圆内接四边形
圆内接四边形性质及判定定理
二圆内接四边形的性质及判断定理[ 对应学生用书P21]1．圆内接四边形的性质(1)圆的内接四边形对角互补．如图：四边形ABCD 内接于⊙ O，则有：∠ A＋∠ C＝ 180°，∠ B＋∠D＝ 180 °.(2)圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．如图：∠ CBE 是圆内接四边形ABCD 的一外角，则有：∠CBE＝∠D.2．圆内接四边形的判断(1)判断定理：假如一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个极点共圆．(2)推论：假如四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个极点共圆．[ 对应学生用书P21]圆内接四边形的性质[例 1]如图，AB是⊙ O的直径，弦BD ， CA 的延伸线订交于点E，EF垂直BA 的延伸线于点 F.求证：∠DEA ＝∠ DFA.[思路点拨]此题主要考察圆内接四边形判断及性质的应用．解题时，只要证A， D， E，F四点共圆后可得结论．[证明 ]连结AD.由于AB 为圆的直径，所以∠ADB ＝ 90 °又.EF⊥ AB ，∠EFA＝ 90°，所以A，D ，E， F四点共圆．所以∠ DEA ＝∠ DFA.圆内接四边形的性质即对角互补，一个外角等于其内角的对角， 可用来作为三角形相像的条件，进而证明一些比率式的建立或证明某些等量关系．1．圆内接四边形 ABCD 中，已知∠ A ，∠ B ，∠ C 的度数比为4∶ 3∶5，求四边形各角的度数．解： 设∠ A ，∠ B ，∠ C 的度数分别为 4x,3x,5x ，则由∠ A ＋∠ C ＝ 180°，可得 4x ＋ 5x ＝ 180°∴.x ＝ 20°.∴∠ A ＝ 4×20°＝80°，∠ B ＝ 3× 20°＝ 60°，∠ C ＝ 5× 20°＝ 100°，∠ D ＝ 180°－∠ B ＝ 120°.2．已知：如图，四边形 ABCD 内接于圆，延伸 AD ，BC 订交于点 E ，点 F 是 BD 的延伸线上的点，且 DE 均分∠ CDF .(1)求证： AB ＝ AC ；(2)若 AC ＝ 3 cm ， AD ＝ 2 cm ，求 DE 的长．解： (1)证明：∵∠ ABC ＝∠ 2，∠ 2＝∠ 1＝∠ 3，∠ 4＝∠ 3，∴∠ ABC ＝∠ 4.∴ AB ＝ AC.(2)∵∠ 3＝∠ 4＝∠ ABC ，∠ DAB ＝∠ BAE ，∴△ ABD ∽△ AEB.∴AB ＝ AD .AE AB∵ AB ＝ AC ＝ 3，AD ＝ 2，2∴ AE ＝AB＝9.AD 2∴ DE ＝9－ 2＝ 5(cm).2 2圆内接四边形的判断[例 2]如图，在△ ABC 中， E ， D ，F 分别为 AB ， BC ， AC 的中点，且 AP ⊥ BC 于 P.求证： E ， D ， P ， F 四点共圆．[思路点拨 ]可先连结PF ，结构四边形EDPF 的外角∠ FPC ，证明∠ FPC ＝∠ C，再证明∠ FPC ＝∠ FED 即可．[证明 ]如图，连结PF ，∵AP⊥ BC， F 为 AC 的中点，∴PF＝1 AC.2∵FC＝1 AC，2∴PF＝ FC .∴∠ FPC＝∠ C.∵E、 F、D 分别为 AB， AC， BC 的中点．∴ EF∥ CD ，ED ∥ FC.∴四边形 EDCF 为平行四边形，∴∠ FED ＝∠ C.∴∠ FPC＝∠ FED .∴ E， D， P， F 四点共圆．证明四点共圆的方法常有：①假如四点与必定点等距离，那么这四点共圆；②假如四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个极点共圆；③假如四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个极点共圆；④假如两个三角形有公共边，公共边所对的角相等且在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个极点共圆．3．判断以下各命题能否正确．(1)随意三角形都有一个外接圆，但可能不仅一个；(2)矩形有独一的外接圆；(3)菱形有外接圆；(4)正多边形有外接圆．解： (1)错误，随意三角形有独一的外接圆；(2)正确，由于矩形对角线的交点到各极点的距离相等；(3) 错误，只有当菱形是正方形时才有外接圆；(4) 正确，由于正多边形的中心到各极点的距离相等．4．已知：在△ ABC 中， AD＝ DB ，DF ⊥AB 交 AC 于点 F ，AE＝ EC，EG⊥ AC 交 AB 于点 G.求证：(1)D 、E、 F、 G 四点共圆；(2)G、B、 C、 F 四点共圆．证明： (1) 如图，连结 GF ，由DF ⊥AB，EG⊥ AC，知∠GDF ＝∠ GEF ＝ 90°，∴ GF 中点到 D、 E、F 、 G 四点距离相等，∴ D、 E、 F、 G 四点共圆．(2)连结 DE.由 AD＝ DB ， AE＝ EC，知 DE ∥BC，∴∠ ADE＝∠ B.又由 (1)中 D、 E、 F 、 G 四点共圆，∴∠ ADE＝∠ GFE .∴∠ GFE＝∠ B.∴ G、 B、 C、 F 四点共圆 .圆内接四边形的综合应用[ 例 3] 如图，已知⊙ O1与⊙ O2订交于 A、 B 两点， P 是⊙ O1上一点， PA、PB 的延伸线分别交⊙ O2于点 D 、 C，⊙ O1的直径 PE 的延伸线交 CD 于点 M.求证： PM ⊥ CD.[思路点拨 ]⊙ O1与⊙ O2订交，考虑连结两交点A、B 得公共弦AB；PE 是⊙ O1的直径，考虑连结 AE 或 BE 得 90°的圆周角；要证PM ⊥ CD ，再考虑证角相等．[证明 ]如图，分别连结 AB， AE，∵A、B、C、 D 四点共圆，∴∠ ABP＝∠ D.∵A、E、B、P 四点共圆，∴∠ ABP＝∠ AEP.∴∠ AEP＝∠ D.∴A、 E、M 、 D 四点共圆．∴∠ PMC ＝∠ DAE .∵PE 是⊙O1的直径，∴ EA⊥ PA.∴∠ PMC ＝∠ DAE ＝ 90°.∴PM⊥ CD.此类问题综合性强，知识点丰富，解决的方法大多是先判断四点共圆，而后利用圆内接四边形的性质证明或求得某些结论建立．5.如图， P 点是等边△ ABC 外接圆的BC上一点， CP 的延伸线和AB 的延伸线交于点D，连结 BP .求证： (1) ∠D ＝∠ CBP；(2)AC2＝CP·CD.证明： (1) ∵△ ABC 为等边三角形，∴∠ ABC＝∠ A＝ 60°.∴∠ DBC＝ 120°.又∵四边形ABPC 是圆内接四边形，∴∠ BPC＝ 180°－∠ A＝ 120°.∴∠ BPC＝∠ DBC .又∵∠ DCB ＝∠ BCP，∴△ BCP∽△ DCB .∴∠ D＝∠ CBP.(2)由 (1)知△ BCP∽△ DCB ，∴BC＝CP.DC CB∴CB2＝ CP·CD .又CB＝ AC，∴ AC2＝ CP·CD .6．如图，在正三角形ABC 中，点 D，E 分别在边BC，AC 上，且 BD ＝1BC，CE＝1CA，33AD， BE 订交于点P.求证： (1) 四点 P，D ， C， E 共圆；(2)AP⊥CP.解： (1)证明：在△ ABC 中，由BD ＝1BC， CE＝1CA 知：33△ABD≌△ BCE，即∠ ADB＝∠ BEC，即∠ ADC ＋∠ BEC＝ 180°，所以四点 P，D ，C， E 共圆．(2)如图，连结DE.在△ CDE 中， CD＝ 2CE，∠ACD＝ 60°，由余弦定理知∠CED ＝90°.由四点 P， D， C， E 共圆知，∠DPC＝∠ DEC ，所以 AP ⊥CP.[ 对应学生用书P24]一、选择题1．设四边形ABCD 为圆内接四边形，现给出四个关系式：①sin A＝sin C，② sin A＋ sin C＝ 0，③ cos B＋ cos D＝ 0，④ cos B＝cos D.此中恒建立的关系式的个数是 ()A． 1B． 2C． 3D． 4分析：由于圆内接四边形的对角互补，故∠ A＝ 180°－∠ C，且∠ A，∠ C 均不为 0°或 180°，故①式恒建立，②式不建立．相同由∠ B＝180°－∠ D 知，③式恒建立．④式只有当∠B＝∠ D＝ 90°时建立．答案： B2．圆内接四边形A． 4∶ 2∶3∶ 1 C． 4∶ 1∶3∶ 2分析：由四边形ABCD 中，∠ A∶∠ B∶∠ C∶∠ D 能够是 ()B． 4∶ 3∶1∶ 2D．以上都不对ABCD 内接于圆，得∠A＋∠ C＝∠ B＋∠ D，进而只有 B 切合题意．答案： B3．如图，四边形ABCD是⊙ O 的内接四边形， E 为AB 的延伸线上一点，∠CBE＝ 40°，则∠ AOC等于 ()A． 20 °B． 40 °C． 80 °D． 100°分析：四边形ABCD是圆内接四边形，且∠CBE＝40°，由圆内接四边形性质知∠ D ＝∠CBE ＝ 40°，又由圆周角定理知：∠AOC＝ 2∠D ＝80°.答案： C4．已知四边形ABCD 是圆内接四边形，以下结论中正确的有()①假如∠ A＝∠ C，则∠ A＝ 90°；②假如∠ A＝∠ B，则四边形ABCD 是等腰梯形；③∠ A 的外角与∠ C 的外角互补；④∠ A∶∠ B∶∠ C∶∠ D 能够是 1∶ 2∶3∶ 4A． 1 个B． 2 个C． 3 个D． 4 个分析：由“圆内接四边形的对角互补” 可知：①相等且互补的两角必为直角；②两相等邻角的对角也相等 (亦可能有∠ A＝∠ B＝∠ C＝∠ D 的特例 )；③互补两内角的外角也互补；④两组对角之和的份额一定相等 (这里 1＋3≠ 2＋ 4)．所以得出①③正确，②④错误．答案： B二、填空题5． (2014 陕·西高考 )如图，△ ABC 中， BC＝ 6 ，以 BC 为直径的半圆分别交AB ， AC 于点E， F，若 AC＝ 2AE，则 EF＝ ________.分析：∵ B，C， F， E 四点在同一个圆上，∴∠AEF ＝∠ ACB，又∠ A＝∠ A，∴△ AEF∽△ ACB，∴AE＝EF，AC BC即1＝EF，∴ EF ＝ 3.2 6答案： 36．如图，直径 AB＝ 10，弦 BC ＝8，CD 均分∠ ACB，则 AC ＝______，BD＝ ________.分析：∠ ACB＝90°，∠ ADB ＝90°.在Rt△ABC 中，AB＝10，BC＝8，∴ AC＝ AB2－ BC2＝ 6.又∵ CD 均分∠ ACB.即∠ ACD＝∠ BCD，∴AD＝BD .∴ BD＝AB2＝5 2.2答案： 6 5 27．如图，点A， B，C， D 都在⊙ O 上，若∠ C＝ 34 °，则∠ AOB＝ ________，∠ ADB ＝________.分析：∵∠ C 和∠ AOB 分别是AB所对的圆周角与圆心角，∴∠ AOB＝ 2∠ C＝ 68°.∵周角是 360°，劣弧 AB 的度数为68°，∴优弧 AB 的度数为292°.1∴∠ ADB＝× 292°＝ 146°.答案： 68° 146°三、解答题8.已知：如图，E、 F 、 G、 H 分别为菱形ABCD 各边的中点，对角线 AC 与 BD 订交于 O 点，求证： E，F ， G， H 共圆．证明：法一：连结EF、FG、GH、HE .∵E、 F 分别为 AB、 BC 的中点，∴ EF∥ AC.同理 EH∥ BD .∴∠ HEF ＝∠ AOB.∵AC⊥ BD ，∴∠ HEF ＝ 90°.同理∠ FGH ＝ 90°.∴∠ HEF ＋∠ FGH ＝ 180°.∴ E、 F、G、 H 共圆．法二：连结 OE、 OF、 OG、OH .∵四边形 ABCD 为菱形．∴AC⊥ BD ，AB＝ BC＝ CD＝DA .∵ E、 F、G、 H 分别为菱形ABCD 各边的中点，∴OE＝1AB， OF＝1BC，22OG＝1CD ， OH＝1DA . 22∴OE＝OF ＝ OG ＝ OH.∴E， F，G， H 在以 O 点为圆心，以 OE 为半径的圆上．故E， F ，G， H 四点共圆．9.如图， A， B， C， D 四点在同一圆上，AD 的延伸线与BC 的延伸线交于 E 点，且 EC＝ED .(1)证明： CD∥ AB；(2)延伸 CD 到 F ，延伸 DC 到 G，使得 EF＝ EG，证明： A， B， G， F 四点共圆．证明： (1) 由于 EC＝ ED，所以∠ EDC ＝∠ ECD .由于 A， B， C， D 四点在同一圆上，所以∠ EDC ＝∠ EBA.故ECD＝∠ EBA.所以 CD ∥ AB.(2)由 (1)知， AE＝ BE.由于 EF ＝EG，故∠ EFD ＝∠ EGC，进而∠ FED ＝∠ GEC.连结 AF ，BG，则△ EFA≌ △ EGB，故∠ FAE＝∠ GBE.又CD ∥AB，∠EDC ＝∠ECD ，所以∠ FAB＝∠ GBA.所以∠ AFG ＋∠ GBA＝ 180°.故 A， B，G， F 四点共圆．10．如图，已知⊙ O 的半径为 2，弦 AB 的长为 2 3，点 C 与点 D 分别是劣弧 AB 与优弧 ADB 上的任一点(点C、D均不与A、B重合)．(1)求∠ ACB.(2)求△ ABD 的最大面积．解： (1)连结 OA、 OB，作 OE⊥ AB， E 为垂足，则AE＝BE .Rt△ AOE 中， OA＝2.AE＝1AB＝1× 2 3＝ 3. 22AE3所以 sin ∠AOE＝＝，∴∠ AOE＝ 60°，∠ AOB＝ 2∠AOE＝ 120°.又∠ ADB＝1∠ AOB，2∴∠ ADB＝ 60°.又四边形 ACBD 为圆内接四边形，∴∠ ACB＋∠ ADB ＝ 180°.进而有∠ ACB＝180°－∠ ADB ＝120°.(2)作 DF ⊥ AB，垂足为F，则△1A B·DF ＝1× 23× DF ＝ 3DF .S ABD＝22明显，当DF 经过圆心 O 时， DF 取最大值，进而 S△ABD获得最大值．此时 DF ＝ DO ＋ OF＝3， S△ABD＝3 3，即△ ABD 的最大面积是 3 3.。
圆内接四边形定理
圆内接四边形定理圆内接四边形定理概述：圆内接四边形是指一个四边形的四个顶点都在同一圆上，这种四边形具有一些特殊的性质，其中最重要的就是圆内接四边形定理。
定义：设ABCD为一个圆内接四边形，其对角线交于E点，则有以下结论：1.对角线互相平分结论：对角线AC和BD互相平分。
证明：作AE、CE、BE、DE交BD于F、G、H、I。
由于ABCD为圆内接四边形，所以∠AEB=∠CEB，∠AED=∠CED。
因此三角形AEB与三角形CEB全等，三角形AED与三角形CED全等。
所以AE=CE，DE=BE。
又因为AF+FB=BF+FC, 所以AF=FC, BG=DH。
故AF+BG=FC+DH, 即AC=BD。
因此AC和BD互相平分。
2.对角线垂直结论：对角线AC和BD垂直。
证明：连接AD、BC，并过E点作AD和BC的垂线EF和EG，则AEHF和CEIG均为矩形。
因此EH=AF, EI=DG。
又因为AE=CE, DE=BE, 所以AH=DJ, CI=BJ。
因此AH·HD=BH·HC, CI·ID=AI·IB。
又因为AH+HD=BH+HC, CI+ID=AI+IB，所以AH²-HB²=CI²-IB²。
因此AH²+CI²=BH²+IB²。
由勾股定理可知，∠ACB为直角，即对角线AC和BD垂直。
3.对角线乘积相等结论：对角线AC和BD的乘积相等。
证明：设O为圆心，则OA=OC, OB=OD。
因此OA·OC=OB·OD。
又因为AECD为一组相似的四边形，所以AE/CE=DE/BE，即AE·BE=CE·DE。
故AE·BE+CE·DE=2AE·BE。
同理，BF·FA+CD·DI=2BF·FA。
两式相加得到AC(BF+CD)=BD(AF+CE)，即AC/AF=BD/CE。
圆内接四边形边长公式
圆内接四边形边长公式
圆内接四边形边长公式：
1、内接四边形边长公式：边长a=2Rcos45°
2、圆半径R：圆半径可以是任意数值，只要满足一定条件，就可以确
定圆内接四边形的边长。
3、45°：45°是正四边形的夹角，也就是说，圆内接四边形的每个夹角
都是45°。
4、cos45°：cos（45°）=√2/2，45°是一个对角垂直的角度，cos45°的值
是√2/2，所以边长公式为：a=2Rcos45°。
5、内接四边形求周长：正四边形的面积可以通过半径R和边长a计算，用P表示正四边形的周长，则P=4a，即P=4*2Rcos45°。
6、内接四边形求面积：正四边形的面积可以由半径R和边长a计算，
用S表示正四边形的面积，则S=2Rcos45°。
总结：
圆内接四边形边长公式为：a=2Rcos45°，其中R是圆的半径，45°为正四边形的夹角，cos45°=√2/2，因此可以求出圆内接四边形的边长。
该正四边形的周长P=4a，面积S=2Rcos45°。
九年级数学圆的内接四边形
半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦是直径。
内接四边形对角互补定理
圆内接四边形的对角互补，即任一外 角等于其内对角。
利用角度关系求解问题
通过已知角度求解未知角度
01
利用内接四边形对角互补定理和圆心角定理，可以通过已知角
度求解出未知角度。
通过已知边长求解角度
02
在已知内接四边形的某些边长时，可以利用正弦、余弦定理等
利用边长关系求解问题
已知边长求角度
在已知内接四边形部分边 长的情况下，通过边长比 例关系求解未知角度。
已知角度求边长
在已知内接四边形部分角 度的情况下，通过三角函 数和边长比例关系求解未 知边长。
综合应用
结合已知条件和所求问题， 综合运用边长比例关系、 三角函数和相似三角形等 知识求解问题。
拓展：相似三角形在内接四边形中应用
求解出相应的角度。
角度与弧度的转换
03
在求解与圆相关的问题时，经常需要在角度与弧度之间进行转
换。
拓展：外角、内角和公式应用
内角和公式
多边形的内角和公式为（n-2） ×180°，其中n为多边形的边数。
对于圆内接四边形，其内角和为 360°。
外角公式
多边形的外角和公式为360°，即所 有外角之和等于360°。对于圆内接 四边形，每个外角都等于相邻的内 对角。
02
若一个四边形的对角互补，则这 个四边形的四个顶点共圆，即这 个四边形是某个圆的内接四边形 。
性质定理梳理
圆内接四边形的对角互补：即对于圆 内接四边形ABCD，有∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°。
若在圆内接四边形中，有一个角是直 角，则其对角也是直角。
圆的内接四边形
课堂小结:
1 圆内接四边形的性质 2 圆内接四边形的判定 3、解题时应注意两点： （1）注意观察图形，分清四边形的外角和它的内对角 的位置，不要受背景的干扰. （2）证题时，常需添辅助线-----两圆共有一条弦，构 造圆内接四边形.
对角互补 外角等于它的内对角
4、思想和方法:分类讨论思想,反证法.
作业：
课本第30页习题2.2第1、2、3题.
C
B
已知：如图，四边形ABCD中，∠ADB=∠ACB.求证: A、B、C、D四点共圆.
证明：由三点A、B、D可以确定一个圆，设该圆为⊙O．
(1)如果点C 在⊙O D 的外部.连接BC,与 圆交于点E． 则∠ADB=∠AEB. A ∵∠ADB=∠ACB, ∴ ∠ACB=∠AEB 与∠AEB>∠ACB相矛盾．
已知：四边形ABCD中，∠B+∠D=180°, 求证：A、B、C、D在同一圆周上（简称四点共圆）. 分析：不在同一直线上的三点确定一个圆．经过A、B、C三点 作⊙O，如果能够由条件得到⊙O过点D，那么就证明了命题． 显然， ⊙O与点D有且只有三种位置关系: (1)点D在圆外；(2)点D在圆内；(3)点D在圆上． 分类讨论思想 只要证明在假设条件下只有(3)成立，也就证明了命题． 反证法 D D
B
P A
E C
一 定理的探究
A
１．定义：如果多边形的所有顶点都 在一个圆上,那么这个多边形叫做圆内 接多边形,这个圆叫做多边形的外接圆.
O B C
D
A F
A
B O
O B C
C
·
D
E
思考:
（1 ） 任意三角形都有外接圆吗？
（2）一般地,任意四边形都有外接圆吗?
圆内接四边形的性质
圆内接四边形的性质在平面几何中，圆是一个非常重要的基本概念，广泛应用于各种数学和物理问题中。
圆内接四边形是指一个四边形的四个顶点都在同一个圆上的特殊情况。
本文将讨论圆内接四边形的性质及相关定理，并给出相应的证明。
一、圆内接四边形的定义圆内接四边形是指一个四边形的四个顶点都在同一个圆上的情况。
这意味着四边形的每一条边都是圆的切线。
二、圆内接四边形的基本特性1. 对角线互相垂直：圆内接四边形的对角线互相垂直。
这个性质可以通过割线定理来证明。
割线定理指出，从一个点到圆的切点引出的两条割线所形成的夹角是切线和割线所形成的弧所对应的角的一半。
由于四边形的每一条边都是圆的切线，所以四边形的对角线互相垂直。
2. 对角线相等：圆内接四边形的对角线相等。
这个性质可以通过引入圆的半径来证明。
设圆的半径为r，四边形的对角线分别为d1和d2，那么可以得出d1=2r*sin(a)，d2=2r*sin(b)，其中a和b分别为两对角所对应的圆心角。
由于a和b的和等于360度，即a+b=360度，因此有sin(a)+sin(b)=2*sin((a+b)/2)*cos((a-b)/2)=2*sin(180/2)*cos((a-b)/2)=2*sin(90)*cos((a-b)/2)=2*cos((a-b)/2)，所以d1=d2，即对角线相等。
3. 边长之和相等：圆内接四边形的相对边之和相等。
设四边形的边长分别为a、b、c、d，那么可以得出a+b=c+d。
这个性质可以通过扇形定理来证明。
扇形定理指出，圆上的两个弧所对应的圆心角相等，则这两个弧所夹的弦所代表的线段长度之和相等。
由于四边形的每一条边都是圆的切线，所以四边形的边长所对应的圆心角相等，即a+c=b+d。
综上所述，a+b=c+d。
4. 周长最大：给定定圆面积情况下，圆内接四边形的周长最大。
这个性质可以通过用半径来表示四边形的边长，并应用不等式来证明。
设圆的半径为r，四边形的边长为a、b、c、d，那么有a=2*r*sin(a/2)，b=2*r*sin(b/2)，c=2*r*sin(c/2)，d=2*r*sin(d/2)。
圆内接四边形的性质(对角线相等)
圆内接四边形的性质（对角线相等）圆内接四边形是指一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，本文将探讨圆内接四边形的性质之一——对角线相等。
1. 圆内接四边形的定义圆内接四边形是指一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，并且四条边恰好与圆相切。
这种情况下，对角线相等的性质就会出现。
2. 圆内接四边形的性质对于任意一个圆内接四边形，其对角线是相等的。
也就是说，四边形的两条对角线长相等。
证明如下：设圆内接四边形的四个顶点分别为A、B、C、D，四条边分别为AB、BC、CD、DA。
连接AC和BD作为对角线。
我们需要证明|AC| = |BD|。
由于四边形的四个顶点都在同一个圆上，根据圆上弧所对的圆心角相等的性质，我们可以得到：∠ABC = ∠CDA∠BCD = ∠DAB又因为圆上的切线与半径垂直，我们可以得到：∠BAC = ∠BDC∠CBD = ∠CAD根据上述等角关系，我们可以证明△ABC与△CDA全等，以及△BCD与△DAB全等。
因此，我们可以得出以下结论：∠A = ∠C，∠B = ∠D△ABD与△CBA全等根据全等三角形的性质，我们可以得到：|AB| = |CB||AD| = |CD|因此，我们有|AC| = |AB| + |BC| = |CB| + |CD| = |BD|。
这样，我们证明了对于圆内接四边形来说，其对角线是相等的。
3. 圆内接四边形的应用圆内接四边形的对角线相等这一性质在几何学中有广泛应用。
例如，当我们需要求解一个圆内接四边形的对角线长度时，我们可以利用这一性质进行计算。
另外，对角线相等还可以用于证明其他性质，扩展到更复杂的几何问题中。
4. 总结圆内接四边形是指一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，并且四条边恰好与圆相切。
对于圆内接四边形来说，其对角线是相等的。
这一性质可以通过等角关系和全等三角形的性质进行证明。
圆内接四边形的对角线相等性质在几何学中有广泛应用，可以用于计算和证明其他性质。
通过本文的讨论，我们对圆内接四边形的对角线相等性质有了更深入的了解，也增加了对几何学中相关概念的理解。
初中圆内接四边形知识点
初中圆内接四边形知识点圆内接四边形是初中数学中的一个重要概念，它涉及到了圆和四边形的关系。
本文将通过逐步思考的方式，详细介绍初中圆内接四边形的相关知识点。
第一步：理解内接四边形的概念首先，我们需要明确什么是内接四边形。
一个四边形被称为内接四边形，当且仅当四个顶点都位于同一个圆上。
第二步：认识内接四边形的性质接下来，我们来了解一些内接四边形的性质。
1.性质一：对角线互相垂直对于任意一个内接四边形，其对角线互相垂直。
这是因为对角线是圆的直径，而直径与圆上的任意一条弦垂直。
2.性质二：对角线相互平分内接四边形的对角线相互平分。
也就是说，对角线的交点是对角线的中点。
3.性质三：内角之和为360度内接四边形的四个内角之和等于360度。
这是因为四边形可以看作是两个三角形的组合，而一个三角形的内角之和是180度。
4.性质四：内接四边形是等边四边形的特例如果一个内接四边形的四个边相等，那么这个内接四边形就是等边四边形。
第三步：推导内接四边形的相关定理在初中数学中，我们还可以通过一些定理来推导内接四边形的性质。
1.定理一：圆内接四边形的内角和定理对于任意一个圆内接四边形，其内角和等于180度。
这个定理的证明可以通过将圆内接四边形分成两个三角形来完成。
2.定理二：内接四边形的对角线定理对于一个内接四边形，其对角线互相垂直且相互平分。
这个定理可以通过圆的性质以及对角线互相垂直的性质进行证明。
第四步：解题思路和应用最后，我们可以通过解题来巩固对圆内接四边形的理解。
在解题时，我们可以首先根据题目中给出的条件，判断是否为内接四边形。
然后，可以利用内接四边形的性质和相关定理，进行推导和计算。
例如，我们可以通过已知内接四边形的一个角的度数，计算其他角的度数。
或者，通过已知内接四边形的一个边的长度，计算其他边的长度。
总结初中圆内接四边形是数学中一个重要的概念，它涉及到了圆和四边形的关系。
通过逐步思考，我们可以了解到内接四边形的性质和相关定理，并且可以通过解题来巩固和应用这些知识点。
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同理∠B＋∠D＝180°
O
B
C
圆内接四边形的对角互补.
如果延长BC到E，那么∠A与
∠DCE 会有怎样的关系呢？
D
∵∠DCE＋∠BCD ＝ 180A° 又 ∠A ＋∠BCD＝ 180° O
∴∠A＝∠DCE
B
因为∠A是与∠DCE相邻的内角 ∠DCB的对角，我们把∠A叫做 ∠DCE的内对角。
CE
下列图形中哪两个角是相等的？
4D A
3
O
B
2
C
1
A
D 1E
O
B
C
几何表达式：
∵ 四边形ABCD内接于⊙O ∴ ∠A+∠C=180°，∠B=∠1
反馈练习：
1、如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边
A
形，已知∠BOD=100°，
则∠BAD= 50º ∠BCD= 130º
O
B
D
2、圆内接四边形ABCD中,∠A:∠B:∠C=
C
2:3:4,则∠A= 60º∠B= 90º∠C=120º∠D= 90º
猜想：CE∥DF成立吗？
D
A
E
C O1
O2
B
F
变式2:如图,⊙O1和⊙O2有两个公共 点A﹑B，过A﹑B两点的直线分别交 ⊙O1于C 、E,交⊙O2于D 、F，且
CD∥EF求。证：CE=DF
A
C
O1
D
O2
F
B E
思维拓展:
1、圆内接平行四边形一定是 矩形。 2、圆内接梯形一定是 等腰梯 形。 3、圆内接菱形一定是 正方 形。
A 3、如图，四边形ABCD内接于⊙O， ∠DCE=75º，
则∠BOD=
150º
O
B
D
CE
例 ：如图⊙O1与⊙O2都经过A、B两点，经过点 A的直线CD与⊙O1交于点C，与⊙O2 交于点D。 经过点B的直线EF与⊙O1 交于点E，与⊙O2 交 于点F。
求证：CE∥DF
D A
C O1
O
2
F
E
B
变式1：如图，⊙O1和⊙O2都经过A、 B两点，过A点的直线CD与⊙O1交于 点C，与⊙O2交于点D，过B点的直线 EF与⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F。
圆的内接四边形
复习提问：
1 、 如 图 (1), 若 弧 BC 的 度 数 为 1000, 则
∠BOC=_1_00º,∠A= 5_0_º
2、如图(2)四边形ABCD中, ∠B与∠1互补,AD的延长线与 DC所夹∠2=600 ,
则∠1=__1_20º,∠B=__6_0º.
A
O
B
C
图1
A
1
D
2
E
B
C
图2
课堂小结:
1、圆内接四边形------顶点在圆上的四边形, 该圆叫四边形的外接圆。
对角互补 2、圆内接四边形的性质 外角等于它的内对角 3、解题时应注意两点： （1）注意观察图形，分清四边形的外角和它 的内对角的位置，不要受背景的干扰。 （2）证题时，常需添辅助线-----两圆共有一 条弦，构造圆内接四边形。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
如图，四边形ABCD为 圆内接四边形；⊙O为 四边形ABCD外接圆。
D
A
O
B
C
若一个多边形各顶点都在同一个圆上，那么， 这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个 多边形的外接圆。
D
E
C
O
A B
如图：圆内接四边形ABCD中
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心
角的和是周角
D
∴∠A＋∠C＝ 180° A