高二升高三暑期数学清北班学生卷
2024年高二入学摸底考试数学试卷(解析版)(北京专用)
2024年高二数学秋季开学考试（北京专用）注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量()1,a m = ，(),2b m m =- ，若//a b，则m =（）A ．1或2-B ．1-或2C ．1或12-D ．1-或12【答案】A【分析】运用向量平行的坐标表示求解即可.【详解】由//a b，有22m m =-，解得1m =或2-．故选：A.2．复数21i ⎫⎪⎪-⎝⎭（其中i 为虚数单位）的虚部等于（）A ．i -B ．1-C ．1D ．03．经过点()1,1M 且斜率为1-的直线方程是（）A ．0x y -=B ．0x y +=C ．20x y -+=D ．20x y +-=【答案】D【分析】利用直线的点斜式方程即可得解.【详解】因为直线经过点()1,1M 且斜率为1-，所以直线方程为()111y x -=-⨯-，即20x y +-=.故选：D.4．斛是我国古代的一种量器，如图所示的斛可视为正四棱台，若该正四棱台的上､下底面边长分别为2，4，侧面积为24，则该正四棱台的体积为（）A ．56B ．2243C D ．35．已知一组样本数据1x ，2x ，…，n x （*n ∈N ）的方差为1.2，则151x -，251x -，⋯，51n x -的方差为（）．A ．5B ．6C ．25D ．30【答案】D【分析】利用方差的性质求解．【详解】 数据12,,...,n x x x 的方差为1.2，151x ∴-，251x -，……51n x -的方差为：25 1.230⨯=．故选：D.6．袋中装有大小相同的5个小球，其中1个红球，2个白球，2个黑球，从袋中任意取出两个小球，则取到红球的概率为（）．A ．15B ．25C ．12D ．237．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则ABC 的面积为（）A ．23B C ．83D8．有4个大小质地相同的小球，分别标有数字1,2,3,4，从中不放回的随机抽取两次，每次取一个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第一次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和为4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和为5”，则（）A ．甲和乙相互独立B ．甲和丙相互独立C ．甲和丁相互独立D ．丁和丙相互独立9．已知两个不重合的平面α，β，三条不重合的直线a ，b ，c ，则下列四个命题中正确的是（）A ．若a b ，b α⊂，则a αP B ．若a b ⊥r r，b c ⊥，则a cP C ．a β∥，b β∥，a α⊂，b α⊂，则αβ∥D ．a α ，a β⊂，b αβ= ，则a b 【答案】D【分析】根据线面平行的判定定理判断A ，根据空间直线的位置关系判断B ，根据面面平行的判定定理判断C ，根据线面平行的性质定理判断D.【详解】当a b ，b α⊂，a α⊂时，不能推出a αP ，故A 错误；当a b ⊥r r，b c ⊥时，,a c 可能相交，也可能异面，不能推出a c P ，故B 错误；当a β∥，b β∥，a α⊂，b α⊂，若,a b 不相交，则推不出αβ∥，故C 错误；当a α ，a β⊂，b αβ= ，由线面平行的性质定理知a b ，故D 正确.故选：D10．在四边形ABCD 中，//,,45,90AD BC AD AB BCD BAD =∠=︒∠=︒，将ABD △折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A BCD -，如图，则在三棱锥A BCD -中，下列结论不正确的是（）A ．CD AB⊥B ．CD BD⊥C ．平面ADC ⊥平面ABD D ．平面ABC ⊥平面BDC【答案】D【分析】根据线面、面面垂直的判定定理以及线面、面面垂直的性质定理逐项判断即可.【详解】对于B ，如图①，因为//,,90AD BC AD AB BAD =∠= ，所以45ABD ADB ∠=∠= ，又因为45BCD ∠= ，//AD BC ，所以135ADC ∠= ，所以1354590BDC ADC ADB ∠=∠-∠=-= ，所以CD BD ⊥，故B 正确；对于A ，由B 选项知CD BD ⊥，又因为平面ABD ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，所以CD ⊥平面ABD ，因为AB ⊂平面ABD ，所以CD AB ⊥，故A 正确；对于C ，由选项A 知，CD ⊥平面ABD ，因为CD ⊂平面ADC ，所以平面ADC ⊥平面ABD ，故C 正确;对于D ，如图②过点A 作AE BD ⊥，垂足为E ，因为平面ABD ⊥平面BCD ，AE ⊂平面ABD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，所以⊥AE 平面BCD ，显然AE ⊄平面ABC ，所以平面ABC 与平面BDC 不垂直，故D 错误.故选：D.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知3512a b a b ==⋅=- ，，，则a 在b 上的投影向量为12．过点()1,2-和点()1,2-的直线的斜率为.13．数据：35，54，80，86，72，85，58，53，46，66的第25百分位数为．【答案】53【分析】根据百分位数的定义直接计算.【详解】将数据从小到大依次排列为35，46，53，54，58，66，72，80，85，86，又1025% 2.5⨯=，所以第25百分位数为第三个数，即为53，故答案为：53.14．已知三棱锥,,P ABC PA AB PA BC -⊥⊥，30,2,BAC BC PA ∠=== -P ABC 的外接球的表面积为.故可以将三棱锥-P ABC 其中上底面外接圆圆心为因为30,BAC BC ∠=15．“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图是以正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为2，则该多面体外接球的表面积为．不妨取两棱中点为,E F ，由题知易知,BE BF BE BF ⊥=，可得所以正方体的棱长为22，该多面体的外接球即为正方体所以棱切球的直径为该正方体的面对角线，长度为因此该多面体的外接球的半径为2，所以其表面积为24π216πS =⋅=.故答案为：16π.【点睛】关键点点睛：解决问题的关键是通过适当补形，求出外接球的半径，由此即可顺利得解.三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知平面向量a ，b ，c ，其中()3,4a =.(1)若c为单位向量，且//a c，求c 的坐标；(2)若b = 且2a b - 与2a b - 垂直，求向量a ，b夹角的余弦值.17．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是2222222sin sin ,,,sin A C a b c a b c C a c b-+-=+-.(1)若2,c D =是BC 的中点，且AD =ABC 的面积；(2)若ABC 为锐角三角形，求222a cb +的取值范围.18．为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x （吨），使居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[)[)[)0,1,1,2,,8,9 分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，其中0.4a b =.(1)求直方图中a ，b 的值；(2)由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）；(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x （吨），估计x 的值，并说明理由.【答案】(1)0.15a =，0.06b =(2)4.07吨(3)5.8【分析】（1）结合图中数据，由直方图中所有长方形的面积之和为1列出等式，即可求出答案；（2）由频率分布直方图中平均数的求法，直接计算即可；（3）结合图中数据易知标准x 在[5,6)中，由此即可求出x 的估计值.【详解】（1）由频率分布直方图可得19．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球.约定甲先投，先投中者获胜，一直到有人获胜或者每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响.(1)求甲获胜的概率；(2)求投篮结束时，甲只投了2个球的概率；(3)若用投掷一枚质地均匀硬币的方式决定甲、乙两人谁先投篮，求第3次投篮结束后，投篮结束的概率.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，,D AD BC CD A ⊥∥，22AD CD BC ===，平面PAD ⊥平面,D,ABCD PA P PA PD ⊥=．(1)求证：CD PA ⊥；(2)求平面APB 与平面PBC 夹角的余弦值；(3)在棱PB 上是否存在点M ，使得DM ⊥平面PAB ？若存在，求PMPB的值；若不存在，说明理由．则(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),O A B 可得()(1,0,1,0,AP PB =-= 设平面APB 的法向量为n =所以不存在点M ，使得DM ⊥平面PAB .20．设n 为正整数，集合A =(){}12{|,,,,0,1,1,2,,}n k t t t t k n αα=∈= ．对于集合A 中的任意元素()12,,,n x x x α= 和()12,,,n y y y β= ，记M （αβ，）=()()()1111222212n n n n x y x y x y x y x y x y ⎡⎤+--++--+++--⎣⎦ ．（Ⅰ）当n =3时，若()1,1,0α=，()0,1,1β=，求M （,αα）和M （,αβ）的值；（Ⅱ）当n =4时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素,αβ，当,αβ相同时，M （αβ，）是奇数；当,αβ不同时，M （αβ，）是偶数．求集合B 中元素个数的最大值；（Ⅲ）给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素,αβ，M （αβ，）=0．写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由．【答案】(1)2,1;(2)最大值为4;(3)【详解】（Ⅰ），．（Ⅱ）考虑数对只有四种情况：、、、，相应的分别为、、、，所以中的每个元素应有奇数个，所以中的元素只可能为（上下对应的两个元素称之为互补元素）：、、、，、、、，对于任意两个只有个的元素，都满足是偶数，所以集合、、、满足题意，假设中元素个数大于等于，就至少有一对互补元素，除了这对互补元素之外还有至少个含有个的元素，则互补元素中含有个的元素与之满足不合题意，故中元素个数的最大值为．（Ⅲ），此时中有个元素，下证其为最大．对于任意两个不同的元素，满足，则，中相同位置上的数字不能同时为，假设存在有多于个元素，由于与任意元素都有，所以除外至少有个元素含有，根据元素的互异性，至少存在一对，满足，此时不满足题意，故中最多有个元素.。
北京市第四中学2024-2025学年高三上学期暑期测试数学试题(2024.7.29)
数 学 试 卷（试卷满分为100分，考试时间为90分钟）一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）1. 已知集合{|11}A x x =-≤≤，{,}B a a =-. 若A B A =，则实数a 的取值范围是 （A ）{|11}a a -≤≤（B ）{|11}a a -<<（C ）{|11a a -<<，且0}a ≠ （D ）{|11a a -≤≤，且0}a ≠2. 若复数i 1iaz +=+是纯虚数，则实数a = （A ）1（B ）1-（C ）2（D ）2-3. 已知lg e a =，2e b =，1ln 10c =（e 2.71828=），那么（A ）b c a << （B ）c b a << （C ）b a c <<（D ）c a b <<4. 函数1()x f x x+=的图象的对称中心为 （A ）(0,0)（B ）(0,1)（C ）(1,0)（D ）(1,1)5. 已知幂函数()f x 满足(6)4(2)f f =，则1()3f 的值为（A ）2（B ）14 （C ）14-（D ）2-6. 已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，249a a =，42910S S =，则24a a +的值为（A ）30 （B ）10 （C ）9 （D ）67. 在下列函数中，导函数值不可能取到1的是 （A ）ln y x x =（B ）cos y x =（C ）2x y =（D ）ln y x x =-8. 已知a ，b ∈R ，则“1ab >”是“222a b +>”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件9. 在ABC ∆中，若cos cos a c B b c A -=-，则ABC ∆的形状是 （A ）等腰三角形 （B ）直角三角形（C ）等腰直角三角形（D ）等腰三角形或直角三角形10. 已知1x =是函数2()(1)()f x x x a =--的极小值点，那么实数a 的取值范围是 （A ）(,1)-∞（B ）(1,)+∞（C ）(,1]-∞（D ）[1,)+∞11. 已知函数()sin cos f x t x x ωω=+（0t >，0ω>）的最小正周期为π，最大值，则函数()f x 的图象 （A ）关于直线π4x =-对称 （B ）关于点π(,0)4-对称（C ）关于直线π8x =对称 （D ）关于点π(,0)8对称12. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若存在实数a ，b ，c ，使得n n S a b c =⋅+，则以下结论不．正确的是 （A ）0a c += （B ）数列{}n a 的公比为b （C ）0ac <（D ）数列{}n a 可能为常数列13. 某教学软件在刚发布时有100名教师用户，发布5天后有1000名教师用户. 如果教师用户人数()R t 与天数t 之间满足关系式：0()e kt R t R =，其中k 为常数，0R 是刚发布时的教师用户人数，则教师用户超过20000名至少经过的天数为 参考数据：lg 20.3010≈ （A ）9（B ）10（C ）11（D ）1214. 已知函数21()e 2x f x a x =-（a ∈R ），有如下3个结论：① 当0a ≤时，()f x 在区间(0,)+∞上单调递减； ② 当10ea <<时，()f x 有两个极值点； ③ 当1e a ≥时，()f x 有最大值.其中，正确结论的个数是 （A ）0（B ）1（C ）2（D ）3二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）15. 已知0a >，则关于x 的不等式22450x ax a --<的解集是_____.16. 在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，且终边经过点(4,3)-，则3πcos()2α-=_____. 17. 若2(i)2i x +=（x ∈R ），则x =_____. 18. 写出一个同时具有下列性质的函数()f x =_____. ① 函数(1)f x +是偶函数； ② 当(1,)x ∈+∞时，()f x 单调递减.19. 已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，2114,0,2()121,.2x x f x x x ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩（1）5(())8f f =_____；（2）不等式3(1)4f x -≤的解集为_____.20. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =. 给出如下4个结论：① {}n a 可能为等差数列； ② {}n a 可能为等比数列；③ i a （2i ≥）均能写成{}n a 的两项之差； ④ 对任意*n ∈N ，总存在*m ∈N ，使得n m a S =. 其中正确命题的序号是_____.三、解答题（本大题共2小题，共28分） 21.（本小题满分13分）已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S （*n ∈N ），11a =，59a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式及n S ；（Ⅱ）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求数列{}n b 的前n 项和n T .条件①：2n a n b =； 条件②：2n n n b a =+； 条件③：11n n n b a a +=⋅.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.22.（本小题满分15分）已知函数21()e 2x f x x ax ax =--（0a >）.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）若()f x 的极大值为11e-，求a 的值；（Ⅲ）当1ea >时，若1[1,)x ∀∈+∞，2(,0]x ∃∈-∞，使得12()()0f x f x +=，求a 的取值范围.。
浙江杭州二中2026届高二数学暑期返校测试卷(含答案解析)
2026届高二数学暑期测试卷考试范围：暑期所学所有内容；考试时间：120分钟；满分：150分1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷(选择题)一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知向量p 以{a ，b ，c }为基底时的坐标为(2，-3，3)，则p 以{a-2b ，a +b ，2c }为基底时的坐标为()A.52，-12，32B.53，13，32C.(1，3，2)D.(1，-3，2)2.已知空间向量a =(1，0，3)，b =(2，1，0)，c =(5，2，z )，若a ，b ，c 共面，则实数z 的值为()A.0B.1C.2D.33.已知直线l 的方向向量是a =(3，2，1)，平面α的法向量是u =(-1，2，-1)，则l 与α的位置关系是()A.l ⊥αB.l ∥αC.l ∥α或l ⊂αD.l 与α相交但不垂直4.已知点A (1，-1)和点B (-1，3)，则以线段AB 为直径的圆的标准方程为()A.(x +2)2+(y -4)2=5B.(x +2)2+(y -4)2=20C.x 2+(y -1)2=5D.x 2+(y -1)2=205.已知O (0，0)，A (-3，0)，直线l ：y =kx 上存在点P ，且点P 关于直线l ′：y =x 的对称点P ′满足|P ′O |=2|P ′A |，则实数k 的取值范围是()A.(-∞，-3]∪[3，+∞) B.[-3，3]C.-33，33D.-∞，-33 ∪33，+∞6.已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与双曲线的右支交于A ，B 两点，若△ABF 1的周长为10a ，则双曲线离心率的取值范围为()A.62，+∞ B.102，+∞ C.1，62D.1，1027.M 是抛物线C ：y 2=4x 上一点，F 是C 的焦点，l 为C 的准线，MM 1⊥l 于M 1，若|MF |=4，则△MM 1F 的周长为()A.8+3B.8+23C.10D.128.已知直线kx +y +2k =0与椭圆x 23+y 24=1相切，则k 的值为()A.2B.12C.±2D.±12二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知关于x ，y 的方程x 24-m +y 2m -2=1表示的曲线是E ，则曲线E 可以是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线10.已知圆O ：x 2+y 2=4，则()A.圆O 与直线mx +y -m -1=0必有两个交点B.圆O 上存在4个点到直线l ：x -y +2=0的距离都等于1C.圆O 与圆x 2+y 2-6x -8y +m =0恰有三条公切线，则m =16D.动点P 在直线x +y -4=0上，过点P 向圆O 引两条切线，A 、B 为切点，则四边形P AOB 面积最小值为211.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，P A ⊥平面ABCD ，P A =2，PE=ED ，则()A.BE =12AP -AB +12ADB.|BE|=6C.异面直线BE 与P A 夹角的余弦值为66D.点E 到平面P AC 的距离为22A BCD EP第Ⅱ卷(非选择题)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量a =(-22，90，28)，b =(11，-45，k )，若a ，b 共线，则k =．13.经过点P (-3，-1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x +1)2+(y -2)2=17相交于A ，B 两点，若|AB |=42，则k 的值为．14.已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，AB 的中点为P ，以AB 为直径的圆与y 轴交于M ，N 两点，当∠MPN 取最大值时，此时sin ∠MPN =．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知半径为2的圆C 的圆心在射线y =x (x >0)上，点A (-1，1)在圆C 上．(1)求圆C 的标准方程；(2)求过点B (-1，0)且与圆C 相切的直线方程．16.已知向量a =(2，-3，1)，b =(2，0，-2)，c =(0，0，1)，求(1)a +3b -2c；(2)a ⋅(b +c )；(3)a 与b夹角的余弦值．17.设F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点，点A 3，12 在椭圆C 上，点A 关于原点的对称点为B ，四边形AF 1BF 2的面积为3．(1)求椭圆C 的方程；(2)若过F 2的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，求证：1|F 2M |+1|F 2N |为定值．18.如图，在三棱锥P -ABC 中，O 为AC 的中点，平面POB ⊥平面ABC ，△ABC 是等腰直角三角形，AB ⊥BC ，AC =P A =2，PB =3．(1)证明：P A =PC ；(2)求二面角C -P A -B 的正弦值．ABC OP19.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点为B，左、右焦点分别为F1，F2，离心率e=32，△BF1F2的面积为3．(1)求椭圆E的标准方程；(2)直线l：y=kx+m(m≠±1)与椭圆E相交于点P，Q，则直线BP，BQ的斜率分别为k1，k2，且k1+k2 =1，则直线l是否经过某个定点A？若是，请求出A的坐标．参考答案与试题解析一．选择题(共8小题)1.已知向量p 以{a ，b ，c }为基底时的坐标为(2，-3，3)，则p 以{a-2b ，a +b ，2c }为基底时的坐标为( )A.52，-12，32 B.53，13，32C.(1，3，2)D.(1，-3，2)【分析】根据题意得p =2a -3b +3c ，而p 以{a -2b ，a +b ，2c }为基底，则设p =x (a -2b )+y (a +b )+2zc ，然后根据空间向量基本定理列出关于x ，y ，z 的方程组，可求得答案．【解答】解：因为向量p 以{a ，b ，c}为基底时的坐标为(2，-3，3)，所以p =2a -3b +3c，设p =x (a -2b )+y (a +b )+2zc =(x +y )a +(y -2x )b ++2zc，由空间向量基本定理得x +y =2y -2x =-32z =3 ，解得x =53y =13z =32，所以p 以{a -2b ，a +b ，2c }为基底时的坐标为53，13，32 ．故选：B ．【点评】本题考查空间向量基本定理相关知识，属于中档题．2.已知空间向量a =(1，0，3)，b =(2，1，0)，c =(5，2，z )，若a ，b ，c 共面，则实数z 的值为( )A.0B.1C.2D.3【分析】根据题意，由空间向量基本定理可得存在实数对(x ，y )，使得c =xa +yb ，由此可得关于x 、y 、z 的方程组，进而求出x 、y 、z 的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，因为a ，b ，c 共面，所以存在实数对(x ，y )，使得c =xa+yb ，即(5，2，z )=x (1，0，3)+y (2，1，0)=(x +2y ，y ，3x )，所以x +2y =5，y =2，3x =z ， 解得x =1，y =2，z =3. 故选：D ．【点评】本题考查空间向量基本定理，涉及向量的共面，属于基础题．3.已知直线l 的方向向量是a =(3，2，1)，平面α的法向量是u=(-1，2，-1)，则l 与α的位置关系是( )A.l ⊥αB.l ∥αC.l ∥α或l ⊂αD.l 与α相交但不垂直【分析】利用向量垂直的坐标表示，得到a ⊥u，由此可得答案．【解答】解：因为直线l 的方向向量是a =(3，2，1)，平面α的法向量是u=(-1，2，-1)，则a ⋅u=-3+4-1=0，所以a ⊥u ，则l ∥α或l ⊂α．故选：C ．【点评】本题考查了空间向量数量积的坐标表示以及空间向量垂直的充要条件的应用，利用空间向量的位置关系判断线面位置关系的应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．4.已知点A (1，-1)和点B (-1，3)，则以线段AB 为直径的圆的标准方程为( )A.(x +2)2+(y -4)2=5 B.(x +2)2+(y -4)2=20C.x 2+(y -1)2=5D.x 2+(y -1)2=20【分析】由题意求圆心与半径即可得标准方程．【解答】解：因为点A (1，-1)和点B (-1，3)为直径端点，所以AB 中点M 1-12，-1+32，即M (0，1)为圆心，由|AB |=[1-(-1)]2+(-1-3)2=25，则圆的半径r =|AB |2=5，故圆的标准方程为x 2+(y -1)2=5．故选：C ．【点评】本题考查了圆的标准方程，是基础题．5.已知O (0，0)，A (-3，0)，直线l ：y =kx 上存在点P ，且点P 关于直线l ′：y =x 的对称点P ′满足|P ′O |=2|P ′A |，则实数k 的取值范围是( )A.(-∞，-3]∪[3，+∞)B.[-3，3]C.-33，33D.-∞，-33 ∪33，+∞【分析】设P (x ，kx )，则P ′(kx ，x )，由两点间的距离公式可得x 的一元二次方程，由Δ≥0解不等式即可．【解答】解：设P (x ，kx )，则P ′(kx ，x )，由|P ′O |=2|P ′A |，得|P ′O |2=4|P ′A |2，由两点间的距离公式可得：k 2x 2+x 2=4[(kx +3)2+x 2]，整理可得(3k 2+3)x 2+24kx +36=0，由题意Δ=(24k )2-4(3k 2+3)×36≥0，得k 2-3≥0，解得k ≤-3或k ≥3，即实数k 的取值范围是(-∞，-3]∪[3，+∞)．故选：A ．【点评】本题考查的知识要点：直线的方程的求法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．6.已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与双曲线的右支交于A ，B 两点，若△ABF 1的周长为10a ，则双曲线离心率的取值范围为( )A.62，+∞ B.102，+∞ C.1，62D.1，102【分析】根据双曲线定义及焦点三角形周长、焦点弦的性质有4a +4b 2a≤10a ，即可求离心率范围．【解答】解：如图，根据双曲线定义知：△AF 1B 的周长为4a +2|AB |，而|AB |≥2b 2a，∴4a +2|AB |≥4a +4b 2a，而△AF 1B 的周长为10a ，∴4a +4b 2a ≤10a ，即2b 2≤3a 2，可得2(c 2-a 2)≤3a 2，解得e ≤102．双曲线离心率的取值范围是1，102．故选：D ．【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查数形结合思想，考查运算求解能力，是中档题．7.M 是抛物线C ：y 2=4x 上一点，F 是C 的焦点，l 为C 的准线，MM 1⊥l 于M 1，若|MF |=4，则△MM 1F 的周长为( )A.8+3B.8+23C.10D.12【分析】求出抛物线的焦点坐标，准线方程，然后求解M 的坐标，M 1的坐标，然后求解△MM 1F 的周长．【解答】解：抛物线C ：y 2=4x 上一点，F 是C 的焦点(1，0)，l 为C 的准线x =-1，|MF |=4，可得M 的横坐标3，不妨设M 在第一象限，M 的纵坐标：23，所以M 1的坐标(-1，23)，则△MM1F的周长为：4+4+(-1-1)2+(23-0)2=12．故选：D．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．8.已知直线kx+y+2k=0与椭圆x23+y24=1相切，则k的值为( )A.2B.12C.±2D.±12【分析】联立直线与椭圆方程，由相切得到Δ=0，从而得解．【解答】解：依题意，联立x23+y24=1kx+y+2k=0，消去y得：(4+3k2)x2+12k2x+12k2-12=0，因为直线kx+y+2k=0与椭圆x23+y24=1相切，所以Δ=(12k2)2-4×(4+3k2)×(12k2-12)=0，化简整理得k2-4=0，所以k=±2．故选：C．【点评】本题考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题．二．多选题(共3小题)9.(多选)9．已知关于x，y的方程x24-m+y2m-2=1表示的曲线是E，则曲线E可以是( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【分析】根据圆，双曲线和椭圆的性质即可分类讨论求解．【解答】解：当4-m=m-2>0时，m=3，方程x24-m+y2m-2=1可以化简为x2+y2=1，曲线E是圆；当4-m>0，m-2>0且4-m≠m-2时，2<m<3或3<m<4，曲线E是椭圆；当(4-m)(m-2)<0时，m<2或m>4，曲线E是双曲线．故选：ABC．【点评】本题考查了曲线与方程，圆，双曲线和椭圆的性质，考查了分类讨论思想，属基础题．10.(多选)10．已知圆O：x2+y2=4，则( )A.圆O与直线mx+y-m-1=0必有两个交点B.圆O上存在4个点到直线l：x-y+2=0的距离都等于1C.圆O与圆x2+y2-6x-8y+m=0恰有三条公切线，则m=16D.动点P在直线x+y-4=0上，过点P向圆O引两条切线，A、B为切点，则四边形P AOB面积最小值为2【分析】根据直线恒过定点(1，1)，且该点在圆内，可判断出A 项的正误；求出圆心到直线l 的距离，可判断出B 项的正误；将圆x 2+y 2-6x -8y +m =0化成标准形式，根据两圆外切列式求出满足条件的m 值，可判断出C 项的正误；由S 四边形P AOB =2S △POA ，推导出当PO 最小时S 四边形P AOB 最小，从而判断出D 项的正误．【解答】解：对于A ，直线mx +y -m -1=0可化为(x -1)m +y -1=0，由x -1=0y -1=0，解得x =1，y =1，可知直线mx +y -m -1=0过定点(1，1)，因为12+12<4，所以该点在圆x 2+y 2=4的内部，因此，圆O 与直线mx +y -m -1=0必有两个交点，故A 项正确；对于B ，圆O ：x 2+y 2=4，圆心为O (0，0)，半径r =2．圆心O 到直线l ：x -y +2=0的距离d =|0-0+2|12+(-1)2=1=r -1，因此，过圆心且与直线l 平行的直线与圆相交有两个点到直线l 的距离为1．当一条直线与直线l 平行且与圆相切时，若它与l 在圆心的同侧，则该直线到l 的距离为1，综上所述，圆O 上存在3个点到直线l ：x -y +2=0的距离都等于1，故B 项错误；对于C ，将圆x 2+y 2-6x -8y +m =0化成标准形式，可得(x -3)2+(y -4)2=25-m ，圆心为(3，4)，半径R =25-m ，因为两圆有三条公切线，所以两圆外切，可得(0-3)2+(0-4)2=25-m +2，解得m =16，故C 项正确；对于D ，连接OP 、OA 、OB ，因为A 、B 是切点，所以OA ⊥P A 且OB ⊥PB ，可得S 四边形P AOB =2S △POA =2×12P A •AO =2P A =2PO 2-OA 2=2PO 2-4，所以当PO 最小时，S △POA 有最小值，相应地四边形P AOB 面积有最小值当PO 与直线x +y -4=0垂直时，PO min =|0+0-4|12+12=22，此时S 四边形P AOB =2(22)2-4=4，即四边形P AOB 面积的最小值为4，故D 项错误．故选：AC ．【点评】本题主要考查圆的方程及其性质、直线与圆的位置关系、两圆的位置关系等知识，考查了计算能力、图形的理解能力，属于中档题．11.(多选)11．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，P A ⊥平面ABCD ，P A =2，PE =ED ，则( )A.BE =12AP -AB +12ADB.|BE |=6C.异面直线BE 与P A 夹角的余弦值为66D.点E 到平面P AC 的距离为22【分析】建立适当的空间直角坐标系，对于A ，直接由向量线性运算的坐标表示即可验算；对于B ，由向量模的计算公式即可验算；对于C ，由向量夹角公式即可求解；对于D ，由公式ℎ=|AE ⋅n ||n |验算即可．【解答】解：因为P A ⊥平面ABCD ，AB ，AD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥AB ，P A ⊥AD ，在正方形ABCD 中，有AB ⊥AD ，所以AB ，AD ，AP 两两互相垂直，所以以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，而AB =AD =AP =2，从而A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，2，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)，E (0，1，1)，对于A ，BE =BA +AE =-AB +12AD +12AP =12AP -AB +12AD ，故A 正确；对于B ，BE =(-2，1，1)，|BE |=4+1+1=6，故B 错误；对于C ，BE =(-2，1，1)，AP =(0，0，2)，所以异面直线BE 与P A 夹角的余弦值为|BE ⋅AP ||BE |⋅|AP |=26⋅2=66，故C 正确；对于D ，AP =(0，0，2)，AC =(2，2，0)，设平面APC 的法向量为n =(x ，y ，z )，则AP ⋅n =2z =0AC ⋅n =2x +2y =0，令x =1，解得y =-1，z =0，所以n =(1，-1，0)，又AE =(0，1，1)，所以点E 到平面P AC 的距离为ℎ=|AE ⋅n ||n |=12=22，故D 正确．故选：ACD ．【点评】本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了平面向量数量积及夹角的运算，属中档题．三．填空题(共3小题)12.已知向量a =(-22，90，28)，b =(11，-45，k )，若a ，b 共线，则k = -14 ．【分析】根据向量共线即可确定k 的取值．【解答】解：向量a =(-22，90，28)，b =(11，-45，k )，若a ，b 共线，则有a =-2b ，则有-2k =28，k =-14．故答案为：-14．【点评】本题考查共线向量，属于基础题．13.经过点P (-3，-1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x +1)2+(y -2)2=17相交于A ，B 两点，若|AB |=42，则k 的值为 -125或0 ．【分析】根据题意，利用垂径定理算出圆心C 到直线l 的距离d ，然后利用点到直线的距离公式，建立关于k 的方程，解之即可得到本题的答案．【解答】解：经过点P (-3，-1)且斜率为k 的直线l ，方程为y +1=k (x +3)，即kx -y +3k -1=0，圆C ：(x +1)2+(y -2)2=17，圆心为C (-1，2)，半径r =17，设圆心C 到直线l 的距离为d ，则2r 2-d 2=42，可得r 2-d 2=8，即17-d 2=8，解得d =3(舍负)，所以|-k -2+3k -1|k 2+1=3，解得k =-125或0．故答案为：-125或0．【点评】本题主要考查直线的方程及其性质、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系及其应用等知识，属于基础题．14.已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，AB 的中点为P ，以AB 为直径的圆与y 轴交于M ，N 两点，当∠MPN 取最大值时，此时sin ∠MPN = 32 ．【分析】首先作辅助线PH ⊥MN 于点H ，并设∠PMH =θ，利用坐标表示sin θ，并求θ的最小值，结合几何关系，即可求解．【解答】解：如图，由y 2=4x ，可知F (1，0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，易知x 0≥1，所以|AB |=x 1+x 2+2，过点P 作PH ⊥MN 于点H ．设∠PMH =θ，则sin θ=|PH ||MP |=|PH ||AP |=x 0x 1+x 2+22=x 0x 0+1=1-1x 0+1，所以当x 0取最小值时，sin θ最小，因为θ∈0，π2 ，所以当sin θ最小时，θ最小，∠MPN 最大，又x 0的最小值为1，所以sin θ=12，所以θ=π6，可得sin ∠MPN =sin π-2×π6 =32．故答案为：3 2．【点评】本题考查抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系的应用，圆的方程的应用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．四．解答题(共5小题)15.已知半径为2的圆C的圆心在射线y=x(x>0)上，点A(-1，1)在圆C上．(1)求圆C的标准方程；(2)求过点B(-1，0)且与圆C相切的直线方程．【分析】(1)设圆心坐标为(m，m)(m>0)，根据点A(-1，1)在圆上列方程可得m=1，可得结论；(2)分斜率存在和不存在求解，当斜率存在时，设切线的方程为y=k(x+1)，根据圆心到直线的距离等于半径列方程求解可得．【解答】解：(1)由圆C的圆心在直线y=x(x>0)上，可设圆心C的坐标为(m，m)(m>0)，又圆C的半径为2，点A(-1，1)在圆C上，则|AC|=[m-(-1)]2+(m-1)2=2，解得m=1，(m=-1舍去)，故圆C的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4．(2)①当切线的斜率不存在时，直线x=-1与圆C相切；②当切线的斜率存在时，设切线的方程为y=k(x+1)，即kx-y+k=0，由题意|2k-1|k2+1=2，解得k=-34，所以切线方程为-34x-y-34=0，整理为3x+4y+3=0，由①②知，过点B(-1，0)且与圆C相切的直线方程为x=-1或3x+4y+3=0．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，圆的标准方程的求法，属于基础题．16.已知向量a =(2，-3，1)，b =(2，0，-2)，c =(0，0，1)，求(1)a +3b -2c ；(2)a ⋅(b +c )；(3)a 与b 夹角的余弦值．【分析】(1)根据空间向量的线性运算的坐标表示分析运算；(2)根据数量积的坐标运算求解；(3)根据向量夹角的坐标表示运算求解．【解答】解：(1)a +3b -2c =(2，-3，1)+3(2，0，-2)-2(0，0，1)=(8，-3，-7)．(2)b +c =(2，0，-2)+(0，0，1)=(2，0，-1)，所以a ⋅(b +c )=2×2+(-3)×0+1×(-1)=3．(3)|a |=22+(-3)2+12=14，|b |=22+02+(-2)2=22，a ⋅b =2×2+(-3)×0+1×(-2)=2，所以a 与b 夹角的余弦值为cos ‹a ，b ›=a ⋅b |a |⋅|b |=214×22=714．【点评】本题考查了空间向量的线性运算和数量积运算问题，是基础题．17.设F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点，点A 3，12 在椭圆C 上，点A 关于原点的对称点为B ，四边形AF 1BF 2的面积为3．(1)求椭圆C 的方程；(2)若过F 2的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，求证：1|F 2M |+1|F 2N |为定值．【分析】(1)设椭圆C 的焦距为2c (c >0)，四边形AF 1BF 2为平行四边形，其面积设为S ，则S =2c ⋅12=3，a 2-b 2=c 2=3，又3a 2+14b2=1，解得a 2，b 2，即可得出答案．(2)由于F 2(3，0)，分两种情况：当直线l 与x 轴重合时，当直线l 与x 轴不重合时，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理，计算1|F 2M |+1|F 2N |，即可得出答案．【解答】解：(1)设椭圆C 的焦距为2c (c >0)，四边形AF 1BF 2为平行四边形，其面积设为S ，则S=2c⋅12=3，所以c=3，所以a2-b2=c2=3，又3a2+14b2=1，解得a2=4，b2=1，所以椭圆C的方程为x24+y2=1．(2)证明：F2(3，0)，当直线l与x轴重合时，l的方程为y=0，此时不妨令|F2M|=a+c=2+3，|F2N|=a-c=2-3，则1|F2M|+1|F2N|=4；当直线l与x轴不重合时，l的方程可设为x=my+3，由x=my+3x2+4y2=4 ，得(m2+4)y2+23my-1=0，Δ=(23m)2+4(m2+4)=16(m2+1)>0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1+y2=-23mm2+4，y1y2=-1m2+4<0，|F2M|=(x1-3)2+y21=(my1+3-3)2+y21=1+m2|y1|，|F2N|=(x2-3)2+y22=(my2+3-3)2+y22=1+m2|y2|，1 |F2M|+1|F2N|=11+m21|y1|+1|y2|=11+m2⋅|y1-y2||y1y2|=11+m2⋅(y1+y2)2-4y1y2|y1y2|=4，综上所述，1|F2M|+1|F2N|为定值4．【点评】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．18.如图，在三棱锥P-ABC中，O为AC的中点，平面POB⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AB⊥BC，AC=P A=2，PB=3．(1)证明：P A=PC；(2)求二面角C-P A-B的正弦值．【分析】(1)由等腰直角三角形的性质可得AC⊥OB，结合面面垂直的性质可得AC⊥平面POB ，然后根据等腰三角形的性质结合条件可得．(2)作PD ⊥BO ，垂足为D ，连接DA ，DC ，由面面垂直的性质可得PD ⊥平面ABCD ，再由三角形全等，得出DA ⊥DC ，从而建立空间坐标系利用空间向量解决问题．【解答】解：(1)证明：因为△ABC 是等腰直角三角形，AB ⊥BC ，O 为AC 的中点，所以AC ⊥OB ，AC ⊂平面ABC ，又因为平面POB ⊥平面ABC ，平面POB ∩平面ABC =OB ，所以AC ⊥平面POB ．因为PO ⊂平面POB ，所以AC ⊥PO ，又O 为AC 的中点，所以△P AC 是等腰三角形，故P A =PC ．(2)在平面POB 上，作PD ⊥BO ，垂足为D ，连接DA ，DC ．平面POB ⊥平面ABC ，平面POB ∩平面ABC =OB ，又PD ⊂平面POB ，所以PD ⊥平面ABCD ．由(1)P A =PC ，又AC =P A =2，则△P AC 为等边三角形，所以OP =AP 2-AO 2=62，OB =AC 2=22，所以cos ∠BOP =OP 2+OB 2-BP 22OP ⋅OB=-33，所以cos ∠DOP =33，DO =PO ⋅cos ∠DOP =22，DP =OP 2-DO 2=1，所以AD =DC =AP 2-DP 2=1，在等腰直角△ABC 中，AB =BC =1，所以△ABC ≌△P AC ，故∠ADC =∠ABC =90°，即DA ⊥DC ，以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则P (0，0，1)，A (1，0，0)，B (1，1，0)，C (0，1，0)，P A =(1，0，-1)，AB =(0，1，0)，AC =(-1，1，0)，设平面P AB 的法向量为n =(x 1，y 1，z 1)，则n ⊥P A n ⊥AB ，则n ⋅P A =0，n ⋅AB =0，即x 1-z 1=0，y 1=0， 取x 1=1，可得n =(1，0，1)，设平面P AC 的法向量为m =(x 2，y 2，z 2)，则m ⊥P A m ⊥AC ，则m ⋅P A =0，m ⋅AC =0，即x 2-z 2=0，-x 2+y 2=0，取y 2=1，可得m =(1，1，1)，设二面角C -P A -B 的大小为θ，则cos θ=|cos <m ，n >|=|n ⋅m ||n |⋅|m |=63，sin θ=33，故二面角C -P A -B 的正弦值为33．【点评】本题考查线面垂直的应用，以及利用向量法求二面角，属于中档题．19.已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的上顶点为B ，左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率e =32，△BF 1F 2的面积为3．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)直线l ：y =kx +m (m ≠±1)与椭圆E 相交于点P ，Q ，则直线BP ，BQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1+k 2=1，则直线l 是否经过某个定点A ？若是，请求出A 的坐标．【分析】(1)根据三角形面积和离心率得到方程组，求出a 2=4，b 2=1，求出椭圆方程；(2)联立直线和椭圆方程，得到两根之和，两根之积，表达出k 1，k 2，根据斜率之和得到方程，求出2k =m +1，代入直线方程，求出定点．【解答】解：(1)因为B (0，b )，△BF 1F 2的面积S =12×2c ×b =bc =3，且e =c a =32，又a 2=b 2+c 2，故解得a =2，c =3，b =1，则a 2=4，b 2=1，则椭圆E 的标准方程为x 24+y 2=1；(2)假设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线与椭圆联立得x 24+y 2=1y =kx +m，消去y 整理得(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2-4=0，则x1+x2=-8km4k2+1，x1x2=4m2-44k2+1，又因为B(0，1)，所以k1=y1-1x1，k2=y2-1x2，则k1+k2=y1-1x1+y2-1x2=(kx1+m-1)x2+(kx2+m-1)x1x1x2=1，即2kx1x2+(m-1)(x1+x2)x1x2=1，代入韦达定理得2k4m2-44k2+1+(m-1)-8km4k2+14m2-44k2+1=1，即2k(4m2-4)+(m-1)(-8km)4m2-4=1，化简得2k(m-1)m2-1=1，因为m≠±1，则2km+1=1，即2k=m+1，2k-1=m代入直线得l：y=kx+2k-1，即l：y+1=k(x+2)，所以直线l经过定点A(-2，-1)．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，以及直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．。
全国清北名校高二期末模拟卷（2）答案与提示
x)
=xl
nx,
'(
x)
=l
nx+1。
1
当 x∈ 0,
时,
h
'(
x)<0,
h(
x)单 调
e
递减;
当 x∈
单调递增。
1
,
h
'(
x)>0,
h(
x)
+∞ 时,
e
1
1
所以 h(
的最小值为 h
x)
=- 。
e
e
二、填空题
1
6
1
3. +2π
3
2
-2
2
∫
易得
∫x dx+
2
2
x。
4-x d
-2
xd
x=
2
-2
=-c
x=
间中,
点(
x0 ,
z0 )到 平 面 Ax+By+Cz+
y0 ,
所以 d>b>a>c。
1
2.
B
∫
∫sinxdx+∫
2
得
提 示:由 定 积 分 的 性 质,可
故点(
1,
2,
3)到 平 面 x+2
z+7=0
y+2
|
1+2×2+2×3+7
| 1
8
的距离为 d=
= =6。
2
2
2
3
1 +2 +2
2
5
6 3π
x0 )
=0。
f
2021-2022年高二上学期暑期补习效果检测考试数学试题 Word版含答案
2021-2022年高二上学期暑期补习效果检测考试数学试题 Word 版含答案数学试题 时间：120分钟 分数：150分一．选择题：（每小题5分，共10题）1. 等比数列中, 则的前4项和为 （ ）A ．40B ．80C ．20D ．412. 在中，已知，则( )A ．B ．C ．D ．3. 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若120c b B ===，则等于（ ） A ． B ．2 C ． D ．4．在中,,则此三角形解的情况是( )A ．一解B ．两解C ．一解或两解D ．无解5.等差数列9}{,27,39,}{963741前则数列中n n a a a a a a a a =++=++项的和等于（ ） A ． B ． C ． D ．6.已知等比数列的前n 项和为，且，则=++++2019181716a a a a a （ ）A ．54B ．48C ．32D ．167. 已知等差数列的公差d ≠0，且成等比数列，则的值是( )A ．B ．C ．D ．8. 某人朝正东方向走千米后，向右转并走3千米，结果他离出发点恰好千米，那么的值为（ ）A ． B ． C ．或 D ．39. 若，， ，，成等比数列，，，，，成等差数列，则=（ ） A ． B ． C ． D ．10..已知等差数列前项和为.且则此数列中绝对值最小的项为（ ）A. 第5项B. 第6项 C 第7项. D. 第8项二．填空题：（每小题5分，共5题）11．已知数列的前n项和为，且，则12.若b=a，则三角形的形状为13.等差数列,的前项和分别为,，若，则___________.14．在等比数列中，已知前n项和=，则的值为.15.在ΔABC中，若,那么___________.三．解答题：（解答应写出必要的文字说明和演算过程）16.本题满分12分设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）求B的大小；（2）若，，求b．17. 本题满分12分如图，隔河看两目标A、B，但不能到达，在岸边选取相距km的C、D两点，并测得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°（A、B、C、D在同一平面内），求两目标A、B之间的距离．18.本题满分12分等比数列{}的前n 项和为，已知,,成等差数列（1）求{}的公比；（2）若-=3，求19.本题满分12分已知的周长为，且．（1）求边c的长；（2）若的面积为，求角的度数．20．本题满分13分. 已知数列的前项和满足，又，.（1）求实数k的值；（2）求证：数列是等比数列.21. 本题满分14分设等差数列满足，且是方程的两根。
2024年高二入学摸底考试试卷数学(解析版)(北京专用)
2024年高三数学秋季开学考试（北京专用）注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}2A x =∈≤，{}23B x x =-≤≤，则A B = （）A ．{}03x x ≤≤B ．{}24x x -≤≤C ．{}0,1,2,3D ．{}2,1,0,1,2,3,4--2．已知复数55i2iz +=+（i 是虚数单位），则z 的虚部是（）A ．1BC ．iD3．二项式41x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是（）A ．1B ．4C ．6D ．04．设a ，b 是非零向量，则“a b =-或a b =”是“0a b a b +⋅-=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知函数()()2π4cos 1026f x ω⎛⎫=-->⎪⎝⎭，若对任意的实数t ，()f x 在区间,3t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上的值域均为[]1,3-，则ω的取值范围为（）A ．()0,2B ．()0,3C ．()2,+∞D ．()3,+∞6．已知标准椭圆上P ，Q 两点的切线方程分别为210x -=，10y +-=，则直线PQ 的斜率为（）AB ．C ．2D ．2-7．若一圆锥的侧面展开图的圆心角为5π6，则该圆锥的母线与底面所成角的余弦值为（）A ．45B ．35C ．512D ．513作出圆锥的轴截面图SAB 即512r l =，因顶点S 在底面的射影即底面圆圆心在Rt SOB △中，cos SBO ∠故选：C.8．已知12,F F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点，过1F 的直线与双曲线C 的左支交于,A B 两点，若11224,AF F B AB BF ===，则双曲线C 的焦距为（）A B ．4213C D ．9．函数()()()252,2213,2a x x f x x a x a x ⎧---≥⎪=⎨+--<⎪⎩，若对任意1x ，()212R x x x ∈≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为（）A ．[]4,1--B ．[]4,2--C ．(]5,1--D ．[]5,4--10．已知集合1114,3,2,2,3234A ⎧⎫=---⎨⎬⎩⎭，若,,a b c A ∈且互不相等，则使得指数函数x y a =，对数函数log b y x =，幂函数c y x =中至少有两个函数在()0,∞+上单调递减的有序数对(),,a b c 的个数是（）A ．36B ．42C ．72D ．84【答案】C【分析】分类讨论单调性，结合排列数、组合数运算求解.【详解】若x y a =和log b y x =在(0,)+∞上单调递减，c y x =在(0,)+∞上单调递减增，则01,01,0a b c <<<<>，此时有序数对(),,a b c 的个数有：21352A C 18-⋅=个；若x y a =和c y x =在(0,)+∞上单调递减，log b y x =在(0,)+∞上单调递增，则01,1,0a b c <<><，此时有序数对(),,a b c 的个数有：111323C C C 18⋅⋅=个；若log b y x =和c y x =在(0,)+∞上单调递减，x y a =在(0,)+∞上单调递增，则01,1,0b a c <<><，此时有序数对(),,a b c 的个数有：111323C C C 18⋅⋅=个；若x y a =、log b y x =和c y x =在(0,)+∞上单调递减，则01,01,0b a c <<<<<，此时有序数对(),,a b c 的个数有：2133A C 18⋅=个；综上所述：共有1818181872+++=个.故选：C.【点睛】关键点点睛：关键在于恰当的进行分类，做到不重不漏，由此即可顺利得解.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知AB 是圆22:3O x y +=的直径，M ，N 是圆O 上两点，且120MON ∠= ，则()2OM ON AB +⋅的最小值为.设MN 的中点为C ，因为120MON ∠= ，OM =则OC MN ⊥，3sin30OC =设23OM ON OE +=uuu r uuu r uu u r ，则OM 12．与家庭电路不同，从发电厂到用户端的高压电路只有三根火线而没有零线．实际上，发电厂通常采用三相正弦交流进行发电，三根火线的瞬时电流表达式分别为sin A i I t ω=，12sin 2π,sin 2π33B C i I t i I t ωω⎫⎫⎛⎛=+⋅=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭．假设三根火线的电流分别进入用户端并通过一根零线流出，则零线瞬时电流A B C i i i i =++=．13．()52x y +的展开式中32x y 的系数是.（用数字作答）【答案】40【分析】利用通项中,x y 的指数确定r ，然后可得.【详解】因为()52x y+展开式的通项()55155C 22C rr r r r r rr T x y x y --+==，所以含32x y 的项为第3项，即2r =，所以32x y 的系数是2252C 40=.故答案为：4014．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足12a =，则n a =故答案为：88,(2)1,(1)n n n -≥⎧⎨=⎩15．经研究发现：任意一个三次多项式函数()32f x ax bx cx d =+++的图象都有且只有一个对称中心点()()00,x f x ，其中0x 是()0f x ''=的根，()f x '是()f x 的导数，()f x ''是()f x '的导数.若函数()32f x x px x q =+++图象的对称中心点为()1,2-，且不等式()()e 32ee ln 13e x mx xf x x x x ⎡⎤-+≥--+⎣⎦对任意()1,x ∈+∞恒成立，则m 的取值范围是.即可顺利得解.四、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（13分）记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c，已知sin C B =，222a b c +-=(1)求B ；(2)若ABC的面积为3c ．17．（13分）如图，平面四边形ABCD 中，8AB =，3CD =，AD =90ADC︒∠=，30BAD ︒∠=，点E ，F 满足25AE AD = ，12AF AB =，将AEF △沿EF 翻折至PEF !，使得PC =．(1)证明：EF PD ⊥；(2)求平面PCD 与平面PBF 所成的二面角的正弦值．18．（14分）某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）将该校学生支持方案二的概率估计值记为0p ，假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为1p ，试比较0p 与1p 的大小．（结论不要求证明）19．（15分）已知函数()3f x x ax b =++的图象是曲线C ，直线1y kx =+与曲线C 相切于点()1,3.(1)求函数()f x 的解析式；(2)求函数()()23F x f x x =--在区间[]0,2上的最大值和最小值.【答案】(1)()33f x x x =-+(2)最大值为2，最小值为2-.【分析】（1）利用切点在直线和曲线上，结合导数的几何意义即可求解；（2）根据（1）的结论，求出()F x ，再利用导数法求函数的最值的步骤即可求解.【详解】（1）因为切点为()1,3，所以31k =+，解得2k =.由()3f x x ax b =++，得()23f x x a '=+，因为直线21y x =+与曲线C 相切于点()1,3，所以()21312f a =⨯+='，解得1a =-，所以()3f x x x b =-+，由()31113f b =-+=，得3b =.所以函数()f x 的解析式为：()33f x x x =-+.（2）由（1）知，()33f x x x =-+，所以()()3233F x f x x x x =--=-，[]0,2x ∈.可得()33F x x x '=-，令()0F x '=，则2330x -=，解得11x =-（舍），21x =.当01x <<时，()0F x '<；当12x <<时，()0F x '>；所以()F x 在()0,1上单调递减，在()1,2上单调递增.当1x =时，()F x 取的极小值，极小值为()311312F =-⨯=-，又因为()()3300300,22322F F =-⨯==-⨯=，所以当[]0,2x ∈时，()F x 的最大值为2，最小值为2-.20．（15分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左顶点为()30A -,，右顶点为()3,0B ，椭圆上不同于点,A B 的一点P 满足49PA PB k k ⋅=-.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点()2,0的直线l 交椭圆C 于M N ､两点，直线AM BN ､交于点Q ，证明：点Q 在定直线上.根据题意，3a =，设点P 的坐标为所以2200219x y b +=，得20y =则00PA PBy y k k ⋅=⋅=设点()()1122,,,M x y N x y ，可设直线联立222194x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得(24m 由根与系数的关系，12y y +直线AM 的方程：(1x y x +=直线BN 的方程：(23x y x -=-①÷②得，()()123333x y x x x y ++=--因为()121254my y y y =+，所以122121553453my y y x x my y y ++==--因此，点Q 在定直线92x =解法二（齐次化）：由题意如图所示：设不过点()3,0B 的直线MN21．（15分）已知数列{}{},n n a b 的项数均为m (2)m >，且,{1,2,,},n n a b m ∈ {}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n A B ，并规定000A B ==．对于{}0,1,2,,k m ∈ ，定义{}max ,{0,1,2,,}k i k r i B A i m =≤∈∣ ，其中，max M 表示数集M 中最大的数.(1)若1231232,1,3,1,3,3a a a b b b ======，求0123,,,r r r r 的值；(2)若11a b ≥，且112,1,2,,1,j j j r r r j m +-≤+=- ，求n r ；(3)证明：存在{},,,0,1,2,,p q s t m ∈ ，满足,,p q s t >>使得t p s q A B A B +=+．【答案】(1)00r =，11r =，21r =，32r =(2),n r n n =∈N (3)证明见详解【分析】（1）先求01230123,,,,,,,A A A A B B B B ，根据题意分析求解；（2）根据题意题意分析可得11i i r r +-≥，利用反证可得11i i r r +-=，在结合等差数列运算求解；（3）讨论,m m A B 的大小，根据题意结合反证法分析证明.【详解】（1）由题意可知：012301230,2,3,6,0,1,4,7A A A A B B B B ========，当0k =时，则0000,,1,2,3i B A B A i ==>=，故00r =；当1k =时，则01111,,,2,3i B A B A B A i <<>=，故11r =；当2k =时，则22232,0,1,,,i B A i B A B A ≤=>>故21r =；当3k =时，则333,0,1,2,i B A i B A ≤=>，故32r =；综上所述：00r =，11r =，21r =，32r =.（2）由题意可知：nr m≤，且n r ∈N ，因为1,1n n a b ≥≥，且11a b ≥，则10n A B B ≥>对任意*n ∈N 恒成立，所以010,1r r =≥，又因为112i i i r r r -+≤+，则11i i i i r r r r +--≥-，即112101m m m m r r r r r r ----≥-≥⋅⋅⋅≥-≥，可得11i i r r +-≥，反证：假设满足11n n r r +->的最小正整数为01j m ≤≤-，当i j ≥时，则12i i r r +-≥；当1i j ≤-时，则11i i r r +-=，则()()()112100m m m m m r r r r r r r r ---=-+-+⋅⋅⋅+-+()22m j j m j ≥-+=-，又因为01j m ≤≤-，则()2211m r m j m m m m ≥-≥--=+>，假设不成立，故11n n r r +-=，即数列{}n r 是以首项为1，公差为1的等差数列，所以01,n r n n n =+⨯=∈N .（3）因为,n n a b 均为正整数，则{}{},n n A B 均为递增数列，（ⅰ）若m m A B =，则可取0t q ==，满足,,p q s t >>使得t p s q A B A B +=+；（ⅱ）若m m A B <，则k r m <，构建,1n n r n S B A n m =-≤≤，由题意可得：0n S ≤，且n S 为整数，反证，假设存在正整数K ，使得K S m ≤-，则1,0K K r K r K B A m B A +-≤-->，可得()()111K K K K K r r r r K r K b B B B A B A m +++=-=--->，这与{}11,2,,K r b m +∈⋅⋅⋅相矛盾，故对任意1,n m n ≤≤∈N ，均有1n S m ≥-.①若存在正整数N ，使得0N N r N S B A =-=，即N Nr A B =，可取0,,N t q p N s r ====，满足,p q s t >>，使得t p s q A B A B +=+；②若不存在正整数N ，使得0NS =，因为(){}1,2,,1n S m ∈--⋅⋅⋅--，且1n m ≤≤，所以必存在1X Y m ≤<≤，使得X Y S S =，即X Y r X r Y B A B A -=-，可得X Y Y r X r A B A B +=+，可取,,,Y X p Y s r q X t r ====，满足,p q s t >>，使得t p s q A B A B +=+；（ⅲ）若m m A B >，定义{}max ,{0,1,2,,}k i k R i A B i m =≤∈L ∣，则k R m <，构建,1n n R n S A B n m =-≤≤，由题意可得：0n S ≤，且n S 为整数，反证，假设存在正整数,1K K m ≤≤，使得K S m ≤-，则1,0K K R K R K A B m A B +-≤-->，可得()()111K K K K K R R R R K R K a A A A B A B m +++=-=--->，这与{}11,2,,K R a m +∈⋅⋅⋅相矛盾，故对任意11,n m n ≤≤-∈N ，均有1n S m ≥-.①若存在正整数N ，使得0N N R N S A B =-=，即N R N A B =，可取0,,N q t s N p R ====，即满足,p q s t >>，使得t p s q A B A B +=+；②若不存在正整数N ，使得0NS =，因为(){}1,2,,1n S m ∈--⋅⋅⋅--，且1n m ≤≤，所以必存在1X Y m ≤<≤，使得X Y S S =，即X Y R X R Y A B A B -=-，可得Y X R X R Y A B A B +=+，可取,,,Y X p R t X q R s Y ====，满足,p q s t >>，使得t p s q A B A B +=+.综上所述：存在0,0q p m t s m ≤<≤≤<≤使得t p s q A B A B +=+．。
黑龙江省哈尔滨德强学校2022-2023学年高三下学期清北班阶段性测试(开学考试)数学试卷
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条边到达另一顶点，其中顺时针的概率为 1 ，逆时针的概率为 2 ，设蚂蚁经过 n 步到达
3
3
B，D 两点的概率分别为 pn, qn n N ．下列说法正确的有（ ）
A．
p3
13 27
试卷第 1 页，共 5 页
8．已知焦点在
x 轴上的椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1 a
b 0 的内接平行四边形的一组对边分别
经过其两个焦点（如图），当这个平行四边形为矩形时，其面积最大，则椭圆离心率的
取值范围是（ ）
A． 0,
2
2
C． 0,
6
3
B．
2 2
,1
D．
6 3
已知甲与乙、丙、丁比赛，甲的胜率分别为 1 , 2 , 2 ；乙与丙、丁比赛，乙的胜率分别 235
为 1 , 3 ；丙与丁比赛，丙的胜率为 1 . 任意两场比赛之间均相互独立．
25
2
(1)求丙在第二轮被淘汰的概率；
(2)在丙在第二轮被淘汰的条件下，求甲所有比赛全胜并获得冠军的概率．
21．已知椭圆 C： x2 a2
C．
p2n1
B． p2n q2n 1
2022
D． pk 505
k 1
三、填空题
13．抛物线 y2 2 px p 0 上一点 M 2, y 到焦点 F 的距离|MF|=5，则抛物线的方程为..
14．《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马.若从一个 阳马的 8 条棱中任取 2 条，则这 2 条棱所在直线互相垂直的概率为. 15．如图，在梯形 ABCD 中， AB∥CD，AD DC BC 2，ABC 60 ，将 VACD 沿 边 AC 翻折，使点 D 翻折到 P 点，且 PB 2 2 ，则三棱锥 P ABC 外接球的表面积是.
黑龙江省哈尔滨市德强高中2020-2021学年度上学期清北班阶段性检测考试高二数学试题
德强高中2020-2021学年度上学期清北班阶段性检测考试高二学年 数学试题答题时间：120分钟 满分：150分一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求.）1．若命题p 的逆命题是q ，否命题是r ，则q 是r 的（ ） A ．逆命题B ．否命题C ．逆否命题D ．以上都不正确2．执行如图所示的程序框图，若输出S 的值为0.99，则判断框内可填入的条件是（ ）A ．99i <B ．100i >C ．100i <D ．98i <3．下列说法正确的是（ ）A ．任何事件的概率总是在（0，1）之间B ．频率是客观存在的，与试验次数无关C ．随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率D ．概率是随机的，在试验前不能确定4．孙子定理在世界古代数学史上具有相当高的地位，它给出了寻找共同余数的整数问题的一般解法.右图是某同学为寻找共同余数为2的整数n 而设计的程序框图，若执行该程序框图，则输出的结果为（ ）A ．29B ．30C ．31D ．325．在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别（）.A ．23与26B ．31与26C ．24与30D ．26与306．已知一根3米长的绳子，现将其任意剪成两段，则两段长度差的绝对值小于1米的概率为（ ）A ．13B ．14C ．12D ．237．如图，二面角AB αβ--的大小为θ，P ，Q 分别在平面α，β内，PM AB ⊥，NQ AB ⊥，PM m =，QN n =，PQ l =，则MN =（ ）ABCD8．嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，对该椭圆下述四个结论正确的是（ ）A ．焦距长约为150公里B ．长轴长约为3988公里C ．两焦点坐标约为()150,0±D ．离心率约为759949．如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，△ABC 为等边三角形，△PAC 为等腰直角三角形，PA ＝PC ＝4，平面PAC ⊥平面ABC ，D 为AB 的中点，则异面直线AC 与PD 所成角的余弦值为（ ）A ．14BC．D ．1210．已知1F ，2F 为椭圆2214x y +=的左、右焦点，P 是椭圆上异于顶点的任意一点，点Q 是12F PF ∆内切圆的圆心，过1F 作1F M PQ ⊥于M ，O 为坐标原点，则||OM 的取值范围为（ ）A ．()0,1B．(C．(D．(11．过双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>左焦点F 的直线l 与C 交于,M N 两点，且3FN FM =，若OM FN ⊥，则C 的离心率为（ ）A ．2BC ．3 D12．过抛物线()220y px p =>的焦点F 作直线与抛物线在第一象限交于点A ，与准线在第三象限交于点B ，过点A 作准线的垂线，垂足为H .若tan 2AFH ∠=，则AF BF=（ ）A ．54B ．43C ．32D ．2二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13．设命题p ：1x ∀≥，2430x x -+≥，则命题p 的否定形式为：________.14．在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，采用随机模拟试验的方法估计三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况.经随机模拟试验产生了如下20组随机数：90 79 66 19 19 25 27 19 32 81 24 58 56 96 83 43 12 57 39 30 27 55 64 88 73 01 13 53 79 89据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为______.15．一个总体中有100个个体，随机编号0，1，2，…，99，依从小到大的编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码个位数字与+m k 的个位数字相同，若8m =，则在第8组中抽取的号码是______.16．已知M 是圆()()22:115C x y -+-=上一动点，A 为圆C 所在平面内一定点（C 为圆C 的圆心），线段MA 的垂直平分线与直线MC 交于点P ，则点P 的轨迹可能是________．（写出所有正确结论的序号）①圆；②圆圆；③圆圆圆；④圆圆圆；⑤圆圆圆；⑥圆圆圆三．解答题(本大题共70分.)17．(10分)某校为了解疫情期间学生线上学习效果，进行一次摸底考试，从中选取出40名同学的成绩（百分制，均为正数），分成[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[)90,100六组后，得到其频率分布直方图（如图），观察图形，回答下列问题：（1）根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的中位数和平均值；（2）为分析线上学习效果的差异，从[)40,50和[)90,100这两组中随机抽取3人的成绩，求这两组中至少各抽取1人的概率.18．(12分)某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y （单位：千元）的数据如下表：（1）求y 关于t 的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()121niii ni i t t y y b t t ∧==--=-∑∑，ˆˆay bt =-19．(12分)如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，点M 是棱PC 的中点.（1）证明：PC BD ⊥；（2）当2PA =时，求直线AM 与平面PBC 所成角的正弦值.20．(12分)已知()1,0F ，以线段FP 为直径的圆恒与y 轴相切，动点P 的轨迹记为曲线T . （1）求曲线T 的方程；（2）设直线l 经过点()2,0与曲线T 交于M ，N 两点，问：在x 轴上是否存在一点Q ，使得直线QM ，QN 的倾斜角互补？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.21．(12分)如图，四棱锥P ABCD -的底面是菱形，2AB AC ==，PA = PB PD =.（1）证明：平面PAC ⊥平面ABCD ；（2）若PA AC ⊥，点M 在棱PC 上，且BM MD ⊥，求二面角B AM C --的余弦值.22．(12分)如图，椭圆C ：()221212x y m m m +=>+-的离心率e =C 的左、右顶点分别为A ，B ，又P ，M ，N 为椭圆C 上非顶点的三点.设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k .（1）求椭圆C 的方程，并求12k k ⋅的值；（2）若//AP ON ，//BP OM ，判断OMN 的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.德强高中2020-2021学年度上学期阶段性考试高二学年 数学参考答案一．选择题CCCDB AADBC BC二．填空题13． 01x ∃≥，200430x x -+< ；14. 0.25；15. 76 ；16. ①①①①.三．解答题17. 解：（Ⅰ）由图知，()0.010.0150.02100.450.5++⨯=<()0.010.0150.020.0025100.70.5+++⨯=>，所以，中位数位于70到80之间，设中位数为y ，则700.50.4580700.25y --=-，解得72y =均值为：450.10550.15650.2750.25850.25950.0570.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （Ⅱ）由题意知[)40,50组抽取的人数有4人，[)90,100组抽取的人数有2人. 从中任抽取3人共有20种可能，其中抽取的3人均来自同一组的有4种可能，由对立事件和古典概率计算公式知， 这两组中至少各有1人的概率441205P =-=.…………….10分 18. （1）由所给数据计算得t ＝17（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7）＝4，y ＝17（2．9＋3．3＋3．6＋4．4＋4．8＋5．2＋5．9）＝4．3，721()941014928ii tt =-=++++++=∑，71()()(3)( 1.4)(2)(1)(1)(0.7)00.110.520.93 1.614iii t t y y =--=-⨯-+-⨯-+-⨯-+⨯+⨯+⨯+⨯=∑71721()()14^0.528()iii bi i t t y y t t ==--===-∑∑ ，所求回归方程为^0.5 2.3yt =+． （2）由（1）知，^0.50b=>，故2009年至2015年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0．5千元．将2017年的年份代号t ＝9，代入（1）中的回归方程，得^0.59 2.3 6.8y=⨯+=， 故预测该地区2017年农村居民家庭人均纯收入为6．8千元．. …………….12分 19. 解：（1）连接AC ，BD 交于点O ， ∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴BD PA ⊥，又∵ABCD 是菱形， ∴BD AC ⊥. 又∵PAAC A =，PA ，AC 都在平面ABCD 内,∴BD ⊥平面PAC ， 又∵PC ⊂平面PAC , ∴PC BD ⊥.（2）易知AC BD ⊥，O 为AC 的中点，且M 是PC 的中点，//MO PA ，∴MO ⊥平面ABCD 以O 为坐标原点，OB ，OC ，OM 分别为x ，y ，z 轴建立如科所示的空间直角坐标系O xyz -.又∵2PA AB ==，60ABC ∠=︒∴(0,1,0)A -，(0,0,1)M ，(0,1,2)P -，B ，(0,1,0)C .∴(0,1,1)MA =--，(3,1,2)PB =-，(0,2,2)PC =-.设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则·0·0PB n PC n ⎧=⎨=⎩即20220y z y z +-=-=⎪⎩，取(3,3,3)n =. ∴6cos ,42MA n MA n MA n⋅-==. 故所求直线AM 与平面PBC 所成角的正弦值为6cos ,742MA n -==. …………….12分20．（1）设(),P x y ，则FP 的中点为1,22x y +⎛⎫⎪⎝⎭， 由题意得222111222x x y ++⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得24y x =，即曲线T 的方程为24y x =.（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()()20y k x k =-≠，()11,M x y ，()22,N x y .联立()22,4,y k x y x ⎧=-⎨=⎩整理得()22224440k x k x k -++=，所以212244k x x k ++=，124x x =，假设存在点(),0Q a ，由直线QM ，QN 的倾斜角互补可得： 0QM QN k k +=，所以12120y yx a x a+=--， 即()()()()()()()1212122121212122240k x x a x x a y x a y x a x a x a x x a x x a -+++⎡⎤-+-⎣⎦==---++，所以()()12122240x x a x x a -+++=， 所以()2482440a a k ⎛⎫-+++= ⎪⎝⎭恒成立， 所以只需2a =-，此时点()2,0Q -.当直线l 的斜率不存在时，()2,0Q -符合题意.综上，存在点()2,0Q -，使得直线QM ，QN 的倾斜角互补.…………….12分 21．（1）如图所示：连接BD 与AC 相交于E ， PB PD =，故PE BD ⊥， 四棱锥P ABCD -的底面是菱形，故AC BD ⊥，ACPE E =，故BD ⊥平面PAC ，PD ⊂平面ABCD ，故平面PAC ⊥平面ABCD .（2）PA AC ⊥，故PA ⊥平面ABCD ，取BC 中点N ，连接AN ，故AN AD ⊥. 以,,AN AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：则1,0),(0,2,0),(0,0,B D C P -，设(,,),,01M a b M c P PC λλ=≤≤，(,,a b c λ∴-=-，解得a =，b λ=，c =. ,,)M λ∴，(31,,)BM λ=+，()3,DM λ=-，BM DM⊥，故(3(1)(2))0BM DM λλ⋅=++-+=，解得12λ=或54λ=（舍去），12M ∴. 设平面ABM 的法向量为(),,n x y z =，则3102230n AM x y n AB x y⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅=-=⎩，取(3,3,x n ==， 设平面ACM 的法向量为(),,m a b c =，则3102230m AM b m AC a b ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅=+=⎩，取a =(3,3,0)m =-， 设二面角B AM C --的平面角为θ，则6cos 15mn m nθ⋅===⋅. (12)分22．（1）由题意得c ==2c e a ==，所以2a =，1b ==，即椭圆C ：2214x y +=.设()00,P x y ，则222200001144x x y y ==-+⇒， 又()2,0A -，()2,0B ，则()()20201220001142244x y k k x x x -⋅===--+-. （2）设直线MN 的方程为()0y kx t k =+≠，()11,M x y ，()22,N x y ，22,1,4y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222418440k x ktx t ⇒+++-=， 122841kt x x k +=-+，21224441t x x k -=+， ()()12121212121211404044AP BP y y k k y y x x kx t kx t x x x x ⋅=-⇒⋅=-⇒+=⇒+++=，()()22121241440k x x kt x x t ++++=，()22222448414404141t ktk kt t k k -+⋅-⋅+=++即()()()2222224144324410k t k t tk+--++=，即2281640t k --=22241t k ⇒-= 22241t k ⇒=+，MN ==========O 到直线MN 的距离d =，所以112OMNS=⋅==. ∴OMN 的面积为定值1.…………….12分。
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专题一：函数、导数专题选讲（一）——函数性质、函数方程与函数图象、函数值域与最值、函数与不等式问题1.函数性质应用例1.（1）（14·全国16）若函数f(x)＝cos 2x ＋asin x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2是减函数，则a 的取值范围是________。
（2）已知函数()323f x x tx x =-+，若对于任意的[]1,2a ∈，(]2,3b ∈，函数()f x 在区间(),a b 上单调递减，则实数t 的取值范围是（ ）A.(],3-∞B.(],5-∞C.[)3,+∞D.[)5,+∞（3）设函数22()9f x x x ax =---（a 为实数），在区间(,3)-∞-和(3,)+∞上单调递增，则实数a 的)()3,+∞ C )()0,+∞ sin sin ααβ-．则下列结论正确的是（0> D.足：(3)1x -=，(2y -A ．恒大于0B ．恒等于0C ．恒小于0D ．符号不确定（5）定义在R 上的函数1ln )(2++=x e x f x，且)()(x f t x f ＞+在()∞+-∈，1x 上恒成立，则关于x 的方程(21)()f x f t e -=-的根的个数叙述正确的是( )A ．有两个B ．有一个C ．没有D ．上述情况都有可能 （6）（14·四川9）已知f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，x ∈(－1，1)。
现有下列命题：①f(－x)＝－f(x)；②f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋x 2＝2f(x)；③|f(x)|≥2|x|。
其中的所有正确命题的序号是( )A ．①②③B ．②③C ．①③D ．①②（7）（14·湖北卷）已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)．若?x ∈R ，f(x －1)≤f(x)，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，16B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－66，66C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33（8）定义在（﹣1，1）上的函数f （x ）满足：对任意x ，y ∈（﹣1，1），()()1x y f x f y f xy ⎛⎫--=⎪-⎝⎭恒成立．有下列结论：①f （0）=0；②函数f （x ）为（﹣1，1）上的奇函数；③函数f （x ）是定义域内的增函数；④若122()1nn n a a n N a ++=∈+，且a n ∈（﹣1，0）∪（0，1），则数列{f （a n ）}为等比数列。
例8<i x ，(=i （2(f （3y ＝f(x)A （4（5（1（2②其中正确的命题为________________。
（6）已知R 上的连续函数g(x)满足：①当0x >时，'()0g x >恒成立('()g x 为函数()g x 的导函数)；②对任意的x R ∈都有()()g x g x =-，又函数()f x 满足：对任意的x R ∈，都有)(f x f x =成立。
当[x ∈时，3()3f x x x =-。
若关于x 的不等式2[()](2)g f x g a a ≤-+对33[22x ∈--+恒成立,则a 的取值范围是（ ）A.a R ∈B.01a ≤≤C.1122a -≤≤-+0a ≤或1a ≥（7）定义域为R 的函数f(x)的图像关于直线x= 1对称，当x ∈[0,l]时，f(x) =x,且对任意R x ∈只都有f(x+2) = -f(x),g(x)= ⎩⎨⎧<--≥)0)((log )0)((2013x x x x f ，则方程g(x)-g(-x) =0实数根的个数为（ ）A.1006B.1007C.2012D.2014（8）已知函数()y f x =满足：4()()()()(,),f x f y f x y f x y x y R =++-∈且1(1),4f =则 (2014)(2015)f f += 。
（9）定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3(,0)4-成中心对称，对任意的实数x 都有3()()2f x f x，且(1)1,f (0)2f ，则(1)(2)(3)(2012)f f f f 的值为（ ）A ．2B ．1C ．0D ．2（(cos2g x =()f x g =A C （(f （①f ②f （()f x 的（①对任意x R ∈都有(6)()(3)f x f x f +=+成立； ②(5)1f -=-；③当12,[0,3]x x ∈且12x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x ->-．则：（Ⅰ）(2009)________f =；（Ⅱ）若方程()0f x =在区间[,6]a a -上恰有3个不同实根，则实数a 的取值范围是________。
（15）已知()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，当12x x ≤时，12()()f x f x ≤。
当[0,1]x ∈时，2((),5xf f x =()1(1)f x f x =--，则150()2014f -+151( )2014f -+170( )2014f +-171+( )2014f -=( ) A.112-B.5-C.6-D.275-2.函数方程与函数图象及应用例4.（1）已知函数()(f x x ∈R)是偶函数，且(2)(2)f x f x +=-，当[0,2]x ∈时，()1f x x =-，则方程1()1||f x x =-在区间[10,10]-上的解的个数是（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11（2）设函数244,1()43,1x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩，则函数g （x ）=f （x ）﹣log 4x 的零点个数为（ ） A ． 4个 B ． 3个 C ． 2个 D ． 1个 （3）已知定义在R 上的函数()y f x =对任意的x 都满足(1)()f x f x +=-，当11x -≤＜ 时，3()f x x =，若函数()()log a g x f x x =-至少6个零点，则a 取值范围是（ ）A.10,5,5+∞（]（）B.10,[5,5+∞（））C.11,]5,775（（）D.11,[5,775（））练习：若函数2()f x x k =-的图象与函数()3g x x =-的图象至多有一个公共点，则实数k 的取值范围是（ ）A.(,3]-∞B.[9,)+∞C.(0,9]D.(,9]-∞（4）[2014·天津卷] 已知函数f(x)＝|x 2＋3x|，x ∈R.若方程f(x)－a|x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________。
（5）如图，偶函数)(x f 的图像形如字母M ，奇函数)(x g 的图像形如字母N ，若方程：,0))((,0))((==x g f x f f 0))((,0))((==x f g x g g 的实根个数分别为a 、b 、c 、d ，则d c b a +++=（ ）A ． 27B ． 30C ．33D ． 36（6）设定义在R 上的函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=3,13,|3|1)(x x x x f ，若关于x 的方程f 2(x) +af(x) +b=O 有5个不同实数解,则实数a 的取值范围是（ ） A.(0,1) B.(- ∞,-1)C.(1，+ ∞)D.( -∞，—2) U ( —2，— 1)（7）若函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有极值点x 1，x 2，且f(x 1)＝x 1，则关于x 的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b ＝0的不同实数根的个数是 ( )A ．3B ．4C ．5D ．6 练习：已知函数f （x ）是定义在R 上的以4为周期的函数，”当x ∈（－1，3]时，f （x ）＝21(1,1](12),(1,3]x x t x x ⎧∈⎪⎨∈⎪⎩－,－－－ 其中t>0．若函数y ＝()f x x －15的零点个数是5，则t 的取值范围为( ) A ．（25，1） B ．（25，65） C ．（1，65） D ．（1，＋∞）（8）已知函数xx f 64)(=与函数t x x g +=31)(，若)(x f 与)(x g 的交点在直线x y =两侧，则实数t 的取值范围( )A ．]0,6(-B ．)6,6(-C ． ),4(+∞D ．)4,4(-练习：①若指数函数y a =的图象与直线y x =相切，则a =__________；②如果函数()log xa f x a x =-不存在零点，则a 的取值范围为____________。
（10）对应定义域和值域均为[]1,0的函数)(x f ，定义：)()(1x f x f =，[])()(12x f f x f =， ，[])()(1x f f x f n n -=， ,4,3,2=n ，方程[]1,0,)(∈=x x x f n 的零点称为f 的n 阶不动点。
设（，函数(fA C 3.例的取值范A （2{n a }，A （3A 变式：记函数()f x =的最大值为M ，最小值为m ，则M mM m-+的值为（ ）A ．13B ．3C ．35D ．23再变式：求函数y =（4）数()122014122014f x x x x x x x =+++++++-+-++-的定义域为R ,给定两集合4222{((12101)(2))(2)}A a R f a a a f a =∈-++=+及B ={()(),}a R f x f a x R ∈≥∈，则集合A B 的元素个数是_________。
练习：①函数191()1219i f x x i x x x ==-=-+-++-∑的最小值为（ ）A ．190 B ．171 C ．90 D ．45 ② [2014·辽宁卷] 已知定义在[0，1]上的函数f(x)满足： ①f(0)＝f(1)＝0；②对所有x ，y ∈[0，1]，且x ≠y ，有|f(x)－f(y)|<12|x －y|。
若对所有x ，y ∈[0，1]，|f(x)－f(y)|<k 恒成立，则k 的最小值为( )A.12B.14C.12πD.18 （5）对任意实数a ，b ，定义F(a ，b)=12(a+b-|a-b|)，如果函数2()ln(),()3f x e x g x x ==-,(1,2)时1，（12）设2,1(),1x x f x x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，()g x 是二次函数，若(())f g x 的值域是[0,)+∞，则()g x 的值域是（ ）（13）已知113k ≤<，函数()21xf x k =--的零点分别为1212,()x x x x <，函数()2121x kg x k =--+的零点分别为3434,()x x x x <，则4321()()x x x x -+-的最小值为（ ）A.1B.2log 3C.2log 6D.3(14)规定[]x 表示不超过x 的最大整数，例如：[3.1]=3，[-2.6]=-3，[-2]=-2；若()f x '是函数()ln ||f x x =导函数，设()()()g x f x f x '=⋅，则函数[()][()]y g x g x =+-的值域是（ ） A ．{}偶数B ．{0,1}C ．{0}D.{1,0}-例2.（1）若实数a ，b,c,d 满足222(3ln )(2)0b a a c d +-+-+=，则22()()a c b d -+-的最小值为（ ）A.8 B． C ．（2）若点P 、Q 分别在函数y ＝e x和函数 y ＝lnx 的图象上，则P 、Q 两点间的距离的最小值是______。