14.2.2 第1课时 完全平方公式.pptx
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完全平方公式ppt课件
观察运算结果中 的每一项，说说 它们的共同特点
右边第一项是左边第一项的平方，右边 最后一项是左边第二项的平方，中间一 项是它们两个乘积的2倍．
左边如果为“+”号，右边全是“+”号，左 边如果为“-”号，它们两个乘积的2•倍就为 “-”号，其余都为“+”号．
请类比上面几个运算，计算下列式子：
.(a+b)2=2+2ab+b (a-b)2=a2+2ab+b2
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和， 加上(或减去)它们的积的2倍．这两个公式叫做完全平 方公式. 口诀：首平方，尾平方，2倍乘积在中央.
例：(2) (x-3y)2 解： (x-3y)2=x2-2•x •3y+(3y)2
(a - b)2= a2 - 2ab + b2 =x2 -6xy +9y2
(3＋b)2－(2a－
4.已知A＝2x＋3y，B＝2x－3y，计算A2－B2.
5.已知x＋y＝7，xy＝2，求下列各式的值： (1)x2＋y2； (2)2(x－y)2.
14.2.2 完全平方公式
课时一
探究 (1) (x+3)2 = (x+3)(x+3) =x2+6x+9 (2) (m+1)2 =(m+1)(m+1)=m2+2m+1 (3) (p-2)2 = (p-2)(p-2) =p2 -4p+4 (4) (m-2)2 = (m-2)(m-2) =m2-4m+4
练习1.下面各式的计算错在哪里？应当怎样改正？
例2.运用完全平方公式计算：
练习3.利用所学乘法公式计算：
(1)992
(2)101×99
右边第一项是左边第一项的平方，右边 最后一项是左边第二项的平方，中间一 项是它们两个乘积的2倍．
左边如果为“+”号，右边全是“+”号，左 边如果为“-”号，它们两个乘积的2•倍就为 “-”号，其余都为“+”号．
请类比上面几个运算，计算下列式子：
.(a+b)2=2+2ab+b (a-b)2=a2+2ab+b2
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和， 加上(或减去)它们的积的2倍．这两个公式叫做完全平 方公式. 口诀：首平方，尾平方，2倍乘积在中央.
例：(2) (x-3y)2 解： (x-3y)2=x2-2•x •3y+(3y)2
(a - b)2= a2 - 2ab + b2 =x2 -6xy +9y2
(3＋b)2－(2a－
4.已知A＝2x＋3y，B＝2x－3y，计算A2－B2.
5.已知x＋y＝7，xy＝2，求下列各式的值： (1)x2＋y2； (2)2(x－y)2.
14.2.2 完全平方公式
课时一
探究 (1) (x+3)2 = (x+3)(x+3) =x2+6x+9 (2) (m+1)2 =(m+1)(m+1)=m2+2m+1 (3) (p-2)2 = (p-2)(p-2) =p2 -4p+4 (4) (m-2)2 = (m-2)(m-2) =m2-4m+4
练习1.下面各式的计算错在哪里？应当怎样改正？
例2.运用完全平方公式计算：
练习3.利用所学乘法公式计算：
(1)992
(2)101×99
14.2.2完全平方公式(第一课时)
: “练”公式，学以致用
随堂练习：我自信 我成功
1. (4m+ n ) 2
2. (-4m - n )23.(源自2a+-1
2
)
2
4. (2a - 0.5)2
(1) (a+b)2与(-a-b)2相等吗? (2) (a-b)2与(b-a)2相等吗?
利用完全平方公式计算
(1) 1022
(2)992
中考链接
( 1 ) （ 3 x + 2 y ) 2 = 99x22 + 1 2 x y + 4 y 2 ( 2 ) ( 5 m - 4 n ) 2 = 2 5 m 2 - 4 0 m n ++1166nn22 (3) (4a+3b) 2=16a2 ++2244aabb +9b2 ( 4 ) ( 2 x - 8 y ) 2 = 4 x 2 --3322xxyy + 6 4 y 2
判断正误
判断下列各题是否正确，若错误加以改正：
(1) (2a+1)2＝4a2 +1+4a 千万不要漏项哦！
(2) (2a−1)2＝（2a）2−4a+1 此时记得加括号
（3）(3x−y)2＝9x2−y2
(a-b)2≠a2-b2
（4）(3x+2)2＝9x2+12x+4
“练”公式，学以致用
在阴影部分填一个式子，使等式成立：
图形验证公式
计算下图中红色部分的面积
b
b
a a
ab
b a
“说”公式，提炼提升
(a+b)2 =a 2+2ab+b2 (a- b)2 =a2-2ab+b2
完全平方公式-完整版PPT课件
解：15－a2＝25－10a＋a2； 2－3m－4n2＝9m2＋24mn＋16n2； 3－3a＋b2＝9a2－6ab＋b2
二 添括号法则 去括号 abc = abc; a- bc = a - b – c 把上面两个等式的左右两边反过来，也就添括号： a b c=a b c; a–b–c=a– b c
“首平方，尾平方，首尾2倍在中央”
想一想：下面各式的计算是否正确？如果不正确， 应当怎样改正？
1y2=2 y2
×
y2 =22y y2
2 -y2 =2 -y2
×
-y2 =2 -2y y2
3 - y2 =22y y2
× - y2 =2 -2y y2
4 2y2 =42 2y y2
× 2 y2 =424y y2
直接求：总面积=（abab源自b间接求：总面积=a2ababb2
你发现了什么？
a
（ab2=a22abb2
a
b
讲授新课
一 完全平方公式
合作探究
问题1 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
（1） （p12=p1p1=
p22p1
（2） （m22=m2m2= （3） （p-12=p-1p-1=
m24m4 p2-2p1
八年级数学上（RJ） 教学课件
第十四章 整式的乘法与因式分解
142 乘法公式
1422 完全平方公式
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、 几何解释（重点） 2灵活应用完全平方公式进行计算（难点）
导入新课
情境引入
一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米形成四块实验田，以种植不同的新品种如图 用不 同的形式表示实验田的总面积, 并进行比较
二 添括号法则 去括号 abc = abc; a- bc = a - b – c 把上面两个等式的左右两边反过来，也就添括号： a b c=a b c; a–b–c=a– b c
“首平方，尾平方，首尾2倍在中央”
想一想：下面各式的计算是否正确？如果不正确， 应当怎样改正？
1y2=2 y2
×
y2 =22y y2
2 -y2 =2 -y2
×
-y2 =2 -2y y2
3 - y2 =22y y2
× - y2 =2 -2y y2
4 2y2 =42 2y y2
× 2 y2 =424y y2
直接求：总面积=（abab源自b间接求：总面积=a2ababb2
你发现了什么？
a
（ab2=a22abb2
a
b
讲授新课
一 完全平方公式
合作探究
问题1 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
（1） （p12=p1p1=
p22p1
（2） （m22=m2m2= （3） （p-12=p-1p-1=
m24m4 p2-2p1
八年级数学上（RJ） 教学课件
第十四章 整式的乘法与因式分解
142 乘法公式
1422 完全平方公式
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、 几何解释（重点） 2灵活应用完全平方公式进行计算（难点）
导入新课
情境引入
一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米形成四块实验田，以种植不同的新品种如图 用不 同的形式表示实验田的总面积, 并进行比较
第十四章 14.2 14.2.2 完全平方公式
(2)20182.
解：原式＝(2000＋18)2＝20002＋2×2000×18＋182＝ 4000000＋72000＋324＝4072324.
5. 已知 x＋y＝4，xy＝2，试求： (1)x2＋y2 的值；
解：∵(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2，∴x2＋y2＝(x＋y)2－2xy， 又 x＋y＝4，xy＝2，∴x2＋y2＝42－2×2＝16－4＝12；
9. 已知多项式 A＝(x＋2)2＋x(1－x)－9.
(1)化简多项式 A 时，小明的结果与其他同学的不同， 请你检査．
小明同学的解题过程．在标出①②③④的几项中出 现错误的是出错的是①；正确的解答过程为 正确的解
答过程为：A＝x2＋4x＋4＋x－x2－9＝5x－5 ．
(2)小亮说：“只要给出 x2－2x＋1 的合理的值，即可 求出多项式 A 的值．”小明给出 x2－2x＋1 值为 4，请你 求出此时 A 的值．
．
【解析】由题意，①9x2＋1－9x2＝12；②9x2＋1－1 ＝(3x)2；③9x2＋1±6x＝(3x±1)2；④9x2＋1＋841x4＝(92x2＋ 1)2.
7. 计算： (1)(x＋3)(x－3)(x2－9)； 解：原式＝x4－18x2＋81； (2)(a＋2b－c)(a－2b－c)；
解：原式＝a2－2ac＋c2－4b2.
4. 已知 a－b＝2，b－c＝3，则 a2－2ac＋c2＝ 25 ．
5. 若x＋1x2＝9，则x－1x2的值为 5
．
6. (易错题)多项式 9x2＋1 加上一个单项式后，能成为
一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是 6x 或
－6x 或841x4 或－9x2 或－1
解：(m＋n)2＝69.
1．完全平方公式的特征：左边是一个二项式的完全 平方，右边是一个二次三项式，其结构是：“首平方，尾 平方，积的 2 倍放中央”．
解：原式＝(2000＋18)2＝20002＋2×2000×18＋182＝ 4000000＋72000＋324＝4072324.
5. 已知 x＋y＝4，xy＝2，试求： (1)x2＋y2 的值；
解：∵(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2，∴x2＋y2＝(x＋y)2－2xy， 又 x＋y＝4，xy＝2，∴x2＋y2＝42－2×2＝16－4＝12；
9. 已知多项式 A＝(x＋2)2＋x(1－x)－9.
(1)化简多项式 A 时，小明的结果与其他同学的不同， 请你检査．
小明同学的解题过程．在标出①②③④的几项中出 现错误的是出错的是①；正确的解答过程为 正确的解
答过程为：A＝x2＋4x＋4＋x－x2－9＝5x－5 ．
(2)小亮说：“只要给出 x2－2x＋1 的合理的值，即可 求出多项式 A 的值．”小明给出 x2－2x＋1 值为 4，请你 求出此时 A 的值．
．
【解析】由题意，①9x2＋1－9x2＝12；②9x2＋1－1 ＝(3x)2；③9x2＋1±6x＝(3x±1)2；④9x2＋1＋841x4＝(92x2＋ 1)2.
7. 计算： (1)(x＋3)(x－3)(x2－9)； 解：原式＝x4－18x2＋81； (2)(a＋2b－c)(a－2b－c)；
解：原式＝a2－2ac＋c2－4b2.
4. 已知 a－b＝2，b－c＝3，则 a2－2ac＋c2＝ 25 ．
5. 若x＋1x2＝9，则x－1x2的值为 5
．
6. (易错题)多项式 9x2＋1 加上一个单项式后，能成为
一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是 6x 或
－6x 或841x4 或－9x2 或－1
解：(m＋n)2＝69.
1．完全平方公式的特征：左边是一个二项式的完全 平方，右边是一个二次三项式，其结构是：“首平方，尾 平方，积的 2 倍放中央”．
《14.2.2_完全平方公式》.PPT课件
a2 2ab b2
例1 运用完全平方公式计算：
(1)(4m+n)2 解: (4m+n)2=(4m)2 + 2•(4m) •n +n2
(a +b)2= a2 + 2 ab + b2 =16m2+8mn +n2
例1 运用完全平方公式计算：
(2)(y-
1 2
)2
解： (y-
1 2
)2=
y2
-
2•y
14.2.2 完全平方公式公式
请同学们探究下列问题：一位国王非常喜欢各地臣民 的叩拜．每当有臣民到皇城叩拜时，国王都要奖赏他 们．来一个臣民，国王就给这个臣民一块铜板，来两 个臣民，国王就给每个臣民两块铜板，以此类推（1） 第一天有a个臣民去了皇城叩拜，国王一共给了这些臣 民多少块铜板？（2）第二天有b个臣民去了皇城叩拜， 国王一共给了这些臣民多少块铜板？（3）第三天有 （a+b）个臣民一起去皇城叩拜，国王一共给了这些臣 民多少块铜板？（4）这些臣民第三天得到的铜板数与 前两天他们得到的铜板总数相等吗？为什么？
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
4、公式中的字母a，b可以表示单项式和多项式以及 其他式子.
首平方，尾平方，积的2倍在中央
完全平方公式 的图形理解
完全平方和公式：
b ab b²
(a+b)²
例1 运用完全平方公式计算：
(1)(4m+n)2 解: (4m+n)2=(4m)2 + 2•(4m) •n +n2
(a +b)2= a2 + 2 ab + b2 =16m2+8mn +n2
例1 运用完全平方公式计算：
(2)(y-
1 2
)2
解： (y-
1 2
)2=
y2
-
2•y
14.2.2 完全平方公式公式
请同学们探究下列问题：一位国王非常喜欢各地臣民 的叩拜．每当有臣民到皇城叩拜时，国王都要奖赏他 们．来一个臣民，国王就给这个臣民一块铜板，来两 个臣民，国王就给每个臣民两块铜板，以此类推（1） 第一天有a个臣民去了皇城叩拜，国王一共给了这些臣 民多少块铜板？（2）第二天有b个臣民去了皇城叩拜， 国王一共给了这些臣民多少块铜板？（3）第三天有 （a+b）个臣民一起去皇城叩拜，国王一共给了这些臣 民多少块铜板？（4）这些臣民第三天得到的铜板数与 前两天他们得到的铜板总数相等吗？为什么？
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
4、公式中的字母a，b可以表示单项式和多项式以及 其他式子.
首平方，尾平方，积的2倍在中央
完全平方公式 的图形理解
完全平方和公式：
b ab b²
(a+b)²
人教版八年级数学上册课件：14.2.2完全平方公式(第一课时)
(2)理解字母a、b的意义：公式中的字母a、b，它们可以 表示具体的数，也可表示单项式；
(3)运用完全平方公式的口诀为：首平方、尾平方，首尾 2倍在中央，中间符号看首尾．
2．利用完全平方公式 (1)a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab; (2)(a+b)2-(a-b)2=4ab． 3．计算一些大数的平方时，关键是把已知数的底数拆成
(6)2(x+y)(x-y)-(x+y)2-(x-y)2．
解：原式=-[(x+y)2-2(x+y)(x-y)+(x-y)2] =-[(x+y)-(x-y)]2 =-(2y)2 =-4y2．
9．先化简，再求值： (1)(a+2b)2+(b+a)(b-a)，其中a=-1，b=2；
解：原式=a2+4ab+4b2+b2-a2 =4ab+5b2． 当a=-1，b=2时， 原式=4×(-1)×2+5×22=12．
(3)(2x-y)2(2x+y)2； 解：原式=[(2x-y)(2x+y)]2 =(4x2-y2)2 =16x4-8x2y2+y4；
(4)9x(x+1)-(3x-1)2；
解：原式=9x2+9x-9x2+6x-1 =15x-1；
(5)(2x-4y)2+(4y-2x)2； 解：原式=(4x2-16xy+16y2)+(16y2-16xy+4x2) =8x2-32xy+32y2；
11． (1)若(a-b)2=9，ab=2，则(a+b)2= 17 ;
(2)若(x+y)2=11，(x-y)2=7，则xy的值为 1 ;
14.2.2 第1课时 完全平方公式
①a2＋b2＝(a－b)2＋2ab
(a－b)2＝a2ຫໍສະໝຸດ 2ab＋b2②2ab＝(a2＋b2)－(a－b)2 ③(a－b)2＝(a＋b)2－4ab
④(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab
总结反思
知识点 完全平方公式 公式：(1)(a＋b)2＝__a_2＋__2a_b_＋_b_2___； (2)(a－b)2＝__a_2－__2a_b_＋_b_2___． 文字表述：两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上 (或减去)它们的积的____2____倍．
图14－2－2 (1)大正方形的边长是__a＋__b__，大正方形的面积是 (a＋b)2 ________．
例4 教材补充例题 如图14－2－2，
(2)阴影部分的正方形的边长是____a____，它的面积是 a2
________；另一个小正方形的b 边长是________，它b的2 面积是
________；另外两个小长方形a 的长都是_______b _，宽都是
(2)9.82.
解：(2)9.82 ＝(10－0.2)2 ＝102－2×10×0.2＋0.22 ＝100－4＋0.04 ＝96.04.
【归纳总结】利用完全平方公式计算一些数的平方时，关键是 把底数拆成两数和或两数差的形式．
目标三 理解完全平方公式的几何背景
例4 教材补充例题 如图14－2－2，
例 3 教材例 4 针对训练 计算：
(1)(60610)2；
(2)9.82.
[解析] (1)中 60610可写成 60＋610；(2)中 9.8 可写成 10－0.2.
(1)(60610)2；
解：(1)606102 ＝60＋6102 ＝602＋2×60×610＋6102 ＝3600＋2＋36100 ＝360236100.
14.2.2 完全平方公式课件
你发现了什么？
a
(a+b)2=a2+2ab+b2
a
b
问题1：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ (1) (p+1)2=(p+1)(p+1)= p2+2p+1 . (2) (m+2)2=(m+2)(m+2)= m2+4m+4 . (3) (p–1)2=(p–1)(p–1)= p2–2p+1 . (4) (m–2)2=(m–2)(m–2)= m2–4m+4 .
简记为： “首平方，尾平方，积的2倍放中央”
你能根据下面图形的面积说明完全平方公式吗?
证明 设大正方形ABCD的面积为S.
S1
S2
S3
S4
S= (a+b)2 =S1+S2+S3+S4= a2+b2+2ab .
几何解释
b
a
=
+
+
+
a
b
a2
ab
ab
b2
和的完全平方公式：
(a+b)2= a2+2ab+b2 .
4.由完全平方公式可知：32＋2×3×5＋52＝(3＋5)2＝64， 运用这一方法计算：4.3212＋8.642×0.679＋0.6792＝ ____2_5___．归纳新知源自法则完全平 注 意 方公式
常用 结论
(a±b)2= a2±2ab+b2
1.项数、符号、字母及其指数
2.不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添 括号变形成符合公式的要求才行 3.弄清完全平方公式和平方差公式不同(从公式结构 特点及结果两方面)
《完全平方公式》PPT课件
解：（1）不对。(a 1)2 (a)2 2(a) 12
a2 2a 1
（2）不对。 (2x 1)2 (2x)2 12 2 • 2x •1 4x2 1 4x
（3）不对。 (2a b)2 (2a)2 2 • (2a) • b b2
4a2 4ab b2
例2 运用完全平方公式计算：
( a － b)2 = a 2 — 2 · a · b + b 2.
( 2x - y )2 = ( 2x )2 －2 ·(2x）·y + y 2 = 4x2－4xy+y2
归纳
我们把
(a+b)2=a2+2ab+b2， (a-b)2=a2-2ab+b2.
都叫做完全平方公式.
两个公式可合并为一个 公式： (a b)2 a2 2ab b2
做一做
(a - b )2 = ？ 把( a + b )2= a2+ 2ab + b2 中的“b”换做 “-b”，试试看.
(a - b)2 =[a+(-b)]2 = a2+2a(-b)+(-b)2 = a2 - 2ab + b2 .
问、能用(a-b)2=a2-2ab+b2来计算 (a b)2 吗？
3、该怎样计算（a+b）（a+b） 即( a + b)2 ？
我们用乘法对加法的分配律来推导一般情况
( a + b)2 =( a + b )( a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 .
动脑筋
能否利用（a+b）（ a+b）的计算结果，即
a2 2a 1
（2）不对。 (2x 1)2 (2x)2 12 2 • 2x •1 4x2 1 4x
（3）不对。 (2a b)2 (2a)2 2 • (2a) • b b2
4a2 4ab b2
例2 运用完全平方公式计算：
( a － b)2 = a 2 — 2 · a · b + b 2.
( 2x - y )2 = ( 2x )2 －2 ·(2x）·y + y 2 = 4x2－4xy+y2
归纳
我们把
(a+b)2=a2+2ab+b2， (a-b)2=a2-2ab+b2.
都叫做完全平方公式.
两个公式可合并为一个 公式： (a b)2 a2 2ab b2
做一做
(a - b )2 = ？ 把( a + b )2= a2+ 2ab + b2 中的“b”换做 “-b”，试试看.
(a - b)2 =[a+(-b)]2 = a2+2a(-b)+(-b)2 = a2 - 2ab + b2 .
问、能用(a-b)2=a2-2ab+b2来计算 (a b)2 吗？
3、该怎样计算（a+b）（a+b） 即( a + b)2 ？
我们用乘法对加法的分配律来推导一般情况
( a + b)2 =( a + b )( a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 .
动脑筋
能否利用（a+b）（ a+b）的计算结果，即
人教版八年级上册第十四章《14.2.2完全平方公式》课件
14.2.2完全平方公式
一、情境引入
有个贪小便宜的财主,他有一块边长为（a+b）平方米的正方形土地，阿凡提有两块
土地，一块是边长为a米的正方形土地，一块是边长财为主b米，的财正主方，形我土有地两，为块了捉弄
一下财主，阿凡提说愿意用两块土地换财主的一块土正地方，形财土主地一，听跟，你大换喜过一望。请
= 10000 + 400 + 4
= 10000－200 + 1
= 10404
= 9801
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题目
火眼金睛
判断下列运算是否正确 ① (a-b) 2 =a2-b2 ② (a+b)2=a2+ab+b2 ③ (x+1)2=x2 +1 ④ (2a+1)2=2a2+4a+1
运用完全平方公式计算: (2a-3b)2
已知 (a+b) ²=25，ab=3 ，则 a²+ b²=___
五、课堂小结
大家畅所欲言，谈谈本节课的收 获！
完全平方公式
从“数”到“形” 从“形”到“数”
几何图形
(a+b)2 =a2+2ab+b2
(a-b)2 =a2-2ab+b2 转化思想
类比思想 数形结合思想
验证: (a+b)2= (a+b)(a+b) =a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2 (a-b)2= (a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2 =a2 - 2ab+b2
一、情境引入
有个贪小便宜的财主,他有一块边长为（a+b）平方米的正方形土地，阿凡提有两块
土地，一块是边长为a米的正方形土地，一块是边长财为主b米，的财正主方，形我土有地两，为块了捉弄
一下财主，阿凡提说愿意用两块土地换财主的一块土正地方，形财土主地一，听跟，你大换喜过一望。请
= 10000 + 400 + 4
= 10000－200 + 1
= 10404
= 9801
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火眼金睛
判断下列运算是否正确 ① (a-b) 2 =a2-b2 ② (a+b)2=a2+ab+b2 ③ (x+1)2=x2 +1 ④ (2a+1)2=2a2+4a+1
运用完全平方公式计算: (2a-3b)2
已知 (a+b) ²=25，ab=3 ，则 a²+ b²=___
五、课堂小结
大家畅所欲言，谈谈本节课的收 获！
完全平方公式
从“数”到“形” 从“形”到“数”
几何图形
(a+b)2 =a2+2ab+b2
(a-b)2 =a2-2ab+b2 转化思想
类比思想 数形结合思想
验证: (a+b)2= (a+b)(a+b) =a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2 (a-b)2= (a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2 =a2 - 2ab+b2