大学线性代数-Laplace展开定理和行列式计算方法小结
线性代数行列式计算总结
线性代数行列式计算总结线性代数中的行列式是一种非常重要的数学工具，它在矩阵理论、线性方程组的解法、线性空间与线性变换以及特征值与特征向量的计算中都起到至关重要的作用。
行列式的计算方法有很多，下面我将总结一下常见的行列式计算方法。
首先，我们先来定义什么是一个行列式。
行列式是一个标量，它是一个n阶方阵所带的一个数值特征。
对于一个n阶方阵A，它的行列式表示为，A，或者det(A)，它的计算方法如下所示。
1.二阶行列式的计算方法对于一个二阶方阵A=，a11a12a21a2它的行列式计算方法是：，A，=a11*a22-a12*a212.三阶行列式的计算方法对于一个三阶方阵A=，a11a12a13a21a22a2a31a32a3它的行列式计算方法是：，A，=a11*a22*a33+a12*a23*a31+a13*a21*a32-a13*a22*a31-a12*a21*a33-a11*a23*a323.高阶行列式的计算方法对于一个高阶方阵A，可以通过对其中一行或一列进行展开来计算行列式。
展开的方式有很多种，常用的有代数余子式展开和化简为三角行列式展开两种。
3.1代数余子式展开对于一个n阶方阵A，选择一行或一列展开，计算每个元素的代数余子式，然后按照正负交替的方式相乘相加得到行列式的值。
具体步骤如下：- 选择第i行展开，行列式的值为，A， = ai1*C_1i + ai2*C_2i+ ... + ain*C_ni- 其中，C_ij是元素a_ij的代数余子式，计算方法是去掉第i行和第j列剩余元素构成的(n-1)阶子阵的行列式。
3.2三角行列式展开对于一个n阶方阵A，通过初等变换将方阵化为上三角形或下三角形，然后计算对角线的乘积得到行列式的值。
除了以上两种展开的方法，还可以通过矩阵的特征值和特征向量计算行列式的值。
具体步骤是：-计算矩阵A的特征值λ_1,λ_2,...,λ_n-计算矩阵A的特征向量v_1,v_2,...,v_n-行列式的值等于特征值的乘积：，A，=λ_1*λ_2*...*λ_n行列式的计算方法还有很多，比如拉普拉斯展开、按行或按列展开等。
线性代数技巧行列式的计算方法
线性代数技巧行列式的计算方法行列式是线性代数中重要的概念，它是一个数，可以用来描述矩阵的性质。
在计算行列式时，可以使用不同的方法，如拉普拉斯展开、余子式法、矩阵分解等。
下面我将详细介绍三种常用的行列式计算方法。
1.拉普拉斯展开法拉普拉斯展开法是计算行列式最常用的方法之一、对于一个n阶方阵A，它的行列式可以用下式计算：det(A) = a1jC1j + a2jC2j + ... + anjCnj其中，a1j、a2j、..、anj 表示第1行、第2行、..、第n行的第j 列元素，C1j、C2j、..、Cnj 表示第1行、第2行、..、第n行的第j列的余子式。
在计算过程中，我们可以选择第i行或第j列，将行列式分成两个更小的行列式，然后递归计算这两个行列式的值。
这种方法的计算复杂度为O(n!)，在计算较大的行列式时效率较低。
2.余子式法余子式法是计算行列式的另一种常用方法，它的基本思想是利用代数余子式的概念来计算行列式。
对于一个n阶方阵A，它的行列式可以用下式计算：det(A) = a11A11 + a12A12 + ... + a1nAn其中，a11、a12、..、a1n表示第1行的各个元素，A11、A12、..、An表示对应元素所在的代数余子式。
代数余子式的计算公式如下：Ai = (-1)^(i+1) × det(Mi)其中，Mi表示去掉第1行和第i列之后的(n-1)阶方阵。
通过递归计算，可以将大的行列式转化为多个小的行列式的计算，从而提高计算效率。
3.矩阵分解法矩阵分解法是一种便捷的计算行列式的方法。
对于特殊的矩阵，如三对角矩阵、上（下）三角矩阵、对角矩阵等，可以通过矩阵的分解来简化行列式的计算。
例如，对于上（下）三角矩阵A，它的行列式等于主对角线上的元素相乘：det(A) = a11 × a22 × ... × ann这种方法的计算复杂度为O(n)，适用于这类特殊矩阵。
laplace变换的原理和方法
其中 a 1， a 2 ， a n 及 b 0， b1 b m 均为实数，
A ( s ) ( s s 1 )( s s 2 ) ( s s n ) s i ( i 1, , n ) 是 A ( s ) 0 的根。
1、 A ( s ) 0 无重根 F (s) C1 s s1 C2 s s2 Ci s si Cn s sn
e
( s j ) t
) dt
1
2 j s j
[
1
s j
]
s
2 2
余弦函数
通理可得： F ( s ) L [cos t ] s s
2 2
6、单位脉冲函数
0 f (t ) (t ) t 0 t 0
(t )
且有
'
一般地，有 F
(n)
( s ) L [( t ) f ( t )], Re( s ) c
n
（3）积分性质
设 L [ f ( t )] F ( s )，则有 L [ f ( t ) dt ]
0 t
1 s
F (s)
t t t
L [ dt
dt
n
f ( t ) dt ]
m
C m 1 ( s s1 )
m 1
C1 s s1
C m 1 s s m 1
Cn s sn
C m 1 , C n 的计算同单根部分，
C 1 , C m 的计算公式：
C m lim ( s s 1 )
行列式计算方法小结
行列式计算方法小结行列式是线性代数中的一个重要概念，它为矩阵提供了一种重要的性质。
在计算行列式时，有几种常见的方法可以使用，包括拉普拉斯展开、三角形展开和直接计算等。
本文将对这几种方法进行详细介绍和比较。
一、拉普拉斯展开法拉普拉斯展开法是求解行列式的一种常用方法。
它利用行列式的定义，将行列式按照其中一行或一列展开，转化为更小的行列式的求解问题。
具体步骤如下：1.选择一个行或列，记为第i行（列）；2.将第i行（列）展开为n个代数余子式的乘积，并计算每个代数余子式的数值；3.将每个代数余子式乘以对应的元素，并根据正负法则进行求和。
例如，对于一个3阶的行列式A=abdegh通过拉普拉斯展开法，我们可以选择第一行展开：det(A) = aM11 - bM12 + cM13其中，M11，M12和M13分别表示代数余子式，具体计算方法为：M11=eM22-fM23M12=dM21-fM23M13=dM21-eM22代数余子式计算完成后，再将它们代入到展开式中计算即可。
拉普拉斯展开法的优点是思路清晰，易于理解和操作，适用于2阶及以上的行列式。
但当阶数较高时，计算量较大，效率较低。
二、三角形展开法三角形展开法是另一种常用的行列式计算方法。
它通过将行列式中的元素进行重新排列，使得计算过程更加规整，从而简化计算。
具体步骤如下：1.首先确定一个元素，例如第一行第一列的元素a；2.从第一行第一列开始，按照三角形的形状依次向右下方展开，依次得到包围a的三个三角形；3.将三个三角形的元素进行乘积运算，并根据正负法则求和；4.将得到的结果乘以a。
例如，对于3阶行列式A=abdegh我们可以选择第一行第一列的元素a进行三角形展开：det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)通过三角形展开法，我们将行列式按照三角形的形状展开并进行计算，最后得到结果。
三角形展开法的优点是计算规整，清晰明了，可以简化计算过程。
线性代数行列式计算方法总结
线性代数行列式计算方法总结在线性代数中，行列式是一个非常重要的概念，它在矩阵运算和线性方程组的求解中起着至关重要的作用。
本文将总结一些常见的行列式计算方法，希望能够帮助读者更好地理解和运用线性代数中的行列式。
1. 代数余子式法。
代数余子式法是一种常见的计算行列式的方法。
对于一个n阶矩阵A，它的行列式可以通过以下公式来计算：det(A) = a11A11 + a12A12 + ... + a1nA1n。
其中，a11, a12, ..., a1n是矩阵A的第一行元素，A11, A12, ..., A1n分别是对应元素的代数余子式。
代数余子式的计算方法是先将对应元素所在的行和列去掉，然后计算剩下元素构成的(n-1)阶矩阵的行列式，再乘以对应元素的符号（正负交替）。
通过递归的方式，可以计算出整个矩阵的行列式。
2. 克拉默法则。
克拉默法则是一种用于求解线性方程组的方法，它也可以用来计算行列式。
对于一个n阶方阵A，如果它的行列式不为0，那么可以通过克拉默法则来求解它的逆矩阵。
逆矩阵的元素可以通过矩阵A的各个元素的代数余子式和行列式的比值来计算。
虽然克拉默法则在实际计算中并不常用，但它对于理解行列式的性质和逆矩阵的计算方法有一定的帮助。
3. 初等行变换法。
初等行变换法是一种通过对矩阵进行一系列行变换来简化行列式计算的方法。
这些行变换包括交换两行、某一行乘以一个非零常数、某一行加上另一行的若干倍。
通过这些行变换，可以将一个矩阵化简为上三角形矩阵或者对角矩阵，从而更容易计算它的行列式。
需要注意的是，进行行变换时要保持行列式的值不变，即每一次行变换都要乘以一个相应的系数。
4. 特征值法。
特征值法是一种通过矩阵的特征值和特征向量来计算行列式的方法。
对于一个n阶矩阵A，它的行列式可以表示为其特征值的乘积。
通过计算特征值和特征向量，可以得到矩阵A的行列式的值。
特征值法在实际计算中比较复杂，但它对于理解矩阵的性质和特征值分解有一定的帮助。
线性代数行列式计算方法总结
线性代数行列式计算方法总结线性代数是数学的一个重要分支，而行列式是线性代数中的一个重要概念。
行列式计算方法是线性代数的基础知识，掌握好行列式的计算方法对于深入理解线性代数具有重要的意义。
本文将对线性代数中行列式的计算方法进行总结，希望能够帮助读者更好地掌握这一知识点。
1. 行列式的定义。
在开始介绍行列式的计算方法之前，我们先来回顾一下行列式的定义。
对于一个n阶方阵A，它的行列式记作|A|，定义为：|A| = Σ(−1)^σP1,1 P2,2 ... Pn,n。
其中，σ是1到n的一个排列，P1,1 P2,2 ... Pn,n是这个排列的乘积，Σ表示对所有可能的排列求和。
2. 行列式的计算方法。
接下来，我们将介绍几种常见的行列式计算方法。
2.1 余子式法。
余子式法是计算行列式的一种常用方法。
对于一个n阶方阵A，它的行列式可以通过递归的方式计算得到。
具体步骤如下：对于n阶方阵A，选择第i行（或第j列）展开，得到A的余子式Mij；计算Mij的行列式|Aij|，其中Aij是Mij的转置矩阵；根据公式|A| = ai1 |A1| + ai2 |A2| + ... + ain |An|，计算得到行列式|A|。
2.2 克拉默法则。
克拉默法则是一种用于求解n元线性方程组的方法，它也可以用来计算行列式。
对于一个n阶方阵A，它的行列式可以通过克拉默法则计算得到。
具体步骤如下：对于n元线性方程组Ax = b，其中A是系数矩阵，x是未知数向量，b是常数向量，如果A是非奇异矩阵（即|A| ≠ 0），则方程组有唯一解；解出方程组的每个未知数，可以得到方程组的解向量x；根据克拉默法则，方程组的解向量x的每个分量可以表示为xj = |Aj| / |A|，其中Aj是将系数矩阵A的第j列替换为常数向量b得到的矩阵的行列式。
2.3 对角线法则。
对角线法则是一种简单直观的计算行列式的方法。
对于一个n阶方阵A，它的行列式可以通过对角线法则计算得到。
大学线性代数Laplace展开定理和行列式计算方法小结.pdf
Laplace 展开定理二、Laplace 定理行列式按某几行或几列展开定义:12(1)k i i i +++- ()22111k kj j j i i i M +++++++'- 即，中,k n (1)≤≤个元素，按原来的顺序,余下的元素按原来的顺序,余子式.其中ki i i 12,,, kj j j 12,,, 12kj j j ++++ ，D =M '525435+24++如Da aa aa a=111221223132a a111314a a313334Laplace 定理a ab b 1212+213+34c c 34d d c c0000a a=)......k kk a a a a 1111 ...a ...rb b 111...11a...b b 11k a 1.. 01．利用行列式定义直接计算2．利用行列式的性质计算3．化为三角形行列式4．降阶法5．逆推公式法6．利用已知行列式（范德蒙行列式）7．加边法（升阶法）8．数学归纳法9. 分拆法2123n n n降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用Laplace 定理a100 00naa+.0n x x D -=D=加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。
x a +na1n a D =。
行列式的计算技巧总结
行列式的计算技巧总结行列式是线性代数中的重要概念，它在计算中有着广泛的应用，如矩阵求逆、解线性方程组、判断矩阵的线性无关性等。
行列式的计算可以通过展开定理、性质和转置等多种方法进行。
下面是行列式计算的一些常见技巧总结。
1.行列式的定义和性质行列式是一个标量，用来描述一个矩阵的一些特性。
对于一个n阶方阵A，它的行列式记作det(A)，A，或∆。
行列式具有以下性质：(1) det(A) = det(A^T) //行列互换，行列式不变(2) det(A·B) = det(A)·det(B) //两个矩阵相乘的行列式等于两个矩阵的行列式的乘积(3) 若矩阵A的其中一行（列）全为0，则det(A) = 0(4) 若矩阵A的两行（列）相同，则det(A) = 0(5) 若矩阵A的其中一行（列）成比例，即全部为c倍关系，则det(A) = c^n·det(A')(6) 若矩阵A的其中一行（列）都是两个矩阵B和C对应行（列）的和，则det(A) = det(B) + det(C)2.二阶和三阶行列式的计算二阶行列式的计算可以直接进行运算，即ad-bc。
三阶行列式的计算可以通过对角线和副对角线元素的乘积之和减去反对角线和主对角线元素的乘积之和，即a(ei-fh) - b(di-fg) + c(dh-eg)。
其中a、b、c、d、e、f、g、h、i是矩阵A的元素。
3.行列式的展开行列式的展开定理是行列式计算的重要工具。
对于n阶行列式，可以通过对任意一行（列）展开来计算行列式的值。
展开的时候，可以选择展开到其他行（列）上，也可以选择展开到其他元素，具体选择哪一行（列）或元素展开要根据实际情况决定。
展开后的行列式可以继续进行展开，直到变为二阶行列式，然后通过二阶行列式的计算结果反推回原行列式。
4.行列式的转置行列式的转置是行列式计算的另一个常用方法。
对于n阶行列式A，可以将其转置为A^T，然后利用性质(1) det(A) = det(A^T)进行计算。
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1
j 1
aj x
a1 x 0 0
a2 an 0 x 0 0 0 x
第i行减第1行
i 2, , n 1 1 1
0 0 0
（箭形行列式）
8．数学归纳法
x 0 Dn 0 an 1 x 0 0 1 0 0 0 0 1 a1 x 0 x
2 x2
1 x2 1 2 x2 x2
1 xn 1 2 xn xn
n 1 n2 n 1 n2 x2 x2 xn xn
1 xn
2 xn
n 1 n 1 x2 xn
n i j 1
( xi x j )
7．加边法（升阶法）
3
b b
( n) ( n 1)
a a
例
a11 ak 1 c11 cr 1 ... a1k ... akk ... c1k ... crk 0 0 b11 br 1 ...
4
0 a11 ... a1k b11 ... b1r ... 0 ... b1r ak 1 ... akk br 1 ... brr ... brr (k r) (k r)
an 1 an 2 a2
9．拆开法(分拆法)
a1 1 Dn a1 a1
a1 a1 a1 a2
a2
an an
a2 2 a2
an n
an
1
a2 2 an 0 a2 an n 0
a2 a2 2 a2
例
a11 ... a1k c11
5
... c1r
ak 1 ... akk 0 ... 0 0 ... 0
ck 1 b11 br 1 ... brr
a11 ... a1k b11 ... ckr ... b1r ak 1 ... akk b r1
(k r) (k r)
0 b3
( 1)
1 2 1 3
c2 c4 d2 d4
a2 b2
0 ( 1)1 2 2 3 c1 c4 d d 1 4 b3
例
a 0 0 D6 0 0 0 a 0 0 b 0 0 a b 0 0 0 b a 0 0 b 0 0 a b 0 0 0 0
2
b 0 0 0 0 a a 0 a b 3 4 3 4 0 a ( 1) 0 b b a b 0
a11 a12 a21 a22 D a31 a32 a41 a42 a51 a52
(1 )
a13 a23 a33 a43 a53
(3)
a14 a24 a34 a44 a54
(4)
a15 (1) a25 a35 (3) a45 a55 (5)
a11 a13
a14
M a31 a33 a34 a51 a53 a54
5．递推公式法
x 0 Dn 0 an
x 0 x 0 an 1
1 x
0 1
0
0 0 1 a1 x
0 1 0 0 0 x 1 0 n 1 (1) an 1 a1 x
0
0 0 x an 1 an 2 a2
1 x 0 an 2 0 1 0 0 0 x
0 0 1
an 3 a2
0
0
x
an xDn 1
6．利用已知行列式 （Vandermonder行列式）
1 D x1 1 x12 x1 x1n 1 x1n 2
1 x1 x12 x1n 1 1 x2
a1n a2 n a3n 0
3．化为三角形行列式
a b b b b a b b D b b a b b b b a
4．降阶法
降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用 Laplace 定理
.
Dn
a 0 0 0 1 0 a 0 0 0 0 0 a 0 0 0 0 0 a 0 1 0 0 0 a
加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方 法。
x a1 a1 Dn a1 a1
a2 a2 a2
1 a1 1 x 0 0
an an
x a2
1 a1 0 0
n
Dn
an
an x an
a2 an 0 0 x 0 0 x
如 D a31 a32 a33 a34 a35 （3行）
M
a32 a34
a52 a54
a11 a13 a15 M a21 a23 a25 a41 a43 a45
a15 a25 a45
a11 a13 3 5 2 4 14 M (1) M M a21 a23 ( 1) a41 a43
，
j1 , j2 , , jk
i1 i 2 i k j1 j2 jk
M ，
a11 a21 a41 a51
a12 a22 a42 a52
2 列
a13 a23 a43 a53
a14 a24 a44 a54
4 列
a15 a25 a45 a55 （5行）
Laplace 展开定理
二、 Laplace定理
行列式按某几行或几列展开 定义: 中,
(1 k n )
个元素， 按原来的顺序, 余下的元素按原来的顺序, 余子式. 其中 i1 , i 2 , , i k
即 ( 1)
( 1)
i1 i2 i k j1 j2 jk
a22
a25
a42 a45
( 1)
1 3 5 1 3 4
a22 a42
a25 a45
a22 a42
a25 a45
Laplace 定理
例
a1 a2 b1 b2 c1 c2 d1 d 2 0 b3 c3 d3 0 0 c4 d4
1
a1 b1
a1 b1
a2 1 2 1 2 c3 c4 ( 1) b2 d 3 d4
1．利用行列式定义直接计算
0 0 Dn 0 0 1 0 2 0 0 0 0 n
n 1 0 0 0
2．利用行列式的性质计算
0 a12 Dn a13 a1n
a12 0 a23 a2 n
a13 a23 0 a3n
an an
an n
a1 a2 an 0 2 0 0 0 n
1 Dn 1
n ai 12 n 1 i 1 i
... b1r ... brr
例
0 ... 0 a11
6
... a1k
0 ... 0 c11 ... c1r cr 1 ... crr
ak 1 ... akk b11 ... b1k br 1 ... brk
(k r) (k r)
1．利用行列式定义直接计算 2．利用行列式的性质计算 3．化为三角形行列式 4．降阶法 5．逆推公式法 6．利用已知行列式（范德蒙行列式） 7．加边法（升阶法） 8．数学归纳法 9. 分拆法
a 0 0 0
0 a 0 0
0 a 0 0 0 0 a 0 a 0 0 a 0 (1) n 1 0 0 0 a 0 0 0 a 1 0 0 0
a n (1) n 1 (1) n a n 2
a n a n2
0 b a 0
b 0 0 a
a a b 0 b a 0 b a ba b ab a b b a
3
0 a b 0
0 b a 0
b 0 0 a
b 2 3 2 3 a b ( 1) b a a
(a 2 b 2 ) 3
例
a a D2 n b b a b b a