福建省福州第一中学高三下期2月数学(理)试题word版含解析

2019届福建省福州第一中学高三下期2月数学（理）试题
一、单选题
1．z 是复数312i z i +=
+的共轭复数，则z 的虚部为（ ） A ．35 B ．35- C ．15 D ．1
5
- 【答案】A
【解析】根据虚数单位i 的运算性质以及复数的除法计算出z ，即可求解出z 并判断出z 的虚部.
【详解】 因为()()()()312111322225
i i i i i z i i i i +++++====+--+， 所以1355
z i =-，所以z 的虚部为35-. 故选：B.
【点睛】
本题考查复数的除法计算以及复数的实、虚部辨别，难度较易.复数进行除法计算时，注意使用分母实数化的方法去求解.
2．已知集合{}1A x x =>，{}31x B x =<，则（ ）
A ．A
B =∅I
B ．A B R =U
C ．()(] ,0R A B =-∞I ð
D ．(),1A B ⋃=-∞ 【答案】A
【解析】计算出集合B 中表示元素的范围即可求出集合B ，然后逐项判断即可.
【详解】
因为31x <，所以0x <，所以(),0B =-∞，
A ．因为()1,A =+∞，所以A
B =∅I ，故正确；
B ．()(),01,A B =-∞+∞U U ，故错误；
C ．(] ,1R A =-∞ð，所以()
() ,0R A B =-∞I ð，故错误；
D ．()(),01,A B =-∞+∞U U ，故错误.
故选：A.
【点睛】
本题考查判断集合的交并补运算是否正确，主要是对集合间运算的理解，难度较易. 3．在等差数列{}n a 中，已知13a =，公差2d =，若
12345m a a a a a a =++++*()m N ∈，则m =（ ）
A ．19
B ．18
C ．17
D ．16
【答案】C
【解析】依题意a n ＝2n +1，且a 1+a 2+a 3+a 4+a 5＝5a 3＝35，令a m ＝35解方程即可．
【详解】
根据题意，数列{a n }是等差数列，且a 1＝3，公差d ＝2，
所以a n ＝a 1+（n ﹣1）d ＝3+2n ﹣2＝2n +1，
又因为a m ＝2m +1＝a 1+a 2+a 3+a 4+a 5＝5a 3＝35（m ∈N ），
所以m ＝17，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式，前n 项和公式，准确计算是关键，属于基础题．
4．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，22cos c a B +=，则A =（ ）
A ．6π
B ．56π
C ．3π
D ．23
π 【答案】B
【解析】根据条件利用正弦定理以及两角和的正弦公式化简原式，得到关于A 的三角等式，即可计算出A .
【详解】
22cos c a B +=2sin 2sin cos B C A B +=，
又因为()C A B π=-+()2sin 2sin cos B A B A B ++=，
2sin cos 0B B A +=，
又因为sin 0B >，所以cos A =，所以56A π=. 故选：B.
【点睛】
本题考查利用正弦定理解三角形，难度较易.解三角形时注意隐含条件A B C π++=的
使用，同时注意()sin sin C A B =+.
5．如图，在正十二边形ABCDEFGHIJKL 内任取一点，则该点恰好在六边形ACEGIK 内的概率是（ ）
A ．3 B
．3 C ．53 D ．43 【答案】B
【解析】根据图形的对称性，截取图形的
16进行分析，再根据几何概型的概率求解公式求解出结果.
【详解】
取原图形的16
，如下图所示，设1AB AC BC ===，且30DAB DAC ∠=∠=︒，
所以1311sin 6024
ABC S =⨯⨯⨯︒=V ，11=211sin 3022ABDC S ⎛⎫⨯⨯⨯⨯︒= ⎪⎝⎭四边形， 所以目标事件的概率36341262
P ==⨯. 故选：B.
【点睛】
本题考查利用几何概率模型求解概率，难度较易.常见的几何概率模型的种类：长度、面积、体积，对应的概率公式为：
()A P A =构成事件的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
.
6．已知某三棱锥的三视图如图所示，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A ．6π
B ．5π
C ．4π
D ．3π
【答案】D 【解析】根据三视图的特点，将三棱锥放置到正方体中，根据正方体计算出三棱锥外接球的表面积.
【详解】
在正方体中作出三棱锥的直观图（红色部分所示），
可知三棱锥的外接球即为正方体的外接球，设外接球半径为R ，
所以222241113R =++=，
所以三棱锥外接球表面积为：243S R ππ==.
故选：D.
【点睛】
本题考查几何体的外接球表面积的计算，难度一般.求解几何体外接球的常见方法：（1）若几何体的顶点可以刚好和正方体或者长方体的若干顶点重合，则可以根据正方体或者长方体的外接球完成求解；（2）通过球与圆的性质，确定出外接球的球心，求解出外接球的半径并完成相关计算.
7．我国的“生肖”，指代表十二地支而用来记人的出生年的十二种动物，即鼠､牛､虎､兔､龙､蛇､马､羊､猴､鸡､狗､猪，也叫属相.某四人要对十二生肖 选四个画图，每人画一个，每个生肖最多被选一次，且鼠和牛至少选一个，狗和猪都要选，则画图的种数为
（ ）
A ．17
B ．204
C ．408
D ．864
【答案】C
【解析】采用分步乘法计数原理求解，第一步：先选生肖，第二步：将所选的生肖分配给画图的人，再将两个步骤的方法数相乘即可得到结果.
【详解】
第一步：先选生肖，包含以下三种情况：
第一种：鼠入选牛不入选，共18C 可能，第二种：牛入选鼠不入选，共18C 可能；第三种：鼠牛都入选，共1种可能；
第二步：将所选生肖分配给4人，共4424A =种方法； 所以画图的种数为：()1148841408C C A ++⨯=种.
故选：C.
【点睛】
本题考查排列组合的综合应用，难度一般.对于一个排列组合问题，需要先考虑是按照分步还是分类的方式求解方法数，同时注意特殊元素优先考虑.
8．已知2log a e =，ln3b =，1
1log 2
e c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>
B ．b a c >>
C ．c b a >>
D ．b c a >> 【答案】A 【解析】对于,a b 采用作差法比较大小，对于,b c 需要先化简c ，再根据对数函数的单调性比较大小，由此可得,,a b c 的大小关系.
【详解】 因为211ln 2ln 3log ln 3ln 3ln 2ln 2
a b e -⋅-=-=-= 因为2ln 2ln3ln 6ln 2e +=<=，所以2
ln 2ln 312+⎛⎫< ⎪⎝⎭
， 所以()22ln 2ln 3ln 2ln 3ln 2ln 320ln 24ln 2
a b +⎛⎫-⋅ ⎪-⎝⎭->=>，所以a b >， 又因为1
1log log 2ln 2ln 32
e e c b ===<=，
所以a b c >>.
故选：A.
【点睛】
本题考查利用对数函数的单调性、作差法比较对数值大小，难度一般.（1）不同底数的对数值比较大小，可采用取中间值或者作差的方法进行比较；（2）同底数的对数值比较大小，可直接根据函数的单调性比较大小.
9．函数y ＝sin （x π6-）的图象与函数y ＝cos （2x π3
-）的图象 A ．有相同的对称轴，但无相同的对称中心
B ．有相同的对称中心，但无相同的对称轴
C ．既有相同的对称轴，也有相同的对称中心
D ．既无相同的对称中心，也无相同的对称轴
【答案】A
【解析】试题分析：函数sin 26y x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭的对称轴为2,6223k x k x k Z π
ππππ-=+
⇒=+∈ 函数cos 3y x π⎛
⎫
=- ⎪⎝⎭的对称轴为,33x k x k k Z π
π
ππ-=⇒=+∈；当0k =时，二者有相同的对称轴3x π
=；同理，由三角函数的性质可得函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称中心为,0212k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，函数cos 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称中心为5,0,6k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，二者没有相同的对称中心
【考点】三角函数的对称轴，对称中心
10．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为1CC 中点，过点A 作平面//α平面DBE ，平面α与侧面11BCC B 交于线段MN ，点P 为线段MN 上任意一点，则线段DP 长度的最小值是（ ）
A ．
B
C ．
D ．3 【答案】B。