《指数与指数幂的运算》参考课件

α
小结
1、根式和分数指数幂的意义. 、根式和分数指数幂的意义 2、根式与分数指数幂之间的相互转化 、 3、有理指数幂的含义及其运算性质
1、已知 x 、
−3
+ 1 = a ，求 a − 2ax + x
2
−3
−6
的值
1 2 1 2
−2
2、计算下列各式 、
(1)
a −b a +b
2
1 2
1 2 1 2
1 2
+
a +b a −b
−2
1 2
1 2
(2)(a − 2 + a ) ÷ (a − a )
2
3、已知 x + x 、
1 2
−1
= 3，求下列各式的值
− 1 2 1 2
9 4 6 3
4
(1) x + x
1 2
( 2) x − x
4、化简 、
−
(
3 6
a ) ⋅(
8
a )
9
4 的结果是（ 的结果是（
练习: 练习: (1)25的平方根等于_________________ (1)25的平方根等于_________________ 的平方根等于 (2)27的立方根等于_________________ (2)27的立方根等于_________________ 的立方根等于 (3)-32的五次方根等于_______________ (3)-32的五次方根等于_______________ 的五次方根等于 (4)81的四次方根等于_______________ (4)81的四次方根等于_______________ 的四次方根等于 (5)a 的三次方根等于_______________ (5)a6的三次方根等于_______________ (6)0的七次方根等于________________ (6)0的七次方根等于________________ 的七次方根等于
− 1 16
9、化简 (1 + 2 、
)(1 + 2
)(1 + 2 )(1 + 2 )(1 + 2 )的结果 ( A)
− 1 32
−
1 8
−
1 4
−
1 2
1 A. (1 − 2 2 C.1 − 2
− 1 32
−
1 32
)
−1
B.(1 − 2
)
−
−1
1 D.1 (1 − 2 2
1 32
)
根式定义：一般地，如果x (n>1,且 *), 根式定义：一般地，如果xn=a (n>1,且n∈N*), x= n 。 那么 根式性质： 根式性质： 奇数时 正数的 （1）当n是奇数时，正数的n次方根是一个 正数 ，
a
负数的 负数的n次方根是一个 负数 偶数时 正数的n （2）当n是偶数时,正数的n次方根有 两 个， 它们 互为相反数 是 0 . 记作 (4) .
科学依据: 科学依据: 当生物死亡后，它体内原有的碳14会按确定的 当生物死亡后，它体内原有的碳14会按确定的 14 规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半， 规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半， 5730年衰减为原来的一半 这个时间称为“半衰期” 这个时间称为“半衰期”．据此考古学家获得了生 物体内碳14含量ｙ与死亡年数ｔ之间的函数关系式 物体内碳14含量ｙ与死亡年数ｔ 14含量 为 y =1
体内碳14含量 体内碳14含量 14
1 2
1 2
2
=
1 2
3
1 4 1 = 8
1 2
6000 5730
=?? =??
1 2
10000 5730
2.1.1 指数与指数幂的运算
－－将指数取值从整数推广到实数 －－将指数取值从整数推广到实数
例1、求下列各式的值（式子中字母都大于零） 、求下列各式的值（式子中字母都大于零）
(1) (−8)
3 4
3 4
(2) (−10)
2 2
(3) (3 − π )
(4) (a - b) (a > b).
练习１ 练习１：
5
−32 = _______ 81 _______
42 = _ຫໍສະໝຸດ ______ 3 _______x | −1)
−
1 2 有意义，则 x 有意义，
8、a , b ∈ ，下列各式总能成立的是（ B ） 、 R 下列各式总能成立的是（
A .( a −
6 6
= a − b B. 8 ( a 2 + b 2 ) 8 = a 2 + b 2 b)
6
C.
4
a
4
−
−
4
1 32
b
4
= a − b D. 10 ( a + b ) 10 = a + b
材料: 材料: 经探测,得知一块鱼化石中碳14的残留量约占 经探测,得知一块鱼化石中碳14的残留量约占 14 原始含量的46.5%，据此考古学家推断这群鱼 原始含量的46.5%， 46.5% 6300多年前死亡的 多年前死亡的． 是6300多年前死亡的． 你知道考古学家是怎么样推算出的吗？ 你知道考古学家是怎么样推算出的吗？
.
偶次方根, （3）负数 没有 偶次方根, 0的任何次整数次方根都
( a)
n
n
n
=?
0 = 0. (n a )n = a
探究
（5）
n
a =a
n
n
一定成立吗？ 一定成立吗？
1、当n为奇数时 、 为奇数时, 为奇数时 ２、当n为偶数时, 为偶数时,
a =
n
a
n
a = a =
n
{
a ,a ≥0 − a ,a <0
2
C）
A.a
16
B. a
C. a
D. a
5、2-(2k+1)-2-(2k-1)+2-2k等于 C ) 、 等于( A.2-2k B. 2-(2k-1) C. -2-(2k+1)
D.2
6、 、 (|
的取值范围是 ∞ ） ， ∞ ( （-∞，1）∪（1，+∞） ) 2 6 3 x− y 7、若10x=2，10y=3，则10 2 = 3 、 ， ， 。
4 例如：(1) am 例如： −
a 规定:（ ） 规定 （1）
n
=
=1
5
(2) a a=
3
m n
(a > 0, m, n ∈ N * , 且n > 1)
的正分数指数幂等于0; （2）0的正分数指数幂等于 ） 的正分数指数幂等于 (其中a > 0) 0的负分数指数幂没意义 的负分数指数幂没意义. 的负分数指数幂没意义 规定了分数指数幂后,指数的概念就从 指数的概念就从整数 规定了分数指数幂后 指数的概念就从整数 指数推广到了有理数指数. 指数推广到了有理数指数
例2、求值 、
8
2 3
;
25
1 − 2
;
1 2
− 5
;
16 81

−
3 4
例3、用分数指数幂的形式表示下列各式 其中 其中a>0): 、用分数指数幂的形式表示下列各式(其中
(1) a ⋅ a ( 2) a ⋅
3 2
3
a
2
(3) a a
3
例4、计算下列各式 、
(1)( 25- 125) ÷ 25
3 4
(2)
a
2 2
a a
3
(a > 0)
三、无理数指数幂
一般地， 一般地，无理数指数幂 a ( α >0, α 是无 理数)是一个确定的实数 理数 是一个确定的实数. 有理数指数幂的运算 是一个确定的实数 性质同样适用于无理数指数幂. 性质同样适用于无理数指数幂
2
t 5730
。（设生物体死亡时每克组织的碳１ 。（设生物体死亡时每克组织的碳１ 设生物体死亡时每克组织的碳
４含量作为１个单位。） 含量作为１个单位。） 那么我们就可根据生物体内碳１４的含量算 那么我们就可根据生物体内碳１４的含量算 １４ 出它在多少年前死亡． 出它在多少年前死亡．
死亡多少年后 5730 2×5730 3×5730 6000 10000
性质： 性质：(整数指数幂的运算性质对于有理指 数幂也同样适用） 数幂也同样适用）
( a > 0, r , s ∈ Q ) a a =a r s rs ( a > 0, r , s ∈ Q ) (a ) = a r r s (ab) = a a (a > 0, b > 0, r ∈ Q )
r s
r+s
一、根式 引例 则称± （1）(±2)2＝４，则称±２为４的 平方根 ； =8，则称２ （2）23=8，则称２为8的 立方根 ； =16，则称± 16的 （3）(±2)4=16，则称±２为16的 四次方根 。 定义：一般地，如果x (n>1,且 *), 定义：一般地，如果xn=a (n>1,且n∈N*), 叫做a 那么 x叫做a的n次方根 。 其中n ,a叫 记作 x= n a ,其中n叫 根指数 ,a叫 被开方数 。
10 3 12
练习２： 练习２ (1)当6<a<7,则 (a − 6) − (a − 7) = 当 则
2 2
(2)
5+ 2 6 + 5−2 6 =
二、分数指数
定义： 定义： a
m n
= n a m (a > 0, m, n ∈ N * , 且n > 1)