圆锥曲线离心率题型

因为直线 AF 的方程为 x 2 ，所以直线l 与 AF 的交点
3y0 ，
x 3
N (3,
直线 l 与直线 2 的交点为 2
3 2 x0 3 )
3y0 ，则
MF 2 NF 2
4(2x0 3)2 2
9[ y0 (x0 2)
2
]
，
因为 P(x0 , y0 )( y0 0) 是 C 上一点，则
x2 0 3
AB, CD 的中点为 E 的两个焦点，且 2 AB 3 BC ，则 E 的离心率是
.
x2 y2
3、已知斜率为1的直线l 与双曲线
a2
b2
1(a 0,b 0) 相交于 A，B 两点，且 AB 的中点为
C(1,3) ，求双曲线C 的离心率.
x2 y2 4、 设 F1, F2 为椭圆C : a 2 b2 1(a b 0) 的两焦点，若上存在点 P ，使得 F1PF2 90 ，0
x0x a2
y0 y
1 与直线
AF
相交于点 M
，与直线
x 3 相交于点 N ，证明点 P 在曲线C 上移动时， MF 恒为定值，并求此定值.
2
NF
MF 分析：本题第二问 P(x0 , y0 )( y0 0) 的位置不影响 NF 的值，宜采用直接证明法，即先求出
M,N
l
的坐标，用距离公式代入检验即可.值得提醒的是直线
求椭圆离心率的范围.
DAB , (0, )
5 如图，在等腰梯形 ABCD 中， AB // CD ，且 AB 2AD ，设
2 ，以 A,B 为
焦点，且过C, D 的双曲线的离心率为e1 ，以 C, D 为焦点，且过 A, B 的椭圆的离心率为e2 ，则（
）
（A）随着 的增大， e1 增大， e1e2 为定值 （C）随着 的增大， e1 增大， e1e2 为增大
类型一：离心率的定义
例1
（2014 湖北卷） 已知 F1, F2 是椭圆和双曲线的公共焦点， P 是它们的一个公共点，且
F1PF2 600 ，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )
A. 4 3 3
B. 23 3
C ．3
D．2
分析： PF1F2 既是椭圆的焦点三角形，也是双曲线的焦点三角形，因为焦点三角形中的边长蕴含离 心率所需的“ 2a,2c ”，所以利用圆锥曲线定义、离心率的定义是解答本题的切入点.
:
x0x a2
y 0y
1
为双曲线过点 P 的的
x 3 切线，而直线 2 为双曲线的一条“准线”.
解析:（1）设 F (c,0) ，因为b 1，所以c a2 1
y1x
y 1 (x c)
B(
c ,
c
)
直线OB 方程为
a ，直线 BF 的方程为 a
，解得 2 2a ，
y 又直线 OA 的方程为
1 a
圆锥曲线的离心率题型解析
华中师大一附中博乐分校 833400 刘族刚 朱新婉
圆锥曲线的的离心率e 是反映圆锥曲线几何特征（扁平或开阔程度）的一个数量，是圆锥曲线
的重要几何性质，也是圆锥曲线“统一定义”的纽带，在全国各地历年高考命题中，有关圆锥曲线 离心率的试题屡见不鲜，因而掌握圆锥曲线离心率的概念、题型与求解方法，不仅是巩固基础知识、 领悟数形结合思想及学好解析几何的需要，也完全符合“备考从高一高二开始抓”的教育理念.本文 以离心率的内容为主体，以题型解析为载体，小结出求解离心率问题的策略和方法，希望对大家的 解题有所帮助.
又由余弦定理得 m2 mn n2 4c2 ---------③，
由①②③消去 mn 得 a12
3a2 2
4c 2 ，即 1 e2
3
e2
4.
1
2
22
再据平面向量不等式(a b)2 a b 的坐标表示得
( 1 1 )2 (1 1 1 3 )2 (1 1)( 1 3 ) 16
由（I）知， AP 2a 2 k1 1 a 2k12
1 k1 2 ，
AQ
2a 2 k 2
1
a
2
k
2 2
1 k22 ，
故 2a 2 k 2
1
a
2
k
2 2
1 k22
2a 2 k 2
1
a
2
k
2 2
1 k22 ，
2
所以(k1 k2
2
)[1 k1
2
k2
2
a
2
(2 a
)k1
2
k2
22
] 0，
a 2 (a 2
2)
1，
则 a 2 ．因此，任意以点 A(0,1) 为圆心的圆与椭圆至多有3 个公共点的充要条件为1 a 2 ，
c 则e
a
a21
a
1
1 a2
(0,
2 ]． 2
评注：一般地，建立关于 a, b, c 的不等式的方法主要有：利用题设指定条件、圆锥曲线的定义、圆
锥曲线的方程（如参数方程）、圆锥曲线的性质（如范围）、二次方程的判别式、不等式等． 类型五： 与离心率有关的定值
a2
x
x
到直线 c （右准线）（或
c （左准线））的距离之比为离心率e .
圆锥曲线的离心率问题是数学中的一类典型问题，一般要涉及到解析几何、平面几何、代数
等多个知识点，往往综合性强且方法灵活，从上可以看出，解决圆锥曲线离心率问题，定义是基础、
运算是关键、建立关于 a, b, c 间的关系（等或不等）是解题突破口.只有审清题意，认真推演，才能
由于 k , k 0,且k k ，得1 k 2 k 2 a 2 (2 a 2 )k 2k 2 0 ，
12
1
2
1
2
12
因此( 1 1)( 1 1) 1 a 2 (a 2 2) .
k2
k2
1
2
因为(
1 1)( k12
1 1)
k
2 2
1 ，所以关于 k
, k1
的2方程有解的充要条件是1
（Ⅱ）若任意以点 A(0,1) 为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆离心率的取值范围.
分析：求圆锥曲线的离心率取值范围，就是列出关于 a, b, c, e 的不等关系，再解不等式.
y kx 1
解析：（I）设直线 y kx 1 被椭圆截得的线段为 AP ，由 x 2 a 2
y 2 1
得
类型三：求离心率的值
x2 y2 例 3 设双曲线 1(a b 0) 的半焦距为c ，直线l 过 (a,0),(0, b) 两点，若原点到直线l 的
a2 b2
距离为 3 c ,求双曲线的离心率e . 4
分析：求圆锥曲线的离心率，一般要根据已知条件（如等量关系、几何图形的特征等）建立关于
a, b, c 的等量关系式，进而转化为关于e 的方程求解.
所以e
b2 1
2 ，即 e 2 3 或 e 2 （舍）.
a2
3
评注：有没有注意到条件 a b 0 ，涉及到最终答案的取舍，也是能不能准确求解本题的关键.
类型四：求离心率的范围
例 4（2016 浙江）如图，设椭圆 x 2 y 2 1(a 1) a2
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（Ⅰ）求直线 y kx 1被椭圆截得到的弦长（用 a, k 表示）；
解析：不妨设 PF1 m, PF2 n,(m n) ，椭圆的长半轴长为 a1 ，双曲线的实半轴长为 a2 ，椭圆、
双曲线的离心率分别为e1, e2 ，则由椭圆、双曲线的定义，得 m n 2a1 ， m n 2a2 ，
平方得 m2 2mn n 2 4a 2 -------①， 1
m2 2mn n 2 4a 2------②， 2
y
2
0 1
，
MF 2 代入上式得 NF 2
4(2x0 3)2 9[ y02 (x 0 2)2 ]
4
MF
3 ，则所求定值为 NF
23 3
e
.
评注：与圆锥曲线离心率有关的定值问题有很多，其中教材有经典例题，那就是圆锥曲线的“统一
x2 y2
C : 1(a b 0)
定义”.依据统一定义可得：椭圆 a 2 b2
上任意一点到右焦点 F1(c,0) （或左
x a2
x a2
F2 (c,0) ）的距离与到直线
c （右准线）（或
c （左准线））的距离之比为椭圆离心率
x2 y2
e ；双曲线 C : a 2
b2
1(a 0,b 0) 上任意一点到右焦点 F1(c,0) （或左 F2 (c,0) ）的距离与
a2
支各一个交点，求 k 的取值范围.
分析：双曲线离心率e 决定了双曲线的分布与形状，另外直线l : y kx 3中 k 的几何意义明显（直
线陡峭程度），故本题可用数形结合求解.
解析：由双曲线C :
x2 a2
y2
b2
1(a 0,b 0) 的离心率为e 2 ，可得
b a
e2 1
3，
依离心率的几何意义，双曲线的两支应夹在两渐近线 y 3x 之间且无限接近（如图），要使过
解析：∵直线l 过 (a,0),(0, b) 两点，∴直线l 的方程为
x
y
1，即 bx ay ab 0 ，
ab
因为原点到直线l 的距离为 3 c ，所以 ab ab 3 c ，
4
a2 b2 c 4
则 4ab 3c2 ，又因为b2 c 2 a 2 且离心率e c ， a
所以3e4 16e2 16 0 ，则 e2 4 或 e2 4 ,因为 a b 0 ， 3
c x ，则 A(c, a ) ， k AB
3 a
.
3 ( 1 ) 1
x2 y 2 1
又因为 AB OB ，所以 a a
，解得 a 2 3 ，故双曲线 C的方程为 3
.
（2）由（1）知 a
3 ，则直线l 的方程为
x0x 3
y0y 1
y x0 x 3
，即
3y0
，
M (2, 2x0 3)
例 5（2014 江西）如图，已知双曲线C : x 2 y 2 1(a 0) 的右焦点 F ，点 A, B 分别在曲线C 的两 a2
条渐近线上， AF x 轴， AB OB, BF // OA ( O 为坐标原点）.(1)求双曲线C 的方程；
(2)过曲线C 上一点 P(x 0, y 0)( y 0 0) 的直线l :
点 (0,3) 且斜率为 k 的直线l : y kx 3与曲线C 的左右支各一个交点，直线l 必须绕(0,3) 在两直线
y 3x 3 之间转动，所以 k ( 3, 3) . 评注：离心率e 是圆锥曲线的特征数，它确定了圆锥曲线形状、分布等（做双曲线先画渐近线），借 助这一几何意义，往往为“数形结合”解题带来便利.聪明的读者， k 在什么范围时，直线l 与双曲 线 C 的右支（或左支）有两个交点呢？
e1 e2
e1 3 e2
3 e12 e22
3
所以 1 1 4 3 .故选 A . e1 e2 3
评注：圆锥曲线的离心率的定义e c 是解决离心率问题的基础，值得注意的是，椭圆离心率 a
e (0,1) ；抛物线的离心率e 1；双曲线的离心率e (1,) .
类型二：离心率的几何意义
例 2 已知双曲线C : x 2 y 2 1(a 0,b 0) 的离心率为2 ，若直线l : y kx 3 与曲线C 的左右 a2 b2
参考答案
（B）随着 的增大， e1 减小， e1e2 为定值 （D）随着 的增大， e1 减小， e1e2 为减小
1、 x2 y2 1 43
2、 2 3、2
4、 e [ 2 ,1) 2
5 、（B）
准确作答.
应对训练
1、（2016 天津）设椭圆
x2 y2 a2 3
1 (a＞
3) 的右焦点为 F ，右顶点为 A .已知 1 OF
1 OA
3e FA
，
其中O 为原点， e 为椭圆的离心率. 求椭圆的方程.
2、（2016 山东）已知双曲线 E : x 2 y 2 1(a 0,b 0) ，若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上， a2 b2
(1 a2k )2x 2 2a kx2 0 ， 故 x 1 0 ， x 2
2a 2 k 1 a2k2
．
2a 2k
因
此
AP 1 k 2
x1 x2
1 a2k2
1 k2．
（II）假设圆与椭圆的公共点有4 个，由对称性可设 y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点 P, Q 满足
AP AQ ．记直线 AP, AQ 的斜率分别为 k1 , k2 ，且 k1, k2 0,且k1 k2 ．