2017-2018学年山西省晋中市平遥中学高一(下)期中数学试卷-教师用卷

2017-2018学年山西省晋中市平遥中学高一（下）期中数学试卷副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知，，则化简的结果为A. B. C. D. 以上都不对【答案】B【解析】解：，为第三象限角故选：B．利用题设条件可推断出为第三象限角，进而利用同角三角函数的基本关系求得答案．本题主要考查了三角函数值的符合和象限角的问题考查了基础知识的灵活运用．2.在边长为的正三角形ABC中，设，，，则等于A. 0B. 1C. 3D.【答案】D【解析】解：在边长为的正三角形ABC中，设，，且，，由向量数量积的定义可得则故选：D．由向量数量积的定义可知要求需求出，，以及这三个向量之间的夹角然后代入计算即可求解．本题主要考查了平面向量数量积的运算解题的关键是要根据边长为的正三角形ABC 求出且，，而再求两个向量的夹角时要时刻牢记需将这两个向量平移到共起点然后再找夹角！3.设角属于第二象限，且，则角属于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】解：是第二象限角，，k在第一象限或在第三象限，，角在第三象限．故选：C．由是第二象限角，知在第一象限或在第三象限，再由，知，由此能判断出角所在象限．本题考查角所在象限的判断，是基础题，比较简单解题时要认真审题，注意熟练掌握基础的知识点．4.在中，a，b，c分别为三个内角A、B、C所对的边，设向量，，若向量，则角A的大小为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：，，，，，又因为是在三角形中，故选：D．根据两个向量，得到两个向量的数量积等于0，可以求得三角形三边的关系，在利用三边关系求得角A．本题是一个解三角形的问题，兼有向量与余弦定理的运算，由于向量兼有代数和几何两个方面的重要特征，解决这类问题时，首先要重视对向量表达式的理解；其次要善于运用向量的坐标运算，解决问题．5.下列函数中，最小正周期为的偶函数是A. B.C. D.【答案】D【解析】解：A，为奇函数，故排除A；B，的周期，可排除B；C，，，该函数非偶，排除C；D，，其周期，满足，为偶函数，故D正确；故选：D．利用三角函数的周期性及奇偶性对A、B、C、D四个选项逐一判断即可．本题考查三角函数的周期性及奇偶性，考查二倍角的余弦与三角恒等变换，属于中档题．6.如果，是平面a内所有向量的一组基底，那么A. 若实数，使，则B. 空间任一向量可以表示为，这里，C. 对实数，，不一定在平面内D. 对平面中的任一向量，使的实数，有无数对【答案】A【解析】解：由基底的定义可知，和是平面上不共线的两个向量，实数，使，则，平面内所以向量都可以表示为，而不是空间任一向量都可以表示为，而是平面中的任一向量，可以表示为的形式，此时实数，有且只有一对，而对实数，，一定在平面a内，故选：A．根据基底的定义可以知道，平面上的任何一个向量都可以用这组基底来表示，并且，用基底表示的向量一定在这个平面上，把向量用基底表示时，对应的实数对是唯一确定的．用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体的．7.函数的单调递增区间是A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】解：由，得，．令，函数为减函数，在定义域内的减区间即为函数的单调递增区间为，．故选：C．求解三角不等式可得原函数的定义域，再由复合函数的单调性求解原函数的增区间．本题考查复合函数的单调性以及单调区间的求法对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．8.如图，在中，点O是BC的中点过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若，，则的值为A. 1B. 2C.D.【答案】B【解析】解：由已知得，结合，，所以．又因为O，M，N三点共线，所以，所以．故选：B．根据平面内三点共线的充要条件进行判断，即若A，B，C三点共线，则．本题考查了平面内三点共线的充要条件的推论注意抓住是从同一点出发的三个向量间的关系，注意辨析．9.若函数的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再将整个图象沿x轴向左平移个单位，沿y轴向下平移1个单位，得到函数的图象则是A. B.C. D.【答案】B【解析】解：根据的图象变换规律可得，把函数的图象向上平移1个单位，可得函数的图象；再将整个图象沿x轴向右平移个单位，可得的图象；再把图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的倍，可得的图象，故函数，故选：B．根据题意以及函数的图象变换规律，平移函数的图象可得的图象．本题主要考查函数的图象变换规律的应用，属于中档题．10.在中，，，设点P，Q满足，，若，则A. B. C. D. 2【答案】B【解析】解：由题意可得，由于，解得，故选：B．由题意可得，根据，求得的值．本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的运算，属于中档题．11.平面上三个向量，，，两两夹角相等，，，，则等于A. 11B. 4C. 11或4D. 11或【答案】D【解析】解：平面上三个向量，，，两两夹角相等，，，，当两两夹角为时，，，当两两夹角为时，．故选：D．当两两夹角为时，，当两两夹角为时，，由此能求出结果．本题考查向量的模的求法，考查平面向量运算法则、向量的数量积等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．12.定义在R上的奇函数满足，且在上是减函数，，是钝角三角形的两个锐角，则与的大小关系是A. B.C. D.【答案】B【解析】解：，，在上是减函数，在上是减函数，函数是偶函数，在上是增函数，是钝角三角形的两个锐角，，，，，故选：B．首先，根据，得到函数的周期为2，然后，借助于单调性得到在上是减函数，最后，结合两个角之间的大小关系进行求解．本题重点考查了函数的周期性和对称性、诱导公式、三角函数的图象等知识，属于重点题目．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知扇形的圆心角为，半径为3，则扇形的面积是______．【答案】【解析】解：扇形的圆心角是弧度，则扇形的弧长，则扇形的面积，故答案为：求出扇形的圆心角的弧度数，然后计算出扇形的弧长，结合扇形的面积公式进行计算即可．本题主要考查扇形的面积的计算，根据扇形的弧长公式以及面积公式是解决本题的关键．14.关于函数，下列命题：若存在，有时，成立；在区间上是单调递增；函数的图象关于点成中心对称图象；将函数的图象向左平移个单位后将与的图象重合．其中正确的命题序号______注：把你认为正确的序号都填上【答案】【解析】解：函数由，故函数的周期为，故时，成立，故正确；由得，，故是函数的单调增区间，区间应为函数的单调减区间，故错误；当时，，故点是函数图象的对称中心，故正确；函数的图象向左平移个单位后得到函数的解析式为，故错误故答案为：根据二倍角公式，可化简函数的解析式为正弦型函数的形式，根据函数的周期性可判断；根据函数的单调性可判断；根据函数的对称性可判断；根据函数图象的变换法则可判断．本题以命题的真假判断为载体考查了三角函数的图象和性质，熟练掌握三角函数的图象和性质是解答的关键．15.在中，已知，是方程的两个实根，则______．【答案】【解析】解：，是方程的两个根，则，，故答案为：首先根据韦达定理表示出两根之和与两根之积，然后根据三角形的内角和为，把角C变形为，利用诱导公式化简后，然后再利用两角和的正切函数公式化简，把与代入即可求出值．此题考查学生灵活运用韦达定理、诱导公式及两角和的正切函数公式化简求值，本题解题的关键是利用三角形本身的隐含条件，即三角形内角和是16.已知不等式恒成立，则实数m的取值范围是______．【答案】或【解析】解：，；恒成立不等式恒成立或，故答案为：或，先利用三角函数公式将抽象不等式变为三角不等式，再由三角函数的有界性结合一次函数的性质求参数m的范围，即可选出正确选项．本题考点是函数恒成立问题，利用函数的性质将不等式恒成立求参数的问题转化为求函数最值的问题，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知．Ⅰ求的值；Ⅱ求的值．【答案】解：Ⅰ由，得．；Ⅱ．【解析】Ⅰ由已知求得，再由倍角公式求得的值；Ⅱ展开分子的倍角，利用两角和的余弦化简分母，结合Ⅰ得答案．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是中档题．18.如图，在中，，，点D在边BC上，且，．求；求BD，AC的长．【答案】解：在中，，，则．在中，由正弦定理得，在中，由余弦定理得，即．【解析】根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论．本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键，难度不大．19.已知平面上三个向量，，，其中，若，且，求的坐标；若，且，求与夹角的余弦值；若且与的夹角为锐角时，求x的取值范围．【答案】解：，设，则，即，得，得，当时，，当时，．，即，即，得，则．由题意：若与的夹角为锐角，则且与不共线，即：，即，解得：且，即实数x的取值范围是且．【解析】根据向量共线的坐标公式，利用共线定理进行计算即可．根据向量垂直的等价条件，以及向量夹角公式进行计算．根据向量夹角与向量数量积的关系进行转化求解即可．本题主要考查向量坐标公式的应用，根据向量平行和向量垂直的坐标公式以及向量数量积的坐标公式是解决本题的关键．20.已知向量，，函数．求的周期和单调递增区间；若关于x的方程在上有解，求实数m的取值范围．【答案】解：向量，，函数．的周期，单调递增区间满足：，，解得，，的单调增区间是，．，，，的值域为．关于x的方程在上有解，实数m的取值范围是．【解析】求出函数由此能求出的周期和单调递增区间．推导出，从而，进而的值域为由此得到，从而能求出实数m的取值范围．本题考查三角函数的周期、单调增区间的求法，考查实数的取值范围的求法，考查向量的数量积、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．21.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点和点，，且，其中O为坐标原点．若向量，，求的最小值．若，设点D为线段OA上的动点，求的最小值；【答案】解：由题意得，，则，分取得最大值1，此时取得最小值，的最小值为分，设，可得，，，，分当时，取得最小值为，故最小值为分【解析】由题意得，，从而，由此能求出的最小值．，设，可得，从而，由此能求出的最小值．本题考查向量的数量积的最小值的求法，考查向量的模的最小值的求法，考查向量的数量积、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．22.已知向量，，且求及若的最小值为，求正实数的值．【答案】解：由题意可得，，，由且，可得．若的最小值为，，，当时，则当时，函数取得最小值为，求得．当时，当时，函数取得最小值为，解得舍去，综上可得．【解析】利用两个向量的数量积公式、三角恒等变换，求得及的坐标，可得的值．利用余弦函数的定义域和值域求得的范围，再利用二次函数的性质，依据题意，分类讨论，求得正实数的值．本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，余弦函数的定义域和值域，二次函数的性质，属于中档题．第11页，共11页。