初三中考数学特殊三角形
中考数学专题复习27特殊三角形(解析版)
特殊三角形考点1：等腰三角形的性质与判定1．（2021·江苏苏州市）如图．在Rt ABC △中.90C ∠=︒.AF EF =．若72CFE ∠=︒.则B ∠=______．【答案】54°【分析】首先根据等腰三角形的性质得出∠A =∠AEF .再根据三角形的外角和定理得出∠A +∠AEF =∠CFE .求出∠A 的度数.最后根据三角形的内角和定理求出∠B 的度数即可．【详解】∠ AF =EF .∠ ∠A =∠AEF .∠∠A +∠AEF =∠CFE=72°.∠ ∠A =36°.∠ ∠C =90°.∠A +∠B +∠C =180°.∠ ∠B =180°-∠A -∠C =54°．故答案为：54°．2．（2021·江苏南京市·中考真题）如图.在四边形ABCD 中.AB BC BD ==．设ABC α∠=.则ADC ∠=______（用含α的代数式表示）．【答案】11802α︒-【分析】由等腰的性质可得：∠ADB =1902ABD ︒-∠.∠BDC =1902CBD ︒-∠.两角相加即可得到结论．【详解】解：在∠ABD 中.AB =BD∠∠A =∠ADB =11(180)9022ABD ABD ︒-∠=︒-∠ 在∠BCD 中.BC =BD∠∠C =∠BDC =11(180)9022CBD CBD ︒-∠=︒-∠ ∠ABC ABD CBD α∠=∠+∠=∠ADC ADB CBD ∠=∠+∠ =11909022ABD CBD ︒-∠+︒-∠ =1180()2ABD CBD ︒-∠+∠ =11802ABC ︒-∠ =11802α︒- 故答案为：11802α︒-．3．（2021·四川资阳市·中考真题）将一张圆形纸片（圆心为点O ）沿直径MN 对折后.按图1分成六等份折叠得到图2.将图2沿虚线AB 剪开.再将AOB 展开得到如图3的一个六角星．若75CDE ∠=︒.则OBA ∠的度数为______．【答案】135°【分析】利用折叠的性质.根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理解题．【详解】解：连接OC.EO由折叠性质可得：∠EOC=3603012︒=︒.EC=DC.OC平分∠ECD∠∠ECO=11(180275)15 22ECD∠=︒-⨯︒=︒∠∠OEC=180°-∠ECO-∠EOC=135°即OBA∠的度数为135°故答案为：135°4．（2021·山东中考真题）如图.在ABC中.ABC∠的平分线交AC于点D.过点D作//DE BC；交AB于点E．（1）求证：BE DE =；（2）若80,40A C ∠=︒∠=︒.求BDE ∠的度数．【答案】（1）见详解；（2）30BDE ∠=︒【分析】（1）由题意易得,ABD CBD CBD EDB ∠=∠∠=∠.则有ABD EDB ∠=∠.然后问题可求证； （2）由题意易得60ABC ∠=︒.则有30ABD CBD ∠=∠=︒.然后由（1）可求解．【详解】（1）证明：∠BD 平分ABC ∠.∠ABD CBD ∠=∠.∠//DE BC .∠CBD EDB ∠=∠.∠ABD EDB ∠=∠.∠BE DE =；（2）解：∠80,40A C ∠=︒∠=︒.∠18060ABC A C ∠=︒-∠-∠=︒.由（1）可得30ABD CBD BDE ∠=∠=∠=︒．5．（2020•台州）如图.已知AB ＝AC .AD ＝AE .BD 和CE 相交于点O ．（1）求证：∠ABD ∠∠ACE ；（2）判断∠BOC 的形状.并说明理由．【分析】（1）由“SAS ”可证∠ABD ∠∠ACE ；（2）由全等三角形的性质可得∠ABD ＝∠ACE .由等腰三角形的性质可得∠ABC ＝∠ACB .可求∠OBC ＝∠OCB .可得BO ＝CO .即可得结论．【解答】证明：（1）∠AB ＝AC .∠BAD ＝∠CAE .AD ＝AE .∠∠ABD∠∠ACE（SAS）；（2）∠BOC是等腰三角形.理由如下：∠∠ABD∠∠ACE.∠∠ABD＝∠ACE.∠AB＝AC.∠∠ABC＝∠ACB.∠∠ABC﹣∠ABD＝∠ACB﹣∠ACE.∠∠OBC＝∠OCB.∠BO＝CO.∠∠BOC是等腰三角形．考点2：等边三角形的性质与判定6．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）如图.等边三角形ABC的边长为4.C的半3P为AB边上一动点.过点P作C的切线PQ.切点为Q.则PQ的最小值为________．【答案】3【分析】连接OC和PC.利用切线的性质得到CQ∠PQ.可得当CP最小时.PQ最小.此时CP∠AB.再求出CP.利用勾股定理求出PQ即可．【详解】解：连接QC和PC.∠PQ和圆C相切.∠CQ∠PQ.即∠CPQ始终为直角三角形.CQ为定值.∠当CP最小时.PQ最小.∠∠ABC是等边三角形.∠当CP∠AB时.CP最小.此时CP∠AB.∠AB=BC=AC=4.∠AP=BP=2.∠CP22-3AC AP∠圆C的半径CQ3∠PQ22-=3.CP CQ故答案为：3．7．（2020•台州）如图.等边三角形纸片ABC的边长为6.E.F是边BC上的三等分点．分别过点E.F沿着平行于BA.CA方向各剪一刀.则剪下的∠DEF的周长是．【分析】根据三等分点的定义可求EF的长.再根据等边三角形的判定与性质即可求解．【解析】∠等边三角形纸片ABC的边长为6.E.F是边BC上的三等分点.∠EF＝2.∠DE∠AB.DF∠AC.∠∠DEF是等边三角形.∠剪下的∠DEF的周长是2×3＝6．故答案为：6．8．（2020•凉山州）如图.点P、Q分别是等边∠ABC边AB、BC上的动点（端点除外）.点P、点Q以相同的速度.同时从点A、点B出发．（1）如图1.连接AQ、CP．求证：∠ABQ∠∠CAP；（2）如图1.当点P、Q分别在AB、BC边上运动时.AQ、CP相交于点M.∠QMC的大小是否变化？若变化.请说明理由；若不变.求出它的度数；（3）如图2.当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时.直线AQ、CP相交于M.∠QMC的大小是否变化？若变化.请说明理由；若不变.求出它的度数．【分析】（1）根据等边三角形的性质.利用SAS 证明∠ABQ ∠∠CAP 即可；（2）先判定∠ABQ ∠∠CAP .根据全等三角形的性质可得∠BAQ ＝∠ACP .从而得到∠QMC ＝60°；（3）先判定∠ABQ ∠∠CAP .根据全等三角形的性质可得∠BAQ ＝∠ACP .从而得到∠QMC ＝120°．【解析】（1）证明：如图1.∠∠ABC 是等边三角形∠∠ABQ ＝∠CAP ＝60°.AB ＝CA .又∠点P 、Q 运动速度相同.∠AP ＝BQ .在∠ABQ 与∠CAP 中.{AB =CA∠ABQ =∠CPA AP =BQ. ∠∠ABQ ∠∠CAP （SAS ）；（2）点P 、Q 在AB 、BC 边上运动的过程中.∠QMC 不变．理由：∠∠ABQ ∠∠CAP .∠∠BAQ ＝∠ACP .∠∠QMC 是∠ACM 的外角.∠∠QMC ＝∠ACP +∠MAC ＝∠BAQ +∠MAC ＝∠BAC∠∠BAC ＝60°.∠∠QMC ＝60°；（3）如图2.点P 、Q 在运动到终点后继续在射线AB 、BC 上运动时.∠QMC 不变 理由：同理可得.∠ABQ ∠∠CAP .∠∠BAQ ＝∠ACP .∠∠QMC 是∠APM 的外角.∠∠QMC ＝∠BAQ +∠APM .∠∠QMC ＝∠ACP +∠APM ＝180°﹣∠P AC ＝180°﹣60°＝120°.即若点P 、Q 在运动到终点后继续在射线AB 、BC 上运动.∠QMC 的度数为120°．考点3：直角三角形的性质9．（2020•衡阳）如图.在∠ABC 中.∠B ＝∠C .过BC 的中点D 作DE ∠AB .DF ∠AC .垂足分别为点E 、F ．（1）求证：DE ＝DF ；（2）若∠BDE ＝40°.求∠BAC 的度数．【分析】（1）根据DE ∠AB .DF ∠AC 可得∠BED ＝∠CFD ＝90°.由于∠B ＝∠C .D 是BC 的中点.AAS 求证∠BED ∠∠CFD 即可得出结论．（2）根据直角三角形的性质求出∠B ＝50°.根据等腰三角形的性质即可求解．【解答】（1）证明：∠DE ∠AB .DF ∠AC .∠∠BED ＝∠CFD ＝90°.∠D 是BC 的中点.∠BD ＝CD .在∠BED 与∠CFD 中.{∠BED =∠CFD∠B =∠CBD =CD. ∠∠BED ∠∠CFD （AAS ）.∠DE ＝DF ；（2）解：∠∠BDE ＝40°.∠∠B＝50°.∠∠C＝50°.∠∠BAC＝80°．10．（2020•泰安）小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上.抽象出如图（2）的平面图形.∠ACB与∠ECD恰好为对顶角.∠ABC＝∠CDE＝90°.连接BD.AB ＝BD.点F是线段CE上一点．探究发现：（1）当点F为线段CE的中点时.连接DF（如图（2））.小明经过探究.得到结论：BD∠DF．你认为此结论是否成立？．（填“是”或“否”）拓展延伸：（2）将（1）中的条件与结论互换.即：BD∠DF.则点F为线段CE的中点．请判断此结论是否成立．若成立.请写出证明过程；若不成立.请说明理由．问题解决：（3）若AB＝6.CE＝9.求AD的长．【分析】（1）证明∠FDC+∠BDC＝90°可得结论．（2）结论成立：利用等角的余角相等证明∠E＝∠EDF.推出EF＝FD.再证明FD＝FC 即可解决问题．（3）如图3中.取EC的中点G.连接GD．则GD∠BD．利用（1）中即可以及相似三角形的性质解决问题即可．【解析】（1）如图（2）中.∠∠EDC＝90°.EF＝CF.∠DF＝CF.∠∠FCD＝∠FDC.∠∠ABC＝90°.∠∠A+∠ACB＝90°.∠BA＝BD.∠∠A＝∠ADB.∠∠ACB＝∠FCD＝∠FDC.∠∠ADB+∠FDC＝90°.∠∠FDB＝90°.∠BD∠DF．故答案为是．（2）结论成立：理由：∠BD∠DF.ED∠AD.∠∠BDC+∠CDF＝90°.∠EDF+∠CDF＝90°.∠∠BDC＝∠EDF.∠AB＝BD.∠∠A＝∠BDC.∠∠A＝∠EDF.∠∠A+∠ACB＝90°.∠E+∠ECD＝90°.∠ACB＝∠ECD.∠∠A＝∠E.∠∠E＝∠EDF.∠EF＝FD.∠∠E+∠ECD＝90°.∠EDF+∠FDC＝90°.∠FD ＝FC .∠EF ＝FC .∠点F 是EC 的中点．（3）如图3中.取EC 的中点G .连接GD ．则GD ∠BD ．∠DG =12EC =92. ∠BD ＝AB ＝6.在Rt∠BDG 中.BG =√DG 2+BD 2=√(92)2+62=152. ∠CB =152−92=3.在Rt∠ABC 中.AC =√AB 2+BC 2=√62+32=3√5.∠∠ACB ＝∠ECD .∠ABC ＝∠EDC .∠∠ABC ∠∠EDC .∠AC EC =BC CD. ∠3√59=3CD. ∠CD =9√55. ∠AD ＝AC +CD ＝3√5+9√55=24√55． 11．（2020•常德）已知D 是Rt∠ABC 斜边AB 的中点.∠ACB ＝90°.∠ABC ＝30°.过点D 作Rt∠DEF 使∠DEF ＝90°.∠DFE ＝30°.连接CE 并延长CE 到P .使EP ＝CE .连接BE .FP .BP .设BC 与DE 交于M .PB 与EF 交于N ．（1）如图1.当D .B .F 共线时.求证：∠EB ＝EP ；（2）如图2.当D .B .F 不共线时.连接BF .求证：∠BFD +∠EFP ＝30°．【分析】（1）∠证明∠CBP 是直角三角形.根据直角三角形斜边中线可得结论； ∠根据同位角相等可得BC ∠EF .由平行线的性质得BP ∠EF .可得EF 是线段BP 的垂直平分线.根据等腰三角形三线合一的性质可得∠PFE ＝∠BFE ＝30°；（2）如图2.延长DE 到Q .使EQ ＝DE .连接CD .PQ .FQ .证明∠QEP ∠∠DEC （SAS ）.则PQ ＝DC ＝DB .由QE ＝DE .∠DEF ＝90°.知EF 是DQ 的垂直平分线.证明∠FQP ∠∠FDB （SAS ）.再由EF 是DQ 的垂直平分线.可得结论．【解答】证明（1）∠∠∠ACB ＝90°.∠ABC ＝30°.∠∠A ＝90°﹣30°＝60°.同理∠EDF ＝60°.∠∠A ＝∠EDF ＝60°.∠AC ∠DE .∠∠DMB ＝∠ACB ＝90°.∠D 是Rt∠ABC 斜边AB 的中点.AC ∠DM .∠BM BC =BD AB =12. 即M 是BC 的中点.∠EP ＝CE .即E 是PC 的中点.∠ED ∠BP .∠∠CBP ＝∠DMB ＝90°.∠∠CBP 是直角三角形.∠BE =12PC ＝EP ； ∠∠∠ABC ＝∠DFE ＝30°.∠BC ∠EF .由∠知：∠CBP ＝90°.∠BP ∠EF .∠EB＝EP.∠EF是线段BP的垂直平分线.∠PF＝BF.∠∠PFE＝∠BFE＝30°；（2）如图2.延长DE到Q.使EQ＝DE.连接CD.PQ.FQ.∠EC＝EP.∠DEC＝∠QEP.∠∠QEP∠∠DEC（SAS）.则PQ＝DC＝DB.∠QE＝DE.∠DEF＝90°∠EF是DQ的垂直平分线.∠QF＝DF.∠CD＝AD.∠∠CDA＝∠A＝60°.∠∠CDB＝120°.∠∠FDB＝120°﹣∠FDC＝120°﹣（60°+∠EDC）＝60°﹣∠EDC＝60°﹣∠EQP＝∠FQP.∠∠FQP∠∠FDB（SAS）.∠∠QFP＝∠BFD.∠EF是DQ的垂直平分线.∠∠QFE＝∠EFD＝30°.∠∠QFP+∠EFP＝30°.∠∠BFD+∠EFP＝30°．考点4：勾股定理及其逆定理12．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）如图.ABC中.∠=︒==.将ADE沿DE翻折.使点A与点B重合.则CE的长为90,8,6ACB AC BC（）A．198B．2C．254D．74【答案】D【分析】先在RtABC中利用勾股定理计算出AB=10.再利用折叠的性质得到AE=BE.AD=BD=5.设AE=x.则CE=AC-AE=8-x.BE=x.在Rt∠BCE中根据勾股定理可得到x2=62+（8-x）2.解得x.可得CE．【详解】解：∠∠ACB=90°.AC=8.BC=6.∠AB22AC BC+∠∠ADE沿DE翻折.使点A与点B重合.∠AE=BE.AD=BD=12AB=5.设AE=x.则CE=AC-AE=8-x.BE=x.在Rt∠BCE中∠BE2=BC2+CE2.∠x2=62+（8-x）2.解得x=25 4.∠CE=2584-=74.故选：D．。
中考复习特殊三角形
中考复习特殊三角形中考对于每一位初中生来说都是一次重要的挑战，而数学中的特殊三角形更是考点中的重点。
特殊三角形包括等腰三角形、等边三角形和直角三角形，它们各自具有独特的性质和判定方法。
接下来，让我们一起深入复习这些特殊三角形的知识。
一、等腰三角形等腰三角形是指至少有两边相等的三角形。
相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边称为底边。
两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
1、性质（1）等腰三角形的两腰相等。
（2）等腰三角形的两底角相等（简写成“等边对等角”）。
（3）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。
2、判定（1）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。
（2）有两条边相等的三角形是等腰三角形。
在解题中，我们常常利用等腰三角形的性质和判定来求解角度、边长等问题。
例如，已知一个等腰三角形的顶角为 80°，那么底角的度数就可以通过“（180°顶角）÷ 2”来计算，即（180° 80°）÷ 2 ＝ 50°。
二、等边三角形等边三角形又称正三角形，为三边相等的三角形，其三个内角相等，均为 60°。
1、性质（1）等边三角形的三条边都相等。
（2）等边三角形的三个内角都相等，且均为 60°。
（3）等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。
2、判定（1）三边相等的三角形是等边三角形。
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。
（3）有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形。
等边三角形在实际问题中也有广泛的应用。
比如在建筑设计中，利用等边三角形的稳定性可以增强结构的牢固性。
三、直角三角形直角三角形是一个角为直角的三角形。
直角所对的边称为斜边，其余两边称为直角边。
1、性质（1）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。
（2）在直角三角形中，两个锐角互余。
中考数学专题复习《特殊三角形存在性问题+将军饮马问题》
特殊三角形存在性问题+将军饮马问题1.如图1，已知长方形OABC的顶点O在坐标原点，A、C分别在x、y轴的正半轴上，顶点B(8，6)，直线y= -x+b经过点A交BC于D、交y轴于点M，点P是AD的中点，直线OP交AB于点E．(1)求点D的坐标及直线OP的解析式；(2)点N是直线AD上的一动点(不与A重合)，设点N的横坐标为a，请写出△AEN的面积S和a之间的函数关系式，并请求出a为何值时S=12；(3)在x轴上有一点T(t，0)(5<t<8)，过点T作x轴的垂线，分别交直线OE、AD于点F、G，在线段AE上是否存在一点Q，使得△FGQ为等腰直角三角形，若存在，请写出点Q的坐标及相应的t的值；若不存在，请说明理由．2.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+4交坐标轴于A、B两点，过x轴负半轴上一点C作直线CD交y轴正半轴于点D，且△AOB≌△DOC．(1)OC= ，OD= ；(2)点M(-1，a)是线段CD上一点，作ON⊥OM交AB于点N，连接MN，则点N的坐标为 ；(3)若E(1，b)为直线AB上的点，P为y轴上的点，请问：直线CD上是否存在点Q，使得△EPQ是以E为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出此时Q点的坐标；若不存在，请说明理由．3.如图，已知：在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，点P从点B出发，沿BC方向匀速运动，速度为2cm/s；与点P同时，点Q从D点出发，沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s；过点Q作QE∥AC，交DC于点E，设运动时间为t(s)，(0<t<2)，解答下列问题：(1)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使PQ平分∠APC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；(2)设五边形APCEQ的面积为y，求y与t的函数关系式；(3)是否存在某一时刻t，使△PQE是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．4.如图，已知直线l1经过点(5，6)，交x轴于点A(-3，0)，直线l2：y=3x交直线l1于点B．(1)求直线l1的函数表达式和点B的坐标；(2)求△AOB的面积；(3)在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．5.如图，直线l1经过A(6，0)、B(0，8)两点，点C从B出发沿线段BO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，点D从A出发沿线段AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，设运动时间为t秒(t>0)，(1)求直线l1的表达式；(2)当t= 时，BC=BD；(3)将直线l1沿x轴向右平移3个单位长度后，与x轴，y轴分别交于E、F两点，求四边形BAEF的面积；(4)在第一象限内，是否存在点P，使A、B、P三点构成等腰直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6.如图，在平面直角坐标系中，直线AB:y=-54x+74与x轴交于点C，且点A(-1，m)，B(n，-2)．(1)求点C的坐标；(2)求原点O到直线AB的距离；(3)在x轴上是否存在一点P，使得△ACP是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．7.如图，已知函数y=x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y=kx+b的图象经过点B(0，-1)，与x轴以及y=x+1的图象分别交于点C、D．(1)若点D的横坐标为1，求四边形AOCD的面积；(2)若点D的横坐标为1，在x轴上是否存在点P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是直角三角形？若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，等腰直角三角形OAB的斜边OB在x轴上，∠OAB=90°，点A(3，3)．(1)求点B的坐标；(2)点P从点O出发沿x轴以每秒2个单位的速度向x轴正方向运动，设点P运动时间为t秒，求t为何值时，OP=2PB；(3)在(2)的条件下，当OP=2PB时，在第一象限内是否存在点Q，使△BPQ为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；(写出四个即可)若不存在，请说明理由．9.如图，在平面直角坐标系中A(a，0)，B(0，b)，满足a2-4a+4+|b-4|=0．(1)求A，B两点的坐标；(2)∠OBA的平分线BC与∠OAB的外角平分线AM交于点C，求点∠C的度数；(3)在平面内是否存在点P，使△ABP为等腰直角三角形．若存在，请写出点P的个数，并直接写出其中两个点的坐标；若不存在，请说明理由．10.问题探究(1)如图1，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，点E是边BC上一点，AB=EC，BE=CD，连接AE，DE，判断△AED的形状，并说明理由．(2)如图2，在△ABC中，∠C=90°，点D为边CA的延长线上一点，且AD=2BC，过点A作AE⊥AB且AE=AB，连接DE，求证：DE=AE．(3)如图3，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(3，2)，连接OA，在x轴上方是否存在一点B，使得△OAB是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点B的坐标；若不存在，请说明理由．11.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=11cm，BC=8cm，点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB向点B匀速运动，同时点Q从点B出发以每秒2cm的速度沿BC向点C匀速运动，到达点C后返回点B，当有一点停止运动时，另一点也停止运动，设运动时间为t秒．(1)当t=1时，直接写出P，Q两点间的距离．(2)是否存在t，使得△BPQ是等腰三角形，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．(3)是否存在t，使得△BPQ的面积等于10cm2，若存在，请求出t的值：若不存在，请说明理由．12.如图，在平面直角坐标中，把长方形OABC沿对角线OB所在的直线折叠，点A落在点D处，OD与BC交于点E．已知OA=6，OC=3．(1)求出过点A，E的直线的函数表达式．(2)在x轴上是否存在点F，使△OBF为等腰三角形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．13.如图，等腰直角△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，现将该三角形放置在平面直角坐标系中，点B坐标为(0，3)，点C坐标为(9，0)．过点A作AD⊥x轴，垂足为D．(1)求OD的长及点A的坐标；(2)取AB中点E，连接OE、DE，请你判定OE与DE的关系，并证明你的结论；(3)连接OA，已知OA=15，试探究在x轴上是否存在点Q，使△OAQ是以OA为腰的等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．14.如图，直线l1：y=x+3与过点A(3，0)的直线l2交于点C(1，m)，与x轴交于点B，CD⊥x轴于点D．(1)求点B和点C的坐标；(2)求直线l2的函数表达式；(3)在x轴上是否存在点P，使得以B、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．15.在平面直角坐标系xOy中，直线l过(1，3)和(3，1)两点，且与x轴，y轴分别交于A、B两点．(1)求直线l对应的函数解析式；(2)求△AOB的面积；(3)在x轴上是否存在一点C，使△ABC为等腰三角形，若存在，直接写出点C坐标；若不存在，请说明理由．16.古罗马时代，亚历山大有一个著名的学者叫海伦，一天罗马的一位将军专程跑去问海伦这样一个问题：每天从军营A出发，先到河边给马喝水，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？海伦思考后便给出了答案，也就是现在著名的“将军饮马”问题．其实“将军饮马”实质要解决的问题是：要在直线l上找一点P使得PA+PB的值最小．(1)如图1，点A到直线l的距离AO1=2，点B到直线l的距离BO2=3，O1O2=4，要解决该最小值问题，如图2，作点A关于直线l的对称点A'，连结A'B交直线l于点P，此时P即为所求点，则PA+PB的最小值为 ；(2)如图3，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=8，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是 ；(3)如图4，正方形ABCD的边长是6，点E是AD边上一动点，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，点P是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为 ．17.【情景回顾】在进行13.4《最短路径问题》的学习时，同学们从一句唐诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”(唐•李颀《古从军行》出发，一起研究了蕴含在其中的数学问题--“将军饮马”问题．同学们先研究了最特殊的情况，再利用所学的轴对称知识，将复杂问题转化为简单问题，找到了问题的答案，并进行了证明．下列图形分别说明了以上研究过程．证明过程如下：如图4，在直线l上另取任一点C'，连结AC'，BC'，B'C'，∵点B，B'关于直线l对称，点C，C'在l上，∴CB= ，C'B= ，∴AC+CB=AC+CB'= ．在△AC'B'中，∵AB'<AC'+C'B'，∴AC+CB<AC'+C'B'，即AC+CB最小．【问题解决】(1)请将证明过程补充完整．(直接填在横线上)(2)课堂小结时，小明所在的小组同学提出，如图1，A，B是直线/同旁的两个定点．在直线l上是否存在一点P，使PB-PA的值最大呢？请你类比“将军饮马”问题的探究过程，先说明如何确定点P的位置，再证明你的结论是正确的．(3)如图，平面直角坐标系中，M(2，2)，N(4，-1)，MN=13，P是坐标轴上的点，则|PM-PN|的最大值为 ，此时P点坐标为 ．(直接写答案)18.龙岗区八年级某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小．解法：如图1，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点即为P，且PA+PB的最小值为A′B．请利用上述模型解决下列问题：(1)格点应用：如图2，边长为1的正方形网格内有两点A、B，直线l与A、B的位置如图所示，点P是直线l上一动点，则PA+PB的最小值为 ；(2)几何应用：如图3，△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=6，E是AB的中点，P是BC边上的一动点，则PA+PE的最小值为 ；(3)代数应用：代数式x2+4+6-x2+36(0≤x≤6)的最小值为 ．19.古罗马时代，亚历山大有一个著名的学者叫海伦，一天罗马的一位将军专程跑去问海伦这样一个问题：每天从军营A出发，先到河边给马喝水，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？海伦思考后便给出了答案，也就是现在著名的“将军饮马”问题．其实“将军饮马”实质要解决的问题是：要在直线l上找一点P使得PA+PB的值最小．(1)如图1，点A到直线l的距离AO1=1，点B到直线l的距离BO2=3，O1O2=3，要解决该最小值问题，如图2，作点A关于直线l的对称点A′，连结A′B交直线l于点P，此时P即为所求点，则PA+PB的最小值为 ；(2)如图3，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=4，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是 ；(3)如图4，在正△ABC中，AB=4，P、M、N分别是BC、CA、AB上的动点，①PM+MN的最小值为 ；②求PM+MN+NP的最小值．(4)如图5，正方形ABCD的边长为4，E、F分别是边AB和BC上的动点且始终满足AE=BF，连结DE、DF，求DE+DF的最小值．20.【源模：模型建立】白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．--《古从军行》唐李欣诗中隐含着一个有趣的数学问题，我们称之为“将军饮马”问题．关键是利用轴对称变换，把直线同侧两点的折线问题转化为直线两侧的线段问题，从而解决距离和最短的一类问题．“将军饮马”问题的数学模型如图4所示：【新模1：模型应用】如图1，正方形ABCD的边长为3，点E在边AB上，且BE=1，F为对角线AC上一动点，欲使△BFE周长最小．(1)在图中确定点F的位置(要有必要的画图痕迹，不用写画法)；(2)△BFE周长的最小值为 ．【新模2：模型变式】(3)如图2，在矩形ABCD中，AB=5，AD=4，在矩形ABCD内部有一动点P，满足S△PAB=14S，矩形ABCD 则点P到A，B两点的距离和PA+PB的最小值为 ．【超模：模型拓广】(4)如图3，∠ABD=∠BDE=90°，AB=2，BD=DE=3．请构造合理的数学模型，并借助模型求x2+4+3-x2+9(x>0)的最小值．21.古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营A，B．他总是先去A营，再到河边饮马，之后，再巡查B营．他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．如图2，作B关于直线l的对称点B′，连结AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．证明：如图3，在直线l上另取任一点C′，连结AC′，BC′，B′C′，∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上，∴CB= ，C′B= ，∴AC+CB=AC+CB′= ．在△AC′B′，∵AB′<AC′+C′B′，∴AC+CB<AC′+C′B′即AC+CB最小．本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决(其中C在AB′与l的交点上，即A，C，B′三点共线)．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型．拓展应用：如图4，等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，BD平分∠ABC交AC于D，点P是BD上一个动点，点M是BC上一个动点，请在图5中画出PC+PM的值最小时P的位置．(可用三角尺)22.李明酷爱数学，勤于思考，善于反思．在学习八年级下册数学知识之后，他发现“二次根式、勾股定理、一次函数、平行四边形”都和“将军饮马”问题有关联，并且为解决“饮马位置”“最短路径长”等问题，提供了具体的数学方法．于是他撰写了一篇数学作文．请你认真阅读思考，帮助李明完成相关问题．“将军饮马”问题的探究与拓展八年级三班李明“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”(唐•李颀《古从军行》)，这句诗让我想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从A地出发到河边l饮马，然后再到B地军营视察，怎样走路径最短？【数学模型】如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．【问题解决】作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B交l于点P，则点P即为所求．此时，PA+PB的值最小，且PA+PB=A'P+PB=A'B．【模型应用】问题1．如图2，经测量得A，B两点到河边l的距离分别为AC=300米，BD=900米，且CD=900米．请计算出“将军饮马”问题中的最短路径长．问题2．如图3，在正方形ABCD中，AB=9，点E在CD边上，且DE=2CE，点P是对角线AC上的一个动点，则PE+PD的最小值是 ．问题3．如图4，在平面直角坐标系中，点A(-2，4)，点B(4，2)．(1)请在x轴上确定一点P，使PA+PB的值最小，并求出点P的坐标；(2)请直接写出PA+PB的最小值．【模型迁移】问题4．如图5，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=12，BD=16．点P和点E分别为BD，CD上的动点，求PE+PC的最小值．23.【模型介绍】古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营A，B．他总是先去A营，再到河边饮马，之后，再巡查B营．如图①，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．如图②，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点P，连接PB，则AP+BP的和最小．请你在下列的阅读、理解、应用的过程中，完成解答．理由：如图③，在直线l上另取任一点P′，连接AP′，BP′，B′P′，∵直线l是点B，B′的对称轴，点P，P′在l上，∴PB= ，P′B= ，∴AP+PB=AP+PB′= ．在△AP′B′中，∵AB′<AP′+P′B′，∴AP+PB<AP+P′B′，即AP+BP最小．【归纳总结】在解决上述问题的过程中，我们利用轴对称变换，把点A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决(其中点P为AB′与l的交点，即A，P，B′三点共线)．由此，可拓展为“求定直线上一动点与直线同侧两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．【模型应用】(1)如图④，正方形ABCD的边长为4，E为AB的中点，F是AC上一动点．求EF+FB的最小值．解析：解决这个问题，可借助上面的模型，由正方形对称性可知，点B与D关于直线AC对称，连接DE交AC于点F，则EF+FB的最小值就是线段ED的长度，则EF+FB的最小值是 ．(2)如图⑤，圆柱形玻璃杯，高为14cm，底面周长为16cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为 cm．(3)如图⑥，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC=60°，将△ABD沿射线BD的方向平移，得到△A′B′D′，分别连接A′C，A′D，B′C，则A′C+B′C的最小值为 ．24.早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．如图2，作B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．证明：如图3，在直线l上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上，∴CB=CB′，C′B=C′B′，∴AC+CB=AC+ = ．在△AC′B′中，∵AB′<AC′+C′B′∴AC+CB<AC′+C′B′即AC+CB最小．本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决(其中C在AB′与l的交点上，即A、C、B′三点共线)．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型．【简单应用】(1)如图4，在等边△ABC中，AB=6，AD⊥BC，E是AC的中点，M是AD上的一点，求EM+MC的最小值借助上面的模型，由等边三角形的轴对称性可知，B与C关于直线AD对称，连接BM，EM+MC的最小值就是线段 的长度，则EM+MC的最小值是 ；(2)如图5，在四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一点M、N当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM= °．【拓展应用】如图6，是一个港湾，港湾两岸有A、B两个码头，∠AOB=30°，OA=1千米，OB=2千米，现有一艘货船从码头A出发，根据计划，货船应先停靠OB岸C处装货，再停靠OA岸D处装货，最后到达码头B．怎样安排两岸的装货地点，使货船行驶的水路最短？请画出最短路线并求出最短路程．25.某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小．解法：如图1，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点即为P，且PA+PB的最小值为A′B．请利用上述模型解决下列问题：(1)几何应用：如图2，△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，E是AB的中点，P是BC边上的一动点，则PA+PE的最小值为 ；(2)代数应用：求代数式x2+1+3-x2+9(0≤x≤3)的最小值；(3)几何拓展：如图3，△ABC中，AC=2，∠A=30°，若在AB、AC上各取一点M、N使CM+MN的值最小，最小值是 ．参考答案1.解：(1)∵四边形OABC 为长方形，点B 的坐标为(8，6)，∴点A 的坐标为(8，0)，BC ∥x 轴．∵直线y =-x +b 经过点A ，∴0=-8+b ，∴b =8，∴直线AD 的解析式为y =-x +8．当y =6时，有-x +8=6，解得：x =2，∴点D 的坐标为(2，6)．∵点P 是AD 的中点，∴点P 的坐标为(2+82，6+02)，即(5，3)，设直线OP 的解析式为y =kx ，∴3=5k ，解得k =35，∴直线OP 的解析式为y =35x ；(2)当x =8时，y =35x =245，∴点E 的坐标为(8，245)，设点N 的坐标为(a ，-a +8)，∴S =12×245×|8-a |=125|8-a |，当a <8时，S =125|8-a |=-125a +965，当a >8时，S =125|8-a |=125a -965，∴S =-125a +965(a <8)125a -965(a >8)，当S =12时，125|8-a |=12，解得：a =3或a =13；(3)∵点T 的坐标为(t ，0)(5<t <8)，∴点F 的坐标为(t ，35t )，点G 的坐标为(t ，-t +8)．分三种情况考虑：①当∠FGQ =90°时，如图1所示．∵△FGQ 为等腰直角三角形，∴FG =GQ ，即35t -(-t +8)=8-t ，解得：t =8013，此时点Q 的坐标为(8，2413)；②当∠GFQ =90°时，如图2所示．∵△FGQ 为等腰直角三角形，∴FG =FQ ，即35t -(-t +8)=8-t ，解得：t =8013，此时点Q 的坐标为(8，4813)；③当∠FQG =90°时，过点Q 作QS ⊥FG 于点S ，如图3所示．∵△FGQ 为等腰直角三角形，∴FG =2QS ，即35t -(-t +8)=2(8-t )，解得：t =203，此时点F 的坐标为(203，4)，点G 的坐标为(203，43)，此时点Q 的坐标为(8，4+432)，即(8，83)．综上所述：在线段AE 上存在一点Q ，使得△FGQ 为等腰直角三角形，当t =8013时点Q 的坐标为(8，2413)或(8，4813)，当t =203时点Q 的坐标为(8，83)．2.解：(1)把x =0代入y =-2x +4得：y =4，∴点B (0，4)，∴OB =4，把y =0代入y =-2x +4得：x =2，∴点A (2，0)，∴OA =2，∵△AOB ≌△DOC ，∴OC =OB =4，OD =OA =2，故答案为：4，2；(2)设直线CD 对应的函数表达式为：y =kx +b ，∵OC =4，OD =2，∴C (-4，0)，D (0，2)，把C (-4，0)，D (0，2)代入y =kx +b 得-4k +b =0b =2，解得k =12b =2，∴直线CD 对应的函数表达式为y =12x +2，∴M (-1，32)，∵△AOB ≌△DOC ，∴∠OBA =∠OCD ，OB =OC ，又∵ON ⊥OM ，即∠MOD +∠BON =90°，∵∠COD =90°，即∠COM +∠MOD =90°，∴∠BON =∠COM ，∴△OBN ≌△OCM (ASA )，∴OM =ON ，分别过点M 、N 作ME ⊥x 轴于点E ，NF ⊥y 轴于点F ，∴∠OFN =∠OEM ，∵∠BON =∠COM ，OM =ON ，∴△OFN ≌△OEM (AAS )，∴OF =OE =1，FN =EM =32，∴点N 的坐标为(32，1)，故答案为：(32，1)；(3)直线CD 上存在点Q ，使△EPQ 得是以E 为直角顶点的等腰三角形．∵E (1，b )为直线AB 上的点，∴b =-2×1+4=2，∴E (1，2)，①当点P 在点B 下方时，如图，连接DE ，过点Q 作QM ⊥DE ，交DE 的延长线于M 点，∵D (0，2)，∴DE ⊥y 轴，DE =1，点M 的纵坐标为2，∠M =∠EDP =90°，∵△EPQ 是以E 为直角顶点的等腰直角三角形，∴EP =EQ ，∠PEQ =90°，∴∠QEM +∠PED =90°=∠QEM +∠EQM ，∴∠DEP =∠EQM ，∴△DEP ≌△MQE (AAS )，∴MQ =DE =1，∴Q 点的纵坐标为3，把y =3代入y =12x +2中得：x =2，∴点Q (2，3)；②当点P 在点B 上方时，如图，过E 点作EM ∥y 轴，过点Q 作QM ⊥EM 于M 点，过P 点作PN ⊥EM 交ME 的延长线于N 点．则∠M =∠N =90°，∴N 点的橫坐标为1，则PN =1，∵△EPQ 是以E 为直角顶点的等腰三角形，∴EP =EQ ，∠PEQ =90°，∴∠QEM +∠PEN =90°=∠PEN +∠NPE ，∴∠MEQ =∠NPE ，∴△EQM ≌△PEN (AAS )，∴M 点的纵坐标为1，∴Q 点的纵坐标为1，把y =1代入y =12x +2中得：x =-2，∴Q (-2，1)；综上所述，直线CD 上存在点Q ，使得△EPQ 是以E 为直角顶点的等腰直角三角形，Q 点的坐标为(2，3)或(-2，1)．3.解：(1)如图1，当PQ 平分∠APC ，有∠APQ =∠CPQ ，∵矩形ABCD 中，AB =3cm ，BC =4cm ，∴AD ∥BC ，AD =BC =4cm ，AB =CD =3cm ，∠B =90°，∴∠CPQ =∠AQP ，∴∠APQ =∠AQP =∠CPQ ，∴AP =AQ ，∴AP 2=AQ 2，由题意知：BP =2t cm ，DQ =t cm ，∴AQ =AD -DQ =(4-t )cm ，∵∠B =90°，∴AP 2=AB 2+BP 2=32+(2t )2，∴32+(2t )2=(4-t )2，解得：t 1=-4+423，t 2=-4-423，∵0<t <2，∴t =-4+423，∴当t =-4+423秒时，PQ 平分∠APC ；(2)如图2，当P 、Q 运动时间为ts 时，BP =2t cm ，DQ =t cm ，∵QE ∥AC ，∴△DQE ∽△DAC ，∴DQDA =DE DC，∴t 4=DE 3，∴DE =34t cm ，∴S △ABP =12AB •BP =12×3×2t =3t (cm 2)，S △QDE =12t ×34t =38t 2(cm 2)，∵S 矩形ABCD =AB •BC =3×4=12(cm 2)，∴y =S 五边形APCEQ =S 矩形ABCD -S △ABP -S △QDE =12-3t -38t 2(0<t <2)，∴y 与t 的函数关系式为：y =-38t 2-3t +12(0<t <2)；(3)①当∠QEP =90°，如图3，∵∠QED +∠EQD =90°，∠QED +∠EQD =90°，∴∠CEP =∠DQE ，∵∠QDE =∠ECP =90°，∴△QDE ∽△ECP ，当运动时间为ts 时，∵QD =t cm ，由(2)可知，DE =34t cm ，∴EC =DC -DE =(3-34t )cm ，∵BP =2t cm ，∴CP =(4-2t )cm ，∴QDEC =DE CP ，∴t 3-34t =34t4-2t，解得：t =2823或t =0(舍去)，∴t =2823；②当∠PQE =90°时，如图4，过点P 作线段PI ⊥AD 于点I ，∵∠EQD +∠PQI =90°，∠QED +∠EQD =90°，∴∠PQI =∠QED ，∵∠QDE =∠PIQ =90°，∴△QDE ∽△PIQ ，当运动时间为ts 时，∵QD =t cm ，由(2)可知，DE =34t cm ，∵BP =AI =2t cm ，∴QI =AD -QD -AI =4-t -2t =(4-3t )cm ，∵PI =AB =3cm ，∴PI QD =IQDE ，∴3t =4-3t34t ，解得：t =712或t =0(舍去)，∴t =712；③当∠QPE =90°，不满足题意，综上所述，t 的值为2823或712时，△PQE 是直角三角形．4.(1)解：设直线l 1的函数表达式为y =kx +b (k ≠0)．∵图象经过点(5，6)，A (-3，0)，∴5k +b =6-3k +b =0 ，解得k =34b =94 ，∴直线l 1的函数表达式为y =34x +94．联立y =34x +94y =3x，解得：x =1y =3 ，∴点B 的坐标为(1，3)；(2)解：∵A (-3，0)，B (1，3)，∴S △AOB =12×3×3=92；(3)解：∵点C 在x 轴上，∴∠BAC ≠90°，∴当△ABC 是直角三角形时，需分∠ACB =90°和∠ABC =90°两种情况．①当∠ACB =90°时，点C 在图中C 1的位置：∵点A 和点C 1均在x 轴上，∴BC 1⊥x 轴．∵B (1，3)，∴C 1(1，0)；②当∠ABC =90°时，点C 在图中C 2的位置：设C 2(m ，0)，(m >0)∵A (-3，0)，B (1，3)，C 1(1，0)，∴AC 1=4，BC 1=3，C 1C 2=m -1，AC 2=m +3，∴AB =AC 12+BC 21=42+32=5．在Rt △ABC 2中，AC 22-AB 2=BC 12，在Rt △BC 1C 2中，BC 12+C 1C 22=BC 22，∴AC 22-AB 2=BC 12+C 1C 22，即(m +3)2-52=32+(m -1)2，解得m =134，∴C 2134,0 ．综上可知，在x 轴上存在点C ，使得△ABC 是直角三角形，点C 的坐标为(1，0)或134,0．5.解：(1)设直线l 1的表达式为y =kx +b ，将A (6，0)、B (0，8)代入得：6k +b =0b =8 ，解得：k =-43b =8，∴直线l 1的表达式为y =43x +8；(2)由点A 、B 的坐标知，OA =6，OB =8，则AB =10，t 秒时，BC =t ，BD =BA -AD =10-2t ，当BC =BD 时，则t =10-2t ，解得：t =103；故答案为：103．(3)由平移可得：直线EF 的关系式为：y =43x -3 +8=-43x +12，当x =0时，y =12，F (0，12)，当y =0时，x =9，E (9，0)，四边形BAEF 的面积=S △EFO -S △ABO ，即S 四边形BAEF =12×9×12-12×6×8=30，答：四边形BAEF 的面积是30．(4)存在．当∠ABP =90°，AB =BP 时，如图所示：过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，可证△AOB ≌△BMP (AAS )，∴AO =BM =6，BO =MP =8，∴OM =14，∴P (8，14)．当∠BAP =90°，AB =AP 时，如图所示：过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，可证△AOB ≌△PMA (AAS )，∴AO =PM =6，BO =AM =8，∴OM =14，∴P (14，6)．当∠APB =90°，BP =AP 时，如图所示：过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ，可证△AMP ≌△BNP (AAS )，∴AM =BM ，PM =PN ，∴6+AM =8-BN ，∴AM ==BN =1，∴OM =7=PN =PM ，∴P (7，7)，∴P (8，14)．综上，点P (8，14)或(14，6)或(7，7)．6.解：(1)令y =54x +74=0，解得：x =75，∴点C 的坐标为75,0 ；(2)由(1)知OC =75；代入点A (-1，m )，B (n ，-2)两点可得：m =54+74,-2=-54n +74，解得：m =3，n =3，∴A (-1，3)，B (3，-2)，∴S △AOC =12×75×3=2110，AC =75+1 2+32=3415，设原点O 到直线AB 的距离为d ，∴S △AOC =12×3415d =2110，解得：d =741=74141；(3)存在，理由如下：设点P 的坐标为(x ，0)，∵∠ACP 为锐角，∴△ACP 是直角三角形，而分两种情况分析：①若∠APC =90°，此时点P 的坐标为(-1，0)；②若∠PAC =90°，AC 2+AP 2=CP 2，故75+1 2+32+x +1 2+32=75-x 2，解得：x =-194，此时点P 的坐标为(-6，0)；综上所述，存在满足条件的点P 的坐标为(-1，0)或-194,0．7.解：(1)把D 坐标(1，n )代入y =x +1中得：n =2，即D (1，2)，把B (0，-1)与D (1，2)代入y =kx +b 中得：b =-1k +b =2 ，解得：k =3b =-1 ，∴直线BD 解析式为y =3x -1，对于直线y =x +1，令y =0，得到x =-1，即E (-1，0)；令x =0，得到y =1，对于直线y =3x -1，令y =0，得到x =13，即C (13，0)，则S 四边形AOCD =S △DEC -S △AEO =12×43×2-12×1×1=56；(2)存在．如图，当∠DPC =90°时，P (1，0)．当∠CDP ′=90°时，△DPC ∽△P ′PD ，∴PD 2=CP •PP ′，∴22=23×PP ′，∴PP ′=6，∴OP =OP +PP ′=1+6=7，∴P ′(7，0)．综上所述，满足条件的点P 的坐标为(1，0)或(7，0)．8.解：(1)如图1中，过点A 作AH ⊥OB 于点H ，∵A(3，3)，∴AH=OH=3，∵OA=AB，AH⊥OB，∴HB=OH=3，∴OB=6，∴B(6，0)；(2)当点P在线段OB上时，2t=2(6-2t)，∴t=2．当点P在线段OB的延长线上时，2t=2(2t-6)，∴t=6．综上所述，满足条件的t的值为2或6．(3)存在．如图2中，当P(4，0)时，满足条件的点Q的坐标为(5，1)或(6，2)或(4，2)．如图3中，当P(12，0)时，点Q的坐标为(9，3)或(12，6)或(6，6)．综上所述，满足条件的点Q的坐标为(5，1)或(6，2)或(4，2)或(9，3)或(12，6)或(6，6)．9.解：(1)∵a2-4a+4+|b-4|=0，∴(a-2)2+|b-4|=0，∵(a-2)2≥0，|b-4|≥0，∴a=2，b=4，∴A(2，0)，B(0，4)；(2)∵BC平分∠OBA，AM平分∠BAD，∴∠CBA=12∠OBA,∠BAM=12∠BAD，∵∠C+∠CBA=∠BAM，∠AOB=∠BAD-∠OBA，∴∠C=∠BAM-∠CBA=12∠BAD-12∠OBA=12∠AOB=12×90°=45°；(3)存在，满足条件的点共有6个，如图所示，P 1(6，2)，P 2(-2，-2)，P 3(4，6)，P 4(-4，2)，P 5(3，3)，P 6(-1，1)．10.(1)解：结论：△AED 是等腰直角三角形．理由：在△ABE 和△ECD 中，AB =EC∠B =∠C BE =CD，∴△ABE ≌△ECD (SAS )，∴AE =DE ，∠BAE =∠CED ，∵∠BAE +∠AED =90°，∴∠CED +∠AEB =90°，∴∠AED =90°，∴△AED 是等腰直角三角形；(2)证明：过点E 作EF ⊥AD 于F ，由(1)可知△EFA ≌△ACB ，∴AF =BC ，∵AD =2BC ，∴AD =2AF ，∴AF =DF ，又∵EF ⊥AD ，∴DE =AE ；(3)解：存在．分三种情况，①若点O 为直角顶点，如图3，∵A (3，2)，∴OF =3，AF =2，过点A 作AF ⊥x 轴于F ，过点B 作BE ⊥x 轴于E ，由(1)知△BEO ≌△OFA ，∴BE =OF =3，OE =AF =2，∴B (-2，3)；②若点A 为直角顶点，如图4，过点A 作AF ⊥x 轴于F ，过点B 作BE ⊥AF ，交FA 的延长线于E ，由(1)知△BEA ≌△AFO ，∴BE =OF =2，AE =PF =5，∴B (1，5)；③若点B 为直角顶点，如图5，过点B 作BE ⊥y 轴于E ，过点A 作AF ⊥BE ，交EB 的延长线于F ，由(1)知△BEO ≌△AFB ，∴BE =AF ，OE =BF ，设BE =AF =a ，则OE =2+a，∴a +2+a =3，∴a =12，∴OE =a +2=12+2=52，∴B (12，52)；综上所述，存在点B ，使得△OAB 是等腰直角三角形，点B 的坐标为(-2，3)或(1，5)或B (12，52)．11.解：(1)当t =1时，由题意可知：AP =1cm ，BQ =2cm ，∵AB =11cm ，∴PB =10cm ，∵∠B =90°，∴PQ =PB 2+BQ 2=102+22=226cm ；(2)∵∠B =90°，∴△BPQ 是等腰三角形时，只有BP =BQ ，由题意可知：BP =(11-t )cm ，∵Q 从点B 出发以每秒2cm 的速度沿BC 向点C 匀速运动，到达点C 后返回点B ，当有一点停止运动时，另一点也停止运动，∴当0≤t ≤4时，BQ =2t cm ；当4<t ≤8时，BQ =(16-2t )cm ；当8<t ≤11时，BQ =(2t -16)cm ；∵BP =BQ ，∴11-t =2t ，解得：t =113>4，故不符合题意；11-t =16-2t ，解得：t =5，符合题意；11-t =2t -16，解得：t =9，符合题意；综上所述：t =5或t =9；(3)假设存在t 使得△BPQ 的面积等于10cm 2，由(2)可知：BP =(11-t )cm ，当0≤t ≤4时，BQ =2t cm ；当4<t ≤8时，BQ =(16-2t )cm ；当8<t ≤11时，BQ =(2t -16)cm ；∴当0≤t ≤4时，12×11-t ×2t =10；解得：t =1或t =10(舍去)；当4<t ≤8时，12×11-t ×16-2t =10；，解得：t =6或t =13(舍去)；当8<t ≤11时，12×11-t ×2t -16 =10，因为Δ<0，故无解，综上所述，当t =1或t =6时△BPQ 的面积等于10cm 2．12.解：(1)∵四边形OABC 是矩形，∴OA ∥BC ，∴∠CBO =∠AOB ，根据翻折的性质可知：∠EOB =∠AOB ，∴∠EOB =∠EBO ，∴EO =EB ，设EO=EB=x，在Rt△ECO中，EO2=OC2+CE2，∴x2=32+(6-x)2，解得x=15 4，∴CE=BC-EB=6-154=94，∴E(94，3)，设直线AE的解析式为y=kx+b，∴6k+b=094k+b=3 ，解得k=-45b=245，∴直线AE的函数解析式为y=-45x+245；(2)如图，OB=32+62=35．设F(n，0)．①当OB=OF时，F(35，3)或(-35，0)；②当OB=BF时，∴OB2=BF2，∴45=9+(6-n)2，解得n=12或0(舍去)，∴F(12，0)，③当OF=BF时，∴OF2=BF2，∴n2=9+(6-n)2，解得n=15 4，∴F(154，0)，综上所述，在x轴上是存在点F，使△OBF为等腰三角形，点F的坐标为(35，3)或(-35，0)或(12，0)或(154，0)．13.(1)解：∵点B坐标为(0，3)，点C坐标为(9，0)，∴OB=3，OC=9，∵∠ACB=90°，∴∠BCO+∠ACD=90°，且∠BCO+∠OBC=90°，∴∠ACD=∠OBC，且AC=BC，∠BOC=∠ADC=90°，∴△BOC≌△CDA(AAS)，∴CD=OB=3，∴OD=OC+CD=12，AO=OC=9，∴点A的坐标(12，9)；(2)OE =DE 且OE ⊥DE ；证明：过E 作EF ⊥y 轴于F ，并交AD 于G ，则FG =OD =12且FG ⊥AD ，∵B (0，3)，A (12，9)，E 为AB 中点，∴E (6，6)，∴EF =EG =6，OF =DG =6，又∵∠EFO =∠EGD =90°，∴△EFO ≌△EGD ，且△EFO 和△EGD 都为等腰直角三角形，∴OE =DE ，∠FEO =∠GED =45°，∴∠OED =180°-∠FEO -∠GED =90°，∴OE ⊥DE ；(3)解：①当以点A 为顶角顶点时，且OA 是腰，∵AD ⊥x 轴，∴点Q 1，O 关于直线AD 对称，即：Q 1(24，0)；②当以点A 为底角顶点时，且OA 是腰，形成锐角三角形时，则OQ 2=OA =15，∴Q 2(15，0)；③当以点A 为底角顶点时，且OA 是腰，形成钝角三角形时，则OQ 3=OA =15，∴Q 3(-15，0)，综上所述：Q 的坐标为：(24，0)或(15，0)或(-15，0)．14.解：(1)在y =x +3中，令y =0，得x =-3，∴B (-3，0)．将C (1，m )代入y =x +3得m =4，∴C (1，4)；(2)设直线l 2的函数表达式为y =kx +b (k ≠0)，将C (1，4)，A (3，0)代入得，k +b =43k +b =0 ，解得k =-2b =6 ，∴直线l 2的函数表达式为y =-2x +6；(3)∵C (1，4)，CD ⊥x 轴于点D ，∴D (1，0)．又∵B (-3，0)，∴CD =4,BD =4,BC =CD 2+BD 2=42．①当点B 为等腰△BCP 的顶点，即BC =BP 时，∵BC =42,B -3,0 ，∴此时点P 的坐标为-3-42,0 或42-3,0 ；②当点P 为等腰△BCP 的顶点，即PB =PC 时，。
最新九年级中考数学复习：二次函数综合题(特殊三角形问题)
2023年九年级中考数学复习：二次函数综合题（特殊三角形问题）1．抛物线y＝ax2＋c交x轴于A、B（1，0）两点，且经过（2，3）．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，直线y＝kx＋3交y轴于点G，交抛物线y＝ax2＋c于点E和F，F在y轴右侧，若△GOF的面积为△GOE面积的2倍，求k值；(3)如图2，点P是第二象限的动点，分别连接P A、PB，并延长交直线y=－2于M、N 两点. 若M、N两点的横坐标分别为m、n，试探究m、n之间的数量关系．2．如图，已知抛物线2=++与直线y=0.5x＋3相交于A，B两点，交△轴于C，0.5y x bx cD两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（－3，0）.(1)求抛物线的表达式；(2)在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB一MD|的值最大，并求出这个最大值；(3)点P为y轴右侧抛物线上的一动点，连接P A，过点P作PQ△P A交y轴于点Q，是否存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.3．如图，抛物线与x轴交于A和B两点（点B位于点A右侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x=2，且OA=1，OC=3，连接AC，BC．(1)求此抛物线的函数解析式；(2)设抛物线的顶点为点P，请在x轴上找到一个点D，使以点P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似？(3)此抛物线的对称轴和以AC为直径的圆是什么位置关系？如果是相切或相交，请直接写出切点或交点的坐标（不必写演推过程）；如果是相离，请简要说明理由．4．如图1，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴分别交于A(−3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，连接AD、CD、AC、BC．(1)请直接写出抛物线的表达式及顶点D的坐标；(2)求证：△ACD是直角三角形；(3)判断△ACB和△OAD的数量关系，并说明理由；(4)如图2，点F是线段AD上一个动点，以A，F，O为顶点的三角形是否与△ABC相似？若相似，请直接写出点F的坐标；若不相似，请说明理由．5．抛物线y＝ax2﹣2x+c经过点A(3，0)，点C(0，﹣3)，直线y＝﹣x+b经过点A，交抛物线于点E．抛物线的对称轴交AE于点B，交x轴于点D，交直线AC于点F．(1)求抛物线的解析式；(2)如图△，点P 为直线AC 下方抛物线上的点，连接P A ，PC ，△BAF 的面积记为S 1，△P AC 的面积记为S 2，当S 2＝38S 1时．求点P 的横坐标；(3)如图△，连接CD ，点Q 为平面内直线AE 下方的点，以点Q ，A ，E 为顶点的三角形与△CDF 相似时（AE 与CD 不是对应边），请直接写出符合条件的点Q 的坐标． 6．如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于点()1,0A 、()3,0B ，与y 轴交于点C ，联结AC 、BC ．(1)求该抛物线的表达式及顶点D 的坐标；(2)如果点P 在抛物线上，CB 平分ACP ∠，求点P 的坐标：(3)如果点Q 在抛物线的对称轴上，DBQ 与ABC 相似．求点Q 的坐标．7．如图1，已知二次函数y ＝ax2＋bx ＋c （a ≠0）的图象与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，﹣2），顶点为D ，对称轴交x 轴于点E ．(1)求该二次函数的解析式；(2)设M 为该抛物线上直线BC 下方一点，过点M 作x 轴的垂线，交线段BC 于点N ，线段MN 是否存在最大值？若存在，请求出其最大值；若不存在，请说明理由；(3)连接CE （如图2），设点P 是位于对称轴右侧该抛物线上一点，过点P 作PQ △x 轴，垂足为Q ．连接PE ，请求出当△PQE 与△COE 相似时点P 的横坐标．8．如图，直线y kx b =+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，抛物线2y ax bx c =++经过A ，B 两点，点C 的坐标为()1,0-，3AO CO ==，点C 关于点B 的对称点M 刚好落在抛物线上，连接AM ．(1)求点M 的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)过点M 作MD 平行于y 轴交AB 于点D ，若点E 为抛物线上的一点，点F 在x 轴上，连接AE ，AF ，EF ．是否存在点F 使得△ADM 与△AEF 相似？若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图1，已知在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是边长为3的正方形，其中顶点A ，C 分别在x 轴的正半轴和y 轴的正半轴上，抛物线2y x bx c =-++经过A ，C 两点，与x 轴交于另一个点D ．(1)△求点A ，B ，C 的坐标；△求b ，c 的值．(2)若点P 是边BC 上的一个动点，连结AP ，过点P 作PM △AP ，交y 轴于点M （如图2所示）．当点P 在BC 上运动时，点M 也随之运动．设BP ＝m ，CM ＝n ，试用含m 的代数式表示n ，并求出n 的最大值．10．平面直角坐标系中，已知抛物线1C ：()21y x m x m =-++-（m 为常数）与x 轴交于点A ，B 两点（点A 在点B 左边），与y 轴交于点C ．(1)若4m =，求点A ，B ，C 的坐标；(2)如图1，在（1）的条件下，D 为抛物线x 轴上方一点，连接BD ，若90DBA ACB ∠∠+=︒，求点D 的坐标；(3)如图2，将抛物线1C 向左平移n 个单位长度（0n >）与直线AC 交于M ，N （点M 在点N 右边），若2AM CN =，求m ，n 之间的数量关系．11．如图，直线y x n =-+与x 轴交于点()3,0A ，与y 轴交于点B ，抛物线2y x bx c =-++经过点A ，B ．(1)求n 的值及抛物线的解析式；(2)(),0E m 为x 轴上一动点，过点E 作ED x ⊥轴，交直线AB 于点D ，交抛物线于点P ，连接BP ．△点E 在线段OA 上运动，若BPD △与ADE 相似，求点E 的坐标；△若抛物线的顶点为Q ，AQ 与CB 的延长线交于点H ，点E 在x 轴的正半轴上运动，若PBD CBO H ∠+∠=∠．请求写出m 的值．12．如图1，平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝－12x －2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．抛物线y ＝14x 2＋bx ＋c 经过点A 、点C ，且与x 轴交于另一点B ，连接BC ．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是抛物线上一动点．△当点P 在直线AC 下方的抛物线上运动时，如图2，连接AP ，CP ．求四边形ABCP 面积的最大值及此时点P 的坐标；△当点P 在x 轴上方的抛物线上运动时，过点P 作PM △x 轴于点M ，连接BP ．是否存在点P ，使△PMB 与△AOC 相似？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，抛物线y 2b c x ++与x 轴交于点A 、B ，点A 、B 分别位于原点的左、右两侧，BO ＝3AO ＝3，过点B 的直线与y 轴正半轴和抛物线的交点分别为C 、D ，BC．(1)求b、c的值；(2)求直线BD的直线解析式；(3)点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上．当△ABD与△BPQ相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．14．如图，抛物线23(0)y ax bx a=+-≠的顶点E的横坐标为1，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线113y x=-+过点B，与y轴交于点D．(1)求抛物线的解析式；(2)证明：ABD CBE∠=∠；(3)是否存在点1O，使点1O到A，B，C，D的距离都相等，若存在，求出点1O坐标，若不存在，请说明理由．(4)设抛物线与直线DB另一交点为Q，F为线段BQ上一点（不含端点），连接AF，一动点P从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FQ个单位的速度运动到Q后停止，当点F的坐标是多少时，点P在整个运动过程中用时最少？（直接写出答案）15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，且OC ＝2OB ＝6OA ＝6，点P 是第一象限内抛物线上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)连接BC 与OP ，交于点D ，当PD ：OD 的值最大时，求点P 的坐标；(3)点P 在抛物线上运动，点N 在y 轴上运动，是否存在点P 、点N ．使△CPN ＝90°，且△CPN 与△BOC 相似，若存在，请直接写出点P 的坐标，若不存在，说明理由．16．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴分别交于点A ，点B （3，0），与y 轴交于点C （0，3）．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，连接BC ，点D 是直线BC 上方抛物线上一动点，连接AD 交BC 于点E ，若AE ＝2ED ，求点D 的坐标；(3)直线y ＝kx ﹣2k +1与抛物线交于M ，N 两点，取点P （2，0），连接PM ，PN ，求△PMN 面积的最小值．17．综合与探究如图，直线3y x =-+与x 轴，y 轴分别交于B ，C 两点，抛物线2y x bx c =-++经过点B ，C ，与x 轴的另一交点为A ，顶点为D ．(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标．(2)连接CD，BD，求点D到BC的距离h．(3)P为对称轴上一点，在抛物线上是否存在点Q，使得PDQ与BOC相似？若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，已知直线223y x=-与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线226y x bx=-++经过点A，与x轴的另一个交点为C，交y轴于点D．(1)求抛物线的函数表达式及点D的坐标；(2)点M是y轴上的点，在y轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得PMD△与BOC相似，且点M与点O为对应点，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．19．如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+6与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线y=-2x2+bx+c过A，C两点，与x轴交于另点B．(1)求抛物线的解析式．(2)在直线AC 上方的抛物线上有一动点E ，连接BE ，与直线AC 相交于点F ，当EF =12BF 时，求sin△EBA 的值．(3)点N 是抛物线对称轴上一点，在(2)的条件下，若点E 位于对称轴左侧，在抛物线上是否存在一点M ，使以M ，N ，E ，B 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图，一次函数3y x =-+的图象与x 轴和y 轴分别交于点B 和点C ，二次函数2y x bx c =-++的图象经过B ，C 两点，并与x 轴交于点A ．点(),0M m 是线段OB 上一个动点（不与点O 、B 重合），过点M 作x 轴的垂线，分别与二次函数图象和直线BC 相交于点D 和点E ，连接CD ．(1)求这个二次函数的解析式．(2)△求DE 、CE 的值（用含m 的代数式表示）．△当以C ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似时，求m 的值．(3)点F 是平面内一点，是否存在以C ，D ，E ，F 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．(1)21y x =- (2)k =(3) 1.-2．(1)215322y x x =++(3)在点P （1，6）3．(1)y =x 2－4x +3(2)点D 的坐标是（0，0）或（73，0） (3)相交，交点的坐标是（2，1）或（2，2）4．(1)抛物线解析式为y =-x 2-2x +3；顶点D 的坐标为（-1，4）；(2)见解析(3)△OAD =△ACB(4)相似，F 点的坐标为（-65，185）或（-2，2）．5．(1)y ＝x 2﹣2x ﹣3(2)P 352(3)Q 点坐标为(﹣7，5)或(﹣12，5)或(3，﹣10)或(3，﹣5)6．(1)2=+43y x x --，(21)D ， (2)111639⎛⎫ ⎪⎝⎭，- (3)(2，−2)或12,3⎛⎫ ⎪⎝⎭7．(1)224233y x x =--(2)线段MN 存在最大值，最大值为32(3)点P 的横坐标为5或28．(1)(M(2)2y x x =(3)存在，()()()()()11,0,3,0,,0,5,0,7,0,13,03⎛⎫-- ⎪⎝⎭9．(1)△A (3，0)，B (3，3)，C (0，3)；△23b c =⎧⎨=⎩ (2)2133324n m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭（0≤m ≤3）；3410．(1)A （1，0），B （4，0），C （0，﹣4）(2)D （83，209） (3)93m n =-11．(1)n =3，y =-x 2+2x +3．(2)△（1，0）或（2，0）．△m =5或73．12．(1)211242y x x =+- (2)△四边形ABCP 面积的最大值为8，此时点P 为（－2，－2）；△存在符合条件的点P ，点P 坐标为（－6，4）或（－12，28）或（4，4）13．(1)132b c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(2)y=+(3)Q 1（，0）、Q 2（0）、Q 3，0）、Q 4（，0） 14．(1)2 2 3y x x =--(2)见解析(3)存在点()111O -,，使点P 到A ，B ，C ，D 的距离都相等(4)F 的坐标为41,3⎛⎫- ⎪⎝⎭时，点P 在整个运动过程中用时最少15．(1)y ＝﹣2x 2+4x +6(2)点P 的坐标为315(,)22(3)存在，点P 的坐标分别为(3，0)或(1，8)或939(,)48或755(,)4816．(1)y ＝﹣x 2+2x +3(2)（1，4）或（2，3）17．(1)223y x x =-++，顶点D (1，4)(2)h =(3)Q （0，3）或（2，3）18．(1)2246y x x =-++；(0,6)D(2)存在，点P 的坐标为755,48⎛⎫ ⎪⎝⎭或939,48⎛⎫ ⎪⎝⎭或(1,8)或(3,0)19．(1)抛物线的解析式为y =-2x 2-4x +6；(2)sin△EBA ； (3)M 的坐标为（2，-10）或（-4，-10）或（0，6）．20．(1)223y x x =-++(2)△23DE m m =-，CE ；△m 的值为32或53(3)存在以C ，D ，E ，F 为顶点的四边形为菱形，点M 的坐标为(1，0)或(2，0)或(3，0)．。
中考数学 考点聚焦 第5章 图形的性质(一)第19讲 特殊三角形1
(2)如图③，在△ABC 的外部，以 A 为直角顶点作等腰直角△BAE，使∠BAE ＝90°，AE＝AB，连接 EA，EB，EC.∵∠ACD＝∠ADC＝45°，∴AC＝AD， ∠CAD＝90°，∴∠BAE＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，在
【深入探究】 (2)如图②，四边形ABCD中，AB＝7 cm，BC＝3 cm，∠ABC＝∠ACD ＝∠ADC＝45°，求BD的长．
审题视角 (1)首先根据等式的性质证明∠EAC＝∠BAD，则根据SAS即
可证明△EAC≌△BAD，根据全等三角形的性质即可证明；(2)在△ABC
的外部，以A为直角顶点作等腰直角△BAE，使∠BAE＝90°，AE＝AB
(2)BD＝DE＝EC，其理由是：∵OB平分∠ABC，且∠ABC＝60°， ∴∠ABO＝∠OBD＝30°，∵OD∥AB，∴∠BOD＝∠ABO＝30°， ∴∠DBO＝∠DOB，∴DB＝DO，同理，EC＝EO，∵DE＝OD＝OE， ∴BD＝DE＝EC.
【点评】 此题主要考查等边三角形的判定及性质的理解及运用．
(2)(2016·淮安)已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三 角形的周长是__1_0_．
【例2】 (2015·北京)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的 中线，BE⊥AC于点E.求证：∠CBE＝∠BAD.
证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，AD平分∠BAC ，∵BE⊥AC，∴∠CBE＋∠C＝∠CAD＋∠C＝90°，又∵∠CAD＝ ∠BAD，∴∠CBE＝∠BAD.
△EAC 和△BAD 中，A∠EE＝ACA＝B，∠BAD，∴△EAC≌△BAD(SAS)， AC＝AD，
中考数学“特殊三角形的存在性问题”题型解析
中考数学“特殊三角形的存在性问题”题型解析二次函数与特殊三角形的存在性问题主要分为两类：一类是静态的特殊三角形的存在性问题；一类是动态的特殊三角形的存在性问题 .静态的特殊三角形的存在性问题难度相对较小，可根据抛物线的对称性以及三角形的特点为切入点来解决；动态的特殊三角形的存在性问题难度相对较大，解决此类问题的关键是根据题意分析出动点在动的过程一些不变的量以及不变的关系 .本节主要来讨论下关于动态的特殊三角形的存在性问题 .类型一：等腰三角形存在性问题【例题1】如图，已知抛物线y = -1/4 x^2 - 1/2 x + 2 与x 轴交于A , B 两点，与y 轴交于点C . （1）求点A , B , C 的坐标；（2）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM 是等腰三角形？若存在请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由 .【分析】（1）分别令y = 0 , x = 0 , 即可解决问题；（2）分A、C、M 为顶点三种情形讨论，分别求解即可 . 【解析】（1）令y = 0 , 得-1/4 x^2 - 1/2 x + 2 = 0 ，∴x^2 + 2x - 8 = 0 ,∴x = - 4（舍）或2 ，∴点A 坐标（2,0），点B 坐标（-4,0），令x = 0 , 得y = 2 ,∴点C 的坐标（0,2）.（2）如图所示，①当C 为顶点时，CM1 = CA , CM2 = CA , 作M1N⊥OC 于N , 在Rt△CM1N 中，∴点M1 坐标（-1，2+√7），点M2 坐标（-1 , 2-√7）.②点M3 为顶点时，∵直线AC 解析式为y = -x + 2 , 线段AC 的垂直平分线为y = x , ∴点M3 坐标为（-1，-1）.③当点A 为顶点的等腰三角形不存在 .综上所述M 坐标为（-1，-1）或（-1，2+√7）或（-1 , 2-√7）.类型二：直角三角形存在性问题【例题2】如图，△OAB 的一边OB 在x 轴的正半轴上，点A 的坐标为（6,8），OA = OB，点P 在线段OB 上，点Q 在y 轴的正半轴上，OP = 2OQ，过点Q 作x 轴的平行线分别交OA，AB 于点E , F .（1）求直线AB 的解析式；（2）是否存在点P，使△PEF 为直角三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由 .【分析】（1）由点A 的坐标可确定出OA 的长，即为OB 的长，从而可确定出B 点坐标，利用待定系数法即可求出直线AB 的解析式；（2）分三种情况来考虑：若∠PEF = 90°；若∠PFE = 90°，若∠EPF = 90°，过点E , F 分别作x 轴垂线，垂足分别为G、H，分别求出t 的值，确定出满足题意P 坐标即可 .【解题策略】此类问题主要考查特殊三角形的存在性问题：首先运用特殊三角形的性质画出相应的图形，确定动点问题的位置；其次借助特殊三角形的性质找到动点与已知点的位置关系和数量关系；最后结合已知列出方程求解即可 .要注意分类讨论时考虑全面所有可能的情形 .。
中考数学一轮教材梳理复习课件：第20课特殊三角形
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(1)如图 1，求证：AD＝AE；
证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
AB＝AC， 在△ABD 和△ACE 中，∠B＝∠C，
BD＝CE，
∴△ABD≌△ACE(SAS). ∴AD＝AE.
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(2)如图 2，当∠DAE＝∠C＝45°时，过点 B 作 BF∥AC
交 AD 的延长线于点 F，在不添加任何辅助线的情况
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3．(2020·甘孜)如图，等腰△ABC 中，点 D，E 分别在
腰 AB，AC 上，添加下列条件，不能判定△ABE≌△ACD
的是( B )
A．AD＝AE
B．BE＝CD
C．∠ADC＝∠AEB D．∠DCB＝∠EBC
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二、填空题 4．(2020·岳阳)如图，在 Rt△ABC 中，CD 是斜边 AB 上的中线，∠A＝20°，则∠BCD＝___7_0___°.
△ABE，△ACD，△DAE，△DBF.
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பைடு நூலகம்
(3)判定：
①三边都相等的三角形是等边三角形．
②三个角都相等的三角形是等边三角形．
③有一个 60°角的等腰三角形是等边三角形．
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2．(1)如图，在等边三角形 ABC 中，若 AB＝2，则等 边三角形 ABC 的面积是_____3___．
(2)下列条件中，不能得到等边三角形的是( B ) A．三边都相等的三角形 B．有两外角相等的等腰三角形 C．两内角是 60°的三角形 D．一内角为 60°的等腰三角形
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3．(1)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，若 AC＝
4，BC＝3，则 AB＝__5___．若∠A＝30°，且 CD⊥AB，
中考数学特殊三角形综合复习
（二）特殊三角形考点精要解析考点一：线段的垂直平分线1.定义：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线.2.性质：线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等.3.判定：与一条直线两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.4.三角形的三边垂直平分线：三角形的三边垂直平分线交于一点，交点是三角形的外新，且到三角形三个顶点的距离相等.考点二：等腰三角形1.定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.2.性质：（1）两腰相等（2）两底角相等（简称为等边对等角）（3）等腰三角形定角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称为“三线合一”）.（4）等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边的垂直平分线.3.判定（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形.（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称为“等角对等边”）.考点三：等边三角形1.定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形.2.性质（1）三边都相等，三个角都相等，每个角都等于60°.（2）等边三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称为“三线合一”）.3.判定（1）三条边都相等的三角形是等边三角形.（2）三个角都相等的三角形是等边三角形.（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.考点四：直角三角形与勾股定理直角三角形（1）定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形.（2）性质：①两锐角互余；②30°角所对的直角边等于斜边的一半；③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.（3）判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形.2.勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a ，b 斜边长为c ，那么222c b a =+.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.3.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、，b ，c 满足222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形.4.直角三角形斜边上的高的求法：如图4-2-29所示，ab=ch cab h =⇒ 5.折叠的常见基本图形，如图4-2-30所示.高频考点过关 例题1.如图4-2-31所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠C=90°，BD 平分∠CBA 交AC 于点D ，DE 丄AB 于E.若△ADE 的周长为8cm ，则AB= cm.答案：8解析：∵DE 丄AB ，∴∠DEB=90°, ∵BD 平分∠CBA,∴∠CBD=∠EBD.又∵BD=BD ，∴△CBD ≌△EBD,∴CD=DE,BC=BE.∴AD+DE+AE=AD+CD+AE=AC+AE=BC+AE=BE+AE=AB=8(cm)考点二 ：等腰三角形和等边三角形例题2.已知等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是( )A.55°，55°B.70°，40°C.55°，55°或 70°，40°D.55°，70°答案注意分类讨论：70°角可能是顶角，也可能是底角.例题3.如图4-2-32所示，△ABC 是等边三角形，P 是∠ABC 的平分线BD 上一点，PE 丄AB 于点E ，线段BP 的垂直平分线交BC 于点F,垂足为点Q ，若BF=2，则PE 的长为( )A.2B. D.3答案C例题4 在一次数学课上，王老师在黑板上画一图，如图4-2-33所示，并写下了四个等式：①AB=DC ②BE=CE ③∠B=∠C ④∠BAE=∠CDE要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出△AED 是等腰三角形.请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由(写出一种即可)已知：①③（或①④，或②③，或②④）求证: △AED 是等腰三角形.证明：在△ABE 和△DCE 中，B C AEB DEC AB DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩Q ∴△ABE ≌△DCE∴AE=DE 即△AED 是等腰三角形.考点三：直角三角形与勾股定理例题5 如图4-2-34所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠B= 30°，AB 的垂直平分线EF 交AB 于点E ，交BC 于点F ，EF=2，求BC 的长.【解】连接AF 如图4-2-35所示. ∵EF 垂直平分AB ，∴AF=BF,∴∠B=∠FAB.∵∠B= 30°，∴∠FAB= 30°,∵AB=AC,∴∠B=∠C=30°,∴∠BAC=120°,∴∠FAC=∠BAC －∠FAB=90°,在Rt △BEF 中,∠B=30°,∴BF=AF=2EF=4.在Rt △FAC 中,∠C=30°,∴FC=2AF=8.∴BC=BF+FC=12.中考真题链接真题1.( 天门中考)如图4-2-36所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°；BC=6cm；AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为( ) A.4cm B.3cm C.2cm D.1cm真题2 (毕节中考)已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为( ).A.16B.20 或16C. 20D.12真题3 (钦州中考)等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是( )A.80°B.80°或20°C.80°或50°D.20°真题4 (宿迁中考)在等腰△ABC中，∠ACB=90°，且AC=1.过点C作直线l //AB，P为直线l上一点，且AP=AB则点P到BC所在直线的距离是( )A. 1B. 1或C.1或D.真题5 (衝州中考)将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为30cm的纸带边沿上,另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图4-2-27所示，则三角板的最大边的长为( )A.3cmB.6cmC.cmD.真题6 (黔西南州中考)一直角三角形的两边长分别为3和4则第三边的长为( )A.5 D.5真题7.(新疆中考）如图4-2-38所示，Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=2cm,D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒(0≤t＜6),连接DE，当△BDE是直角三角形时,t的值为( )A.2B. 2.5 或3.5C. 3.5 或4.5D. 2 或3. 5 或4.5真题8（泰州中考)如图4-2-39所示，在△ABC中，AB+AC=6cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为cm.真题9 (1)(巴中中考)方程x2－9x+18 = 0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为.(2) (白银中考)等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为.真题10(黔西南州中考)如图4-2-40所示，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE,则∠E= 度.真题11(黄冈中考）如图4-2-41所示，已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1, 连接DE，则DE= .真题12.(鞍山中考）如图4-2-42所示，D是△ABC内一点,BD⊥CD,AD=6,BD=4,CD=3,E,F,G,H分别是AB，AC，CD，BD的中点，则四边形EFGH的周长是.真题13.(上海中考）如图4-2-43所示，在△ABC中，AB=AC,BC=8，tanC=32，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点E处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为.真题14.(东营中考)如图4-2-44所示，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁．．离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0. 3m与蚊子相对．．的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为m(容器厚度忽略不计).真题15.(河北中考)如图4-2-45所示，巳知边长为2的正三角形ABC，两顶点A，B分别在平面直角坐标系的x轴y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则OC长的最大值是.真题16.(白银中考)两个城镇A，B与两条公路l1，l2位置如图4-2-46所示，电信部门需在C处修建一座信号反射塔，要求发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1,l2的距离也必须相等，那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出所有符合条件的点。
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考点跟踪训练22 特殊三角形一、选择题 1．(2011·贵阳)如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，∠B ＝30°，点P 是BC 边上的动点，则AP 长不可能．．．是( )A ．3.5B ．4.2C ．5.8D ．7答案 D解析 在Rt △ABC 中，AC ＝3，∠B ＝30°，得AB ＝2AC ＝6，而AC ≤AP ≤AB ，即3≤AP ≤6，不可能是7.2．(2011·枣庄)如图，点A 的坐标是(2,2)，若点P 在x 轴上，且△APO 是等腰三角形，则点P 的坐标不可能．．．是( )A ．(2,0)B ．(4,0)C ．(－2 2，0)D ．(3,0)答案 D解析 当点P 的坐标为(3,0)时，OP ＝3，而AO ＝2 2，AP ＝5，△APO 不是等腰三角形．3．(2011·烟台)如图，等腰△ ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝20°.线段AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，连接BE ，则∠CBE 等于( )A ．80°B ．70°C ．60°D ．50° 答案 C解析 在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝20°，所以∠ABC ＝12×(180°－20°)＝80°.DE 垂直平分AB ，有EA ＝EB ，∠EBA ＝∠A ＝20°，所以∠CBE ＝∠ABC －∠EBA ＝80°－20°＝60°.4．(2011·金华)如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为( )A ．600 mB ．500 mC ．400 mD ．300 m 答案 B解析 如图，易证△ABC ≌△DEA ，BC ＝AE ＝300，而AC ＝500，所以CE ＝200，最近路程BC ＋CE ＝300＋200＝500.5．如图，△ABC 和△CDE 均为等腰直角三角形，点B 、C 、D 在一条直线上，点M 是AE 的中点，下列结论：①tan ∠AEC ＝BCCD；②S △ABC ＋S △CDE ≥S △ACE ；③BM ⊥DM ；④BM ＝DM .正确结论的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 答案 D解析 ∵△ABC 和△CDE 都是等腰直角三角形，∴△ABC ∽△EDC ，AC CE ＝BC CD .∴∠ACE ＝180°－45°－45°＝90°，∴在Rt △ACE 中，tan ∠AEC ＝AC CE ＝BC CD；设△ABC 、△CDE 的直角边分别是a 、b ，则AC ＝2a ，EC ＝2b ，S △ABC ＝12a 2，S △CDE ＝12b 2，S △ACE ＝12(2a )(2b )＝ab ，而(a －b )2≥0，a 2＋b 2≥2ab ，12a 2＋12b 2≥ab ，即S △ABC ＋S △CDE ≥S△ACE ；过M 画MN ⊥BD 于N ，有AB ∥MN ∥ED ，点M 是AE 的中点，则点N 是BD 的中点，MN 垂直平分BD ，BM ＝DM ；MN 是梯形ABDE 的中位线，MN ＝12(a ＋b )＝BN ＝DN ，∵△BMN 与△DMN 都是等腰直角三角形，∴∠BMN ＝∠DMN ＝45°，∠BMD ＝90°，BM ⊥DM .故结论①、②、③、④都正确．二、填空题6．(2011·衡阳)如图所示，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，AC ＝5，将△ABC 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为DE ，则△ABE 的周长为________．答案 7解析 在Rt △ABC 中，AB ＝3，AC ＝5，则BC ＝52－32＝4，又AE ＝EC ，所以△ABE 的周长AB ＋BE ＋AE ＝AB ＋BE ＋EC ＝AB ＋BC ＝7.7．(2011·凉山)把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2”的逆命题改写成“如果……，那么……”的形式：_____________________答案 如果三角形三边长a 、b 、c 满足a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形．8．(2011·无锡)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，若CD ＝5 cm ，则EF ＝_________cm.答案 5解析 ∵点D 是AB 中点，∴CD 是Rt △ABC 斜边AB 的中线，CD ＝12AB ，AB ＝2CD .∵点E 、F 是BC 、CA 的中点，∴EF 是△ABC 的中位线，EF ＝12AB ，AB ＝2EF .∴EF ＝CD ＝5 cm. 9．(2011·温州)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”(如图①)．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1、S 2、S 3，若S 1＋S 2＋S 3＝10，则S 2的值是______________．答案103解析 设直角三角形AEH 的面积为S ，则S 1＝8S ＋S 3，S 2＝4S ＋S 3.∵S 1＋S 2＋S 3＝10，∴(8S ＋S 3)＋(4S ＋S 3)＋S 3＝10,12S ＋3S 3＝10,4S ＋S 3＝103，即S 2＝103.10．(2011·乐山)如图，已知∠AOB ＝α，在射线OA 、OB 上分别取点OA 1＝OB 1，连接A 1B 1，在B 1A 1、B 1B 上分别取点A 2、B 2，使B 1B 2＝B 1A 2，连接A 2B 2…按此规律下去，记∠A 2B 1B 2＝θ1，∠A 3B 2B 3＝θ2，…，∠A n ＋1B n B n ＋1＝θn 则(1)θ1＝_____________；(2)θn ＝________________.答案 (1)180°＋α2；(2)()2n－1·180°＋α2n解析 ∵∠AOB ＝α，OA 1＝OB 1，∴∠OB 1A 1＝∠OA 1B 1＝180°－α2，∴θ1＝180°－180°－α2＝180°＋α2；类似地，θ2＝3×180°＋α4，θ3＝7×180°＋α8，……，∴θn ＝(2n －1)·180°＋α2n.三、解答题 11．(2011·广安)某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造．测得两直角边长分别为6m 、8m.现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m 为直角边的直角三角形．．．．．．．．．．．．求扩建后的等腰三角形花圃的周长．解 由题意可得，扩建后的花圃是等腰直角三角形，花圃的周长＝8＋8＋8 2＝16＋8 2.12．(2011·乐山)如图，在直角△ABC 中，∠C ＝90°，∠CAB 的平分线AD 交BC 于D ，若DE 垂直平分AB ，求∠B 的度数．解 ∵AD 平分∠CAB ， ∴∠CAD ＝∠BAD . ∵DE 垂直平分AB ，∴AD ＝BD ，∠B ＝∠BAD ， ∴∠CAD ＝∠BAD ＝∠B . ∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， ∴∠CAD ＋∠DAE ＋∠B ＝90°， ∴∠B ＝30°. 13．(2011·德州)如图，AB ＝AC ，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，BE 与CD 相交于点O . (1)求证AD ＝AE ；(2) 连接OA 、BC ，试判断直线OA 、BC 的关系并说明理由．解 (1)证明：在△ACD 与△ABE 中， ∵∠A ＝∠A ，∠ADC ＝∠AEB ＝90°，AC ＝AB ， ∴ △ACD ≌△ABE . ∴ AD ＝AE .(2) 互相垂直，理由如下： 在Rt △ADO 与Rt △AEO 中， ∵OA ＝OA ，AD ＝AE ， ∴ △ADO ≌△AEO . ∴ ∠DAO ＝∠EAO .即OA 是∠BAC 的平分线． 又∵AB ＝AC ， ∴ OA ⊥BC . 14．(2011·日照)如图，已知点D 为等腰直角△ABC 内一点，∠CAD ＝∠CBD ＝15°，E 为AD 延长线上的一点，且CE ＝CA .(1)求证：DE 平分∠BDC ；(2)若点M在DE上，且DC＝DM，求证：ME＝BD.解(1)在等腰直角△ABC中，∵∠CAD＝∠CBD＝15°，∴∠BAD＝∠ABD＝45°－15°＝30°，∴BD＝AD.∵AC＝BC，CD＝CD，∴△BDC≌△ADC,∴∠DCA＝∠DCB＝45°.由∠BDM＝∠ABD＋∠BAD＝30°＋30°＝60°，∠EDC＝∠DAC＋∠DCA＝15°＋45°＝60°，∴∠BDM＝∠EDC，∴DE平分∠BDC.(2)如图，连接MC，∵DC＝DM，且∠MDC＝60°，∴△MDC是等边三角形，∴CM＝CD.又∵∠EMC＝180°－∠DMC＝180°－60°＝120°，∠ADC＝180°－∠MDC＝180°－60°＝120°，∴∠EMC＝∠ADC.又∵CE＝CA，∴∠DAC＝∠CEM，∴△ADC≌△EMC，∴ME＝AD＝DB.15．(2011·达州)如图，△ABC的边BC在直线m上，AC⊥BC，且AC＝BC，△DEF的边FE也在直线m上，边DF与边AC重合，且DF＝EF.(1)在图1中，请你通过观察、思考，猜想并写出AB与AE所满足的数量关系和位置关系；(不要求证明)(2)将△DEF沿直线m向左平移到图2的位置时，DE交AC于点G，连结AE、BG.猜想△BCG与△ACE能否通过旋转重合？请证明你的猜想．解(1)AB＝AE，AB⊥AE.(2) 将△BCG绕点C顺时针旋转90°后能与△ACE重合(或将△ACE绕点C逆时针旋转90°后能与△BCG重合)，理由如下：∵AC⊥BC，DF⊥EF，B、F、C、E共线，∴∠ACB＝∠ACE＝∠DFE＝90°.又∵AC＝BC，DF＝EF，∴∠DEF＝∠D＝45°.在△CEG中，∵∠ACE＝90°，∴∠CGE＋∠DEF＝90°，∴CG＝CE.在△BCG和△ACE中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝AC ，∠ACB ＝∠ACE ，CG ＝CE ，∴△BCG ≌△ACE (SAS )．∴将△BCG 绕点C 顺时针旋转90°后能与△ACE 重合(或将△ACE 绕点C 逆时针旋转90°后能与△BCG 重合)．。