集合论讲义与图论
合集下载
集合论与图论第八章
1 1 1 (m (G ) (G )) (m (G ) (G )) (G )( m 1) 2 2 2
14
8.1 顶点连通度和边连通度
若m≤(G),则
1 1 (m (G ) (G )) m(m 1) 2 2
这是不可能的,所以若(G)≤m,于是
8
8.1 顶点连通度和边连通度
பைடு நூலகம்
定理8.1.2 对任何正整数a,b,c,0<a≤b≤c, 存在一个图G使得 (G)=a,(G)=b,(G)=c。
如果a=b=c,则图G=Ka+1就是所要求的图。
9
8.1 顶点连通度和边连通度
如果a=b<c,则所要求的图G的图解如下:
…
Kc+1
…
Kc+1
10
8.1 顶点连通度和边连通度
(1)、最小度数为b=c (2)、最小边连通度为b (3)、最小顶点连通度为a
11
8.1 顶点连通度和边连通度
如果a<b<c,则所要的图G的图解如下
…
Kc+1
…
Kc+1
12
8.1 顶点连通度和边连通度
引理8.1.1 设G=(V,E)是一个图且(G)>0, 则存在V的真子集A,使得G中联结A中的一个顶点 与V\A中一个顶点的边的总数恰为(G). [证]因为(G)>0,所以G中有(G)条边,把他 们去掉后得到一个恰有两个支的不连通图,令其中 一个支的顶点集为A,则A是V的一个真子集,由于 (G)>0, 那些被去掉的每一条边,其一个端点在A 中,另一个端点在V\A中,这些边当然为(G)条。
23
18
8.1 顶点连通度和边连通度
14
8.1 顶点连通度和边连通度
若m≤(G),则
1 1 (m (G ) (G )) m(m 1) 2 2
这是不可能的,所以若(G)≤m,于是
8
8.1 顶点连通度和边连通度
பைடு நூலகம்
定理8.1.2 对任何正整数a,b,c,0<a≤b≤c, 存在一个图G使得 (G)=a,(G)=b,(G)=c。
如果a=b=c,则图G=Ka+1就是所要求的图。
9
8.1 顶点连通度和边连通度
如果a=b<c,则所要求的图G的图解如下:
…
Kc+1
…
Kc+1
10
8.1 顶点连通度和边连通度
(1)、最小度数为b=c (2)、最小边连通度为b (3)、最小顶点连通度为a
11
8.1 顶点连通度和边连通度
如果a<b<c,则所要的图G的图解如下
…
Kc+1
…
Kc+1
12
8.1 顶点连通度和边连通度
引理8.1.1 设G=(V,E)是一个图且(G)>0, 则存在V的真子集A,使得G中联结A中的一个顶点 与V\A中一个顶点的边的总数恰为(G). [证]因为(G)>0,所以G中有(G)条边,把他 们去掉后得到一个恰有两个支的不连通图,令其中 一个支的顶点集为A,则A是V的一个真子集,由于 (G)>0, 那些被去掉的每一条边,其一个端点在A 中,另一个端点在V\A中,这些边当然为(G)条。
23
18
8.1 顶点连通度和边连通度
集合论与图论第九章
8
9.1 平面图及欧拉公式 最大平面图的性质
推论9.1.2 设G是一个有p个顶点q条边的最大 可平面图,则G的每个面都是三角形, q=3p-6,p≥3。
9
9.1 平面图及欧拉公式
推论9.1.2 设G是一个有p个顶点q条边的最大 可平面图,则G的每个面都是三角形,
q=3p-6,p≥3。
证:若G的一个面不是三角形,
f3
f2 v
f1
u
f4
0
1
3
2
4
5
平面图的每个内部面都是G的某个圈围成的单 连通区域。
没有圈的图没有内部面，只有一个外部面。
4
9.1 平面图及欧拉公式
如果用V表示多面体的顶点,用E表示棱，用F表 示面数。
V-E+F=2 定理9.1.1(欧拉公式) 如果一个平面连通图有p 个顶点、q条边、f个面，则：p-q+f=2
推论9.1.6 每个平面图G中顶点度的最小值不超 过5,即(G)≤5
33
第九章：平面图与图的着色
9.1 平面图及其欧拉公式 9.2 非哈密顿平面图 9.3 库拉托斯基定理、对偶图 9.4 图的顶点着色 9.5 图的边着色
34
9.4 图的顶点着色
K26
K6
35
9.4 图的顶点着色
定义9.4.1 图的一种(顶点)着色是指对图的每个顶 点指定一种颜色,使得没有两个邻接的顶点有同一颜 色。
证：对面数用归纳法 当f=1时，G没有内部 所面以G中无圈，G是树； p式假成如立对，q=一+2现f切证=1不f个+超1面过时f-的1个情面况的。平面连通图欧拉公
5
9.1 平面图及欧拉公式
f≥2,G至少有一个内部面，从而G中有一个圈，
9.1 平面图及欧拉公式 最大平面图的性质
推论9.1.2 设G是一个有p个顶点q条边的最大 可平面图,则G的每个面都是三角形, q=3p-6,p≥3。
9
9.1 平面图及欧拉公式
推论9.1.2 设G是一个有p个顶点q条边的最大 可平面图,则G的每个面都是三角形,
q=3p-6,p≥3。
证:若G的一个面不是三角形,
f3
f2 v
f1
u
f4
0
1
3
2
4
5
平面图的每个内部面都是G的某个圈围成的单 连通区域。
没有圈的图没有内部面，只有一个外部面。
4
9.1 平面图及欧拉公式
如果用V表示多面体的顶点,用E表示棱，用F表 示面数。
V-E+F=2 定理9.1.1(欧拉公式) 如果一个平面连通图有p 个顶点、q条边、f个面，则：p-q+f=2
推论9.1.6 每个平面图G中顶点度的最小值不超 过5,即(G)≤5
33
第九章：平面图与图的着色
9.1 平面图及其欧拉公式 9.2 非哈密顿平面图 9.3 库拉托斯基定理、对偶图 9.4 图的顶点着色 9.5 图的边着色
34
9.4 图的顶点着色
K26
K6
35
9.4 图的顶点着色
定义9.4.1 图的一种(顶点)着色是指对图的每个顶 点指定一种颜色,使得没有两个邻接的顶点有同一颜 色。
证：对面数用归纳法 当f=1时，G没有内部 所面以G中无圈，G是树； p式假成如立对，q=一+2现f切证=1不f个+超1面过时f-的1个情面况的。平面连通图欧拉公
5
9.1 平面图及欧拉公式
f≥2,G至少有一个内部面，从而G中有一个圈，
离散数学(集合论)ppt课件
0 1 n n C C ... C 2 n n n
15
幂 集 定义
P(A) = { B | BA }
设 A={a,b,c},则 P(A)={,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c}{a,b,c}}
计数: 6
2.真子集： A B A B A B
真包含
3.集合相等： A B A B 且 B A
14
n元集，m元子集
含有n个元素的集合简称n元集,它的含有m 个(m≤n)元素的子集称为它的m元子集. 例题3.2:A={a,b,c},求A的全部子集. 0元子集,即空集,只有1个. 1 1元子集,即单元集, c 个 {a},{b},{c} 3 2 元子集 个 {a,b},{a,c}{b,c} 2 3元子集1个c 3 {a,b,c} n元集的集合个数为:
2
当时德国数学家康托尔试图回答一些涉及无穷量 的数学难题，例如“整数究竟有多少？”“一个 圆周上有多少点？”0—1之间的数比1寸长线段 上的点还多吗？”等等。而“整数”、“圆周上 的点”、“0—1之间的数”等都是集合，因此对 这些问题的研究就产生了集合论。
3
1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论 是有漏洞的！这就是英国数学家罗素提出的著名 的罗素悖论。 可以说，这一悖论就象在平静的数 学水面上投下了一块巨石，而它所引起的巨大反 响导致了第三次数学危机。
19
集合基本运算的定义
并
交 相对补 对称差
AB = { x | xA xB }
AB = { x | xA xB } AB = { x | xA xB } AB = (AB)(BA) = (AB)(AB)
绝对补
15
幂 集 定义
P(A) = { B | BA }
设 A={a,b,c},则 P(A)={,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c}{a,b,c}}
计数: 6
2.真子集： A B A B A B
真包含
3.集合相等： A B A B 且 B A
14
n元集，m元子集
含有n个元素的集合简称n元集,它的含有m 个(m≤n)元素的子集称为它的m元子集. 例题3.2:A={a,b,c},求A的全部子集. 0元子集,即空集,只有1个. 1 1元子集,即单元集, c 个 {a},{b},{c} 3 2 元子集 个 {a,b},{a,c}{b,c} 2 3元子集1个c 3 {a,b,c} n元集的集合个数为:
2
当时德国数学家康托尔试图回答一些涉及无穷量 的数学难题，例如“整数究竟有多少？”“一个 圆周上有多少点？”0—1之间的数比1寸长线段 上的点还多吗？”等等。而“整数”、“圆周上 的点”、“0—1之间的数”等都是集合，因此对 这些问题的研究就产生了集合论。
3
1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论 是有漏洞的！这就是英国数学家罗素提出的著名 的罗素悖论。 可以说，这一悖论就象在平静的数 学水面上投下了一块巨石，而它所引起的巨大反 响导致了第三次数学危机。
19
集合基本运算的定义
并
交 相对补 对称差
AB = { x | xA xB }
AB = { x | xA xB } AB = { x | xA xB } AB = (AB)(BA) = (AB)(AB)
绝对补
集合论与图论课件 第四章 无限集
3 集合递归（归纳）定义的实例
例1：设整数集I是全集,非负偶整数集 E+={x|x≧0,且x=2y, yZ}, 它可以递归定 义如下: (1)(基础)0E+。 (2)(归纳)如果nE+, 则n+2E+。 (3)(闭合)除有限次应用(1)和(2)产生的整 数外,再没有其它的整数在E+ 中。
引言实例的递归定义 (1)(基础)3S。 (2)(归纳)如果x,yS, 则x+yS。 (3)(闭合)除有限次应用(1)和(2)产生的整 数外, 再没有其它的整数在S中。
例如,若Σ={0,1}, 则 Σ*={,0,1,00,01,10,11,000,001…},是有 限二进制序列的集合, 其中包含空序列。
5
用归纳定义的方法来描述算术表达式集合
例4.4 算术表达式集合是包含整数, 一元运算符+,-, 以 及二元运算符+,-,* ,/的符号序列所组成的集合, 其中包 含如“((3+5)/4)”,“(((-5)+6)*3)”等算术表达式。 算术表达式集合的递归定义如下: (1)(基础)如果D={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}和xD+ ,则x是算 术表达式。其中D+是D上所有非空数字串的集合。 (2)(归纳)如果x和y都是算术表达式, 则 (+x)是算术表达式; (-x)是算术表达式; (x+y)是算术表达式; (x-y)是算术表达式; (x*y)是算术表达式; (x/y)是算术表达式。 (3)(闭合)一个符号序列是一个算术表达式当且仅当它 能通过有限次应用(1)和(2)而得到。
例4.7 证明所有大于或等于2的整数能表 示为若干质数之积。
/*第二数学归纳法证明*/
北大集合论与图论1PPT课件
第1讲 命题逻辑基础
1. 命题、命题符号化 2. 合式公式、真值表、永真式 3. 逻辑等值式、推理定律 4. 形式化证明
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
1
命题符号化
简单命题： p,q,r,p1,q1,r1,… 联结词：
合取联结词： 析取联结词： 否定联结词： 蕴涵联结词： 等价联结词：
附加律 化简律
A(AB) (AB)A
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
23
常见推理定律（续）
假言推理 (AB ) AB
拒取式 (AB ) B A
析取三段论 (AB )B A
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
24
常见推理定律（续）
假言三段论 (AB)(BC)(AC)
同一律(identity laws)
A0A A1A
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
11
常用逻辑等值式(关于0,1)
排中律(excluded middle)
AA1
矛盾律(contradiction)
AA0
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
12
常用逻辑等值式(关于)
蕴涵等值式(conditional as disjunction)
19
等值演算（举例）
例：(pq)rpqr 解：
(pq)r (pq)r (pq)r pqr
（蕴涵等值式） （德●摩根律） （结合律）
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
20
推理定律(deduction laws)
推出： AB
读作：A推出B 含义：当A为真时，B也为真
1. 命题、命题符号化 2. 合式公式、真值表、永真式 3. 逻辑等值式、推理定律 4. 形式化证明
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
1
命题符号化
简单命题： p,q,r,p1,q1,r1,… 联结词：
合取联结词： 析取联结词： 否定联结词： 蕴涵联结词： 等价联结词：
附加律 化简律
A(AB) (AB)A
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
23
常见推理定律（续）
假言推理 (AB ) AB
拒取式 (AB ) B A
析取三段论 (AB )B A
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
24
常见推理定律（续）
假言三段论 (AB)(BC)(AC)
同一律(identity laws)
A0A A1A
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
11
常用逻辑等值式(关于0,1)
排中律(excluded middle)
AA1
矛盾律(contradiction)
AA0
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
12
常用逻辑等值式(关于)
蕴涵等值式(conditional as disjunction)
19
等值演算（举例）
例：(pq)rpqr 解：
(pq)r (pq)r (pq)r pqr
（蕴涵等值式） （德●摩根律） （结合律）
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
20
推理定律(deduction laws)
推出： AB
读作：A推出B 含义：当A为真时，B也为真
集合论与图论第二章
32
2.4 映射的合成
复合函数 y=g(u),u=f(x) y=g(f(x)) 定义2.4.1 设f:XY,g:YZ, 如果xX,h(x)=g(f(x))。h:XZ称为f与g 的合成, “映射f与g的合成”h记为gf,省略中间 的“”，简记为gf 按定义，xX,我们有 gf(x)=gf(x)=g(f(x))。 注意：“f与g的合成”，在书写时写成gf。
4
2.1 函数的一般概念映射
定义2.1.2 设X和Y是两个非空集合，一个从 X到Y的映射是一个满足以下两个条件的XY的子 集 f： (1)对X的每一个元素x,存在一个yY,使得 (x,y)f; (2)若(x,y)、(x,y)f,则y=y。
5
2.1 函数的一般概念映射
1.AX, f在A上的限制
f-1({d})=。 f-1({b})={2,3}。 为了书写方便，f({a})常记为f(a), f-1({b})=f-1(b)。
29
2.3 映射的一般性质
定理2.3.1 设f：XY,CY,DY,则: (1)f-1(C∪D)=f-1(C)∪f-1(D); (2)f-1(C∩D)=f-1(C)∩f-1(D); (3)f-1(CD)=f-1(C)f-1(D); (4)f-1(Cc)=(f-1(C))c。
这n个映射的合成就可以记为: fnfn-1...f1, x A 1, fnfn-1...f1(x)=fn(fn-1...(f2(f1(x)))...) 定理2.4.2 设f:XY,则fIX=IYf
35
2.4 映射的合成
定理2.4.3 设f:XY,g:YZ,则 (1)如果f与g都是单射的，则gf也是单射的。 (2)如果f与g都是满射的，则gf也是满射的。 (3)如果f与g都是双射的，则gf也是双射的。
2.4 映射的合成
复合函数 y=g(u),u=f(x) y=g(f(x)) 定义2.4.1 设f:XY,g:YZ, 如果xX,h(x)=g(f(x))。h:XZ称为f与g 的合成, “映射f与g的合成”h记为gf,省略中间 的“”，简记为gf 按定义，xX,我们有 gf(x)=gf(x)=g(f(x))。 注意：“f与g的合成”，在书写时写成gf。
4
2.1 函数的一般概念映射
定义2.1.2 设X和Y是两个非空集合，一个从 X到Y的映射是一个满足以下两个条件的XY的子 集 f： (1)对X的每一个元素x,存在一个yY,使得 (x,y)f; (2)若(x,y)、(x,y)f,则y=y。
5
2.1 函数的一般概念映射
1.AX, f在A上的限制
f-1({d})=。 f-1({b})={2,3}。 为了书写方便，f({a})常记为f(a), f-1({b})=f-1(b)。
29
2.3 映射的一般性质
定理2.3.1 设f：XY,CY,DY,则: (1)f-1(C∪D)=f-1(C)∪f-1(D); (2)f-1(C∩D)=f-1(C)∩f-1(D); (3)f-1(CD)=f-1(C)f-1(D); (4)f-1(Cc)=(f-1(C))c。
这n个映射的合成就可以记为: fnfn-1...f1, x A 1, fnfn-1...f1(x)=fn(fn-1...(f2(f1(x)))...) 定理2.4.2 设f:XY,则fIX=IYf
35
2.4 映射的合成
定理2.4.3 设f:XY,g:YZ,则 (1)如果f与g都是单射的，则gf也是单射的。 (2)如果f与g都是满射的，则gf也是满射的。 (3)如果f与g都是双射的，则gf也是双射的。
集合论与图论
注：如果将空集 ∅ 看作集族，则称 ∅ 为空集族。
我们要特别提到多重集合的概念。前面谈到的集合都是由不同对象组成的，而在实际中，某 一元素的重复出现往往表达了某种特别的意义。例如，在一个班里学生的名字，可能有两个 或多个学生有相同的名字，并且我们又有可能会谈及到学生名字的总体。又例如，某项工程 中所需要的工程技术人员的种类可用集合
我们将学习朴素集合论的基本内容，但借鉴公理化集合论的思想，以避免出现悖论。
定义 1.1 设 A ， B 为二集合，若 B 中的元素都属于 A ，则称 B 是 A 的子集，也称 A 包 含 B 或 B 含于 A ，记作 B ⊆ A 。
1
定义 1.2 设 A ， B 为二集合，若 A 包含 B 且 B 包含 A ，则称 A 与 B 相等，记作 A = B 。 定义 1.3 设 A ， B 为二集合，若 A 为 B 的子集，且 A ≠ B ，则称 A 为 B 的真子集，记 作 A⊂ B。 定义 1.4 不具有任何元素的集合称为空集，记作 ∅ 。
注 1：容易看出 A ⊕ B = ( A − B) ∪ (B − A) = ( A ∪ B) − ( A ∩ B) 2: A ⊕ ∅ = A , A ⊕ A = ∅ 。
我们下面来定义两个多重集 P 和 Q 的交，并，差运算。
P 和 Q 的并，记为 P ∪ Q ，它也是一个多重集，使得 P ∪ Q 里任一个元素的重数，等于该 元素在 P 和 Q 中重数的最大者； P 和 Q 的交用 P ∩ Q 来表示，使得 P ∩ Q 的任一元素的重 数，等于该元素在 P 和 Q 中重数的最小者； P 和 Q 的差用 P − Q 来表示，使得如果一个元素 在 P 中的重数大于它在 Q 中的重数，那么该元素在 P − Q 中的重数等于它在 P 中的重数减去 它在 Q 中的重数，否则它在 P − Q 中的重数为 0 。类似地，对称差 P ⊕ Q 中元素的重数等于 元素在 P 中和 Q 中两个重数的绝对差值。
我们要特别提到多重集合的概念。前面谈到的集合都是由不同对象组成的，而在实际中，某 一元素的重复出现往往表达了某种特别的意义。例如，在一个班里学生的名字，可能有两个 或多个学生有相同的名字，并且我们又有可能会谈及到学生名字的总体。又例如，某项工程 中所需要的工程技术人员的种类可用集合
我们将学习朴素集合论的基本内容，但借鉴公理化集合论的思想，以避免出现悖论。
定义 1.1 设 A ， B 为二集合，若 B 中的元素都属于 A ，则称 B 是 A 的子集，也称 A 包 含 B 或 B 含于 A ，记作 B ⊆ A 。
1
定义 1.2 设 A ， B 为二集合，若 A 包含 B 且 B 包含 A ，则称 A 与 B 相等，记作 A = B 。 定义 1.3 设 A ， B 为二集合，若 A 为 B 的子集，且 A ≠ B ，则称 A 为 B 的真子集，记 作 A⊂ B。 定义 1.4 不具有任何元素的集合称为空集，记作 ∅ 。
注 1：容易看出 A ⊕ B = ( A − B) ∪ (B − A) = ( A ∪ B) − ( A ∩ B) 2: A ⊕ ∅ = A , A ⊕ A = ∅ 。
我们下面来定义两个多重集 P 和 Q 的交，并，差运算。
P 和 Q 的并，记为 P ∪ Q ，它也是一个多重集，使得 P ∪ Q 里任一个元素的重数，等于该 元素在 P 和 Q 中重数的最大者； P 和 Q 的交用 P ∩ Q 来表示，使得 P ∩ Q 的任一元素的重 数，等于该元素在 P 和 Q 中重数的最小者； P 和 Q 的差用 P − Q 来表示，使得如果一个元素 在 P 中的重数大于它在 Q 中的重数，那么该元素在 P − Q 中的重数等于它在 P 中的重数减去 它在 Q 中的重数，否则它在 P − Q 中的重数为 0 。类似地，对称差 P ⊕ Q 中元素的重数等于 元素在 P 中和 Q 中两个重数的绝对差值。
集合论与图论3
2009-9-11
《集合论与图论》第3讲
35
对称差分配律(讨论)
A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC)
? ? ?
提示: 先利用文氏图观察, 如果成立则进 行证明, 如果不成立, 则构造反例
《集合论与图论》第3讲
2009-9-11
3
集合恒等式(关于与 )
吸收律(absorption laws)
A(AB)=A A(AB)=A
2009-9-11
《集合论与图论》第3讲
4
集合恒等式(关于~)
双重否定律(double complement law)
~~A=A
德●摩根律(De Morgan’s laws)
2009-9-11
《集合论与图论》第3讲 29
对称差结合律的证明
= (A(~(B~C)~(~BC))) (~A((B~C)(~BC))) = (A(~BC)(B~C))) (~A((B~C)(~BC))) (德•摩根律) = (ABC)(A~B~C) (~AB~C)(~A~BC) (分配律…)
排中律(excluded middle)
A~A = E
矛盾律(contradiction)
A~A =
全补律 ~ = E
~E =
2009-9-11
《集合论与图论》第3讲 7
集合恒等式(关于-)
补交转换律(difference as intersection) A-B=A~B
2009-9-11
2009-9-11
《集合论与图论》第3讲 20