高考数学考点指数函数
高考数学专题指数函数、对数函数、幂函数
高考数学专题 指数函数、对数函数、幂函数【要点】考点1：指数函数 定义：函数)1,0(≠>=a a a y x且称指数函数。
考点2：对数函数 定义：函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且称对数函数。
1>a 10<<a1>a 10<<a图 象性 质定义域： R 值域：（0，+∞）①过点（0，1），图象都在第一、二象限； ②指数函数都以x 轴为渐近线； ③对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数xxay a y -==与的图象关于y 轴对称。
(,0)x ∈-∞时y ∈（0，1）； ),0(+∞∈x 时 y ∈（1，+∞）。
(,0)x ∈-∞时 y ∈（1，+∞）； ),0(+∞∈x 时y ∈（0，1）。
在R 上是增函数。
在R 上是减函数。
考点3：幂函数 1．幂函数的基本形式是y x α=，其中x 是自变量，α是常数． 要求掌握y x =，2y x =，3y x =，1/2y x =，1y x -=这五个常用幂函数的图象。
2．观察出幂函数的共性，总结如下：（1）当0α>时，图象过定点 ；在(0,)+∞上是 函数； （2）当0α<时，图象过定点 ；在(0,)+∞上是 函数； 在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近。
【课堂精练】 1．=3log 9log 28（ ）A ．32 B ． 1 C ．23D ．2 2．设⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈3,21,1,1α，则使幂函数αx y =的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为（ ） A ．1,3 B ．-1,1 C ．-1,3 D ．-1,1,3 3．函数2x y =-的图象（ ）A ．与2x y =的图象关于y 轴对称B ．与2x y =的图象关于坐标原点对称C ．与2x y -=的图象关于y 轴对称D ．与2x y -=的图象关于坐标原点对称 4．(2010年重庆卷)函数164x y =-的值域是( )（A ）[0,)+∞ （B ）[0,4] （C ）[0,4) （D ）(0,4) 5．已知函数xxx f +-=11lg)(，若b a f =)(，则)(a f -=（ ） A ．b B ．b - C ．b 1D ．1b-6．已知10<<a ，1-<b ，则函数b a y x+=的图像不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7．设02log 2log <<b a ，则（ ）（A ）10<<<b a （B ）10<<<a b （C ）a b <<1 （D ）b a <<1 8．函数lg y x =( )A ．是偶函数，在区间(,0)-∞ 上单调递增B ．是偶函数，在区间(,0)-∞上单调递减C ．是奇函数，在区间(0,)+∞ 上单调递增D ．是奇函数，在区间(0,)+∞上单调递减 8．（06天津卷）设2log 3P =，3log 2Q =，23log (log 2)R =，则（ ） A ．R Q P << B ．P R Q <<C ．Q R P <<D ．R P Q <<9．(2010年全国卷)设a=3log 2，b=In2，c=125-，则( )A ．a<b<cB ．b<c<aC ．c<a<bD ．c<b<a10．（2009宁夏海南卷）用min{a ，b ，c}表示a ，b ，c 三个数中的最小值，设{})0(10,2,2m in )(≥-+=x x x x f x ，则)(x f 的最大值为（ ）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）711．（2008年山东卷文）已知函数()log (21)(01)xa f xb a a =+->≠，的图象如图所示，则a b ，满足的关系是（ ）A ．101a b -<<<B ．101b a -<<<C ．101ba -<<<- D ．1101ab --<<<12．(2010年全国卷)已知函数x x f lg )(=，若b a <<0且)()(b f a f =，则b a 2+的取值范围是( )(A))+∞(B))+∞ (C)(3,)+∞ (D)[3,)+∞13．幂函数()y f x =的图象经过点1(2,)8--，则满足()f x ＝27的x 的值是 。
最新高考数学考点总复习2.5 指数与指数函数
折到x轴上方得到的,而直线y=m的图象是平行于x轴的一
条直线.如图所示,由图象可得,如果曲线y=|3x-1|与直线
y=m有两个公共点,则m的取值范围是(0,1).
(2)曲线|y|=2x+1与直线y=b的图象如图所示.
由图象可得,若|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则-1≤b≤1.
综上,a
1
的取值范围是(0, ).
2
指数函数的性质及其应用(多考向探究)
考点3
考向1 指数函数单调性的应用
【例4】 (1)(2020湖南永州二模,理3)已知a=0.40.3,b=0.30.3,c=0.30.4,则(
A.a>c>b
B.a>b>c
C.c>a>b
D.b>c>a
(2)若
1
1 x
x0 是方程( ) = 3 的解,则 x0 属于区间(
选B.
(2)∵(m -m)·
4 -2 <0 在区间(-∞,-1]上恒成立,∴m
2
x
x
1
立.∵y=2 在(-∞,-1]上单调递减,∴当
-1<m<2,故选 D.
1
-m<2 在区间(-∞,-1]上恒成
2
1
x∈(-∞,-1]时,y=2 ≥2,∴m2-m<2,解得
考向2 解简单的指数方程或指数不等式
【例 5】
故b的取值范围是[-1,1].
变式发散1若本例(1)的条件变为:方程3|x|-1=m有两个不同实根,则实数m的
取值范围是
.
答案 (0,+∞)
解析 作出函数y=3|x|-1与y=m的图象如图所示,数形结合可得m的取值范围
高考数学——指数与指数函数考点复习
∴t≥1，
9
∴0＜y≤( 1 )1， 2
故所求函数的值域为 (0, 1 ]． 2
6．若关于 x 的不等式 2x+1 − 2−x − a > 0 的解集包含区间 (0,1) ，则 a 的取值范围为
A．
−∞,
7 2
C．
−∞,
7 2
B． (−∞,1] D． (−∞,1)
考点冲关
−1
1．计算： 2x 3
【答案】C 【解析】当 x=1 时，y=a1－a=0，所以 y=ax－a 的图象必过定点(1，0)，结合选项可知选 C.
2．函数
（ 且 ）与函数
A．
在同一个坐标系内的图象可能是 B．
6
C．
D．
考向三 指数函数单调性的应用
1．比较幂的大小的常用方法： (1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断； (2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断； (3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．
4
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． (5)有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算． (6)将根式化为指数运算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示．如果有特殊要求，
要根据要求写出结果．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
形如 y = a f (x) 的函数的定义域就是 f (x) 的定义域． 求形如 y = a f (x) 的函数的值域，应先求出 f (x) 的值域，再由单调性求出 y = a f (x) 的值域．若 a 的范
高考数学中的幂函数和指数函数的性质解析
高考数学中的幂函数和指数函数的性质解析高考数学中的幂函数和指数函数是非常重要的知识点。
这两种函数在数理化等学科中都有广泛的应用，因此在高考中也成为了不可忽视的重点。
掌握它们的性质，不仅可以解决一些基本的计算问题，还可以引申出很多思维难度较大的问题。
本文将对幂函数和指数函数的性质进行深入的解析。
一、幂函数的性质幂函数是一种非常基础的函数类型。
它的形式可以表示为$y = x^a$，其中$x$为自变量，$a$为指数。
幂函数的性质有以下几个方面。
1. 定义域：幂函数的定义域为$x>0$或$x<0$，即幂函数不能为负数。
2. 制图特点：当$a>1$时，幂函数的图像在第一象限上单调递增；当$0<a<1$时，幂函数的图像在第一象限上单调递减；当$a<0$时，幂函数的图像则关于$x$轴对称。
3. 奇偶性：当$a$为偶数时，幂函数关于$y$轴对称；当$a$为奇数时，幂函数关于原点对称。
4. 渐进线：当$a>0$时，幂函数的左渐近线为$x=0$，右渐近线为$y=0$；当$a<0$时，幂函数的左渐近线为$x=0$，右渐近线为$y=0$。
5. 导数规律：当$y=x^a$，则$\dfrac{dy}{dx}=ax^{a-1}$。
在幂函数的导数规律中，指数减1并乘以常数，就是导数。
以上是幂函数的几个常见性质，可以根据具体问题作出判断。
下面将重点介绍指数函数的性质。
二、指数函数的性质指数函数是另一种基础的函数类型。
它的形式可以表示为$y = a^x$，其中$a$为底数，$x$为自变量。
指数函数的性质有以下几个方面。
1. 定义域：指数函数的定义域为$(-\infty,+\infty)$，可以为任意实数。
2. 制图特点：当$0<a<1$时，指数函数的图像在第一象限上单调递减，且关于$y$轴对称；当$a>1$时，指数函数的图像在第一象限上单调递增。
3. 反函数：指数函数的反函数为对数函数，即$y = \log_{a}x$。
高考数学复习点拨 指数函数疑难解答
指数函数疑难解答一、学习指数与指数幂的运算应注意如下三点：1．a n (n ∈N *)与a n (n ∈Z)的本质区别是什么？【答】 a n (n ∈N *)表示n 个相同的数a 的乘积，而a n (n ∈Z )不表示n 个相同因式的乘积，它是一种指数幂的形式，两个式子都是指数幂，但后一个的幂指数范围扩大到了任意整数，幂底数的范围缩小到底不为零．2．引入分数指数幂之后，任何根式都能化成分数指数幂的形式吗？【答】 引入分数指数幂之后，任何有意义的根式都可化成分数指数幂，即n a =n a 1，这时被开方数a 即是分数指数幂的底数，根指数的倒数即是分数指数幂的幂指数，显然n a 1是n ma 的当m =1时的特例．3．在分数指数幂n ma 中为什么限定a >0?【答】 因为分数指数幂的意义来源于根式，而要使n a 对任意的n ∈N *且n >1都有意义，必须限定a >0,否则当a =0时，若m =0或nm 为分母是偶数的负分数时n m a 没有意义，当a <0时，若m 为奇数，n 为偶数时n ma 没有意义．二、指数函数是我们学习的基本函数之一，对于指数函数的学习，概念非常重要，因此一定要弄懂指数函数的概念及涵义．1．在指数函数y =a x 中，为什么要规定a >0且a ≠1?【答】 因为若a =0，则①当x >0时，a x 恒等于0，②当x <0时，a x 无意义．若a <0时，如y =(－9)x ,这时对于x =21,43，…等，在实数范围内函数值不存在；若a =1,y =1x =1为常量，它没有研究的必要，所以为了避免上述各种情况，我们规定了a >0且a ≠1．2．为什么说指数函数的图象是研究函数性质的直观工具？【答】 因为通过图象我们可以直观的看到，任取a ∈{a |a >0且a ≠1}，图象始终过定点(0，1)，图象始终在x 轴上方；当a >1时第一象限的图象与0<a <1时第二象限的图象始终在直线y =1的上方，当a >1时第二象限的图象与0<a <1时第一象限的图象始终在y =1的下方；当a >1时，图象是上升的，当0<a <1时图象是下降的．所以应用图象进行数形结合，清晰的刻划了指数函数的性质，它们便于我们记忆其函数性质和变化规律．3．函数y =a x +h +k (a >0且a ≠1)的图象恒过点(－h ,1+k )，为什么？【答】 函数y =a x +h +k (a >0且a ≠1)的图象可由函数y =a x (a >0且a ≠1)向左(h >0时)或向右(h <0)平移|h |个单位长度，再向上(k >0)或向下(k <0)平移|k |个单位长度而得到，因为y =a x (a >0且a ≠1)恒过(0，1)点，所以y =a x +h +k (a >0且a ≠1)恒过(－h ,1+k )点．4．函数y =(21)|x |的图象有什么特征？你能根据它的图象指出其值域和单调区间吗？ 【答】 函数y =(21)|x |的图象关于y 轴对称，这是因为它的图象由y =(21)x (x ≥0)的图象和y =2x (x <0)的图象合并而成，而y =(21)x (x >0)与y =2x (x <0)的图象关于y 轴对称，所以y =(21)|x |的图象关于y 轴对称,由图象可知值域是(0，1)，递增区间是(－∞,0)，递减区间是［0，+∞)．。
2024年高考数学--指数函数、对数函数
对于B,由函数f(x)为奇函数,得f(-x)=-f(x),即
2 x 2x
1
+m=-
2x 2x
1
-m,
1
所以2m=-
2x 2x
1
-
2 x 2x 1
=-
2x 2x 1
-
2x
1 2x
1
=-
2x 2x
1
-
1 2x
1
=-1,即m=-1
2
,所以B正确;
对于C,由f(x)=
2x 2x
1
+m=
2x 1 2x
故a的取值范围为[36,+∞).
x
x2
a >1在x∈(1,+∞)恒成立.
令y=ln m,函数y=ln m在(0,+∞)上单调递增,m=x 1 =1+ 2 在(1,+∞)上单
x 1 x 1
调递减,所以f(x)=ln x 1在(1,+∞)上单调递减.
x 1
因为f(x)+f(-x)=ln x 1+ln x 1=0,所以f(x)=-f(-x),即f(x)是奇函数.
n am
aras=ar+s
(ar)s=ars (ab)r=arbr
2.对数的性质与运算法则
性质
换底 公式
运算 法则
loga1=0;logaa=1 a loga N =N;logaaN=N(a>0且a≠1,N>0)
logbN= loga N (a,b均大于0且不等于1,N>0)
logab
相关结论:logab= 1 ;logab·logbc·logcd=logad
新高考数学复习考点知识与题型专题讲解17---指数函数的概念(解析版)
新高考数学复习考点知识与题型专题讲解17 指数函数的概念1．指数函数的概念一般地，函数(a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是. 2．指数函数的图象和性质定义域 R 题型一 指数函数的图像及应用1．在同一直角坐标系中，函数()a f x x =与()xg x a -=在[)0,+∞上的图象可能是（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】()a f x x =为幂函数，()1()-==xx g a ax 为指数函数A. ()1()-==x x g a a x 过定点(0,1)，可知101<<a ，1a ∴>，()af x x =的图象符合，故可能.B. ()1()-==x x g a a x 过定点(0,1)，可知101<<a ，1a ∴>，()af x x =的图象不符合，故不可能.C. ()1()-==x x g a a x 过定点(0,1)，可知11a>，01a ∴<<，()af x x =的图象不符合，故不可能.D.图象中无幂函数图象，故不可能. 故选：A题型二 指数函数的定义域与值域2．函数1132,132,1x x x y x --⎧-≤=⎨->⎩的值域是（ ）A ．()2,1--B ．()2,-+∞C ．(],1-∞-D ．(]2,1-- 【答案】D【解析】当1x ≤时，函数132x y -=-单调递增，因为10x -≤，则1031x -<≤， 所以，12321x --<-≤-，此时，函数132x y -=-的值域为(]2,1--；当1x >时，函数1113223x xy --⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭单调递减，因为10x ->，则11103x -⎛⎫< ⎝⎭<⎪.所以，112213x -⎛⎫-<-<- ⎪⎝⎭，此时，函数132x y -=-的值域为()2,1--.综上所述，函数1132,132,1x x x y x --⎧-≤=⎨->⎩的值域是(]2,1--.故选：D.题型三 指数函数的单调性3．若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( )A ．9,34⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,3D ．()2,3【答案】B【解析】解：函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩单调递增， ()301373a a a a⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤<所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故选：B ．题型三 指数函数的单调性4．若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( )A ．9,34⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,3D ．()2,3【答案】B【解析】解：函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩单调递增，()301373a a a a⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤<所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故选：B ．题型四 指数函数的最值问题5．若指数函数x y a =在区间[1,1]-上的最大值和最小值的和为52，则a 的值可能是（ ）.A ．2B ．12C ．3D ．13【答案】AB【解析】设()x f x a =，当1a >时，指数函数()x f x a =单调递增，所以在区间[1,1]-上的最大值max (1)y f a ==，最小值min 1(1)y f a =-=.所以152a a +=，求得2a =或者12a =（舍）； 当01a <<时，指数函数()x f x a =单调递减，所以在区间[1,1]-上的最大值max 1(1)y f a=-=，最小值min (1)y f a ==，所以152a a +=，求得2a =（舍）或者12a =. 综上所述：2a =或者12a =. 故选：AB1．函数y x a =+与1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中0a >，且1a ≠，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】解：对于A ，C ，由于函数y x a =+是增函数，图象应该呈上升趋势，所以A ，C 错误；对于B ，若函数y x a =+的图象是正确的，则1a >，所以101a <<，所以函数1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭是正确的，所以B 正确；对于D ，若函数y x a =+的图象是正确的，则01a <<，所以11a >，所以函数1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭是增函数，所以D 错误， 故选：B2．如果指数函数()xf x a =(0a >，且1a ≠)的图象经过点()2,4，那么a 的值是（ ）A ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】由题意可知()224f a ==，解得2a =或2a =-（舍） 故选：B3．已知函数()f x 是R 上的偶函数，且()f x 的图象关于点()1,0对称，当[]0,1x ∈时，()22xf x =-，则()()()()0122020f f f f ++++的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．1 【答案】D【解析】因为()f x 是R 上的偶函数，所以()()f x f x -=， 又()f x 的图象关于点()1,0对称，则()(2)f x f x =--，所以()(2)f x f x -=--，则()(2)f x f x =-+，得(4)(2)()f x f x f x +=-+=， 即(4)()f x f x +=-，所以()f x 是周期函数，且周期4T =，由[]0,1x ∈时，()22xf x =-，则(0)1,(1)0f f ==，(2)(0)1f f =-=-，(3)(3)(1)0f f f =-==，则(0)(1)(2)(3)0f f f f +++=， 则()()()()0122020f f f f ++++(0)5050(0)1f f =+⨯==故选：D4．已知函数log ()a y x b =-的大致图象如下图，则幂函数ba y x =在第一象限的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由log ()a y x b =-的图象可知，1log (1)0log (2)0a a a b b >⎧⎪-<⎨⎪->⎩，所以101121a b b >⎧⎪<-<⎨⎪->⎩，得1a >，01b <<，所以01ba<<，所以幂函数b a y x =在第一象限的图象可能为B . 故选：B.5．已知函数()2x f x =，则[](2)f f =___. 【答案】16【解析】根据题意，函数()2x f x =，则()2224f ==， 则[]()4(2)4216f f f ===，故答案为：16.6．下列函数中指数函数的个数是_____________．①23x y =⋅；②13x y +=；③3x y =；④()21xy a =-（a 为常数，12a >，1a ≠）；⑤3y x =； ⑥4x y =-；⑦()4xy =- 【答案】③④【解析】根据指数函数的定义直接判断：形如x y a =（0a >且1a ≠）的函数是指数函数. 可知只有③3x y =，④()21xy a =-（a 为常数，12a >，1a ≠）符合指数函数的定义. 故答案为：③④.7．已知常数0a >，函数()22xx f x ax =+的图象经过点65P p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，15Q q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．若236p q pq +=，则a =______． 【答案】6【解析】函数f （x ）=22xx ax +的图象经过点P （p ，65），Q （q ，15-）．则：226112255p q pq ap aq +=-=++， 整理得：22222222p q p q p qp qp q aq ap aq ap a pq+++++++++=1， 解得：2p+q =a 2pq ， 由于：2p+q =36pq ， 所以：a 2=36， 由于a ＞0， 故：a=6． 故答案为68．已知点(2,9)在函数()x f x a =（0a >且1a ≠）图象上，对于函数()y f x =定义域中的任意1x ，()212x x x ≠，有如下结论：①()()()1212f x x f x f x +=⋅； ②()()()1212f x x f x f x ⋅=+； ③()()12120f x f x x x -<-；④()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭.上述结论中正确结论的序号是___________. 【答案】①④【解析】点(2,9)在函数()x f x a =（0a >且1a ≠）图象上，即29a =，3a ∴=，()3x f x =， ∵对于函数()3x f x =定义域中的任意的()1212,x x x x ≠，有()()()12121212333x x x xf x x f x f x ++==⋅=∴结论（1）正确；又()12123x x f x x =，()()121233x xf x f x +=+，()()()1212f x x f x f x ∴≠+，∴结论（2）错误；又()3x f x =是定义域R 上的增函数，∴对任意的12,x x ，不妨设12x x <，则()()12f x f x <，120x x ∴-<，()()120f x f x -<，()()12120f x f x x x -∴->，∴结论（3）错误；又1212232x xx x f ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()12123322x x f x f x ++= ()()12211212121222122213312()(33)22332x x x x x x x x x x f x f x x x f --+++∴=+=++⎛⎫⎪⎝⎭，12x x ≠122122332x x x x --∴+>，()()1212212f x f x x x f +∴>+⎛⎫ ⎪⎝⎭∴结论（4）正确； 故答案为：（1），（4）.9．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]3.54-=-，[]2.12=，已知函数1()12=-+x x e f x e ，则函数()f x 奇偶性是______函数，[][]()()=+-y f x f x 的值域是__________ 【答案】奇函数 {}1,0-【解析】∵()11()1221-=-=++x x x x e e f x e e ，()()11()()2121-----===-++x xx xe ef x f x e e ， ∴()f x 为奇函数，化11111()1221x x xe f x e e +-=-=-++， ∵11x e +>，∴1011<<+x e ，则11112212-<-<+x e . ∴当1(),02⎛⎫∈- ⎪⎝⎭f x 时，[]()1=-f x ，[]()0-=f x ；当1()0,2f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，[]()0=f x ，[]()1-=-f x ；当()0f x =时，[][]()()0=-=f x f x . ∴函数[][]()()=+-y f x f x 的值域是{}1,0-. 故答案为：奇函数，{}1,0-.10．已知()xf x ka -=（k a ，为常数，0a >1a ≠且）的图像过点()()01,38A B -,,. （1）求()f x 的解析式； （2）若函数()g x ()()11f x f x -=+，试判断()g x 的奇偶性并给出证明.【答案】（1）()2xf x -=；（2）奇函数；证明见解析.【解析】解：（1）∵ ()xf x ka -=的图像过点()()01,38A B -,, ∴()()30138f k f ka ⎧==⎪⎨-==⎪⎩，解得12k a ==，，故()2xf x -=； （2）由（1）知()g x =()()1211212112x xx xf x f x -----==+++，则()g x 的定义域为R ，关于原点对称， 且()()2112 2112x xxxg x g x ---==-=-++ 故()g x 为奇函数.。
高职高考指数函数知识点
高职高考指数函数知识点在高职高考数学中，指数函数是一个非常重要的知识点。
本文将从指数函数的定义、性质以及应用等方面，简要介绍高职高考涉及的指数函数知识点。
一、指数函数的定义指数函数是以底数为常数的指数与自变量的幂次关系而定义的函数。
通常表示为f(x)=a^x，其中a为底数，x为指数。
指数函数的定义中，底数a可以为任意实数，但当a>0且a≠1时，指数函数才是一种特殊的函数形式，也是高职高考中所关注的指数函数。
二、指数函数的性质1. 基本性质：指数函数的定义域为全体实数集R，值域为(0,+∞)。
2. 单调性：当0<a<1时，指数函数单调递减；当a>1时，指数函数单调递增。
3. 与指数幂和乘方函数的关系：- 对于底数a>0且a≠1，指数函数f(x)=a^x与指数幂函数f(x)=a^m（m为整数）的定义域均为全体实数集R，并且具有相同的增减性质。
- 指数函数f(x)=a^x与乘方函数f(x)=x^m（m为正偶数）的图象关于y轴对称。
三、指数函数的应用1. 生活中的应用：- 金融领域：复利计算中，投资本金与时间的关系可以用指数函数来表示。
- 科学领域：在自然界的许多现象中，往往跟时间的增长呈指数规律变化，如放射性元素的衰变、细菌的繁殖等。
- 经济领域：人口增长、市场营销、市场份额等都存在着指数函数的规律。
2. 题型分析与解题方法：- 基本指数函数的性质运用：根据指数函数的基本性质，解题过程中常用到的方法有：配方、比较、取对数化简等。
- 正题型与反题型：在指数函数题型中，存在着正题型和反题型。
正题型是已知指数、底数或函数的特点，求解指数函数的函数值或解析式；反题型则相反，已知函数值或函数的特点，求解指数或底数等。
四、典型例题分析下面通过几个典型的高职高考指数函数题来进行分析和解答。
例题一：若指数函数f(x)=2^x中存在两个整数x1、x2（x1<x2），使得2^(x1+x2)=8，则x1、x2的值分别为多少？解析：根据指数函数的性质，指数为x1的函数值为2^x1，指数为x2的函数值为2^x2。
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提高篇
指数函数、对数函数、幂函数、二次函数
姓名： 学校： 指数函数
2．有理数指数幂的性质
(1)a r a s ＝ (a ＞0，r ，s ∈Q)；
(2)(a r )s ＝ (a ＞0，r ，s ∈Q)；
(3)(ab )r ＝ (a ＞0，b ＞0，r ∈Q)．
(4)正分数指数幂：m n a
＝______ (a ＞0，m 、n ∈N ＋，且n ＞1)；
(5)负分数指数幂：m n
a ＝_____＝______ (a ＞0，m 、n ∈N ＋，且n ＞1)； (6)0的正分数指数幂等于_____,0的负分数指数幂___________．
指数函数的图象和性质
函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)
图象
0＜a ＜1a ＞1
图象
特征
在x 轴______，过定点_____
1.函数y ＝0.3|x |(x ∈R)的值域是
A ．R ＋
B ．{y |y ≤1}
C ．{y |y ≥1}
D ．{y |0＜y ≤1}
2.函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是
A ．a ＞1，b ＜0
B ．a ＞1，b ＞0
C ．0＜a ＜1，b ＞0
D ．0＜a ＜1，b ＜0
3.．函数y ＝32x －1－127
的定义域是________． 4.(2013·泰安模拟)已知实数a ，b 满足等式2a ＝3b ，给出下列五个关系式中：①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；
⑤a ＝b .则所有可能成立的关系式的序号为________．
5. ．(2014·荆州模拟)若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a >0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________．
6. ．若函数f (x )＝a |x －1|(a >0，a ≠1)满足f (3)＝19
，则函数f (x )的单调递增区间为________．
一、对数的定义
一般地，如果a x ＝N (a ＞0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝______，其中a 叫做对数的____，N 叫做_____．
二、对数的性质
1．log a 1＝_____，log a a ＝____；2．
log N a a ＝_____，log a a N ＝____；3．______和____没有对数． 三、对数的运算性质
如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么
1．log a (MN )＝_______________；2．log a M N ＝________________；
3．log a M n ＝__________ (n ∈R)；4．换底公式log a b ＝
log m b log m a
(a ＞0且a ≠1，b ＞0，m ＞0且m ≠1)． 四、对数函数的定义、图象与性质 定义 函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数 图象
a ＞1
0＜a ＜1
1.函数y ＝log 2|x |的图象大致是
2．设a ＝log 32，b ＝ln 2，c ＝125
，则a 、b 、c 的大小关系是______．
3.
4.(2013·新课标卷Ⅱ)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则
A ．a >c >b
B ．b >c >a
C ．c >b >a
D ．c >a >b
5.．(2013·天津模拟)已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a >0，a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是
A ．0<1a <b <1
B ．0<b <1a <1
C ．0<1b <a <1
D ．0<1a <1b
<1 6. 若x ∈(e －1,1)，a ＝ln x ，b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12ln x ，c ＝e ln x ，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．c >b >a B ．b >c >a C ．a >b >c D ．b >a >c
幂函数的指数对函数图象的影响
当a ≠0,1时，幂函数y ＝x a
在第一象限的图象特征： a 取值
a >1 0<a <1 a <0
图象
特殊点
过(0,0)，(1,1) 过(0,0)，(1,1) 过(1,1) 凹凸性
下凸 上凸 下凸 单调性
递增 递增 递减 举例
y ＝x 2 y ＝12x y ＝x －1，y ＝12x -
1.
2.(教材例题改编)如图中曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±12
3．(经典习题)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a 、b ∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________.
4.已知函数f (x )＝log 2x －⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0<x 1<x 0，则f (x 1)的值 A ．恒为负 B ．等于零
C ．恒为正
D ．不小于零
5.(2014·枣庄模拟)已知f 1(x )＝a x ，f 2(x )＝x a
，f 3(x )＝log a x (a >0且a ≠1)在同一坐标系中画出其中两个函数在第Ⅰ象限的图象，正确的是
【高考再现】热点一 指数函数、对数函数
1．[2014·江西卷] 函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( )
A ．(0，1]
B ．[0，1]
C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)
D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)
2．[2014·山东卷] 函数f (x )＝1（log 2x ）2－1的定义域为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞) C. ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D. ⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，12∪[2，＋∞) 3．[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝5|x |，g (x )＝ax 2－x (a ∈R)．若f [g (1)]＝1，则a ＝( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．－1
4．[2014·辽宁卷] 已知a ＝，b ＝log 213，c ＝，则( )
A ．a >b >c
B ．a >c >b
C ．c >a >b
D ．c >b >a
5．[2014·山东卷] 设集合A ＝{x ||x －1|＜2}，B ＝{y |y ＝2x
，x ∈[0，2]}，则A ∩B ＝( )
A ．[0，2]
B ．(1，3)
C ．[1，3)
D ．(1，4)
6．[2014·陕西卷] 已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________．
7.（2012年安徽）设集合{3213}A x x =-≤-≤,集合B 是函数lg(1)y x =-的定义域;则A B =I （ ）
A ．(1,2)
B ．[1,2]
C ．[,)12
D ．(,]12 8.（2012年高考（山东））若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m ,且函数()(14)g x m x =-在
[0,)+∞上是增函数,则a =____.
9.（2012年高考（北京））已知函数()lg f x x =,若()1f ab =,22()()f a f b +=_________.
10.（2012年上海）已知函数||)(a x e
x f -=(a 为常数).若)(x f 在区间[1,+∞)上是增函数,则a 的取值范围是_________ .
热点二 幂函数、二次函数
1．[2014·福建卷] 若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图11所示，则下列函数图像正确的是( )
图1-1
A B C D
2．[2014·浙江卷] 在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x >0)，g (x )＝log a x 的图像可能是( )
3.（2012年高考（福建））已知关于x 的不等式220x ax a -+>在R 上恒成立,则实数a 的取值范围是_________.
4.（2012年高考（北京））已知()(2)(3)f x m x m x m =-++,()22x g x =-.若,()0x R f x ∀∈<或()0g x <,则m 的取值范围是________.。