一次函数解析式、图像性质

个性化教学辅导教案⑤判断两个变量是否有函数关系,不仅要有关系式，还要满足上述确定的对应关系．x 取不同的值，y 的取值可以相同．例如:函数2(3)y x =-中，2x =时，1y =；4x =时，1y =2.一次函数：形如y=kx+b (k ≠0, k, b 为常数)的函数。

注意：（1）k ≠0,否则自变量x 的最高次项的系数不为1； （2）当b=0时，y=kx ，y 叫x 的正比例函数。

3.正比例正比例函数的定义：一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数. 注意：①注意k 是常数，k≠0的条件，当k=0时，无论x 为何值，y 的值都为0，所以它不是正比例函数。

②自变量x 的指数只能为1 新知识概要函数图象的概念：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应诃子分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。

注意：函数解析式与函数图象的关系（1）满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图象上； （2）函数图象上点的坐标满足函数解析式． 图象：一次函数的图象是一条直线，（1）两个常有的特殊点：与y 轴交于（0，b ）；与x 轴交于（-，0）（2）由图象可以知道，直线y=kx+b与直线y=kx平行，例如直线：y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行。

3、性质：(1)图象的位置:(2)增减性：对于一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0），当k﹥0时，y 随x的增大而增大；当k﹤0时，y随x的增大而减小。

同步练习1.下列函数中，y随x的增大而增大的是（ C ）A. y=–3xB. y= –+1C. y= x– 4D. y= –2x-72. 一次函数y=(a+1)x+5中，y的值随x的值增大而减小，则a满足________ .（a< –1）3. 对于函数y=5x+6,y的值随x的值减小而______（减小）4. 已知A(-1, y1), B(3, y2), C(-5, y3)是一次函数y=-2x+b图象上的三点，用“<”连接y1, y2, y3为_________ .求一次函数解析式的方法求函数解析式的方法主要有三种(1)由已知函数推导或推证(2)由实际问题列出二元方程，再转化为函数解析式，此类题一般在没有写出函数解析式前无法（或不易）判断两个变量之间具有什么样的函数关系。

(3)用待定系数法求函数解析式。

“待定系数法”的基本思想就是方程思想，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程（组）来解决，题目的已知恒等式中含有几个等待确定的系数，一般就需列出几个含有待定系数的方程，本单元构造方程一般有下列几种情况：①利用一次函数的定义构造方程组。

②利用一次函数y=kx+b中常数项b恰为函数图象与y轴交点的纵坐标，即由b来定点；直线y=kx+b平行于y=kx，即由k来定方向。

③利用函数图象上的点的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程。

④利用题目已知条件直接构造方程。

中考规律盘点与预测通过对近几年各地的中考试题的研究发现，对关于一次函数往往与反比例函数结合起来出现在选择题中，与三角形结合出现在计算题中。

典型分析例1：已知一次函数=(n-2)x+-n-3的图象与y轴交点的纵坐标为-1，判断=(3-)是什么函数，写出两个函数的解析式，并指出两个函数在直角坐标系中的位置及增减性。

解：依题意，得解得n=-1，∴=-3x-1,=(3-)x, 是正比例函数；=-3x-1的图象经过第二、三、四象限，随x的增大而减小；=(3-)x的图象经过第一、三象限，随x的增大而增大。

点评：由于一次函数的解析式含有待定系数n，故求解析式的关键是构造关于n的方程，此题利用“一次函数解析式的常数项就是图象与y轴交点纵坐标”来构造方程。

例2：直线y=kx+b与直线y=5-4x平行，且与直线y=-3(x-6)相交，交点在y轴上，求此直线解析式。

分析：直线y=kx+b的位置由系数k、b来决定：由k来定方向，由b来定与y轴的交点，若两直线平行，则解析式的一次项系数k相等。

例y=2x,y=2x+3的图象平行。

解：∵y=kx+b与y=5-4x平行，∴k=-4,∵y=kx+b与y=-3(x-6)=-3x+18相交于y轴，∴b=18，∴y=-4x+18。

点评：一次函数y=kx+b图象的位置由系数k、b来决定：由k来定方向，由b来定点，即函数图象平行于直线y=kx，经过(0, b)点，反之亦成立，即由函数图象方向定k，由与y轴交点定b。

例3：直线与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点B，若点B到x轴的距离为2，求直线的解析式。

解：∵点B到x轴的距离为2，∴点B的坐标为（0，±2），设直线的解析式为y=kx±2,∵直线过点A（-4，0），∴0=-4k±2,解得：k=±,∴直线AB的解析式为y=x+2或y=-x-2.点评：此例看起来很简单，但实际上隐含了很多推理过程，而这些推理是求一次函数解析式必备的。

（1）图象是直线的函数是一次函数；（2）直线与y轴交于B点，则点B（0，）；（3）点B到x轴距离为2，则||=2；（4）点B的纵坐标等于直线解析式的常数项，即b=；（5）已知直线与y轴交点的纵坐标，可设y=kx+，下面只需待定k即可。

例4（难）：已知一次函数的图象，交x轴于A（-6，0），交正比例函数的图象于点B，且点B在第三象限，它的横坐标为-2，△AOB的面积为6平方单位，求正比例函数和一次函数的解析式。

分析：自画草图如下：解：设正比例函数y=kx，一次函数y=ax+b，∵点B在第三象限，横坐标为-2，设B（-2，），其中<0，∵=6，∴AO·||=6，∴=-2，把点B（-2，-2）代入正比例函数y=kx，得k=1把点A（-6，0）、B（-2，-2）代入y=ax+b，得解得：∴y=x, y=-x-3即所求。

点评：（1）此例需要利用正比例函数、一次函数定义写出含待定系数的结构式，注意两个函数中的系数要用不同字母表示；（2）此例需要把条件（面积）转化为点B的坐标。

这个转化实质含有两步：一是利用面积公式AO·BD=6（过点B作BD⊥AO于D）计算出线段长BD=2，再利用||=BD及点B在第三象限计算出=-2。

若去掉第三象限的条件，想一想点B的位置有几种可能，结果会有什么变化（答：有两种可能，点B可能在第二象限（-2，2），结果增加一组y=-x, y=(x+3).课堂练习课后作业课后评本节课教学计划完成情况：照常完成□提前完成□延后完成□_____________________________学生的接受程度：完全能接受□部分能接受□不能接受□________________________________学生的课堂表现：很积极□比较积极□一般□不积极□________________________________学生上次作业完成情况：数量____% 完成质量____分存在问题______________________________惠博教育个性化教学辅导课后作业八年级数学一、填空1、已知一个正比例函数的图象经过点（-2，4），则这个正比例函数的表达式是 。

2、已知一次函数y=kx+5的图象经过点（-1，2），则k= 。

3、已知y 与x 成正比例，且当x ＝1时，y ＝2，则当x=3时，y=____ 。

4、点P （a ，b ）在第二象限，则直线y=ax+b 不经过第 象限。

5、已知一次函数y=kx-k+4的图象与y 轴的交点坐标是(0，-2)，那么这个一次函数的表达式是______________。

6、已知点A(-21，a), B(3，b)在函数y=-3x+4的象上,则a 与b 的大小关系是____ 。

7、写出同时具备下列两个条件的一次函数表达式（写出一个即可） 。

（1）y 随着x 的增大而减小， （2）图象经过点（1，-3）。

二、选择题8、下列函数（1）y=πx (2)y=2x-1 (3)y=1x (4)y=2-1-3x 中，是一次函数的有（ ）（A ）4个 （B ）3个（C ）2个 （D ）1个 9、下面哪个点不在函数32+-=x y 的图像上（ ） （A ）（-5，13） （B ）（，2） （C ）（3，0） （D ）（1，1）10、直线y=kx+b在坐标系中的位置如图，则( ) （第13题图）（A）1,1 2k b=-=-（B）1,1 2k b=-=（C）1,1 2k b==-（D）1,1 2k b== 11、下列一次函数中，随着增大而减小而的是（）（A）xy3=（B）23-=xy（C）xy23+=（D）23--=xy11、已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，则k，b的符号是( )(A) k>0，b>0 (B) k>0，b<0(C) k<0，b>0 (D) k<0，b<012、函数y=(m+1)x-(4m-3)的图象在第一、二、四象限，那么m的取值范围是( )（A）34m<（B）314m-<<（C）1m<-（D）1m>-三、计算题13、已知函数y=(2m+1)x+m -3(1)若函数图象经过原点，求m的值(2)若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围。

14、如图是某市出租车单程收费y (元)与行驶路程x (千米)之间的函数关系图象，根据图象回答下列问题：(1)当行使路程为8千米时，收费应为元；(2)从图象上你能获得哪些信息(请写出2条)①②(3)求出收费y (元)与行使路程x (千米) (x≥3)之间的函数关系式。