高中数学到底有多少道习题

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高中数学到底有多少道习题

高中数学到底有多少道习题

━兼论数学解题长度

众所周知,问题与解是数学的心脏。解题是数学教学的显著特征。无需讳言,在应试教育的大背景下,高中数学的解题教学尤其重要。本文以苏教版高中数学教学体系为例,给出高效构建高中数学习题体系的策略,初步提出解题长度的概念,抛砖引玉,旨在优化高中数学的有效教学,让学生真正从浩如烟海的“题海”中解脱出来。

一、粗犷的高中数学习题体系的建构策略

解决数学问题需要具备哪些条件? 通常认为,首先是必须具有一定的数学基础知识,其次是要具有一定的数学思想方法。概念、法则、性质、公式、公理、定理等数学知识是数学的内容,可以用文字和符号来记录和描述,但随着时间的推移,记忆力的减退,将来可能忘记。数学思想方法与数学基础知识相比较,它有较高的地位和层次。在数学思想方法中,数学基本方法是数学思想的体现,是数学的行为,具有模式化与可操作性的特征,可以选用作为解题的具体手段。数学思想是一种意识形态,用以对数学问题的认识、处理和解决,只能够领会和运用,并且不是受用一阵子,而是受用一辈子,即使数学知识忘记了,数学思想方法也对你还会起作用。数学思想是数学的灵魂,它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。由此可见,在高中数学中 “知识”是基础,“方法”是手段,“思想”是深化。高中数学教学的根本目的是提高学生的数学素质,而数学素质的核心就是对数学思想方法的认识和运用,其综合体现就是所谓的“能力”。

按照高中数学课程标准和教学要求,同类的学生所要解决的问题都是相同的、有限的,但是随着教学日复一日地进行,学生往往或多或少地能够解答一些习题。如果学生在解答一个习题时没有出现任何错误,从理论上说,这个习题就不需要重做了。这样一来,一个学期要做的习题不是越来越多,而是越来越少。因此,从理论上说,数学教学过程可以用如下集合的减法公式来表示: B(t)=U-R(t)={})(,t R x U x x ?∈。这里U 是指确定的高中数学习题全集(最佳时,它是唯一的),其容量是一个相对稳定的“常数”;R(t)是指学生已经得到完全正确解答的习题集(即U 的子集),其容量是一个随时间(t)的推移而不断增加的“变数”;B(t)则是划去那些已经得到完全解答的习题所剩下的习题构成的习题集(即在U 中R(t)的补集),其容量是随时间(t)推移而不断减小的“变数”,也是后续教学的焦点。

高中数学习题全集是决定整个教学成绩的关键因素,它的质量直接决定高中数学教学的最后质量。怎样科学地确定高中数学的习题全集?教科书是几代人集体智慧的结晶,具有很强的权威性、指导性、规范性,也是解题能力的生长点,其中的例题和习题应当是高中数学习题全集的核心部分,学生必须要能够彻底地解答这些题目。在教学实践中,不少教师感到仅有教科书里的习题是不够的,有必要对其加以扩展。在当前各种教辅材料铺天盖地之际,那些来自于教科书之外的习题不能不经研究、选择、有计划就进入习题全集。当前,学生数学课业负担过重和数学教师负担过重(包括批改作业的体力负担与实绩竞争的心理负担)日益剧烈,其成因:一是师生受“作业做得越多越好”经验的误导;二是教师自身缺乏自信心和判断力;三是教研管理不到位。

怎样选择教科书之外的习题进入高中数学习题全集呢?首先,要认真研究高中数学课程标准和教学要求,并将教科书中的习题按照基本题、中档题和难题区别开来,确认在教学中学生必须真正解决的那些习题;其次,选择与教科书相匹配的教辅资料、当地名校或联考的同步测验试卷,通过认真研究后将其中的一些真正有价值的题目(以变式题为主,扩展题为辅,份量和难度按学生的实际水平在整体上加以控制)选入习题全集。当然,我们有必要选定一部分题目留作阶段性测验之用;最后,按学期将所有的习题进行全面的整理,并编成“学生用习题全集计划书”加以实施。

在数学教学中运用“减法智慧”能够体现有效教学的最基本特征:绩效特征(效率

趋高、策略优良)和活动要素特征(学生愉快、教师导向、弹性、生成),加强教学的针对性,切实减轻师生的负担,有效提高学生(特别是学困生)的数学学业成绩。

二、精确的高中数学习题体系的建构策略

问题树是麦肯锡分析问题最常使用的工具。问题树就是将一个问题的所有子问题分层罗列,从最高层开始,并逐步向下扩展:把一个已知问题当成树干,然后开始考虑这个问题和哪些问题相关。每想到一点,就给这个问题(也就是树干)加一个“树枝”,并标明这个“树枝”代表什么问题。一个大的“树枝”上还可以有小的“树枝”,如此类推,找出问题的所有相关问题。问题树主要是帮助你理清自己的思路,不进行重复和无关的思考。

高中数学是一棵分支众多的大树:根是高中数学所蕴涵的数学知识和数学思想方法,主干是与日益增长的数学知识有关的背景问题,分支是用已学的数学知识能够解决的一系列问题;再向下扩展,一部分是单纯地利用所学的数学知识就能够完全解决的问题,另一部分是不仅要利用所学的数学知识而且要利用数学知识形成过程中所蕴涵的数学思想方法才能够完全解决的问题。由此,我们产生一个贪婪的想法:高中数学教学的实质是“问题树”的教学。高中数学中的“问题树”是一个有权重但无环路的无向连通图G, 它包含的顶点集是由一个个问题组成的集合V{v1, v 2,...,vs},边集是由问题的解组成的集合E{E1,...,Et},对于任意一条边Ei,都有一个由问题的解所蕴涵的数学知识和数学思想方法组成的权重wi(我们暂且理解为问题的解所蕴涵知识点的个数与数学思想方法

的个数之和)。显然, 这样的“问题树”不是唯一的,但存在各边的权重之和最小的“最小问题树”。这样,高中数学优质教学就是在确认了“最小问题树”之后,使学生最大程度地真正解决“最小问题树”中的问题。

怎样确认高中数学的“最小问题树”?一种可行的想法是:利用前述的“高中数学习题全集”来构造“最小问题树”,即构造出最佳的“高中数学习题全集”。前述的“高中数学习题全集”,是凭借少数的精英教育的教学经验积累下来的,其显著特点是由于地域和技术的局限性,选题比较粗糙,与教学要求不相符合,特别是容易出现教学功能性重复或者缺失,因而难以公认。这一点,从当前铺天盖地的各种教辅材料(特别是习题集)良莠不齐可见一斑。为精确起见,我们不妨借助于现代信息技术(计算机题库管理系统+网络平台)来实现。

高中数学的计算机题库管理系统可以由“题型”(单选项)、“知识点”(多选项)、“数学思想方法”(多选项)、“难度”(单选项)、“用途”(多选项)、“来源”(多选项)、“录入时间”(单选项)等项目组成。“题型”分“选择题”、“填空题”、“解答题”等。“知识点”分“册号”、“章名”、“节名”、“知识点名”。以苏教版高中数学必修课为例,课本有5+2=7册,13+6=19章,73+24=97节,约120个知识点。“数学思想方法”分“数学方法”、“数学思想”,其中高中数学方法常用的有五种:观察与实验法(包括图像法)、分析(包括逆证法)与综合法(包括定义法、公式法)、特殊与一般法(包括参数法、待定系数法)、归纳与类比法(包括换元法、解析法)、补差法(包括消去法、放缩法、反证法)等;高中数学思想常用的有三种:符号与变元表示的思想(包括函数与方程思想)、数形结合思想、对立统一的思想(包括整体思想、分类讨论思想、化归思想)等。高中数学方法与数学思想是相辅相成的。数学思想是数学方法的精神实质和理论基础,数学方法则是体现数学思想的技术手段。“难度”通常分“容易”、“偏易”、“中等”、“偏难”、“难”五档。“用途”分“课型”、“用处”,其中“课型”分新授课、复习课;“用处”分例题、同步训练、测试等。“来源”分“课本”、“参考书”、“地区联考卷”、“高考真卷”、“高考模拟卷”等。

由此可见,如果一个数学题以涉及到的知识点为1-3个、涉及到的“数学思想方法”中“数学方法”、“数学思想”各1-2个,则大约有(120+120╳119/2+120╳119╳118/6) ╳(5+10) ╳(3+3)= 25 929 000道不同的题目,高达2 500万之多;如果一个数学题以涉及到的知识点为1-2个、涉及到的“数学思想方法”中“数学方法”、“数学思想”各1-2个,则大约有(120+120╳119/2) ╳(5+10) ╳(3+3)= 653 400道不同的题目,也高达50万之多。因此,无论从理论上还是从实践上看,“题海”战术是低效的甚至是得

不偿失的。

在过去,题目“难度”的划定是没有确切标准的。为了解决这个问题,我们又产生一个贪婪的想法:我们将题目的一个解所蕴涵的知识点个数A加上数学方法个数B与数学思想个数C之积的和,称为这个解的长度(D)。即D=A+B╳C。考虑到高中数学的“一题多解”现象(“一题多解”产生的根源在于对同一数学问题的多角度的审视引发的不同联想。“一题多解”之所以深受数学教师的重视,就是因为在解题过程中能够多层次、多角度的思考问题,全面地应用知识来分析问题与解决问题。但是,“一题多解”教学必须注意两点:一是并不是所有的一题多解都能起到培养学生的发散性思维的目的。学生不同于科学家,学生真正能掌握的仅仅是一两种。二是一题多解不一定是有益的,要把握时机,根据教学目的进行取舍。不要胡乱堆砌,让学生惊叹于教师的高明之余却茫然于各种解法;要突出解题分析和解题回顾,引导学生提炼数学思想方法。因此,必须优化解题方法。),我们将某题目的所有解(或优化了的一题多解)的长度的最小值, 称为这个题目的解题长度。例如, 某题目共有两种解法:解法一所蕴涵的知识点为2个,数学方法为2个 ,数学思想为1个,则解法一的解题长度为2+2╳1=4; 解法二所蕴涵的知识点为1个,数学方法为2个 ,数学思想为2个,则解法二的解题长度为1+2╳2=5; 因为解法一的解题长度与解法二的解题长度的最小值为4,所以这个题目的解题长度为4。显而易见,一个题目的“难度”与“解题长度”成正相关。这样,我们便可以用题目的解题

们就能进一步地研究题目的难度分布与相应的题量分布问题,以便有效地精确控制教学。

以江苏省教学要求为例, 在必修课的120个知识点中,了解/识别的约35个, 理解/独立操作的约77个,掌握/应用/迁移的仅有8个。显而易见,无论在基础年级的新授课阶段还是在高三年级的总复习阶段,对教学要求不同的知识点,都应当配上份量和难度各不相同的习题。这样,“高中数学习题全集”到底应当有多少道题合适?怎样分配?我们又产生一个贪婪的想法:以苏教版高中数学必修课为例,假设每学期20周,每周5

节数学课,每节数学课15道习题(其中例题3-4道,课堂训练2-3道,课后作业8-10道),高中三年应有数学习题近1万道。如果再按了解、理解、掌握的份量之比为2:3:5计算,每一个了解级的知识点应有习题17道(分新授课、总复习两次完成;下同),理解级的知识点应有习题25道,掌握级的知识点应有习题42道。

按上述的思路(诚然,这些想法还不太成熟,有待于后来的实践加以完善)我们便可以设计一个10 000道题的“高中数学题库管理系统”。为了防止出现偏差,我们不妨利用网络平台,群策群力,集思广益,克服地域和技术的局限性,打破个人权威,共建共享。我们有理由相信,成熟的“高中数学题库管理系统”必定会带来全新的高中数学教育的春天!

注:1.本文仅在网上发表。未经作者同意,谢绝任何纸质媒体转载。

2.欢迎网上评论。有意参与“高中数学题库管理系统”软件制作者,请与本人联系。

3. 作者联系邮箱:jsychhl@https://www.360docs.net/doc/1d7748404.html,

高中数学题库

迄今为止最全,最适用的高一数学试题(必修1、4) (特别适合按14523顺序的省份) 必修1 第一章 集合测试 一、选择题(共12小题,每题5分,四个选项中只有一个符合要求) 1.下列选项中元素的全体可以组成集合的是 ( ) A.学校篮球水平较高的学生 B.校园中长的高大的树木 C.2007年所有的欧盟国家 D.中国经济发达的城市 2.方程组20{=+=-y x y x 的解构成的集合是 ( ) A .)}1,1{( B .}1,1{ C .(1,1) D .}1{ 3.已知集合A={a ,b ,c},下列可以作为集合A 的子集的是 ( ) A. a B. {a ,c} C. {a ,e} D.{a ,b ,c ,d} 4.下列图形中,表示N M ?的是 ( ) 5.下列表述正确的是 ( ) A.}0{=? B. }0{?? C. }0{?? D. }0{∈? 6、设集合A ={x|x 参加自由泳的运动员},B ={x|x 参加蛙泳的运动员},对于“既参 加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为 ( ) A.A ∩B B.A ?B C.A ∪B D.A ?B 7.集合A={x Z k k x ∈=,2} ,B={Z k k x x ∈+=,12} ,C={Z k k x x ∈+=,14} 又,,B b A a ∈∈则有 ( ) A.(a+b )∈ A B. (a+b) ∈B C.(a+b) ∈ C D. (a+b) ∈ A 、B 、C 任一个 8.集合A={1,2,x},集合B={2,4,5},若B A ={1,2,3,4,5},则x=( ) A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 9.满足条件{1,2,3}?≠M ?≠{1,2,3,4,5,6}的集合M 的个数是 ( ) A. 8 B. 7 C. 6 D. 5

最新高考数学中比较大小的策略

高考数学中比较大小的策略 云南省会泽县茚旺高级中学 杨顺武 在每年的高考数学卷中,“比较大小”是一类热点问题.考生们经 常找不到解答问题的方法,乱猜导致丢分.为帮助考生避免无谓失分,本文对这类问题的解题策略进行深入探讨,以提高考生的成绩: 策略一:直接法 就是从题设条件出发,通过正确的运算、推理或判断,直接得出结论。运用此种方法解 题需要扎实的数学基础。 例1.若2 2 221231111,,,x S x dx S dx S e dx x ===???则123S S S 的大小关系为( ) A .123S S S << B .213S S S << C .231S S S << D .321S S S << 解:本题考查微积分基本定理2 2321111733 S x dx x ===? 2 22111ln ln 21S dx x x ===?。 所以213S S S <<,选B. 策略二:估算法 就是把复杂问题转化为较简单的问题,求出答案的近似值,或把有关数值扩大或缩小, 从而对运算结果确定出一个范围或作出一个估计,进而作出判断的方法。 例2.已知ln x π=,5log 2y =,1 2z e -=,则 A.x y z << B.z x y << C.z y x << D.y z x << 解:1ln >=πx ,215log 12log 25<==y ,e e z 121 ==-,1121<

2016届高考数学经典例题集锦:数列(含答案)

数列题目精选精编 【典型例题】 (一)研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质 例题1. 已知数列}{n a 满足1 111,3(2)n n n a a a n --==+≥. (1)求32,a a ; (2)证明: 312n n a -= . 解:(1)2 1231,314,3413a a a =∴=+==+= . (2)证明:由已知1 13 --=-n n n a a ,故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=--- 1 2 1313 3 312n n n a ---+=++++= , 所以证得31 2n n a -= . 例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ (Ⅰ)求{}n a 的通项公式; (Ⅱ)等差数列{}n b 的各项为正,其前n 项和为n T ,且315T =,又112233,,a b a b a b +++成等比数列,求n T . 解:(Ⅰ)由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥, 两式相减得:112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥, 又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1,公比为3的等比数列 ∴1 3 n n a -= (Ⅱ)设{}n b 的公差为d ,由315T =得,可得12315b b b ++=,可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+,又1231,3,9a a a ===, 由题意可得2 (51)(59)(53)d d -+++=+,解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正,∴0d > ∴2d = ∴2(1) 3222n n n T n n n -=+ ?=+ 例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同,且2 12322...a a a +++ 128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立,数列{} n n b b -+1是等差数列. ⑴求数列{}n a 与{}n b 的通项公式; ⑵是否存在N k * ∈,使得(0,1)k k b a -∈,请说明理由. 点拨:(1)2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式,可以联想到已知n S 求n a 的方法,当2n ≥时,1n n n S S a --=. (2)把k k a b -看作一个函数,利用函数的思想方法来研究k k a b -的取值情况. 解:(1)已知212322a a a +++ (1) 2n n a -+8n =(n ∈*N )① 2n ≥时,212322a a a +++ (2) 128(1)n n a n --+=-(n ∈*N )②

【有关高中数学教学的】高中数学经典大题150道

【有关高中数学教学的】高中数学经典大题150道 学习活动对学生来说本身就具有重要的意义,但是由于个体间的差异和教学时间紧迫等客观因素决定了在数学课堂上教师不可能兼顾到每一个学生的实际情况. 第一篇:民族地区的高中数学教学 1. 当前高中数学教学的问题和分析 ①不注重知识的循序渐进:从初中到高中的知识跨越是一个循序渐进的过程,一定要做到让学生吸收。 而现在的教师为了让学生掌握的更多,没节制的拓宽知识面,不断地补充一些公式或者特殊的解题方法,这些在高中生的高三复习阶段屡见不鲜,导致学生的负担过重不能更好的发挥。 ②因材施教没有落到实处:一些高中教师教学过程中分层教学把握不到位,教法单一。 只讲”范式”,不讲”变式”,只要求记结论、套题型,多数学生浅尝辄止,不求甚解。 学生学习毫无兴致,导致两级分化严重。 2. 教学新思路探索 2.1注重生源状况研究,实施因材施教依据少数民族地区生源质量较差的实际情况,

教师需要对其因材施教。 结合班级里学生能力参差不齐的实际,传统的一些僵化教法根本无法适应当前新课程改革的要求,无法推进后进生的转化。 教师需要根据生源状况,将其分为差、中、好三个档次,对后进生在知识方面进行详细的了解,设计问题的过程中可以梯度小一点,采取”小步子、慢速度”的原则。 2.2掌握新课改新课程的基本理念在新课改下,高中数学旨在构建学生发展和学习的良好基础,激励学生学习的积极主动性;促进学生的全面发展,注重学生数学思维的形成,把信息技术和课程化作一体,建立适应学生个性发展的学习体系。 这一切都要求教师提高自身的综合素质,在教学中探索更好的教学方法,实现从知识的传授到学生能力的培养的跨越。 2.3注重知识传授的循序渐进以及改进方法新课改高中数学教学的关键就是循序渐进,只有完成这个环节,才能顺利的开展教学。 有的老师眼中只有成绩,一味赶进度,形成”填鸭式”的教学模式。 但事实上这样会适得其反,数学学科肩负着学生运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力的培养。 它的特点就是很抽象,对能力的要求很高。 所以如果不遵从循序渐进的原则,那么必然会形成很多学生的掉队,不仅会影响学生的兴趣,更重要的是还会影响其成绩。 所以高中数学教学方法一定要活,因材施教,要具有针对性。 教师要真正成为学生的引导和合作者。 考虑学生的自身状况以及学习需要,辅以多媒体教学,培养学生的积极性和兴趣,做到学生不仅能够掌握现有概念和技能,还能独立思考学习,要充分鼓励学生自主探索。

经典高中数学最全数列总结及题型精选

高中数学:数列及最全总结和题型精选 一、数列的概念 (1)数列定义:按一定次序排列的一列数叫做数列; 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作n a ,在数列第一个位置的项叫第1项(或首项),在第二个位置的叫第2项,……,序号为n 的项叫第n 项(也叫通项)记作n a ; 数列的一般形式:1a ,2a ,3a ,……,n a ,……,简记作 {}n a 。 (2)通项公式的定义:如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫 这个数列的通项公式。 例如:①:1 ,2 ,3 ,4, 5 ,… ②:5 14131211,,,,… 说明: ①{}n a 表示数列,n a 表示数列中的第n 项,n a = ()f n 表示数列的通项公式; ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如,n a = (1)n -=1,21 ()1,2n k k Z n k -=-?∈?+=? ; ③不是每个数列都有通项公式。例如,1,1.4,1.41,1.414,…… (3)数列的函数特征与图象表示: 从函数观点看,数列实质上是定义域为正整数集N +(或它的有限子集)的函数()f n 当自变量n 从1开始 依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……,()f n ,…….通常用n a 来代替()f n ,其图象是一群孤立点。 (4)数列分类:①按数列项数是有限还是无限分:有穷数列和无穷数列;②按数列项与项之间的大小关系分:递增数列、递减数列、常数列和摆动数列。 例:下列的数列,哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列? (1)1,2,3,4,5,6,… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, … (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, … (4)a, a, a, a, a,… (5)数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系:1 1(1)(2)n n n S n a S S n -=?=? -?≥ 二、等差数列 (一)、等差数列定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示。用递推公式表示为1n n -或1(1)n n a a d n +-=≥ 例:等差数列12-=n a n ,=--1n n a a (二)、等差数列的通项公式:1(1)n a a n d =+-; 说明:等差数列(通常可称为A P 数列)的单调性:d 0>为递增数列,0d =为常数列,0d < 为递减数列。 例:1.已知等差数列{}n a 中,124971 16a a a a ,则,==+等于( ) A .15 B .30 C .31 D .64 2.{}n a 是首项11a =,公差3d =的等差数列,如果2005n a =,则序号n 等于 (A )667 (B )668 (C )669 (D )670 3.等差数列12,12+-=-=n b n a n n ,则n a 为 n b 为 (填“递增数列”或“递减数列”) (三)、等差中项的概念:

高中数学经典题型50道(另附详细答案)讲解学习

高中数学经典题型50道(另附详细答案)

高中数学习题库(50道题另附答案) 1.求下列函数的值域: 解法2 令t=sin x,则f(t)=-t2+t+1,∵ |sin x|≤1, ∴|t|≤1.问题转化为求关于t的二次函数f(t)在闭区间[-1,1]上的最值. 本例题(2)解法2通过换元,将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题,从而达到解决问题的目的,这就是转换的思想.善于从不同角度去观察问题,沟通数学各学科之间的内在联系,是实现转换的关键,转换的目的是将数学问题由陌生化熟

悉,由复杂化简单,一句话:由难化易.可见化归是转换的目的,而转换是实现化归段手段。 2. 设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行,地球恰好位于椭圆轨道 的焦点处,当此慧星离地球相距m 万千米和m 3 4万千米时,经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为32 π π和,求该慧星与 地球的最近距离。 解:建立如下图所示直角坐标系,设地球位于焦点)0,(c F -处,椭圆 的方程为122 22=+b y a x (图见教材P132页例1)。 当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为3 π 时,由椭圆的几何 意义可知,彗星A 只能满足)3 (3/π π=∠=∠xFA xFA 或。作 m FA FB Ox AB 3 2 21B ==⊥,则于 故由椭圆第二定义可知得???????+-=-=)32(34)(2 2 m c c a a c m c c a a c m 两式相减得,2 3)4(21.2,3 2 31 c c c m c a m a c m =-==∴?=代入第一式得 .3 2.32m c c a m c ==-∴=∴ 答:彗星与地球的最近距离为m 3 2万千米。 说明:(1)在天体运行中,彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆,而恒星正是它的一个焦点,该椭圆的两个焦点,一个是近地点,另一个则是远地点,这两点到恒星的距离一个是c a -,另一个是.c a +

高中数学比较大小综合测试题

高中数学比较大小综合测试题比较大小同步练习 1、设,则下列各不等式一定成立的是() A、B、 C、D、 2.若,则下列不等式成立的是() A.B. C.D. 3、下列命题:①;②;③;④(),其中真命题是() A、①②③ B、①③④ C、②③④ D、①③ 4.给出下列四个命题: (1)若,则. (2)若,则. (3)若,则. (4)若,则. 问:哪两个命题是正确的?对不正确的命题,添加什么条件后变成正确命题. 5、(1)若,试比较与的大小; (2)设,且,试比较与的大小。 6.已知,,求证:. 7.已知,,求证:. 8.如果,,,求证:.

9.已知三个不等式:(1),(2),(3).以其中两个作为条件,余下的一个作为结论,写出两个能成立的不等式命题. 10.已知,,证明:. 11、已知,设,比较M、N、P的大小。 12.求证:. 13.设,求下列式子的取值范围:(1);(2); (3);(4). 14.设,分别求出(1);(2);(3)的取值范围.15.已知,求的取值范围. 教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分,我常采用范读,让幼儿学习、模仿。如领读,我读一句,让幼儿读一句,边读边记;第二通读,我大声读,我大声读,幼儿小声读,边学边仿;第三赏读,我借用录好配朗读磁带,一边放录音,一边幼儿反复倾听,在反复倾听中体验、品味。 与当今“教师”一称最接近的“老师”概念,最早也要追溯至宋元时期。金代元好问《示侄孙伯安》诗云:“伯安入小学,颖悟非凡貌,属句有夙性,说字惊老师。”于是看,宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。清代称主考官也为“老师”,而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。可见,“教师”一说是比较晚的事了。如今体会,“教师”的含义比之“老师”一说,具有资历和学识程度上较低一些的差别。辛亥革命后,

高一数学平面向量知识点及典型例题解析

高一数学 第八章 平面向量 第一讲 向量的概念与线性运算 一.【要点精讲】 1.向量的概念 ①向量:既有大小又有方向的量。几何表示法AB u u u r ,a ;坐标表示法),(y x j y i x a 。 向量的模(长度),记作|AB u u u r |.即向量的大小,记作|a |。向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的,规定0r 平行于任何向量。(与0的区别) ③单位向量| a |=1。④平行向量(共线向量)方向相同或相反的非零向量,记作a ∥b ⑤相等向量记为b a 。大小相等,方向相同 ),(),(2211y x y x 2121y y x x 2.向量的运算(1)向量加法:求两个向量和的运算叫做向量的加法.如图,已知向量a ,b ,在平面内任 取一点A ,作AB u u u r a ,BC u u u r b ,则向量AC 叫做a 与b 的和,记作a+b ,即 a+b AB BC AC u u u r u u u r u u u r 特殊情况: a b a b a+b b a a+b (1) 平行四边形法则三角形法则C B D C B A A 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加: AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r L ,但这时必须“首尾相连”。②向量减法: 同一个图中画出 a b a b r r r r 、 要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”(1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量。(2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.(3)实数与向量的积 3.两个向量共线定理:向量b 与非零向量a 共线 有且只有一个实数 ,使得b =a 。 二.【典例解 析】 题型一: 向量及与向量相关的基本概念概念 例1判断下列各命题是否正确 (1)零向量没有方向 (2)b a 则, (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段

高中数学椭圆超经典知识点+典型例题讲解

学生姓名性别男年级高二学科数学 授课教师 上课时 间2014年12月13 日 第()次课 共()次课 课时:课时 教学课题椭圆 教学目标 教学重点 与难点 选修2-1椭圆 知识点一:椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数(),这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意:若,则动点的轨迹为线段; 若,则动点的轨迹无图形.

讲练结合一.椭圆的定义 1.方程()()10222222=++++-y x y x 化简的结果是 2.若ABC ?的两个顶点()()4,0,4,0A B -,ABC ?的周长为18,则顶点C 的轨迹方程是 3.已知椭圆22 169 x y +=1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3,则P 到另一焦点距离为 知识点二:椭圆的标准方程 1.当焦点在轴上时,椭圆的标准方程:,其中; 2.当焦点在轴上时,椭圆的标准方程:,其中; 注意: 1.只有当椭圆的中心为坐标原点,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到椭圆的标准方程; 2.在椭圆的两种标准方程中,都有 和 ; 3.椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时,椭圆的焦点坐标为, ; 当焦点在轴上时,椭圆的焦点坐标为 ,。

圆的标准方程; 知识点三:椭圆的简单几何性质 椭圆的的简单几何性质 (1)对称性 对于椭圆标准方程,把x换成―x,或把y换成―y,或把x、y同时换 成―x、―y,方程都不变,所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形,且是以原点为对称中心的中心对称图形,这个对称中心称为椭圆的中心。 (2)范围 椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a,|y|≤b。

高中数学经典题型50道(另附详细答案)

高中数学习题库(50道题另附答案) 1.求下列函数的值域: 解法2 令t=sin x,则f(t)=-t2+t+1,∵|sin x|≤1, ∴|t|≤1.问题转化为求关于t的二次函数f(t)在闭区间[-1,1]上的最值. 本例题(2)解法2通过换元,将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题,从而达到解决问题的目的,这就是转换的思想.善于从不同角度去观察问题,沟通数学各学科之间的内在联系,是实现转换的关键,转换的目的是将数学问题由陌生化熟悉,由复杂化简单,一句话:由难化易.可见化归是转换的目的,而转换是实现化归段手段。

2. 设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行,地球恰好位于椭圆轨道 的焦点处,当此慧星离地球相距m 万千米和m 3 4 万千米时,经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为32 π π和,求该慧星与地球 的最近距离。 解:建立如下图所示直角坐标系,设地球位于焦点)0,(c F -处,椭圆的 方程为122 22=+b y a x (图见教材P132页例1)。 当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为3π 时,由椭圆的几何 意义可知,彗星A 只能满足)3 (3/π π=∠=∠xFA xFA 或。作 m FA FB Ox AB 3 2 21B ==⊥,则于 故由椭圆第二定义可知得????? ??+-=-=)32(34)(2 2 m c c a a c m c c a a c m 两式相减得,2 3)4(21.2,3 2 31 c c c m c a m a c m =-==∴?=代入第一式得 .3 2.32m c c a m c ==-∴=∴ 答:彗星与地球的最近距离为m 3 2 万千米。 说明:(1)在天体运行中,彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆,而恒星正是它的一个焦点,该椭圆的两个焦点,一个是近地点,另一个则是远地点,这两点到恒星的距离一个是c a -,另一个是.c a + (2)以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的,以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想。另外,数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题,善于挖掘隐含条件,有意识

学而思高中数学1-不等式比较大小

【例1】 若0a b <<,1a b +=,则在下列四个选项中,较大的是( ) A .1 2 B .22a b + C .2ab D .b 【例2】 将23 2,12 23?? ??? ,1 22按从大到小的顺序排列应该是 . 【例3】 若2x = ,2x =,x y 满足( ) A .x y > B .x y ≥ C .x y < D .x y = 【例4】 若 11 0a b <<,则下列不等式中, ①a b ab +< ②||||a b > ③a b < ④ 2b a a b +> 正确的不等式有____ .(写出所有正确不等式的序号) 典例分析 比较大小

【例5】 已知,a b ∈R ,那么“||a b >”是“22a b >”的( ) A .充分非必要条件 B .必要非充分条件 C .充分必要条件 D .既非充分又非必要条件 【例6】 若0b a <<,则下列不等式中正确的是( ) A .11a b > B .a b > C .2b a a b +> D .a b ab +> 【例7】 比较下列代数式的大小: ⑴ 23x x +与2x -; ⑵ 61x +与42x x +; 【例8】 比较下列代数式的大小: ⑴ 43x x y -与34xy y -; ⑵0xy >,且x y >) ⑶ x y x y 与y x x y (其中0,0,x y x y >>≠).

【例9】 a 、b 、c 、d 均为正实数,且a b >,将 b a 、a b 、b c a c ++与a d b d ++按从小到大的顺序进行排列. 【例10】 比较大小:log a a b 、log a b 与log b a (其中21a b a >>>) 【例11】 已知a 、b 、c 、d 均为实数,且0ab >,c d a b - <-, 则下列各式恒成立的是( ) A .bc ad < B .bc ad > C .a b c d > D .a b c d < 【例12】 当a b c >>时,下列不等式恒成立的是( ) A .ab ac > B .a c b c > C .ab bc > D .()0a b c b --> 【例13】 已知三个不等式:0ab >,0bc ad ->, 0c d a b ->(其中a 、b 、c 、d 均为实数).用其中两个不等式作为条件,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,可组成的正确命题的个数是( ) A .0 B .1 C .2 D .3

高中数学圆的方程典型例题及详细解答

新课标高中数学圆的方程典型例题 类型一:圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系. 分析:欲求圆的标准方程,需求出圆心坐标的圆的半径的大小,而要判断点P 与圆的位置关系,只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系,若距离大于半径,则点在圆外;若距离等于半径,则点在圆上;若距离小于半径,则点在圆内. 解法一:(待定系数法) 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-. ∵圆心在0=y 上,故0=b . ∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-. 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点. ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得:1-=a ,202 =r . 所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x . 解法二:(直接求出圆心坐标和半径) 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点,所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上,又因为 13 12 4-=--= AB k ,故l 的斜率为1,又AB 的中点为)3,2(,故AB 的垂直平分线l 的方程为:23-=-x y 即01=+-y x . 又知圆心在直线0=y 上,故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2= ++==AC r . 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x . 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22. ∴点P 在圆外. 说明:本题利用两种方法求解了圆的方程,都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量,然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系,若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢?

高中数学必修一集合经典题型总结高分必备

慧诚教育2017年秋季高中数学讲义 必修一第一章复习 知识点一集合的概念 1.集合 一般地,把一些能够________________对象看成一个整体,就说这个整体是由这些对象________构成的集合(或集),通常用大写拉丁字母A,B,C,…来表示. 2.元素 构成集合的____________叫做这个集合的元素,通常用小写拉丁字母a,b,c,…来表示. 3.空集 不含任何元素的集合叫做空集,记为?.

知识点二 集合与元素的关系 1.属于 如果a 是集合A 的元素,就说a ________集合A ,记作a ________A . 2.不属于 如果a 不是集合A 中的元素,就说a ________集合A ,记作a ________A . 知识点三 集合的特性及分类 1.集合元素的特性 ________、________、________. 2.集合的分类 (1)有限集:含有________元素的集合. (2)无限集:含有________元素的集合. 3.常用数集及符号表示 知识点四 1.列举法 把集合的元素________________,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法. 2.描述法 用集合所含元素的 ________表示集合的方法称为描述法. 知识点五 集合与集合的关系 1.子集与真子集

2.子集的性质 (1)规定:空集是____________的子集,也就是说,对任意集合A,都有________. (2)任何一个集合A都是它本身的子集,即________. (3)如果A?B,B?C,则________. (4)如果A?B,B?C,则________. 3.集合相等 4.集合相等的性质 如果A?B,B?A,则A=B;反之,________________________. 知识点六集合的运算 1.交集

最全的高中数学数列练习题-附答案与解析

数列 1.{a n }是首项a 1=1,公差为d =3的等差数列,如果a n =2 005,则序号n 等于( ). A .667 B .668 C .669 D .670 2.在各项都为正数的等比数列{a n }中,首项a 1=3,前三项和为21,则a 3+a 4+a 5=( ). A .33 B .72 C .84 D .189 3.如果a 1,a 2,…,a 8为各项都大于零的等差数列,公差d ≠0,则( ). A .a 1a 8>a 4a 5 B .a 1a 8<a 4a 5 C .a 1+a 8<a 4+a 5 D .a 1a 8=a 4a 5 4.已知方程(x 2-2x +m )(x 2-2x +n )=0的四个根组成一个首项为 41的等差数列,则 |m -n |等于( ). A .1 B .43 C .21 D . 8 3 5.等比数列{a n }中,a 2=9,a 5=243,则{a n }的前4项和为( ). A .81 B .120 C .168 D .192 6.若数列{a n }是等差数列,首项a 1>0,a 2 003+a 2 004>0,a 2 003·a 2 004<0,则使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是( ). A .4 005 B .4 006 C .4 007 D .4 008 7.已知等差数列{a n }的公差为2,若a 1,a 3,a 4成等比数列, 则a 2=( ). A .-4 B .-6 C .-8 D . -10 8.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若 35a a =95,则59S S =( ). A .1 B .-1 C .2 D .2 1 9.已知数列-1,a 1,a 2,-4成等差数列,-1,b 1,b 2,b 3,-4成等比数列,则 212b a a -的值是( ). A .21 B .-21 C .-21或21 D .4 1 10.在等差数列{a n }中,a n ≠0,a n -1-2n a +a n +1=0(n ≥2),若S 2n -1=38,则n =( ). A .38 B .20 C .10 D .9 二、填空题 11.设f (x )=221 +x ,利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法,可求得f (-5)+f (-4)+…+ f (0)+…+f (5)+f (6)的值为 . 12.已知等比数列{a n }中,

高中数学四种命题经典例题

例命题“若=,则与成反比例关系”的否命题是1 y x y k x [ ] A y x y B y kx x y C x y y .若≠ ,则与成正比例关系.若≠,则与成反比例关系.若与不成反比例关系,则≠k x k x D y x y .若≠,则与不成反比例关系k x 分析 条件及结论同时否定,位置不变. 答 选D . 例2 设原命题为:“对顶角相等”,把它写成“若p 则q ”形式为________.它的逆命题为________,否命题为________,逆否命题为________. 分析 只要确定了“p ”和“q ”,则四种命题形式都好写了. 解 若两个角是对顶角,则两个角相等;若两个角相等,则这两个角是对顶角;若两个角不是对顶点,则这两个角不相等;若两个角不相等,则这两个角不是对顶角. 例3 “若P ={x |x|<1},则0∈P ”的等价命题是________. 分析 等价命题可以是多个,我们这里是确定命题的逆否命题. 解原命题的等价命题可以是其逆否命题,所以填“若,则 0P p ≠{x||x|<1}” 例4 分别写出命题“若x 2+y 2=0,则x 、y 全为0”的逆命题、否命题和逆否命题.

分析根据命题的四种形式的结构确定. 解逆命题:若x、y全为0,则x2+y2=0; 否命题:若x2+y2≠0,则x,y不全为0; 逆否命题:若x、y不全为0,则x2+y2≠0. 说明:“x、y全为0”的否定不要写成“x、y全不为0”,应当是“x,y不全为0”,这要特别小心. 例5有下列四个命题: ①“若xy=1,则x、y互为倒数”的逆命题; ②“相似三角形的周长相等”的否命题; ③“若b≤-1,则方程x2-2bx+b2+b=0有实根”的逆否命题; ④“若∪=,则”的逆否命题,其中真命题是 A B B A B [ ] A.①②B.②③ C.①③D.③④ 分析应用相应知识分别验证. 解写出相应命题并判定真假 ①“若x,y互为倒数,则xy=1”为真命题; ②“不相似三角形周长不相等”为假命题; ③“若方程x2-2bx+b2+b=0没有实根,则b>-1”为真命题;

高考数学复习专题 比大小 全套练习题及答案解析

第五篇 不等式 专题30 十拿九稳----比较大小 【热点聚焦与扩展】 高考命题中,常常在选择题或填空题中出现一类比较大小的问题,往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起,进行排序.这类问题的解法往往可以从代数和几何两方面加以探寻,即利用函数的性质及图象解答.本专题以一些典型例题来说明此类问题的方法与技巧. (一)常用技巧和方法 1、如何快速判断对数的符号?八字真言“同区间正,异区间负”,容我慢慢道来: 判断对数的符号,关键看底数和真数,区间分为()0,1和()1,+∞ (1)如果底数和真数均在()0,1中,或者均在()1,+∞中,那么对数的值为正数 (2)如果底数和真数一个在()0,1中,一个在()1,+∞中,那么对数的值为负数 例如:30.52log 0.50,log 0.30,log 30<>>等 2、要善于利用指对数图象观察指对数与特殊常数(如0,1)的大小关系,一作图,自明了 3、比较大小的两个理念: (1)求同存异:如果两个指数(或对数)的底数相同,则可通过真数的大小与指对数函数的单调性,判断出指数(或对数)的关系,所以要熟练运用公式,尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况 例如:1 113 4 2 3,4,5,比较时可进行转化,尽管底数难以转化为同底,但指数可以变为相同 ()()() 111111436342 12 12 12 33 ,44 ,55 ===,从而只需比较底数的大小即可 (2)利用特殊值作“中间量”:在指对数中通常可优先选择“-1,0,1”对所比较的数进行划分,然后再进行比较,有时可以简化比较的步骤(在兵法上可称为“分割包围,各个击破”,也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计,例如2log 3,可知2221log 2log 3log 42=<<=,进而可估计2log 3是一个1点几的数,从而便于比较 4、常用的指对数变换公式: (1)n m m n a a ??= ???

高中数学经典题型50道(另附详细答案)

高中数学经典题型50 道(另附详细答案) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

高中数学习题库(50道题另附答案) 1.求下列函数的值域: 解法2 令t=sin x,则f(t)=-t2+t+1,∵ |sin x|≤1, ∴ |t|≤1.问题转化为求关于t的二次函数f(t)在闭区间[-1,1]上的最值. 本例题(2)解法2通过换元,将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题,从而达到解决问题的目的,这就是转换的思想.善于从不同角度去观察问题,沟通数学各学科之间的内在联系,是实现转换的关键,转换的目的是将数学问题由陌生化熟悉,由复杂化简单,一句话:由难化易.可见化归是转换的目的,而转换是实现化归段手段。

2. 设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行,地球恰好位于椭圆轨道 的焦点处,当此慧星离地球相距m 万千米和m 3 4万千米时,经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为32 π π和,求该慧星与 地球的最近距离。 解:建立如下图所示直角坐标系,设地球位于焦点)0,(c F -处,椭圆 的方程为122 22=+b y a x (图见教材P132页例1)。 当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为3 π 时,由椭圆的几何 意义可知,彗星A 只能满足)3 (3/π π=∠=∠xFA xFA 或。作 m FA FB Ox AB 3 2 21B ==⊥,则于 故由椭圆第二定义可知得????? ??+-=-=)32(34)(2 2 m c c a a c m c c a a c m 两式相减得,2 3)4(21.2,3 2 31 c c c m c a m a c m =-==∴?=代入第一式得 .3 2.32m c c a m c ==-∴=∴ 答:彗星与地球的最近距离为m 3 2万千米。 说明:(1)在天体运行中,彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆,而恒星正是它的一个焦点,该椭圆的两个焦点,一个是近地点,另一个则是远地点,这两点到恒星的距离一个是c a -,另一个是.c a + (2)以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的,以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想。另外,数学应用问题的

高中数学函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案

高中数学函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

函数与方程 【知识梳理】 1、函数零点的定义 (1)对于函数)(x f y =,我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。 (2)方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。因此判断一个函数是否有零点,有几个零点,就是判断方程0)(=x f 是否有实数根,有几个实数根。函数零点的求法:解方程0)(=x f ,所得实数根就是()f x 的零点 (3)变号零点与不变号零点 ①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号,则称该零点为函数()f x 的变号零点。 ②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号,则称该零点为函数()f x 的不变号零点。 ③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线,则0)()(?)(x f y =有2个零点?0)(=x f 有两个不等实根; 0?=?)(x f y =有1个零点?0)(=x f 有两个相等实根; 0?

《高中最全数学解题的思维策略》

一、 《高中数学解题的思维策略》
很抱歉这么晚才来给大家讲课,因为今年暑假刚去安徽写生画图, 昨天下午坐了 24 个小时的火车过来,误了 4 天的课程,最后咱们 下午物理上完之后再给大家补课,再给大家补 5 天的课程, 去年高考难,很多学生数学考得也很不错, ,很多人可能会问补课 有用吗。给大家举个例子,那几年留学很流行,大家可能会说,留 学很贵,实际上很多海归回来后一年的工资就把多花的挣回来了, 补课也是,讲到的某些知识点能被大家用到高考中,增加分数,高 考中分数的重要性, ,我姐是个老师,我姐经常说孩子们考好了, 家长就说, ,考不好,家长就说老师和郭师哥教的不好,实际上主 体还是我们学生,次要的才是老师,家长,环境,据去年那批学生 反映最后对我们 3 个教的还不错, 我先讲一下我补课大概基本要讲的内容, 把大家数学必修的知识点 基本过一遍,再做相应的习题,中间穿插还有很多我个人感觉很多 好题;很多我归纳的知识和一些数学技巧;在最后 2 天我要给大家 讲一下数学解题策略,如果最后还有时间的话,还会给大家讲一下 一些英语,语文和其他科目的技巧。 导 读
数学教学的目的在于培养学生的思维能力,培养良好思维品质的途径,是进行有效 的训练,本策略结合数学教学的实际情况,从以下四个方面进行讲解: 一、数学思维的变通性(举例子过几天再给他们讲,考试的时候有些难题大家容易钻 牛角尖,这个变通不只是说思维,也可以说是大家对数学卷子的一种变通,高考 120 分 钟,12 道选择,4 道填空,基本用时不超过 50 分钟,选这题一般最后 2 个比较难,填空 题一般最后一个比较难,大家很容易被这卡主,流汗,紧张,看到你旁边的人第 2 道大 题都快做完了,这下就慌了,心想肯定完了,最后整个卷子全部慌了,后面计算正确率 也不高了,整个考试最后也可想而知。应该怎么办呀,先做会的,把整个卷子会做的做 完了,再去做会做的,即使有些题不会做也没关系,大题都是按步骤给分,步骤对了,

高中数学经典50题(附问题详解)

高中数学题库 1. 求下列函数的值域: 解法2 令t =sin x ,则f (t )=-t 2 +t +1,∵ |sin x |≤1, ∴ |t |≤1.问题转化为求关于t 的二次函数f (t )在闭区间[-1,1]上的最值. 本例题(2)解法2通过换元,将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题,从而达到解决问题的目的,这就是转换的思想.善于从不同角度去观察问题,沟通数学各学科之间的在联系,是实现转换的关键,转换的目的是将数学问题由陌生化熟悉,由复杂化简单,一句话:由难化易.可见化归是转换的目的,而转换是实现化归段手段。 2. 设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行,地球恰好位于椭圆轨道的焦点处,当此慧星离 地球相距m 万千米和 m 3 4 万千米时,经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为3 2 π π 和 ,求该慧星与地球的最近距离。 解:建立如下图所示直角坐标系,设地球位于焦点)0,(c F -处,椭圆的方程为1 22 22=+b y a x (图见教材P132页例1)。

当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为 3 π 时,由椭圆的几何意义可知,彗星A 只能满足)3(3/ ππ=∠=∠xFA xFA 或。作m FA FB Ox AB 3 221B ==⊥,则于 故由椭圆第二定义可知得???????+-=-=)32(3 4)(2 2 m c c a a c m c c a a c m 两式相减得,2 3)4(21.2,323 1c c c m c a m a c m =-==∴?= 代入第一式得 .3 2.32m c c a m c ==-∴=∴ 答:彗星与地球的最近距离为m 3 2 万千米。 说明:(1)在天体运行中,彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆,而恒星正是它的一个焦点,该椭圆的两个焦点,一个是近地点,另一个则是远地点,这两点到恒星的距离一个是c a -,另一个是.c a + (2)以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的,以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想。另外,数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题,善于挖掘隐含条件,有意识地训练数学思维的品质。 3. A ,B ,C 是我方三个炮兵阵地,A 在B 正东6Km ,C 在B 正北偏西ο 30,相距4Km ,P 为敌炮阵地,某时刻A 处发现敌炮阵地的某种信号,由于B ,C 两地比A 距P 地远,因此4s 后,B ,C 才同时发现这一信号,此信号的传播速度为1s Km /,A 若炮击P 地,求炮击的方位角。(图见优化设计教师用书P249例2) 解:如图,以直线BA 为x 轴,线段BA 的中垂线为y 轴建立坐标系,则 )32,5(),0,3(),0,3(--C A B ,因为PC PB =,所以点P 在线段BC 的垂直平分线上。 因为3-=BC k ,BC 中点)3,4(-D ,所以直线PD 的方程为)4(3 13+= -x y (1) 又,4=-PA PB 故P 在以A ,B 为焦点的双曲线右支上。设),(y x P ,则双曲线方程为 )0(15 42 2≥=-x y x (2)。联立(1)(2),得35,8==y x , 所以).35,8(P 因此33 83 5=-= PA k ,故炮击的方位角北偏东?30。 说明:本题的关键是确定P 点的位置,另外还要求学生掌握方位角的基本概念。 4. 河上有抛物线型拱桥,当水面距拱顶5米时,水面宽度为8米,一小船宽4米,高2

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