平面向量数量积及运算基础练习题
平面向量的数量积及运算律测试题
平面向量的数量积及运算律同步练习一、选择题：1. 若｜a ｜＝｜b ｜=１，a ⊥b ，且2a ＋３b 与k a -4b 也互相垂直，则k 的值为( )A.－６B.６C.３D.－３ 2．若AP 31=PB ，AB λ=BP ，则λ的值为 ( ) A ．41 B ．43 C ．34 D ．34-3．设a 和b 的长度均为6，夹角为 120︒，则-|a b|等于 （ ） A ．36 B ．12 C ．6 D ．364．若||＝2sin15°，||＝4cos375°、，夹角为30°，则·为（ ）A ．23B ．3C ．32D ．215．若|a |=|b |=|a －b |,则b 与a +b 的夹角为 （ ）A ．30°B ．60°C ．150°D ．120°6．已知向量)sin ,(cos θθ=,向量)1,3(-=则|2|-的最大值，最小值分别（ ）A ．0,24B ．24,4C ．16，0D ．4，07．已知、均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|+ 3| =（ ）A ．7B ．10C ．13D ．48．已知,,为非零的平面向量. 甲：则乙,:,=⋅=⋅（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既非乙的充分条件也非乙的必要条件 9．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b) ⊥a ，(b －2a ) ⊥b ，则a 与b 的夹角是（ ）A ．6πB ．3πC ．32πD ．65π10．若向量a 与b 的夹角为60，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-,则向量a 的模为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．1211．设)41,cos 1(),cos 1,2(-+=--=θθb a ，且,20,||πθ<<b a 则θ为（ ）A ．4π B ．6π C ．3π D ．3π或6π12．在ABC ∆中，5||,3||,415,0,,===<∙==∆S ABC ，则,夹角为（ ） A. 6π B. 3π C. 65π D. 32π二、填空题13.命题①若b ≠0，且a ·b =c ·b ，则a =c ；②若a =b ，则3a ＜4b ;③(a ·b ) ·c =a ·(b ·c ), 对任意向量a ，b ，c 都成立；④a 2·b 2=(a ·b )2；正确命题的个数为____14.向量a 、b 满足（a －b ）·（2a+b ）=－4，且|a |=2，|b |=4，则a 与b 夹角的余弦值等于 15.向量c b a ,,满足0=++c b a ，且4||,1||,3||===c b a ，则a c c b b a ∙+∙+∙＝16．设))34sin(),34(cos()),32sin(),32(cos(),sin ,(cos απαπαπαπαα++++C B A ，则OC OB OA ++＝三、计算题17. 已知向量a 与b 的夹角为θ，|a |=2，|b |=3，分别在下列条件下求a •b ，(1) θ=135o;(2)a ∥b ;(3)a ⊥b .18.已知()2,1-=，()m ,3=，若⊥，若∥，分别求出m 值。
平面向量的数量积练习题含答案
平面向量的数量积练习题一、选择题1．已知|b|＝3，a在b方向上的投影是23，则a·b为 ( )C．3 D．2解析：由数量积的几何意义知所以a·b＝23×3＝2.答案：D2．设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a·b＝( )A．1 B．2 C．3 D．5解析：因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝10，|a－b|2＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝6，两式相减得：4a·b＝4，所以a·b＝1.答案：A3．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，则向量a与a－b的夹角为( )解析：|a－b|＝（a－b）2＝a2＋b2－2a·b＝3，设向量a与a－b的夹角为θ，则cos θ＝a·（a－b）|a||a－b|＝22－12×3＝32，又θ∈[0，π]，所以θ＝π6.答案：A4．(2015·陕西卷)对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是( ) A．|a·b|≤|a||b| B．|a－b|≤||a|－|b||C．(a＋b)2＝|a＋b|2 D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2解析：根据a·b＝|a||b|cos θ，又cos θ≤1，知|a·b|≤|a||b|，A恒成立．当向量a和b方向不相同时，|a－b|>||a|－|b||，B不恒成立．根据|a＋b|2＝a2＋2a·b ＋b2＝(a＋b)2，C恒成立．根据向量的运算性质得(a＋b)·(a－b)＝a2－b2，D恒成立．答案：B5．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，且(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a的模为( ) A．2 B．4 C．6 D．12解析：因为(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b＝6b2＝|a|2－|a|·|b|cos 60°－6|b|2＝|a|2－2|a|－96＝－72，所以|a |2－2|a |－24＝0，所以|a |＝6.答案：C6．已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(x ，4)，且a ∥b ，则|a －b |＝( )A ．5 3B ．3 5C ．25D ．22解析：因为a ∥b ，所以4＋2x ＝0，所以x ＝－2，a －b ＝(1，－2)－(－2，4)＝(3，－6)，所以|a －b |＝3 5.答案：B7．(2015·杭州模拟)如图，在圆O 中，若弦AB ＝3，弦AC ＝5，则AO →·BC →的值是( )A ．－8B ．－1C ．1D ．8[答案] D[解析] 取BC 的中点D ，连接AD 、OD ，则有OD ⊥BC ，AD →＝12(AB →＋AC →)，BC →＝AC →－AB →，AO →·BC →＝(AD →＋DO →)·BC →＝AD →·BC →＋DO →·BC →＝AD →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(AC →2－AB →2)＝12×(52－32)＝8，选D ． 8．(2015·福建卷)设a ＝(1，2)，b ＝(1，1)，c ＝a ＋k b ．若b ⊥c ，则实数k 的值等于( )A ．－32B ．－53解析：c ＝a ＋k b ＝(1＋k ，2＋k )，又b ⊥c ，所以1×(1＋k )＋1×(2＋k )＝0，解得k ＝－32. 答案：A9．已知A 、B 、C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为A (1，2)、B (4，1)、C (0，－1)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．以上均不正确解析：AC →＝(－1，－3)，AB →＝(3，－1)． 因为AC →·AB →＝－3＋3＝0，所以AC ⊥AB .又因为|AC →|＝10，|AB →|＝10，所以AC ＝AB .所以△ABC 为等腰直角三角形．答案：C10．点O 是△ABC 所在平面上一点，且满足OA OB OB OC OA OC ⋅=⋅=⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，则点O 是△ABC 的( )A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心解析：因为OA →·OB →＝OB →·OC →， 所以OB →·(OA →－OC →)＝0，即OB →·CA →＝0, 则OB →⊥CA →.同理OA →⊥BC →，OC →⊥AB →.所以O 是△ABC 的垂心．答案：B11．在△ABC 所在的平面内有一点P ，满足PA PB PC ++u u u v u u u v u u u v ＝AB u u u v ，则△PBC 与△ABC 的面积之比是( )解析：由PA →＋PB →＋PC →＝AB →，得PA →＋PB →＋BA →＋PC →＝0，即PC →＝2AP →，所以点P 是CA 边上的三等分点，如图所示．故S △PBCS △ABC ＝PC AC ＝23.答案：C12．O 是平面ABC 内的一定点，P 是平面ABC 内的一动点，若()()()()PB PC OB OC PC PA OA OC -⋅+=-⋅+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ＝0，则O 为△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心解析：因为(PB →－PC →)·(OB →＋OC →)＝0，则(OB →－OC →)·(OB →＋OC →)＝0，所以OB →2－OC →2＝0，所以|OB →|＝|OC →|.同理可得|OA →|＝|OC →|，即|OA →|＝|OB →|＝|OC →|.所以O 为△ABC 的外心．答案：B二、填空题13．如图所示，△ABC 中∠C ＝90°且AC ＝BC ＝4，点M 满足3BM MA =u u u u v u u u v ，则CM CB ⋅u u u u v u u u v ＝________．解析：CM →·CB →＝⎝⎛⎭⎪⎫CA →＋14AB →·CB →＝14AB →·CB →＝14(CB →－CA →)·CB →＝14CB 2→＝4. 答案：414.如图所示，已知点A (1，1)，单位圆上半部分上的点B满足OA OB ⋅u u u v u u u v ＝0，则向量OB u u u v 的坐标为________．解析：设B (x ，y )，y >0，⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，x ＋y ＝0，⎩⎨⎧x ＝－22，y ＝22，所以OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫－22，22 15．在△ABC 中， BC u u u v ＝a ， CA u u u v ＝b ，AB u u u v＝c ，且满足：|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a 的值为________． 解析：在△ABC 中，因为|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，所以△ABC 为直角三角形，且BC ⊥BA ，以BA ，BC 为x ，y 轴建立坐标系，则B (0，0)，A (3，0)，C (0，1)，所以a ＝BC →＝(0，1)，b ＝CA →＝(3，－1)，c ＝AB →＝(－3，0)． 所以a·b ＋b·c ＋a·c ＝－1－3＋0＝－4.答案：－416．在△ABC 中，已知|AB u u u v |＝|AC u u u v |＝4，且 AB AC ⋅u u u v u u u v ＝8，则这个三角形的形状是________．解析：因为AB →·AC →＝4×4·cos A ＝8， 所以cos A ＝12，所以∠A ＝π3，所以△ABC是正三角形．答案：正三角形三、解答题17．已知向量a＝(2，0)，b＝(1，4)．(1)求|a＋b|的值；(2)若向量k a＋b与a＋2b 平行，求k的值；(3)若向量k a＋b与a＋2b的夹角为锐角，求k的取值范围．解：(1)因为a＝(2，0)，b＝(1，4)，所以a＋b＝(3，4)，则|a＋b|＝5.(2)因为a＝(2，0)，b＝(1，4)，所以k a＋b＝(2k＋1，4)，a＋2b＝(4，8)；因为向量k a＋b与a＋2b平行，所以8(2k＋1)＝16，则k＝1 2 .(3)因为a＝(2，0)，b＝(1，4)，所以k a＋b＝(2k＋1，4)，a＋2b＝(4，8)；因为向量k a ＋b 与a ＋2b 的夹角为锐角，所以⎩⎨⎧4（2k ＋1）＋32>0，k ≠12，解得k >－92或k ≠12. 18.如图所示，ABCD 是正方形，M 是BC 的中点，将正方形折起使点A 与M 重合，设折痕为EF ，若正方形面积为64，求△AEM 的面积．解：如图所示，建立直角坐标系，显然EF 是AM 的中垂线，设AM 与EF 交于点N ，则N 是AM 的中点，又正方形边长为8，所以M (8，4)，N (4，2)．设点E (e ，0)，则AM →＝(8，4)，AN →＝(4，2)，AE →＝(e ，0)，EN →＝(4－e ，2)，由AM →⊥EN →得AM →·EN →＝0，即(8，4)·(4－e ，2)＝0，解得e ＝5，即|AE →|＝5.所以S △AEM ＝12|AE →||BM →|＝12×5×4＝10.19．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，|3a －b |＝ 5.(1)求|a ＋3b |的值；(2)求3a －b 与a ＋3b 夹角的正弦值．解：(1)由|3a －b |＝5，得(3a －b )2＝5，所以9a 2－6a·b ＋b 2＝5.因为a 2＝|a |2＝1，b 2＝|b 2|＝1，所以9－6a·b ＋1＝5.所以a·b ＝56. 所以(a ＋3b )2＝a 2＋6a·b ＋9b 2＝1＋6×56＋9×1＝15. 所以|a ＋3b |＝15.(2)设3a －b 与a ＋3b 的夹角为θ.因为(3a －b )·(a ＋3b )＝3a 2＋8a·b －3b 2＝3×1＋8×56－3×1＝203. 所以cos θ＝（3a －b ）·（a ＋3b ）|3a －b ||a ＋3b |＝2035×15＝439. 因为0°≤θ ≤180°，所以sin θ＝ 1－cos 2θ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4392＝339. 所以3a －b 与a ＋3b 夹角的正弦值为339.20．在四边形ABCD 中，已知AB ＝9，BC ＝6，CP →＝2PD →.(1)若四边形ABCD 是矩形，求AP →·BP→的值；(2)若四边形ABCD 是平行四边形，且AP →·BP →＝6，求AB →与AD →夹角的余弦值． 解：(1)因为四边形ABCD 是矩形，所以AD →·DC →＝0. 由CP →＝2PD →，得DP →＝13DC →，CP →＝23CD →＝－23DC →. 所以AP →·BP →＝(AD →＋DP →)·(BC →＋CP →)＝⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋13DC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－23DC →＝ AD →2－13AD →·DC →－29DC 2→＝36－29×81＝18. (2)由题意，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋13DC →＝AD →＋13AB →， BP →＝BC →＋CP →＝BC →＋23CD →＝AD →－23AB →， 所以AP →·BP →＝⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋13AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－23AB →＝ AD 2→－13AB →·AD →－29AB →2＝36－13AB →·AD →－18＝18－13AB →·AD →.又AP →·BP →＝6，所以18－13AB →·AD →＝6， 所以AB →·AD →＝36.又AB →·AD →＝|AB →|·|AD →|cos θ＝9×6×cos θ＝54cos θ，所以54cos θ＝36，即cos θ＝23. 所以AB →与AD →夹角的余弦值为23. 21． (2015·济宁模拟)已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，θ∈[0，π]，向量b ＝(3，－1)．(1)若a ⊥b ，求θ的值；(2)若|2a －b |<m 恒成立，求实数m 的取值范围．[解析] (1)∵a ⊥b ，∴3cos θ－sin θ＝0，得tan θ＝3，又θ∈[0，π]，∴θ＝π3. (2)∵2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ＋1)，∴|2a －b |2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2＝8＋8(12sin θ－32cos θ)＝8＋8sin(θ－π3)， 又θ∈[0，π]，∴θ－π3∈[－π3，23π]，∴sin(θ－π3)∈[－32，1]，∴|2a－b|2的最大值为16.∴|2a－b|的最大值为4.又|2a－b|<m恒成立．∴m>4.22．(本题满分12分)(2015·厦门模拟)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cos x，sin x)，c＝(sin x＋2sinα，cos x＋2cosα)，其中0<α<x<π.(1)若α＝π4，求函数f(x)＝b·c的最小值及相应的x的值；(2)若a与b的夹角为π3，且a⊥c，求tan2α的值．[解析]∵b＝(cos x，sin x)，c＝(sin x＋2sinα，cos x＋2cosα)，α＝π4.∴f(x)＝b·c＝cos x sin x＋2cos x sinα＋sin x cos x＋2sin x cosα＝2sin x cos x＋2(sin x＋cos x)．令t＝sin x＋cos x(π4<x<π)，则t∈(－1，2)，且2sin x cos x＝t2－1.∴y＝t2＋2t－1＝(t＋22)2－32，t∈(－1，2)．当t＝－22时，y min＝－32，此时sin x＋cos x＝－22.即2sin(x＋π4)＝－22，sin(x＋π4)＝－12，∵π4<x<π，∴π2<x＋π4<5π4.∴x＋π4＝7π6，即x＝1112π.所以函数f(x)的最小值为－32，相应的x的值为1112π.(2)∵a与b的夹角为π3，cos π3＝a·b|a||b|＝cosαcos x＋sinαsin x＝cos(x－α)，∵0<α<x<π，∴0<x－α<π.∴x－α＝π3，∵a⊥c，∴cosα(sin x＋2sinα)＋sinα(cos x＋2cosα)＝0，化简得sin(x＋α)＋2sin2α＝0.代入x－α＝π3得sin(2α＋π3)＋2sin2α＝52sin2α＋32cos2α＝0，∴tan2α＝－3 5 .。
2019版一轮创新思维文数(人教版A版)练习：第四章 第二节 平面向量的数量积及应用举例 Word版含解析
课时规范练 A 组 基础对点练1．已知|a |＝6，|b |＝3，向量a 在b 方向上的投影是4，则a ·b 为( ) A ．12 B ．8 C ．－8D ．2解析：∵|a |cos 〈a ，b 〉＝4，|b |＝3，∴a ·b ＝|a ||b |·cos 〈a ，b 〉＝3×4＝12. 答案：A2．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( ) A ．－8 B ．－6 C ．6D ．8解析：由向量的坐标运算得a ＋b ＝(4，m －2)，由(a ＋b )⊥b ，(a ＋b )·b ＝12－2(m －2)＝0，解得m ＝8，故选D. 答案：D3．已知平面向量a ＝(－2，m )，b ＝(1，3)，且(a －b )⊥b ，则实数m 的值为( ) A ．－2 3 B ．2 3 C ．4 3D ．6 3解析：因为a ＝(－2，m )，b ＝(1，3)，所以a －b ＝(－2，m )－(1，3)＝(－3，m －3)．由(a －b )⊥b ，得(a －b )·b ＝0，即(－3，m －3)·(1，3)＝－3＋3m －3＝3m －6＝0，解得m ＝23，故选B. 答案：B4．向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，∴(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1. 答案：C5．已知非零向量a ，b 的夹角为π3，且|b |＝1，|b －2a |＝1，则|a |＝( )A.12 B ．1 C. 2D ．2解析：依题意得(b －2a )2＝1，即b 2＋4a 2－4a·b ＝1，1＋4|a |2－2|a |＝1,4|a |2－2|a |＝0(|a |≠0)，因此|a |＝12，选A.答案：A6．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(1，－2)，若c ＝a －(a ·b )·b ，则|c |＝__________.解析：由题意可得a ·b ＝2×1＋4×(－2)＝－6，∴c ＝a －(a ·b )·b ＝a ＋6b ＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，∴|c |＝82＋(－8)2＝8 2.答案：8 27．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b .若b·c ＝0，则t ＝________. 解析：由题意，将b·c ＝[t a ＋(1－t )b ]·b 整理得ta ·b ＋(1－t )＝0，又a·b ＝12，所以t ＝2.答案：28.如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，A ＝60°，点M 在AB 边上，且AM ＝13AB ，则DM →·DB →等于__________．解析：因为DM →＝DA →＋AM →＝DA →＋13AB →，DB →＝DA →＋AB →，所以DM →·DB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DA →＋13AB →·(DA →＋AB →)＝|DA →|2＋13|AB →|2＋43DA →·AB →＝1＋43－43AD →·AB →＝73－43|AD →|·|AB →|·cos 60°＝73－43×1×2×12＝1.答案：19．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解析：(1)若m ⊥n ，则m ·n ＝0. 由向量数量积的坐标公式得22sin x －22·cos x ＝0，∴tan x ＝1. (2)∵m 与n 的夹角为π3，∴m ·n ＝|m ||n |cos π3＝1×1×12＝12，即22sin x －22cos x ＝12， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝12. 又∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴x －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4， ∴x －π4＝π6，即x ＝5π12.10．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，m ·n ＝sin 2C . (1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求边c 的长． 解析：(1)m ·n ＝sin A ·cos B ＋sin B ·cos A ＝sin(A ＋B )， 对于△ABC ，A ＋B ＝π－C,0<C <π， ∴sin(A ＋B )＝sin C ， ∴m ·n ＝sin C ，又m ·n ＝sin 2C ，∴sin 2C ＝sin C ，cos C ＝12，C ＝π3.(2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，可得2sin C ＝sin A ＋sin B ，由正弦定理得2c ＝a ＋b . ∵CA →·(AB →－AC →)＝18， ∴CA →·CB →＝18，即ab cos C ＝18，ab ＝36.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ， ∴c 2＝4c 2－3×36，c 2＝36，∴c ＝6.B 组 能力提升练1．已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n ⊥(tm ＋n )，则实数t 的值为( )A ．4B ．－4C.94 D ．－94解析：由n ⊥(tm ＋n )可得n ·(tm ＋n )＝0，即tm·n ＋n 2＝0，所以t ＝－n 2m·n ＝－n 2|m |·|n |cos 〈m ，n 〉＝－|n |2|m |×|n |×13＝－3×|n ||m |＝－3×43＝－4.故选B.答案：B2．在△ABC 中，∠C ＝90°，且|CA →|＝|CB →|＝3，点M 满足：BM →＝2MA →，则CM →·CB →＝( )A ．6B ．4C ．3D ．2解析：由题意可得CM →＝CB →＋BM →＝CB →＋23BA →＝CB →＋23(CA →－CB →)＝23CA →＋13CB →，∴CM →·CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23CA →＋13CB →·CB →＝23CA →·CB →＋13CB 2→＝0＋13×9＝3，故选C.答案：C3．在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2,1)，则AD →·AC →＝( ) A ．5 B ．4 C ．3D ．2 解析：由四边形ABCD 是平行四边形，知AC →＝AB →＋AD →＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，故AD →·AC →＝(2,1)·(3，－1)＝2×3＋1×(－1)＝5. 答案：A4．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( ) A ．－58B.18C.14D.118解析：如图所示，AF →＝AD →＋DF →.又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且DE ＝2EF ，所以AD →＝12AB →，DF →＝12AC →＋14AC →＝34AC →，所以AF →＝12AB →＋34AC →.又BC →＝AC →－AB →，则AF →·BC→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋34AC →·(AC →－AB →)＝12AB →·AC →－12AB →2＋34AC →2－34AC →·AB →＝34AC →2－12AB →2－14AC →·AB →.又|AB →|＝|AC →|＝1，∠BAC ＝60°，故AF →·BC →＝34－12－14×1×1×12＝18.故选B.答案：B5．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.解析：依题意，可知|2a －b |2＝4|a |2－4a ·b ＋|b |2＝4－4|a |·|b |cos 45°＋|b |2＝4－22|b |＋|b |2＝10，即|b |2－22|b |－6＝0，则|b |＝22＋322＝32(负值舍去)． 答案：3 26．在△ABC 中，点M 是边BC 的中点，|AB →|＝4，|AC →|＝3，则AM →·BC →＝________. 解析：AM →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(|AC →|2－|AB →|2)＝12×(9－16)＝－72.答案：－727．(2017·高考江苏卷)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值．解析：(1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ，所以－3cos x ＝3sin x . 若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾，故cos x ≠0. 于是tan x ＝－33. 又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6.(2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， 从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤32.于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取到最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取到最小值－2 3.8．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行． (1)求A ；(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积． 解析：(1)因为m ∥n ， 所以a sin B －3b cos A ＝0，由正弦定理，得sin A sin B －3sin B cos A ＝0， 又sin B ≠0，从而tan A ＝3， 由于0<A <π，所以A ＝π3.(2)法一：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，及a ＝7，b ＝2，A ＝π3，得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0， 因为c >0，所以c ＝3.故△ABC 的面积为12bc sin A ＝332.法二：由正弦定理，得7sin π3＝2sin B ，从而sin B ＝217， 又由a >b ，知A >B ，所以cos B ＝277.故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3 ＝sin B cos π3＋cos B sin π3＝32114.所以△ABC 的面积为12ab sin C ＝332.。
平面向量数量积练习题
平面向量数量积练习题平面向量数量积练习题平面向量数量积教学要生掌握平面向量数量积的概念、几何意义、性质、运算律及坐标表示，分享了平面向量数量积的练习题，欢迎借鉴！一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．设i，j是互相垂直的单位向量，向量a＝(m＋1)i－3j，b＝i＋(m－1)j，(a＋b)⊥(a－b)，则实数m的值为( )A．－2 B．2C．－12 D．不存在解析：由题设知：a＝(m＋1，－3)，b＝(1，m－1)，∴a＋b＝(m＋2，m－4)，a－b＝(m，－m－2)．∵(a＋b)⊥(a－b)，∴(a＋b)(a－b)＝0，∴m(m＋2)＋(m－4)(－m－2)＝0，解之得m＝－2.故应选A.答案：A2．设a，b是非零向量，若函数f(x)＝(xa＋b)(a－xb)的图象是一条直线，则必有( )A．a⊥b B．a∥bC．|a|＝|b| D．|a|≠|b|解析：f(x)＝(xa＋b)(a－xb)的图象是一条直线，即f(x)的表达式是关于x的一次函数．而(xa＋b)(a－xb)＝x|a|2－x2ab＋ab－x|b|2，故ab＝0，又∵a，b为非零向量，∴a⊥b，故应选A.答案：A3．向量a＝(－1,1)，且a与a＋2b方向相同，则ab的范围是( ) A．(1，＋∞) B．(－1,1)C．(－1，＋∞) D．(－∞，1)解析：∵a与a＋2b同向，∴可设a＋2b＝λa(λ>0)，则有b＝λ－12a，又∵|a|＝12＋12＝2，∴ab＝λ－12|a|2＝λ－12×2＝λ－1>－1，∴ab的范围是(－1，＋∞)，故应选C.答案：C4．已知△ABC中， ab<0，S△ABC＝154，|a|＝3，|b|＝5，则∠BAC等于( )A．30° B．－150°C．150° D．30°或150°解析：∵S△ABC＝12|a||b|sin∠BAC＝154，∴sin∠BAC＝12，又ab<0，∴∠BAC为钝角，∴∠BAC＝150°.答案：C5．(2010辽宁)平面上O，A，B三点不共线，设则△OAB的面积等于( )A.|a|2|b|2－(ab)2B.|a|2|b|2＋(ab)2C.12|a|2|b|2－(ab)2D.12|a|2|b|2＋(ab)2解析：cos〈a，b〉＝ab|a||b|，sin∠AOB＝1－cos2〈a，b〉＝1－ab|a||b|2，所以S△OAB＝12|a||b|sin∠AOB＝12|a|2|b|2－(ab)2.答案：C6．(2010湖南)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则等于( ) A．－16 B．－8C．8 D．16解析：解法一：因为cosA＝ACAB，故 cosA＝AC2＝16，故选D.解法二：在上的投影为| |cosA＝| |，故 cosA＝AC2＝16，故选D.答案：D二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)7．(2010江西)已知向量a，b满足|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a上的投影是________．解析：b在a上的投影是|b|cos〈a，b〉＝2cos60°＝1.答案：18．(2010浙江)已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．解析：由于α⊥(α－2β)，所以α(α－2β)＝|α|2－2αβ＝0，故2αβ＝1，所以|2α＋β|＝4|α|2＋4αβ＋|β|2＝4＋2＋4＝10.答案：109．已知|a|＝2，|b|＝2，a与b的夹角为45°，要使λb－a与a垂直，则λ＝________.解析：由λb－a与a垂直，(λb－a)a＝λab－a2＝0，所以λ＝2.答案：210．在△ABC中，O为中线AM上的'一个动点，若AM＝2，则 )的最小值是________．解析：令| |＝x且0≤x≤2，则| |＝2－x.＝－2(2－x)x＝2(x2－2x)＝2(x－1)2－2≥－2.∴ 的最小值为－2.答案：－2三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．已知|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为45°，求使向量(2a＋λb)与(λa－3b)的夹角是锐角的λ的取值范围．解：由|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为45°，则ab＝|a||b|cos45°＝2×1×22＝1.而(2a＋λb)(λa－3b)＝2λa2－6ab＋λ2ab－3λb2＝λ2＋λ－6.设向量(2a＋λb)与(λa－3b)的夹角为θ，则cosθ＝(2a＋λb)(λa－3b)|2a＋λb||λa－3b|>0，且cosθ≠1，∴(2a＋λb)(λa－3b)>0，∴λ2＋λ－6>0，∴λ>2或λ<－3.假设cosθ＝1，则2a＋λb＝k(λa－3b)(k>0)，∴2＝kλ，λ＝－3k，解得k2＝－23.故使向量2a＋λb和λa－3b夹角为0°的λ不存在．所以当λ>2或λ<－3时，向量(2a＋λb)与(λa－3b)的夹角是锐角．评析：由于两个非零向量a，b的夹角θ满足0°≤θ≤180°，所以用cosθ＝ab|a||b|去判断θ分五种情况：cosθ＝1，θ＝0°；cosθ＝0，θ＝90°；cosθ＝－1，θ＝180°；cosθ<0且cosθ≠－1，θ为钝角；cosθ>0且cosθ≠1，θ为锐角．12．设在平面上有两个向量a＝(cosα，sinα)(0°≤α<360°)，b＝－12，32.(1)求证：向量a＋b与a－b垂直；(2)当向量3a＋b与a－3b的模相等时，求α的大小．解：(1)证明：因为(a＋b)(a－b)＝|a|2－|b|2＝(cos2α＋sin2α)－14＋34＝0，故a＋b与a－b垂直．(2)由|3a＋b|＝|a－3b|，两边平方得3|a|2＋23ab＋|b|2＝|a|2－23ab＋3|b|2，所以2(|a|2－|b|2)＋43ab＝0，而|a|＝|b|，所以ab＝0，则－12cosα＋32sinα＝0，即cos(α＋60°)＝0，∴α＋60°＝k180°＋90°，即α＝k180°＋30°，k∈Z，又0°≤α<360°，则α＝30°或α＝210°.13．已知向量a＝(cos(－θ)，sin(－θ))，b＝cosπ2－θ，sinπ2－θ，(1)求证：a⊥b；(2)若存在不等于0的实数k和t，使x＝a＋(t2＋3)b，y＝－ka＋tb满足x⊥y，试求此时k＋t2t的最小值．解：(1)证明：∵ab＝cos(－θ)cosπ2－θ＋sin(－θ)sinπ2－θ＝sinθcosθ－sinθcosθ＝0.∴a⊥b.(2)由x⊥y，得xy＝0，即[a＋(t2＋3)b](－ka＋tb)＝0，∴－ka2＋(t3＋3t)b2＋[t－k(t2＋3)]ab＝0，∴－k|a|2＋(t3＋3t)|b|2＝0.又|a|2＝1，|b|2＝1，∴－k＋t3＋3t＝0，∴k＝t3＋3t，∴k＋t2t＝t3＋t2＋3tt＝t2＋t＋3＝t＋122＋114.故当t＝－12时，k＋t2t有最小值114.。
10年高考真题-平面向量的数量积及其应用
5.2 平面向量的数量积及其应用考点一 平面向量的数量积1.(2020课标Ⅲ理,6,5分)已知向量a,b 满足|a|=5,|b|=6,a ·b=-6,则cos<a,a+b>=( ) A.-3135 B.-1935 C.1735 D.1935 答案 D 由题意得cos<a,a+b>=a ·(a+b)|a|·|a+b|=2|a|·√a 2+b +2a ·b=5×√25+36-12=1935.故选D.2.(2020课标Ⅱ,5,5分)已知单位向量a,b 的夹角为60°,则在下列向量中,与b 垂直的是( ) A.a+2b B.2a+b C.a-2b D.2a-b答案 D 解法一:要判断A 、B 、C 、D 四个选项中的向量哪个与b 垂直,只需判断这四个向量哪个与b 的数量积为零即可.A.(a+2b)·b=a ·b+2b 2=|a||b|cos 60°+2|b|2=1×1×cos 60°+2×12=52≠0. B.(2a+b)·b=2a ·b+b 2=2|a||b|cos 60°+|b|2=2×1×1×cos 60°+12=2≠0. C.(a-2b)·b=a ·b-2b 2=|a||b|cos 60°-2|b|2=1×1×cos 60°-2×12=-32≠0. D.(2a-b)·b=2a ·b-b 2=2|a||b|cos 60°-|b|2=2×1×1×cos 60°-12=0.故选D. 解法二:由于a 与b 均为单位向量,且夹角为60°,所以可设a=(1,0),b=(12,√32). 对于选项A,a+2b=(2,√3),则b ·(a+2b)=12×2+√32×√3=52≠0,所以b 与a+2b 不垂直; 对于选项B,2a+b=(52,√32),则b ·(2a+b)=12×52+√32×√32=2≠0,所以b 与2a+b 不垂直; 对于选项C,a-2b=(0,-√3),则b ·(a-2b)=12×0-√32×√3=-32≠0,所以b 与a-2b 不垂直; 对于选项D,2a-b=(32,-√32),则b ·(2a-b)=12×32-√32×√32=0,所以b 与2a-b 垂直. 故选D.3.(2019课标Ⅱ,3,5分)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|=( ) A.√2 B.2 C.5√2 D.50答案 A 本题主要考查平面向量的坐标运算以及向量模的计算;考查数学运算的核心素养. ∵a=(2,3),b=(3,2),∴|a|2=13,|b|2=13,a ·b=12,则|a-b|=√a 2-2a ·b +b 2=√13-2×12+13=√2.故选A. 一题多解 ∵a=(2,3),b=(3,2),∴a-b=(-1,1),∴|a-b|=√(-1)2+12=√2,故选A.4.(2016课标Ⅲ,3,5分)已知向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,12),则∠ABC=( ) A.30° B.45° C.60° D.120° 答案 A 由已知得cos ∠ABC=BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ |BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|·|BC ⃗⃗⃗⃗⃗|=√32,所以∠ABC=30°,故选A.5.(2016天津文,7,5分)已知△ABC 是边长为1的等边三角形,点D,E 分别是边AB,BC 的中点,连接DE 并延长到点F,使得DE=2EF,则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A.-58 B.18 C.14 D.118 答案 B 建立如图所示的平面直角坐标系.则B (-12,0),C (12,0),A (0,√32),所以BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0). 易知DE=12AC,∠FEC=∠ACE=60°,则EF=14AC=14, 所以点F 的坐标为(18,-√38),所以AF⃗⃗⃗⃗⃗ =(18,-5√38), 所以AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(18,-5√38)·(1,0)=18.故选B. 疑难突破 利用公式a ·b=|a||b|cos<a,b>求解十分困难,可以考虑建立适当的平面直角坐标系,利用坐标运算求解.确定点F 的坐标是解题的关键.评析 本题考查了向量的坐标运算和向量的数量积,考查运算求解能力和数形结合思想. 6.(2016课标Ⅱ理,3,5分)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m=( ) A.-8 B.-6 C.6 D.8答案 D 由题可得a+b=(4,m-2),又(a+b)⊥b,∴4×3-2×(m-2)=0,∴m=8.故选D. 7.(2015山东理,4,5分)已知菱形ABCD 的边长为a,∠ABC=60°,则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.-32a 2 B.-34a 2 C.34a 2 D.32a 2答案 D BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=12a 2+a 2=32a 2.8.(2015课标Ⅱ文,4,5分)向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=( ) A.-1 B.0 C.1 D.2答案 C 因为2a+b=2(1,-1)+(-1,2)=(2,-2)+(-1,2)=(1,0),所以(2a+b)·a=(1,0)·(1,-1)=1×1+0×(-1)=1.故选C. 9.(2015四川理,7,5分)设四边形ABCD 为平行四边形,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6,|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4.若点M,N 满足BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·NM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.20 B.15 C.9 D.6答案 C 依题意有AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13DC ⃗⃗⃗⃗⃗ -14BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -14BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -14BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-316BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=9.故选C.10.(2015福建文,7,5分)设a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若b ⊥c,则实数k 的值等于( ) A.-32B.-53C.53D.32答案 A c=a+kb=(1+k,2+k).由b ⊥c,得b ·c=0,即1+k+2+k=0,解得k=-32.故选A.11.(2015广东文,9,5分)在平面直角坐标系xOy 中,已知四边形ABCD 是平行四边形,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1),则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.5 B.4 C.3 D.2答案 A ∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,-1),∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×3+1×(-1)=5.选A. 12.(2015重庆理,6,5分)若非零向量a,b 满足|a|=2√23|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a 与b 的夹角为( )A.π4 B.π2 C.3π4 D.π答案 A ∵(a-b)⊥(3a+2b),∴(a-b)·(3a+2b)=0⇒3|a|2-a ·b-2|b|2=0⇒3|a|2-|a|·|b|·cos <a,b>-2|b|2=0. 又∵|a|=2√23|b|,∴83|b|2-2√23|b|2·cos <a,b>-2|b|2=0.∴cos <a,b>=√22.∵<a,b>∈[0,π], ∴<a,b>=π4.选A.13.(2015重庆文,7,5分)已知非零向量a,b 满足|b|=4|a|,且a ⊥(2a+b),则a 与b 的夹角为( ) A.π3 B.π2 C.2π3 D.5π6 答案 C 因为a ⊥(2a+b),所以a ·(2a+b)=0, 得到a ·b=-2|a|2,设a 与b 的夹角为θ,则cos θ=a ·b |a||b|=-2|a|24|a|2=-12,又0≤θ≤π,所以θ=2π3,故选C.14.(2014课标Ⅱ,理3,文4,5分)设向量a,b 满足|a+b|=√10,|a-b|=√6,则a ·b=( ) A.1 B.2 C.3 D.5 答案 A ∵|a+b|=√10,∴a 2+2a ·b+b 2=10.① 又|a-b|=√6,∴a 2-2a ·b+b 2=6.② ①-②,得4a ·b=4,即a ·b=1,故选A.15.(2014大纲全国文,6,5分)已知a 、b 为单位向量,其夹角为60°,则(2a-b)·b=( ) A.-1 B.0 C.1 D.2答案 B (2a-b)·b=2a ·b-|b|2=2×1×1×cos 60°-12=0,故选B.16.(2014大纲全国理,4,5分)若向量a 、b 满足:|a|=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,则|b|=( ) A.2 B.√2 C.1 D.√22答案 B 由题意得{(a +b)·a =a 2+a ·b =0,(2a +b)·b =2a ·b +b 2=0⇒-2a 2+b 2=0,即-2|a|2+|b|2=0,又|a|=1,∴|b|=√2.故选B. 17.(2020课标Ⅱ理,13,5分)已知单位向量a,b 的夹角为45°,ka-b 与a 垂直,则k= . 答案√22解析 因为(ka-b)·a=ka 2-a ·b=0,且单位向量a,b 的夹角为45°,所以k-√22=0,即k=√22.18.(2020课标Ⅰ理,14,5分)设a,b 为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|= . 答案 √3解析 由|a+b|=1,得|a+b|2=1,即a 2+b 2+2a ·b=1,而|a|=|b|=1,故a ·b=-12,|a-b|=√|a -b|2=√a 2+b 2-2a ·b =√1+1+1=√3.19.(2020浙江,17,4分)已知平面单位向量e 1,e 2,满足|2e 1-e 2|≤√2.设a=e 1+e 2,b=3e 1+e 2,向量a,b 的夹角为θ,则cos 2θ的最小值是 . 答案2829解析 由题可知{a =e 1+e 2,b =3e 1+e 2⇔{e 1=b -a2,e 2=3a -b 2,从而{ |b -a2|=1,|3a -b2|=1,|3b -5a 2|≤√2⇔{|b -a|=2,|3a -b|=2,|3b -5a|≤2√2 ⇔{a 2-2a ·b +b 2=4①,9a 2-6a ·b +b 2=4②,25a 2-30a ·b +9b 2≤8③,由①②可得{a ·b =2a 2④,b 2=4+3a 2⑤,代入③可得a 2≥72, 从而cos θ=a ·b |a||b|=2a 2|a||b|=2|a||b|=2√|a|24+3|a|2=2√14|a|2+3≥2√729,所以cos 2θ≥2829,故cos 2θ的最小值为2829.20.(2018上海,8,5分)在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0)、B(2,0),E 、F 是y 轴上的两个动点,且|EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 . 答案 -3解析 本题主要考查数量积的运算以及二次函数的最值问题.设E(0,m),F(0,n),又A(-1,0),B(2,0), ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,m),BF⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,n). ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2+mn,又知|EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2, ∴|m-n|=2.①当m=n+2时,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =mn-2=(n+2)n-2=n 2+2n-2=(n+1)2-3. ∴当n=-1,即E(0,1),F(0,-1)时,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值-3. ②当m=n-2时,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =mn-2=(n-2)n-2=n 2-2n-2=(n-1)2-3. ∴当n=1,即E(0,-1),F(0,1)时,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值-3. 综上可知,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为-3.21.(2017山东理,12,5分)已知e 1,e 2是互相垂直的单位向量.若√3e 1-e 2与e 1+λe 2的夹角为60°,则实数λ的值是 . 答案√33解析 本题考查向量的坐标运算和向量的夹角公式.由题意不妨设e 1=(1,0),e 2=(0,1),则√3e 1-e 2=(√3,-1),e 1+λe 2=(1,λ).根据向量的夹角公式得cos =√3,2√1+λ=√3-2√1+λ=12,所以√3-λ=√1+λ2,解得λ=√33.疑难突破 根据“e 1,e 2是互相垂直的单位向量”将原问题转化为向量的坐标运算是解决本题的突破口. 易错警示 对向量的夹角公式掌握不牢而致错.22.(2017课标Ⅰ理,13,5分)已知向量a,b 的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|= . 答案 2√3解析 本题考查向量数量积的计算.由题意知a ·b=|a|·|b|cos 60°=2×1×12=1,则|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4|b|2+4a ·b=4+4+4=12. 所以|a+2b|=2√3.23.(2016江苏,13,5分)如图,在△ABC 中,D 是BC 的中点,E,F 是AD 上的两个三等分点,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =4,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =-1,则BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CE⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是 .答案78解析 解法一:(坐标法) 建立直角坐标系,设D(0,0),A(3b,3c),B(-a,0),C(a,0),E(2b,2c),F(b,c),则AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(-a-3b,-3c),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a-3b,-3c),BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =9b 2+9c 2-a 2=4,FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-a-b,-c),FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a-b,-c),BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b 2+c 2-a 2=-1,EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-a-2b,-2c),EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a-2b,-2c),BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4b 2+4c 2-a 2, 由{9b 2+9c 2-a 2=4,b 2+c 2-a 2=-1,得b 2+c 2=58,a 2=138, 所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =4×58-138=78. 解法二:先证明一个三角形中与中点有关的向量公式.BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2, BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(FD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(FD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(FD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(FD ⃗⃗⃗⃗⃗ -DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=|FD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=19|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(ED ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(ED ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(ED ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(ED ⃗⃗⃗⃗⃗ -DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=|ED ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=49|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2,设|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=m,|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=n,由题意可得{m 2-n 2=4,m 29-n 2=-1, 解得m 2=458,n 2=138,所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =49m 2-n 2=49×458-138=78.24.(2016课标Ⅰ,理13,5分)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m= . 答案 -2解析 由|a+b|2=|a|2+|b|2,知a ⊥b,∴a ·b=m+2=0,∴m=-2. 评析 本题考查向量数量积及向量的模,难度不大.25.(2016课标Ⅰ文,13,5分)设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a ⊥b,则x= . 答案 -23解析 因为a ⊥b,所以x+2(x+1)=0,解得x=-23.易错警示 混淆两向量平行与垂直的条件是造成失分的主要原因.26.(2016山东文,13,5分)已知向量a=(1,-1),b=(6,-4).若a ⊥(ta+b),则实数t 的值为 . 答案 -5解析 因为a ⊥(ta+b),所以a ·(ta+b)=0,即ta 2+a ·b=0,又因为a=(1,-1),b=(6,-4),所以|a|=√2,a ·b=1×6+(-1)×(-4)=10,因此可得2t+10=0,解得t=-5.评析 本题主要考查向量的数量积运算,向量的模以及两向量垂直的充要条件等基础知识,考查学生的运算求解能力以及方程思想的应用.27.(2016北京文,9,5分)已知向量a=(1,√3),b=(√3,1),则a 与b 夹角的大小为 . 答案π6解析 ∵cos<a,b>=a ·b|a|·|b|=1×√3+√3×12×2=√32, ∴a 与b 夹角的大小为π6.28.(2015浙江,13,4分)已知e 1,e 2是平面单位向量,且e 1·e 2=12.若平面向量b 满足b ·e 1=b ·e 2=1,则|b|= . 答案23√3 解析 令e 1与e 2的夹角为θ,∴e 1·e 2=|e 1|·|e 2|cos θ=cos θ=12,又0°≤θ≤180°,∴θ=60°.因为b ·(e 1-e 2)=0,所以b 与e 1、e 2的夹角均为30°,从而|b|=1cos30°=23√3.29.(2014重庆文,12,5分)已知向量a 与b 的夹角为60°,且a=(-2,-6),|b|=√10,则a ·b= . 答案 10解析 由a=(-2,-6),得|a|=√(-2)2+(-6)2=2√10, ∴a ·b=|a||b|cos<a,b>=2√10×√10×cos 60°=10. 30.(2014课标Ⅰ理,15,5分)已知A,B,C 为圆O 上的三点,若AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为 . 答案 90°解析 由AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ )可知O 为BC 的中点,即BC 为圆O 的直径,又因为直径所对的圆周角为直角,所以∠BAC=90°,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为90°.31.(2014湖北文,12,5分)若向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-3),|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |= . 答案 2√5解析 |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∵|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√12+(-3)2=√10,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, ∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√20=2√5,故答案为2√5.32.(2014湖北理,11,5分)设向量a=(3,3),b=(1,-1).若(a +λb)⊥(a-λb),则实数λ= . 答案 ±3解析 |a|=3√2,|b|=√2,a ·b=3×1+3×(-1)=0.因为(a +λb)⊥(a-λb),所以(a +λb)·(a-λb)=|a|2-λ2|b|2=18-2λ2=0.故λ=±3.33.(2013课标Ⅱ,理13,文14,5分)已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = . 答案 2解析 解法一:AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=22-12×22=2.解法二:以A 为原点建立平面直角坐标系(如图),可得A(0,0),E(1,2),B(2,0),C(2,2),D(0,2),AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,2),则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1×(-2)+2×2=2.34.(2013天津,理12,5分)在平行四边形ABCD 中,AD=1,∠BAD=60°,E 为CD 的中点.若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =1,则AB 的长为 . 答案12解析 易知AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,于是AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=-12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+12·|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·1·cos 60°+12=-12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+14|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+1,由已知AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =1,可得-12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+14|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+1=1,解得|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12.35.(2013课标Ⅰ,理13,文3,5分)已知两个单位向量a,b 的夹角为60°,c=ta+(1-t)b.若b ·c=0,则t= . 答案 2解析 解法一:∵b ·c=0,∴b ·[ta+(1-t)b]=0,ta ·b+(1-t)·b 2=0, 又∵|a|=|b|=1,<a,b>=60°, ∴12t+1-t=0,t=2.解法二:由t+(1-t)=1知向量a 、b 、c 的终点A 、B 、C 共线,在平面直角坐标系中设a=(1,0),b=(12,√32), 则c=(32,-√32).把a 、b 、c 的坐标代入c=ta+(1-t)b,得t=2.评析 本题考查了向量的运算,利用三点共线的条件得到c 的坐标是解题关键.36.(2012课标,理13,文13,5分)已知向量a,b 夹角为45°,且|a|=1,|2a-b|=√10,则|b|= . 答案 3√2解析 |2a-b|=√10两边平方得 4|a|2-4|a|·|b|cos 45°+|b|2=10. ∵|a|=1,∴|b|2-2√2|b|-6=0.∴|b|=3√2或|b|=-√2(舍去).评析 本题考查了向量的基本运算,考查了方程的思想.通过“平方”把向量转化为向量的数量积是求解的关键.37.(2012安徽文,11,5分)设向量a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m),若(a+c)⊥b,则|a|= . 答案 √2 解析 a+c=(3,3m), ∵(a+c)⊥b, ∴(a+c)·b=0, ∴3m+3+3m=0, ∴m=-12, ∴a=(1,-1),∴|a|=√12+(-1)2=√2.评析 本题主要考查向量的基本运算,考查了向量垂直的充要条件.38.(2011课标,文13,5分)已知a 与b 为两个不共线的单位向量,k 为实数,若向量a+b 与向量ka-b 垂直,则k= . 答案 1解析 由题意知|a|=1,|b|=1,<a,b>≠0且<a,b>≠π. 由a+b 与向量ka-b 垂直,得(a+b)·(ka-b)=0, 即k|a|2+(k-1)|a||b|·cos<a,b>-|b|2=0, (k-1)(1+cos<a,b>)=0.又1+cos<a,b>≠0, ∴k-1=0,k=1.评析 本题考查向量的模、向量的数量积等相关知识,考查学生的运算求解能力,属中等难度试题.考点二 平面向量数量积的应用1.(2018天津理,8,5分)如图,在平面四边形ABCD 中,AB ⊥BC,AD ⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E 为边CD 上的动点,则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为( )A.2116 B.32 C.2516 D.3 答案 A 本题主要考查数量积的综合应用.解法一:如图,以D 为原点,DA 所在直线为x 轴,DC 所在直线为y 轴,建立平面直角坐标系,则A(1,0),B (32,√32),C(0,√3),令E(0,t),t ∈[0,√3],∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,t)·(-32,t -√32)=t 2-√32t+32,∵t ∈[0,√3],∴当t=--√322×1=√34时,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值,(AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ )min =316-√32×√34+32=2116.故选A.解法二:令DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λDC ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1),由已知可得DC=√3, ∵AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λDC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λDC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λDC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λDC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+λDC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2 =3λ2-32λ+32.当λ=--322×3=14时,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值2116.故选A.方法总结 向量的最值问题常用数形结合的方法和函数的思想方法求解,建立函数关系时,可用平面向量基本定理,也可利用向量的坐标运算.2.(2017课标Ⅱ理,12,5分)已知△ABC 是边长为2的等边三角形,P 为平面ABC 内一点,则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )的最小值是( )A.-2B.-32 C.-43 D.-1答案 B 设BC 的中点为D,AD 的中点为E,则有PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PD ⃗⃗⃗⃗⃗ , 则PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(PE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EA ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(PE ⃗⃗⃗⃗⃗ -EA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2(PE ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-EA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2). 而AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(√32)2=34,当P 与E 重合时,PE ⃗⃗⃗⃗⃗ 2有最小值0,故此时PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC⃗⃗⃗⃗⃗ )取最小值, 最小值为-2EA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=-2×34=-32.方法总结 在求向量数量积的最值时,常用取中点的方法,如本题中利用PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =PE ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-EA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2可快速求出最值. 一题多解 以AB 所在直线为x 轴,AB 的中点为原点建立平面直角坐标系,如图,则A(-1,0),B(1,0),C(0,√3),设P(x,y),取BC 的中点D,则D (12,√32).PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(-1-x,-y)·(12-x,√32-y)=2[(x+1)·(x -12)+y ·(y -√32)]=2[(x+14)2+(y -√34)2-34]. 因此,当x=-14,y=√34时,PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )取得最小值,为2×(-34)=-32,故选B.3.(2017浙江,10,4分)如图,已知平面四边形ABCD,AB ⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC 与BD 交于点O.记I 1=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,I 2=OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,I 3=OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则( )A.I 1<I 2<I 3B.I 1<I 3<I 2C.I 3<I 1<I 2D.I 2<I 1<I 3 答案 C 如图,建立直角坐标系,则B(0,0),A(0,2),C(2,0).设D(m,n),由AD=2和CD=3,得{m 2+(n -2)2=4,(m -2)2+n 2=9, 从而有n-m=54>0,∴n>m . 从而∠DBC>45°,又∠BCO=45°, ∴∠BOC 为锐角.从而∠AOB 为钝角.故I 1<0,I 3<0,I 2>0. 又OA<OC,OB<OD,故可设OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-λ1OB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ1>1),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-λ2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ2>1), 从而I 3=OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1λ2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1λ2I 1, 又λ1λ2>1,I 1<0,I 3<0,∴I 3<I 1,∴I 3<I 1<I 2.故选C.4.(2016四川文,9,5分)已知正三角形ABC 的边长为2√3,平面ABC 内的动点P,M 满足|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则|BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2的最大值是( ) A.434 B.494 C.37+6√34D.37+2√334答案 B 以A 为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),C(2√3,0),B(√3,3). 设P(x,y),∵|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1, ∴x 2+y 2=1, ∵PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴M 为PC 的中点, ∴M (x+2√32,y2), ∴|BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(x+2√32-√3)2+(y2-3)2=x 24+y 24-3y+9 =14-3y+9=374-3y, 又∵-1≤y ≤1,∴当y=-1时,|BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2取得最大值,且最大值为494. 思路分析 由△ABC 为正三角形,|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,考虑到用建立平面直角坐标系的方法来解决向量问题. 评析 本题考查了向量的坐标运算,运用了转化与化归思想.5.(2015福建理,9,5分)已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1t ,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=t.若点P 是△ABC 所在平面内的一点,且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+4AC ⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗|,则PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值等于( ) A.13 B.15 C.19 D.21答案 A 以A 为原点,AB 所在直线为x 轴,AC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系,则B (1t,0)(t>0),C(0,t),P(1,4),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1t-1,-4)·(-1,t-4)=17-(4t +1t)≤17-2×2=13(当且仅当t =12时,取“=”),故PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为13,故选A. 6.(2019浙江,17,6分)已知正方形ABCD 的边长为1.当每个λi (i=1,2,3,4,5,6)取遍±1时,|λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值是 ,最大值是 . 答案 0;2√5解析 本题考查平面向量的坐标表示及坐标运算,在向量的坐标运算中涉及多个未知数据以此来考查学生的数据处理能力,数学运算及数据分析的核心素养. 如图,建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0),BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0),DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1), 故|λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | =|(λ1-λ3+λ5-λ6,λ2-λ4+λ5+λ6)|=√(λ1-λ3+λ5-λ6)2+(λ2-λ4+λ5+λ6)2.(*)显然(*)式中第一个括号中的λ1,λ3与第二个括号中的λ2,λ4的取值互不影响,∴只需讨论λ5与λ6的取值情况即可,当λ5与λ6同号时,不妨取λ5=1,λ6=1, 则(*)式即为√(λ1-λ3)2+(λ2-λ4+2)2,∵λ1,λ2,λ3,λ4∈{-1,1},∴λ1=λ3,λ2-λ4=-2(λ2=-1,λ4=1)时,(*)式取最小值0,当|λ1-λ3|=2(如λ1=1,λ3=-1),λ2-λ4=2(λ2=1,λ4=-1)时,(*)式取最大值2√5,当λ5与λ6异号时,不妨取λ5=1,λ6=-1,则(*)式即为√(λ1-λ3+2)2+(λ2-λ4)2. 同理可得最小值仍为0,最大值仍为2√5, 综上,最小值为0,最大值为2√5.解题关键 本题未知量比较多,所以给学生的第一感觉是难,而实际上注意到图形为规则的正方形,λi (i=1,2,3,4,5,6)的取值只有两种可能(1或-1),这就给建系及讨论λi 的值创造了条件,也是求解本题的突破口.7.(2013北京文,14,5分)已知点A(1,-1),B(3,0),C(2,1).若平面区域D 由所有满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ (1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P 组成,则D 的面积为 . 答案 3解析 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2). 设P(x,y),由AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 得{x -1=2λ+μ,y +1=λ+2μ,故有{λ=2x -y -33,μ=-x+2y+33.又λ∈[1,2],μ∈[0,1],故有 {1≤2x -y -33≤2,0≤2y -x+33≤1,即{3≤2x -y -3≤6,0≤2y -x +3≤3.则平面区域D 如图中阴影部分所示.易知其面积为3.评析 本题考查了平面向量的坐标运算、线性规划等知识;同时又考查了转化及数形结合思想,综合能力要求较高.。
平面向量练习题及答案
平面向量练习题及答案1. 向量初步概念和运算(1) 已知向量a=3i+4j，求向量a的模长。
答案：|a| = √(3^2 + 4^2) = 5(2) 已知向量b=-2i+5j，求向量b的模长。
答案：|b| = √((-2)^2 + 5^2) = √29(3) 已知向量c=2i+3j，求向量c的模长和方向角（与x轴正方向的夹角）。
答案：|c| = √(2^2 + 3^2) = √13方向角θ = arctan(3/2)2. 向量的线性运算(1) 已知向量a=3i+4j，向量b=-2i+5j，求向量a+b。
答案：a+b = (3-2)i + (4+5)j = i + 9j(2) 已知向量a=3i+4j，向量b=2i-7j，求向量a-b。
答案：a-b = (3-2)i + (4-(-7))j = i + 11j(3) 已知向量a=3i+4j，求向量-2a的模长。
答案：|-2a| = |-2(3i+4j)| = |-6i-8j| = √((-6)^2 + (-8)^2) = 103. 向量的数量积与投影(1) 已知向量a=3i+4j，向量b=-2i+5j，求向量a·b的值。
答案：a·b = (3*-2) + (4*5) = -6 + 20 = 14(2) 已知向量a=3i+4j，向量b=-2i+5j，求向量a在b方向上的投影。
答案：a在b方向上的投影= (a·b)/|b| = 14/√294. 向量的夹角和垂直判定(1) 判断向量a=3i+4j和向量b=-2i+5j是否相互垂直。
答案：两个向量相互垂直的条件是a·b = 0。
计算得到a·b = 14，因此向量a和向量b不相互垂直。
(2) 已知向量a=3i+4j，向量b=-8i+6j，求向量a和向量b的夹角。
答案：向量a和向量b的夹角θ = arccos((a·b)/(∣a∣*∣b∣)) = arccos((-66)/(√25*√100))5. 向量共线和平面向量的应用(1) 已知向量a=3i+4j，向量b=-6i-8j，判断向量a和向量b是否共线。
平面向量的数量积与面积计算练习题
平面向量的数量积与面积计算练习题题1：计算向量a=(2,3)和向量b=(-1,4)的数量积。
解：向量a=(2,3)，向量b=(-1,4)。
根据数量积的定义，向量a和向量b的数量积等于它们对应分量的乘积之和。
所以，向量a和向量b的数量积为：2 × (-1) +3 ×4 = -2 + 12 = 10。
所以，向量a=(2,3)和向量b=(-1,4)的数量积为10。
题2：已知向量a=(3,5)，向量b的模长为4，且向量a和向量b的数量积为-6，求向量b。
解：已知向量a=(3,5)，向量b的模长为4，且向量a和向量b的数量积为-6。
设向量b=(x,y)，则根据数量积的定义，有：3x + 5y = -6 （1）又因为向量b的模长为4，所以有：x^2 + y^2 = 4^2 （2）解方程组（1）和（2），可以求得向量b的坐标。
将方程（1）中的3x替换为(-6 - 5y)，得到：(-6 - 5y) + 5y = -6化简得：-6 = -6由此可知方程（1）是一个恒等式，即无论向量b的坐标如何，方程（1）永远成立。
所以，向量b的坐标可以是任意值。
因此，向量b有无数个解。
题3：计算以向量a=(2,3)和向量b=(-1,4)为邻边所构成的平行四边形的面积。
解：以向量a=(2,3)和向量b=(-1,4)为邻边所构成的平行四边形的面积可以通过计算向量a和向量b的数量积的绝对值来求得。
向量a和向量b的数量积已在题1中计算过，结果为10。
平行四边形的面积等于两个邻边的数量积的绝对值。
所以，以向量a=(2,3)和向量b=(-1,4)为邻边所构成的平行四边形的面积为|10| = 10。
题4：已知向量a=(-3,4)，向量b=(1,2)，求以向量a和向量b为邻边所构成的平行四边形的面积。
解：已知向量a=(-3,4)和向量b=(1,2)。
先计算向量a和向量b的数量积。
向量a和向量b的数量积为：(-3) × 1 + 4 × 2 = -3 + 8 = 5。
高中数学6.2.4《向量的数量积》基础过关练习题
第六章 6.2 6.2.4A 级——基础过关练1．(2020年北京期末)已知平面向量满足a ＋b ＋c ＝0，且|a|＝|b|＝|c|＝1，则a·b 的值为( )A ．－12B ．12C ．－32D ．32【答案】A 【解析】∵a ＋b ＋c ＝0，∴a ＋b ＝－c.又|a|＝|b|＝|c|＝1，∴(a ＋b )2＝c 2，即1＋2a·b ＋1＝1.∴a·b ＝－12.故选A ．2．(2020年张家口月考)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，点E 满足AE →＝34AD→＋14AB →，则AE →·AC →＝( ) A ．83B ．43C ．6D ．4＋2 3【答案】C 【解析】如图，∵AB ＝AD ＝2，∠BAD ＝60°，AE →＝34AD →＋14AB →，∴AE →·AC →＝⎝⎛⎭⎫34AD →＋14AB →·(AD →＋AB →)＝34AD →2＋14AB →2＋AD →·AB →＝34×4＋14×4＋2×2×12＝6.故选C ．3．(多选)对于向量a ，b ，c 和实数λ，下列命题中错误的是( ) A ．若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0 B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0 C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b D ．若a·b ＝a·c ，则b ＝c【答案】ACD 【解析】A 中，若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0或a ⊥b ，故A 错；C 中，若a 2＝b 2，则|a|＝|b |，C 错；D 中，若a·b ＝a·c ，则可能有a ⊥b ，a ⊥c ，但b ≠c ，D 错．故只有选项B 正确．故选ACD ．4．(2020年沈阳月考)已知a ，b 均为单位向量，若a ，b 夹角为2π3，则|a －b|＝( )A ．7B ．6C ．5D ． 3【答案】D 【解析】∵|a|＝|b|＝1，〈a ，b 〉＝2π3，∴(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝1－2×1×1×⎝⎛⎭⎫－12＋1＝3.∴|a －b |＝ 3.故选D ． 5．(2020年岳阳月考)已知平面向量a ，b 满足|a|＝2，|b|＝1且(2a －b )·(a ＋2b )＝9，则向量a ，b 的夹角θ为( )A ．2π3B ．π2C ．π3D ．π6【答案】C 【解析】∵|a|＝2，|b|＝1，∴(2a －b )·(a ＋2b )＝2a 2－2b 2＋3a·b ＝8－2＋3a·b ＝9.∴a·b ＝1.∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝12.又0≤〈a ，b 〉≤π，∴〈a ，b 〉＝π3.故选C ．6．P 是△ABC 所在平面上一点，若P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，则P 是△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心D ．垂心【答案】D 【解析】由P A →·PB →＝PB →·PC →得PB →·(P A →－PC →)＝0，即PB →·CA →＝0，∴PB ⊥CA ．同理P A ⊥BC ，PC ⊥AB ，∴P 为△ABC 的垂心．7．已知e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a·b ＝0，则实数k 的值为________．【答案】54 【解析】由a·b ＝0得(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝0.整理，得k －2＋(1－2k )cos 2π3＝0，解得k ＝54.8．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a|＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.【答案】32 【解析】|2a －b |＝10⇔(2a －b )2＝10⇔4＋|b|2－4|b |cos 45°＝10⇔|b |＝3 2. 9．已知非零向量a ，b ，满足|a|＝1，(a －b )·(a ＋b )＝12，且a·b ＝12.(1)求向量a ，b 的夹角； (2)求|a －b |.解：(1)因为(a －b )·(a ＋b )＝12，所以a 2－b 2＝12，即|a|2－|b|2＝12.又|a|＝1，所以|b|＝22.设向量a ，b 的夹角为θ，因为a·b ＝12，所以|a|·|b|cos θ＝12，得cos θ＝22.因为0°≤θ≤180°，即θ＝45°，所以向量a ，b 的夹角为45°. (2)因为|a －b|2＝(a －b )2＝|a|2－2a·b ＋|b|2＝12，所以|a －b|＝22. 10．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求|a ＋b|；(2)求向量a 与向量a ＋b 的夹角的余弦值．解：(1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，∴4|a|2－4a·b －3|b|2＝61.∵|a|＝4，|b|＝3，∴a·b ＝－6.∴|a ＋b|＝|a|2＋|b|2＋2a·b ＝42＋32＋2×(－6)＝13.(2)∵a·(a ＋b )＝|a|2＋a·b ＝42－6＝10，∴向量a 与向量a ＋b 的夹角的余弦值为a·(a ＋b )|a||a ＋b|＝10413＝51326.B 级——能力提升练11．下列命题中错误的是( )A ．对于任意向量a ，b ，有|a ＋b|≤|a|＋|b|B ．若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0C ．对于任意向量a·b ，有|a·b|≤|a||b|D ．若a ，b 共线，则a·b ＝±|a||b|【答案】B 【解析】当a ⊥b 时，a·b ＝0也成立，故B 错误．12．(2020年黄山月考)已知非零向量a ，b 满足(a ＋2b )·a ＝0且|a|＝|b|，则向量a ，b 的夹角为( )A ．π6B ．π3C ．5π6D ．2π3【答案】D 【解析】∵|a|＝|b|≠0，∴(a ＋2b )·a ＝a 2＋2a·b ＝a 2＋2|a||b |cos 〈a ，b 〉＝a 2＋2a 2·cos 〈a ，b 〉＝0.∴1＋2cos 〈a ，b 〉＝0，则cos 〈a ，b 〉＝－12.又0≤〈a ，b 〉≤π，∴〈a ，b 〉＝2π3.故选D ．13．在△ABC 中，若AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．直角三角形【答案】D 【解析】因为AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →，所以AB →2－AB →·AC →＝BA →·BC →＋CA →·CB →，所以AB →·(AB →－AC →)＝BC →·(BA →－CA →)，所以AB →·CB →＝BC →2，所以BC →·(BC →＋AB →)＝0，所以BC →·AC →＝0，所以AC ⊥BC ，所以△ABC 是直角三角形．14．(2020年岳阳月考)在△ABC 中，AB →·BC →＝0，|AB →|＝|BC →|＝32，AD →＝2DC →，则BD →·CA →＝( )A ．4B ．－6C ．6D ．－3 3【答案】B 【解析】如图，由AD →＝2DC →得BD →＝AD →－AB →＝23AC →＋BA →＝23(BC →－BA →)＋BA→＝23BC →＋13BA →，CA →＝BA →－BC →.又∵AB →·BC →＝0，|AB →|＝|BC →|＝32，∴BD →·CA →＝⎝⎛⎭⎫23BC →＋13BA →·(BA →－BC →)＝－23BC →2＋13BA →2＝－23×18＋13×18＝－6.故选B ．15．若非零向量a ，b 满足|a|＝3|b|＝|a ＋2b|，则a 与b 夹角的余弦值为________． 【答案】－13 【解析】∵|a|＝3|b|＝|a ＋2b|，∴|a|2＝9|b|2＝(a ＋2b )2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b.∴a·b＝－|b|2.∴cos 〈a ，b 〉＝a·b|a||b|＝－|b|23|b|·|b|＝－13.16．已知向量a ，b 满足：|a|＝1，|b|＝6，a·(b －a )＝2，则a 与b 的夹角为________；|2a －b |＝________.【答案】π3 27 【解析】由于a·(b －a )＝a·b －a 2＝a·b －1＝2，则a·b ＝3.设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a||b |＝12.又θ∈[0，π]，所以θ＝π3.因为|2a －b|2＝4a 2－4a·b ＋b 2＝28，所以|2a －b|＝27.17．已知|a|＝5，|b|＝4，a 与b 的夹角为60°，试问：当k 为何值时，向量k a －b 与a ＋2b 垂直？解：∵(k a －b )⊥(a ＋2b )，∴(k a －b )·(a ＋2b )＝0，即k a 2＋(2k －1)a·b －2b 2＝0，即k ×52＋(2k －1)×5×4×cos 60°－2×42＝0.∴k ＝1415.∴当k ＝1415时，向量k a －b 与a ＋2b 垂直．18．设两个向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．解：由向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角θ为钝角，得cos θ＝(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)|2t e 1＋7e 2||e 1＋t e 2|<0，∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0，化简得2t 2＋15t ＋7<0，解得－7<t <－12.当夹角为π时，也有(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0，但此时夹角不是钝角． 设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)，λ<0， 则⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ，7＝λt ，λ<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－14，t ＝－142.∴所求实数t 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－7，－142∪⎝⎛⎭⎫－142，－12. C 级——探索创新练19．(多选)已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为θ，则下列结论正确的是( ) A ．e 1在e 2方向上的投影向量为cos θe 2B ．e 21＝e 22C ．(e 1＋e 2)⊥(e 1－e 2)D ．e 1·e 2＝1【答案】ABC 【解析】因为两个单位向量e 1，e 2的夹角为θ，则|e 1|＝|e 2|＝1，则e 1在e 2方向上的投影向量为|e 1|cos θe 2＝cos θe 2，故A 正确；e 21＝e 22＝1，故B 正确；(e 1＋e 2)·(e 1－e 2)＝e 21－e 22＝0，故(e 1＋e 2)⊥(e 1－e 2)，故C 正确；e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos θ＝cos θ，故D 错误． 20．如图所示，等腰梯形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，若E ，F 分别是BC ，AB 上的点，且满足BE BC ＝AF AB＝λ，当AE →·DF →＝0时，则λ的值为________．【答案】7－334 【解析】由AB ＝4，BC ＝CD ＝2，得AD →与BC →的夹角为60°，则AB →·AD→＝4×2×12＝4，AB →·BC →＝4×2×⎝⎛⎭⎫－12＝－4，AD →·BC →＝2×2×12＝2.∵BE BC ＝AF AB ＝λ，∴BE →＝λBC →，AF →＝λAB →，则AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋λBC →，DF →＝AF →－AD →＝λAB →－AD →.∴AE →·DF →＝(AB →＋λBC →)·(λAB →－AD →)＝λ|AB →|2－AB →·AD →＋λ2AB →·BC →－λAD →·BC →＝0，即16λ－4－4λ2－2λ＝0，∴2λ2－7λ＋2＝0，解得λ＝7＋334(舍去)或λ＝7－334.。
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精品 平面向量的数量积及运算练习题
一、选择题：
1、下列各式中正确的是
（ ） （1）(λ·a) ·b=λ·(a b)=a · (λb), （2）|a ·b|= | a |·| b |,
（3）(a ·b)· c= a · (b ·c), （4）(a+b) · c = a ·c+b ·c
A ．（1）（3）
B ．（2）（4）
C ．（1）（4）
D ．以上都不对.
2、在ΔABC 中,若(CA CB)(CA CB)0+•-=,则ΔABC 为
（ ） A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．无法确定
3、若| a |=| b |=| a －b |, 则b 与a+b 的夹角为
（ ） A ．30° B ．60° C ．150° D ．120°
4、已知| a |=1,| b |=2 ,且(a －b)和a 垂直,则a 与b 的夹角为
（ ） A ．60° B ．30° C ．135° D ．45°
5、若2AB BC AB 0•+=,则ΔABC 为
（ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．等腰直角三角形
6、设| a |= 4, | b |= 3, 夹角为60°, 则| a+b |等于 （ ）
A ．37
B ．13
C ．37
D ．13 7、己知 | a |= 1,| b |= 2, a 与的夹角为60, c =3a+b, d =λa －b ,若c ⊥d,则实数λ的值为（ ）
A ． 74
B ．75
C ．47
D ．5
7 8、设 a,b,c 是平面内任意的非零向量且相互不共线,则其中真命题是
（ ） ① (a ·b)·c －(c ·a)·b=0 ② | a | －| b |< | a －b |
③ (b ·c)·a －(c ·a)·b 不与c 垂直 ④ (3a+2b) ·(3a －2b)= 9| a | 2－4| b | 2
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．②④
9.（陕西）已知非零向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭且12AB AC AB AC ⋅=, 则ABC △为 .A 等边三角形 .B 直角三角形 .C 等腰非等边三角形 .D 三边均不相等的三角形 10(全国Ⅰ文）点O 是ABC △所在平面内的一点，满足OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则点O 是ABC △的
.A 三个内角的角平分线的交点
.B 三条边的垂直平分线的交点 .C 三条中线的交点
.D 三条高的交点 11．已知向量a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b ，若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z 的取值范围为( )． A ．[－2,2] B ．[－2,3] C ．[－3,2]
D ．[－3,3]
精品 12．设两个向量a ＝(λ＋2，λ2－cos 2
α)和b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 2＋sin α，其中λ，m ，α为实数．若a ＝2b ，则λm 的取值范围是( )．A ．[－6,1] B ．[4,8] C ．(－∞，1] D ．[－1,6]
二、填空题：
13、已知e 是单位向量,求满足a ∥e 且a ·e = -18的向量a=__________.
14. 设a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，则λ＝________.
15．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b
的值为________． 16．设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________．
三、解答题：
1、已知| a |=4, | b|=5, |a+b|=21 ,求： ① a ·b ② (2a －b)·(a+3b)
2.已知两单位向量a 与b 的夹角为120︒，若2c a b =-，3d b a =-,试求c 与d 的夹角。