条件概率、乘法公式和独立性
事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 2025年高考数学基础专项复习
1
6×6
1
1
1
= 36，（甲丁）= （甲）（丁），故B正确；事件乙与事件丙同时发生的概率为6×6 = 36，（乙丙）≠
（乙）（丙），故C错误;事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误.故选B.
本质
一个事件是否发生对另一个事件是否发生没有影响.
独立
事件
(1)必然事件Ω、不可能事件∅都与任意事件相互独立;(2)当事件A与B相互独立时,事件A与B,A与
性质
B,A与B也相互独立;(3)如果事件A1,A2,…,An相互独立,那么这n个事件同时发生的概率等于每个
事件发生的概率的积,即P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).
1
3
2.［多选］［人A必修二P253习题10.3第2题变式］设，为两个随机事件，若 = 2， = 4，则下列结论中
正确的是(
ABD )
3
3
B.若 ∩ = 8，则，相互独立
A.若,相互独立，则 ∩ = 8
3
7
C.若与相互独立，则 ∩ = 8
D.若与相互独立，则 ∪ = 8
1
三好学生的概率为__.
8
【解析】 根据题意可得，该班男生有40名，三好学生有10名，三好学生中男生有5名.设“从该班任选一名学生，
没有选上女生”为事件，“从该班任选一名学生，选
上的是三好学生”为事件，则“没有选上女生且选上的是三好学生”为事件 ， = 40 ， = 5.
40
2
2
3
+ 1−
1
第三节 条件概率 事件的独立性
B
相互独立即可
AB B ，由概率的可减性，得
P A B P B P AB
P B P A P B
事件
A 与 B 的独立性
1 P A P B
所以，事件
A 与 B 相互独立．
2、多个事件的独立性 三个事件的独立性 定义：对于三个事件A、B、C ，若下列 四个等式: P(AB)= P(A)P(B)
1
假设独立重复地做
n 次某一试验
E , A 是某一随机
事件 , A i 表示第 i 次试验中 A 出现 , 则前 n 次试验中 A 至少出现一次的概率为
n n P A 1 1 p i i 1
此结论说明 :小概率事件迟早要发生 .
例3 三人独立地去破译一份密码，已知各人 能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人 中至少有一人能将密码译出的概率是多少？ 解：将三人编号为1，2，3， 记 Ai={第i个人破译出密码} i=1,2,3 所求为 P(A1+A2+A3)
则称 A 与 B 是相互独立的随机事件．
性质1: A 与 B是两个事件，而且
则 A 与 B 相互独立的充要条件
P A 0
P B A P B
证明：必要性 由于事件 A 与 B 相互独立，故
P AB
因此，
P A P B
P AB
P B A
P A
已知, P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4
P(A1+A2+A3) 1 P ( A
1
A2 A3 )
知识讲解 条件概率 事件的相互独立性
条件概率事件的相互独立性【学习目标】1．了解条件概率的概念和概率的乘法公式．2．能运用条件概率解决一些简单的实际问题．3．了解两个事件相互独立的概念，会判断两个事件是否为相互独立事件．4．能运用相互独立事件的概率解决一些简单的实际问题．【要点梳理】要点一、条件概率的概念1.定义设A、B为两个事件，且()0P A>，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率。
用符号(|)P B A表示。
(|)P B A读作：A发生的条件下B发生的概率。
要点诠释在条件概率的定义中，事件A在“事件B已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的，应该说，每一个随机试验都是在一定条件下进行的．而这里所说的条件概率，则是当试验结果的一部分信息已知，求另一事件在此条件下发生的概率．2．P（A｜B）、P（）、P（B）的区别P（A｜B）是在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
P（）是事件A与事件B同时发生的概率，无附加条件。
P（B）是事件B发生的概率，无附加条件．它们的联系是：() (|)()P ABP A BP B=．要点诠释一般说来，对于概率P()与概率P(A)，它们都以基本事件空间Ω为总样本，但它们取概率的前提是不相同的。
概率P(A)是指在整个基本事件空间Ω的条件下事件A发生的可能性大小，而条件概率P()是指在事件B发生的条件下，事件A发生的可能性大小。
例如，盒中球的个数如下表。
从中任取一球，记“取得篮球”，“取得玻璃球”。
基本事件空间Ω包含的样本点总数为16，事件A包含的样本点总数为11，故11 ()P A=。
如果已知取得玻璃球的条件下取得篮球的概率就是事件B发生的条件下事件A发生的条件概率，那么在事件B 发生的条件下可能取得的样本点总数应为“玻璃球的总数”，即把样本空间压缩到玻璃球全体。
而在事件B 发生的条件下事件A 包含的样本点数为蓝玻璃球数，故42(|)63P A B ==。
要点二、条件概率的公式1．计算事件B 发生的条件下事件A 发生的条件概率，常有以下两种方式： ①利用定义计算．先分别计算概率P （）及P （B ），然后借助于条件概率公式()(|)()P AB P A B P B =求解． ②利用缩小样本空间的观点计算．在这里，原来的样本空间缩小为已知的条件事件B ，原来的事件A 缩小为事件，从而(|)AB P A B B =包含的基本事件数包含的基本事件数，即：()(|)()n AB P B A n A =，此法常应用于古典概型中的条件概率求解． 要点诠释概率P()与P()的联系与区别： 联系：事件A ，B 都发生了。
条件概率与事件的独立性
P( AB)
P( A)
16 11
4 11
16
变式:若已知取得是玻璃球,求取得是篮球的概率.
4
P(A| B)
P( AB)
P(B)
16 6
4 6
16
例3.设 100 件产品中有 70 件一等品，25 件二等品， 规定一、二等品为合格品．从中任取1 件，求 (1) 取 得一等品的概率；(2) 已知取得的是合格品，求它是 一等品的概率．
∴P(A·B)=P(A)·P(B)=0.8×0.7=0.56
⑶1–P(A·B)=1-P(A)·P(B)=1-(1-0.8)(1-0.7)=0.94
⑷P(A·B)+P(A·B)=P(A)P(B)+P(A)P(B) =0.8(1-0.7)+(1-0.6)×0.7=0.38
答：两粒种子都能发芽的概率是0.56；至少有一粒种子能 发芽的概率是0.94；恰好有一粒种子能发芽的概率是0.38
P(A |
B)
P( AB) P(B)
52 1
1 13
P(A)
4
P(A | B) P(A)
P( AB) P( A) P(B)
B发生时A发生的条件概率
A发生的概率
P(AB) P(A)P(B)
则称A，B相互独立
相互独立事件 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没 有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件
中一等奖的概率为多少？
P
1
C
7 31
（2）如果在甲没有中一等奖后乙去买彩票，
则乙中一等奖的概率为多少？
P
1
C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
7 31
2．一个袋子中有5个白球和3个黑球，从袋中分 两次取出2个球。设第1次取出的球是白球叫做 事件A，第2次取出的球是白球叫做事件B。
事件的相互独立性、条件概率与全概率公式-高考数学复习
）
A. 甲与丙相互独立
B. 甲与丁相互独立
C. 乙与丙相互独立
D. 丙与丁相互独立
目录
解析：
1
事件甲发生的概率 P （甲）＝ ，事件乙发生的概率 P
6
1
5
5
（乙）＝ ，事件丙发生的概率 P （丙）＝
＝ ，事件丁发生的概
6
6×6
36
6
1
率 P （丁）＝
＝ .事件甲与事件丙同时发生的概率为0， P （甲
）＝（1－0.6）×0.5×0.5×0.4＋0.6×（1－0.5）×0.5×0.4＋
0.6×0.5×（1－0.5）×0.4＋0.6×0.5×0.5×（1－0.4）＝0.25，4人需
使用设备的概率 P 2＝0.6×0.5×0.5×0.4＝0.06，故所求的概率 P ＝
3
2
3
5
（ ）·P （ ）·P （ ）＝（1－ ）（1－ ）（1－ ）＝ .
4
3
8
96
因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙
三人中，至少有一人答对这道题”是对立事件，
5
91
所以所求事件的概率为 P （ M ）＝1－ ＝ .
96
96
目录
解题技法
1. 求相互独立事件同时发生的概率的步骤
2∪…∪ An ＝Ω，且 P （ Ai ）＞0， i ＝1，2，…， n ，则对任意的事
件 B ⊆Ω，有 P （ B ）＝
∑ P （ Ai ） P （ B ｜ Ai ）
i=1
，我们称上面
的公式为全概率公式.
目录
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
高等数学 13.4条件概率、乘法公式与事件的独立性
• 需要说明的是，（1-15）式实际上蕴涵着
•C
2 n
Cn3
C
n n
2n
1 n
个等式. 特别地，
• 当n 3 时，（1-15）式蕴涵着以下四个 等式：
Байду номын сангаас
• P( A1 A2 ) P( A1) P( A2 )
，
• P( A1 A3 ) P( A1 ) P( A3 )
，
•
P( A2 A3 ) P( A2 ) P( A3 )
复n次得到的复合试验称为n重独立试验；
若E只有两个可能结果（如事件A发生或不 发生），则称其为贝努利试验（Bernoulli
Trial），由它得到的n重独立试验称为n重
贝努利试验.
• 贝努利试验以及相应的概率模型在实际 中有十分广泛的应用. 比如，掷一颗骰子的 试验就是贝努利试验，掷n次就是n重贝努 利试验. 还有，对任一事件A，若试验的目 的只是观察A发生与否，那么，独立地做n 次试验或观察就构成一个n重贝努利试验.
11)
• 这就是概率的乘法公式，它在计算复杂 事件的概率时十分有用.
• 乘法公P(式A1（A2 1-1A1m）1) 还 0可推广到多个事件
的情形，如
时，有
三 事件的独立性
• 一、两个事件的独立性
•
在前面的很多例子中P，(A | B) P(A) ，
这说明事件A与B是有关联的. 比如，P当(A | B) P(A)
生了”
• 定义1.2 设A和B为两个事件P，(B) 0 ，
那么，在“B已发生”的条件下，A发生的
条件概P(率A | B)
定义为
P( A | B) P( AB)
•
第五章5.2条件概率,乘法公式,全概率
i 1 n
Bn -1 A
B2
Bn
B3
全概率公式的证明
n i 1
显然 A = A A B i ( AB i )
i 1
n
A= AB1 AB2
AB1 AB2 …... …...
ABn
ABn
B i B j ( AB i )( A B j ) ,
某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球，求 该球是取自1号箱的概率. 记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3; B ={取得红球} 求P(A1|B).
P ( A1 B) P ( A1 | B) P ( B)
P ( A1 ) P ( B | A1 )
P ( A ) P ( B｜A )
这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率为0.4825。
例 2 三个罐子分别编号为 1, 2, 3，1号装有 2 红 1 黑球 , 2号装有 3 红 1 黑球， 3号装有 2 红 2 黑球. 某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球， 求取得红球的概率. 解 记 A ={ 取得红球 } 1 2 3 Bi ={ 球取自 i 号罐 } i=1, 2, 3; 则 A 发生总是伴随着 B1，B2，B3 之一同时发生， 即 A = AB1 + AB2 + AB3， 且AB1、AB2、AB3两两互斥，利用有限可加性 P(A) = P(AB1)+P(AB2)+P(AB3)
解：（1）第一次取得一等品后，剩下的9件产品中 还有6件一等品，即
6 2 P ( B A) . 9 3
（2）第一次取得二等品后，剩下的9件产品中 还有7件一等品，即
第十章 第四节 事件的独立性、条件概率与全概率公式
6．(全概率公式应用致误)在 A，B，C 三地爆发了流感，这三个地区分别有 6%，5%，4%的人患了流感．设这三个地区人口数的比为 3∶1∶1，现从这三个地 区中任选一人，这个人患流感的概率是__________．
答案：52070 解析：由全概率公式可得，现从这三个地区中任选一人，这个 人患流感的概率为 6%×3＋31＋1 ＋5%×3＋11＋1 ＋4%×3＋11＋1 ＝52070 .
2．事件 A 与事件 B 相互独立性
若事件 A 与事件 B 相互独立，则事件 A 的发生不会影响事件 B 发生的概率，
即有
P(B|A) ＝ P(B). 反 之 ， 若
P(B|A) ＝ P(B) 成 立 ， 则
P(AB)
＝ P(A)
P（AB） P（A）
＝
P(A)P(B|A)＝P(A)P(B).
3．n 个事件的相互独立
答案：25 解析：设事件 A 为“解题成功”，即甲乙两个小组至少有一个小 组解题成功，
其概率为 P(A)＝1－1－23 ·1－12 ＝56 ，
事件 B 为“乙小组解题失败”，则 P(AB)＝23 ×1－12 ＝13 ， 所以在解题成功的条件下，乙小组解题失败的概率为
1 P(B|A)＝PP（（AAB）） ＝35 ＝25 .
5．天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是 0.2，乙地降雨概率是 0.3.假设在这 段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率 为________．
答案：0.38 解析：设甲地降雨为事件 A，乙地降雨为事件 B，则两地恰有一 地降雨为 A－B ∪－A B，
所以 P(A－B ∪－A B)＝P(A－B )＋P(－A B)＝ P(A)P(－B )＋P(－A )P(B)＝0.2×0.7＋0.8×0.3＝0.38.
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§3．条件概率、乘法公式、独立性
前面讲到随机事件时，讲到随机事件是在一定条件S下，进行随机试验而可能发生或可能不发生的事件．当我们计算事件A的概率P(A)时，假如除了条件S外，不再加上其它条件的限制，我们称此种概率为无条件的概率。
然而在许多实际问题中，还存在着要求一个事件B在某一事件A差不多发生的条件下的概率．我们称它条件的概率。
一．【例1】设箱中有100件同型产品。
其中70件(50件正品，20件次品)来自甲厂，
30件(25件正品， 5件次品)来自乙厂。
现从中任取一件产品。
(1)求取得甲厂产品的概率；
(2)求取得次品的概率；
(3)已知取得的是甲厂产品，求取得的是次品的概率。
分析：为了直观，我们将产品情况列成表
上面的问题，可用古典概率计算法求得。
解：
则（1）（2），
，，
（3）在“已知取得的是甲厂产品”这一条件下任取一件产品，实际上是从甲厂70件产品(50件正品，20件次品)中任取一件。
这时样本空间只含70个差不多事件(是原的样本空间的一部分)。
由古典概率知：
为了给出条件概率的数学定义，我们对{例1}的条件概率问题进行分析：
即有
二。
条件概率：设A,B是条件S下的两个随机事件，P(A)＞0，则
称在事件4发生的条件下事件B发生的概率为条件概率,
且
【例 1】从带有自标号1， 2， 3，4，5，6的六个球中，任取
两个，假如用A表示事件“取出的两球的自标号的和，为6”，用B
表示事件“取出的两球的自标号都处偶数”，试求：
【例】
φ
=，解；（ⅰ）∵ABφ
三．概率的乘法公式：
乘法公式：两个事件A、B之交的概率等于中任一个事件(其概率不为零)的概率乘以另一个事件在已知前一个事件发生下的条件概率。
即
【例2】盒中有10件同型产品。
其中8件正品， 2件次品，现从盒中无放回地连取2件，求第一次、第二次都取得正
品的概率。
因为在第一次已取得正品下，第二次再取产品时，盒中只剩9件产品，其中正品只有7件。
【例3】10个考签中有4个难签， 3人参加抽签(不放回)，甲先、乙次、丙最后。
求甲抽到难签，甲、乙都抽到难签，甲没
抽到难签而乙抽到难签以及甲、乙、丙都抽到难签的概率。
解：设事件A，B、C分不表示甲、乙、丙各抽到难签，则
【例4】
【例5】袋中有三个阄，其中仅有一阄为有物之阄，三人排队抓阄，每人取一个，记。