北京大学金融硕士考研博迪《投资学》重点讲义

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投资学 博迪 第七版 超强重点 期末笔记 考研笔记

投资学  博迪 第七版  超强重点 期末笔记 考研笔记

待证券价格上涨后将其卖出,归还本金、利息,并从中赚取收益。

是●●收益率待证券价格下跌后将其买回,归还本金、利息,并从中赚取收益。

是融券行为。

和)►信用交易特点:,股权的价值评估绝对估值法(贴现法):股利贴现模型DDM:股利零增长:其中:g为不变的股利年增长率其中:T时点起,股利以年增长率g2永续增长k是考虑风险因素调整后的资本市场报酬率,有两种估计方法:即可以通过股利收益率(公开信息)与股利增长率来估计。

增长机会模型(NPVGO)其中:P/E为市盈率,E1为预测当年税后利润。

市盈率的经济意义:–市盈率低表示投资价值越高.市盈率=股票的价格/每股收益表明,影响市盈率P/E 值得因素有:r 较小时,P/E 值较高NPVGO 较大时,P/E 值较高。

因此,风险较低的蓝筹股,或是增长机会较多的成长股可能具有较高的P/E 值。

不足:–由于市盈率的分母是会计收益,因此,它在某种程度上会受会计准则的影响。

不同行业、不同市场、不同时机的市盈率会有很大的差别。

市盈率是传统的类比估价模型,并不能适用于所有企业,亏损、零盈利及创业型企业难以用其评价Eg:3,证券分析:基本分析:(1)理论基础:证券的内在价值●判断标准:●技术分析:(2)三大假定:►股价是供求关系的函数(市场反映一切)● 所有可能影响股价的因素都是通过对供求关系的影响来作用于股价变动,技术分析直接从供求关系(市场)入手,对反映供求的价格和成交量的变动规律进行分析。

股价的变动是有规律的● 股价变动具有趋势,因而有规律可循。

历史会重演● 当过去某个时候影响股价的相同或类似因素再次发生时,股价将会出现类似的变动。

(1)现金股利D越高,IV越高;(2)股利增长率g越高,IV越高;(3)市场利率越高,k越高,IV越低;(4)证券风险越高,k越高,IV越低。

名义收益率:名义收益率即是债券的票面利率,息票利率。

当期收益率:●当再投资收益率与到期收益率相等时,YTM与复利收益率相同►Rules 5 永久债券的久期为Rule 6 稳定年金的久期为Rule 7 息票债券的久期为不是组合中各种资产方差的加权平均,而是引入协方差的影响。

研究生考试博迪《投资学》(第9版)笔记和课后习题详解 第五部分 共七部分

研究生考试博迪《投资学》(第9版)笔记和课后习题详解 第五部分 共七部分

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博迪《投资学》笔记和课后习题详解(利率的期限结构)【圣才出品】

博迪《投资学》笔记和课后习题详解(利率的期限结构)【圣才出品】

第15章利率的期限结构15.1 复习笔记利率期限结构,即不同到期期限债券利率之间的关系,通常用被称为收益率曲线的曲线图来描述。

1. 确定的期限结构长期债券收益率较高的原因有二:一是长期债券风险较大,需要较高的收益率来补偿利率风险;二是投资者预期利率会上升,因此较高的平均收益率反应了对债券后续寿命期的高利率预期。

(1)债券定价给定期限的利率称为短期利率。

利用不同期限的短期利率对债券进行贴现可以得到债券的价格。

利用债券的价格,可计算出每种债券的到期收益率。

收益率是单利,它等于相对于债券价格的债券支付额的现值。

虽然利率可随时间变化,但各期的到期收益率均以“平均”利率计算,以贴现所有各期的债券支付。

不同期限的到期收益率可以构成收益率曲线。

零息票债券的到期收益率有时也称为即期利率,即今日对应于零期时的利率。

到期收益率实际上是每一时期利率的几何平均值。

(2)分离债券和息票债券的定价零息票债券的价格可以通过用债券到期时的即期利率对债券票面价值贴现后得到。

可以把息票债券的每一次付息从结果上视为各自独立支付的零息票债券,它们可以独立地被估价。

息票债券的总价值就是其每一次现金流价值的总和。

债券交易者经常要区分零息票债券和息票支付债券的收益曲线。

纯收益曲线反映了零息票债券的到期收益和到期时间之间的关系。

(3)持有期收益(holding period yield, HPY )在一个简单的没有不确定性因素的世界中,任何期限的债券一定会提供相同的收益率。

实际上,尽管不同的债券有不同的到期收益率,但每一种债券提供的未来一年的收益率将等于这一年的短期利率。

持有期收益指在一定时期内投资的总收益,包括各种来源的收入。

其计算公式如下:投资的期初价值投资的期末价值HPR其计算得出的值总是大于或等于0, 即它不可能为负值。

如果该值大于1.0表明财富增加,这意味着持有期的收益率为正;如果该值小于1.0表明财富减少,这意味着在持有期的收益率为负;如果该值等于0表明投资损失殆尽。

博迪《金融学》复习重要知识点及公式

博迪《金融学》复习重要知识点及公式
7.金融中介
金融中介即主要业务是向客户提供金融产品和服务的企业,主要类型是银行、投资公司 和保险公司。
银行 其他存款储蓄 机构 保险公司 养老金额退休基金 共同基金 投资银行 风险投资企业 资产管理企业 信息服务企业
第三章 管理财务健康状况和业绩
1、财务报表的功能 2、财务报表回顾
资产负债表 资产=负债+所有者权益 资产与负债之间的差额是该企业的净值,也被称为所有者权益。 一家企业的流动资产与流动负债之间的差额被称为净营运资本。 损益表 净收入=收入-支出 权责发生制 销售收入 — 主营业务成本 = 毛利润 — 日常费用、销售费用和管理费用 = 息税前利润 (营运利润)(EBIT)— 利息费用=税前利润(应税收入)— 收入所得税 = 净收入(分配: 红利、留存收益变化) 现金流量表 总现金流量=来自于经营活动的现金流量+来自于投资活动的现金流量+来自于融资活动的 现金流量。
3、市场价值与账面价值
资产以及所有者权益的会计公告价值被称为账面价值 公司股票市场价格不等于账面价格的理由:账面价值不包括一家公司的全部资产和负债; 一家企业公告的资产负债表中所包括的资产和负债是以原始购入成本减去折旧进行计价,而 不是按照当前的市场价值进行计价。 按照当前市场价格对资产和负债重新估值并且进行公告被称为逐日盯市法。
此材料以厦门大学《金融学》教学的基本情况及考试内容整理而成
厦门大学风景图-------
厦门大学金融系 sushuocan 2010.1.4
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最热门投资:网上银行炒黄金炒白银
上海黄金交易所经国务院批准,中国人民银行组建,进行黄金、白银等贵金属交易。
上海黄金交易所的黄金和白银交易具有以下特点:
1. 电子化交易:在当地银行开户,开户后在银行网站上下载交易软件进行买卖交易。

研究生考试博迪《投资学》(第9版)笔记和课后习题详解 第七部分 共七部分

研究生考试博迪《投资学》(第9版)笔记和课后习题详解 第七部分 共七部分

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博迪《投资学》教材精讲讲义-第17~20章【圣才出品】

博迪《投资学》教材精讲讲义-第17~20章【圣才出品】

第17章宏观经济分析与行业分析本章要点1.讨论与公司业绩相关的国际性因素2.概述常用来描述宏观经济状态的几个主要变量的含义3.讨论政府的宏观经济政策4.讨论经济周期并对宏观经济分析进行总结5.讨论公司对经济周期的敏感性、行业生命周期以及影响行业业绩的战略性问题17.1 全球经济1.宏观经济对投资的影响全球经济状况可能会影响公司的出口前景,来自竞争者的价格竞争或者公司对外投资的利润。

全球经济因素的影响相当明显,各个国家的经济状况相差很大。

表17-1显示了全球经济对公司前景影响的重要作用。

表17-1 经济表现:2009年股票市场收益(%)这些数据表明国内经济环境是行业表现的重要决定因素。

对企业来说,在经济紧缩情况下比在经济扩张情况下更难成功,应该将宏观经济分析作为投资过程分析的一个基本部分。

2.政治对投资的影响(几个典型的事件)例如,1997年和1998年发生在泰国、印度尼西亚和韩国等国的亚洲金融危机,货币和股票价值随着形势的发展动荡不定,国际货币基金组织的援助发挥了巨大作用。

1998年8月,俄罗斯卢布贬值以及债务问题冲击世界证券市场,给其造成巨大破坏,最终要求对对冲基金巨头长期资本管理公司进行救助。

21世纪前十年,股价对伊拉克局势变化和能源供给安全相当敏感。

2010年的欧元危机再次表明政治和经济之间紧密相关,出于政治考虑,欧洲几个比较强大的国家计划援助希腊和其他几个步履艰难的国家。

其他的政治问题影响较小,但仍然对经济增长和投资收益极为重要。

这些问题包括贸易保护主义和贸易政策、资本的自由流动和一国劳动力资源状况。

17.2 国内宏观经济宏观经济环境是所有公司共同运行的经济环境。

图17-1阐明了宏观经济在决定投资业绩中的重要作用。

该图对标准普尔500股票价格指数水平与标准普尔各个公司每股收益(EPS)的预期水平进行比较。

图17-1 标准普尔500指数与每股收益17.2.1 国内生产总值国内生产总值(gross domestic product,GDP):该经济生产的产品和服务的总和。

博迪《投资学》笔记和课后习题详解(期权定价)【圣才出品】

博迪《投资学》笔记和课后习题详解(期权定价)【圣才出品】

第21章期权定价21.1 复习笔记1.期权定价的基本概念(1)内在价值与时间价值令S0表示股票的价格,X表示看涨期权的执行价格,则称S0-X为实值期权的内在价值,因为这是立即执行期权所带来的收益。

虚值期权与平价期权的内在价值为零,期权实际价格与内在价值的差通常称为期权的时间价值。

期权的时间价值指的是期权价格于期权现时的市场价值之差,它是期权价格的一部分,其价值来源于期权合约距离到期日还有一段时间。

期权的大部分时间价值其实是一种“波动性价值”,只要持有者不执行期权,其收益就不可能小于零。

随着期权到期日的临近,股价的大幅上涨,看涨期权价值接近“经调整的”内在价值,即股价减去执行价格的现值,即S0-PV(X)。

当股票价格非常低时,期权价值几乎为零,因为几乎没有执行的可能性。

当股价非常高时,期权价值接近调整的内在价值。

当期权近似为两平时,期权的价格波动性价值很高。

看涨期权的价值总是随着股价上涨而增加,当期权处于深度实值时,期权价值上涨的幅度与股票价格上涨的幅度相同。

(2)期权价值的决定因素影响看涨期权价值的因素至少有六个:股票价格、执行价格、股票价格的波动性、到期期限、利率及股票红利率。

这些因素对期权价值的影响如表21-1所示。

表21-1 看涨期权价值的决定因素2.期权价值的限制(1)看涨期权价值的限制看涨期权价值不可能为负。

此外,假定股票将在到期日之前的时间T(现时为0时刻)支付数量为D的红利,现在比较两个资产组合,一个包括一份股票看涨期权,而另一个则是由股票与数额为(X+D)/(1+r f)T的借款构成的杠杆化股权头寸,在期权到期日那天,借款偿付额为X+D美元。

表21-2 到期日杠杆化股权头寸的收益如下:其中S r指股票在期权到期日的价格。

股票的收益为无红利股票价值加上所收到的红利,股票加借款头寸的总收益是正或负,取决于S T是否超过X。

建立这种资产组合的净现金流出量为S0-(X+D)/(1+r f)T,也就是说,0时刻股票的价格减去初始借款额。

北京大学金融专业考研(博迪)《投资学》辅导讲义5教程

北京大学金融专业考研(博迪)《投资学》辅导讲义5教程

PVGO=0, P0=E1 / k。即用零增长年金来对股票进行估值。P/E 会随着 PVGO 的增加而迅速上升。 高市盈率表示公司拥有大量增长的机会 市盈率的影响因素:
根据戈登模型,当股利按照固定增长率增长时, 股 权 价 值 P0 则 P0 PE PE1
D1 kg
,
由 于 D1 D 0 (1 g ) EPS 0 b (1 g );
equity eqity debt
: 权 益 资 本 权 重 ; w debt
debt eqity debt
:债务资本权重
k equity: 权 益 资 本 必 要 收 益 率 ; k debt: 债 务 资 本 税 后 成 本
4、市盈率的含义与影响因素、相对估值法、作用 市盈率=每股市价/每股盈利,即 PE=Price/Eps 如果将 P/E 公式中的价格换成股票内在价值,此时的市盈率是理论市盈率;如果公式中的价格就是当 前的市场价格,此时计算得到的市盈率是实际市盈率。 实际市盈率 p0/e0 (交易价格/每股盈余) 是证券分析常用的指标, 且容易得到。 而理论市盈率 (v0/e0) 需通过其它方法来求。 若 v0/e0>p0/e0,则股票价格被低估,反之则高估。市盈率低估是买入信号,高估则是卖出信号。 价格收益乘数与增长机会: PVGO 与 E / k 的比率就是公司价值中增长机会贡献的部分与现有资产贡献的部分 (即零增长模型 中公司的价值 E / k )之比。
g ROE b
不变) ; g = 股利增长率 ROE = 公司的再投资回报率(权益收益率)b = 盈余再投资率或称作收益留存比率 股利增长率与留存收益比例成正比,与权益收益率成正比。 公司股权价值的增加等于投资机会的净现值,这被称作增长机会价值(PVGO) 。 股价 = 零增长公司的股价 + 增长机会价值 FCFE 是公司的股权资本投资者(股东)对公司现金流量所拥有的权利,是对公司产生的全部现金流 量的剩余要求权,是可以自由分配给股权拥有者的最大化的现金流。 FCFE 股权自由现金流=净利润+折旧和摊销—资本性资出—净营运资本—债务本金偿还+新发行债务 FCFF 也称为无杠杆自由现金流,是指在公司保持正常运营情况下,向所有出资人(包括债权和股权) 进行自由分配的现金流。 FCFF=净收益+折旧-资本性支出-净营运资本+新债发行-偿还本金+利息费用×(1-税率)+偿还本金新债发行=净收益+折旧-资本性支出-净营运资本+利息费用×(1-税率)=EBIT ×(1-税率)+折旧-资本性 支出-净营运资本
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(四)框架专题阶段(10 月上旬——11 月上旬) : 关键词:将知识系统化、体系化,建立知识结构树
这一阶段最重要的任务是将知识体系化,系统化。知识点掌握的零散,不体系化,会造成 只见树木不见森林,思路狭隘,影响答题发挥,尤其是做大题的时候。必须要按照参考书的 章节架构或者通过总结专题将知识体系化,系统化。对参考书做到提纲挈领,纲举目张。总 结了全国各学校专业课的专题和章节联系, 能在这一阶段帮助广大考生建立系统化的知识体 系。
(五)模拟考试阶段(11 月上旬——12 月初) : 关键词:全真检测、训练答题方法、试卷批阅、查漏补缺
这阶段最重要的任务是通过全真模拟掌握答题技巧和方法,查漏补缺。知识储备的好, 不一定答题好,更不一定意味着考场得高分。要全真模考,在考试时间、题型题量和真题完 全一致的情况下,做 3-5 次模拟试题,通过全真检测发现知识盲点,纠正答题方法,稳住考 前心态,要经历一个盲目自信——弱点暴露——完善提高——再次暴露——再完善再提高的 涅槃重生的过程,提高答题能力。建议一定要让权威的有经验的专业课辅导老师批改试卷, 发现问题,及时查漏补缺。
三、2017 年北京大学考研专业课答题攻略
认为只要专业课重点背会了,就能拿高分,是广大考生普遍存在的误区。而学会答题 方法才是专业课取得高分的关键。下面以经常考察的名词解释、简答题、论述题、案例分析 为例,讲解标准的答题思路。
要知道如何答题,首先了解一下判卷的情况。 1、首先,判卷采用的是踩点给分,就是说,如果这个题目中,该有的要点都有一 定的分值,答上了就给分。 2、其次,判卷的时间是很紧的,大概是在两天左右的时间内判完所有的试卷。
构造最优资产组合: 1、确定所有证券的特征(期望收益、方差、协方差) 2、计算最优风险资产组合(计算最优风险资产组合的收益与风险,确定风险资产内部的权重) 3、计算最优投资组合,确定无风险资产与风险资产的权重,并确定整个投资组合中各资产权重 资产组合理论的评价:优点:首次对风险和收益进行精确的描述,解决对风险的衡量问题,使投资学 从一个艺术迈向科学。分散投资的合理性为基金管理提供理论依据。单个资产的风险并不重要,重要的是 组合的风险。从单个证券的分析,转向组合的分析。 缺点:当证券的数量较多时,计算量非常大,使模型应用受到限制。解的不稳定性。重新配置的高成 本。 5、分离定律 定义:投资者对风险的规避程度与该投资者风险资产组合的最优构成是无关的。所有的投资者,无论 他们的风险规避程度如何不同,都会将切点组合(风险组合)与无风险资产混合起来作为自己的最优风险 组合。因此,无需先确知投资者偏好,就可以确定风险资产最优组合。 启示:若市场是有效的,由分离定理,资产组合选择问题可以分为两个独立的工作,即资本配置决策 和资产选择决策。资本配置决策:考虑资金在无风险资产和风险组合之间的分配。资产选择决策:在众多 的风险证券中选择适当的风险资产构成资产组合。由分离定理,基金公司可以不必考虑投资者偏好的情况 下,确定最优的风险组合。
(三)重点掌握阶段(7 月初——10 月上旬) : 关键词:分清重点、地毯式全面记忆、不断循环巩固、检测督促
这一阶段最重要的任务是抓住重点、掌握重点。要抓住重点,一是要分析真题;二是要 专业化辅导;三是内部资料,如出题老师的论文、讲义、当前学术热点等。在此基础上坚持
专业课复习的 80/20 法则,对核心概念、基础概念、重要知识点、要点、常见公式一定要地 毯式全面记忆,并反复强化,达到永久记忆。提醒广大考生要自我检测或者让专业课辅导老 师及时检测,不断督促,有压力才能保障效果。
(二)基础理解阶段(3 月上旬——7 月初) : 关键词:扎实理解、参考书及核心资料通读 3 遍、记下核心概念和公式
这一阶段最重要的任务是建立完整理解, 为后面记忆和运用打下基础。 将参考书目完整 地看至少 3 遍以上。全部知识点重在理解,除了核心概念和公式外,不必刻意记忆。实在不 理解的知识点标记下来,后面通过相关的辅导或者查阅解决。此外,这一阶段做笔记,切不 可过分细致,以梳理框架和概念为主,太细会浪费很多时间,也记不住。建议考生制定每天 和每周的规划,一般 2-3 章/天,这个速度比较合适。
北京大学金融硕士考研博迪《投资学》 重点讲义
考研首先要做到以下几点:
可靠正确的信息: 这是在北大这类专业课不指定参考书的研究生中最重要的一点, 公共 课就不说了,因为是大统考,每年基本没有什么变化,复习资料基本也都是一样的。让人担 心的是专业课, 尤其是像北大这种从来不指定任何参考书而且这几年专业课试卷风格改动很 大,更需要最新最全最准确的资料信息以及对下一年专业课出题重点侧重的预测。 正确的复习计划: 这里最重要的一点就是不要把复习计划落实到几点几分上, 也就是不 用规定死几点到几点学什么,几点到几点又学什么,即所谓的定时,可以适当地有点弹性, 我所有的复习计划,都是按照定量来的,所谓定量就是比如每天数学复习全书看多少内容, 专 业课看几章,阅读做几篇,按照复习内容的难易长短而有所变化。 效率与时间:要记住效率第一,时间第二,就是说在保证效率的前提下再去延长复习的 时间,不要每天十几个小时,基本都是瞌睡昏昏地过去的,那还不如几小时高效率的复习, 坚定的意志:考研是个没有硝烟的持久战,在这场战争中,你要时刻警醒,不然随时都 会有倒下的可能。而且,它不像高考那样,每天都有老师催着,每个月都会有模拟考试检验 着。 所以你不知道自己究竟是在前进还是在退步、 自己的综合水平是在提高还是下降。 而且, 和你一起自习的研友基本都没有跟你考同一个学校同一个专业的, 你也不知道你的对手是什 么水平。很长一段时间,你可能都感觉不到自己的进步。可能你某年的数学真题做了 130 多分,然后你觉得自己的水平很高了,但你要知道,也有很多人做了 140 多分,甚至满分, 所以这是考研期间很大的一个障碍。
第七章
1、系统性风险与非系统性风险 系统性风险:系统性风险即市场风险,风险不能通过分散投资加以消除,因此又被称为不可分散风险。 系统性风险主要是由政治、经济及社会环境等宏观因素造成的,包括政策风险、利率风险、购买力风险和 市场风险等。 非系统性风险:指对某个行业或个别证券产生影响的风险,它通常由某一特殊的因素引起,与整个证 券市场的价格不存在系统的全面联系,而只对个别或少数证券的收益产生影响。也称微观风险,独特风险, 公司特有风险,可分散风险。具体包括财务风险、经营风险、信用风险、偶然事件风险等。 举例: 系统风险也称不可分散风险。对于一个期市来说,发生系统风险不是经常性的。是指由于某种因素的 影响和变化,导致期市上所有合约价格都出现与市场预期相反的方向变动,从而给期货投资者带来损失的 可能性。系统风险的诱因发生在期货市场外部,期货市场本身无法通过自身调整进行改变。其带来的影响
(六)考前冲刺阶段(12 月初——考试) : 关键词:保持复习热度、调节最佳身心状态、查漏补缺
这一阶段最主要的任务是调整身心状态, 以最佳的心态迎接考试。 经过前面 5 个阶段的 复习,效果已经基本定型,在最后的 5-10 天内,要保持每天 8 小时的复习,保持专业课和 公共课复习热度。这一阶段的复习要跳出来,不要纠缠于知识点的细枝末节,要敢抓敢放, 抓大放小,整体通览,查漏补缺。此外,调节最佳的身心状态也很关键,要调整作息适应考 试时间, 比如考试是上午考英语, 那么现在的复习也应该是上午复习英语; 要注意饮食健康, 充足睡眠;要积极的心理暗示,给自己输入考研正能量。考研是一个系统工程,除了完美的 知识储备,优秀的答题能力,强健的身心状态也很关键。
面一般都比较大。其主要特征为:1.它是由共同因素引起的。这些共同因素的特征是具有“不可对抗性” 。 并且这些因素导致价格发生重要影响导致期货价格出现与原来方向相反的变化,如:宏观经济政策与货币 政策、能源危机、经济周期循环、自然灾害等。政治方面的如政权更迭、战争冲突等。社会方面的如体制 变革、所有制改造等。2.它对市场上所有的持有者都有影响,只不过对有些合约比另一些合约的敏感程度 高一些而已。如季节性、通货膨胀等,相关性越强,合约的系统风险就可能更高。3.可预测性差。由于系 统风险是由于非市场因素导致的,是社会、经济政治大系统内的一些因素所造成的,在事件发生之前,往 往很难预测发生的准确时间,所以投资往往无法及时通过市场手段加以分化。 非系统风险又称可分散风险。对于期货市场发生非系统性风险是经常性的。它是与整个期货市场的波 动无关的风险,是指某些因素的变化造成单个期货合约价格反方向波动,从而给期货投资者带来损失的可 能性。非系统风险的主要特征是:1.它是由特殊因素引起的,如一个合约的持仓变动、或者是针对某一合 约进行的调整。2.它只影响某些期货合约的价格。它是某合约特有的那部分风险。如针对某一合约的逼仓 等。3.它可通过投资者通过投资策略的变动加以调整,甚至消除。由于非系统风险属于个别风险,是个别 合约、个别品种等可控因素带来的,因此,投资者可通过投资的多样化来化解非系统风险。产生非系统风 险的原因主要是一些直接影响价格的因素,如合约持仓结构变动、保证金的变动等。这些事件的发生,从 而引起期价与预期相反方向的变动。 2、两个资产组合的预期收益、风险的计算
可行集的性质:1.可行区域是向左侧凸出的,2、在 N 种资产中,如果至少存在三项彼此不完全相关, 则可行集合将是一个二维的实体区域。 有效边界:在可行集中,有一部分投资组合从风险水平和收益水平这两个角度来评价,会明显地优于 另外一些投资组合,其特点是在同种风险水平的情况下,提供最大预期收益率;在同种收益水平的情况下, 提供最小风险。我们把满足这两个条件(均方准则)的资产组合,称之为有效资产组合;由所有有效资产 组合构成的集合,称之为有效集或有效边界。

2 p
2 wD
2 D
2 wE
2 E
2 w D w E C o v rD , rE

3、分散化的威力 假设资产等权重 1/n,我们可以得出组合的方差:
= w
2 p i 1 2 i 2 i
n
n
i 1 j i , j 1

n
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