第七章 统计推断(2014.2)
统计学中的统计推断
统计学中的统计推断统计学是一门研究数据收集、处理和分析的学科，它在各个领域中都有着广泛的应用。
其中，统计推断是统计学中的一个重要分支，它通过对样本数据进行分析和推断，从而对总体进行估计和判断。
一、统计推断的基本概念统计推断是指通过对样本数据的分析，对总体的特征和参数进行估计和推断。
在统计推断中，我们常常使用抽样方法来获取样本数据，然后根据样本数据来推断总体的特征。
统计推断的基本思想是利用样本数据来推断总体的分布、均值、方差等参数。
二、参数估计参数估计是统计推断的一个重要内容，它通过样本数据来估计总体的参数。
常用的参数估计方法有点估计和区间估计。
1. 点估计点估计是通过样本数据来估计总体参数的一个方法。
在点估计中，我们通过样本数据计算出一个数值作为总体参数的估计值。
常用的点估计方法有最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是一种常用的点估计方法，它通过选择使得观测数据出现的可能性最大的参数值作为估计值。
最大似然估计的核心思想是通过观测数据来推断参数的概率分布。
矩估计是另一种常用的点估计方法，它通过样本数据的矩来估计总体的参数。
矩估计的核心思想是利用样本数据的矩与总体的矩之间的关系来进行参数估计。
2. 区间估计区间估计是通过样本数据来估计总体参数的一个方法。
在区间估计中，我们通过样本数据计算出一个区间，该区间包含了总体参数的真值的可能范围。
常用的区间估计方法有置信区间和预测区间。
置信区间是一种常用的区间估计方法，它通过样本数据计算出一个区间，该区间以一定的置信水平包含了总体参数的真值。
置信区间的核心思想是通过样本数据的变异性来推断总体参数的不确定性。
预测区间是另一种常用的区间估计方法，它通过样本数据计算出一个区间，该区间以一定的置信水平包含了未来观测值的可能范围。
预测区间的核心思想是通过样本数据的变异性和总体参数的不确定性来推断未来观测值的不确定性。
三、假设检验假设检验是统计推断的另一个重要内容，它通过样本数据来判断总体的特征是否符合某个假设。
统计推断知识点
统计推断知识点统计推断是统计学中的重要分支，它研究如何从样本数据中推断总体的特征和参数。
在实际应用中，统计推断可以帮助我们了解总体的属性、作出预测和做出决策。
本文将介绍统计推断的主要概念和方法，帮助读者理解并运用统计推断知识。
一、总体和样本在统计推断中，我们首先需要明确两个重要的概念，即总体和样本。
总体是我们研究的对象的全体，而样本则是从总体中选取的一个子集。
通过分析样本数据，我们可以对总体做出推断，了解总体的特征和参数。
二、参数估计参数是总体的特征，例如总体均值、方差等。
由于我们无法获得总体的全部数据，所以需要通过样本数据来推断总体的参数。
参数估计是统计推断的一项基本任务，其中最常用的方法是点估计和区间估计。
点估计是通过样本数据得到总体参数的估计值，例如样本均值作为总体均值的估计值。
点估计的准确性可以用标准误差来衡量，标准误差越小，点估计越准确。
区间估计是给出一个范围，使得总体参数落在这个范围内的概率较高。
常见的区间估计方法有置信区间和预测区间。
置信区间是对总体参数的一个区间估计，可以反映出估计的不确定性。
而预测区间是在进行预测时，给出因变量值的一个区间估计。
三、假设检验假设检验是统计推断中常用的方法，用于判断总体的特征是否与某个假设相符。
在假设检验中，我们首先设立零假设(H0)和备择假设(H1)，然后通过检验统计量来决定是否拒绝零假设。
检验统计量是样本数据的某个函数，它反映了样本与零假设之间的差异。
通过计算检验统计量的概率值或P值，我们可以判断是否拒绝零假设。
当P值小于显著性水平时，我们可以拒绝零假设，并得出备择假设成立的结论。
四、参数检验参数检验是假设检验的一种常见应用，它用于判断总体参数是否符合某个特定的值。
参数检验可以分为单样本检验、独立样本检验和配对样本检验。
单样本检验是通过与已知值进行对比，判断总体参数是否与给定值相等。
独立样本检验则是通过比较两个独立样本的均值，判断两个总体参数之间是否存在差异。
统计推断
13
假设检验的过程和逻辑
首先要提出一个原假设， 首先要提出一个原假设，比如某正态总体的均值等 ）。这种原假设也称为零假设 于5（µ=5）。这种原假设也称为零假设（null （ ）。这种原假设也称为零假设（ hypothesis），记为 0 ），记为 ），记为H 与此同时必须提出对立假设，比如总体均值大于5 与此同时必须提出对立假设，比如总体均值大于 ）。对立假设又称为备选假设或备择假设 （µ>5）。对立假设又称为备选假设或备择假设 ）。 （alternative hypothesis）记为记为 1或Ha ）记为记为H
17
假设检验的过程和逻辑
不仅有第一类错误，还有第二类错误； 不仅有第一类错误，还有第二类错误；那是备 选假设正确时反而说零假设正确的错误， 选假设正确时反而说零假设正确的错误，称为 第二类错误（ error） 第二类错误（type II error）。 如要“接受零假设” 如要“接受零假设”就必须给出第二类错误的 概率. 但对于目前面对的问题, 无法计算它. 概率 但对于目前面对的问题 无法计算它
2
估计
在假定了总体分布族之后， 在假定了总体分布族之后，进一步对总体的认 识就是要在这个分布族中选择一个适合于我们 问题的成员 由于分布族成员是由参数确定的， 由于分布族成员是由参数确定的，如果参数能 够估计， 够估计，对总体的具体分布就知道得差不多了
3
估计量是用来估计的统计量
我们知道， 我们知道，统计量是样本的不包含未知参数的 函数。样本均值、样本标准差都是统计量。 函数。样本均值、样本标准差都是统计量。 由于样本是随机的，统计量也是随机变量。☺ 由于样本是随机的，统计量也是随机变量。 用于估计总体参数的统计量称为估计量； 用于估计总体参数的统计量称为估计量；样本 均值和标准差都是总体均值和标准差的常用估 计量。 计量。
统计推断的基本概念
统计推断的基本概念统计学是一门研究收集、分析、解释和展示数据的科学。
在统计学中，统计推断是一种重要的技术，用于从样本数据中推断总体的特征。
在本文中，我们将介绍统计推断的基本概念，并探讨它的应用和重要性。
什么是统计推断统计推断是通过对样本数据的分析和解释，作出关于总体特征的推断。
总体是指我们感兴趣的整体群体，而样本是从总体中抽取出来的一部分。
通过分析样本数据，我们可以推断总体的特征，并对其进行估计和推测。
统计推断的步骤统计推断通常包括以下几个步骤：1. 制定假设在进行统计推断之前，我们需要制定一个或多个假设。
假设是对总体特征的猜测或假设，可以分为零假设和备择假设。
零假设通常表示不会有显著差异或效应，而备择假设则表示存在显著差异或效应。
2. 收集样本数据收集样本数据是进行统计推断的基础。
样本应该具有代表性，并且大小应根据总体大小、可用资源和所需要的精确度来确定。
3. 数据分析在收集样本数据后，我们需要对数据进行分析。
这可能包括描述性统计分析（如平均值、标准差等）和推断性统计分析（如置信区间、假设检验等）。
4. 做出推断根据数据分析的结果，我们可以做出关于总体特征的推断。
这可能涉及到比较样本统计量与总体参数、计算置信区间等。
5. 验证结果最后，我们需要验证我们的推断结果是否可靠。
这可以通过进一步收集数据、重复实验等方法来实现。
统计推断的应用统计推断在各个领域都有广泛的应用，下面列举了一些常见的应用场景：医学研究在医学研究中，统计推断可以帮助研究人员判断某种治疗方法是否有效，比较不同药物的效果等。
通过对随机分配的病例进行观察和分析，可以得出对人群整体有效的结论。
市场调查市场调查中，统计推断可以帮助企业了解目标市场的需求、消费者行为等。
通过对抽样调查数据进行分析，可以为企业决策提供依据。
社会科学研究在社会科学研究中，统计推断可以帮助研究人员了解社会现象、人群行为等。
通过对社会调查数据进行分析和比较，可以得出对整个人群适用的结论。
统计推断的内容概要
区间下限 = x - t (a/2, df)
s n
t (0.025,9) = 2.262 =
-
(
)=
New
区间上限 =
x + t (a/2, df)
s n
=
+
(
)=
范例--续
设备3所制造部件的平均值是否在目标范围之内？
5.397
高度 (英寸)
5.396 5.395
置信区间上限值 = 5.3955英寸
置信区间随样本容量的 增加而减小。
造部件的平均高度不在目标范围内
。
New
……使用不同的a值来计算置信区间
置信区间量化了数据的不定性。
样本大小对置信区间的影响
让我们取20个以上的样本(总数 n = 30)，看一看对 95%的置信区间有何影响。
假设平均值和标准差保持不变：x = 5.3947 和 s = 0.00116 。
置信区间下限值 = x - t (a/2, df)
20
2.09
30
2.05
100
1.98
1000
1.96
用所给出的有关部件的数据代入以上公式…
New
置信区间
计算利用设备3所生产的传输设备平均高度的置信区间
使用a=0.05(95%的置信区间)
x = 5.3947
－s = 0.00116 n = 10
df = n - 1 = 9
t(a/2,df)取自t表格。
Calc > Random data > Normal
由1000个组成的样本保存在“数据 ”变量.
Calc > Random data > Sample from columns…
第七章 统计推断
概率分布 就是随机变量的取值与其概率构成的分布。
根据随机变量的不同，概率分布可分为：
离散型概率分布
例如，同时抛两枚硬币，X 为出现正面的次数。 X P(X) 0 0.25 1 0.5 2 0.25
连续型概率分布
概率 P(a<X<b)
f(x) f(x) 不是概率，而是 概率密度函数。
0
x
a
且
n 1S 2 ~ 2 n 1， 2
故 2 的置信水平为 1 的置信区间为
2 2 n 1S n 1S ， 2 2 n 1 n 1 1 2 2
设
X1 , X 2 ,..., X n1 为来自总体 X ~ N 1， 12 Y1 , Y2 ,...,Yn 2 为来自总体 Y ~ N 2， 2 2
8.5， 9.5， 10， 9， 10.5 X 9.5 2 n 1 2 S2 X i X n 1 i 1 1 1 0 0.25 0.25 1 4 0.625
n 5 小样本
S 0.625 0.79
置信水平为 0.95
中心极限定理 不论总体分布是否服从正态分布，从均值为 μ，方差为 σ ² 的总 体中抽取容量为 n 的随机样本，当 n 充分大时（通常要求 n≧30）， 样本均值 X 的抽样分布近似服从均值为 μ，方差为 σ²/n 的正态分 布。
样本均值抽样分布的特征
抽样的方式
重复抽样 均值
E X
假设检验
首先对总体参数建立一个假设，然后根据样本信 息去检验这一假设是否正确。
例如，某公司想从国外引进一种自动加工装置。这种装置的工作温度 X 服从正态分布（μ，25），厂方说它的平均工作温度是 80℃。从该装 置运转中随机测试 16 次，得到的平均工作温度是 83℃。 问：厂方的说法是否可以接受？ 这 3℃ 的差异是否是因为实际温度与厂方报的温度真有差异，还是 由于抽样的随机性造成？
理解统计推断学习如何进行统计推断
理解统计推断学习如何进行统计推断统计推断是统计学中的一个重要分支，旨在通过对样本数据的分析和推断，推断总体参数的性质和规律。
统计推断的学习过程中，我们需要掌握一些基本的理论知识和方法，并且能够灵活运用这些知识和方法解决实际问题。
一、统计推断的基本概念统计推断是建立在概率论和数理统计学的基础上的一种统计学方法。
它的核心思想是通过对样本数据的收集与分析，对总体参数进行推断。
总体是指我们研究的对象的全体，而样本则是从总体中抽取的一部分观察结果。
在统计推断中，我们通常关注两个问题：参数估计和假设检验。
参数估计是指通过样本数据，利用各种统计方法对总体参数进行点估计或区间估计。
假设检验是指根据样本数据，通过构造合适的检验统计量和拒绝域，对关于总体的某个参数或参数的假设进行判断和推断。
二、参数估计参数估计是统计推断中的一个重要问题，它关注的是如何通过样本数据对总体参数进行估计。
参数估计通常可以分为点估计和区间估计两种方法。
1. 点估计点估计是通过样本数据，利用某个统计量来估计总体参数的值。
常见的点估计方法有最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是寻找使得样本观测概率最大的总体参数值作为估计值，矩估计则是利用样本矩与总体矩的关系进行参数估计。
2. 区间估计区间估计是通过样本数据，构建一个区间来估计总体参数的范围。
常见的区间估计方法有置信区间和可信区间。
置信区间是指在一定置信水平下，给出总体参数的一个区间估计，可信区间则是在一定可信水平下给出总体参数的一个区间估计。
三、假设检验假设检验是统计推断中的另一个重要问题，它关注的是通过样本数据对总体参数的假设进行判断和推断。
在假设检验中，我们通常关注两类假设：原假设和备择假设。
1. 原假设原假设是对总体参数的一个假设，通常表示为H0。
在进行假设检验时，我们需要先提出一个关于总体参数的猜测，即原假设。
原假设通常是默认为真的假设。
2. 备择假设备择假设是对总体参数的另一个假设，通常表示为Ha。
统计推断的主要内容
统计推断的主要内容
统计推断是一种在统计数据中提取出内在意义的统计学方法。
它的基本内容是从某一数据集中提取出有用的信息。
统计推断的关键是根据统计数据来推断出某一总体参数究竟是多少？统计推断也称为
统计推论，它是统计分析的重要组成部分，是现今科学研究的重要工具之一。
统计推断的分析方法主要有抽样分析法、分类分析和回归分析等，它们对提取数据具有重要的引导作用，可用于提取统计信息，从而得到可信的结论。
抽样分析法用于推断总体参数，分类分析用来推断频率，而回归分析则用于分析两个或两个以上变量之间的关系。
除此之外，统计推断还可以利用统计检验来检验某一统计假设，如果检验结果支持假设，那么假设是正确的；反之，假设是错误的。
统计检验包括单样本和双样本检验，另外还有方差分析、秩和检验等。
统计推断还可以使用统计图表来分析数据，常用的有柱状图、条形图和饼图等。
通过这些图表，我们可以直观地了解到数据之间的联系，并推断出可信的统计结论。
统计推断可以用来帮助我们理解实际问题，以及解决实际问题，所以它在各个领域都有非常重要的作用。
它不仅可以帮助我们更好地理解数据的涵义，而且还可以帮助我们更有效地分析问题，从而更好地控制风险、应对未来的变化。
总之，统计推断是从统计数据中提取出可靠的涵义的重要统计方法，它的主要内容包括抽样分析法、分类分析、回归分析、统计检验、
统计图表等。
统计推断可以帮助我们理解数据涵义，从而更好地分析问题，为我们解决实际问题提供重要的支持。
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通常用μ 表示
(二) 抽样平均误差的概念
抽样平均误差是指由于抽样的随机性而产生的所有
样本指标与总体指标之间的平均离差，它是所有可能 出现的样本指标的标准差。
什么是标准差？怎样计算样本指标的标准差？
五户家庭三月份购买某商品的支出： 10元，20元，30元，40元，50元
11
(三) 抽样方法
1.重复抽样：放回抽样，每个单位被抽 中的概率相等。
2.不重复抽样：不放回抽样，每个单位 被抽中的概率不等。
二、抽样误差的概念及其影响因素
(一）抽样误差的概念
在统计调查中，调查资料与实际情况不一致， 两者的偏离称为统计误差。
登记误差
统计误差
代表性误差
系统性误差
（二）抽样误差的影响因素 1.抽样单位数目的多少n —反比关系 2.全及总体标志变异程度σ (σ 2) —正比关系 3. 不同的抽样方法
—重复抽样误差＞不重复抽样误差
4. 不同的抽样组织形式
有哪些抽样组织形式？
三、抽样平均误差
(一)抽样平均误差的意义
抽样平均误差是把各个可能的抽样指标与 全及指标之间存在的抽样误差的所有结果都 考虑进去，是衡量抽样误差的核心指标，是 对总体指标作出区间估计的一个重要因素。 狭义上所指的抽样误差就是指抽样平均误差。
X 30元 现从五户中抽取二户作调查， 如果为重复抽样(考虑顺序) 52＝25(种) 排列组合如下：
抽取样本 样本平均数 x 误差 x X
2
xX
10 10 10 10 20 15 10 30 20 10 40 25 10 50 30 20 10 15 20 20 20 20 30 25 20 40 30 20 50 35 30 10 20 30 20 25 30 30 30
-20
400
-15
225
-10
100
-5
25
0
0
-15
225
-10
100
-5
25
0
0
5
25
-10
100
-5
25
0
0
接左：
抽取样本 样本平均数 x 误差 x X
2
xX
30 40 35
5
25
30 50 40
10
100
40 10 25
-5
25
40 20 30
0
0
40 30 35
5
25
40 40 40
第一节 抽样调查的概念和特点(回顾)
一、抽样调查的概念
根据所使用的抽样方法不同，抽样分为概率抽 样和非概率抽样。
一般所讲的抽样调查，是指狭义的抽样调查，即 等概率抽样：按照随机原则从总体中抽取一部分单 位组成样本进行观察，并运用数理统计的原理，以 样本单位得到的结果去推断总体的数量特征的方法。
二、抽样调查的特点
全及总体：所要调查观察的全部事物。
总体单位数用N表示 （唯一性）
变量总体
分为
属性总体
数量标志(计算平均数) 是非标志(计算成数)
补充内容：是非标志的平均数及标准差的计算
抽样总体：抽取出来调查观察的单位。 抽样总体的单位数用n表示。 n ≥ 30 大样本 n < 30 小样本 （不唯一）
n／N 称为抽样比或抽样强度
8
是非标志的平均数及标准差的计算
成数(比重)是一种结构相对数，它实际 属于是非标志平均数的特例
统计上习惯以“1”表示“是”，以“0”表示 “非”。 p为“1”的成数，q＝1—p为“0”的成数。 是非标志的平均数就是它的成数 P 是非标志的方差σ 2＝P(1－P)，
9
(二)总体指标和样本指标(参数和统计量)
x
x
n
其中n为样本可能数目，本例为25。
本例的u 2500 10(元)
x
25
上式表明了抽样平均误差的含义，但并不能作为计 算公式。因为：
在现实的抽样中，我们只能取得一个样本，不可能也 没必要获得全部所有可能样本，所以抽样平均误差也不 可能通过所有样本来直接计算。但我们可以根据数理统 计理论获得其计算公式。
第七章 统计推断
1
教学内容
抽样调查的概念和特点 抽样推断的基本概念 参数估计 假设检验(不作要求)
2
教学基本要求：理解抽样推断中的几个
基本概念；掌握抽样平均误差和抽样极限 误差的概念和计算方法；掌握总体平均数 和总体成数的区间估计方法。
本章重点：抽样平均误差和抽样极限误
差的概念和计算；总体平均数和总体成数 的区间估计方法。
10
100
40 50 45
15
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50 10 30
0
0
50 20 35
5
25
50 30 40
10
100
50 40 45
15
225
50 50 50
20
400
合计
-
-
2 500
因为抽样平均误差是所有样本平均数与总体平均数
之间的平均离差，即为抽样平均数的标准差。根据标
准差的定义，于是有：
抽样平均误差u (x X )2
1、非全面调查 2、随机原则 3、以样本指标推断总体指标 4、抽样误差可以事先计算、控制
5
三、抽样调查的组织形式 简单随机抽样（纯随机抽样） 机械抽样（等距抽样） 类型抽样 整群抽样 多阶段抽样
6
第二节 抽样推断的基本概念
一、抽样推断中的几个基本概念
(一) 全及总体和抽样总体(总体和样本)
随机误差
实际误差
抽样平均误差
13
登记误差
统计误差
代表性误差
系统性误差
随机误差
实际误差 抽样平均误差
抽样误差即是随机误差，这种误差是抽样调查 固有的误差，是无法避免的。其中：
实际误差是指一个样本指标与总体指标间的差 别（有多种值，无法知道）
抽样平均误差是指全部可能出现的样本指标与 总体指标间的平均离差（可以计算）
1.总体指标(全及指标、参数)：反映全及总体
属性或特征的综合指标。
一般用大写字母表示：
总体平均数
X
总体成数
P
总体方差
σ2
总体标准差
σ
总体指标具有唯一性（待估计）
10
2.样本指标(统计量)：是反映样本特征的指标
一般用小写字母表示：
样本平均数
x
样本成数
p
样本方差
Ｓ2
样本标准差
ｓ
样本指标具有不唯一性（是随机变量）
19
（三）纯随机抽样的抽样平均误差的计算
1.平均数的抽样平均误差 (1)重复抽样
x
n
或者x
2
n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ20
(2)不重复抽样：
x
2 (N n)
n N 1
在实际中，往往N很大，N－1≈N，故改用
下列公式：
x
2 (1 n )
nN
当抽样比n／N＜5%时，
1
n N
≈1，此时重复