第四章 符号数学基础
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信息安全数学基础(第四章)
4.2 模为奇素数的平方剩余与平方非剩余
一、奇素数模 p 的平方(非)剩余判别条件
定理4.2.1 (欧拉判别条件) p是奇素数，若(a, p)1, 则
p1
(i) a是模p的平方剩余a 2 1 (modp);
p1
(ii)a是模p的平方非剩余a 2 1 (modp);
且若a是模p的平方剩余,则同余式
x2 a (modp), (a,p)1
ax2
bxc 0
（mod
p1 1
)
有解.
ax2
bxc 0
（mod
pk k
)
因 此 只 需 讨 论 素 数 模 p 的 同 余 式 :
a x 2 b x c0(m o dp ), a 0(m o dp )(2 )
将 同 余 式 (2)两 端 同 乘 以 4a,得 4a2x24abx4ac0(m odp)
41一般二次同余式42模为奇数的平方剩余与平方非剩余43勒让得符号44二次互反律的证明45雅可比符号46模p平方根
4.1 一般二次同余式
二 次 同 余 式 的 一 般 形 式 是 a x 2 b x c0(m o d m )， a 0(m o d m )(1 )
设m=
p1 1
p2 2
pk k
,
则(1)有解
练习：在与模31互素的剩余中，指出平方剩余。 求 出 1 9 ， 2 3 的 平 方 剩 余 和 平 方 非 剩 余 。
提 示 ： p 为 奇 素 数 ， 应 用 定 理 4 . 2 . 2 的 结 论 .
4.3 勒让得符号
定义4.3.1
设p是素数,勒让得符号
ap定义如下:
1, 若a是模p 的平方剩余;
小学一年级课堂教案：认识基础数学符号
小学一年级课堂教案：认识基础数学符号一、引言在小学一年级的数学课堂中，认识基础数学符号是孩子们学习数字和算术运算的重要一步。
通过教授基础数学符号的认知，不仅可以帮助孩子们建立对数学概念和思维方式的初步了解，还可以为他们将来更深入地掌握数学知识打下坚实的基础。
二、认识基础数学符号1. 数字在数学中，数字是最基本的表示数量的符号。
小学一年级主要教授0-9这十个阿拉伯数字，并逐渐引入计量单位。
2. 加减法符号加法是指将两个或多个数字进行合并，得到总数。
而减法则是指从一个较大的数字中减去一个较小的数字，得到差。
在小学一年级，引导孩子们掌握"+"和"-"这两个简单且常用的运算符号。
3. 等于号等于号（=）用来表示两个物体或数量相等。
例如：2 + 3 = 5 表示2加3等于5。
4. 大于、小于和等于大于（>）、小于（<）和等于（=）是比较大小时使用的符号。
教师可以借助实际物体或图形，让孩子们通过比较数量或大小来理解这些符号的含义。
5. 数组符号数组是一种有序排列的数字。
教师可以用圆圈、点、笔画等方式来表示不同的数组。
通过观察和分析数组，孩子们可以学会数数和排序。
6. 乘法符号乘法是将两个相等的数字加在一起，得到一个更大的数字。
小学一年级通常只介绍乘法表中的两倍数（2,4,6,8等），并借助图形和实物进行实际应用。
7. 除法符号除法是将一个较大的数字平均分成若干份，每份大小相等。
通过介绍分母和分子的概念，教师可以引导学生理解除法运算。
例如：4 ÷ 2 = 2 表示将4平均分成2份，每份为2。
三、教学方法与策略1. 目标明确在教学开始前，明确本节课要学习哪些基础数学符号，并告知孩子们这些符号在日常生活中的应用。
2. 游戏化教学针对小学一年级孩子们好奇、喜爱游戏的特点，可以设计一些趣味游戏，让他们通过玩耍中体验符号的意义和运用。
3. 视觉辅助适当使用图片、图表、数轴等视觉辅助工具，可以帮助孩子们更好地理解符号的含义和应用。
第4章 符号数学基础0.2
a = 5.3777 sa = pi+sqrt(5) Ca = double Csa =sym ans = .138223758410852e-16
第4章 符号计算
4.1 符号对象和符号表达式
4.1.1符号对象的创建和衍生
3 符号参数： 在经典的教科书里，常把表达式sinaxcosbx中的a,b称为 参数，它们可在某范围取确定值，但事先并不知道具体的 数值。MATLAB在其符号计算中也把符号参数作为构造符 号表达式和参与符号运算的一个基本组成元素。
第4章 符号计算
4.1 符号对象和符号表达式 4.1.3 符号计算中的函数指令 在matlab中，用于符号计算的函数很多，分成三个层次： 第一层次:几乎与所有数值类函数和指令对应的“同名符号类 函数和指令”； 第二层次：约50个经典特殊函数（如误差函数、贝塞尔函数等） 它们要借助mfun调用，在matlab数值计算中没有对 应的函数可供调用。 第三层次：数量很大的Maple库函数，它们借助maple调用。
第4章 符号计算
4.1 符号对象和符号表达式 4.1.1符号对象的创建和衍生 4 符号变量 • findsym(EXPR) 符号变量 %确认表达式EXPR中所有自由
说明： • EXPR可以是符号矩阵，此时，该指令对自由变量的确认是 对整个矩阵进行的，而不是对矩阵元素逐个进行的。 • 在MATLAB符号计算中，x是首选的符号变量，其后的次序 排列规则是：与x的ASC码值绝对值小的字母优先，差绝 对值相同时，ASC码值大的字母优先。 • 自动识别符号变量时，字母的优先次序为x,y,w,z,v等
Matlab 与计算方法
华侨大学计算机学院 张国亮 2010.10
第4章 符号计算
什么是符号计算？
数学的基础-----数学符号
数学符号
公元十五世纪，德国数学家魏德曼首创“＋”加号、“－”减号．他把一条横线与一条竖线合在一起来表示合并（增加）的意思，而从加号中去掉－竖就表示拿去（减少）的意思．十八世纪，美国数学家欧德莱最先使用“×”．因为乘法是一种特殊的加法，欧德莱就把加号斜着写以表示相乘．十八世纪，瑞士人哈纳首创除号“÷”．他用一条横线把两个圆点分开，表示分解的意思．十六世纪，英国医生罗伯特·雷科达首先倡议用“＝”表示相等．十七世纪，微积分的创始人莱布尼兹首先使用乘号“·”、比号“∶”．十六世纪，代数学的创始人之一魏治德首创中括号“〔〕”、大括号“｛｝”，并用于数的计算中．。
4-1 狄拉克符号
，
F
根据内积的性质
x
Fy x Fx x Fy x ,
aFx x aFx x
(13)
Fx x Fy x x, x y, x x y, x Fx y x
将(19)式定义的泛函记为 Fx ，并将所有 Fx 的集合记为 B X
。根据 Riesz 定理，
B X
包括了希尔伯特空间上所有的连续线性泛函，按照(2)式定义的加法和数乘成为
X 的对偶空间，记为 X ，即
X Fx x X
按照加法和数乘的定义(2)， x X ， (20)
4-1 狄拉克符号
~6~
线性子空间， 但 C a, b 根据由内积导出的度量不完备， 因此不是希尔伯特空间。 将 L2 a, b 中的泛函的定义域限制在 C a, b 上，确实可以得到新的泛函。比如，考虑如下分段函数
i 1
n
(12)
n
这是一个将
n
的映射，由内积的性质 Fx x 可知它是
上的线性泛函。将所有这样
n
的线性泛函的集合记为 B
n
。同样，我们很快会知道，B
n
包含了
n
n
上所
有的连续线性泛函。因此， B
按照(2)式定义的加法和数乘成为
n
的对偶空间。
按照加法和数乘的定义(2)， x
(17)
n
或写为 T x Fx 。与 线性的
的情况不同，根据(16)式可知这个映射不是线性的，而是复共轭
T ax by Faxby a Fx b Fy
matlab 第4章 符号数学基础
HYIT
Байду номын сангаас31
例4-9：对下列方程（即隐函数）求导
cos( x + sin y) = sin y
clear syms x g=sym('cos(x+sin(y(x)))=sin(y(x))'); dgdx=diff(g,x) dgdx = -sin(x+sin(y(x)))*(1+cos(y(x))*diff(y(x),x)) = cos(y(x))*diff(y(x),x)
x + 2x − 3
2
a=[1 2 -3]; r=roots(a)
ax + bx + c
2
r = -3.0000 1.0000
syms a b c x s=a*x^2+b*x+c; r = r=solve(s) 1/2/a*(-b+(b^21/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^(1/2)) 1/2/a*(- (b^21/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^(1/2)) 4
HYIT
16
4.2 符号表达式的化简和替换
HYIT
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4.2.1 符号表达式的化简
因式分解：函数为：factor,调用格式： factor(S), 在这里可以使用函数pretty将符 号表达式按照书写的习惯方式显示。 如果S 的所有元素为整数，则计算其最佳因数分解 符号表达式的展开： 函数为：expand(S) 符号表达式的同类项合并： 函数为：collect(S,n) 将符号表达式S中自变量n的同次幂系数合并
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20
例4-4:简化 syms x; f=(1/x^3+6/x^2+12/x+8)^(1/3); [g1,how]=simple(f) [g2,how]=simple(g1)
第四章 符号数学基础1
【例14】对表达式f=x/y +y/x进行通分。
syms x y f=x/y+y/x;
[n,d]=numden(f)
符号数学基础
6.嵌套
将符号多项式s用嵌套形式表示，即用多层括号的形式 表示。Horner函数可以实现此功能。该函数的格式为：
horner(s) 【例15】将表达式x^3-6*x^2+11*x-6用嵌套形式表示。 syms x horner(x^3-6*x^2+11*x-6) ans = -6+(11+(-6+x)*x)*x
factor(sym('12345678901234567890'))
符号数学基础
2.符号表达式的展开
expand函数的功能为：展开符号表达式 调用格式为：expand(S) 【例12】展开表达式f=(x+1)^5和 f=sin(x+y)。 syms x y f=(x+1)^5;
expand(f)
符号数学基础
例如，数学表达式 f=xn g=sin(at+b) 根据数学式中表示自变量的习惯，默认a,b,c为 符号常数，x为符号变量。 若在MATLAB中表示上述表达式，首先用 syms 函数定义a，b，n，t，x为符号对象。在进 行导数运算时，由于没有指定符号变量，则系统 采用数学习惯来确定表达式中的自变量，默认 a,b,c为符号常数，x，t为符号变量。 即 ： 对函数f求导为：df/dx 对函数g求导为：dg/dt
collect：合并同类项
factor：因式分解
conbert：完成表达式形式的转换
符号数学基础
5.符号表达式的分式通分
也可称为提取分子和分母运算 如果符号表达式是一个有理分式或可以展开为 有理分式，可利用numden函数来提取符号表达 式中的分子或分母。其一般调用格式为： [n,d]=numden(s) 该函数提取符号表达式s的分子和分母，分别将 它们存放在n与d中。
syms x y f=x/y+y/x;
[n,d]=numden(f)
符号数学基础
6.嵌套
将符号多项式s用嵌套形式表示，即用多层括号的形式 表示。Horner函数可以实现此功能。该函数的格式为：
horner(s) 【例15】将表达式x^3-6*x^2+11*x-6用嵌套形式表示。 syms x horner(x^3-6*x^2+11*x-6) ans = -6+(11+(-6+x)*x)*x
factor(sym('12345678901234567890'))
符号数学基础
2.符号表达式的展开
expand函数的功能为：展开符号表达式 调用格式为：expand(S) 【例12】展开表达式f=(x+1)^5和 f=sin(x+y)。 syms x y f=(x+1)^5;
expand(f)
符号数学基础
例如，数学表达式 f=xn g=sin(at+b) 根据数学式中表示自变量的习惯，默认a,b,c为 符号常数，x为符号变量。 若在MATLAB中表示上述表达式，首先用 syms 函数定义a，b，n，t，x为符号对象。在进 行导数运算时，由于没有指定符号变量，则系统 采用数学习惯来确定表达式中的自变量，默认 a,b,c为符号常数，x，t为符号变量。 即 ： 对函数f求导为：df/dx 对函数g求导为：dg/dt
collect：合并同类项
factor：因式分解
conbert：完成表达式形式的转换
符号数学基础
5.符号表达式的分式通分
也可称为提取分子和分母运算 如果符号表达式是一个有理分式或可以展开为 有理分式，可利用numden函数来提取符号表达 式中的分子或分母。其一般调用格式为： [n,d]=numden(s) 该函数提取符号表达式s的分子和分母，分别将 它们存放在n与d中。
七年级第四章第一节知识点
七年级第四章第一节知识点七年级数学的第四章第一节内容是关于代数基础知识的学习，主要包括代数符号、代数式、变量、系数、项与项数、项系数和多项式的概念，下面就来一一介绍。
一、代数符号
代数符号是有特定意义的字母，用于表示数，常见的代数符号有x, y, z等。
代数符号的作用在于将数值用字母替代，方便运算和推导。
二、代数式
代数式由数或代数符号以及运算符号组成，示例：3x+4y，x²-y²等。
代数式也可以简写为字母表示，比如x²-y²可以表示为(a-b)×(a+b),这样方便运算。
三、变量
变量是代数符号的一种，用字母表示。
变量的值表示可变的数，例如：当x=2时，3x+1=7；当x=4时，3x+1=13。
四、系数
系数是代数式中，变量的倍数也就是数字的值。
例如：代数式
3x中的系数为3。
五、项与项数
项是代数式中加号和减号分隔出来的式子，例如3x和4y都是
代数式3x+4y中的项。
项的数量就是代数式中加号和减号的个数。
六、项系数
项系数是指代数式中项前面的数字，它表示对应项的大小。
例如：在代数式3x+4y中，3是x的项系数，4是y的项系数。
七、多项式
多项式是由多个项按照一定顺序相加或相减得到的式子。
例如：3x²+2x-1就是一个三项式。
以上就是七年级第四章第一节代数基础知识点的介绍。
在学习
代数知识时需要理解这些基本概念，才能更好的掌握代数知识。
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（二）置换操作
子表达式置换操作 子表达式置换操作
符号计算结果显得烦冗的一个重要原因是： 符号计算结果显得烦冗的一个重要原因是：有些子表达式会多 次出现在不同地方。 次出现在不同地方。 – 为了使表达式简洁易读，MATLAB提供了如下指令： 为了使表达式简洁易读， 提供了如下指令： 提供了如下指令 [RS,ssub]=subexpr(S,ssub)
简短形式 – 注：EXPR可以是符号表达式或矩阵。在这种情况下， EXPR可以是符号表达式或矩阵 在这种情况下， 可以是符号表达式或矩阵。
这些指令将对该矩阵的元素逐个进行操作。 这些指令将对该矩阵的元素逐个进行操作。
例：简化 f =
3
1 6 12 + 2+ +8。 3 广西大学电气工程学院 x x x
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（四）符号表达式中默认符号变量 自由变量） （自由变量）的确定
为符号操作和计算的需要， 提供一个findsym指 为符号操作和计算的需要，MATLAB提供一个 提供一个 指 令，可实现对表达式中所有自由符号变量或指定数目的独 立自变量的自动认定。 立自变量的自动认定。 findsym(EXPR) 确认表达式EXPR中所有“自由”符号“变量” 中所有“ 确认表达式 中所有 自由”符号“变量” findsym(EXPR,N) 从表达式 从表达式EXPR中确认出靠 最近的 个独立自变量。 中确认出靠x最近的 个独立自变量。 中确认出靠 最近的N个独立自变量 注：
–
运用符号变量ssub置换子表达式，重写 为RS。 置换子表达式，重写S为 。 运用符号变量 置换子表达式
例：把复杂表达式中所含的多个相同子表达式用一个符号代替， 把复杂表达式中所含的多个相同子表达式用一个符号代替， 使表达简洁。 使表达简洁。 置换原则：只有比较长的子表达式才被置换； 置换原则：只有比较长的子表达式才被置换；至于比较短的子表 达式，即便多次重复出现，也不被置换。 达式，即便多次重复出现，也不被置换。
指数、 指数、对数函数
–
在数值、符号计算中，函数 在数值、符号计算中，函数sqrt、exp、expm的使用方法完全 、 、 的使用方法完全 相同。至于对数函数，符号计算中只有自然对数log（在一般教 相同。至于对数函数，符号计算中只有自然对数 （ 科书中用ln），而没有数值计算中的log2,log10。 科书中用 ），而没有数值计算中的 。 ），而没有数值计算中的 涉及复数的共轭conj、求实部real、求虚部 、求实部 和求模abs函 涉及复数的共轭 、求虚部imag和求模 和求模 函 在符号、数值计算中的使用方法相同。 注意， 数，在符号、数值计算中的使用方法相同。但注意，在符号计 算中， 没有提供求相角的指令。 算中，MATLAB没有提供求相角的指令。 没有提供求相角的指令 在符号计算中， 提供的常用矩阵代数指令有diag, 在符号计算中，MATLAB提供的常用矩阵代数指令有 提供的常用矩阵代数指令有 triu,tril,inv,det,rank,rref,null,colspace,poly,expm,eig,svd。 。 它们的用法几乎与数值计算中的情况完全一样，只有svd稍微 它们的用法几乎与数值计算中的情况完全一样，只有 稍微 不同。 不同。
把字符argv1,argv2,argvk定义为基本符号对象 把字符argv1,argv2,argvk定义为基本符号对象 argv1,argv2,argvk
syms argv1 argv2 argvk
上述格式的简洁形式
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例
例1：符号常数形成中的差异 ： =[1 ,pi/7,sqrt(5),pi+sqrt(5 a1=[1/3,pi/7,sqrt(5),pi+sqrt(5)] sym([ ,pi/7,sqrt(5),pi+sqrt(5)]) a2=sym([1/3,pi/7,sqrt(5),pi+sqrt(5)]) =sym(' ,pi/7,sqrt(5),pi+sqrt(5)]' a3=sym('[1/3,pi/7,sqrt(5),pi+sqrt(5)]') 例2：把字符表达式转换为符号变量 y=sym('2 y=sym('2*sin(x)*cos(x)') y=simple(y)
广西大学电气工程学院
复数函数
–
矩阵代数指令
–
Matlab程序设计 Matlab程序设计
（三）识别对象类别的指令
数值计算对象、符号计算对象、 数值计算对象、符号计算对象、字符串是 MATLAB中最常遇到的数据对象。它们遵循着 中最常遇到的数据对象。 中最常遇到的数据对象 各自不同的运算法则， 各自不同的运算法则，但有时在外形上却十分 相似。为管理和使用方便， 相似。为管理和使用方便，MATLAB提供了一 提供了一 些识别不同数据对象的指令， 些识别不同数据对象的指令，常用的有 class,isa,whos等。 等 数据对象及其识别指令的使用。 例：数据对象及其识别指令的使用。
a11 a12 例3：求矩阵A = 的行列式值、逆和特征根。 a 21 a 22 广西大学电气工程学院
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（二）符号计算中的算符和基本函数
基本运算符
– – –
算符“ 、 算符“+”、“-”、“ * ”、“ \ ”、“ / ”、“ ^ ”分 、 、 、 分 别实现矩阵的加、 左除、右除、求幂运算。 别实现矩阵的加、减、乘、左除、右除、求幂运算。 分别实现“ 算符 “.* ”、“.\ ”、“./ ”、“.^ ”分别实现“元素对 、 、 、 分别实现 元素”的数组乘、左除、右除、求幂运算。 元素”的数组乘、左除、右除、求幂运算。 算符“ 分别实现矩阵的共轭转置、 算符“ ’ ”、“ .’ ” 分别实现矩阵的共轭转置、非 共轭转置。 共轭转置。 算符“ 算符“ == ”、“ ~= ” 分别对算符两边的对象进行 、 相等” 不等”的比较。当事实为“ “相等”、“不等”的比较。当事实为“真”时，比 较结果用1表示 当事实为“ 表示； 较结果用 表示；当事实为“假”时，比较结果则用 广西大学电气工程学院 0表示。 表示。 表示
关系运算符
–
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三角函数、 三角函数、双曲函数及它们的反函数
–
仅能用于数值计算外， ）、双 除atan2仅能用于数值计算外，其余的三角函数（如sin）、双 仅能用于数值计算外 其余的三角函数（ ）、 曲函数（ ），无论在 曲函数（如cosh）及它们的反函数（如asin,acosh），无论在 ）及它们的反函数（ ）， 数值计算还是符号计算中，它们的使用方法相同。 数值计算还是符号计算中，它们的使用方法相同。
通用置换指令
RES=subs(ES,old,new) RES=subs(ES,old,new) subs RES=subs(ES, RES=subs(ES, new) subs
用new置换ES中的old后产生RES new置换ES中的old后产生RES 置换ES中的old后产生 用new置换ES中的自由变量后产生RES new置换ES中的自由变量后产生RES 置换ES中的自由变量后产生 广西大学电气工程学院
–
–
EXPR可以是符号矩阵。此时，该指令对自由变量的确认是对整 可以是符号矩阵。此时， 可以是符号矩阵 个矩阵进行的，而不是对矩阵元素逐个进行的。 个矩阵进行的，而不是对矩阵元素逐个进行的。 按照自然科学中的习惯， 表达式中N 按照自然科学中的习惯，findsym(EXPR,N)把EXPR表达式中 把 表达式中 个最靠近x的自由符号变量确认为 独立自由变量” 的自由符号变量确认为“ 个最靠近 的自由符号变量确认为“独立自由变量”。注意字母的 大小写。在此认为大写字母离小写x的距离总大于所有小写字母离 大小写。在此认为大写字母离小写 的距离总大于所有小写字母离 x的距离。 的距离。 的距离 广西大学电气工程学院
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定义基本符号对象的指令
定义基本符号对象的指令有两个： 定义基本符号对象的指令有两个：sym,syms. 它们的常用使用格式如下： 它们的常用使用格式如下：
f=sym(arg) f=sym(argn,flagn)
把数字、字符串或表达式arg转换为符号对象f 把数字、字符串或表达式arg转换为符号对象f arg转换为符号对象 把数值或数值表达式argn转换为flagn格式的符号对象 把数值或数值表达式argn转换为flagn格式的符号对象 argn转换为flagn
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二、符号对象的操作和转换
（一）符号表达式的操作
– 符号运算中有许多操作指令，如collect（合并同类 符号运算中有许多操作指令， collect（
项）、expand（对指定项展开）、factor（进行因式 ）、expand（对指定项展开）、factor（ expand ）、factor 或因子分解）、horner（转换成嵌套形式）、 ）、horner ）、numden 或因子分解）、horner（转换成嵌套形式）、numden 提取公因式）、simplify（恒等式简化）、 ）、simplify ）、pretty （提取公因式）、simplify（恒等式简化）、pretty 习惯方式显示） （习惯方式显示）等，其中最常用的是 运用包括simplify在内的各种指令把EXPR simplify在内的各种指令把EXPR转换成最 simple(EXPR) 运用包括simplify在内的各种指令把EXPR转换成最
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