行测数量关系知识点总结
(完整版)行测数量关系知识点汇总
行测常用数学公式工作效率＝工作量÷工作时间； 工作时间＝工作量÷工作效率； 总工作量＝各分工作量之和； 设总工作量为1或最小公倍数1.实心方阵：方阵总人数＝（最外层每边人数）2=（外圈人数÷4+1）2=N 2 最外层人数＝（最外层每边人数－1）×42.空心方阵：方阵总人数＝（最外层每边人数）2-（最外层每边人数-2×层数）2＝（最外层每边人数-层数）×层数×4=中空方阵的人数。
★无论是方阵还是长方阵：相邻两圈的人数都满足：外圈比内圈多8人。
3.N 边行每边有a 人，则一共有N(a-1)人。
4.实心长方阵：总人数=M ×N 外圈人数=2M+2N-4 5.方阵：总人数=N 2 N 排N 列外圈人数=4N-4例：有一个3层的中空方阵，最外层有10人，问全阵有多少人？ 解：（10－3）×3×4＝84（人） (2)排队型：假设队伍有N 人，A 排在第M 位；则其前面有（M-1）人，后面有（N-M ）人 (3)爬楼型：从地面爬到第N 层楼要爬（N-1）楼，从第N 层爬到第M 层要爬N M -层。
总长/间隔+1 环型棵数=总长/间隔 楼间棵数=总长/间隔-1 （1）单边线形植树：棵数＝总长÷间隔＋1；总长=（棵数-1）×间隔 （2）单边环形植树：棵数＝总长÷间隔； 总长=棵数×间隔（3）单边楼间植树：棵数＝总长÷间隔－1；总长=（棵数+1）×间隔 （4）双边植树：相应单边植树问题所需棵数的2倍。
：对折N 次，从中剪M 刀，则被剪成了（2N ×M ＋1）段平均速度＝总路程÷总时间 平均速度型：平均速度＝21212v v v v + （2）相遇追及型：相遇问题：相遇距离=（大速度+小速度）×相遇时间 追及问题：追击距离=（大速度—小速度）×追及时间 背离问题：背离距离=（大速度+小速度）×背离时间 （3）流水行船型：顺水速度＝船速＋水速； 逆水速度＝船速－水速。
数量关系知识点汇总
数量关系知识点汇总在行测中，数量关系往往是让我们最为头痛的模块之一，主要是因为数量关系知识点灰常多，并且考察方式也十分灵活，需要考生能够灵活运用各种知识点对应的公式、解题思路。
而广大考生对于数量关系的知识点并没有形成体系化，导致无法进行题型识别，然后顺利解题。
在此，我将数量关系中涉及的常考题型进行大汇总，便于大家形成体系，从而灵活调用。
一、不定方程根据题干意思列方程求解是最基础的一种题目，如果你数量关系时间不够选择挑题目做，首先就要把这一类题目找出来解决掉。
列出方程以后，有些题目能够直接解出未知数，而有些题目的未知数的个数要比方程的个数多，这类方程叫做不定方程或不定方程组。
常用解法（1）代入法：有些题型可以直接将选项代入题干，或者由题干列出的不定方程进行排除，比如：多位数问题，余数问题，年龄问题，页码问题。
（2）特值法：题干中隐藏了一个未知定量，不管我们所设的未知数怎么变，这个未知定量永远不会变，这时我们就可以取一个未知数为特殊值（0或1或最小公倍数）以方便计算。
（3）数字特性法：1.奇偶特性：基本公式：奇数+奇数=偶数；偶数+偶数=偶数；偶数+奇数=奇数；偶数×偶数=偶数；偶数×奇数=偶数；奇数×奇数=奇数；两个推论：(和差共性)任意两个数的和如果是奇数，那么差也是奇数;如果两个数的和是偶数，那么差也是偶数。
(奇反偶同)任意两个数的和或差是奇数，则两数奇偶性相反;和或差是偶数，则两数奇偶性相同。
实际应用：知和求差、知差求和、系数为奇数的未知数可以判断它的奇偶性。
2.整除特性：些常用数字的整除判定：能被3整除的必须各个位上数字的和能被3整除；能被2(或 5)整除的数，末位数字能被2(或 5)整除；能被4(或25)整除的数，末两位数字能被4(或25)整除；能被8(或125)整除的数，末三位数字能被8(或125)整除；能被3(或9)整除的数，各位数字和能被3(或9)整除；能被7 整除的数，其末一位的两倍与剩下的数之差能被7整除；能被11 整除的数，奇数位的和与偶数位的和之差，能被11 整除；ps:能被7 (或11或13)整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被7 (或11或13)整除。
数量关系知识点汇总
数量关系知识点汇总在⾏测中，数量关系往往是让我们最为头痛的模块之⼀，主要是因为数量关系知识点灰常多，并且考察⽅式也⼗分灵活，需要考⽣能够灵活运⽤各种知识点对应的公式、解题思路。
⽽⼴⼤考⽣对于数量关系的知识点并没有形成体系化，导致⽆法进⾏题型识别，然后顺利解题。
在此，我将数量关系中涉及的常考题型进⾏⼤汇总，便于⼤家形成体系，从⽽灵活调⽤。
⼀、不定⽅程根据题⼲意思列⽅程求解是最基础的⼀种题⽬，如果你数量关系时间不够选择挑题⽬做，⾸先就要把这⼀类题⽬找出来解决掉。
列出⽅程以后，有些题⽬能够直接解出未知数，⽽有些题⽬的未知数的个数要⽐⽅程的个数多，这类⽅程叫做不定⽅程或不定⽅程组。
常⽤解法（1）代⼊法：有些题型可以直接将选项代⼊题⼲，或者由题⼲列出的不定⽅程进⾏排除，⽐如：多位数问题，余数问题，年龄问题，页码问题。
（2）特值法：题⼲中隐藏了⼀个未知定量，不管我们所设的未知数怎么变，这个未知定量永远不会变，这时我们就可以取⼀个未知数为特殊值（0或1或最⼩公倍数）以⽅便计算。
（3）数字特性法：1.奇偶特性：基本公式：奇数+奇数=偶数；偶数+偶数=偶数；偶数+奇数=奇数；偶数×偶数=偶数；偶数×奇数=偶数；奇数×奇数=奇数；两个推论：(和差共性)任意两个数的和如果是奇数，那么差也是奇数;如果两个数的和是偶数，那么差也是偶数。
(奇反偶同)任意两个数的和或差是奇数，则两数奇偶性相反;和或差是偶数，则两数奇偶性相同。
实际应⽤：知和求差、知差求和、系数为奇数的未知数可以判断它的奇偶性。
2.整除特性：些常⽤数字的整除判定：能被3整除的必须各个位上数字的和能被3整除；能被2(或 5)整除的数，末位数字能被2(或 5)整除；能被4(或25)整除的数，末两位数字能被4(或25)整除；能被8(或125)整除的数，末三位数字能被8(或125)整除；能被3(或9)整除的数，各位数字和能被3(或9)整除；能被7 整除的数，其末⼀位的两倍与剩下的数之差能被7整除；能被11 整除的数，奇数位的和与偶数位的和之差，能被11 整除；ps:能被7 (或11或13)整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被7 (或11或13)整除。
行测数量关系知识点汇总2024
行测数量关系知识点汇总2024一、数字推理。
1. 等差数列。
- 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。
- 通项公式：a_n=a_1+(n - 1)d，其中a_n是第n项的值，a_1是首项，n是项数。
- 求和公式：S_n=frac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+(n(n - 1))/(2)d。
- 示例：数列1,3,5,7,9·s是一个首项a_1=1，公差d = 2的等差数列。
2. 等比数列。
- 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）。
- 通项公式：a_n=a_1q^n - 1。
- 求和公式：当q≠1时，S_n=frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}；当q = 1时，S_n=na_1。
- 示例：数列2,4,8,16,32·s是一个首项a_1=2，公比q = 2的等比数列。
3. 和数列。
- 定义：通过相邻项相加得到下一项的数列。
- 类型：- 两项和数列：如1,2,3,5,8,13·s，其中a_n=a_n - 1+a_n - 2(n≥3)。
- 三项和数列：例如1,1,2,4,7,13,24·s，a_n=a_n - 1+a_n - 2+a_n - 3(n≥4)。
4. 积数列。
- 定义：通过相邻项相乘得到下一项的数列。
- 类型：- 两项积数列：如2,3,6,18,108·s，其中a_n=a_n - 1× a_n - 2(n≥3)。
- 三项积数列：例如1,2,3,6,36,648·s，a_n=a_n - 1× a_n - 2× a_n - 3(n≥4)。
5. 多次方数列。
- 类型：- 平方数列：1,4,9,16,25·s，通项公式为a_n=n^2。
(完整版)行测数量关系知识点汇总
行测常用数学公式一、工程问题工作量＝工作效率×工作时间；工作效率＝工作量÷工作时间；工作时间＝工作量÷工作效率；总工作量＝各分工作量之和；注：在解决实质问题时，常设总工作量为 1 或最小公倍数二、几何边端问题（ 1）方阵问题：1.实心方阵：方阵总人数＝（最外层每边人数）2=（外圈人数÷ 4+1）2=N2最外层人数＝（最外层每边人数－ 1）× 42.空心方阵：方阵总人数＝（最外层每边人数）2- （最外层每边人数 - 2×层数）2＝（最外层每边人数 - 层数）×层数× 4=中空方阵的人数。
★不论是方阵仍是长方阵：相邻两圈的人数都知足：外圈比内圈多8 人。
3.N 边行每边有 a 人，则一共有 N(a-1) 人。
4.实心长方阵：总人数 =M×N 外圈人数 =2M+2N-45.方阵：总人数 =N2N 排 N 列外圈人数 =4N-4例：有一个 3 层的中空方阵，最外层有 10 人，问全阵有多少人？解：（10 －3 ）×3 ×4 ＝84（人）(2)排队型：假定队伍有 N 人， A 排在第 M位；则其前方有（ M-1）人，后边有（ N-M）人(3) 爬楼型：从地面爬到第 N 层楼要爬（ N-1）楼，从第 N 层爬到第 M层要爬 M N 层。
三、植树问题线型棵数 =总长 / 间隔 +1环型棵数=总长/间隔楼间棵数=总长/间隔-1（1）单边线形植树：棵数＝总长间隔＋1；总长=（棵数-1）×间隔（2）单边环形植树：棵数＝总长间隔；总长=棵数×间隔（3）单边楼间植树：棵数＝总长间隔－1；总长=（棵数+1）×间隔（4）双边植树：相应单边植树问题所需棵数的 2 倍。
N（5）剪绳问题：对折 N次，从中剪 M刀，则被剪成了（ 2×M＋1）段四、行程问题⑴ 行程＝速度×时间；均匀速度＝总行程÷总时间均匀速度型：均匀速度＝2v1v2v1 v2（2）相遇追及型：相遇问题：相遇距离 =（大速度 +小速度）×相遇时间追及问题：追击距离 =（大速度—小速度）×追实时间背叛问题：背叛距离 =（大速度 +小速度）×背叛时间（3）流水行船型：顺流速度＝船速＋水速；逆水速度＝船速－水速。
行测知识点数量关系汇总【精编】.pdf
数量关系一、数量思维1.选项关联：不是填空题注意观察选项之间的倍数关系。
2.代入排除：应用范围：多位数范围、不定方程问题、同余问题、年龄问题、周期问题、复杂行程问题和差倍比问题,优先代入整数选项。
3.整除思想：必须将题目式子转化成 A ＝B ×C 两两相乘的形式整除判定法则：①拆分法517＝470＋47；②因式分解 6＝2×3 ；③常用的 2、3、5、7、11和13 整除判定法则。
4.特值思想：数字特值：题目没具体数字，只有相互比例关系等，常用于计算题、浓度问题、工程问题或行程问题。
数字特值计算题优先考虑-1，0，1，工程与行程等问题优先考虑最小公倍。
图形特值：比如特殊的长方形——正方形。
5.奇偶特性：题目中出现平均、总和、差，尤其是不定方程的时候 奇偶判定：①加减运算：同奇同偶比得偶，一奇一偶只能奇；②乘除运算：一偶就是偶，双奇才是奇。
二、基础代数公式和方法1.基础代数公式：完全平方：（a ±b)2＝a 2±2ab ＋b 2平方差： a 2－b 2＝（a ＋b ）×（a －b ） 完全立方：（a ±b)3＝a 3±3a 2b ＋3ab 2±b3立方和差： a 3±b 3＝（a ±b)(a 2ab ＋b 2)阶乘： a m×a n＝am ＋na m ÷a n ＝a m －n (a m )n ＝a mn (ab)n ＝a n ×b n2.常用方法：公式法（记住常用的公式） 因子法（整除特性结合）放缩法（用于判定计算的整数部分）n1-n 32＝1n!）（⨯⋯⨯⨯⨯构造法 特值法三、等差数列1.n 为项数，a 1为首项，a n 为末项，d 为公差，s n 为等差数列前n 项的和 通项公式：a n ＝a 1＋（n －1）d求和公式：s n ＝ ＝na 1+ n(n-1)d项数公式：n ＝ ＋1等差中项：2A ＝a ＋b （若a 、A 、b 成等差数列） 2.若m+n ＝k+i ，则：a m +a n ＝a k +a i3.前n 个奇数：1，3，5，7，9，…（2n —1）之和为n 2四、等比数列1.n 为项数，a 1为首项，a n 为末项，q 为公比，s n 为等差数列前n 项的和 通项公式：a n ＝a 1qn －1求和公式：s n ＝ （q ≠1）等比公式：G 2＝ab （若a 、G 、b 成等比数列）2.若m+n ＝p+q ，则：a m ×a n ＝a p ×a q3.a m -a n ＝(m-n)d ＝q(m-n)五、周期问题一周7天，5个工作日。
数量关系知识点总结行测知识点总结
数量关系知识点总结行测知识点总结数量关系知识点总结一，能被3,9整除的数的数字特性① 判断3/9的倍数的方法是“划” ② “A是B的2倍（一半）”则“A+B”是3的倍数③ 3/9的倍数加减乘3/9的倍数结果还是3/9的倍数④ “A+X”是3/9的倍数，则A的各个数字之和加X也是3/9的倍数⑤ 求几个数之和除以3/9余几，用“划”的方法⑥ 一个除以3余2的数加上一个除以3余1 的数和能被3整除一个除以3余2的数减去一个除以3余2 的数差能被3整除⑦ 三个连续自然数之和是3的倍数能被11整除的数，这个数奇数位的和与偶数位的和之差是11的倍数二，倍数关系如果a：b=m：n（m，n互质）a是m的倍数如果ab=mn（m，n互质）b是n的倍数如果a=bmn（m，n互质）a 土b是m土n的倍数aXb是mxn的倍数注：①题目中出现“比例，分数，倍数”等形式优先考虑倍数关系②2是质数中唯一的偶数，题干中出现质数优先考虑2的特殊性三，直接带入法1. 求某数最大或最小，一般猜选项中的第二大或第二小2. 求操作次数时，一般猜选项中的最大或最小选项罗列一般用直接代入四，工程问题工作总量=工作效率X工作时间如果问题问的是总量，一般设工作总量为X 如果问题问的不是总量，一般设工作总量为某些数（速度，时间，效率，分母）的最小公倍数工作总量=人数X时间（默认每个人的效率为1）总量一定，效率与时间成反比五，行程问题1. 等时间平均速度公式:V=V1+V2+V3+………Vnn 路程=速度X时间2. 等距离平均速度公式：1V=1n(1v1+1v2+1v3+………1vn) 平均速度=总路程总时间注：等时间平均速度大于等于等距离平均速度（当v1=v2=vn 时取等号）迎面相遇时间=相距路程速度和追击相遇时间=相距路程速度差V顺=V船+V水V船=V顺+V逆2 V逆=V船﹣V水V水=V顺﹣V逆2 火车完全在桥上的时间=（桥长﹣车长）÷速度火车从开始上桥到完全过桥的时间=（桥长+车长）÷速度六，容斥问题标志：出现“既……..又…………，两者，三者都………，或都不……….” 条件1+条件2+两者都不满足=总数+两者都满足当问题中求只满足某个条件个数时用画图加减（两集合，三集合皆可）条件1+条件2+条件3+三者都不满足=总数+只满足两者+2倍三者都满足条件1+条件2+条件3+三者都不满足=总数+满足两者﹣三者都满足（三个条件两两组合时用第二个公式）三集合七，年龄问题主要特点：时间变化年龄相应变化，但年龄差始终不变，倍数关系在变小。
国考行测数量关系知识点汇总
国考行测数量关系知识点汇总一不要轻言放弃在公务员考试中行测卷是必不可少的测查卷之一，甚至现在很多的国有企业以及知名企业在招人时也会经常用行测卷来考试测查删选人才。
但是行测卷题量大时间短，大多数考生都来不及做完，尤其数量关系被公认为难度最大的一块，很多考生都是直接放弃的。
虽然这部分题难度有点大，但是全部放弃显然是不明智的，正确率会很低很低，这样成功上岸的难度系数就会加大。
所以对于数量关系这个专项，我们建议从中挑选几道题目来做，再结合一些做题技巧和方法，这样其实也能很快的找到正确选项，大大提升正确率。
1. 利用整除性来判定结果例1. 农民张三为专心养鸡，将自己养的猪交于李四合养，已知张三、李四共养猪260头，其中张三养的猪有13%是黑毛猪，李四养的猪有12.5%是黑毛猪，问李四养了多少头非黑毛猪?A. 125B. 130C. 140D. 150【解析】问李四养了多少非黑毛猪的数量，已知题干给的信息条件李四养了12.5%的黑毛猪，可知李四养的非黑毛猪为87.5%即7/8,那么非黑毛猪的数量为7的整数倍，即能被7整除，所以结合选项选C。
2. 利用奇偶性判定结果例2. 小刚和小木同学进行篮球投篮比赛，规定每局赢球方得2分，输球方得1分，两人打平局时都不得分。
半天下来两人共进行了50局比赛，小木共得70分。
问小木这次投篮比赛中，赢球的局数与输球和平局局数之和相差多少?A. 9B. 10C. 11D. 13【解析】问小木赢球的局数与输球和平局局数之和相差多少，结合材料可以知道小木总共比赛50场，所以赢得场数+输的场数与平局场数和=50,50即为偶数，根据两数之和与两数之差同奇偶性，所以赢得场数-输的场数与平局场数和=偶数，结合选项，正确答案为B。
3.结合选项差距找答案例3. 某工厂去年有车工和钳工共830人，今年车工人数比去年减少6%，钳工人数比去年增加5%，车工和钳工的总数比去年多了3人。
那么今年该工厂有()名车工。
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行测数量关系知识点总结作者:日期:(4)工作效率=工作量一工作时间; 总工作量=各分工作量之和； 设总工作量为1或最小公倍数★无论是方阵还是长方阵：相邻两圈的人数都满足：外圈比内圈多 则一共有N （a-1）人。
=MK N 外圈人数=2M+2N-4N 排N 列外圈人数=4N-4例：有一个3层的中空方阵，最外层有10人，问全阵有多少人？⑵ 排队型：假设队伍有N 人，A 排在第M 位；则其前面有（M-1）（3）爬楼型：从地面爬到第N 层楼要爬（N-1 ）楼，从第N 层爬到第M 层要爬M N 层。
三、植树问题四、行程问题相遇追及型：相遇问题：相遇距离=（大速度+小速度） 追及问题：追击距离=（大速度一小速度） 背离问题：背离距离=（大速度+小速度） 流水行船型：顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速-水速。
顺流行程=顺流速度X 顺流时间=（船速+水速）X 顺流时间 逆流行程=逆流速度X逆流时间=（船速一水速）X 逆流时间 火车过桥型：行测常用数学公式、工程冋题工作量=工作效率X 工作时间; 工作时间=工作量一工作效率; 注：在解决实际问题时，常 二、几何边端问 题（1）方阵问题： 1. 实心方阵：方阵总人数= 最外层人数= 2.空心方阵：方阵总人数=2=（外圈人数* 4+1） 2=甘（最外层每边人数）（最外层每边人数—1）X 4（最外层每边人数） =（最外层每边人数-层数）X 层数X 4二中空方阵的人数。
2-（最外层每边人数-2X 层数）2 8人。
3. N 边行每边有a 人,4. 实心长方阵：总人数5. 方阵：总人数=N 解：（10 — 3） X3 X4 = 84（人） 人，后面有（N-M 人 线型棵数=总长/间隔+1单边线形植树： 单边环形植树： 单边楼间植树： (1) (2) (3)(4) (5)环型棵数=总长/间隔 棵数=总长间隔+ 1; 棵数=总长间隔； 棵数=总长间隔一 1; 楼间棵数=总长/间隔-1总长=（棵数-1 ） X 间隔 总长=棵数X 、可隔 总长=（棵数+1） X 间隔2倍。
双边植树：相应单边植树问题所需棵数的 剪绳问题：对折N 次，从中剪M 刀，则被剪成了 （ 2NX M + 1）段 ⑴路程=速度X 时间;平均速度=总路程*总时间平均速度型：平均速度=2v 1v 2V 1 V 2X 相遇时间 X 追及时间 X 背离时间(2)列车在桥上的时间=（桥长一车长）一列车速度列车从开始上桥到完全下桥所用的时间=（桥长+车长）十列车速度 列车速度=（桥长+车长）宁过桥时间环形运动型：反向运动：环形周长=（大速度+小速度）X 相遇时间 同向运动：环形周长=（大速度一小速度）对目遇时间扶梯上下型：扶梯总长=人走的阶数X （ 1巴梯）,（顺行用加、逆行用减）U 人顺行：速度之和X 时间=扶梯总长 逆行：速度之差X 时间=扶梯总长流所需时间） 五、溶液问题 ⑴ 溶液二溶质+溶剂浓度=溶质-溶液溶质二溶液X 浓度溶液=溶质-浓度⑵浓度分别为a%、b%的溶液，质量分别为 M 、N ，交换质量L 后浓度都变成C%，则⑶混合稀释型页共16页(8) 队伍行进型：对头 队尾 典型行程模型：队尾：队伍长度 对头：队伍长度=（U 人+U 队）X 寸间 =（U 人一U 队）X 寸I 、可等距离平均速度：2u 1u 2 U ------U i U 2（U 1、U 2分别代表往、返速度）等发车前后过车：核心公式：T2t i t 2 t l t 2U 车 t 2 t i U 人 t 2 t i等间距同向反向：U i U 2 J 同 t 反 U i U 2不间歇多次相遇：单岸型：S两岸型：S 3S , S 2（S 表示两岸距离）无动力顺水漂流：2t 逆t 顺漂流所需时间=厂 t【（其中t 顺和t 逆分别代表船顺溜所需时间和逆+茁gffl®加入比例肯a 的溶剤，在倒出相同的溶液, 则浓度浓茎①3液倒出比例为a a 潛痢 再加入相同的溶际 则浓廛妁〔1十小厲衣勲衣度本金=本利和*（ 1+利率X 时期）。
本利和=本金+利息=本金X （ 1+利率X 时期）二本金（1利率）期限 月利率二年利率一12;月利率X 12=年利率。
例：某人存款2400元，存期3年，月利率为10 . 2%0（即月利1分零2毫），三年到期后，本 利和共是多少元？”2400 X(1+10 . 2 %X36) =2400 X1 . 3672 =3281 . 28 (元) 七、年龄问题 关键是年龄差不变；①几年后年龄=大小年龄差*倍数差-小年龄②几年前年龄=小年龄-大小年龄差宁倍数差A B I⑶三集和整体重复型：假设满足三个条件的元素分别为 ABC 而至少满足三个条件之一的元素的总量为W 其中：满足一个条件的元素数量为X ,满足两个条件的元素数量为y ,满足三个条件 的元素数量为Z ，可以得以下等式：①W=x+y+z ②A+B+C=x+2y+3z⑷三集和图标标数型：禾I 」用图形配合，标数解答① 特别注意“满足条件”和“不满足条件”的区别 ② 特别注意有没有“三个条件都不满足”的情形 ③ 标数时，注意由中间向外标记核心公式：y=（N —x ）T原有草量=（牛数-每天长草量）X 天数，其中：一般设每天长草量为X注意：如果草场面积有区别，如“ M 头牛吃W 亩草时”，N 用M代入，此时N 代表单位面积上W的牛数。
等溶质增减溶质核心公式: 「2空 「1 「3（其中r 1、r 2、r 3分别代表连续变化的浓度）六、利润问题(1) 利润=销售价（卖出价）—成本;.利润.销售价-成本.销售价- 1； 禾率成本 成本 成本 ；成本(2) 销售价=成本X （ 1+利润率）；成本=销售价。
1 +利润率满足条件 ⑴两集合标准型： 都不满足的个数 ⑵三集合标准型：满足条件A 的个数+满足条件A+B+C- A 的个数+满足条件B 的个数一两者都满足的个数=总个数一两者（AB+BC+AC ） +ABC=总个数-都不满足的个数，即B 的个数+满足条件C 的个数-三者都不满足的情况数 利息=本金X 利率X 时期; A B C =A ABC十、指数增长如果有一个量，每个周期后变为原来的 期前应该是当时的1A核心公式：a -^生a1 a2核心口诀：“余同取余、和同加和、差同减差、公倍数做周期” 注意：n的取值范围为整数，既可以是负值，也可以取零值。
闰年（被4整除）的2月有29日，平年（不能被4整除）的2月有28日，记口诀：一年就 是1，润日再加1； 一月就是，多少再补算。
★星期推断：一年加1天；闰年再加1天。
注意：星期每7天一循环；“隔N 天”指的是“每（N+1）天”。
（1）一元二次方程求根公式：ax 2+bx+c=a （x-x 1）（x-x 2）A 倍，那么N 个周期后就是最开始的A N倍，一个周调和平均数公式:a 一 a 1 2a i a ?a 2等价钱平均价格核心公式:2p i P 2（P 1、P 2分别代表之前两种东西的价格 ）等溶质增减溶质核心公式:p1 p22r 1r 3（其中r i 、r 2、r 3分别代表连续变化的浓度）其中：X1= b J b2 4ac；X2= b J b24ac(b2-4ac 0)2a 2a根与系数的关系：X1+X2=- b，X1 -aa b)2 abcX2=-aa2 b2 2abC)3 abc(3) a2 b2 c2 3abc 33J abc推广：为x2 x3n n JX1x2...X n一阶导为零法：连续可导函数，在其内部取得最大值或最小值时,...X n其导数为零。
两项分母列项公式:-^=(1 —丄)史m(m a) m ma a三项分母裂项公式:m(m- ------ =[a)(m 2a) m(m a)(m a)(m 2a)]l a(1) 排列公式：P：= n (n -1) (n —2)-・・(n-1), (mC n)o组合公式：c m=P： -P：错位排列(装错信封)问题:N人排成一圈有A NN/N种;4 33 2 1D = 0，1，M 2，D4= 9，D5 = 44,N枚珍珠串成一串有A N/2种。
(规定C0= 1) o C5 5D6 = 265,十七、等差数列(1) S n =n (a1an)= na1+1 n(n-1)d ；(2) &= 4+(n- 1) d；(3)项数n = an a1 + 12 2 d(4)若a,A,b成等差数列，贝2A= a+b； (6)前n个奇数：为末项，d为公差，十八、等比数列(5) 若m+n=k+i,贝U： a n+a n=a k+a i ；1, 3, 5, 7, 9, — ( 2n—1)之和为n2(其中：n为项数，a1为首项，a nS n为等差数列前n项的和)(1) n—1a n = a1q(2) S n 二 1 (q1 q1) (3)若a,G,b成等比数列，贝U：ab；(6)若m+n=k+i, 贝U： a m - a n=a k -a i ；(5) a m-a n=(m-n)da m(m-n) —=qa n (其中：n为项数，a1为首项, a n为末项，q为公比，S n为等比数列前n项的和)十九、典型数列前N项和4.24.34.7★1既不是质数也不是合数 1.200以内质数 2 3 57常用“非唯一”变换0N(N 0)①数字0的变换: 0 173 179 181 191 193 197199101 103 109 ②数字1的变换: a 0 1N(1)2N(a 0) ③特殊数字变换:416 242 64 26 43 82 81 34 92 256 28 4162④个位幕次数字:512 29 83729 93 272 36 1024 210 453224 22 418 23819 32911.勾股定理：a 其中:、为直角边，为斜边2. 面积公式:3. 表面积:4 R 2 4. 体积公式对多少页出现多少1或2的公式如果是X 千里找几，公式是 1000+X00*3如果是X 百里找几，就是0就*多少。
依次类推！请注意，要找的数一定要小于 X ，如果大于X 就不要加1000或者100 一类的了，比如，7000页中有多少 3 就是 1000+700*3=3100（个） 是 2000*4=8000 （个）友情提示，如3000页中有多少3,就是300*3+1=901，请不要把3000的3忘了 二十二、青蛙跳井问题 例如：①青蛙从井底向上爬，井深10米，青蛙每跳上5米，又滑下4米，这样青蛙需跳几次 方可出井？ ②单杠上挂着一条4米长的爬绳，小赵每次向上爬1米又滑下半米来，问小赵几次才能爬上 单杠？ 总解题方法：完成任务的次数二井深或绳长 成半米） 例如第二题中，每次下滑半米，要将前面的 4米转换成8个半米再计算。