单叶双曲面和双曲抛物面的直母线
单叶双曲面与双曲抛物面的教法
单叶双曲面与双曲抛物面的教法
椭球-椭圆
双曲面-抛物面
(1) 双曲面：
1）定义：双曲面是单叶双曲面的特殊情况，由特定的二次多项式表示，它在三维空间中是一个曲面，它有二维和一维空间投影，它可以被椭
圆曲线拟合。
双曲面的特点是其曲率固定，且四条边界是正交的。
2）参数方程：双曲面的参数方程为
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$，其中$a,b,c$都
大于零。
3）特征：双曲面有两个极轴：$x$和$z$轴；它有两个椭圆曲线为投影：椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$和
$\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$
(2) 双曲抛物面：
1）定义：双曲抛物面是由特定的一次多项式表示的抛物面，在三维空
间构成一个双曲面，它与椭球有着类似的几何结构，双曲抛物面的特
点是它的抛物度恒定，边界曲线与xy平面的交点为椭圆。
2）参数方程：双曲抛物面的参数方程为$\frac{x^2}{a^2}-
\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$，其中$a,b,c$都大于零。
3）特征：双曲抛物面有两个极轴：$x$和$z$轴；它有两个椭圆曲线为投影：椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$和$\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$。
09-13全国大学生高等数学竞赛真题及答案(非数学类)-无答案
一、填空题（每小题 5 分，共 20分）
(x y) ln(1 y )
1．计算 D
x dxdy ____________，其中区域 D 由直线 x y 1 与 1x y
两坐标轴所围成三角形区域.
2．设 f (x) 是连续函数，且满足 f (x) 3x2 2 f (x)dx 2 , 则 f (x) ____________. 0
3．曲面 z x22 y 2 2 平行平面 2x 2 y z 0 的切平面方程是__________.
4．设函数 y y(x) 由方程 xe f ( y) d2 y ________________. dx 2
ey ln 29确定，其中 f 具有二阶导数，且 f
1 ，则
二、（5 分）求极限 lim( ex e2x
2.证明广义积分
0
sin x
x
dx
不是绝对收敛的
3.设函数 y y x 由 x3 3x2 y 2 y3 2 确定，求 y x 的极值。
4.过曲线 y 3 x x 0 上的点 A 作切线，使该切线与曲线及 x 轴所围成的平面图形 3
的面积为 4 ，求点 A 的坐标。
二、（满分 12）计算定积分 I
x sin x arctan ex dx 1 cos2 x
三 、（ 满 分 12 分 ） 设 f x 在 x 0 处 存 在 二 阶 导 数 f 0 ， 且
lim f x x0 x
0 。证明 ：级数 f 1 收敛。
n1
n
四 、（ 满 分 12 分 ） 设 f x
b
sin f x dx
2
a
m
,f x
0a x b，证 明
4.7：单叶双曲面与双曲抛物面的直母线
（5）
如果
那么由(5)知必有
这样就证明了曲面(1)是由u族直线所构成.
因此单叶双曲面(1)是直纹曲面.
同样可以证明由直线
（6）
(其中 为不等于零的任意实数)与另两直线(相当与 (6)中当 和 的情形)
现在我们来证明定理的前半部分，单叶双曲面上 异族的任意两直母线必共面.
证:
单叶双曲面的两个异族直母线方程分别为:
这两条直线共面的充分必要条件是(看p137, 例3)
四个方程的系数和常数项所组成的行列式为零.
所以单叶双曲面上异族的两直母线必共面.
定理 4.7.2 单叶双曲面或双曲抛物面上同族的任 意两直母线总是异面直线，而且双曲抛物面同族的全 体直母线平行于同一平面.
为了避免取极限，我们常把单叶双曲面(1)的u 族直母线写成
（4.7-1）
其中 不同时为零。当 时，各式除以 式子就化为(3)；当 时便化成(4)； 当 时便化成(4`).
我们虽然很弯曲, 但是我们都由直线构成, 你相信吗?
首先考虑单叶双曲面
（1）
其中 为正常数，
把（1）改写为
或者
（2）
(2)与(1)等价吗?
等价!
（2）
现在引进不等于零的参数u, 将上述方程写为:
改写为:
(2)/
(3)
(3)与(2)等价吗?
不等价!
对于给定的u, (3)表示什么曲线?
直线
（4）
与
（4）/
考虑到(3) 与(2)相比,漏掉了下面的两个方程组
（2）
(2)/
(1)
(3)
也就是说
(3)
与
直纹曲面及其性质
,取u的值,使得
y0 b
0.此
则由(3.4-5)便得
x0 a
z0 c
u(1
y0 ) b
,
x0 z0 1 1 y0 a c u b
所以点P0(x0,y0,z0)在直线(3.4-3)上．
若
x0 a
z0 c
0,则由(3.4-5)可得1
y0 b
0 ,故M0点在直线
下证u族直线(3.4-11)可以构成曲面(3.4-10),从而它是曲面 (3.4-10)的一族直母线.
易知,u族直线(3.4-11)中任何一条直线上的点都在曲面(3.4-
10)上；反过来,设(x0,y0,z0)是曲面(3.4-10)上的点,则有
a(x0 , y0 , z0 ) b(x0 , y0 , z0 ) c(x0 , y0 , z0 ) d (x0 , y0 , z0 ) , (3.4-12)
1
y b
．
引进不等于零的参数,并考察由(3.4-2)得到的方程组
x a
z c
u 1
y b
,
x a
z c
1 u
1
y b
,
(3.4-1) (3.4-2) (3.4-3)
与两方程组
x a
z c
0,
1
那么取u : w 的值,使得
从而有
a(x0 , y0 , z0 ) d (x0, y0, z0 ) u , c(x0 , y0 , z0 ) b(x0 , y0 , z0 ) w
ìïïíïïî
解析几何版吕林根课后习题答案
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面§ 4.1柱面1、已知柱面的准线为：⎩⎨⎧=+-+=-+++-0225)2()3()1(222z y x z y x 且（1）母线平行于x 轴；（2）母线平行于直线c z y x ==,，试求这些柱面的方程。
解：（1）从方程⎩⎨⎧=+-+=-+++-0225)2()3()1(222z y x z y x 中消去x ，得到：25)2()3()3(222=-+++--z y y z 即：0235622=----+z y yz z y 此即为要求的柱面方程。
（2）取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 且平行于直线⎩⎨⎧==c z yx 的直线方程为：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=z z t y y tx x zz t y y tx x 000000 而0M 在准线上，所以⎩⎨⎧=+--+=-++-+--02225)2()3()1(222t z y x z t y t x 上式中消去t 后得到：02688823222=--+--++z y x xy z y x 此即为要求的柱面方程。
2、设柱面的准线为⎩⎨⎧=+=z x z y x 222，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。
解：由题意知：母线平行于矢量{}2,0,1- 任取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 的母线方程为：⎪⎩⎪⎨⎧+==-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z z y y tx x tz z y y tx x 2200000而0M 在准线上，所以：⎩⎨⎧+=-++=-)2(2)2(22t z t x t z y t x 消去t ，得到：010*******22=--+++z x xz z y x 此即为所求的方程。
3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。
解：过原点且垂直于已知三直线的平面为0=++z y x ：它与已知直线的交点为())34,31,31(),1,0,1(,0,0,0--，这三点所定的在平面0=++z y x 上的圆的圆心为)1513,1511,152(0--M ，圆的方程为： ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-++++07598)1513()1511()152(222z y x z y x 此即为欲求的圆柱面的准线。
二次曲面的直纹性
二次曲面的直纹性一 定义：由一组连续变化的直线形成的曲面称为直纹面，其中每条直线都称为它的母线。
注：柱面、锥面显然都是直纹面，但椭球面，双叶双曲面与椭圆抛物面均不是直纹面。
试问，单叶双曲面与双曲抛物面是否为直纹面？答案是肯定的。
二 单叶双曲面的直纹性: 设有单叶双曲面 1222222=−+cz b y a x （1） （1）等价于 （c z a x +）（c z a x −）=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+b y b y 11 （2） 即 ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+c z a x ：⎟⎠⎞⎜⎝⎛+b y 1=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−b y 1：⎟⎠⎞⎜⎝⎛−c z a x （3） 对∀ λ≠0，方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−=−+=+)1(1)()1()(b y cz a x b y c z a x λλ （4） 表示一直线，另外 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−=+010by c z a x （5） 及 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=−010by c z a x （6） 也表示直线。
显然由（4）—（6）构成的直线族中每一直线均在单叶双曲面（1）上。
再者对∀0M （0x ，0y ，0z ）∈（1） 有 ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+b y 1b y 1c z a x c z ax 000000 注意1+b y 0与1-by 0不全为0 1°若1+b y 0≠0当时0c z a x 00≠+，令λ=0by 1c z a x 000≠++ 则 0M ∈（4） 当0c z a x 00=+时，则1-by 0 =0，则0M ∈（5） 2°若1+b y 0=0，则1-by 0≠0 当0c z a x 00≠− 取λ=cz a x b y 1000−−≠0 则0M ∈（4） 当0cz a x 00=−时，有0M ∈（6） ∴有：单叶双曲面是由直线族（4）-（6）构成的 ∴单叶双曲面是直纹面。
同理，由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=−−=+1(1)1(b y c z a x b y c z a x µµ μ≠0 （4′） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+010by c z a x （5′） 及⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−=−010by c z a x （6′） 组成的直线族也可构成单叶双曲面（1），为方便记忆，将（4）—（6）和（4′）-（6′）写成如下统一形式 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−=−′+′=+)1()(1()(b y u cz a x u b y u c z a x u u,u′不全为0 （7）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=−′−′=+)1()()1()(b y v cz a x v b y v c z a x v v，v′不全为0 （7′）分别称（7）（7′）为单叶双曲面（1）的u 族，v 族直母线。
单叶双曲面与双曲抛物面的直母线
&§4.7 单叶双曲面与双曲抛物面的直母线在前面我们已经注意到，柱面和锥面上都有一族直母线，单叶双曲面与双曲抛物面上也有直线存在。
一个连续族的直线产生的曲面称为直纹面，这个族的直线称为直纹面的直母线。
椭球面，双叶双曲面与椭圆抛物面均不是直纹面。
柱面、锥面、一条空间曲线的切线形成的曲面，主法线形成的曲面等都是直纹面，而且这些直纹面都是由一族直线构成的。
我们指出，单叶双曲面与双曲抛物面也是直纹面，而且是仅有的两种有两族直线的直纹面。
1．单叶双曲面的直纹性 设有单叶双曲面1222222=-+c z b y a x (1)将其改写为2222221by c z a x -=-并分解因式，就有(c z a x +) (c za x -) =⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+b y b y 11 (2)引进不等于零的参数u ，并考察由（2）得到的方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+b y u c z a x b y u c z a x 111 (3)与两方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+010b yc z a x (4)⎪⎩⎪⎨⎧=+=-010byc z a x (4')方程组（4）和（4'）实际上是（3）中u →0∞和u →∞时的两种极限情形。
无论u 取何值，（3）、（4）和（4'）都表示直线。
我们把（3）、（4）和（4'）合起来的一族直线叫做u 族直线。
现证明此u 族直线可以构成单叶双曲面（1），从而它是（1）的一族直母线。
首先，u 族直线中的每一直线均在单叶双曲面（1）上。
因为当u ≠0时，（3）的两式相乘就得（1），所以（3）表示的直线上的点都在曲面（1）上。
而满足（4）和（4'）的点显然都满足（2），从而满足（1），因此直线（4）与（4'）上的点都在（1）上。
反过来，设0M (0x ，0y ，0z )是曲面（1）上任一点，则有⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+b y b y c z a x c z ax 00000011(5)显然1＋by 0与1－b y 0不能同时为零，不失一般性，设1+b y0≠0。
【最新精选】解析几何之直纹面
解析几何之直纹面在我们学习解析几何的过程中，其中二次曲面一共17种，在这17种的二次曲面中有一部分曲线有一个共同的特征，那就是他们都是由直线组成的，我们也把这样的曲面称为直纹面。
下面介绍一下直纹面。
定义：一曲面S 称为直纹面，如果存在一族直线使得这一族中的每一条直线全在S 上；并且S 上的每一个点都在这一族的某条直线上。
这样一族直线称为S 的一族直母线。
简单的说：由一族直线构成的曲面叫直纹面，其中的直线叫直纹面的母线。
种类：在二次曲面中，很显然二次柱面与二次锥面为直纹面，另外通过学习我们知道单叶双曲面与双曲抛物面也是直纹面（下面会证明），其他的二次曲面就不是直纹面了。
证明：○1、单叶双曲面是直纹面证：单叶双曲面方程为：()()22222222222212211211111121,0x y z x z y a b c a c bx z x z y y a c a c b b x z y a c b x z y a c b λλλλλλ+-=⇔-=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇔+-=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎧⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⇔⎨⎛⎫⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩………………不全为。
()()()121212112111011010x z x z y y a c a c b b x z y a c b y x z b a c x z y a c b y x z b a c x z a c λλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇔=⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎧⎛⎫⎛⎫+++-= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⇔-⎨⎛⎫⎛⎫⎪-+--= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎛+ ⎝⇔以，为未知量的方程组：有非零解。
存在不全为零的，使得22111y b x z y a c b λλλ⎧⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎪⎪⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩成立。
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z 4
v 1
y 2
,
v
x 3
z 4
t
1
y 2
.
将（6，2，8）代入上述直母线族方程，求得 w , u , t , v.
例题
例2
试证明双曲抛物面
x2 a2
y2 b2
2z a
b上的两直母线直交时，其
交点必在一双曲线上.
z c
v
1
y b
,
t2 v2
0
v
x a
z c
t
1
y b
.
（4.7-2）
推论1 对于单叶双曲面上的点，两族直母线中各有一条直母线通
过这点.
B8ack
三、双曲抛物面是直纹曲面
z
O x
y
9
三、双曲抛物面是直纹曲面
双曲抛物面
例3 已知空间两异面直线间的距离为 2a，夹角为 2 ，过这两
直线分别作平面，并使这两平面相互垂直，求这样的两平面交线
的轨迹.
2020/1/21
18
x2 a2
y2 b2
2z
a,b 0
悉尼歌剧院
定理 单叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1 ， a,b, c
0
是直纹曲面。它有两族直母线：
w
x a
z c
u
1
y b
,
w2 u2
0
u
x a
z c
《解析几何》
－Chapter 4
§7 单叶双曲面与双曲抛物面 的直母线
Contents
一、直纹曲面的概念 二、单叶双曲面是直纹曲面 三、双曲抛物面是直纹曲面 四、单叶双曲面与双曲抛物面的性质
一、直纹曲面的概念
定义 由一族直线所生成的曲面叫做直纹曲面(ruled surface)，生
成曲面的那族直线叫做该曲面的一族直母线. 平面、柱面、
锥面有什么共
平面是直纹曲面；
有没有更同复的杂特的征直呢?
柱面和锥面都是直纹曲面；
纹曲面呢？有哪些 二次曲面可能是直
椭球面不是直纹曲面；
纹曲面呢?
双叶双曲面不是直纹曲面；
椭圆抛物面不是直纹曲面.
例(教材P153) 求直线 方程.
：x绕 直y 线z 1
21 0
旋转l 所: x得的y 旋z转曲面的
单叶旋转双曲面
Back
直纹曲面模型
直纹曲面模型
二、单叶双曲面是直纹曲面
单叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
a,b, c 0
分析:
如果曲面 S 上存在一族直线， (1) 曲面 S 上的每个点必定在这个族
中的某一条直线上;
(2) 直线族中的每条直线都在曲面 S 上.
定理 单叶双曲面
1 上的点 6,2,8的直母线的方程.
分析: 单叶双曲面 x2 y2 z2 1 的两族直母线方程为：
9 4 16
w
x 3
z 4
u 1
y 2
,
与
u
x 3
z 4
w 1
y 2
t
x 3
14
四、单叶双曲面与双曲抛物面的性质
定理4.7.1 单叶双曲面上异族的任意两直母线必共面，而双曲抛物 面上异族的任意两直母线必相交. 定理4.7.2 单叶双曲面或双曲抛物面上同族的任意两直母线总是 异面直线，而且双曲抛物面同族的全体直母线平行于同一平面.
例题
例1
求过单叶双曲面
x2 9
y2 4
z2 16
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1 ， a,b, c
0
是直纹曲面.它有两族直母线：
w
x a
z c
u
1
y b
,
w2 u2
0
u
x a
z c
w 1
y b
（4.7-1）
与
t
x a
x2 y2 2z ， a2 b2 是直纹曲面.它有两族直母线：
a,b 0
x a
y b
2u,
u
x a
y b
z,
u
R
（4.7-3）
与
x a
y b
2v,
v
x a
y b
z,
v
R
.
（4.7-4）
对于双曲抛物面上的点，两族直母线中各有一条直母线通过该点.
w 1
y b
,
（4.7-1）
与
t
x a
z c
v
1
y b
,
t2 v2
0
v
x a
z c
t
1
y b
,
（4.7-2）
对于单叶双曲面上的点，两族直母线中各有一条直母线通过这点.
13
定理 双曲抛物面