内蒙古通辽市科左后旗甘旗卡第二高级中学2020-2021学年高二下学期期末考试数学(理)试题

内蒙古通辽市科左后旗甘旗卡第二高级中学【最新】高二下学期期末考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．已知复数231iz i-=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ） A ．丙被录用了 B ．乙被录用了C ．甲被录用了D ．无法确定谁被录用了3．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程35y x =-，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位；③线性回归方程y bx a =+必过(,)x y ；④在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，从独立性检验知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患肺病；其中错误的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．34．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线方程为34yx ，且其右焦点为(5,0)，则双曲线C 的方程为（ ）A ．221916x y -=B ．221169x y -=C ．22134x y -=D ．22143x y -=5．曲线ln y x x =+ 在点（1,()1f ）处的切线方程为（ ） A ．21y x =- B ．1y x =-+ C ．1y x =-D ．22y x =-+6．四个旅行团选择四个景点游览，其中恰有一个景点没有旅行团游览的情况有（ ）种 A ．36B ．72C ．144D ．2887．10个人排队，其中甲、乙、丙、丁4人两两不相邻的排法A ．5457A A 种 B ．1010A －7474A A 种C ．6467A A 种 D ．6466A A 种8．双曲线22221x y a b-=的一条渐近线与直线210x y +-=垂直，则双曲线的离心率为（ ）A B C ．12D 19．一个袋中装有大小相同的5个白球和3个红球，现在不放回的取2次球，每次取出一个球，记“第1次拿出的是白球”为事件A ，“第2次拿出的是白球”为事件B ，则事件A 与B 同时发生的概率是（ ） A ．58B ．516C ．47D ．51410．已知随机变量ξ服从二项分布14,3B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则(3)P ξ==（ ）．A ．3281B ．1681C ．2481D ．88111．在521x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为( ) A ．5 B ．10 C ．20D ．4012．已知()f x 在R 上是可导函数,则()f x 的图象如图所示，则不等式()223()0xx f x '-->的解集为（ ）A ．(,2)(1,)-∞-+∞B ．(,2)(1,2)-∞-C ．(,1)(1,0)(2,)-∞-⋃-⋃+∞D ．(,1)(1,1)(3,)-∞-⋃-⋃+∞二、填空题 13．定积分11d ex x ⎰的值为____________________. 14．已知随机变量X 服从正态分布2(2,)N σ，且(02)0.3P X ≤≤=，则(4)P X >=__________．15．已知抛物线24y x =，焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足，如果直线AF的斜率为PAF ∆的面积为________.16．下列命题（i 为虚数单位）中：①已知,a b ∈R 且a b =，则()()a b a b i -++为纯虚数；②当z 是非零实数时，12z z+≥恒成立；③复数3(1)z i =-的实部和虚部都是－2；④如果|2||2|a i i +<-+，则实数a 的取值范围是11a -<<；⑤复数1z i =-，则13122z i z +=+；其中正确的命题的序号是__________.三、解答题17．设函数3()3(0)f x x ax b a =-+≠，曲线()f x 在点()2,(2)f 处与直线8y =相切. （1）求,a b 的值；（2）求函数()f x 的单调区间.18．某种产品的广告费支出x 与销售额y （单位：万元）之间有如下对应数据：（1）求回归直线方程（2）试预测广告费支出为10万元时，销售额多大？ 参考数据：()111221225551145,13500,138,ˆˆ,ˆ0n i i i i i i iii i n i ix y nxy x y x y bay bx x n x =====∑-∑=∑=∑===-∑-. 19．《最强大脑》是大型科学竞技类真人秀节目，是专注传播脑科学知识和脑力竞技的节目．某机构为了了解大学生喜欢《最强大脑》是否与性别有关，对某校的100名大学生进行了问卷调查，得到如下列联表：已知在这100人中随机抽取1人抽到不喜欢《最强大脑》的大学生的概率为0.4 （I ）请将上述列联表补充完整；判断是否有99.9%的把握认为喜欢《最强大脑》与性别有关，并说明理由；（II ）已知在被调查的大学生中有5名是大一学生，其中3名喜欢《最强大脑》，现从这5名大一学生中随机抽取2人，抽到喜欢《最强大脑》的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++参考数据：()25.0240.025P K ≥=，()26.6350.010P K ≥=，()27.8790.005P K ≥=，()210.8280.001P K ≥=.20．已知抛物线C ：2y =2px （p >0）的准线方程为x =-12,F 为抛物线的焦点 （I ）求抛物线C 的方程；（II ）若P 是抛物线C 上一点，点A 的坐标为（72,2）,求PA PF +的最小值； （III ）若过点F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于M ，N 两点，求线段MN 的中点坐标．21．设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值． （1）求,a b 的值；（2）若对于任意的]3[0x ∈，，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围． 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，直线l 过点(0,1)P 且斜率为1，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos ρθθ=+. （Ⅰ）求直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线l 与曲线C 的交点为A 、B ，求PA PB +的值.参考答案1．C 【解析】因(23)(1)1515(1)(1)222i i i z i i i ----===--+-，故复数1522z i =--对应的点在第三象限，应选答案C ．2．C 【分析】假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可. 【详解】解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，丙的说法正确，满足题意， 若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意， 若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意， 综上可得甲被录用了， 故选：C. 【点睛】本题考查了逻辑推理能力，属基础题. 3．C 【解析】试题分析：由方差的定义与性质可知，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变，所以①上正确的；回归方程为35y x =-，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5-个单位，所以②是错误的；线性回归方程y bx a =+必过样本中心点(,)x y ，所以③是正确的；有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，说某人吸烟，不能认为他有99%的可能患肺病，所以④是错误的；即正确命题有两个，故选C. 考点：统计案例. 4．B 【解析】试题分析：由题意得34ba ，22225c ab =+=，所以4a =，3b =，所求双曲线方程为221169x y -=． 考点：双曲线方程. 5．A 【解析】 【分析】对函数求导，求出(1)f '以及()1f 的值，然后代入点斜式即可得到答案。

【详解】函数的定义域为(0,)+∞，由题可得1()1f x x'=+，则(1)2f '=，即函数在点(1,(1))f 处的斜率()21k f '==，由于(1)ln111f =+=，则切点为(1,1)，所以ln y x x =+在点(1,(1))f 处切线方程为：12(1)21y x y x -=-⇔=-，故答案选A 【点睛】本题主要考查函数的切线方程，根据导数的几何意义求出函数切线的斜率是解决本题的关键，属于基础题。

6．C 【分析】由题意可先从4个旅行团中任选2个，有24C 种方法，分别游览4个景点中的3个有34A 种方法，由分步计数原理可得结果． 【详解】由题意恰有一个景点没有旅行团游览，先从4个旅行团中任选2个，有24C 种方法， 然后与其余2个旅行团看成三组， 分别游览4个景点中的3个有34A 种方法．由分步计数原理知共有24C 34A ＝144种方法，故选：C ． 【点睛】本题考查排列组合问题和分步乘法计数原理的应用，考查学生分析问题的能力，属于基础题. 7．C 【分析】不相邻问题采用“插空法”. 【详解】解：∵10个人排成一排，其中甲、乙、丙、丁4人两两不相邻排成一排， ∴采用插空法来解，另外六人，有66A 种结果，再在排列好的六人的七个空档里，排列甲、乙、丙、丁， 有47A 种结果，根据分步计数原理知共有66A •47A ， 故选C ． 【点睛】本题考查排列组合及简单计数问题，在题目中要求元素不相邻，这种问题一般采用插空法，先排一种元素，再在前面元素形成的空档，排列不相邻的元素． 8．B 【解析】因直线210x y +-=的斜率12k =-，故22bb a a=⇒=，即225c a e =⇒=应选答案B 。

9．D 【分析】将事件AB 表示出来，再利用排列组合思想与古典概型的概率公式可计算出事件AB 的概率． 【详解】事件AB ：两次拿出的都是白球，则()25281052814C P AB C ===，故选D. 【点睛】本题考查古典概型的概率计算，解题时先弄清楚各事件的基本关系，然后利用相关公式计算所求事件的概率，考查计算能力，属于中等题． 10．D14,3B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭表示做了4次独立实验，每次试验成功概率为13，则31341228(3)4338181P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．选D ．11．B 【解析】T r ＋1＝5r C x 2(5－r )x －r ＝5rC x 10－3r ，令10－3r ＝1，得r ＝3，故T 4＝C x ＝10x ，所以x 的系数为10.故选B. 12．D 【分析】根据()f x 图像判断()'f x 的符号，由此求得不等式()223()0x x f x '-->的解集.【详解】由()f x 的图像可知，在区间()(),1,1,-∞-+∞上()'0fx >，在区间()1,1-，()'0f x <.不等式()223()0x x f x '-->可化为()()()'310x x fx -⋅+⋅>，所以其解集为(,1)(1,1)(3,)-∞-⋃-⋃+∞.故选：D 【点睛】本小题主要考查函数图像与导数符号的关系，考查不等式的解法，属于基础题. 13．1 【分析】 根据定积分求解 【详解】111d ln |1ee x x x ==⎰ 故答案为：1 【点睛】本题考查定积分，考查基本分析求解能力，属基础题.【解析】()()24020.3P X P X ≤≤=≤≤=,所以()()40.5240.2P X P X >=-≤≤=15．【解析】分析：首先根据题中所给的抛物线的方程，求得抛物线的准线方程和焦点坐标，设出A 点的坐标，根据两点斜率坐标公式求得A y =从而得到P y =，代入抛物线的方程，求得对应的横坐标，之后求得相应的线段的长度，根据面积公式求得三角形的面积.详解：因为24y x =，所以准线:1,(1,0)l x F =-，因为PA l ⊥，垂足为A ，所以设(1,)A A y -，因为AF k =，所以11A y -=--A y =P y =P y =代入24y x =中，得3P x =，所以3(1)4AP =--=，所以11422PAF P S AP y =⨯⨯=⨯⨯=点睛：该题考查的是有关抛物线的定义和有关性质的问题，以及直线与抛物线相交的问题，在解题的过程中，需要对相应的公式和结论要熟记并能熟练地应用，从而求得结果. 16．②③④ 【分析】 ①当0ab 时，()()0a b a b i -++=不是纯虚数；②根据基本不等式的性质知1||2z z+恒成立； ③化简复数z ，得z 的实部和虚部都是2-； ④根据模长公式得关于a 的不等式，求解即可； ⑤根据复数代数运算法则，化简计算即可． 【详解】对于①，a ，b R ∈且a b =，若0ab 时，则()()a b a b i -++不是纯虚数，①错误；对于②，当z 是非零实数时，根据基本不等式的性质知1||2z z+恒成立，②正确； 对于③，复数3(1)22z i i =-=--，z ∴的实部和虚部都是2-，③正确；对于④，如果|2||2|a i i +<-+，则2441a +<+，解得11a -<<，所以实数a 的取值范围是11a -<<，④正确； 对于⑤，复数1z i =-，则1131(1)122z i i z i +=+-=--，∴⑤错误． 综上，正确的命题的序号是②③④． 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查复数的概念与应用问题，考查逻辑推理能力，是综合题．17．（1）4,24a b ==；（2）单调增区间为：(,2),(2,)-∞-+∞，减区间为(2,2)-． 【详解】（1）∵2()33f x x a '=-.又∵曲线()f x 在点(2,(2))f 处与直线8y =相切，∴(2)3(4)0{(2)868f a f a b '=-==-+=，∴4,24a b ==．（2）∵4a =，∴2()3(4)f x x -'=，令2()3(4)02f x x x =->⇒>'或2x <-； 令2()3(4)022f x x x =-<⇒-<<'，所以，()f x 的单调增区间为：(,2),(2,)-∞-+∞， 减区间为(2,2)-.18．（1）ˆy 6.517.5x =+；（2）82.5万元.【分析】（1）由表中数据，我们不难求出x ，y 的平均数，及x i 2的累加值，及x i y i 的累加值，代入回归直线系数计算公式，即可求出回归直线方程．（2）将x=10万元代入回归直线方程，解方程即可求出相应的销售额 【详解】 (1) 245682530406050702505,505555x y ++++++++======,又已知55211145,1380i i i i i x x y ====∑∑，于是可得： ()1221138055506.5145555ˆni i i n i i x y nxyb x n x ==--⨯⨯===-⨯⨯-∑∑，ˆa=y - ˆb 50 6.5517.5x =-⨯=，因此，所求回归直线方程为： ˆy 6.517.5x =+. 根据上面求得的回归直线方程，当广告费支出为10万元时，ˆy 6.51017.582.5=⨯+=（万元），即这种产品的销售收入大约为82.5万元.19．（Ⅰ）有99.9%的把握认为喜欢《最强大脑》与性别有关；（II ）见解析 【分析】（Ⅰ）根据已知条件计算出2×2 列联表中各个数据，求出K 2，可得答案； （II ）X 的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和EX ． 【详解】（Ⅰ）满足题意的2×2 列联表如下表所示：由列联表中的数据，得到22100(45251515)14.06310.82860406040K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯因此，有99.9%的把握认为喜欢《最强大脑》与性别有关． （II ）X 的可能取值为0，1，2，P （X ＝0）2225110C C ==，P （X ＝1）=11232535C C C = ， P （X ＝2）＝2325310C C =，∴X 的分布列为：EX ＝1336012105105⨯+⨯+⨯= ． 【点睛】本题考查独立检验、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，属于基础题. 20．（Ⅰ）22y x =（II ）4（III ）线段MN 中点的坐标为（312，） 【分析】（I ）由准线方程122p x =-=-求得p ，可得抛物线标准方程． （II ）把PF 转化为P 到准线的距离PB ，可得,,B P A 三点共线时得所求最小值． （III ）写出直线MN 方程，代入抛物线方程后用韦达定理可得中点坐标． 【详解】（I ）∵准线方程x =-12,得p =1， ∴抛物线C 的方程为22y x =（II ）过点P 作准线的垂线，垂直为B ，则PB =PF 要使PA +PF 的最小，则P ，A ，B 三点共线 此时PA +PF =72+12=4· （III ）直线MN 的方程为y =x -12· 设M （11,x y ），N （22,x y ），把y =x -12代入抛物线方程22y x =,得2x -3x +14=0 ∵△=9-4×1×14＝8＞0 ∴1x +2x =3，122x x +=32线段MN 中点的横坐标为32，纵坐标为31122-=线段MN 中点的坐标为（312，）【点睛】本题考查抛物线的标准方程与几何性质．解题时注意抛物线上的点到焦点的距离常常转化为这点到准线的距离．21．（Ⅰ）3a =-，4b =．（Ⅱ）(1)(9)-∞-⋃+∞，，． 【分析】（Ⅰ）求出()f x '，利用()10f '=，()20f '=列方程即可得结果；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，()3229128f x x x x c =-++，利用导数研究函数的单调性，求得函数的极值，与区间端点函数值比较大小可得()f x 的最大值为()398f c =+，由298c c +<解不等式即可得结果. 【详解】（Ⅰ）()2663f x x ax b =++'，因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有()10f '=，()20f '=．即6630241230a b a b ++=⎧⎨++=⎩，． 解得3a =-，4b =．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，()3229128f x x x x c =-++，()()()261812612f x x x x x =-+=--'．当()01x ∈，时，()0f x '>；当()12x ∈，时，()0f x '<； 当()23x ∈，时，()0f x '>．所以，当1x =时，()f x 取得极大值()158f c =+，又()08f c =，()398f c =+．则当[]03x ∈，时，()f x 的最大值为()398f c =+．因为对于任意的[]03x ∈，，有()2f x c <恒成立，所以 298c c +<，解得 1c <-或9c >，因此c 的取值范围为()()19，，-∞-⋃+∞． 【点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值与最值，属于难题.求函数()f x 极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数()f x '；(3) 解方程()0,f x '=求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么()f x 在0x 处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.22．（Ⅰ）2(12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数），221)(1)2x y -+-=（（Ⅱ． 【解析】试题分析: （Ⅰ）由直线l 过的点和斜率写出参数方程,根据极坐标方程和普通方程的互化公式,求出曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）将直线的参数方程与曲线的普通方程联立,根据根与系数的关系以及t 的几何意义,求出PA PB +的值.试题解析:（Ⅰ）直线l的普通方程为2(12x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数） ∵2sin 2cos ρθθ=+，∴曲线C 的直角坐标方程为()221)12x y -+-=（（Ⅱ）将直线的参数方程2(1x t y 为参数）⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入曲线方程()221)12x y -+-=（得210t -=∴12t t +=，1210t t ⋅=-< ∴1212PA PB t t t t +=+=-==。