高中数学一轮复习微专题第⑧季解三角形：第8节 高度问题
高三数学一轮复习 第八节 解三角形教案 新人教版
第８课 解三角形【考点导读】1.掌握正弦定理，余弦定理，并能运用正弦定理，余弦定理解斜三角形；2.解三角形的基本途径：根据所给条件灵活运用正弦定理或余弦定理，然后通过化边为角或化角为边，实施边和角互化． 【基础练习】1．在△ABC 中，已知BC ＝12，A ＝60°，B ＝45°，则AC ＝.2．在ABC ∆中，若sin :sin :sin 5:7:8AB C =，则B ∠的大小是______________. 3．在ABC △中，若1tan 3A =，150C =，1BC =，则AB4．在△ABC 中，若22tan tan b a B A =，则△ABC 的形状是等腰三角形或直角三角形． 5．在△ABC 中，AB=3，BC=13，AC=4，则边AC 上的高为 ． 6．△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边.如果a ，b ，c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为23【范例解析】例1.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，已知20a c +=，2C A =，3cos 4A =． （1）求ca的值；（2）求b 的值． 分析：利用2C A =转化为边的关系．解：（1）由sin sin 232cos sin sin 2c C A A a A A ====．（2）由20,3.2a c c a +=⎧⎪⎨=⎪⎩得8,12.a c =⎧⎨=⎩．由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得： 218800b b -+=，解得：8b =或10b =， 若8b =，则A B =，得4A π=，即3cos 4A =≠矛盾，故10b =． 点评：在解三角形时，应注意多解的情况，往往要分类讨论．例2.在三角形ABC 中，已知2222()sin()()sin()a b A B a b A B +-=-+，试判断该三角形的形状．分析一：边化角解法一：由已知得：22[sin()sin()][sin()sin()]a A B A B b A B A B --+=---+，π2331+化简得222cos sin 2cos sin a A B b B A =，由正弦定理得：22sin cos sin sin cos sin A A B B B A =， 即sin sin (sin cos sin cos )0A B A A B B -=，又,(0,)A B π∈，sin sin 0A B ∴⋅≠，sin 2sin 2A B ∴=．又2,2(0,2)A B π∈，22A B ∴=或22A B π=-，即该三角形为等腰三角形或直角三角形． 分析二：角化边解法二：同解法一得：222cos sin 2cos sin a A B b B A =，由正余弦定理得：2222222222b c a a c b a b b a bc ac+-+-=，整理得：22222()()0a b c a b ---=，即a b =或222c a b =+，即该三角形为等腰三角形或直角三角形． 点评：判断三角形形状主要利用正弦或余弦定理进行边角互化，从而利用角或边判定三角形形状．例3.如图，已知△ABC 是边长为1的正三角形，M ，N 分别是边AB 、AC 上的点， 线段MN 经过△ABC 的中心G ，设∠MGA ＝α（233ππα≤≤）． （1）试将△AGM 、△AGN 的面积（分别记为S 1与S 2）表示为α的函数； （2）求221211y S S =+的最大值与最小值． 分析：利用正弦定理建立目标函数． 解：（1）因为G 是边长为1的正三角形ABC 的中心， 所以AG ＝23，∠MAG ＝6π，由正弦定理GM GA sin sin 66πππα＝（－－）得GM 6sin 6πα＝（＋） 则S 1＝12GM •GA •sin α＝sin 12sin 6απα（＋），同理可求得S 2＝sin 12sin 6απα（－）．（2）221211y S S =+＝222144sin sin sin 66ππααα〔（＋）＋（－）〕＝72（3＋22cos sin αα） 因为233ππα≤≤，所以当α＝3π或α＝23π时，y 取得最大值y max ＝240；当α＝2π时，y 取得最小值y min ＝216． 点评：本题关键是选取变量，建立目标函数，根据目标函数求最值．AB CNMGαD例3例4.如图，D 是直角△ABC 斜边BC 上一点，AB =AD ，记∠CAD =α，∠ABC =β. （1）证明：sin cos 20αβ+=； （2）若AC，求β．分析：识别图中角之间的关系，从而建立等量关系. （1）证明：C βα=+，2C B π=-，22πβα∴=+，（2）解：AC，2sin 2βαββ∴===.(0,)2πβ∈，sin 2β∴=，3πβ∴=. 点评：本题重点是从图中寻找到角之间的等量关系，从而建立三角函数关系，进而求出β的值.【反馈演练】 1．在ABC ∆中，,75,45,300===C A AB 则BC =_____________． 2．ABC ∆的内角∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且2c a =，则cos B =_____．3．已知ABC ∆顶点的直角坐标分别为(34)A ，，(00)B ，，(0)C c ，．若A ∠是钝角，则c 的取值范围 ___________ ． 4．已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为 ．5．在ABC ∆中，若2a b c =+，2sin sin sin A B C =，则∆的形状是____等边___三角形．6．若ABC ∆的内角A 满足2sin 23A =，则sin cos A A += ．7． ABC ∆的三个内角为A B C 、、，则cos 2cos2B CA ++的最大值为 ． 8．在ABC ∆中，已知C BA sin 2tan=+，给出以下四个论断： ①tan 1tan AB= ；② 1sin sin A B <+≤③ 1cos sin 22=+B A ； ④ C B A 222sin cos cos =+．其中正确的序号有______②④_____．9．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，给出下列结论：①111A B C ∆和222A B C ∆都是锐角三角形；②111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形；BDCαβ A例433- 3425(,)3+∞ 32③111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形； ④111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形． 其中，正确结论的序号有____④_____． 10．在ABC ∆中，已知2AC =，3BC =，4cos 5A =-． （Ⅰ）求sinB 的值；（Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值． 解：（Ⅰ）在ABC ∆中，3sin 5A ===，由正弦定理，sin sin BC AC A B =．所以232sin sin 355AC B A BC ==⨯=．（Ⅱ）因为4cos 5A =-，所以角A 为钝角，从而角B 为锐角，于是cos 5B ===，2217cos 22cos 12()1525B B =-=⨯-=，2sin 22sin cos 25525B B B ==⨯⨯=．sin 2sin 2cos cos 2sin 666B B B πππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭171252=+⨯= 11．在ABC ∆中，已知内角A π=3，边BC =．设内角B x =，周长为y ． （1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求y 的最大值． 解：（1）ABC ∆的内角和A B C ++=π，由00A B C π=>>3，，得20B π<<3．应用正弦定理，知sin 4sin sin sin BC AC B x x A ===3，2sin 4sin sin BC AB C x A π⎛⎫==- ⎪3⎝⎭． 因为y AB BC AC =++，所以224sin 4sin 03y x x x ππ⎛⎫⎫=+-+<<⎪⎪3⎝⎭⎭，（2）因为14sin cos sin 2y x x x ⎛⎫=+++ ⎪ ⎪2⎝⎭5x x ππππ⎛⎫⎫=++<+< ⎪⎪6666⎝⎭⎭，所以，当x ππ+=62，即x π=3时，y取得最大值 12．在ABC ∆中，1tan 4A =，3tan 5B =．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若ABC ∆，求最小边的边长．解：（Ⅰ）π()C A B =-+，1345tan tan()113145C A B +∴=-+=-=--⨯．又0πC <<，3π4C ∴=．（Ⅱ）34C =π，AB ∴边最大，即AB =．又tan tan 0A B A B π⎛⎫<∈ ⎪2⎝⎭，，，，∴角A 最小，BC 边为最小边．由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，，且π02A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，得sin A =sin sin AB BC C A =得：sin 2sin A BC AB C== 所以，最小边BC =。
高三数学一轮复习 第八节 解三角形教案 新人教版
第８课 解三角形【考点导读】1.掌握正弦定理，余弦定理，并能运用正弦定理，余弦定理解斜三角形；2.解三角形的基本途径：根据所给条件灵活运用正弦定理或余弦定理，然后通过化边为角或化角为边，实施边和角互化． 【基础练习】1．在△ABC 中，已知BC ＝12，A ＝60°，B ＝45°，则AC ＝.2．在ABC ∆中，若sin :sin :sin5:7:8A B C =，则B ∠的大小是______________.3．在ABC△中，若1tan 3A =，150C =，1BC =，则AB = ．4．在△ABC 中，若22tan tan ba B A =，则△ABC 的形状是等腰三角形或直角三角形． 5．在△ABC 中，AB=3，BC=13，AC=4，则边AC 上的高为 ． 6．△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边.如果a ，b ，c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为23，那么b【范例解析】例1.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，已知20a c +=，2C A =，3cos 4A =． （1）求ca的值；（2）求b 的值． 分析：利用2C A =转化为边的关系．解：（1）由sin sin 232cos sin sin 2c C A A a A A ====． （2）由20,3.2a c c a +=⎧⎪⎨=⎪⎩得8,12.a c =⎧⎨=⎩．由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得： 218800b b -+=，解得：8b =或10b =， 若8b =，则A B =，得4A π=，即3cos 24A =≠矛盾，故10b =． 点评：在解三角形时，应注意多解的情况，往往要分类讨论．例2.在三角形ABC 中，已知2222()sin()()sin()a b A B a b A B +-=-+，试判断该三角形的形状． 分析一：边化角解法一：由已知得：22[sin()sin()][sin()sin()]a A B A B b A B A B --+=---+，3π 2233化简得222cos sin 2cos sin a A B b B A =，由正弦定理得：22sin cos sin sin cos sin A A B B B A =， 即sin sin (sin cos sin cos )0A B A A B B -=，又,(0,)A B π∈，sin sin 0A B ∴⋅≠，sin 2sin 2A B ∴=．又2,2(0,2)A B π∈，22A B ∴=或22A B π=-，即该三角形为等腰三角形或直角三角形． 分析二：角化边解法二：同解法一得：222cos sin 2cos sin a A B b B A =，由正余弦定理得：2222222222b c a a c b a b b a bc ac+-+-=，整理得：22222()()0a b c a b ---=，即a b =或222c a b =+，即该三角形为等腰三角形或直角三角形．点评：判断三角形形状主要利用正弦或余弦定理进行边角互化，从而利用角或边判定三角形形状． 例3.如图，已知△ABC 是边长为1的正三角形，M ，N 分别是边AB 、AC 上的点， 线段MN 经过△ABC 的中心G ，设∠MGA ＝α（233ππα≤≤）． （1）试将△AGM 、△AGN 的面积（分别记为S 1与S 2）表示为α的函数； （2）求221211y S S =+的最大值与最小值． 分析：利用正弦定理建立目标函数． 解：（1）因为G 是边长为1的正三角形ABC 的中心， 所以AG ＝2323⨯＝，∠MAG ＝6π， 由正弦定理GM GA sin sin 66πππα＝（－－）得GM 6sin 6πα＝（＋） 则S 1＝12GM ∙GA ∙sin α＝sin 12sin 6απα（＋），同理可求得S 2＝sin 12sin 6απα（－）．（2）221211y S S =+＝222144sin sin sin 66ππααα〔（＋）＋（－）〕＝72（3＋22cos sin αα） 因为233ππα≤≤，所以当α＝3π或α＝23π时，y 取得最大值y max ＝240；当α＝2π时，y 取得最小值y min ＝216．点评：本题关键是选取变量，建立目标函数，根据目标函数求最值．AB CNMGαD例3例4.如图，D 是直角△ABC 斜边BC 上一点，AB =AD ，记∠CAD =α，∠ABC =β. （1）证明：sin cos 20αβ+=； （2）若AC，求β．分析：识别图中角之间的关系，从而建立等量关系. （1）证明：C βα=+，2C B π=-，22πβα∴=+，sin cos 20αβ∴+=（2）解：AC，2sin βαββ∴===(0,)2πβ∈，sin β∴=，3πβ∴=.点评：本题重点是从图中寻找到角之间的等量关系，从而建立三角函数关系，进而求出β的值. 【反馈演练】1．在ABC ∆中，,75,45,300===C A AB 则BC =_____________． 2．ABC ∆的内角∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且2c a=，则c o s B =_____．3．已知ABC ∆顶点的直角坐标分别为(34)A ，，(00)B ，，(0)C c ，．若A ∠是钝角，则c 的取值范围 ___________ ． 4．已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 5．在ABC ∆中，若2a b c =+，2sin sin sin A B C =，则∆的形状是____等边___三角形．6．若ABC ∆的内角A 满足2sin 23A =，则sin cos A A += ． 7． ABC ∆的三个内角为ABC 、、，则cos 2cos 2B CA ++的最大值为． 8．在ABC ∆中，已知C BA sin 2tan=+，给出以下四个论断： ①tan 1tan AB= ；② 1sin sin A B <+≤③ 1cos sin 22=+B A ； ④ C B A 222sin cos cos =+．其中正确的序号有______②④_____． 9．如果111A BC ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，给出下列结论：①111A B C ∆和222A B C ∆都是锐角三角形； ②111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形；③111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形； ④111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形．BDCαβ A例433- 34 25(,)3+∞ 332其中，正确结论的序号有____④_____． 10．在ABC ∆中，已知2AC =，3BC =，4cos 5A =-． （Ⅰ）求sinB 的值；（Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值． 解：（Ⅰ）在ABC ∆中，3sin 5A ===，由正弦定理，sin sin BC AC A B =．所以232sin sin 355AC B A BC ==⨯=． （Ⅱ）因为4cos 5A =-，所以角A 为钝角，从而角B 为锐角，于是cos 5B ===2217cos 22cos 12125B B =-=⨯-=，2sin 22sin cos 25525B B B ==⨯⨯=． sin 2sin 2cos cos 2sin 666B B B πππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭171252=⨯= 11．在ABC ∆中，已知内角A π=3，边BC =B x =，周长为y ． （1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求y 的最大值． 解：（1）ABC ∆的内角和A B C ++=π，由00A B C π=>>3，，得20B π<<3．应用正弦定理，知sin 4sin sin sin BC AC B x x A ===3，2sin 4sin sin BC AB C x A π⎛⎫==- ⎪3⎝⎭． 因为y AB BC AC =++，所以224sin 4sin 03y x x x ππ⎛⎫⎫=+-+<<⎪⎪3⎝⎭⎭，（2）因为14sin sin 2y x x x ⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭5x xππππ⎛⎫⎫=++<+<⎪⎪6666⎝⎭⎭，所以，当xππ+=62，即xπ=3时，y取得最大值12．在ABC∆中，1tan4A=，3tan5B=．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若ABC∆解：（Ⅰ）π()C A B=-+，1345tan tan()113145C A B+∴=-+=-=--⨯．又0πC<<，3π4C∴=．（Ⅱ）34C=π，AB∴边最大，即AB=．又tan tan0A B A Bπ⎛⎫<∈ ⎪2⎝⎭，，，，∴角A最小，BC边为最小边．由22sin1tancos4sin cos1AAAA A⎧==⎪⎨⎪+=⎩，，且π2A⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，得sin17A=．由sin sinAB BCC A=得：sin2sinABC ABC==所以，最小边BC．。
解三角形的实际应用举例—高度、角度问题 课件
【变式练习】 3.5 m长的木棒斜靠在石堤旁，棒的一端在离
堤足1.2 m的地面上，另一端在沿堤上2.8 m的地 方，求堤对地面的倾斜角α. (精确到0.01°）
解：棒、石堤及地面构成一钝角三角形，其钝角大小为 180°-α. 由余弦定理得， cos（180°-α）= 1.22 + 2.82 - 3.52
113.15，
根据正弦定理,
BC sinCAB
= AC ， sinABC
sinCAB=
BC
sin ABC AC
=
54.0sin137° 113.15
0.325
5，
所以，∠CAB = 1.
答：此船应该沿北偏东56.0°的方向航行， 需要航行113.15n mile.
解：在△ABC中，∠A=15°, ∠C= 25°-15°=10°. 根据正弦定理，
BC = AB ， sinA sinC
正确转化为 数学模型
BC=
AB sin sin C
A
=
5 sin 15 sin10
7.452
（4 km）
CD=BC×tan∠DBC≈BC×tan8°≈1 047(m).
答：山的高约为1 047米.
把测量数据代入上式，得
BD = 27.3cos501' sin 5440' sin（5440' 501'）
.
=
27.3cos501' sin sin 439'
5440'
177.（4 m）
CD=BD-BC≈177.4-27.3≈150(m).
答：山的高度约为150米.
2015届高考数学总复习第三章 第八节解三角形的应用精讲课件 文
变式探究
3．在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处(
里的 C 处的缉私船奉命以每小时 10
－1)海
里的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西 75°方向，距离A处 2 海 海里的速度追截走私
船．此时，走私船正以每小时 10 海里的速度从 B 处向北偏东
30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向能最快追上走私船？
变式探究
1. 某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m)．如示 意图，垂直放置的标杆BC的高度h＝4 m，仰角∠ABE＝α， ∠ADE＝β，该小组已经测得一组 α、β的值，算出了tan α＝ 1.24，tan β＝1.20，请据此算出H的值．
距离问题 【例2】 某城市有一块不规则的绿地如图所示，城建
第三章
第八节 解三角形的应用
高度问题 【例 1】 如下图，用同样高度的两个测角仪 AB 和CD同
时望见气球E在它们的正西方向的上空，分别测得气球的仰角
是α和β，已知B、D间的距离为a，测角仪的高度是b，求气球
的高度．
思路点拨： 在Rt△EGA中求解EG，只有角 α一个条件，需 要再有一边长被确定，而△ EAC 中有较多已知条件，故可在 △ EAC 中考虑 EA 边长的求解，而在△ EAC 中有角 β ， ∠ EAC ＝
∵∠CBD＝90°＋30°＝120°， 在△BCD中，由正弦定理，
∴∠BCD ＝ 30°，即缉私船沿东偏北 30°方向能最快追 上走私船．
180°－α两角与BD＝a一边，故可以利用正弦定理求解EA. 自主解答：
，
，
点评：高度的测量借助于两个或者多个三角形进行，基 本思想是把测量的高所在线段纳入到一个(或两个)可解三角 形中．测量底部不可到达的物体的高度，通常在基线上选 取两个观测点，在同一平面内至少测量三个数据(角边角)，
解三角形的实际应用举例高度、角度问题 课件
【规范解答】设舰艇与渔船在B点相遇.
如图，则AC=10海里，∠ACB=120°.设所需时间为t小时，
则AB=21t海里，CB=9t海里,
在△ABC中，根据余弦定理，得AB2=AC2+
BC2-2AC·BCcos120°，
即(21t)2=102+81t2+2×10×9t×1，
2
整理得，36t2-9t-10=0，
答案：40
5.如图所示，港口A北偏东30°方向的点C处有一观测站， 港口正东方向的B处有一轮船，测得BC为31海里. 该轮船从 B处沿正西方向航行20海里后到达D处，测得CD为21海里. 问此时轮船离港口A还有多少海里?
【解析】由已知得∠CAD=60°，在△BCD中，由余弦定理
得 cos BDC BD2 CD2 BC2 1 ,
AB BCgtan singtan gs. sin( )
测量角度问题 【名师指津】解决测量角度问题的注意点： (1)注意作图的准确性，通过积累、归纳，学会根据题目已知 的方向角、方位角、仰角、俯角等已知量顺利地作出图形. (2)注意数学思想方法的应用： ①化归与转化思想，即将实际问题抽象概括，转化为解三角形 的问题；
2.如图所示，为测一树的高度，
在地面上选取A，B两点，从A、
B两点分别测得树尖的仰角为
30°，45°,且A，B两点间的距
离为60 m，则树的高度为( )
(A) (30 30 3) m (C) (15 30 3) m
(B) (30 15 3) m (D) (15 15 3) m
【解析】选A.设树的高度为h，由题意可知 BP 在2h,
【解析】在△OBC中，由余弦定理，得
CB2=CO2+OB2-2CO·OBcos120°
解三角形的应用 角度、高度问题30页PPT
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— —爱献 生
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
2012新高考全案 第8章 三角函数及解三角形 第8讲
第8章 第8讲一、选择题1．为了测某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20 m 的楼顶处测得塔顶的仰角为30°，塔基的俯角为45°，那么塔AB 的高( )A ．20(1＋33) m B ．20(1＋32) m C ．20(1＋3) mD ．30 m[解析] 如图：h ＝20tan30°＋20tan45°＝20(1＋33)(m)，故选A.[答案] A2．已知两座灯塔A 、B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东10°D ．南偏西10°[解析] 如图，∠CBA ＝12(180°－80°)＝50°，60°－50°＝10°，故选B. [答案] B3．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处则这船航行的速度为( )A.1762海里/小时B ．346海里/小时C.1722海里/小时D ．342海里/小时[解析] 设船航行的速度为x 海里/小时，则MN ＝4x ，在△PMN 中PM ＝68，∠MPN ＝75°＋45°＝120°.∠PNM ＝45°，由正弦定理可得MN sin120°＝MP sin45° ∴MN ＝68·sin120°sin45°＝346(海里)∴x ＝MN 4＝1726(海里/小时)，故选C.[答案] C4．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600 m 后测得仰角为2θ，继续在地面上前进2003以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为( )A ．200 mB ．300 mC ．400 mD ．100 3 m[解析] 如图，△BED ，△BDC 为等腰三角形BD ＝ED ＝600，BC ＝DC ＝200 3.在△BCD 中，由余弦定理可得 cos2θ＝6002＋(2003)2－(2003)22×600×2003＝32∴2θ＝30°，4θ＝60°在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·sin4θ＝2003×32＝300 m 故选B. [答案] B5．在200 m 高的山顶上，测得山下一塔的塔顶和塔底的俯角分别为30°和60°，则塔高为( )A.4003m B.40033mC.20033 mD.2003m [解析] 设塔高为h ，则依题意，∠ADB ＝60°， ∠CAD ＝∠CDA ＝30°.在△ACD 中，(200sin60°)2＝h 2＋h 2－2h 2cos120°，∴h ＝4003(m)．[答案] A6．甲船在岛B 的正南方A 处，AB ＝10 km ，甲船以每小时4 km/h 的速度向正北航行，同时乙船自B 出发以每小时6 km 的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是( )A.1507 min B.157 min C ．21.5 minD ．2.15 min[解析] t h 后，甲乙两船的距离为s 2＝(6t )2＋(10－4t )2－2×6t ×(10－4t )cos120° ＝28t 2－20t ＋100.∴当t ＝202×28＝514 h ＝514×60＝1507 min 时，甲乙两船的距离最近．[答案] A 二、填空题7．在△ABC 中，三边a 、b 、c 与面积S 的关系式为S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，则角C 为________．[解析] S ＝14(a 2＋b 2－c 2)＝14×2ab cos C ＝12ab cos C又∵S ＝12ab sin C∴12ab sin C ＝12ab cos C ，∴tan C ＝1 ∴∠C ＝π4.[答案] π48．一船以32 km/h 的速度向正北方向航行，在点A 望见航标灯M 在船的北偏东30°方向上，15分钟后到点B 望见航标灯M 在船的北偏东60°方向上，则船在点B 时与航标灯M 的距离是________km.[解析] 在△ABM 中，∠BAM ＝∠AMB ＝30° ∴BM ＝AB ＝32×14＝8(km)．[答案] 89．从某电视塔的正东方向A 处，测得塔顶仰角是60°，从电视塔的西偏南30°的B 处，测得塔顶仰角是45°，A 、B 间距离是35 m ，则电视塔的高度是________m.[解析] 如图，CO ⊥平面OAB ，设塔高为h ，则 在Rt △BOC 中，OB ＝h /tan45°＝h在Rt △AOC 中，OA ＝h /tan60°＝33h 在△AOB 中，∠AOB ＝150° AB ＝35由余弦定理可得AB 2＝OB 2＋OA 2－2OA ·OB ·cos150° 即352＝h 2＋13h 2－2·h ·33·h ·(－32)解得h ＝521. [答案] 52110．已知A 、B 两地的距离为10 km ，B 、C 两地的距离为20 km ，现测得∠ABC ＝120°，则A 、C 两地的距离为________km.[解析] AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos120°＝102＋202＋2×10×20×12＝107(km)．[答案] 107 三、解答题11．(2007·山东卷)如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里，问乙船每小时航行多少海里？[解] 如题图，连结A 1B 1，A 2B 2＝102，A 1A 2＝2060×302＝102，△A 1A 2B 2是等边三角形，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°，在△A 1B 2B 1中，由余弦定理得 B 1B 22＝A 1B 12＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2cos45° ＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200 B 1B 2＝10 2.因此乙船的速度的大小为10220×60＝30 2.答：乙船每小时航行302海里．12．(2010·陕西，17)如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？[解] 由题意知AB ＝5(3＋3)(海里)，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°， ∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°， 在△DAB 中，由正弦定理得DBsin ∠DAB ＝ABsin ∠ADB ，∴DB ＝AB ·sin ∠DAB sin ∠ADB＝5(3＋3)·sin45°sin105°＝5(3＋3)·sin45°sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝53(3＋1)3＋12＝103(海里)，又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°， BC ＝203(海里)，在△DBC 中，由余弦定理得 CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBC ＝300＋1 200－2×103×203×12＝900，∴CD ＝30(海里)，则需要的时间t ＝3030＝1(小时)．答：救援船到达D 点需要1小时．亲爱的同学请写上你的学习心得。
高三数学第八章知识点总结
高三数学第八章知识点总结在高三数学学习中，第八章的内容涉及到一些重要的知识点，如三角函数、向量、指数函数等。
这些知识点在学生的数学基础中扮演着重要的角色。
在这篇文章中，我们将对这些知识点进行总结和归纳，以帮助同学们更好地理解和掌握。
一、三角函数1. sin、cos和tan的定义在直角三角形中，正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）这三个函数都是通过三角形中某个角的边长比例来定义的。
其中，sin A = a / c，cos A = b / c，tan A = a / b。
这些函数可以帮助我们计算角度的大小，解决相关的几何和物理问题。
2. 三角函数的基本关系三角函数之间存在着一系列的基本关系，如sin^2 A + cos^2 A = 1，1 + tan^2 A = sec^2 A等。
这些关系式可以帮助我们化简复杂的三角函数表达式，简化运算。
3. 三角函数的图像和性质通过绘制三角函数的图像，我们可以观察到它们的周期性、对称性和振幅等性质。
同时，这些图像可以带给我们直观的感受，帮助我们更好地理解三角函数的行为和性质。
二、向量1. 向量的定义和表示向量是由大小（模长）和方向（方向角）组成的量。
我们可以用箭头来表示一个向量，并且箭头的长度代表向量的大小和模长。
向量的方向可以用角度来表示，也可以用坐标系中的坐标来表示。
2. 向量的运算向量的运算包括加法、减法、数量积和向量积等。
向量加法是将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量。
向量减法是将一个向量的对应分量减去另一个向量的对应分量，得到一个新的向量。
数量积是两个向量的数量相乘再求和，得到一个标量。
向量积是两个向量的数量相乘再求和，得到一个新的向量。
3. 向量的应用向量在几何和物理中有广泛的应用。
例如，在平面几何中，我们可以用向量来表示线段的方向和长度。
在力学中，向量可以用来表示力的大小和方向，帮助我们解决相关的问题。
三、指数函数1. 指数函数的定义指数函数是以某个固定的正数为底数，变量为指数的函数。
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第8节高度测量问题
【基础知识】
正弦定理和余弦定理
仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角．
【规律技巧】
求解高度问题首先应分清
(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内视线与水平线的夹角；
(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；
(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．
【典例讲解】
例1、在湖面上高为10 m处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m)()
A．2.7 m B．17.3 m
C．37.3 m D．373 m
【答案】C
【变式探究】
如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________米．
【解析】在△BCD 中，CD ＝10，∠BDC ＝45°，∠BCD ＝15°＋90°＝105°，∠DBC ＝30°，BC sin 45°＝CD sin 30°，BC ＝CD sin 45°sin 30°＝10 2.在Rt △ABC 中，tan 60°＝AB BC
，AB ＝BC tan 60°＝10 6. 【答案】10 6
【针对训练】
1、某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A ，B ，C 三地位于同一水平面上，在C 处进行该仪器的垂直弹射，观测点A ，B 两地相距100米，
∠BAC ＝60°，在A 地听到弹射声音的时间比B 地晚217
秒．在A 地测得该仪器至最高点H 时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH .(声音在空气中的传播速度为340米/秒)
【答案】1403
2、要测量电视塔AB 的高度，在C 点测得塔顶A 的仰角是45°，在D 点测得塔顶A 的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝40 m ，求电视塔的高度．
【答案】B
3、如图，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD (CD 所在的直线与地平面垂直)对于山坡的斜度为α，从A 处向山顶前进l 米到达B 后，又测得CD 对于山坡的斜度为β，山
坡对于地平面的坡角为θ.
(1)求BC 的长；
(2)若l ＝24，α＝15°，β＝45°，θ＝30°，求建筑物CD 的高度．
【答案】（1）sin sin()l BC αβα=-；（2）2483CD =-.
【练习巩固】
1、如图所示，已知树顶A 离地面212米，树上另一点B 离地面112米，某人在离地面32
米的C 处看此树，则该人离此树________米时，看A ，B 的视角最大．
【答案】6
2、如图所示，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角为α，在塔底C 处测得A 处的俯角为β.已知铁塔BC 部分的高为h ，求出山高CD .
【答案】cos sin sin()h αβαβ- 3、如图所示，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，现测得,,BCD BDC CD s αβ∠=∠==，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB .
【答案】•s tan sin sin θβαβ（＋）
【解析】在BCD ∆中，CBD παβ∠=--，由正弦定理得
BC CD sin BDC sin CBD ∠∠＝，所以••CD sin BDC s sin BC sin CBD sin βαβ∠=∠＝（＋）
. 在Rt ABC ∆中，•tan s tan sin AB BC ACB sin θβαβ=∠=
（＋）. 4、如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔
底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ．现测得BCD BDC CD s αβ∠=∠==，，，并
在点C 测得塔顶
A 的仰角为θ，求塔高A
B ．
【答案】
tan sin
tan
sin()
s
AB BC ACB
θβ
αβ
⋅
=∠=
+
5、如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD=m.
【答案】6
100。