集合论讲义与图论
集合论与图论第八章
14
8.1 顶点连通度和边连通度
若m≤(G),则
1 1 (m (G ) (G )) m(m 1) 2 2
这是不可能的,所以若(G)≤m,于是
8
8.1 顶点连通度和边连通度
பைடு நூலகம்
定理8.1.2 对任何正整数a,b,c,0<a≤b≤c, 存在一个图G使得 (G)=a,(G)=b,(G)=c。
如果a=b=c,则图G=Ka+1就是所要求的图。
9
8.1 顶点连通度和边连通度
如果a=b<c,则所要求的图G的图解如下:
…
Kc+1
…
Kc+1
10
8.1 顶点连通度和边连通度
(1)、最小度数为b=c (2)、最小边连通度为b (3)、最小顶点连通度为a
11
8.1 顶点连通度和边连通度
如果a<b<c,则所要的图G的图解如下
…
Kc+1
…
Kc+1
12
8.1 顶点连通度和边连通度
引理8.1.1 设G=(V,E)是一个图且(G)>0, 则存在V的真子集A,使得G中联结A中的一个顶点 与V\A中一个顶点的边的总数恰为(G). [证]因为(G)>0,所以G中有(G)条边,把他 们去掉后得到一个恰有两个支的不连通图,令其中 一个支的顶点集为A,则A是V的一个真子集,由于 (G)>0, 那些被去掉的每一条边,其一个端点在A 中,另一个端点在V\A中,这些边当然为(G)条。
23
18
8.1 顶点连通度和边连通度
集合论与图论第九章
9.1 平面图及欧拉公式 最大平面图的性质
推论9.1.2 设G是一个有p个顶点q条边的最大 可平面图,则G的每个面都是三角形, q=3p-6,p≥3。
9
9.1 平面图及欧拉公式
推论9.1.2 设G是一个有p个顶点q条边的最大 可平面图,则G的每个面都是三角形,
q=3p-6,p≥3。
证:若G的一个面不是三角形,
f3
f2 v
f1
u
f4
0
1
3
2
4
5
平面图的每个内部面都是G的某个圈围成的单 连通区域。
没有圈的图没有内部面，只有一个外部面。
4
9.1 平面图及欧拉公式
如果用V表示多面体的顶点,用E表示棱，用F表 示面数。
V-E+F=2 定理9.1.1(欧拉公式) 如果一个平面连通图有p 个顶点、q条边、f个面，则：p-q+f=2
推论9.1.6 每个平面图G中顶点度的最小值不超 过5,即(G)≤5
33
第九章：平面图与图的着色
9.1 平面图及其欧拉公式 9.2 非哈密顿平面图 9.3 库拉托斯基定理、对偶图 9.4 图的顶点着色 9.5 图的边着色
34
9.4 图的顶点着色
K26
K6
35
9.4 图的顶点着色
定义9.4.1 图的一种(顶点)着色是指对图的每个顶 点指定一种颜色,使得没有两个邻接的顶点有同一颜 色。
证：对面数用归纳法 当f=1时，G没有内部 所面以G中无圈，G是树； p式假成如立对，q=一+2现f切证=1不f个+超1面过时f-的1个情面况的。平面连通图欧拉公
5
9.1 平面图及欧拉公式
f≥2,G至少有一个内部面，从而G中有一个圈，
离散数学(集合论)ppt课件
15
幂 集 定义
P(A) = { B | BA }
设 A={a,b,c},则 P(A)={,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c}{a,b,c}}
计数: 6
2.真子集： A B A B A B
真包含
3.集合相等： A B A B 且 B A
14
n元集，m元子集
含有n个元素的集合简称n元集,它的含有m 个(m≤n)元素的子集称为它的m元子集. 例题3.2:A={a,b,c},求A的全部子集. 0元子集,即空集,只有1个. 1 1元子集,即单元集, c 个 {a},{b},{c} 3 2 元子集 个 {a,b},{a,c}{b,c} 2 3元子集1个c 3 {a,b,c} n元集的集合个数为:
2
当时德国数学家康托尔试图回答一些涉及无穷量 的数学难题，例如“整数究竟有多少？”“一个 圆周上有多少点？”0—1之间的数比1寸长线段 上的点还多吗？”等等。而“整数”、“圆周上 的点”、“0—1之间的数”等都是集合，因此对 这些问题的研究就产生了集合论。
3
1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论 是有漏洞的！这就是英国数学家罗素提出的著名 的罗素悖论。 可以说，这一悖论就象在平静的数 学水面上投下了一块巨石，而它所引起的巨大反 响导致了第三次数学危机。
19
集合基本运算的定义
并
交 相对补 对称差
AB = { x | xA xB }
AB = { x | xA xB } AB = { x | xA xB } AB = (AB)(BA) = (AB)(AB)
绝对补
集合论与图论课件 第四章 无限集
3 集合递归（归纳）定义的实例
例1：设整数集I是全集,非负偶整数集 E+={x|x≧0,且x=2y, yZ}, 它可以递归定 义如下: (1)(基础)0E+。 (2)(归纳)如果nE+, 则n+2E+。 (3)(闭合)除有限次应用(1)和(2)产生的整 数外,再没有其它的整数在E+ 中。
引言实例的递归定义 (1)(基础)3S。 (2)(归纳)如果x,yS, 则x+yS。 (3)(闭合)除有限次应用(1)和(2)产生的整 数外, 再没有其它的整数在S中。
例如,若Σ={0,1}, 则 Σ*={,0,1,00,01,10,11,000,001…},是有 限二进制序列的集合, 其中包含空序列。
5
用归纳定义的方法来描述算术表达式集合
例4.4 算术表达式集合是包含整数, 一元运算符+,-, 以 及二元运算符+,-,* ,/的符号序列所组成的集合, 其中包 含如“((3+5)/4)”,“(((-5)+6)*3)”等算术表达式。 算术表达式集合的递归定义如下: (1)(基础)如果D={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}和xD+ ,则x是算 术表达式。其中D+是D上所有非空数字串的集合。 (2)(归纳)如果x和y都是算术表达式, 则 (+x)是算术表达式; (-x)是算术表达式; (x+y)是算术表达式; (x-y)是算术表达式; (x*y)是算术表达式; (x/y)是算术表达式。 (3)(闭合)一个符号序列是一个算术表达式当且仅当它 能通过有限次应用(1)和(2)而得到。
例4.7 证明所有大于或等于2的整数能表 示为若干质数之积。
/*第二数学归纳法证明*/
北大集合论与图论1PPT课件
1. 命题、命题符号化 2. 合式公式、真值表、永真式 3. 逻辑等值式、推理定律 4. 形式化证明
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
1
命题符号化
简单命题： p,q,r,p1,q1,r1,… 联结词：
合取联结词： 析取联结词： 否定联结词： 蕴涵联结词： 等价联结词：
附加律 化简律
A(AB) (AB)A
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
23
常见推理定律（续）
假言推理 (AB ) AB
拒取式 (AB ) B A
析取三段论 (AB )B A
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
24
常见推理定律（续）
假言三段论 (AB)(BC)(AC)
同一律(identity laws)
A0A A1A
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
11
常用逻辑等值式(关于0,1)
排中律(excluded middle)
AA1
矛盾律(contradiction)
AA0
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
12
常用逻辑等值式(关于)
蕴涵等值式(conditional as disjunction)
19
等值演算（举例）
例：(pq)rpqr 解：
(pq)r (pq)r (pq)r pqr
（蕴涵等值式） （德●摩根律） （结合律）
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
20
推理定律(deduction laws)
推出： AB
读作：A推出B 含义：当A为真时，B也为真
集合论与图论第二章
2.4 映射的合成
复合函数 y=g(u),u=f(x) y=g(f(x)) 定义2.4.1 设f:XY,g:YZ, 如果xX,h(x)=g(f(x))。h:XZ称为f与g 的合成, “映射f与g的合成”h记为gf,省略中间 的“”，简记为gf 按定义，xX,我们有 gf(x)=gf(x)=g(f(x))。 注意：“f与g的合成”，在书写时写成gf。
4
2.1 函数的一般概念映射
定义2.1.2 设X和Y是两个非空集合，一个从 X到Y的映射是一个满足以下两个条件的XY的子 集 f： (1)对X的每一个元素x,存在一个yY,使得 (x,y)f; (2)若(x,y)、(x,y)f,则y=y。
5
2.1 函数的一般概念映射
1.AX, f在A上的限制
f-1({d})=。 f-1({b})={2,3}。 为了书写方便，f({a})常记为f(a), f-1({b})=f-1(b)。
29
2.3 映射的一般性质
定理2.3.1 设f：XY,CY,DY,则: (1)f-1(C∪D)=f-1(C)∪f-1(D); (2)f-1(C∩D)=f-1(C)∩f-1(D); (3)f-1(CD)=f-1(C)f-1(D); (4)f-1(Cc)=(f-1(C))c。
这n个映射的合成就可以记为: fnfn-1...f1, x A 1, fnfn-1...f1(x)=fn(fn-1...(f2(f1(x)))...) 定理2.4.2 设f:XY,则fIX=IYf
35
2.4 映射的合成
定理2.4.3 设f:XY,g:YZ,则 (1)如果f与g都是单射的，则gf也是单射的。 (2)如果f与g都是满射的，则gf也是满射的。 (3)如果f与g都是双射的，则gf也是双射的。
集合论与图论
我们要特别提到多重集合的概念。前面谈到的集合都是由不同对象组成的，而在实际中，某 一元素的重复出现往往表达了某种特别的意义。例如，在一个班里学生的名字，可能有两个 或多个学生有相同的名字，并且我们又有可能会谈及到学生名字的总体。又例如，某项工程 中所需要的工程技术人员的种类可用集合
我们将学习朴素集合论的基本内容，但借鉴公理化集合论的思想，以避免出现悖论。
定义 1.1 设 A ， B 为二集合，若 B 中的元素都属于 A ，则称 B 是 A 的子集，也称 A 包 含 B 或 B 含于 A ，记作 B ⊆ A 。
1
定义 1.2 设 A ， B 为二集合，若 A 包含 B 且 B 包含 A ，则称 A 与 B 相等，记作 A = B 。 定义 1.3 设 A ， B 为二集合，若 A 为 B 的子集，且 A ≠ B ，则称 A 为 B 的真子集，记 作 A⊂ B。 定义 1.4 不具有任何元素的集合称为空集，记作 ∅ 。
注 1：容易看出 A ⊕ B = ( A − B) ∪ (B − A) = ( A ∪ B) − ( A ∩ B) 2: A ⊕ ∅ = A , A ⊕ A = ∅ 。
我们下面来定义两个多重集 P 和 Q 的交，并，差运算。
P 和 Q 的并，记为 P ∪ Q ，它也是一个多重集，使得 P ∪ Q 里任一个元素的重数，等于该 元素在 P 和 Q 中重数的最大者； P 和 Q 的交用 P ∩ Q 来表示，使得 P ∩ Q 的任一元素的重 数，等于该元素在 P 和 Q 中重数的最小者； P 和 Q 的差用 P − Q 来表示，使得如果一个元素 在 P 中的重数大于它在 Q 中的重数，那么该元素在 P − Q 中的重数等于它在 P 中的重数减去 它在 Q 中的重数，否则它在 P − Q 中的重数为 0 。类似地，对称差 P ⊕ Q 中元素的重数等于 元素在 P 中和 Q 中两个重数的绝对差值。
集合论与图论3
2009-9-11
《集合论与图论》第3讲
35
对称差分配律(讨论)
A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC)
? ? ?
提示: 先利用文氏图观察, 如果成立则进 行证明, 如果不成立, 则构造反例
《集合论与图论》第3讲
2009-9-11
3
集合恒等式(关于与 )
吸收律(absorption laws)
A(AB)=A A(AB)=A
2009-9-11
《集合论与图论》第3讲
4
集合恒等式(关于~)
双重否定律(double complement law)
~~A=A
德●摩根律(De Morgan’s laws)
2009-9-11
《集合论与图论》第3讲 29
对称差结合律的证明
= (A(~(B~C)~(~BC))) (~A((B~C)(~BC))) = (A(~BC)(B~C))) (~A((B~C)(~BC))) (德•摩根律) = (ABC)(A~B~C) (~AB~C)(~A~BC) (分配律…)
排中律(excluded middle)
A~A = E
矛盾律(contradiction)
A~A =
全补律 ~ = E
~E =
2009-9-11
《集合论与图论》第3讲 7
集合恒等式(关于-)
补交转换律(difference as intersection) A-B=A~B
2009-9-11
2009-9-11
《集合论与图论》第3讲 20
集合论
第一篇集合论第一章集合及其运算1.1 集合的概念1.2 子集、集合的相等1.3 集合的基本运算1.4 余集、De Morgan公式1.5 笛卡尔乘积1.6 有穷集合的基数第二章映射2.1 函数的一般概念——映射定义::映射(法则),映射(笛卡尔乘积),限制和扩张,部分映射,映射相等,单射,满射,双射,恒等映射2.2 抽屉原理2.3 映射的一般性质定义::象f(A),原象f-1(A)[定理2.3.1](1)f-1(C∪D)=f-1(C)∪f-1(D);(2)f-1(C∩D)=f-1(C)∪f-1(D);(3)f-1(CΔD)=f-1(C)Δf-1(D);(4)f-1(C C)=(f-1(C))C⊆⊇⊇[定理2.3.2]∪∪(5)f(A B)=f(A)f(B);(6)f(A∩B)f(A)∩f(B);(7) f(AΔB)f(A)Δf(B);(8) f(A\B)f(A)\f(B)2.4 映射的合成定义::映射的合成[定理2.4.1]合成符合结合律,但不符合交换律[定理2.4.2]设f:X→Y,则f∘I X=I Y∘f =f[定理2.4.3]设f:X→Y,g:Y→Z, 则(1)若f与g都是单射,则g∘f也是单射:f是单射,∀x1x2且x1≠x2 y1=f(x1),y2=f(x2)且y1≠y2有g(f(x1))≠g(f(x2))(2)若f与g都是满射,则g∘f也是满射:f满射,∀y必有x∈X使f(x)=y.∀z∈Z必有y∈Y使g(y)=z.则∀z∈Z必有x∈X使g(f(x))=z.(3)若f与g都是双射,则g∘f也是双射[定理2.4.4]设f:X→Y,g:Y→Z, 则(1)若g∘f是单射,则f是单射;∀x1,x2∈X且x1≠x2有g(f(x1)) ≠g(f(x2))(2)若g∘f是满射,则g是满射;反证:∃z∈Z使∀y∈Y,g(y)≠z则有∀x∈X有g(f(x)) ≠z推出矛盾(3)若g∘f是双射,则f是单射且g是满射[定理2.4.5]设f与g都是X到X的映射,则I m (f)⊆I m(g)的充分必要条件是存在一个映射h:X→X使得f=g∘h2.5 逆映射定义::逆映射,左逆映射,右逆映射[定理2.5.1]逆映射存在的充要条件是f是双射::⇒ Ix,Iy+定理2.4.4⇐构造g(y)=x当且仅当f(x)=y[定理2.5.2]逆映射唯一::假设不唯一,推出g=I x°g=(h°f)°g=h°(f°g)=h°I x=h[定理2.5.3] (gf)-1=f-1g-1,(f-1)-1=f:(gf)(f-1g-1)=g(ff-1) g-1= gg-1=I z, (f-1g-1) (gf)=f(gg-1)f-1= ff-1=I x[定理2.5.4](1)f是左可逆的充分必要条件是f为单射:⇒定义+定理⇐f:X→I m(f)的双射,建立g:I m(f)→X双射,在扩充到Y上,y∉I m(x)随便映射一个(2)f是右可逆的充分必要条件是f为满射:⇒定义+定理⇐构造2.6 置换定义::n次置换,k-循环置换,对换,奇置换,偶置换[定理2.6.1][定理2.6.2][定理2.6.3]置换α,β没有共同数字时可以交换[定理2.6.4]置换可进行唯一循环分解[定理2.6.5]置换分解成若干对换的乘积,分解个数的奇偶性不变[定理2.6.6]奇偶置换个数相等,都等于n!/22.7 二元和n元运算定义::有限序列,无限序列,子序列,二元运算,一元运算,n元运算,交换律,结合律,代数系的同构2.8 集合的特征函数定义::集合的特征函数第三章关系3.1 关系的概念定义::关系(映射),关系(笛卡尔乘积),定义域,值域,多部映射,关系(多部映射),多值二元关系3.2 关系的性质定义::自反,反自反,对称(R对称⟺R=R-1),反对称,传递,相容,逆3.3 关系的合成运算定义::关系的合成,[定理3.3.1]关系的合成不符合交换律,但符合结合律[定理3.3.2](1)R1°(R2∪ R3 )=(R1°R2)∪(R1°R3);(2)R1° (R2∩ R3 )⊆(R1°R2)∩(R1°R3);(3)(R2∪R3 )°R4 = (R2°R4) ∪(R3°R4);(4)(R2∩R3 ) °R4⊆(R2°R4) ∩(R3°R4) [定理3.3.3](1)(R∘S)-1 = S-1∘R-1:(2)R∘R-1 是对称的[定理3.3.4]R是传递关系⟺R°R⊆R[定理3.3.5]R0=I x;R1=R;R n+1=R n°R;R m°R n=R m+n;(R m)n=R mn[定理3.3.6]设X是一个有限集合且|X|=n,R为X上的任一二元关系,则存在非负整数s,t,使得0≤s<t≤2n^2且R s= R t[定理3.3.7]设R是X上的二元关系,若存在非负整数s,t,s<t,使得且R s= R t ,则(1)R s+k= R t+k ,k为非负整数(2)R s+kp+i= R s+i ,其中p=t-s,而k,i为非负整数(3)令S={R0,R,R2 ,…,R t-1},则对任意的非负的整数q,有R q ∈S[定理3.3.8]R对称且传递⟺R=R°R-13.4 关系的闭包定义::传递闭包(所有包含R的传递关系的交,可以类似定义自反传递闭包等),自反传递闭包,自反闭包,对称闭包[定理3.4.1]关系R的传递闭包是传递关系(如果R是传递关系,R+=R):[定理3.4.2]R+=∪R i=R∪R2∪R3∪…:: R+⊆∪R i只要证明∪R i是包含R的传递关系, ∪R⊆R+只要证明(a,b)∈R m,(b,c)∈R n.(a,c)∈R m+n,(a,c) ∈R+[定理3.4.3]R+=∪R n=R∪R2∪R3∪…R n::证明R k⊆∪R i,如果k>n,x仅有n个元素,由抽屉原理得存在b i=b j重复以上过程证明.[定理3.4.5]R*=R0∪R+3.5 关系矩阵和关系图定义:: (1)R是自反的,当且仅当B的对角线上的全部元素都为1;(2) R是反自反的当且仅当B的对角线上的全部元素都为0;(3) R是对称的当且仅当B是对称矩阵;(4) R是反对称的当且仅当b i j与b j i不同时为1,i≠j;(5) R是传递的当且仅当若b i j=1且b j k=1,则b i k=1; (6) R-1的矩阵是B T3.6 等价关系和集合划分定义::等价关系(1.自反2.对称3.传递),等价类,商集[定理3.6.3]3.7 映射按等价关系划分3.8 偏序关系和偏序集定义::偏序关系(自反,反对称,传递),偏序集,全序集,Hasse图,上下界,最大最小元素,链与反链第四章无穷集合及其基数4.1可数集定义::可数集(从自然数集N到集合A有一一映射),无限集(能与自身的真子集对等的集合),代数数,超越数[定理4.1.1]集合A为可数集⟺A的全部元素可以排成无重复项的序列[定理4.1.2]无限集中包含可数子集[定理4.1.3]两个可数集的并是可数集[定理4.1.4]有限个可数集的并是可数集[定理4.1.7]可数个可数集的并是可数集:写成无穷阶方阵,按对角线游历[定理4.1.8]有理数集Q是可数集[定理4.1.10]一列有限个集合的笛卡尔乘积为可数集4.2连续统集定义::连续统(与[0,1]实数集对等)[定理4.2.1]区间[0,1]内的全体实数构成不可数无穷集::康托对角线第二篇图论第六章图的基本概念6.1图论的产生与发展概述6.2基本定义定义::无向图,G(p,q),平凡图,零图,有向图,定向图,子图,生成子图,导出子图,图的同构,度(degv),δ(G),Δ(G),正则图(推论三次图的顶点个数为偶数)[定理6.2.1]欧拉定理:Σ(degv)=2q推论度为奇数的点的个数必为偶数6.3路、圈、连通图定义::通道,闭通道,迹,闭迹,路,圈(回路),连通图,支[定理6.3.1]uv有路⟺u≅v[定理6.3.2]degu+degv≥p–1⟹G连通::拆成两个支用结论反证,degu≤n1-1,degv≤p-n1-1推出与结论的矛盾[定理6.3.3]∀v∈V,degv为偶数⟹G中有圈::设最长路证明[定理6.3.4]∃u,v中有两条不同路⟹G有圈::6.4补图、偶图定义::补图,自补图,三角形,偶图,完全偶图(Km,n), 图上两点间的距离d(u,v)[定理6.4.1]R(3,3)≤6::抽屉原理+[定理6.4.2]偶图判断的充要条件:图上所有的圈的长度都为偶::⇒将圈上的奇偶序的点放入两个顶点划分中⇐取定一点按距离奇偶构造[定理6.4.3](Turan定理)p个顶点没有三角形的图至多有[p^2/4]::6.5欧拉图定义::欧拉闭迹,欧拉图,欧拉迹[定理6.5.1]欧拉图存在定理:G的每个顶点的度都为偶::⇒显然⇐结合定理6.3.3造N个圈Zi然后数归证明这些圈相接.推论::欧拉图的等价命题: 1)G是欧拉图2)∀v∈V,degv为偶数3)G的边能划分成若干不相交的圈.[定理6.5.2]欧拉迹存在定理:: ⇒从定理6.5.1获得⇐uv奇数度,加edge(u,v)得欧拉迹C,在C上去掉edge(u,v).6.6哈密顿图定义::哈密顿圈、哈密顿图[定理6.6.1]G是Hamilton⟹∀S∈V有ω(G-S)<|S|[定理6.6.2](Dirac定理)p个顶点的图G,δ(p)≥p/2,⟹G是一个哈密顿图.[定理6.6.3](Ore定理)p个顶点的图,∀u,v(u,v不邻接),均有degu+degv≥p⟹G是哈密顿图.[定理6.6.4]p个顶点的图,∀u,v(u,v不邻接),均有degu+degv≥p-1⟹G是哈密顿图.6.7图的邻接矩阵[定理6.7.1]图同构的邻接矩阵判定[定理6.7.2]ij顶点间长l的通道条数=A l(i,j)::数归l,[定理6.7.3]G(p,q),连通⟺(A+I)^(p-1)>0::⇒定理6.7.2⇐定理6.7.2第七章树和割集7.1树及其性质定义::树,极小连通图(推论树是极小连通图), 偏心率,树的半径,树的中心[定理7.1.1]树的六个等价命题:1)树;2)G中任两点有且只有一条路;3)G连通且p=q+1; 4)G无圈且p=q+1;5)G无圈且其中任意不相邻两点加边得唯一的圈;6)连通(p≥3且G非Kp)且其中任意不相邻两点加边得唯一的圈.推论非平凡树至少有两个度为1的顶点且非平凡树是偶图::偶图判断的构造证明法[定理7.1.2]树的中心的位置7.2生成树定义::生成树, 生成森林, 生成树的距离,生成树的基本变换[定理7.2.1]生成树存在⟺G连通::⟹显然⟸破圈法.推论G连通⟹q≥p-1[定理7.2.2](Cayley定理)Kp的生成树的个数=p(p-2)[定理7.2.3]生成树中去掉边集E1后必能找到另一不在原生成树中的边集E2使T-E1+E2为生成树[定理7.2.4]距离为k的两个生成树可以经过k次基本变换互相得到::数归,由定理7.2.3知,d(T0,T)=k去掉e1后必然有e2∉T0使(T0-e1)+e2=T1,而d(T1,T)=k-1得到归纳.7.3割点、桥和割集定义::割点,桥,割集(有极小性)[定理7.3.1]割点的等价命题:1)v是割点;2)∃u,w≠v使uw间所有路经过v;3)∃划分{U,W} UW间所有路经过v;[定理7.3.2]桥的等价命题:1)x是桥;2)x不在G的任何圈上3)∃u,v使x在连接uw所有路上;4)∃划分{U,W},使x在连接UW所有路上; [定理7.3.4]割集将图分成两个支(推论有k个支的图G去掉割集后有k+1个支)[定理7.3.5]割集必然包含生成树的某条边::反证[定理7.3.6]割集与G中的圈必有偶数条公共边::G1G2取定一点周游,e(u,v)(u∈G1,v∈G2)是圈与割集相交的边第八章连通度和匹配8.1顶点连通度和边连通度定义::κ(G), λ(G), n-连通,n-边连通[定理8.1.1]κ(G)≤λ(G)≤δ(G)[定理8.1.2]κ(G)=a,λ(G)=b,δ(G)=c的构造方法:构造两个Kc+1,用b条边连接这两个支[定理8.1.3]G(V,E)有p个顶点且δ(G)≥ [p/2]⟹λ(G)=δ(G)::[定理8.1.4][定理8.1.5]∀u,v∈V且u,v∈C⟺G是2-连通[定理8.1.6]8.2门格尔定理8.3匹配、霍尔定理定义::匹配,最大匹配,偶图G的完备匹配,相异代表系, 完美匹配[定理8.3.1](Hall定理)::[推论8.3.1]第九章平面图和图的着色9.1平面图及其欧拉公式定义::平面图,面,内部面,外部面[定理9.1.1]欧拉定理:平面图有p-q+f=2::通过f数归[推论9.1.1]每个面都由长为n的圈围成⟹q=n(p-2)/(n-2)::每条边都与两个面邻接⟹2q=nf拓展最大可平面图[推论9.1.2]G(p,q)的最大可平面图每个面都是三角形且q=3p-6[推论9.1.3]每个面都由长为4的圈围成⟹q=2p-4::拓展没有三角形的边极大图[推论9.1.4]G(p,q),q≤3p-6,G没有三角形q≤2p-4[推论9.1.5]K5和K3,3都是不可平面图::K5,f=7,由于每个面至少三条边, K3,3中每个圈至少为4[推论9.1.6]G可平面⟹ (G)≤5::反证+推论9.1.49.2非哈密顿平面图[定理9.2.1]Grinberg定理:G(V,E)是(p,q)平面哈密顿图,C是哈密顿圈.令fi为C的内部由i条边围成的面的个数,gi为C的外部由i条边围成的面的个数则(1)Σ(i-2)fi=p-2;(2) Σ(i-2)gi=p-2;(3) Σ(i-2)(fi-gi)=0;9.3库拉托斯基定理、对偶图定义::细分,同胚,初等收缩,对偶图[定理9.3.1](Kuratowski定理)G可平面⟺G没有同胚于K5或K3,3的子图[定理9.3.2](Wagner定理) G可平面⟺G没有收缩到K5或K3,3的子图9.4顶点的着色定义::n-可着色,色数(有极小性),χ(G)[定理9.4.2]Δ=Δ(G),G是(Δ+1)- 可着色的.[定理9.4.3-定理9.4.5]平面图可以4着色9.5边的着色定义::n-边着色,边色数(有极小性), χ’(G)第十章有向图10.1有向图的概念定义::有向图,弧,对称弧,定向图,带环图,多重有向图,有向图的反图,入度(id(v)),出度(od(v)),完全有向图,有向图的补图,有向图的同构[定理10.1.1]Σid(v)= Σod(v)=q且Σ(id(v)+od(v))=2q10.2有向路和有向圈定义::有向通道,有向闭通道,生成通道,有向迹,有向闭迹,生成(闭)轨迹,有向路,有向圈,有向回路,可达,半(弱)通道,强连通,强支,单连通,弱连通,有向图的连通[定理10.2.1]有向图D是强连通的⟺D有一条闭生成通道[定理10.2.2]uRv当且仅当uv可互达⟹R是V上的等价关系[定理10.2.3]有向图D的每个顶点都在D的一个强支中[定理10.2.4]一个没有有向圈的有向图至少有一个出度为0的顶点[定理10.2.5]有向图D没有圈⟺D中每条有向通道都是有向路[定理10.2.6]有向图D有有向圈⟺D的子图D1(V1,E1),∀v∈V1,id(v)>0,od(v)>0[定理10.2.7]连通有向图D,∀v∈V,od(v)=1,D中恰有一个有向圈10.3强连通图的应用10.4有向图的邻接矩阵定义::有向图的邻接矩阵,可达矩阵,关联矩阵10.5有向树与有序树定义::有向树,有根树,入树,父,子,祖先,真祖先,深度,高度,子树,有序树,m元有序树,正则m元有序树,正则二元树,二元树,满二元树,完全二元树(高为h的二元树,去掉深度为h一层,得到满树,而且h层从左向右排布)[定理10.5.1]有向图D是有根树⟺D没有弱圈且D中存在一个可以到达其他顶点的顶点(root)::⇒化为无向图证明没有弱圈,用除根以外的点入度为1证可达.⇐[定理10.5.3]高为h的二元树至多有2 (h+1)-1个顶点[定理10.5.4]高为h的完全二元树的顶点数满足2h≤p≤2(h+1)-110.6判定树10.7比赛图定义::比赛图[定理10.7.1]每个比赛图必有生成有向路(有哈密顿路)::。
北大集合论与图论
2013-1-6
《集合论与图论》第1讲
7
进度安排
课程将在4月底或5月初结束 第13周(5月18日)前考试
2013-1-6
《集合论与图论》第1讲
8
成绩评定
书面作业占10%，3道题/每次课 平时测验占30%，1小时/每次，2次 期末考试占60%
2013-1-6
《集合论与图论》第1讲
第1章 第2章 第3章 第4章 第5章
2013-1-6
《集合论与图论》第1讲
6
内容介绍
《集合论与图论》
第二部分 图论
第7章 第8章 第9章 第10章 第11章 第12章 第13章 第14章
图 欧拉图与哈密顿图 树 图的矩阵表示 平面图 图的着色 支配、覆盖、独立、匹配 带权图
办公室:
理科1#楼1708 电话: 62752366
2013-1-6
《集合论与图论》第1讲
12
《集合论与图论》 《离散数学》系列课程之一
刘田 北京大学计算机系 2003年2月
2013-1-6 《集合论与图论》第1讲 1
教材
《集合论与图论》，离散数学二分册，
耿素云，北大出版社，1998年2月
2013-1-6
《集合论与图论》第1讲
2
参考书
《离散数学习题集》，耿素云，北大出 版社
数理逻辑与集合论分册，1993年2月 图论分册，1990年3月
lt@
讲义下载：
ftp://162.105.30.157/incoming/Liu_Tian/
2013-1-6
《集合论与图论》第1讲