排列组合典型例题
DOCUment Senal number [UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108]
典型例题一
例1用O到9这10个数字?可组成多少个没有重复数字的四位偶数解法1:当个位数上排“0”时,千位,百位,十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列,故有个;
当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排,则千位上从余下的八个非零数字中任选一个,百位,十位上再从余下的八个数字中任选两个来排,按乘法原理有A;(个)?
???没有重复数字的四位偶数有
A; + A:??您=504 +1792 = 2296 个.
典型例题二
例2三个女生和五个男生排成一排
(1)如果女生必须全排在一起,可有多少种不同的排法
(2)如果女生必须全分开,可有多少种不同的排法
(3)如果两端都不能排女生,可有多少种不同的排法
(4)如果两端不能都排女生,可有多少种不同的排法
解:(1)(捆绑法)因为三个女生必须排在一起,所以可以先把她们看成一个整体,这样同五个男生合一起共有六个元素,然成一排有肉种不同排法.对于其中的每一种排法,三个女生之间又都有对种不同的排法,因此共有?俎=4320种不同的排法.
(2)(插空法)要保证女生全分开,可先把五个男生排好,每两个相邻的男生之间留出一个空档.这样共有4个空档,加上两边两个男生外侧的两个位置,共有六个位置,再把三个女生插入这六个位置中,只要保证每个位置至多插入一个女生,
就能保证任意两个女生都不相邻.由于五个男生排成一排有&种不同排法,对于其中任意一种排法,从上述六个位置中选出三个来让三个女生插入都有犹种方法,因此共有A^AI= 14400种不同的排法.
(3)解法1:(位置分析法)因为两端不能排女生,所以两端只能挑选5个男生中的2个,有念种不同的排法,对于其中的任意一种排法,其余六位都有肉种排法,所以共有A;-=14400种不同的排法?
(4)解法1:因为只要求两端不都排女生,所以如果首位排了男生,则未位就不再受条件限制了,这样可有九?駕种不同的排法;如果首位排女生,有A;种排法,这时末位就只能排男生,有A;种排法,首末两端任意排定一种情况后,其余6位都有种不同的排法,这样可有
种不同排法.因此共有A^A;+A^A^A^= 36000种不同的排法?
解法2: 3个女生和5个男生排成一排有笛种排法,从中扣去两端都是女生排法4;?肉种,就能得到两端不都是女生的排法种数.
因此共有= 36000种不同的排法?
典型例题三
例3排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。
(1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种
(2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种
解:(1)先排歌唱节目有&种,歌唱节目之间以及两端共有6个位子,从中选4个放入舞蹈节目,共有中方法,所以任两个舞蹈节目不相邻排法有:=43200.
(2)先排舞蹈节目有中方法,在舞蹈节目之间以及两端共有5个
空位,恰好供5个歌唱节目放入。所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有:A;=2880种方法。
典型例题四
例4某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课,如果第一节不排体育,最后一节不排数学,那么共有多少种不同的
排课程表的方法.
分析与解法1: 6六门课总的排法是禹,其中不符合要求的可
分为:体育排在第一书有谡种排法,如图中I;数学排在最后一节有&种排法,如图中]【;但这两种排法,都包括体育排在第一书数学排在最后一节,如图中III,这种情况有血种排法,因此符合条件的排法应是:4:一2您 + 虫=504 (种).
典型例题五
例5现有3辆公交车、3位司机和3位售票员,每辆车上需配1位司机和1位售票员.问车辆、司机、售票员搭配方案一共有多少种
分析:可以把3辆车看成排了顺序的三个空:0X1,然后把3名司机和3名售票员分别填入.因此可认为事件分两步完成,每一步都是一个排列问题?
解:分两步完成?第一步,把3名司机安排到3辆车中,有Af = 6种安排方法;
第二步把3名售票员安排到3辆车中,有4; = 6种安排方法.故搭配方案共有
典型例题六
例6下是表是高考第一批录取的一份志愿表.如果有4所重点院校,每所院校有3个专业是你较为满意的选择?若表格填满且规定学校没有重复,同一学校的专业也没
有重复的话,你将有多少种不同的填表方法
解:填表过程可分两步?第一步,确定填报学校及其顺序,则在4所学校中选出3所并加排列,共有£种不同的排法;第二步,从每所院校的3个专业中选出2个专业并确定其顺序,其中又包含三小步,因此总的排列数有种.综合以上两步,由分步计数原理得不同的填表方法有:A ? A; ? A; ? A; = 5184 种.
典型例题七
例5 7名同学排队照相.
(1)若分成两排照,前排3人,后排4人,有多少种不同的排法
(2)若排成两排照,前排3人,后排4人,但其中甲必须在前排,乙必须在后排,有多少种不同的排法
(3)若排成一排照,甲、乙、丙三人必须相邻,有多少种不同的排法
(4)若排成一排照,7人中有4名男生,3名女生,女生不能相邻,有多少种不面的排法
解:(1) A^-A^ = AJj = 5040 种?
(2)第一步安排甲,有雄种排法;第二步安排乙,有电种排法;第三步余下的5人排在剩下的5个位置上,有&种排法,由分步计数原理得,符合要求的排法共有A;? A:?左=1440种?
(3)第一步,将甲、乙、丙视为一个元素,有其余4个元素排成一排,即看成5
个元素的全排列问题,有谡种排法;第二步,甲、乙、丙三人内部全排列,有生种排法.由分步计数原理得,共有^?A>720种排法.
(4)第一步,4名男生全排列,有划种排法;第二步,女生插空,即将3名女生插入4名男生之间的5个空位,这样可保证女生不相邻,易知有&种插入方法.由分步计数原理得,符合条件的排法共有:A^AI= 1440 种.
典型例题八
例8从2、3、4、5、6五个数字中每次取出三个不同的数字组成三位数,求所有三位数的和.
解:形如E≡的数共有&个,当这些数相加时,由“2”产生的和是A;-2;形如因2国的数也有眉个,当这些数相加时,由“2”产生的和是Af?2?10;形如辺亟的数也有爲个,当这些数相加时,由“2”产生的和应是A;-2-100 .这样在所有三位数的和中,由“2”产生的和是Af 2111.同理由3、4、5、6产生的和分别是Aj ?3?lll , Af 4111,
Af?5?lll, A√6?lll ,因此所有三位数的和是
Λ;-111 ?(2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 26640 .
典型例题九
例9计算下列各题:
1 2 3 n-1
一 + 一 +——…+ 2! 3! 4! n ?
解:(1) A 1ξ =15×14 = 210 ; (2) A ; = 6!=6X 5X 4X 3X 2X 1 = 720 ;
(4)原式= (2!-l)+(3!-2!) + (4!-3!)+?-?+[(Λ + l)!-n!] = (w + l)!-l;
? 12 3 n-1
?? 一 + 一 + 一+ --- + 2! 3! 4! n ?
Illlll
1 1 I 1 = — + — + — + ??? + ----------------- — =]—
1! 2! 2! 3! 3! 4! (n-l)! n ? n ?
本题计算中灵活地用到下列各式:
n↑ = n{n -l )? ; 肋!=(” + 1)!-〃! ; -~~ =—— ; 使问题解得简 U! ("一 1)! n!
单、快捷.
典型例题十
例10 a,b,c,d,e,f 六人排一列纵队,限定。要排在b 的前面(。与 b 可以相邻,也可以不相邻),求共有儿种排法.对这个题目,4、B 、 C 、Z )四位同学各自给出了一种算式:4的算式是B 的算式是 (A ; + A ; + A ; + A ; + △;)? A : ; C 的算式是 A :;
Z )的算式是C ;?盘.上面四个算式是否正确,正确的加以解释,不正确的 说明理由.
⑴ A 25;
(2) A :; (4) l!+2?2!+3?3!+…+nm!
(3)原式= ——2L Ξ9——.(∏-zw )∣. 一!一 [n-l-(∕n -l)!]
(π -1)! (Z?~1)! ?(π-ffl)! ?一i 一 = 1; (n- nι)! ("一 1)! ]__1_ (77- 1) ! H !
解:A中很显然,'■在b前的六人纵队”的排队数目与“b在α前的六人纵队”排队数目相等,而“六人纵队”的排法数目应是这二者数目之和.这表明:4的算式正确.
B中把六人排队这件事划分为α占位,b占位,其他四人占位这样三个阶段,然后用乘法求出总数,注意到α占位的状况决定了b占位的方法数,第一阶段,当。占据第一个位置时,b占位方法数是雄;当。占据第2个位置时,b占位的方法数是扯;……;当。占据第5个位置时,b占位的方法数是A1,当a, b占位后,再排其他四人,他们有竝种排法,可见B的算式是正确的.
C中可理解为从6个位置中选4个位置让c,d9e,f占据,这时,剩下的两个位置依前后顺序应是a , b的.因此C的算式也正确.
Z)中把6个位置先圈定两个位置的方法数C;,这两个位置让a,b占据,显然,α,b占据这两个圈定的位置的方法只有一种(Q要在b的前面),这时,再排其余四人,又有血种排法,可见D的算式是对的? 说明:下一节组合学完后,可回过头来学习Z)的解法.
典型例题十一
例11八个人分两排坐,每排四人,限定甲必须坐在前排,乙、丙必须坐在同一排,共有多少种安排办法
解法可分为"乙、丙坐在前排,甲坐在前排的八人坐法”和
“乙、丙在后排,甲坐在前排的八人坐法”两类情况?应当使用加法原理,在每类情况下,划分“乙丙坐下”、“甲坐下”;“其他五人坐下”三个步骤,又要用到分步计数原理,这样可有如下算法:
Aj ?电?A; + A:? A:? A; = 8 640 (种)?
解法2:采取“总方法数减去不命题意的所有方法数”的算法?把
“甲坐在第一排的八人坐法数”看成“总方法数”,这个数目是
雄?眉.在这种前提下,不合题意的方法是“甲坐第一排,且乙、丙坐两排的八人坐法?”这个数目是?扯?生?其中第一个因数A:表示甲坐在第一排的方法数,G表示从乙、丙中任选出一人的办法数,雄表示把选岀的这个人安排在第一排的方法数,下一个A;则表示乙、丙中沿未安排的那个人坐在第二排的方法数,&就是其他五人的坐法数,于是总的方法数为
A>AJ-8640 (种)?
说明:解法2可在学完组合后回过头来学习.
典型例题十二
例12计划在某画廊展出10幅不同的画,其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画,排成一行陈列,要求同一品种的画必须连在一起,并且不彩画不放在两端,那么不同陈列方式有()?