广西大学复变函数与积分变换习题

合集下载

复变函数与积分变换试题及答案14

复变函数与积分变换试题及答案14

复变函数与积分变换试题与答案一、单项选择题(每题4分,共16分)1、当 ()z f 为下面( )项时,⎰=≠2|z |0dz )z (f : A 、 e z cosz B 、21)-z (1 C 、 1z 1- D 、π-z 1 2、点 z =21 关于单位圆 | z | = 1 的对称点是( ) A 、 1 + i B 、2 C 、 2 i D 、 -23、下列各项中o 正o确的是( )A 、| sin z | ≤1B 、 Ln z 2 = 2 Ln zC 、f(z)= e z 的周期是2πiD 、arg z 1z 2 = arg z 1 + arg z 2 4、若z 0是f (z) 的m 阶极点,下列说法o 错o误的是( )A 、z 0是)z (f 1的m 阶零点 B 、)z (f lim o z z →存在 C 、f(z) 在z 0不解析 D 、)z (f lim oz z →= ∞ 二、计算题(每题6分,共30分)1、设 z =i1i 3+ 求 | z | 、 arg z 和 z3、求 Ln (1- i ) 及其主值 ln (1- i )2、求 ⎰cz dz 其中 c: z = 0 到 z = 2 + i 的直线段4、设 z = 2 + 2 i ,写出z 的指数表达式,并计算 ( 2 + 2 i )45、求在映射f (z) = z 2 +3z 下,过点z =2i 的光滑曲线C 在该点的转角和伸缩率三、解答题(每题7分,共35分)1、求方程 z 3 - 8 i = 0 的全部三个根1、f (z ) = 2 x 3+3 y 3i 在何处可导? 何处解析? 如果可导,求出f '(z).3、求dz )4z )(1z (z e 2|z |2z ⎰=-- ( C 为正向)4、将 f(z) =2)1z )(z 2(1-- 在 0< |z -1| <1 上展开成罗朗级数。

(幂为(z -1))5、指出 f(z) =6zsinz z - 在有限复平面上的孤立奇点及类型,并求奇点处的留数四、 解答题(1、2题6分,3题7分共19分)1、求将上半平面 Im z > 0 保形映照到单位圆 | w | < 1内, 且满足 f ( 2 i )= 0,arg ) i 2(f ' =2π 的分式线性映照。

复变函数与积分变换试题及答案19

复变函数与积分变换试题及答案19

复变函数与积分变换试题与答案一、题判断(每题2分,共10分,请在正确的题后打"J",错误的题后打"X")1、/(Z)=SinZ是有界函数。

( )2、函数/(z)=e,是以Lri为周期的周期函数。

( )3、如果ZO是/(Z)的奇点,那么/(Z)在Zo不可导。

( )4、假设函数F(Z)在Z I)处解析,那么尸")(z)也在z“解析。

( )5、、的假设"(x,y)与V(X,y)都是调和函数,那么/(z)=w(x,y)+i∖{x,y)是解析函数。

( )二、填空题(每题4分,共16分)1、设Z=2-那么Iz I=,arg z。

1+Z2、(I+*,(1+0,=o3、Ln(―3i)=,主值In[—3/)=。

4、f(I)=t2+te,+e2'sin6/,那么/(f)的拉氏变换是。

三、解答题(8分+12分=20分)1、求卜/+,.y)/,其中C是沿曲线y=/由点z=0到点z=l+i C2、根据R的取值不同,讨论并计算积分 ------ - .... 的值。

其中C是不经过Z=-IJ z2(z+l)(z-2)和z=2的正向圆周IZl=R(R>0)o四、解答题(每题8分,共16分)1、U(X,y)=V-3『y是调和函数,求其共辆调和函数v(x,y).2、/(Z)=/-)在何处可导?何处解析?并在可导处求/"(z).五、解答题(1、2题每题8分,3题6分,共22分)I I万1、求将单位圆∣Z∣<1内保形映照到单位圆I Wl<1内,且满足/(—)=0,arg/,(一)=-的分式线性映照。

2、将/(z)= .............. ?......... 在l<∣z∣<3上展开成罗朗级数。

(z-l×z-3)3、指出/(z)===在有限复平面上的孤立奇点及类型,并求奇点处的留数六、计算题(每题8分,共16分)1、求正弦函数/(r)=Sino/的傅氏变换。

复变函数与积分变换习题答案

复变函数与积分变换习题答案

第一章 复数与复变函数1.1计算下列各式: (1) (1)(32);i i +--解: (1)(32)(1)322 3.i i i i i +--=+-+=-+ (2);(1)(2)ii i --解:2(13)3.(1)(2)2213101010i i i i i ii i i i i i +-====+----+-(3)1(1);1z z x iy z -=+≠-+ 解: 2222222211(1)(1)12.11(1)(1)(1)z x iy x iy x iy x y yi z x iy x y x y x y-+--++-+-===++++++++++ 1.3 将圆周方程22()0(0)a x y bx cy d a ++++=≠写成复数形式(即可z 与z 表示,其中z x iy =+).解: 把22,,22z z z z x y x y z z i+-==+=⋅代入圆周方程得: ()()0,222()()20,0.b caz z z z z z d iaz z b ic z b ic z d Az z Bz Bz C ⋅+++-+=⋅+-+++=⋅+++=故其中2,,2.A a B b ic C d ==+= 1.5 将下列各复数写成三角形式.(1) sin cos ;i αα+ 解: sin cos 1,i αα+= 故sin cos cos()sin().22i i ππαααα+=-+- (2) sincos.66i ππ--解: 2arg(sincos )arctan(cot ),666263i ππππππππ--=-=--=-s i n c o s 66i ππ--=2222cos()sin()cos()sin.3333i i ππππ-+-=- 1.7 指出满足下列各式的点z 的轨迹是什么曲线?(1) 1;z i +=解: 以(0,1)-为圆心,1为半径的圆周.(2) 0,zz az az b +++=其中a 为复数,为b 实常数;解: 由题设可知 2()()||0,z a z a b a +++-=即22||||,z a a b +=- 若2||,a b =则z 的轨迹为一点;a -若2||,a b >则z 的轨迹为圆,圆心在a -,若2||,a b <无意义.第二章 解析函数1.用导数定义,求下列函数的导数: (1) ()Re .f x z z = 解: 因0()()lim z f z z f z z∆→+∆-∆0()Re()Re lim z z z z z z zz∆→+∆+∆-=∆ 0Re Re Re limz z z z z z z z∆→∆+∆+∆∆=∆0Re lim(Re Re )z zz z z z∆→∆=+∆+∆ 000Re lim(Re )lim(Re ),z x y z xz zz z z x i y ∆→∆→∆→∆∆=+=+∆∆+∆ 当0z ≠时,上述极限不存在,故导数不存在;当0z =时,上述极限为0,故导数为0.3.确定下列函数的解析区域和奇点,并求出导数.(1)(,).az bc d cz d++至少有一不为零 解: 当0c ≠时,()az b f z cz d +=+除d z c =-外在复平面上处处解析, dz c=-为奇点,222()()()()()()()()().()()az bf z cz daz b cz d cz d az b cz d a cz d c az b ad cb cz d cz d +''=+''++-++=++-+-==++当0c =时,显然有0d ≠,故()az b f z d +=在复平面上处处解析,且()af z d'=. 5.设()f z 在区域D 内解析,试证: 222222()|()|4|()|.f z f z x y ∂∂'+=∂∂证: 设 222(),|()|,f z u i v f z u v =+=+ 222(),|()|()().u uu u f z i f z x y x y∂∂∂∂''=-=+∂∂∂∂ 而2222222222222222222222222()|()|()()2()()()(),f z u v u v x y x y u u v v u u v v u v uv xx x x y y y y∂∂∂∂+=+++∂∂∂∂⎡⎤∂∂∂∂∂∂∂∂=+++++++⎢⎥∂∂∂∂∂∂∂∂⎣⎦又()f z 解析,则实部u 及虚部v 均为调和函数.故222222220,0.u u v vu v x yx y∂∂∂∂=+==+=∂∂∂∂则22222222()|()|4(()())4|()|.u uf z f z x y x y∂∂∂∂'+=+=∂∂∂∂ 7.设sin ,px v e y =求p 的值使v 为调和函数,并求出解析函数().f z u iv =+ 解: 要使(,)v x y 为调和函数,则有0.xx yy v v v ∆=+=即2sin sin 0,px px p e y e y -=所以1p =±时,v 为调和函数,要使()f z 解析,则有,.x y y x u v u v ==-1(,)cos cos (),1sin ()sin .px pxx pxpx y u x y u dx e ydx e y y pu e y y pe y pφφ===+'=-+=-⎰⎰所以11()()sin ,()()cos .px px y p e y y p e y C p pφφ'=-=-+即(,)cos ,px u x y pe y C =+故(cos sin ),1,()(cos sin ),1.x z xze y i y C e C pf z e y i y C e C p -⎧++=+=⎪⎨--+=-+=-⎪⎩9.求下列各式的值。

复变函数与积分变换五套试题及答案

复变函数与积分变换五套试题及答案

复变函数与积分变换试题(一)一、填空(3分×10)1.的模 ,幅角 。

)31ln(i --2.-8i 的三个单根分别为: ,,。

3.Ln z 在 的区域内连续。

4.的解极域为:。

z z f =)(5.的导数。

xyi y x z f 2)(22+-==')(z f 6.。

=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s 7.指数函数的映照特点是:。

8.幂函数的映照特点是:。

9.若=F [f (t )],则= F 。

)(ωF )(t f )][(1ω-f 10.若f (t )满足拉氏积分存在条件,则L [f (t )]=。

二、(10分)已知,求函数使函数为解析函222121),(y x y x v +-=),(y x u ),(),()(y x iv y x u z f +=数,且f (0)=0。

三、(10分)应用留数的相关定理计算⎰=--2||6)3)(1(z z z z dz四、计算积分(5分×2)1.⎰=-2||)1(z z z dz2. C :绕点i 一周正向任意简单闭曲线。

⎰-c i z z3)(cos 五、(10分)求函数在以下各圆环内的罗朗展式。

)(1)(i z z z f -=1.1||0<-<i z 2.+∞<-<||1i z 六、证明以下命题:(5分×2)(1)与构成一对傅氏变换对。

)(0t t -δo iwt e -(2))(2ωπδ=⎰∞+∞-ω-dt e t i 七、(10分)应用拉氏变换求方程组满足x (0)=y (0)=z (0)=0的解y (t )。

⎪⎩⎪⎨⎧='+=+'+='++'0401z y z y x z y x 八、(10分)就书中内容,函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。

复变函数与积分变换试题答案(一)一、1., 2.-i 2i -i22942ln π+ππk arctg 22ln 32+-333.Z 不取原点和负实轴 4. 空集5.2z 6.07.将常形域映为角形域8.角形域映为角形域9.10.⎰∞+∞-ωωπωωd e F i )(21⎰∞+-0)(dte tf st 二、解:∵∴(5分)yu x x v ∂∂-=-=∂∂xuy y v ∂∂==∂∂c xy u +=cxy y x i z f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=222121)(∵f (0)=0c =0(3分)∴(2分)222222)2(2)(2)(z ixyi y x i y x i xy z f -=+--=--=三、解:原式=(2分)⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2621π01=z 12=z (2分)⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2643π33=z ∞=4z 2312(3,)3)(1(1Re 66⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--分)z z z s =0⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分)(∴原式=(2分) =23126⨯⨯i πi 63π-四、1.解:原式(3分)z 1=0z 2=1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=∑=k k z z z s i ,)1(1Re 221=0(2分)]11[2+-=i π2.解:原式=iz z i=''=s co !22πi z z i =-π=)(cos i i cos π-=1ich π-五、1.解:ni z z f ∑∞⎪⎫⎛--⋅=⋅⋅=⋅=1111111111)(分)(分)(分)((2分)11)(--∞=-=∑n n n i z in nn i z i )(1-=∑∞-=2.解:⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-=-+⋅-=i z i i z i z i i z z f 11)(11)(1)(11)(2分)(分)((1分)(2分)nn i z i i z ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=02)(120)(11+∞=-=∑n n n i z i 20)(--∞=-=∑n n n i z i 六、1.解:∵(3分)∴结论成立0)(0t i e t t ti t i e dt e t t ωωωδ-==--∞+∞-=-⎰(2)解:∵(2分)1)(2210==ωπδπ=ωω-ω-∞+∞-⎰t i t i e dw e ∴与1构成傅氏对)(2w πδ∴(2分))(2ωπδω=-∞+∞-⎰dt e t i 七、解:∵(3分)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++)3(0)(4)()2(0)()()()1(1)()()(s sZ s Y s Z s sY s X S s sZ s Y s sX S (2)-(1):∴(3分)⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=s s s Y 111)(2⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=--=1111211112s s s s s s ∴cht e e t Y t t -=--=-121211)(八、解:①定义;②C-R 充要条件Th ;③v 为u 的共扼函数10分复变函数与积分变换试题(二)一、填空(3分×10)1.函数f (z )在区域D 内可导是f (z )在D 内解析的()条件。

复变函数与积分变换试卷

复变函数与积分变换试卷

复变函数与积分变换试卷一、填空题(每空3分,共30分)1. 设z = x+iy,则| z|=_√(x^2)+y^{2}。

2. 复数z = 3 - 4i的共轭复数¯z=_3 + 4i。

3. 函数f(z)=(1)/(z)在z = 1处的泰勒展开式为∑_n = 0^∞(- 1)^n(z - 1)^n,收敛半径R=_1。

4. 设C为正向圆周| z|=2,则∫_C(dz)/(z - 1)=_2π i。

5. 拉普拉斯变换L[sin at]=_(a)/(s^2)+a^{2}(s>0)。

6. 已知F(s)=(1)/(s(s + 1)),其拉普拉斯逆变换f(t)=_1 - e^-t(t≥slant0)。

7. 设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析,则u与v满足柯西 - 黎曼方程(∂ u)/(∂ x)=_(∂ v)/(∂ y),(∂ u)/(∂ y)=-_(∂ v)/(∂ x)。

二、选择题(每题4分,共20分)1. 下列复数中,位于第三象限的是()A. - 1 + iB. 1 - iC. -1 - iD. 1 + i2. 函数f(z)=(1)/(z^2)+1的奇点是()A. z = i和z=-iB. z = 0C. z = 1和z=-1D. 无奇点。

3. 设C是从z_1=0到z_2=1 + i的直线段,则∫_C(x - iy)dz=()A. (1)/(2)(1 + i)B. (1)/(2)(1 - i)C. (1 + i)D. (1 - i)4. 拉普拉斯变换L[t^n]=()(n为正整数,s>0)A. (n!)/(s^n)B. (n)/(s^n)C. (n!)/(s^n+1)D. (n)/(s^n+1)5. 若F(s)是f(t)的拉普拉斯变换,则L[f'(t)]=()(s满足一定条件)A. sF(s)B. F(s)-f(0)C. sF(s)-f(0)D. F(s)三、计算题(每题10分,共30分)1. 求函数f(z)=(z)/((z - 1)(z - 2))在1<| z|<2内的洛朗级数展开式。

(完整版)复变函数与积分变换习题答案

(完整版)复变函数与积分变换习题答案
证明:(1)在负实轴上,任取一点z a,则分别由水平方向和垂直方向趋近z点有:
lim f (z) lim Arg( a i y)
y 0y 0
lim f (z) lim Arg( a i y)
y 0y 0
显然函数在负实轴上不连续。
lim f (z) lim Arg (rei)
2sin
cos( )
2 2 2
isin(
2
i
2sin e2 2
2
(5)
z3
解:
i3
3i
re
cos3
isin3
(6)
e1 i
解:
ee
cos1 i sin1
(7)
1i
解:
1i
1i
i ei3 /4cos3
/ 4 isin3 /4
1i
1i
、计算下列数值
(1)
a ib
解:
ib
i ar ctgb2k
2 2 abe
cos2
L
L
cosn
1i i(e e
2
L
L
in i i2e ) (e e
L
in
L ein)
1 ei
(1
ine
)e
i(1 ein)
1
ie
(1
in i ie ) 1 e e
(1
in ie ) 1 e
2
1
ie
1 ei
2
2(1cos
)
cos
i i i(n 1) i(n 1) in in
1 e e 2 e e e e
22(1cos )
2sin
2
(8)
sin

复变函数与积分变换习题册(含答案)

复变函数与积分变换习题册(含答案)

第1章 复数与复变函数 (作业1)一、填空题 1、ieπ2的值为 。

2、k 为任意整数,则34+k 的值为 。

3、复数i i (1)-的指数形式为 。

4、设b a ,为实数,当=a , b= 时,).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题(正确的划√,错误的划 ) 1、2121z z z z +=+ ( )2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= ( )3、()()i i i 125432+=++ ( ) 三、选择题1.当ii z -+=11时,5075100z z z ++的值等于( ) (A )i (B )i - (C )1 (D )1-2.复数)(tan πθπθ<<-=2i z 的三角表示式是( )(A ))]2sin()2[cos(secθπθπθ+++i (B ))]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i (C ))]23sin()23[cos(secθπθπθ+++-i (D ))]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 3.使得22z z =成立的复数z 是( )(A )不存在的 (B )唯一的 (C )纯虚数 (D )实数 4.若θi re i i=+--2)1(3,则( ) (A )πθ-==3arctan ,5r (B )πθ-==3arctan ,210r (C )3arctan ,210-==πθr (D )3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限,则z arg 等于( )。

(A) x y arctan 2+π (B) x y arctan +π (C) x y arctan 2-π (D) xy arctan +-π 四、计算与证明题 1、设ii i i z -+-=11,求.),Im(),Re(z z z z2、当x y ,等于什么实数时,等式()i iy i x +=+-++13531成立?3、求复数ii-+23的辐角。

(完整版)《复变函数与积分变换》习题册(2)

(完整版)《复变函数与积分变换》习题册(2)

第一章 复数与复变函数本章知识点和基本要求掌握复数的概念和它的各种表示方法及运算; 熟悉复平面、模与辐角的概念;熟练掌握乘积与商的模、隶莫弗公式、方根运算公式; 了解区域的概念;理解复变函数的概念; 理解复变函数的极限和连续的概念。

一、填空题1、若等式))(()75(i y i x i i -+=-成立,则=x ______, =y _______.2、设(12)(35)13i x i y i ++-=-,则x = ,y =3、若1231izi i,则z4、若(3)(25)2i i zi,则Re z5、若421iz i i+=-+,则z = 6、设(2)(2)z i i =+-+,则arg z =7复数1z i =-的三角表示式为 ,指数表示式为 .8、复数i z 212--=的三角表示式为 _________________,指数表示式为_________________. 9、设i z 21=,i z -=12,则)(21z z Arg = _ _____。

10、设4i e 2z π=,则Rez=____________. Im()z = 。

z11、。

方程0273=+z 的根为_________________________________。

12、一曲线的复数方程是2z i -=,则此曲线的直角坐标方程为 . 13、方程3)Im(=-z i 表示的曲线是__________________________.14、复变函数12+-=z z w 的实部=),(y x u _________,虚部=),(y x v _________。

15、不等式114z z -++<所表示的区域是曲线 的内部.16二、判断题(正确打√,错误打⨯)1、复数7613i i +>+. ( )2、若z 为纯虚数,则z z ≠. ( )3、若 a 为实常数,则a a = ( )4、复数0的辐角为0.5、()f z u iv =+在000iy x z +=点连续的充分必要条件是(,),(,)u x y v x y 在00(,)x y 点连续。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

第一章 复数与复变函数
1.1计算下列各式:
(1) (1)(32);i i +--
(2) ;(1)(2)
i i i -- (3) 1(1);1
z z x iy z -=+≠-+ 1.2 将直线方程220(0)ax by c a b ++=+≠写成复数形式.[提示: 记.x iy z +=]
1.3 将圆周方程22
()0(0)a x y bx cy d a ++++=≠写成复数形式(即可z 与z 表示,其中z x iy =+).
1.4 求下列复数的模与辐角主值.
(1) 2;i -
(2) 13;i -+
1.5 将下列各复数写成三角形式.
(1) sin cos ;i αα+ (2) sin cos .66i ππ
-- 1.6 利用复数的三角表示计算下列各式:
(1) 31();2
(2) 1.7 指出满足下列各式的点z 的轨迹是什么曲线? (1) 1;z i +=
(2) 0,zz az az b +++=其中a 为复数,为b 实常数;
1.8 用参数方程表示下列各曲线.
(1) 连接1i +与14i --的直线段;
解: 法一:由直线段的复参数方程直接得
法二:由直线段的实参数方程间接得
(2) 试证0Re lim z z z →不存在.。

相关文档
最新文档