4(y1+y2)+16=()-4+16+y1y2-4(y1+y2)+16=t2-16m2-12t+32-16m=0,即t2-12t+32=16m2+16m,得(t-6)2=4(2m+1)2,∴t-6=±2(2m+1),即t=4m+8或t=-4m+4.把t=4m+8代入①式检验,满足Δ>0,把t=-4m+4代入①式检验,得m≠ (不合题意).∴直线DE的方程为x=my+4m+8=m(y+4)+8.∴直线DE过定点(8,-4).根据直线与圆锥曲线的位置关系中弦的中点、平面向量、线段的平行与垂直、距离等概念,可建立关于变量的方程来求解.过点(2,1)的直线交抛物线y2=x于A,B两点(异于坐标原点O),若|+|=|-|,则该直线的方程为().A.x+y-3=0B.2x+y-5=0C.2x-y+5=0D.x-2y=0解析▶设直线AB的方程为x-2=m(y-1),A(x1,y1),B(x2,y2),得2y2-5my+5m-10=0.联立-(- )则Δ=5(5m2-8m+16)>0. (*)又y1+y2=,y1y2=-,∴ 1x2=(my1-m+2)(my2-m+2)=m2y1y2+m(2-m)(y1+y2)+(2-m)2=m2·-+m(2-m)·+(2-m)2=(2-m)2.∵| +|=|-|,∴ ⊥,∴ ·=x1x2+y1y2=0,∴(2-m)2+-=0,∴m=2或m=-,满足(*),但是当m=2,直线方程为x-2y=0时,与抛物线的一个交点为原点,不满足OA⊥OB,应该舍去.∴该直线的方程为x-2=-(y-1),即2x+y-5=0.故选B.答案▶ B【例3】已知椭圆C:+y2=1(a>1)的上顶点为A,右焦点为F,直线AF与圆M:(x-3)2+(y-1)2=3相切.(1)求椭圆C的方程;(2)若不过点A的动直线l与椭圆C交于P,Q两点,且·=0,求证:直线l过定点,并求该定点的坐标.解析▶(1)由题意知,圆M的圆心为(3,1),半径r=,A(0,1),F(c,0),直线AF的方程为+y=1,即x+cy-c=0.由直线AF与圆M相切,得=,解得c2=2,a2=c2+1=3,故椭圆C的方程为+y2=1.(2)由·=0知AP⊥AQ,从而直线AP与坐标轴不垂直,故可设直线AP的方程为y=kx+1,直线AQ的方程为y=-x+1.联立方程组整理得(1+3k2)x2+6kx=0,解得x=0或x=-,故点P的坐标为--,同理可得,点Q的坐标为-.所以直线l的斜率为-----=-,所以直线l的方程为y=--+-,即y=-x-.所以直线l过定点-.证明直线过定点,一般有两种方法:(1)特殊探求,一般证明,即可以先考虑动直线或曲线的特殊情况,找出定点的位置,然后证明该定点在该直线或该曲线上(将定点的坐标代入直线或曲线的方程后等式恒成立).(2)分离参数法,一般可以根据需要选定参数λ∈R 结合已知条件求出直线或曲线的方程,分离参数得到等式f1(x,y)λ2+f2(x,y)λ+f3(x,y)=0(一般地,f i(x,y)(i=1,2,3)为关于x,y的二元一次关系式),由上述原理可得方程组( )( )( )从而求得该定点.已知抛物线C:x2=2py(p>0)过点(2,1),直线l过点P(0,-1)与抛物线C交于A,B两点.点A关于y轴的对称点为A',连接A'B.(1)求抛物线C的标准方程.(2)直线A'B是否过定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.解析▶(1)将点(2,1)代入抛物线的方程x2=2py中,得p=2.所以抛物线C的标准方程为x2=4y.(2)设直线l的方程为y=kx-1,A(x1,y1),B(x2,y2),则A'(-x1,y1).由-得x2-4kx+4=0.则Δ=16k2-16>0,x1+x2=4k,x1x2=4,所以k A'B=--(-)=-=-.所以直线A'B的方程为y-=-(x-x2),所以y=-(x-x2)+=-x+1,当x=0时,y=1,所以直线A'B过定点(0,1).【例4】已知△ABC的直角顶点A在y轴上,点B(1,0),D为斜边BC的中点,且AD平行于x轴.(1)求点C的轨迹方程.(2)设点C的轨迹为曲线Γ,直线BC与Γ的另一个交点为E.以CE为直径的圆交y轴于M,N两点,记此圆的圆心为P ∠MPN=α,求α的最大值.解析▶(1)设点C的坐标为(x,y),则BC的中点D的坐标为,点A的坐标为.所以=-,=.由AB⊥AC,得·=x-=0,即y2=4x,经检验,当C点运动至原点时,A与C重合,不合题意,舍去.所以点C的轨迹方程为y2=4x(x≠ ).(2)依题意,可知直线CE不与x轴重合,设直线CE的方程为x=my+1,点C,E的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),圆心P的坐标为(x0,y0).由可得y2-4my-4=0,所以y1+y2=4m,y1y2=-4.所以x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2,x0==2m2+1,所以圆P的半径r=|CE|=(x1+x2+2)=(4m2+4)=2m2+2.过圆心P作PQ⊥MN于点Q,则∠MPQ=.在Rt△PQM中,cos=||===1-,当m2=0,即CE垂直于x轴时,cos取得最小值,取得最大值,所以α的最大值为.1.抛物线中的最值问题解决方法一般分两种:一是代数法,从代数的角度考虑,通过建立函数、不等式等模型,利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法求解;二是数形结合法,利用抛物线的图象和几何性质来进行求解.2.抛物线中取值范围问题的五种常用解法(1)利用抛物线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围.(2)利用已知参数的取值范围,求新参数的取值范围,解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围.(4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围.(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数并求该函数的值域,从而确定参数的取值范围.已知抛物线M:y2=4x,圆N:(x-1)2+y2=r2(r>0).过点(1,0)的直线l交圆N于C,D两点,交抛物线M于A,B两点,且满足|AC|=|BD|的直线l恰好有三条,则r的取值范围为().A. B.(1,2]C.(2,+∞)D.∞解析▶由题意可知,当直线斜率不存在时,|AC|=|BD|成立;当直线斜率存在时,此时存在两条直线满足|AC|=|BD|.设直线l:x=my+1(m≠ )由可得y2-4my-4=0.由(- )可得y2=.设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),由|AC|=|BD|,得y1-y3=y2-y4,则y1-y2=y3-y4,所以4=,故r=2(m2+1)>2,故选C.答案▶ C一、选择题1.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则的值一定等于().A.-4B.4C.p2D.-p2解析▶若焦点弦AB⊥x轴,则x1=x2=,不妨设y1>0,y2<0,∴ 1=p,y2=-p.∴ 1x2=,y1y2=-p2,故=-4.若焦点弦AB不垂直于x轴,可设直线AB的方程为y=k-,联立 p -得k2x2-(k2p+2p)x+=0,则x1x2=.又=2px1,=2px2, ∴ =4p2x1x2=p4,又y1y2<0,∴ 1y2=-p2.故=-4,故选A.答案▶ A2.已知抛物线x2=ay与直线y=2x-2相交于M,N两点,若MN中点的横坐标为3,则抛物线的方程为().A.x2=yB.x2=6yC.x2=-3yD.x2=3y解析▶设点M(x1,y1),N(x2,y2),由消去y,得x2-2ax+2a=0,所以==3,即a=3,-因此所求的抛物线方程为x2=3y,故选D.答案▶ D3.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过点F的直线与抛物线交于点M,N,与y轴交于点(0,),与准线l交于点P,点M在线段PF上,若|PM|=2|MF|,则|MN|=().A.B.C.D.解析▶由题意可得M,则2p·=,所以p=2,所以直线MN的方程为y=-(x-1).得M,N(3,-2),故|MN|=,故选D.由- ( - )答案▶ D4.设抛物线y2=4x的焦点为F,过点M(,0)的直线与抛物线相交于A,B两点,与抛物线的准=().线相交于点C,|BF|=3,则△△A.B.C.D.解析▶画出抛物线y2=4x的图象如图所示.由抛物线方程y2=4x,得焦点F的坐标为(1,0),准线方程为x=-1.过点A,B作准线的垂线,垂足分别为E,N.设直线AC的方程为y=k(x-),由消去y,(- )得k2x2-(2k2+4)x+5k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=5.由条件知|BF|=|BN|=1+x2=3,∴ 2=2,∴ 1=,∴|AE|= 1+1=.∵在△CBN中,BN∥AE,∴△△=||||=||||=.故选D.答案▶ D5.斜率为k的直线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,交抛物线于A,B两点,点P(x0,y0)为AB的中点,作OQ⊥AB,垂足为Q,则下列结论中不正确的是().A.ky0为定值B.·为定值C.点P的轨迹为圆的一部分D.点Q的轨迹为圆的一部分解析▶由题意知,抛物线的焦点为F,所以直线l的方程为y=k-(k≠ ).由 p-消去y,整理得k2x2-(k2p+2p)x+=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=p p,x1x2=,所以y1+y2=,y1y2=-p2,y0==.选项A中,ky0=p,为定值.故A正确.选项B中,·=x1x2+y1y2=-p2=-,为定值,故B正确.选项C中,由p p消去k,得x0=+,所以点的轨迹不是圆的一部分,故C不正确.选项D中,由于OQ⊥AB,直线AB过定点F,所以点Q在以OF为直径的圆上,故D正确.故选C.答案▶ C6.已知抛物线C:y2=4x,过焦点F且斜率为 的直线与C相交于P,Q两点,且P,Q两点在准线上的投影分别为M,N,则S△MFN=().A.B.C.D.解析▶由题意可得直线PQ的方程为y=(x-1),与抛物线y2=4x联立可得3x2-10x+3=0.设点P在第一象限,所以P(3,2),Q-,则MN=2+=.在△MFN 中,MN 边上的高h=2, 则S △MNF =×2×=, 故选B .答案▶ B7.过抛物线C :y 2=8x 的焦点F 的直线l 交抛物线C 于A ,B 两点,且|AB|=10,则原点到直线l 的距离为( ). A .B .C .D .解析▶ 由题意知,抛物线y 2=8x 的焦点为F (2,0),当直线l 的斜率不存在时,|AB|=2p=8,不合题意;当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y=k (x-2), 由( - )得k 2x 2-(4k 2+8)x+4k 2=0,所以x 1+x 2=.根据抛物线的定义可知|AB|=x 1+x 2+p=+4=10,解得k=±2,当k=2时,直线l 的方程为2x-y-4=0,所以原点到直线l 的距离d==, 当k=-2时,直线l 的方程为2x+y-4=0,所以原点到直线l 的距离d==,综上所述,原点到直线l 的距离为,故选C .答案▶ C8.若过抛物线x 2=4y 焦点的直线与抛物线交于A ,B 两点(不重合),则 · (O 为坐标原点)的值是( ). A . B .-C .3D .-3解析▶ 由题意知,抛物线的焦点为F (0,1).设直线AB 的方程为y=kx+1,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由得x 2-4kx-4=0,所以x 1x 2=-4,y 1y 2=( )=1,故 · =x 1x 2+y 1y 2=-4+1=-3,故选D .答案▶ D9.如图,过抛物线y 2=4x 的焦点F 作倾斜角为α的直线l ,l 与抛物线及其准线从上到下依次交于A ,B ,C 点,令| || |=λ1,| || |=λ2,则当α=时,λ1+λ2的值为( ).A .3B .4C .5D .6解析▶ 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则|AB|=x 1+x 2+2==.∵ 1+x 2=,又x 1x 2==1, ∴ 1=3,x 2=,∴| || |=λ1==3,同理可得| || |=λ2=-(- ) -(- )=2,∴λ1+λ2=5,故选C .答案▶ C10.过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ,B 两点,分别过A ,B 作准线的垂线,垂足分别为A 1,B 1两点,以A 1,B 1为直径的圆C 过点M (-2,3),则圆C 的方程为( ).A .(x+1)2+(y-2)2=2 B .(x+1)2+(y+1)2=17 C .(x+1)2+(y-1)2=5 D .(x+1)2+(y+2)2=26解析▶ 抛物线的准线方程为x=-1,焦点为F (1,0).当直线AB 的斜率不存在时,易得圆C 的方程为(x+1)2+y 2=4,不过点M ,不合题意.当直线AB 的斜率存在时,设AB 的方程为y=k (x-1),联立方程组( - )∴ 2-y-4=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1+y 2=,y 1y 2=-4.∴| 1-y 2|= ( ) - =4. ∴以A'B'为直径的圆C 的圆心为 - ,半径为2.∴圆C 的方程为(x+1)2+ -=4.把(-2,3)代入圆的方程得1+ -=4,解得k=2.∴圆C 的方程为(x+1)2+(y-1)2=5.故选C .答案▶ C 二、填空题11.已知抛物线y=ax2(a>0)的焦点到准线的距离为2,则直线y=x+1截抛物线所得的弦长等于.解析▶由题意知p==2,∴ =,∴抛物线的方程为y=x2,焦点为F(0,1),准线为y=-1.联立消去x,整理得y2-6y+1=0.设直线y=x+1与抛物线交于A,B两点,A(x1,y1),B(x2,y2),∴ 1+y2=6.∵直线y=x+1过焦点F,∴所求弦长|AB|=|AF|+|BF|=y1+1+y2+1=8.答案▶812.过抛物线C:y2=4x的焦点F的直线l与抛物线C交于P,Q两点,与其准线交于点M,且=3,则||= .解析▶由题意可得交点P在点M,F之间,|PM|=2|PF|,由抛物线的定义和平面几何知识可得,直线l的倾斜角为 或.设直线l的方程为 =±(x-1),联立( - ) 解得x P=,所以||=.答案▶三、解答题13.已知抛物线C:y2=2px(1>p>0)上的点P(m,1)到其焦点F的距离为.(1)求抛物线C的方程;(2)已知直线l不过点P且与C相交于A,B两点,且直线PA与直线PB的斜率之积为1,证明:直线l过定点.解析▶(1)由题意得1=2pm,即m=.由抛物线的定义,得|PF|=m--=+.由题意知,+=,解得p=或p=2(舍去).所以抛物线C的方程为y2=x.(2)设直线PA的斜率为k(显然k≠ ) 则直线PA的方程为y-1=k(x-1),即y=k(x-1)+1.由消去y,并整理得k2x2+[2k(1-k)-1]x+(1-k)2=0.(- )设A(x1,y1),由韦达定理,得 ·x1=( -),所以x1=( -),y1=k(x1-1)+1=k( -)-+1=-1+,所以A( -)-.由题意知,直线PB的斜率为.同理可得B --,即B((k-1)2,-1+k).若直线l的斜率不存在,则( -)=(k-1)2,解得k=1或k=-1.当k=1时,直线PA与直线PB的斜率均为1,A,B两点重合,与题意不符; 当k=-1时,直线PA与直线PB的斜率均为-1,A,B两点重合,与题意不符.所以直线l的斜率必存在.所以直线l的方程为y-(-1+k)=(- )[x-(k-1)2],即y=(- )x-1.所以直线l过定点(0,-1).。