2021年陕西省西安市中考数学模拟试卷(有答案)
2021年陕西省中考数学试卷(解析版)
2021年陕西省中考数学试卷(解析版)一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分。
每小题只有一个选项是符合题意的）1．（3分）计算：3×（﹣2）＝（）A．1B．﹣1C．6D．﹣6【分析】根据有理数乘法法则进行运算．【解答】解：3×（﹣2）＝﹣6．故选：D．【点评】本题考查有理数的乘法，熟练掌握有理数乘法法则是解题关键．2．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．【解答】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；B．是轴对称图形，故此选项符合题意；C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；D．不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：B．【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．3．（3分）计算：（a3b）﹣2＝（）A．B．a6b2C．D．﹣2a3b【分析】直接利用负整数指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：（a3b）﹣2＝＝．故选：A．【点评】此题主要考查了负整数指数幂的性质以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．4．（3分）如图，点D、E分别在线段BC、AC上，连接AD、BE．若∠A＝35°，∠B＝25°，∠C＝50°，则∠1的大小为（）A．60°B．70°C．75°D．85°【分析】由三角形的内角和定义，可得∠1＝180﹣（∠B+∠ADB），∠ADB＝∠A+∠C，所以∠1＝180°﹣（∠B+∠A+∠C），由此解答即可．【解答】解：∠∠1＝∠B+∠ADB，∠ADB＝∠A+∠C，∠∠1＝180°﹣（∠B+∠A+∠C），∠∠1＝180°﹣（25°+35°+50°），∠∠1＝180°﹣110°，∠∠1＝70°，故选：B．【点评】本题考查了三角形内角和定理和三角形外角性质，掌握这些知识点是解题的关键．5．（3分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，连接AC、BD，则的值为（）A．B．C．D．【分析】由菱形的性质可得AO＝CO，BO＝DO，AC∠BD，∠ABD＝∠ABC＝30°，由锐角三角函数可求解．【解答】解：设AC与BD交于点O，∠四边形ABCD是菱形，∠AO＝CO，BO＝DO，AC∠BD，∠ABD＝∠ABC＝30°，∠tan∠ABD＝，∠，故选：D．【点评】本题考查了菱形的性质，锐角三角函数，掌握菱形的性质是解题的关键．6．（3分）在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝2x+m﹣1的图象向左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（）A．﹣5B．5C．﹣6D．6【分析】根据平移的规律得到平移后抛物线的解析式为y＝2（x+3）+m﹣1，然后把原点的坐标代入求值即可．【解答】解：将一次函数y＝2x+m﹣1的图象向左平移3个单位后，得到y＝2（x+3）+m﹣1，把（0，0）代入，得到：0＝6+m﹣1，解得m＝﹣5．故选：A．【点评】主要考查的是一次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式是解题的关键．7．（3分）如图，AB、BC、CD、DE是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、C、E共线．若AC＝6cm，CD∠BC，则线段CE的长度是（）A．6cm B．7cm C．6cm D．8cm【分析】过B作BM∠AC于M，过D作DN∠CE于N，由等腰三角形的性质得到AM＝CM＝3，CN＝EN，根据全等三角形判定证得∠BCM∠∠CDN，得到BM＝CN，在Rt∠BCM中，根据勾股定理求出BM＝4，进而求出．【解答】解：由题意知，AB＝BC＝CD＝DE＝5cm，AC＝6cm，过B作BM∠AC于M，过D作DN∠CE于N，则∠BMC＝∠CND＝90°，AM＝CM＝AC＝×6＝3，CN＝EN，∠CD∠BC，∠∠BCD＝90°，∠∠BCM+∠CBM＝∠BCM+∠DCN＝90°，∠∠CBM＝∠DCN，在∠BCM和∠CDN中，，∠∠BCM∠∠CDN（AAS），∠BM＝CN，在Rt∠BCM中，∠BM＝5，CM＝3，∠BM＝＝＝4，∠CN＝4，∠CE＝2CN＝2×4＝8，故选：D．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线，证得∠BCM∠∠CDN是解决问题的关键．8．（3分）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：x…﹣2013…y…6﹣4﹣6﹣4…下列各选项中，正确的是（）A．这个函数的图象开口向下B．这个函数的图象与x轴无交点C．这个函数的最小值小于﹣6D．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大【分析】设出二次函数的解析式，根据表中数据求出函数解析式即可判断．【解答】解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，由题知，解得，∠二次函数的解析式为y＝x2﹣3x﹣4＝（x﹣4）（x+1）＝（x﹣）2﹣，∠（1）函数图象开口向上，（2）与x轴的交点为（4，0）和（﹣1，0），（3）当x＝时，函数有最小值为﹣，（4）函数对称轴为直线x＝，根据图象可知当当x＞时，y的值随x值的增大而增大，故选：C．【点评】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）9．（3分）分解因式x3+6x2+9x＝x（x+3）2．【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝x（9+6x+x2）＝x（x+3）2．故答案为x（x+3）2【点评】本题考查了因式分解，利用了提公因式法、十字相乘法分解因式，注意分解要彻底．10．（3分）正九边形一个内角的度数为140°．【分析】先根据多边形内角和定理：180°•（n﹣2）求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数．【解答】解：该正九边形内角和＝180°×（9﹣2）＝1260°，则每个内角的度数＝＝140°．故答案为：140°．【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理：180°•（n﹣2），比较简单，解答本题的关键是直接根据内角和公式计算可得内角和．11．（3分）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为﹣2．【分析】根据各行的三个数字之和相等，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：依题意得：﹣1﹣6+1＝0+a﹣4，解得：a＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．12．（3分）若A（1，y1），B（3，y2）是反比例函数y＝（m＜）图象上的两点，则y1、y2的大小关系是y1＜y2.（填“＞”、“＝”或“＜”）【分析】反比例函数的系数为﹣2＜0，在每一个象限内，y随x的增大而增大．【解答】解：∠2m﹣1＜0(m＜)，∠图象位于二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大，又∠0＜1＜3，∠y1＜y2，故答案为：＜．【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内．13．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，∠O的半径为1．若∠O在正方形ABCD内平移（∠O可以与该正方形的边相切），则点A到∠O上的点的距离的最大值为3+1．【分析】当∠O与CB、CD相切时，点A到∠O上的点Q的距离最大，如图，过O点作OE∠BC于E，OF∠CD 于F，根据切线的性质得到OE＝OF＝1，利用正方形的性质得到点O在AC上，然后计算出AQ的长即可．【解答】解：当∠O与CB、CD相切时，点A到∠O上的点Q的距离最大，如图，过O点作OE∠BC于E，OF∠CD于F，∠OE＝OF＝1，∠OC平分∠BCD，∠四边形ABCD为正方形，∠点O在AC上，∠AC＝BC＝4，OC＝OE＝，∠AQ＝OA+OQ＝4﹣+1＝3+1，即点A到∠O上的点的距离的最大值为3+1，故答案为3+1．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了正方形的性质．三、解答题（共13小题，计18分。
陕西省2021年中考数学试卷真题(word版,含答案解析)
陕西省2021年中考数学试卷一、单选题（共8题；共16分）1.计算：3×(−2)=（）A. 1B. -1C. 6D. -6【答案】 D【考点】有理数的乘法【解析】【解答】解：3×(−2)=−6；故答案为：D.【分析】根据有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘”可求解.2.下列图形中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B【考点】轴对称图形【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故不符合题意；B、是轴对称图形，故符合题意；C、不是轴对称图形，故不符合题意；D、不是轴对称图形，故不符合题意；故答案为：B.【分析】在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形；根据定义并结合图形即可判断求解.3.计算：(a3b)−2=（）A. 1a6b2 B. a6b2 C. 1a5b2D. −2a3b【答案】A【考点】负整数指数幂的运算性质，积的乘方【解析】【解答】解：(a3b)−2=1a6b2，故答案为：A.【分析】根据负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”和积的乘方法则“积的乘方等于把积中每一个因式分别乘方再把所得的幂相乘”可求解.4.如图，点D、E分别在线段BC、AC上，连接AD、BE.若∠A=35°，∠B=25°，∠C=50°，则∠1的大小为（）A. 60°B. 70°C. 75°D. 85°【答案】 B【考点】三角形内角和定理【解析】【解答】解：∵ ∠B =25° ， ∠C =50° ，∴在Rt △BEC 中，由三角形内角和可得 ∠BEC =105° ，∵ ∠A =35° ，∴ ∠1=∠BEC −∠A =70° ；故答案为：B.【分析】在Rt △BEC 中，由三角形内角和可求得∠BEC 的度数，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可求解.5.如图，在菱形 ABCD 中， ∠ABC =60° ，连接 AC 、 BD ，则 AC BD 的值为（ ）A. 12B. √22C. √32D. √33 【答案】 D【考点】等边三角形的判定与性质，菱形的性质【解析】【解答】解：设AC 与BD 的交点为O ，如图所示：∵四边形 ABCD 是菱形，∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC,AB=BC，AC⊥BD,BO=DO,AO=CO，∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABO=30°,AB=AC，∴AO=12AB，∴OB=√AB2−AO2=√3OA，∴BD=2√3OA,AC=2AO，∴ACBD =2√3OA=√33；故答案为：D.【分析】设AC与BD的交点为O，由菱形的性质和已知条件易得三角形ABC是等边三角形，于是用勾股定理可将OB用含OA的代数式表示出来，则BD、AC也可用含OA的代数式表示出来，于是AC与BD的比值可求解.6.在平面直角坐标系中，若将一次函数y=2x+m−1的图象向左平移3个单位后，得到个正比例函数的图象，则m的值为（）A. -5B. 5C. -6D. 6【答案】A【考点】一次函数图象与几何变换【解析】【解答】解：将一次函数y=2x+m−1的图象向左平移3个单位后得到的解析式为：y=2(x+3)+m−1，化简得：y=2x+m+5，∵平移后得到的是正比例函数的图象，∴m+5=0，解得：m=−5，故答案为：A.【分析】根据直线平移的规律可得平移后的直线解析式为：y=2(x+3)+m-1，再根据平移后得到的是正比例函数的图象可得关于m的方程，解方程可求解.7.如图，AB、BC、CD、DE是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、C、E共线.若AC=6cm，CD⊥BC，则线段CE的长度为（）A. 6 cmB. 7 cmC. 6√2cmD. 8cm【答案】 D【考点】勾股定理，三角形全等的判定（AAS）【解析】【解答】解：分别过B、D作AE的垂线，垂足分别为F、G，∵， CD ⊥BC ，∴ ∠BCF +∠FBC =90°，∠BCF +∠GCD =90° ，∴ ∠FBC =∠GCD ，在 △BFC 和 △CGD 中；{∠BFC =∠CGD∠FBC =∠GCD BC =CD，∴ △BFC ≌△CGD ，∴BF=CG ，∵ AB =BC =CD =DE =5cm ，∴ △ABC ，△CDE 均为等腰三角形，∵ AC =6cm ，∴ FC =12AC =3cm ，∴ BF =√BC 2−FC 2=√52−32=4cm ，∴ CE =2CG =2BF =2×4=8cm ，故答案为：D.【分析】分别过B 、D 作AE 的垂线，垂足分别为F 、G ，由同角的余角相等可得∠FBC=∠GCD ，根据角角边可证△BFC ≌△CGD ，由全等三角形的对应边相等可得BF=CG ，结合已知可得三角形ABC 和三角形CDE 都是等腰三角形，由等腰三角形的三线合一可得FC=12AC ，用勾股定理可求得BF 的值，于是CE=2CG=2BF 可求解.8.下表中列出的是一个二次函数的自变量x 与函数y 的几组对应值：下列各选项中，正确的是A. 这个函数的图象开口向下B. 这个函数的图象与x 轴无交点C. 这个函数的最小值小于-6D. 当 x >1 时，y 的值随x 值的增大而增大【答案】 C【考点】二次函数y=ax^2+bx+c 的图象，二次函数y=ax^2+bx+c 的性质【解析】【解答】解：设二次函数的解析式为 y =ax 2+bx +c ，依题意得： {4a −2b +c =6c =−4a +b +c =−6 ，解得： {a =1b =−3c =−4 ，∴二次函数的解析式为 y =x 2−3x −4 = (x −32)2−254 ，∵ a =1>0 ，∴这个函数的图象开口向上，故A 选项不符合题意； ∵ △=b 2−4ac =(−3)2−4×1×(−4)=25>0 ，∴这个函数的图象与x 轴有两个不同的交点，故B 选项不符合题意；∵ a =1>0 ，∴当 x =32 时，这个函数有最小值 −254<−6 ，故C 选项符合题意；∵这个函数的图象的顶点坐标为( 32 ， −254)， ∴当 x >32 时，y 的值随x 值的增大而增大，故D 选项不符合题意；故答案为：C.【分析】根据表格中的信息用待定系数法可求得二次函数的解析式，并将解析式化为顶点式； A 、根据a=1＞0可知，这个函数的图象开口向上；B 、计算b 2-4ac=25＞0，根据一元二次方程的根的判别式可判断这个函数的图象与x 轴有两个不同的交点；C 根据顶点式可知，当x=32时，函数有最小值为-254＜-6； D 、根据顶点式可知当x ＞32时，函数y 的值随x 值的增大而增大. 二、填空题（共5题；共5分）9.分解因式： x 3+6x 2+9x = ________.【答案】 x(x +3)2【考点】提公因式法与公式法的综合运用【解析】【解答】 x 3+6x 2+9x =x(x 2+6x +9)=x(x +3)2故答案为 x(x +3)2 .【分析】观察多项式可知，多项式的每一项含有公因式x ，括号内的多项式符合完全平方公式特征，再用完全平方公式分解即可求解.10.正九边形一个内角的度数为________.【答案】 140°【考点】多边形内角与外角，正多边形的性质【解析】【解答】正多边形的每个外角 =360°n（ n 为边数）， 所以正九边形的一个外角 =360°9=40° ∴ 正九边形一个内角的度数为 180°−40°=140°故答案为：140°.【分析】根据正九边形的外角和等于360°，用360°÷9可求得每一个外角的度数，再根据正九边形的每一个外角和它相邻的内角互补即可求解11.幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图.如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为________.【答案】-2【考点】探索图形规律【解析】【解答】解：由表第一行可知，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均为−1−6+1=−6，∴−6+a+2=−6，∴a=−2，故答案为：-2.【分析】根据"各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等"可得关于a的方程，解方程可求解.12.若A(1,y1)，B(3,y2)是反比例函数y=2m−1x (m<12)图象上的两点，则y1、y2的大小关系是y1________ y2（填“>”、“=”或“<”）【答案】<【考点】反比例函数的性质【解析】【解答】解：∵m<12∴2m<12×2即2m-1<0∴反比例函数图象每一个象限内，y随x的增大而增大∵1<3∴y1< y2故答案为：<.【分析】根据m＜12可判断2m-1<0，于是由反比例函数的性质可知反比例函数图象每一个象限内，y 随x的增大而增大，再结合点A、B的坐标可求解.13.如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1.若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为________.【答案】 3√2+1【考点】正方形的性质，切线的性质【解析】【解答】解：由题意得当 ⊙O 与BC 、CD 相切时，切点分别为F 、G ，点A 到 ⊙O 上的点的距离取得最大，如图所示：∠OFC =90°连接AC ，OF ，AC 交 ⊙O 于点E ，此时AE 的长即为点A 到 ⊙O 上的点的距离为最大，如图所示， ∵四边形 ABCD 是正方形，且边长为4，∴ AB =BC =4,∠ACB =45° ，∴△OFC 是等腰直角三角形， AC =4√2 ，∵ ⊙O 的半径为1，∴ OF =FC =1 ，∴ OC =√2 ，∴ AO =AC −OC =3√2 ，∴ AE =AO +OE =3√2+1 ，即点A 到 ⊙O 上的点的距离的最大值为 3√2+1 ；故答案为 3√2+1 .【分析】 当⊙O 与CB 、CD 相切时，切点分别为F 、G ，点A 到⊙O 上的点的距离取得最大，连接AC ，OF ，AC 交⊙O 于点E ，此时AE 的长即为点A 到⊙O 上的点的距离为最大；根据切线的性质得到OE ＝OF ，由正方形的性质可得△OFC 是等腰直角三角形，用勾股定理可求得AC 的值，由线段的构成AO=AAC-OC 可求得AO 的值，则AE=AO+OE 可求解.三、解答题（共13题；共94分）14.计算： (−12)0+|1−√2|−√8 .【答案】 解：原式 =1+√2−1−2√2=−√2【考点】0指数幂的运算性质，二次根式的加减法【解析】【分析】由0指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得（-12）0=1，然后根据二次根式的混合运算法则计算即可求解.15.解不等式组： {x +5<43x+12≥2x −1 【答案】 解： {x +5<43x+12≥2x −1 ， 由 x +5<4 ，得 x <−1 ；由3x+12≥2x−1，得x≤3；∴原不等式组的解集为x<−1【考点】解一元一次不等式组【解析】【分析】由题意先求出每一个不等式的解集，再找出各解集的公共部分即为不等式组的解集.16.解方程：x−1x+1−3x2−1=1.【答案】解：去分母（两边都乘以(x+1)(x−1)），得，(x−1)2−3=x2−1.去括号，得，x2−2x+1−3=x2−1，移项，得，x2−2x−x2=−1−1+3.合并同类项，得，−2x=1.系数化为1，得，x=−12.检验：把x=−12代入(x+1)(x−1)≠0.∴x=−12是原方程的根【考点】解分式方程【解析】【分析】根据解分式方程的步骤“去分母、解整式方程、检验、写结论”即可求解.17.如图，已知直线l1//l2，直线l3分别与l1、l2交于点A、B.请用尺规作图法，在线段AB 上求作点P，使点P到l1、l2的距离相等.（保留作图痕迹，不写作法）【答案】解：如图所示，点P即为所求.【考点】平行线之间的距离，线段垂直平分线的性质，作图-线段垂直平分线【解析】【分析】由题意根据线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可知：作线段AB的垂直平分线与线段AB的交点即为所求作的点P.18.如图，BD//AC，BD=BC，点E在BC上，且BE=AC.求证：∠D=∠ABC.【答案】证明：∵BD//AC，∴∠EBD=∠C.∵BD=BC，BE=AC，∴△EDB≌△ABC(SAS).∴∠D=∠ABC【考点】三角形全等的判定（SAS）【解析】【分析】由两直线平行内错角相等可得∠EBD=∠C，结合已知用边角边可证△EDB≌△ABC，根据全等三角形的对应角相等可求解.19.一家商店在销售某种服装（每件的标价相同）时，按这种服装每件标价的8折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等.求这种服装每件的标价.【答案】解：设这种服装每件的标价是x元，根据题意，得10×0.8x=11(x−30)，解得x=110；答：这种服装每件的标价是110元【考点】一元一次方程的实际应用-销售问题【解析】【分析】由题意根据相等关系“ 按这种服装每件标价的8折销售10件的销售额=与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额”列方程，解方程即可求解.20.从一副普通的扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别为2，3，3，6.（1）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是3的概率为________；（2）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀.从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张牌中随机抽取一张.请利用画树状图或列表的方法，求抽取的这两张牌的面数字恰好相同的概率.【答案】（1）12（2）解：列表如下：由上表可知，共有12种等可能的结果，其中牌面数字恰好相同的结果有2种，∴P牌面相同=212=16【考点】列表法与树状图法【解析】【解答】（1）四张牌为：2，3，3，6，从中抽取一张，共有四种等可能结果，抽到牌面数字是3的有两种，∴P（抽到3）=24=12；【分析】（1）由题意用概率公式即可求解；（2）由题意可列表格，由表格中的信息可知：共有12种等可能的结果，其中牌面数字恰好相同的结果有2种，再用概率公式即可求解.21.一座吊桥的钢索立柱AD两侧各有若干条斜拉的钢索，大致如图所示.小明和小亮想用测量知识测较长钢索AB的长度，他们测得∠ABD为30°，由于B、D两点间的距离不易测得，通过探究和测量，发现∠ACD恰好为45°，点B与点C之间的距离约为16m.已知点B、C、D共线，AD⊥BD.求钢索AB的长度.（结果保留根号）【答案】解：在△ADC中，设AD=x.∵AD⊥BD，∠ACD=45°，∴CD=AD=x.在△ADB中，AD⊥BD，∠ABD=30°，∴AD=BDtan30°，即x=√33(16+x).解之，得x=8√3+8∴AB=2AD=16√3+16∴钢索AB的长度约为(16√3+16)m【考点】解直角三角形的应用【解析】【分析】设AD＝x，在等腰直角三角形ADC中用含x的代数式表示出CD=AD=x，在Rt△ABD中，可得关于x的方程，解方程可求得x的值，然后根据AB=2AD可求解．用三角函数tan30°=ADBD22.今年9月，第十四届全国运动会将在陕西省举行本届全运会主场馆在西安，开幕式、闭幕式均在西安举行.某校气象兴趣小组的同学们想预估一下西安市今年9月份日平均气温状况.他们收集了西安市近五年9月份每天的日平均气温，从中随机抽取了60天的日平均气温，并绘制成如下统计图：根据以上信息，回答下列问题：（1）这60天的日平均气温的中位数为________，众数为________；（2）求这60天的日平均气温的平均数；（3）若日平均气温在18℃~21℃的范围内（包含18℃和21℃）为“舒适温度”.请预估西安市今年9月份日平均气温为“舒适温度”的天数.【答案】（1）19.5；19(17×5+18×12+19×13+20×9+21×6+22×4+23×6+24×5)（2）解：x̅=160=20，∴这60天的日平均气温的平均数为20℃×30=20，（3）解：∵12+13+9+660∴预估西安市今年9月份日平均气温为“舒适温度”的天数为20天【考点】用样本估计总体，条形统计图，分析数据的集中趋势【解析】【解答】解：（1）由题意得样本共60个数据，故中位数取排序后第30、31个数的中位数，由统计图得排序后第30个数为19，第31个数为20，∴中位数为19+2019.5，2=平均气温19出现的次数最多，∴众数为19，故答案为：19.5，19；【分析】（1）中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数.平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；众数是指一组数据中出现次数最多的数；根据定义并结合条形图可求解；（2）根据加权平均数的计算公式可求解；（2）用样本估计总体可求解.23.在一次机器“猫”抓机器“鼠”的展演测试中，“鼠”先从起点出发，1min 后，“猫”从同一起点出发去追“鼠”，抓住“鼠”并稍作停留后，“猫”抓着“鼠”沿原路返回“鼠”、“猫”距起点的距离 y(m ) 与时间 x(min) 之间的关系如图所示.（1）在“猫”追“鼠”的过程中，“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是________ m min ⁄ ； （2）求 AB 的函数表达式；（3）求“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间.【答案】 （1）1（2）解：由图象知，A （7，30），B （10，18）设 AB 的表达式 y =kx +b(k ≠0) ，把点A 、B 代入解析式得，{30=7k +b 18=10k +b解得， {k =−4,b =58.∴ y =−4x +58（3）解：令 y =0 ，则 −4x +58=0 .∴ x =14.5 .14.5-1=13.5(min)∴“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间为 13.5min【考点】一次函数的实际应用【解析】【解答】解：（1）从图象可以看出“猫”追上“鼠”时，行驶距离为30米，“鼠”用时6min，“猫”用时（6-1）=5min，所以，“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是305−306=6−5=1(m/min)故答案为：1；【分析】（1）观察图象，并根据图象中的信息““猫”追上“鼠”时，行驶距离为30米，“鼠”用时6min”可求出猫”所用时间，再根据速度=路程÷时间可求得“猫”的平均速度和“鼠”的平均速度，求差即可求解；（2）观察图象可知点A、B的坐标，然后用待定系数法可求直线AB的解析式；（3）由题意令（2）中求得的解析式中的y=0可得关于x的方程，解方程可求得x的值，再用求得的x 的值减去迟出发的时间1小时即可求解.24.如图，AB是⊙O的直径，点E、F在⊙O上，且BF⌢=2BE⌢，连接OE、AF，过点B作⊙O的切线，分别与OE、AF的延长线交于点C、D.（1）求证：∠COB=∠A；（2）若AB=6，CB=4，求线段FD的长.【答案】（1）证明：如图，取BF⌢的中点M，连接OM、OF，∵BF⌢=2BE⌢，∴BM⌢=MF⌢=BE⌢，∴∠COB=12∠BOF，∵∠A=12∠BOF，∴∠COB=∠A（2）解：连接BF，∵CD是⊙O的切线，∴AB⊥CD，由（1）知∠COB=∠A，∴△OBC∽△ABD，∴OBBC =ABBD，∵AB=6，CB=4，∴BD=BC⋅ABOB =4×63=8.∴AD=√62+82=10，∵AB是⊙O的直径，∴BF⊥AD.∵∠D=∠D，∴△BFD∽△ABD.∴FDBD =BDAD，∴FD=BD2AD =8210=325【考点】圆的综合题【解析】【分析】（1）取弧BF的中点M，连接OM、OF，利用圆心角定理得到∠COB＝12∠BOF，利用圆周角定理得到∠A＝12∠BOF可求解；（2）连接BF，如图，先根据切线的性质得到∠OBC＝∠ABD＝90°，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△OBC∽△ABD，由比例式OBBC =ABBD可求出BD的值，然后用勾股定理可计算出AD的值，根据圆周角定理得∠AFB＝90°，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得Rt△DBF∽Rt△DAB，得比例式FDBD=BDAD可求解．25.已知抛物线y=−x2+2x+8与x轴交于点A、B（其中A在点B的左侧），与y轴交于点C.（1）求点B、C的坐标；（2）设点C′与点C关于该抛物线的对称轴对称在y轴上是否存在点P，使△PCC′与△POB相似且PC与PO是对应边？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）解：令y=0，则−x2+2x+8=0，∴x1=−2，x2=4∴B(4,0).令x=0，则y=8.∴C(0,8)（2）解：存在.由已知得，该抛物线的对称轴为直线x=1.∵点C′与点C关于直线x=1对称，∴C(2,8)，CC′=2.∴CC′//OB.∵点P在y轴上，∴∠PCC′=∠POB=90°∴当PCPO =CC′OB时，△PCC′∽△POB.设P(0,y)，i）当y>8时，则y−8y =24，∴y=16. ∴P(0,16)ii）当0<y<8时，则8−yy =24，∴y=163∴P(0,163).iii）当y<0时，则CP>OP，与PCPO =12矛盾.∴点P不存在∴P(0,16)或P(0,163)【考点】二次函数的实际应用-几何问题【解析】【分析】（1）由题意分别令解析式中的y=0、x=0即可求出B，C的坐标；（2）先设P的坐标为（0，y），根据相似三角形的对应边的比相等可得比例式PCPO =CC′OB，由题意分三种情况：i）当y＞8时，根据比例式可列关于y的方程，解方程即可求解；ii）当0＜y＜8时，根据比例式可列关于y的方程，解方程即可求解；iii）当y＜0时，根据比例式可列关于y的方程，解方程即可求解.26.如图（1）问题提出如图1，在▱ABCD中，∠A=45°，AB=8，AD=6，E是AD的中点，点F在DC上且DF=5求四边形ABFE的面积.（结果保留根号）（2）问题解决某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境.如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上建一个五边形河畔公园ABCDE按设计要求，要在五边形河畔公园ABCDE内挖一个四边形人工湖OPMN，使点O、P、M、N分别在边BC、CD、AE、AB上，且满足BO=2AN=2CP，AM=OC.已知五边形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=90°，AB=800m，BC=1200m，CD=600m，AE=900m.满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小.请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖OPMN？若存在，求四边形OPMN面积的最小值及这时点N到点A 的距离；若不存在，请说明理由.【答案】（1）解：在▱ABCD中，设AB边上的高为h.∵AD=6，∠A=45°，∴ℎ=ADsin45°=3√2∵EA=ED，∴点E到DC的距离为ℎ2.∴S四边形ABFE=S▱ABCD−(S△DEF+S△BCF)=AB⋅ℎ−(12⋅DF⋅ℎ2+12⋅FC⋅ℎ)=24√2−(154√2+92√2)=63√24（2）解：存在.如图，分别延长AE与CD，交于点F，则四边形ABCF是矩形.设AN=x，则PC=x，BO=2x，BN=800−x，AM=OC=1200−2x.由题意，易知MF=BO，PF=BN∴S四边形OPMN=S矩形ABCF−S△ANM−S△BON−S△CPO−S△FMP=800×1200−12⋅x(1200−2x)−12⋅2x(800−x)−12⋅x(1200−2x)−12⋅2x(800−x)=4x2−2800x+960000=4(x−350)2+470000.∴当x=350时，S四边形OPMN=470000.AM=1200−2x=500<900，CP=350<600.∴符合设计要求的四边形OPMN面积的最小值为470000m2，这时，点N到点A的距离为350m.【考点】二次函数的实际应用-几何问题【解析】【分析】（1）在▱ABCD中，设AB边上的高为h，根据锐角三角函数sin45°=ℎ可求得h的AD，然后根据四边形面积的构成S四边形ABFE=S平行四边形ABCD-值，由线段中点定义易得点E到DC的距离为ℎ2（S△DEF+S△BCF）可求解；（2）分别延长AE与CD，交于点F，则四边形ABCF是矩形，设AN＝x米，则PC＝x米，BO＝2x米，BN ＝（800−x）米，AM＝OC＝（1200−2x）米，易得MF＝BO=2x米，PF＝BN=（800−x）米，由四边形的面积的构成S四边形OPMN＝S矩形ABCF-S△ANM-S△BON-S△CPO-S△FMP可得S与x之间的函数关系式，根据二次函数的性质即可求解．。
2021年陕西省西安市中考数学一模试卷(附答案详解)
2021年陕西省西安市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.−13的倒数是()A. 3B. 13C. −13D. −32.2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌卫星发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道．将36000用科学记数法表示应为()A. 0.36×105B. 3.6×105C. 3.6×104D. 36×1033.下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()A. B. C. D.4.已知点P(−2+a,2a−7)在第四象限，且点P到两坐标轴的距离相等，则a的值为()A. 3B. 5C. 1D. −35.已知关于x的方程2x2+bx+c=0的根为x1=−2，x2=3，则b+c的值是()A. −10B. −7C. −14D. −26.△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，BC=2√3，D为BC的中点，AE=14AB，则△EBD的面积为()A. 3√34B. 3√38C. √34D. √387.关于x的正比例函数y=kx与一次函数y=kx+x−k的大致图象不可能是()A. B.C. D.8.如图，将一张正方形纸片ABCD对折，使CD与AB重合，得到折痕MN后展开，E为CN上一点，将△CDE沿DE所在的直线折叠，使得点C落在折痕MN上的点F处，连接AF.若AB=2，则CE的长度为()A. 4−2√3B. 2−√3C. 12D. √3−19.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=CD，A为BD⏜中点，∠BDC=60°，则∠ADB等于()A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°10.老师给出了二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分对应值如下表，同学们讨论得出了下列结论，其中不正确的是()x…−3−20135…y…70−8−9−57…A. 抛物线的对称轴为直线x=1B. x=3是方程ax2+bx+c+5=0的一个根C. 当−2<x<4时，y<0D. 若A(x1,5)，B(x2,6)是该抛物线上的两点，则x1<x2二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）(x−1)>2+3x的解集为______ ．11.不等式1212.如图，正五边形ABCDE，BG平分∠ABC，DG平分正五边形的外角∠EDF，则∠G=______ 度.13.如图，已知在平面直角坐标系xOy中，Rt△OAB的直角顶点B(x>0)在x轴的正半轴上，点A在第一象限，反比例函数y=kx的图象经过OA的中点C.交AB于点D，连结CD.若△ACD的面积是2，则k的值是______．14.如图，在▱ABCD中，AB=5，∠ADB=90°，tan∠DAB=2，O为▱ABCD对角线AC、BD的交点，l是一条过点O且绕点O旋转的动直线，过点B作BE⊥l于点E.则点E到直线CD的距离的最小值为______ ．三、解答题（本大题共11小题，共78.0分）)−2+4cos30°．15.计算：(−1)2021+|2√3−4|−(1316. 先化简，再求值：(1−aa−1)÷a 2+2a+1a 2−1，其中a =√2−1．17. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，点D 是AB 的中点，AC <BC.请用无刻度的直尺和圆规，在BC 上作一点E ，使得直线ED 平分△ABC 的周长(不要求写作法，但要保留作图痕迹)．18. 如图，矩形ABCD 中，对角线AC 的垂直平分线EF 分别交BC ，AD 于点E ，F ，连接AE ，若BE =3，AF =5，求AB 的长．19.某地区教育局为了解该区八年级学生参加社会实践活动情况，随机抽查了该区部分八年级学生第一学期参加社会实践活动的天数，并用得到的数据绘制了两幅统计图．请根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)本次调查共抽取了______ 名学生，并请补全条形统计图．(2)在这次抽样调查中，众数为______ ，中位数为______ ．(3)如果该区共有八年级学生2500人，请你估计“活动时间不少于7天”的学生人数大约有多少人？20.如图，小明和小敏准备利用所学的知识测量路灯OS的高度，小敏把一根长1.5米的竹竿AB竖直立在水平地面上，小明测得竹竿的影子BC长为1米，然后小敏拿竹竿向远离路灯方向走了4米(BB′)，再把竹竿竖直立在地面上B′处，小明测得此时竹竿的影长B′C′为1.8米，已知O、B、B′成一线，求路灯离地面的高度．21.暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．设某学生暑期健身x(次)，按照方案一所需费用为y1(元)，按照方案二所需费用为y2(元)，其函数图象如图所示．(1)求方案一所需费用y1与x之间的函数关系式；(2)中学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由．22.为了激发同学们对理化的科学研究兴趣，并在实践中更好地理解和消化理论知识，提高动手能力，某校在初三年级开展了理化试验操作竞赛，物理、化学图有3个不同的操作实验题目，物理题目用序号①、②、③表示，化学题目用字母a、b、c 表示，测试时每名学生每科只操作一个实验，实验的题目由学生随机抽签确定，第一次抽签确定物理实验题目，第二次抽签确定化学实验题目．(1)小李同学抽到物理实验题目①这是一个______ 事件(填“必然”、“不可能”或“随机”)．(2)小张同学对物理的①、②和化学的c号实验准备得较好，请用画树状图(或列表)的方法，求他同时抽到两科都准备得较好的实验题目的概率．23.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D是BC的中点，以AD为直径作⊙O，分别与AB，AC交于点E，F点，过点E作EG⊥BC于G．(1)求证：EG是⊙O的切线；(2)若AF=6，tan∠BAD=34，求EG的长．24.在平面直角坐标系中，抛物线y=−14x2+32x+4的图象与x轴交于B，C两点(B在C的左侧)，与y轴交于点A．(1)求出点A，B，C的坐标．(2)在抛物线上有一动点P，抛物线的对称轴上有另一动点Q，若以B，C，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足条件的点P的坐标．(3)向右平移抛物线，使平移后的抛物线恰好经过△ABC的外心，求出平移后的抛物线的解析式．25.在平面直角坐标系中，O为原点，点A(−4,0)，点B(0,3)，△ABO绕点B顺时针旋转，得△A′BO′，点A、O旋转后的对应点为A′、O′，记旋转角为α．(1)如图①，α=90°，边OA上的一点M旋转后的对应点为N，当OM=1时，点N的坐标为______ ；(2)在(1)的条件下，当O′M+BN取得最小值时，在图②中画出点M的位置，并求出点N的坐标．(3)如图③，P为AB上一点，且PA：PB=2：1，连接PO′、PA′，在△ABO绕点B顺时针旋转一周的过程中，△PO′A′的面积是否存在最大值和最小值，若存在，请求出；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】D的倒数是−3；【解析】解：−13故选D．根据倒数的定义即可得出答案．此题主要考查了倒数，倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．2.【答案】C【解析】解：36000=3.6×104，故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.【答案】B【解析】解：A、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故A选项错误；B、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故B选项正确；C、此图形旋转180°后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故C选项错误；D、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故D选项错误．故选：B．根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．4.【答案】A【解析】解：∵点P(−2+a,2a−7)在第四象限，且点P到两坐标轴的距离相等，∴−2+a+(2a−7)=0，解得a=3，故选：A．判断出点P的横坐标与纵坐标互为相反数，然后根据互为相反数的两个数的和等于0列式求解即可．本题考查了点的坐标，熟记第四象限内到两坐标轴的距离相等的点的横坐标与纵坐标互为相反数是解题的关键．5.【答案】C【解析】解：∵关于x的方程2x2+bx+c=0的根为x1=−2，x2=3，∴−2+3=−b2，−2×3=c2，∴b=−2，c=−12，∴b+c=−2−12=−14，故选：C．根据根与系数的的关系求得b、c的值，代入b+c求得即可．本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于−ba ，两根之积等于ca”是解题的关键．6.【答案】B【解析】解：连接AD，作EF⊥BC于F，∵AB=AC，∠BAC=120°，D为BC的中点，∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，∠B=∠C=30°在Rt△ABD中，BD=12BC=√3，∠B=30°，∴AB=BDcos30∘=√3√32=2，∴AD=12AB=1，∵AE=14AB，∴BEAB =34，∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF//AD，∴△BEF∽△BAD，∴EFAD =BEAB，∴EF1=34∴EF=34，∴S△BDE=12×BD×EF=12×√3×34=3√38，故选：B．连接AD，作EF⊥BC于F，根据三线合一得到AD垂直于BC，AD为角平分线，以及底角的度数，在直角三角形ABD中，利用三角函数求得AB，然后利用30角所对的直角边等于斜边的一半得到AD的长，再利用三角形相似求出EF的长，根据三角形面积公式求得结果．此题考查了含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质是解本题的关键．7.【答案】D【解析】解：令kx+x−k=kx时，x=k，当k>0时，正比例函数y=kx图象经过一、三象限，一次函数y=kx+x−k=(k+ 1)x−k的图象经过一、三、四象限，两直线的交点在第一象限；当−1<k<0时，正比例函数y=kx图象经过二、四象限，一次函数y=kx+x−k= (k+1)x−k的图象经过一、二、三象限，两直线的交点在第二象限；当k<−1时，正比例函数y=kx图象经过二、四象限，一次函数y=kx+x−k=(k+ 1)x−k的图象经过一、二、四象限，两直线的交点在第二象限；故选：D．根据正比例函数与一次函数的图象性质作答．此题考查一次函数的图象问题，正比例函数的性质：正比例函数y=kx的图象是过原点的一条直线．当k>0时，直线经过第一、三象限；当k<0时，直线经过第二、四象限．8.【答案】A【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=2，由折叠可得CN=BN=1，AM=DM=1，CE=EF，CD=DF=2，∴MF=√DF2−DM2=√4−1=√3，∴FN=2−√3，∵EF2=EN2+FN2，∴CE2=(1−CE)2+(2−√3)2，∴CE=4−2√3，故选：A．由折叠的性质可得CN=BN=1，AM=DM=1，CE=EF，CD=DF=2，由勾股定理可求FN的长，CE的长．本题考查了翻折变换，正方形的性质，勾股定理，掌握折叠的性质是本题的关键．9.【答案】A【解析】解：∵A为BD⏜中点，∴AB⏜═AD⏜，∵AB=CD，∴AB⏜=CD⏜，∴AB⏜=AD⏜=CD⏜，∵圆周角∠BDC=60°，∴∠BDC对的BC⏜的度数是2×60°=120°，×(360°−120°)=80°，∴AB⏜的度数是13×80°=40°，∴AB⏜对的圆周角∠ADB的度数是12故选：A．求出AB⏜=AD⏜=CD⏜，根据圆周角∠BDC的度数求出它所对的BC⏜的度数，求出AB⏜的度数，再求出答案即可．本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能根据定理求出AB⏜= AD⏜=CD⏜是解此题的关键．10.【答案】D=1，故此选项正确，【解析】解：A、由表格可知：抛物线的对称轴为直线x=−3+52不符合题意；B、当x=3时，y=−5，则x=3是方程ax2+bx+c+5=0的一个根，故此选项正确，不符合题意；C、由表格可得：抛物线开口向上，由对称得：抛物线与x轴的另一个交点为(4,0)，所以当−2<x<4时，y<0，故此选项正确，不符合题意；D、抛物线开口向上，当x>1时，y随x的增大而增大，若A(x1,5)，B(x2,6)是该抛物线上的两点，分两种情况：当A与B在对称轴左侧时，则x1>x2，当A与B在对称轴右侧时，则x1<x2，故此选项不正确，符合题意；故选：D．根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x=1，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．本题考查了二次函数的最值，抛物线与x轴的交点，仔细分析表格数据，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．11.【答案】x<−1【解析】解：12(x−1)>2+3x，去括号，得：12x−12>2+3x，移项、合并，得：−52x>52，系数化为1，得：x<−1，故答案为：x<−1．根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、系数化为1可得．本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键．12.【答案】54【解析】解：如图：由正五边形ABCDE，BG平分∠ABC，可得∠DPG=90°，∴∠G+∠EDG=90°，∵∠EDF=360°5=72°，DG平分正五边形的外角∠EDF，∴∠EDG=12∠EDF=36°，∴∠G=90°−∠EDG=54°．故答案为：54．根据正五边形的轴对称性以及多边形的外角和等于360度解答即可．本题考查了多边形外角和定理，关键是熟记：多边形的外角和等于360度．13.【答案】83【解析】【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|.在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12|k|，且保持不变．也考查了相似三角形的判定与性质．作辅助线，构建直角三角形，利用反比例函数k的几何意义得到S△OCE=S△OBD=12k，根据OA的中点C，利用△OCE∽△OAB得到面积比为1：4，代入可得结论．【解答】解：连接OD，过C作CE//AB，交x轴于E，∵∠ABO=90°，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过OA的中点C，∴S△COE=S△BOD=12k，S△ACD=S△OCD=2，∵CE//AB，∴△OCE∽△OAB，，∴4S△OCE=S△OAB，∴4×12k=2+2+12k，∴k=83，故答案为83．14.【答案】3−√52【解析】解：∵tan∠DAB=2=DBAD，∠ADB=90°，∴设DB=2x，AD=x，∵AD2+BD2=AB2，∴5x2=25，∴x=√5，∴BD=2√5，AD=√5，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=DO=√5，AB//CD，∴∠ABD=∠CBD，∵BE⊥l于点E，∴∠BEO=90°，∴点E在以BO为半径的圆上，如图，设BO的中点为H，过点H作HF⊥CD于F，当点E在线段HF上时，则点E到直线CD的距离有最小值为E′F，∴OH=BH=E′H=√52，∴DH=3√52，∵sin∠DBA=sin∠CDB=ADAB =FHDH，∴√55=FH3√52，∴FH=32，∴E′F=32−√52=3−√52，故答案为3−√52．先求出AD ，BD 的长，由点E 在以BO 为半径的圆上，可得当点E 在线段HF 上时，则点E 到直线CD 的距离有最小值为E′F ，利用锐角三角函数可求解．本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，锐角三角函数等知识，确定点E 的运动轨迹是本题的关键．15.【答案】解：(−1)2021+|2√3−4|−(13)−2+4cos30°=−1+4−2√3−9+4×√32=3−2√3−9+2√3=−6．【解析】首先计算乘方、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．16.【答案】解：(1−a a−1)÷a 2+2a+1a 2−1 =a −1−a a −1⋅(a +1)(a −1)(a +1)2=−1a+1，当a =√2−1时，原式=√2−1+1=−√22． 【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a 的值代入化简后的式子即可解答本题．本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．17.【答案】解：如图，直线DE 即为所求．【解析】延长BC，在BC的延长线上取一点T，使得CT=CA，作线段BT的垂直平分线，垂足为E，作直线DE即可．本题考查作图−复杂作图，三角形的面积，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．18.【答案】解：∵EF是AC的垂直平分线，∴AO=CO，∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，∴∠OAF=∠OCE，在△AOF和△COE中，{∠OAF=∠OCE ∠AOF=∠COE OA=OC，∴△AOF≡△COE(ASA)，∴AF=CE=5，∵EF是AC的垂直平分线，∴AE=CE=5，Rt△ABE中，∵BE=3，∴AB=√52−32=4．【解析】利用垂直平分线的性质以及矩形的性质，即可△AOF≡△COE(ASA)，进而得出AF=CE=5，最后运用勾股定理得到AB的长．本题考查矩形的性质、线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是利用全等三角形以及勾股定理进行推理计算．19.【答案】600 5天6天【解析】解：(1)本次调查共抽取了：240÷40%=600名学生，故答案为：600，参加活动8天的学生有：600−240−120−150−30=60(人)，补全的条形统计图如右图所示；(2)由条形统计图可得，在这次抽样调查中，众数为5天，中位数是6天，故答案为：5天，6天；(3)2500×(1−40%−20%)=2500×40%=1000(人)，即估计“活动时间不少于7天”的学生人数大约有1000人．(1)根据参加活动5天的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查共抽取的学生数，然后再根据条形统计图中的数据，即可计算出参加活动8天的学生人数，从而可以将条形统计图补充完整；(2)根据条形统计图中的数据，可以得到众数和中位数；(3)根据统计图中的数据，可以计算出活动时间不少于7天”的学生人数大约有多少人．本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．20.【答案】解：∵AB⊥OC′，OS⊥OC′，∴SO//AB，∴△ABC∽△SOC，∴BCBC+OB =ABOS，即11+OB =1.5ℎ，解得OB =23ℎ−1①，同理，∵A′B′⊥OC′，∴△A′B′C′∽△SOC′，∴B′C′B′C′+BB′+OB=A′B′OS ， 即 1.81.8+4+OB =1.5ℎ②，把①代入②得， 1.85.8+2ℎ3−1=1.5ℎ，解得：ℎ=9(米)． 答：路灯离地面的高度是9米．【解析】先根据AB ⊥OC′，OS ⊥OC′可知△ABC∽△SOC ，同理可得△A′B′C′∽△SOC′，再由相似三角形的对应边成比例即可得出h 的值．此题主要考查了相似三角形的应用，正确表示出DF ，DE 的长是解题关键． 21.【答案】解：(1)设y 1=k 1x +b ，根据题意，得：{b =3010k 1+b =180，解得{k 1=15b =30， ∴方案一所需费用y 1与x 之间的函数关系式为y 1=15x +30；(2)设y 2与x 之间的函数关系式为y 2=k 2x ，∵打折前的每次健身费用为15÷0.6=25(元)，∴k 2=25×0.8=20；∴y 2=k 2x ，当健身8次时，选择方案一所需费用：y 1=15×8+30=150(元)，选择方案二所需费用：y 2=20×8=160(元)，∵150<160，∴选择方案一所需费用更少．【解析】(1)设y 1=k 1x +b ，利用待定系数法求解即可；(2)设y 2与x 之间的函数关系式为y 2=k 2x ，求出k 2，将x =8分别代入y 1、y 2关于x 的函数解析式，比较即可．本题考查了一次函数的应用，解题的关键是理解两种优惠活动方案，求出y 1、y 2关于x 的函数解析式．22.【答案】随机【解析】解：(1)由题意可知，小李同学抽到物理实验题目①这是一个随机事件．故答案为：随机；(2)根据题意画图如下：共有9种等可能的情况数，其中同时抽到两科都准备得较好的实验题目的有2种，则P(同时抽到两科都准备得较好)=2．9(1)根据“必然”、“不可能”或“随机”三种事件的特点，可知小李同学抽到物理实验题目①这是一个什么事件；(2)根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以求得他同时抽到两科都准备得较好的实验题目的概率．本题考查列表法与树状图法、随机事件，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．23.【答案】(1)证明：如图，连接EF，∵∠BAC=90°，∴EF是⊙O的直径，∴OA=OE，∴∠BAD=∠AEO，∵点D是Rt△ABC的斜边BC的中点，∴AD=BD，∴∠B=∠BAD，∴∠AEO=∠B，∴OE//BC，∵EG⊥BC，∴OE⊥EG，∵点E在⊙O上，∴EG是⊙O的切线；(2)∵∠BAD=∠AEO，tan∠BAD=34，∠BAC=90°，∴tan∠AEF=AFAE =34，∵AF=6，∴AE=8，由(1)知EF//BC，∵AO=DO，∴BE=AE=8，∵EG是⊙O的切线，EF是⊙O的直径，∴EG⊥EF，∴EG⊥BC，由(1)知∠B=∠BAD，∵tan∠B=EGBG =34，∴设EG=3x，BG=4x，∴BE=√EG2+BG2=5x=8，∴x=85，∴EG=3×85=245．【解析】(1)先判断出EF是⊙O的直径，进而判断出OE//BC，即可得出结论；(2)先根据三角函数求出AE，再根据平行线等分线段定理得出BE=AE，最后由三角函数和勾股定理即可得出结论．此题主要考查了切线的判定和性质，直角三角形斜边的中线是斜边的一半，勾股定理，三角函数，平行线的性质，判断出EF//BC是解本题的关键．24.【答案】解：(1)当x=0时，y=4，∴与y轴交点A(0,4)，当y=0时，−14x2+32x+4=0，解得：x=−2或8，∴B(−2,0)，C(8,0)；(2)y=−14x2+32x+4=−14(x−3)2+254，当P在x轴的上方时，即为抛物线的顶点P(3,254)时，可以构成平行四边形BPCQ，如图1，当P在x轴的下方时，∵BC=2+8=10，若四边形BPCQ为平行四边形，则BC//PQ，BC=PQ=10，有两种情况：①当P在抛物线对称轴的左侧时，如图2，∴点P的横坐标为−7，当x=−7时，y=−14×(−7)2+32×(−7)+4=−754，此时P(−7,−754)；②当P在抛物线对称轴的右侧时，如图3，∴点P的横坐标为13，当x=13时，y=−14×132+32×13+4=−754，此时P(13,−754)；综上所述，点P 的坐标为P(3,254)或(−7,−754)或(13,−754)；(3)如图3，∵A(0,4)、B(−2,0)、C(8,0)∴OA =4，OB =2，OC =8，∴OB AO =24=12，OA OC =48=12，∴OB OA =OA OC ，∵∠AOB =∠AOC =90°，∴△AOB∽△COA ，∴∠BAO =∠ACO ，∵∠ACO +∠OAC =90°，∴∠BAO +∠OAC =90°，∴∠BAC =90°，∴△ABC 是直角三角形，∴△ABC 的外心就是斜边AB 的中点E ，∵BC =10，∴BC 的中点E 的坐标为(3,0)，即平移后的解析式经过E(3,0)，∴相当于把原抛物线向右平移5个单位，∴平移后的解析式为：y =−14(x −3−5)2+254=−14x 2+4x −394．【解析】(1)分别令x=0和y=0代入可求得点A，B，C的坐标；(2)利用配方法求出抛物线的顶点坐标，分三种情况：)；当P在x轴的上方时，即为抛物线的顶点P(3,254当P在x轴的下方时，有两种情况：①当P在抛物线对称轴的左侧时，如图2，②当P 在抛物线对称轴的右侧时，如图3，根据PQ=BC=10，求出横坐标后再求纵坐标；(3)通过证明△AOB∽△COA，得△ABC是直角三角形，得△ABC的外心E的坐标为(3,0)，则抛物线向右平移5个单位，由此写出平移后的抛物线的解析式．本题是二次函数的综合题，难度适中，考查了抛物线与两坐标轴交点的坐标、平移的原则、利用配方法求顶点坐标等知识．25.【答案】(−3,4)【解析】解：(1)∵点A(−4,0)，点B(0,3)，∴OA=4，OB=3，由旋转的性质可知，BO=BO′=3，OM=O′N=1，∠OBO′=90°，∴N(−3,4)．故答案为：(−3,4)．(2)如图②中，∵BM=BN，∴O′M+BN=O′M+BM，作点B关于OA的对称点B′，连接O′B′交OA于M，连接BM，′M+BM的值最小．∵O′(−3,3)，B′(0,−3)，∴直线O′B′的解析式为y=−2x−3，∴M(−3,0)，2∴O′N=OM=32，∴N(−3,9 2 ).(3)存在．理由：如图③−1中，当点O′落在AB的延长线上时，△PO′A′的面积最大．由题意，OA=4，OB=3，∴AB=√OA2+OB2=√32+42=5，∴PA：PB=2：1，∴PB=53，∴PO′=PB+PO′=143，∴△PO′A′的面积的最大值=12×4×143=283．如图③−2中，当点O′落在AB上时，△PO′A′的面积最小，最小值为12×4×(3−53)=83．(1)利用旋转变换的性质求解即可．(2)由题意，O′M+BN=O′M+BM，作点B关于OA的对称点B′，连接O′B′交OA于M，连接BM，′M+BM的值最小．求出直线O′B′的解析式，可得点M的坐标，求出OM，可得结论．(3)如图③−1中，当点O′落在AB的延长线上时，△PO′A′的面积最大，如图③−2中，当点O′落在AB上时，△PO′A′的面积最小，分别求解即可．本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，轴对称最短问题，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．。
2021年中考数学模拟试卷含答案解析 (15)
2021年中考数学模拟试卷一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）1．在下列六个数中：0，，，0.101001，﹣10%，5213，分数的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个2．如图是一个由正方体和一个正四棱锥组成的立体图形，它的俯视图是（）A．B．C．D．3．二次函数y＝2（x﹣1）2﹣3的顶点坐标为（）A．（1，3）B．（﹣1，﹣3）C．（﹣1，3）D．（1，﹣3）4．下面命题正确的是（）A．矩形对角线互相垂直B．方程x2＝14x的解为x＝14C．六边形内角和为540°D．一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等5．一艘渔船从港口A沿北偏东60°方向航行至C处时突然发生故障，在C处等待救援．有一救援艇位于港口A正东方向20（﹣1）海里的B处，接到求救信号后，立即沿北偏东45°方向以30海里/小时的速度前往C处救援．则救援艇到达C处所用的时间为（）A．小时B．小时C．小时D．小时6．若a是﹣1的整数部分，b是5+的小数部分，则a（﹣b）的值为（）A．6B．4C．9D．37．一次数学竞赛共有30道题，规定答对一道得10分，答错一道或者不答扣3分，在这次竞赛中，小亮想至少得120分，设他答对了x道题，则根据题意可列出不等式为（）A．10x﹣（30﹣x）≤120B．10x≥120C．10x＞120D．10x﹣3（30﹣x）≥1208．根据流程图中的程序，当输入x的值为﹣2时，输出y的值为（）A．4B．6C．8D．109．用若干大小相同的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下列规律铺成一列图案，其中，第①幅图中黑、白色瓷砖共5块；第②幅图中黑、白色瓷砖共12块：第③幅图中黑、白色瓷砖共21块．则第6幅图案中黑、白色瓷砖共（）块．A．45B．49C．60D．6410．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3．直径为5的⊙O分别与AC、BC相切于点F、E，与AB交于点M、N，过点O作OP⊥MN于P，则OP的长为（）A．1B．C．D．11．“大金鹰”雕塑，雄居在重庆南山671米高的鹞鹰岩上，家住南山的小星同学利用周末去测量大金鹰的大致高度．大金鹰是雄踞在一人造石台上，石台侧面BC长15米，坡度i＝1：0.75，小星站在距离C点16米的D点，测得大金鹰顶部A的仰角为64°，则大金鹰AB的高度约为（）米．（参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05，结果保留一位小数）A．37.3B．37.2C．39.3D．39.212．关于x的分式方程+＝﹣2的解为正数，且关于x的不等式组有解，则满足上述要求的所有整数a的和为（）A．﹣16B．﹣12C．﹣10D．﹣6二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）13．港珠澳大桥是世界最长的跨海大桥，其中主体工程“海中桥隧”长达35.578公里，整个大桥造价超过720亿元人民币.720亿用科学记数法可表示为元．14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC＝60°，AB＝2，分别以点A、点C为圆心，以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）15．一个不透明的口袋中装有若干只除了颜色外其它都完全相同的小球，若袋中有红球6只，且摸出红球的概率为，则袋中共有小球只．16．如图，矩形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝DE，BC＝3BF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点A恰好落在BC边上的点G处，则cos∠EGF的值为．17．上周日，小飞与小林参加了“青春劲跑”长跑比赛．点A，点B及终点C顺次在一条直线上比赛时，小飞从A点起跑，同时小林则从与A点相距200米的B点起跑，小飞全程都保持匀速跑，小林按某一速度匀速跑一段时间后，感觉状态良好，于是将跑速提高了40米/分，并按新的速度匀速前进直至终点C．如图为比赛开始后，两人的跑步时间x （单位：分）与两人距离终点的距离y（单位：米）之间的函数图象．则在本次比赛中，小林从出发到完成比赛，共用时分．18．某个“清凉小屋”自动售货机出售A、B、C三种饮料．A、B、C三种饮料的单价分别是2元/瓶、3元/瓶、5元/瓶．工作日期间，每天上货量是固定的，且能全部售出，其中，A饮料的数量（单位：瓶）是B饮料数量的2倍，B饮料的数量（单位：瓶）是C饮料数量的2倍．某个周六，A、B、C三种饮料的上货量分别比一个工作日的上货量增加了50%，60%，50%，且全部售出，但是由于软件bug，发生了一起错单（即消费者按某种饮料1瓶的价格投币，但是取得了另一种饮料1瓶），结果这个周六的销售收入比一个工作日的销售收入多了403元，则这个“清凉小屋”自动售货机一个工作日的销售收入是元．三．解答题（共8小题，满分78分）19．（10分）计算：（1）（x+2y）2﹣（x﹣y）（x﹣4y）（2）（﹣x+2）÷20．（10分）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∠ABC的角平分线BE交AC于点E．点D为AB上一点，且AD＝AC，CD，BE交于点M．（1）求∠DMB的度数；（2）若CH⊥BE于点H，证明：AB＝4MH．21．（10分）期末考试后，某市第一中学为了解本校九年级学生期末考试数学学科成绩情况，决定对该年级学生数学学科期末考试成绩进行抽样分析，已知九年级共有12个班，每班48名学生．请按要求回答下列问题：收集数据（1）若要从全年级学生中抽取一个96人的样本，你认为以下抽样方法中比较合理的有．（只要填写序号即可）①随机抽取两个班级的96名学生；②在全年级学生中随机抽取96名学生；③在全年级12个班中分别各随机抽取8名学生；④从全年级学生中随机抽取96名男生．整理数据（2）将抽取的96名学生的成绩进行分组，绘制频数分布表和成绩分布扇形统计图（不完整）如下．请根据图表中数据填空：①C类和D类部分的圆心角度数分别为、；②估计全年级A、B类学生大约一共有名．成绩（单位：分）频数频率A类（80～100）0.5B类（60～79）0.25C类（40～59）16D类（0～39）8分析数据（3）学校为了解其它学校教学情况，将同层次的第一、第二两所中学的抽样数据进行对比，得下表：学校平均数（分）极差（分）方差A、B类的频率和第一中学71524320.75第二中学71804970.82你认为哪所学校的教学效果较好？结合数据，请提出一个合理解释来支持你的观点．22．（10分）亲子装是现代家庭中的一种流行趋势，亲子装不仅能表达“我们是亲密的一家人”的浓浓亲情，同时家长可以过一把“孩意”瘾，重温那份久违的童真．某专卖店购进一批甲、乙两款亲子装，共花费了18400元，甲款比乙款多20套，其中每套甲款亲子装进价200元，每套乙款亲子装进价160元，进行试销售，供不应求，很快全部销售完毕，已知每套乙款亲子装售价为240元，（1）求购进甲、乙两款亲子装各多少套？（2）六一儿童节临近，专卖店又购入第二批甲、乙两款亲子装并进行促销活动，在促销期间，每套甲款亲子装在进价的基础上提高（a+10）%销售，每套乙款亲子装在第一批售价的基础上降低a%销售，结果在促销活动中，甲款亲子装的销售量比第一批甲款销售量降低了a%，乙款亲子装的销售量比第一批乙款销售量上升了25%，结果本次促销活动共获利5200元，求a的值．23．（10分）在平面直角坐标系中，若点P的坐标为（x，y），则定义：d（x，y）＝|x|+|y|为点P到坐标原点O的“折线距离”．（1）若已知P（﹣2，3），则点P到坐标原点O的“折线距离”d（﹣2，3）＝；（2）若点P（x，y）满足2x+y＝0，且点P到坐标原点O的“折线距离”d（x，y）＝6，求出P的坐标；（3）若点P到坐标原点O的“折线距离”d（x，y）＝3，试在坐标系内画出所有满足条件的点P构成的图形，并求出该图形的所围成封闭区域的面积．24．（10分）定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，我们把形如a+bi（a，b为实数，i是虚数单位）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．复数的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如计算：（2+）+（3﹣5i）＝（2+3）+（1﹣5）i＝5﹣4i；（1+i）×（2﹣i）＝1×2﹣1×i+2×i﹣i2＝2+（﹣1+2）i﹣（﹣1）＝3+i．根据以上信息，解答下列问题：（1）下列等式或命题中，错误的是A．i4＝1B．复数（1+i）2的实部为0C．（1+i）×（3﹣4i）＝﹣1﹣iD．i+i2+i3+i4+…+i2019＝﹣1（2）计算：①（1+2i）（2﹣i）+（2﹣i）2；②（1+2）3（1﹣2i）3．25．（10分）在平行四边形ABCD中，BC的垂直平分线交AC于F，连线AE、BF．（1）如图1，若BF⊥AC，AE＝3，AD＝6，求AF的长；（2）如图2，若AE，BF交于点G，且∠ACD＝∠BGE，求证：AF+2FG＝FC．26．（8分）综合与探究：如图1，Rt△AOB的直角顶点O在坐标原点，点A在y轴正半轴上，点B在x轴正半轴上，OA＝4，OB＝2．将线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BC，过点C作CD⊥x 轴于点D，抛物线y＝ax2+3x+c经过点C，与y轴交于点E（0，2），直线AC与x轴交于点H．（1）求点C的坐标及抛物线的表达式；（2）如图2，已知点G是线段AH上的一个动点，过点G作AH的垂线交抛物线于点F （点F在第一象限）．设点G的横坐标为m．①点G的纵坐标用含m的代数式表示为；②如图3，当直线FG经过点B时，求点F的坐标，判断四边形ABCF的形状并证明结论；③在②的前提下，连接FH，点N是坐标平面内的点，若以F，H，N为顶点的三角形与△FHC全等，请直接写出点N的坐标．2021年中考数学模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）1．在下列六个数中：0，，，0.101001，﹣10%，5213，分数的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据分数的定义解答即可．【解答】解：在下列六个数中：0，，，0.101001，﹣10%，5213中，分数有，0.101001，﹣10%共3个．故选：B．2．如图是一个由正方体和一个正四棱锥组成的立体图形，它的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】俯视图是从上面看，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【解答】解：如图所示：它的俯视图是：．故选：C．3．二次函数y＝2（x﹣1）2﹣3的顶点坐标为（）A．（1，3）B．（﹣1，﹣3）C．（﹣1，3）D．（1，﹣3）【分析】二次函数的顶点式方程：y＝a（x﹣h）2+k，其顶点坐标是P（h，k）．【解答】解：∵二次函数的顶点式方程是：y＝2（x﹣1）2﹣3，∴该函数的顶点坐标是：（1，﹣3）；故选：D．4．下面命题正确的是（）A．矩形对角线互相垂直B．方程x2＝14x的解为x＝14C．六边形内角和为540°D．一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等【分析】由矩形的对角线互相平分且相等得出选项A不正确；由方程x2＝14x的解为x＝14或x＝0得出选项B不正确；由六边形内角和为（6﹣2）×180°＝720°得出选项C不正确；由直角三角形全等的判定方法得出选项D正确；即可得出结论．【解答】解：A．矩形对角线互相垂直，不正确；B．方程x2＝14x的解为x＝14，不正确；C．六边形内角和为540°，不正确；D．一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，正确；故选：D．5．一艘渔船从港口A沿北偏东60°方向航行至C处时突然发生故障，在C处等待救援．有一救援艇位于港口A正东方向20（﹣1）海里的B处，接到求救信号后，立即沿北偏东45°方向以30海里/小时的速度前往C处救援．则救援艇到达C处所用的时间为（）A．小时B．小时C．小时D．小时【分析】过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D．设CD＝x海里．解Rt△CAD，得出AD＝x海里．解Rt△CBD得出BD＝x海里．根据AD﹣BD＝AB列出方程x﹣x ＝20（﹣1），求出x＝20，那么BC＝CD＝20海里，再利用时间＝路程÷速度求解．【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D．由题意，得∠CAD＝30°，设CD＝x海里．在Rt△CAD中，∵∠CAD＝30°，∴AC＝2CD＝2x海里，AD＝CD＝x海里．在Rt△CBD中，∵∠CBD＝45°，∴BD＝CD＝x海里．∵AD﹣BD＝AB，∴x﹣x＝20（﹣1），解得x＝20，∴BC＝CD＝20海里，∵救援艇的速度为30海里/小时，∴救援艇到达C处所用的时间为＝（小时）．故选：C．6．若a是﹣1的整数部分，b是5+的小数部分，则a（﹣b）的值为（）A．6B．4C．9D．3【分析】先估算和的大小，然后求出a、b的值，代入所求式子计算即可．【解答】解：∵2＜﹣1＜3，∴a＝2，又∵7＜5+＜8，∴5+的整数部分为7∴b＝5+﹣7＝﹣2；∴a（﹣b）＝2×（﹣+2）＝4．故选：B．7．一次数学竞赛共有30道题，规定答对一道得10分，答错一道或者不答扣3分，在这次竞赛中，小亮想至少得120分，设他答对了x道题，则根据题意可列出不等式为（）A．10x﹣（30﹣x）≤120B．10x≥120C．10x＞120D．10x﹣3（30﹣x）≥120【分析】将答对题数所得的分数减去答错或不答所扣的分数，在由题意知小亮答题所得的分数大于等于120分，列出不等式即可．【解答】解：设他答对了x道题，根据题意可得：10x﹣3（30﹣x）≥120．故选：D．8．根据流程图中的程序，当输入x的值为﹣2时，输出y的值为（）A．4B．6C．8D．10【分析】根据所给的函数关系式所对应的自变量的取值范围，将x的值代入对应的函数即可求得y的值．【解答】解：∵x＝﹣2，不满足x≥1∴对应y＝﹣x+5，故输出的值y＝﹣x+5＝﹣×（﹣2）+5＝1+5＝6．故选：B．9．用若干大小相同的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下列规律铺成一列图案，其中，第①幅图中黑、白色瓷砖共5块；第②幅图中黑、白色瓷砖共12块：第③幅图中黑、白色瓷砖共21块．则第6幅图案中黑、白色瓷砖共（）块．A．45B．49C．60D．64【分析】设第n幅图案中黑、白色瓷砖共a n块（n为正整数），观察图形，根据各图案中黑、白色瓷砖数量的变化可得出变化规律“a n＝n2+4n（n为正整数）”，再代入n＝6即可求出结论．【解答】解：设第n幅图案中黑、白色瓷砖共a n块（n为正整数）．观察图形，可知：a1＝12+1×4＝5，a2＝22+2×4＝12，a3＝32+3×4＝21，…，∴a n＝n2+4n（n为正整数），∴a6＝62+4×6＝60．故选：C．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3．直径为5的⊙O分别与AC、BC相切于点F、E，与AB交于点M、N，过点O作OP⊥MN于P，则OP的长为（）A．1B．C．D．【分析】连结OE，OF，则四边形OFCE为正方形，可证明△AFG∽△ACB，可求出OG 长，证明△OGP∽△ABC可求出OP的长．【解答】解：连结OE，OF，∵⊙O分别与AC、BC相切于点F、E，∴OE⊥BC，OF⊥AC，∵OE＝OF，∴四边形OFCE为正方形，设FG＝x，∵FG∥BC，∴△AFG∽△ACB，∴，∴，解得x＝，∴OG＝，∵∠OGP＝∠AGF＝∠ABC，∴△OGP∽△ABC，∴，∴，∴．故选：B．11．“大金鹰”雕塑，雄居在重庆南山671米高的鹞鹰岩上，家住南山的小星同学利用周末去测量大金鹰的大致高度．大金鹰是雄踞在一人造石台上，石台侧面BC长15米，坡度i＝1：0.75，小星站在距离C点16米的D点，测得大金鹰顶部A的仰角为64°，则大金鹰AB的高度约为（）米．（参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05，结果保留一位小数）A．37.3B．37.2C．39.3D．39.2【分析】延长AB交DC的延长线于H，根据坡度的概念分别求出CH、BH，根据正切的定义求出AH，结合图形计算得到答案．【解答】解：延长AB交DC的延长线于H，则AH⊥DC，设CH＝3x米，∵石台侧面BC的坡度i＝1：0.75，∴BH＝4x米，在Rt△BCH中，BC2＝CH2+BH2，即152＝（3x）2+（4x）2，解得，x＝3，则CH＝3x＝9，BH＝4x＝12，∴DH＝DC+CH＝25，在Rt△ADH中，tan∠ADH＝，∴AH＝DH•tan∠ADH≈25×2.05＝51.25，∴AB＝AH﹣BH＝39.25≈39.3，故选：C．12．关于x的分式方程+＝﹣2的解为正数，且关于x的不等式组有解，则满足上述要求的所有整数a的和为（）A．﹣16B．﹣12C．﹣10D．﹣6【分析】根据分式方程的解为正数即可得出a＜2且a≠1，根据不等式组有解，即可得出a＞﹣5，找出﹣5＜a＜2且a≠1中所有的整数，将其相加即可得出结论．【解答】解：解分式方程得x＝，因为分式方程的解为正数，所以＞0且≠4，解得：a＜2且a≠1，解不等式，得：x≤a+5，∵不等式组有解，∴a+5＞0，解得：a＞﹣5，综上，﹣5＜a＜2，且a≠1，则满足上述要求的所有整数a的和为﹣4+（﹣3）+（﹣2）+（﹣1）+0＝﹣10，故选：C．二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）13．港珠澳大桥是世界最长的跨海大桥，其中主体工程“海中桥隧”长达35.578公里，整个大桥造价超过720亿元人民币.720亿用科学记数法可表示为7.2×1010元．【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．【解答】解：720亿＝72000000000＝7.2×1010．故答案为：7.2×1010．14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC＝60°，AB＝2，分别以点A、点C为圆心，以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为2﹣π．（结果保留π）【分析】根据菱形的性质得到AC⊥BD，∠ABO＝∠ABC＝30°，∠BAD＝∠BCD＝120°，根据直角三角形的性质求出AC、BD，根据扇形面积公式、菱形面积公式计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠ABO＝∠ABC＝30°，∠BAD＝∠BCD＝120°，∴AO＝AB＝1，由勾股定理得，OB＝＝，∴AC＝2，BD＝2，∴阴影部分的面积＝×2×2﹣×2＝2﹣π，故答案为：2﹣π．15．一个不透明的口袋中装有若干只除了颜色外其它都完全相同的小球，若袋中有红球6只，且摸出红球的概率为，则袋中共有小球10只．【分析】直接利用概率公式计算．【解答】解：设袋中共有小球只，根据题意得＝，解得x＝10，所以袋中共有小球10只．故答案为10．16．如图，矩形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝DE，BC＝3BF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点A恰好落在BC边上的点G处，则cos∠EGF的值为．【分析】连接AF，由矩形的性质得AD∥BC，AD＝BC，由平行线的性质得∠AEF＝∠GFE，由折叠的性质得∠AFE＝∠GFE，AF＝FG，推出∠AEF＝∠AFE，则AF＝AE，AE ＝FG，得出四边形AFGE是平行四边形，则AF∥EG，得出∠EGF＝∠AFB，设BF＝2x，则AD＝BC＝6x，AF＝AE＝FG＝3x，在Rt△ABF中，cos∠AFB＝＝，即可得出结果．【解答】解：连接AF，如图所示：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠AEF＝∠GFE，由折叠的性质可知：∠AFE＝∠GFE，AF＝FG，∴∠AEF＝∠AFE，∴AF＝AE，∴AE＝FG，∴四边形AFGE是平行四边形，∴AF∥EG，∴∠EGF＝∠AFB，设BF＝2x，则AD＝BC＝6x，AF＝AE＝FG＝3x，在Rt△ABF中，cos∠AFB＝＝＝，∴cos∠EGF＝，故答案为：．17．上周日，小飞与小林参加了“青春劲跑”长跑比赛．点A，点B及终点C顺次在一条直线上比赛时，小飞从A点起跑，同时小林则从与A点相距200米的B点起跑，小飞全程都保持匀速跑，小林按某一速度匀速跑一段时间后，感觉状态良好，于是将跑速提高了40米/分，并按新的速度匀速前进直至终点C．如图为比赛开始后，两人的跑步时间x （单位：分）与两人距离终点的距离y（单位：米）之间的函数图象．则在本次比赛中，小林从出发到完成比赛，共用时分．【分析】小飞全程匀速，速度为10200÷34＝300米/分，经过2分小飞追上小林，因此速度差为200÷2＝100米/分，小林的速度为300﹣100＝200米/分，小林15分钟行15×200＝3000米，15分钟以后的速度为200+40＝240米/分，以后行至C地所用时间为（10000﹣3000）÷240＝分，因此行完全程的时间为15+＝分．【解答】解：小飞的速度：10200÷34＝300米/分，速度差为：200÷2＝100米/分，小林的原速度为300﹣100＝200米/分，小林后速度为：200+40＝240米/分，小林前15分钟行驶的路程200×15＝3000米，小林行完剩下路程需要时间（10000﹣3000）÷240＝分，因此小林从出发到完成比赛，共用时15+＝分，故答案为：．18．某个“清凉小屋”自动售货机出售A、B、C三种饮料．A、B、C三种饮料的单价分别是2元/瓶、3元/瓶、5元/瓶．工作日期间，每天上货量是固定的，且能全部售出，其中，A饮料的数量（单位：瓶）是B饮料数量的2倍，B饮料的数量（单位：瓶）是C饮料数量的2倍．某个周六，A、B、C三种饮料的上货量分别比一个工作日的上货量增加了50%，60%，50%，且全部售出，但是由于软件bug，发生了一起错单（即消费者按某种饮料1瓶的价格投币，但是取得了另一种饮料1瓶），结果这个周六的销售收入比一个工作日的销售收入多了403元，则这个“清凉小屋”自动售货机一个工作日的销售收入是760元．【分析】设C饮料数量工作日时有x瓶，根据题意，得A、B两种饮料数量工作日时4x 瓶、2x瓶，A、B、C三种饮料周六数量分别为：6x（瓶），3.2x（瓶），1.5x（瓶），设变化了y元，得10.1x+y＝403，其中x为整数，即可求得y的值，进而求得工作日销售额．【解答】解：设C饮料数量工作日时有x瓶，根据题意，得A、B两种饮料数量工作日时4x瓶、2x瓶，A、B、C三种饮料周六数量分别为：4x（1+50%）＝6x（瓶），2x（1+60%）＝3.2x（瓶），x（1+50%）＝1.5x（瓶），∴工作日钱数：2×4x+3×2x+5x＝19x（元），周六钱数：2×6x+3×3.2x+5×1.5x＝29.1x（元），当不发生任何故障时，多出29.1x﹣19x＝10.1x（元），其中x为整数，由于发生了故障，周六的销售额发生了变化，设变化了y元，则10.1x+y＝403，其中x为整数，y＝1、2、3、﹣1、﹣2、﹣3，得y＝﹣1时，x＝40，所以工作日销售额为：19×40＝760（元）．故答案为760．三．解答题（共8小题，满分78分）19．（10分）计算：（1）（x+2y）2﹣（x﹣y）（x﹣4y）（2）（﹣x+2）÷【分析】（1）先利用完全平方公式和多项式乘多项式法则计算，再去括号、合并同类项即可得；（2）根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得．【解答】解：（1）原式＝x2+4xy+4y2﹣（x2﹣4xy﹣xy+4y2）＝x2+4xy+4y2﹣x2+4xy+xy﹣4y2＝9xy；（2）原式＝÷＝•＝﹣．20．（10分）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∠ABC的角平分线BE交AC 于点E．点D为AB上一点，且AD＝AC，CD，BE交于点M．（1）求∠DMB的度数；（2）若CH⊥BE于点H，证明：AB＝4MH．【分析】（1）根据角平分线的性质得到∠ABE＝∠CBE＝30°，根据等腰三角形的性质得到∠ACD＝∠ADC＝75°，根据三角形的外角性质计算，得到答案；（2）根据含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质计算，即可证明．【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BE是∠ABC的角平分线，∴∠ABE＝∠CBE＝30°，∵∠A＝30°，AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝75°，∴∠DMB＝∠ADC﹣∠ABE＝45°；（2）证明：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC，∵CH⊥BE，∠CBE＝30°，∴BC＝2CH，∴AB＝4CH，在Rt△CHM中，∠CMH＝45°，∴CH＝MH，∴AB＝4MH．21．（10分）期末考试后，某市第一中学为了解本校九年级学生期末考试数学学科成绩情况，决定对该年级学生数学学科期末考试成绩进行抽样分析，已知九年级共有12个班，每班48名学生．请按要求回答下列问题：收集数据（1）若要从全年级学生中抽取一个96人的样本，你认为以下抽样方法中比较合理的有②、③．（只要填写序号即可）①随机抽取两个班级的96名学生；②在全年级学生中随机抽取96名学生；③在全年级12个班中分别各随机抽取8名学生；④从全年级学生中随机抽取96名男生．整理数据（2）将抽取的96名学生的成绩进行分组，绘制频数分布表和成绩分布扇形统计图（不完整）如下．请根据图表中数据填空：①C类和D类部分的圆心角度数分别为60°、30°；②估计全年级A、B类学生大约一共有432名．成绩（单位：分）频数频率A类（80～100）0.5B类（60～79）0.25C类（40～59）16D类（0～39）8分析数据（3）学校为了解其它学校教学情况，将同层次的第一、第二两所中学的抽样数据进行对比，得下表：学校平均数（分）极差（分）方差A、B类的频率和第一中学71524320.75第二中学71804970.82你认为哪所学校的教学效果较好？结合数据，请提出一个合理解释来支持你的观点．【分析】（1）根据抽样调查的代表性和可靠性求解可得；（2）①用360°分别乘以C、D类人数所占比例即可得；②用总人数乘以A、B的频率和可得；（3）根据极差、方差和A、B的频率的意义给出合理解释即可（答案不唯一）．【解答】解：（1）抽样方法中比较合理的有②、③，故答案为：②、③；（2）①C类部分的圆心角度数为360°×＝60°，D类部分的圆心角度数为360°×＝30°；②估计全年级A、B类学生大约一共有12×48×（0.5+0.25）＝432名．故答案为：60°，30°，432；（3）第一中学教学效果好，极差、方差小于第二中学，说明第一中学学生两极分化，学生之间的差距较第二中学好．第二中学教学效果好，A、B类的频率和大于第一中学，说明第二中学学生及格率较第一中学学生好．（答案不唯一）．22．（10分）亲子装是现代家庭中的一种流行趋势，亲子装不仅能表达“我们是亲密的一家人”的浓浓亲情，同时家长可以过一把“孩意”瘾，重温那份久违的童真．某专卖店购进一批甲、乙两款亲子装，共花费了18400元，甲款比乙款多20套，其中每套甲款亲子装进价200元，每套乙款亲子装进价160元，进行试销售，供不应求，很快全部销售完毕，已知每套乙款亲子装售价为240元，（1）求购进甲、乙两款亲子装各多少套？（2）六一儿童节临近，专卖店又购入第二批甲、乙两款亲子装并进行促销活动，在促销期间，每套甲款亲子装在进价的基础上提高（a+10）%销售，每套乙款亲子装在第一批售价的基础上降低a%销售，结果在促销活动中，甲款亲子装的销售量比第一批甲款销售量降低了a%，乙款亲子装的销售量比第一批乙款销售量上升了25%，结果本次促销活动共获利5200元，求a的值．【分析】（1）设购进甲、乙两款亲子装分别为x、y套，根据甲、乙两款亲子装，共花费了18400元，甲款比乙款多20套，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题；（2）根据题意先分别求出促销活动中甲、乙两款亲子装单件利润和销售总量（用a表示），然后由促销活动共获利5200元，可以列出相应的方程，从而可以求得a的值．【解答】解：（1）设购进甲、乙两款亲子装分别为x、y套．依题意得，解得：，答：购进甲款亲子装60套，乙款亲子装40套．（2）依题意可知：第二批甲亲子装每件利润为：200（a+10）%＝（2a+20）（元），第二批乙款亲子装售价为：240•（1﹣a%）＝240﹣1.2a（元），乙亲子装每件利润为：（240﹣1.2a﹣160）＝（80﹣1.2a）元第二批甲款亲子装的销售量为：60•（1﹣a%）＝（60﹣0.6a）（件）第二批乙款亲子装的销售量为：40×（1+25%）＝50（件）依题意得：（2a+20）（60﹣0.6a）+50（80﹣1.2a）＝5200解得：a1＝0（不合题意舍去），a2＝40，∴a的值为40．答：a的值为40．23．（10分）在平面直角坐标系中，若点P的坐标为（x，y），则定义：d（x，y）＝|x|+|y|为点P到坐标原点O的“折线距离”．（1）若已知P（﹣2，3），则点P到坐标原点O的“折线距离”d（﹣2，3）＝5；（2）若点P（x，y）满足2x+y＝0，且点P到坐标原点O的“折线距离”d（x，y）＝6，求出P的坐标；（3）若点P到坐标原点O的“折线距离”d（x，y）＝3，试在坐标系内画出所有满足条件的点P构成的图形，并求出该图形的所围成封闭区域的面积．【分析】（1）根据新定义和绝对值的意义计算；（2）利用题意得到|x|+|y|＝6和y＝﹣2x，然后解方程组求出x和y即可得到P点坐标；（3）利用题意得到所有满足条件的点P构成的图形为正方形ABCD，然后计算它的面积即可．【解答】解：（1）点P到坐标原点O的“折线距离”d（﹣2，3）＝|﹣2|+|3|＝2+3＝5；故答案为5；（2）根据题意得|x|+|y|＝6，而2x+y＝0，即y＝﹣2x，∴|x|+|﹣2x|＝6，∴3|x|＝6，解得x＝2或﹣2，当x＝2时，y＝﹣2x＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝﹣2x＝4，∴P点坐标为（2，﹣4），（﹣2，4）；（3）如图，所有满足条件的点P构成的图形为正方形ABCD，该图形的所围成封闭区域的面积＝×6×6＝18．24．（10分）定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，我们把形如a+bi（a，b为实数，i是虚数单位）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．复数的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如计算：（2+）+（3﹣5i）＝（2+3）+（1﹣5）i＝5﹣4i；（1+i）×（2﹣i）＝1×2﹣1×i+2×i﹣i2＝2+（﹣1+2）i﹣（﹣1）＝3+i．根据以上信息，解答下列问题：（1）下列等式或命题中，错误的是CA．i4＝1B．复数（1+i）2的实部为0C．（1+i）×（3﹣4i）＝﹣1﹣iD．i+i2+i3+i4+…+i2019＝﹣1（2）计算：①（1+2i）（2﹣i）+（2﹣i）2；②（1+2）3（1﹣2i）3．【分析】（1）利用题中的新定义判断即可；（2）①原式利用多项式乘以多项式法则，完全平方公式化简，再利用题中的新定义计算即可求出值；②原式利用完全平方公式，以及多项式乘以多项式法则计算，再利用新定义化简即可求出值．【解答】解：（1）A．i4＝i2•i2＝（﹣1）×（﹣1）＝1，不符合题意；B．复数（1+i）2＝1+2i﹣1＝2i，实数部分为0，不符合题意；C．（1+i）×（3﹣4i）＝3﹣4i+3i+4＝7﹣i，符合题意；D．i+i2+i3+i4+…+i2019＝i﹣1﹣i+1+…+i﹣1﹣i＝﹣1，不符合题意，故选C；（2）①原式＝2﹣i+4i+2+4﹣4i﹣1＝7﹣i；②原式＝27（﹣3﹣4i）（1﹣2i）＝27（﹣3+6i﹣4i﹣8）＝27（﹣11+2i）＝﹣297+54i．25．（10分）在平行四边形ABCD中，BC的垂直平分线交AC于F，连线AE、BF．（1）如图1，若BF⊥AC，AE＝3，AD＝6，求AF的长；（2）如图2，若AE，BF交于点G，且∠ACD＝∠BGE，求证：AF+2FG＝FC．【分析】（1）过点E作EG⊥AC于点G，由平行四边形的性质BC＝AD＝6，由等腰直角三角形的性质可得GE＝FC＝3，由勾股定理可求AG的长，即可求AF的长；（2）通过证明△DAC∽△BGE，可得＝，AC＝2BG，即可得结论．【解答】解：（1）如图，过点E作EG⊥AC于点G，∵四边形ABCD是平行四边形∴BC＝AD＝6，∵BC的垂直平分线交AC于F，∴BF＝CF，且∠BFC＝90°，BC＝6∴BF＝CF＝6，EF＝BE＝EC＝3，∵EF＝CE，EG⊥AC∴GE＝FC＝3在Rt△AEG中，AG＝＝6，。
2021年陕西省西安市碑林区西北工业大学附属中学中考数学六模试卷
2021年陕西省西安市碑林区西北工大附中中考数学六模试卷一．选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的）1．（﹣2）0的值为（）A．2B．1C．D．02．一个角的余角是60°，则这个角的补角等于（）A．60°B．90°C．120°D．150°3．下列各式计算正确的是（）A．a6÷a3＝a2B．a2+a3＝a5C．（a+b）2＝a2+b2D．（a2）3＝a64．如图，AB∥CD，∠EFD＝115°，∠AEC＝70°，则∠CEF的大小为（）A．35°B．40°C．45°D．50°5．若正比例函数y＝kx，当x＝2时，y＝6，则下列各点在该函数图象上的是（）A．（﹣1，﹣3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（3，1）6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠BAC，则tan∠CAD的值是（）A．B．C．D．7．已知一次函数y＝ax+5和y＝bx+3，假设a＞0且b＜0，则这两个一次函数的图象的交点所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限8．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，若点E是边BC的中点，连接AE，过点D作DF⊥AE交AE于点F，则DF的长为（）A．1.8B．2.2C．2.4D．2.89．如图，⊙O的半径OA＝7.5，弦DE⊥AB于点C，若OC：BC＝3：2，则DE的长为（）A．7.5B．9C．10D．1210．在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝﹣x2﹣（2m+2n）x﹣6n+9与y＝x2+（5m﹣n）x+m2关于x轴对称，则m2+n2的值为（）A．13B．18C．24D．36二．填空题（共4小题，每题3分，共12分）11．分解因式：a3﹣4a＝．12．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F．若＝，DE＝4，则DF的长是．13．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO，点B（10，8），点D在BC边上，连接AD，把△ABD沿AD折叠，使点B恰好落在OC边上点E处，反比例函数y＝的图象经过点D，则k的值为．14．如图，在四边形ABCD中，连接对角线AC、BD，已知AB＝6，AC＝CD，∠ACB＝45°，∠ACD＝90°，则对角线BD的最大值为．三．解答题（共11小题，计78分，解答应写出过程）15．计算：（﹣2）﹣2﹣|﹣2|+．16．解方程：+1＝．17．如图，已知四边形ABCD，AD∥BC，E为AD上一点，请你用尺规在BC边上求作一点P，使得线段EP最小．（保留作图痕迹，不写作法）18．如图，已知AB＝AE，AB∥DE，∠ECB+∠D＝180°．求证：AD＝BC．19．某一天，小明和小亮想利用所学过的测量知识来测量一棵古树的高度AB．他们带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示，于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，通过测倾器测的角度为45°，再在BD的延长线上确定一点F，使DF＝5米，并在F处通过测倾器测的角度为30°，测倾器的高度CD＝EF＝1米．已知点F、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，则这棵古树的高度AB为多少米？（结果保留根号）20．某班“数学兴趣小组”对函数y＝x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如下：x…﹣3﹣﹣2﹣10123…y…3m﹣10﹣103…其中，m＝．（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请你画出该函数图象的另一部分．（3）进一步探究函数图象发现：①方程x2﹣2|x|＝0有个实数根；②关于x的方程x2﹣2|x|＝a有4个实数根时，a的取值范围是．21．某水果生产基地，某天安排30名工人采摘枇杷或草莓（每名工人只能做其中一项工作），并且每人每天摘0.4吨枇杷或0.3吨草莓，当天的枇杷售价每吨2000元，草莓售价每吨3000元，设安排其中x名工人采摘枇杷，两种水果当天全部售出，销售总额达y元．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若要求当天采摘枇杷的数量不少于草莓的数量，求销售总额的最大值．22．某中学开展迎十四运主题宣传活动，给同学们分发十四运吉祥物卡片：A卡片“金金”；B卡片“羚羚”；C卡片“熊熊”；D卡片“朱朱”，要求每名学生必须选择且只能选择其中一张卡片，学校随机抽查了部分学生，对他们的卡片选择情况进行了统计，并绘制了两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息解答下列问题：（1）此次共抽查了名学生；（2）请通过计算补全条形统计图；（3）现有甲，乙两名同学选卡片，求他们选择同一张卡片的概率．23．如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，交⊙O于点P，直线AB与⊙O相切于点B，连接BP并延长，交直线l于点C．（1）求证：AB＝AC；（2）若OB＝3，P A＝2，求线段PB的长．24．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴与BC交于点E，点M在抛物线的对称轴上，点N在y轴上，当以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形时，求点M的坐标．25．问题提出（1）如图①，在△ABC中，D、E分别是AB和AC的中点，连接DE，则DE与BC的数量关系是，位置关系是；问题探究（2）如图②，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，CD＝4，E为AD中点，连接BE，求BE的最大值；问题解决（3）如图③，某小区计划在一片足够大的空地上修建四边形的花园ABCD，其中BC＝20米，AD＝CD，AD⊥CD，AB∥CD，由于受地理位置的影响，∠ABC＜90°．根据要求，现计划给该花园修建条笔直的绿色长廊，且绿色长廊的入口O定为BC的中点，出口定为点D，为了尽可能地提高观赏体验，要求绿色长廊OD最长，试求绿色长廊OD 最长为多少米？参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（﹣2）0的值为（）A．2B．1C．D．0【分析】直接利用零指数幂的性质计算得出答案．【解答】解：（﹣2）0＝1．故选：B．2．一个角的余角是60°，则这个角的补角等于（）A．60°B．90°C．120°D．150°【分析】根据一个锐角的不尽比它的余角大90°求解即可．【解答】解：60°+90°＝150°，即这个角的补角等于150°．故选：D．3．下列各式计算正确的是（）A．a6÷a3＝a2B．a2+a3＝a5C．（a+b）2＝a2+b2D．（a2）3＝a6【分析】根据完全平方公式与幂的运算公式进行计算即可．【解答】解：A．a6÷a3＝a4，故选项错误；B．a2+a3≠a5，故选项错误；C．（a+b）2＝a2+2ab+b2，故选项错误；D．（a2）3＝a6，故选项正确；故选：D．4．如图，AB∥CD，∠EFD＝115°，∠AEC＝70°，则∠CEF的大小为（）A．35°B．40°C．45°D．50°【分析】由平行线的性质及平角的定义求解即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠EFD+∠FEB＝180°，∵∠EFD＝115°，∴∠FEB＝180°﹣115°＝65°，∵∠AEC+∠CEF+∠FEB＝180°，∠AEC＝70°，∴∠CEF＝180°﹣70°﹣65°＝45°．故选：C．5．若正比例函数y＝kx，当x＝2时，y＝6，则下列各点在该函数图象上的是（）A．（﹣1，﹣3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（3，1）【分析】由点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出k值，进而可得出正比例函数解析式，再分别代入x＝﹣1，x＝1及x＝3，求出与之对应的y值，对照四个选项后即可得出结论．【解答】解：依题意得：6＝2k，解得：k＝3，∴正比例函数解析式为y＝3x．当x＝﹣1时，y＝3×（﹣1）＝﹣3，∴点（﹣1，﹣3）在该函数图象上，点（﹣1，3）不在该函数图象上；当x＝1时，y＝3×1＝3，∴点（1，﹣3）不在该函数图象上；当x＝3时，y＝3×3＝9，∴点（3，1）不在该函数图象上．故选：A．6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠BAC，则tan∠CAD的值是（）A．B．C．D．【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD＝DE，再利用“HL”证明Rt△ACD和Rt△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝AC，再利用勾股定理列式求出AB，然后求出BE，设CD＝DE＝x，表示出BD，然后利用勾股定理列出方程求CD，再在在Rt△ACD中，由正切的定义求tan∠CAD的值即可．【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，∵AD平分∠BAC，∴CD＝DE，在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AE＝AC＝6，由勾股定理得，AB＝＝＝10，∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4，设CD＝DE＝x，则BD＝8﹣x，在Rt△BDE中，DE2+BE2＝BD2，x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3，即CD的长为3，∴在Rt△ACD中，tan∠CAD＝＝＝．故选：B．7．已知一次函数y＝ax+5和y＝bx+3，假设a＞0且b＜0，则这两个一次函数的图象的交点所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据k的符号来确定一次函数y＝kx+b的图象所经过的象限，然后根据a、b的情况即可求得交点的位置．【解答】解：∵一次函数y＝ax+5中a＞0，∴一次函数y＝ax+5的图象经过第一、二、三象限．又∵一次函数y＝bx+3中b＜0，∴一次函数y＝bx+3的图象经过第一、二、四象限．∵3＜5，∴这两个一次函数的图象的交点在第二象限，故选：B．8．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，若点E是边BC的中点，连接AE，过点D作DF⊥AE交AE于点F，则DF的长为（）A．1.8B．2.2C．2.4D．2.8【分析】根据勾股定理求出AE＝2.5，证明△ABE∽△DF A，根据相似三角形的性质即可求解．【解答】解：在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，∠BAD＝∠B＝90°，∵点E是边BC的中点，∴BE＝BC＝1.5，∴AE＝＝2.5，∵DF⊥AE，∴∠BAE+∠DAF＝∠DAF+∠FDA＝90°，∴∠BAE＝∠FDA，∵∠B＝∠AFD＝90°，∴△ABE∽△DF A，∴，∴，∴DF＝2.4．故选：C．9．如图，⊙O的半径OA＝7.5，弦DE⊥AB于点C，若OC：BC＝3：2，则DE的长为（）A．7.5B．9C．10D．12【分析】连接OD，由题意得OD＝OB＝OA＝7.5，OC＝OB＝4.5，再由垂径定理得CD ＝CE＝DE，然后由勾股定理求出CD＝6，即可得出答案．【解答】解：连接OD，如图所示：∵⊙O的半径OA＝7.5，OC：BC＝3：2，∴OD＝OB＝OA＝7.5，OC＝OB＝4.5，∵DE⊥AB，∴CD＝CE＝DE，∴CD＝＝＝6，∴DE＝2CD＝12，故选：D．10．在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝﹣x2﹣（2m+2n）x﹣6n+9与y＝x2+（5m﹣n）x+m2关于x轴对称，则m2+n2的值为（）A．13B．18C．24D．36【分析】根据关于x轴对称，函数y是互为相反数即可求得．【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2﹣（2m+2n）x﹣6n+9与y＝x2+（5m﹣n）x+m2关于x轴对称，∴﹣y＝x2+（2m+2n）x+6n﹣9，∴x2+（2m+2n）x+6n﹣9＝x2+（5m﹣n）x+m2，∴，解得m＝3，n＝3，∴m2+n2＝18．故选：B．二．填空题（共4小题）11．分解因式：a3﹣4a＝a（a+2）（a﹣2）．【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝a（a2﹣4）＝a（a+2）（a﹣2）．故答案为：a（a+2）（a﹣2）12．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F．若＝，DE＝4，则DF的长是10．【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，＝，∴＝＝，即＝，解得，EF＝6，∴DF＝DE+EF＝10，故答案为：10．13．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO，点B（10，8），点D在BC边上，连接AD，把△ABD沿AD折叠，使点B恰好落在OC边上点E处，反比例函数y＝的图象经过点D，则k的值为30．【分析】首先根据翻折变换的性质，可得AE＝AB＝5，DE＝BD；然后设点D的坐标是（10，b），在Rt△CDE中，根据勾股定理，求出CD的长度，进而求出k的值．【解答】解：∵△ABD沿AD折叠，使点B恰好落在OC边上点E处，点B（10，8），∴AE＝AB＝10，DE＝BD，∵AO＝8，AE＝10，∴OE＝＝6，CE＝10﹣6＝4，设点D的坐标是（10，b），则CD＝b，DE＝8﹣b，∵CD2+CE2＝DE2，∴b2+42＝（8﹣b）2，解得b＝3，∴点D的坐标是（10，3），∵反比例函数的图象经过点D，∴k＝10×3＝30，故答案为30．14．如图，在四边形ABCD中，连接对角线AC、BD，已知AB＝6，AC＝CD，∠ACB＝45°，∠ACD＝90°，则对角线BD的最大值为6+6．【分析】如图，作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，延长BO交⊙于E，连接AE，DE．证明△AED∽△AOC，推出＝＝，推出DE＝OC，求出DE，BE，可得结论．【解答】解：如图，作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，延长BO交⊙于E，连接AE，DE．∵∠AOB＝2∠ACB，∠ACB＝45°，∴∠AOB＝90°，∵BE是直径，∴OE＝OA，∠AOE＝90°，∴∠EAO＝45°，AE＝AO，∵△ADC是等腰直角三角形，∴∠DAC＝45°，AD＝AC，∴∠EAO＝∠DAC＝45°，∴∠EAD＝∠OAC，∵＝＝，∴△AED∽△AOC，∴＝＝，∴DE＝OC，∵AB＝6，∠AOB＝90°，∴OA＝OB＝OC＝3，∴DE＝6，EC＝6，∵BD≤DE+EB，∴BD≤6+6，∴BD的最小值为6+6，故答案为：6+6．三．解答题（共11小题）15．计算：（﹣2）﹣2﹣|﹣2|+．【分析】直接利用负整数指数幂的性质、绝对值的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝﹣（2﹣）+2＝﹣2++2＝3﹣．16．解方程：+1＝．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：x﹣1+x﹣3＝﹣2，移项合并得：2x＝2，解得：x＝1，检验：把x＝1代入得：x﹣3＝1﹣3＝﹣2≠0，则x＝1是分式方程的解．17．如图，已知四边形ABCD，AD∥BC，E为AD上一点，请你用尺规在BC边上求作一点P，使得线段EP最小．（保留作图痕迹，不写作法）【分析】过点E作EP⊥BC于点P即可．【解答】解：如图，线段EP即为所求作．18．如图，已知AB＝AE，AB∥DE，∠ECB+∠D＝180°．求证：AD＝BC．【分析】由平行线的性质得到∠CAB＝∠E，由邻补角的定义得到∠D＝∠ACB，然后可根据AAS判定出△ABC≌△EAD，即可得解．【解答】证明：∵AB∥DE，∴∠CAB＝∠E，∵∠ECB+∠D＝180°，∠ECB+∠ACB＝180°，∴∠D＝∠ACB，在△ABC与△EAD中，，∴△ABC≌△EAD（AAS），∴AD＝BC．19．某一天，小明和小亮想利用所学过的测量知识来测量一棵古树的高度AB．他们带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示，于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，通过测倾器测的角度为45°，再在BD的延长线上确定一点F，使DF＝5米，并在F处通过测倾器测的角度为30°，测倾器的高度CD＝EF＝1米．已知点F、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，则这棵古树的高度AB为多少米？（结果保留根号）【分析】直接利用锐角三角函数关系得出AN的长，进而得出答案．【解答】解：连接EC并延长交AB于点N，由题意可得：EN⊥AB，四边形EFDC是矩形，故FD＝EC＝5米，EF＝DC＝BN＝1米，则设AN＝x米，故CN＝x米，可得：tan30°＝，解得：x＝，则AB＝+1＝（米），答：这棵古树的高度AB为米．20．某班“数学兴趣小组”对函数y＝x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如下：x…﹣3﹣﹣2﹣10123…y…3m﹣10﹣103…其中，m＝0．（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请你画出该函数图象的另一部分．（3）进一步探究函数图象发现：①方程x2﹣2|x|＝0有3个实数根；②关于x的方程x2﹣2|x|＝a有4个实数根时，a的取值范围是﹣1＜a＜0．【分析】解：（1）根据函数的对称性即可求解；（2）描点画出函数图象即可；（3）①从图象上看函数与x轴有3个交点，故对应方程x2﹣2|x|＝0有3个根，即可求解；②x2﹣2|x|＝a有4个实数根时，即y＝x2﹣2|x|和y＝a有4个交点，从图象看，此时﹣1＜a≤0．【解答】解：（1）根据函数的对称性，m＝0，故答案为：0；（2）描点画出如下函数图象：（3）①从图象上看函数与x轴有3个交点，故对应方程x2﹣2|x|＝0有3个根，故答案为：3；②x2﹣2|x|＝a有4个实数根时，即y＝x2﹣2|x|和y＝a有4个交点，从图象看，此时﹣1＜a＜0，故答案为：﹣1＜a＜0．21．某水果生产基地，某天安排30名工人采摘枇杷或草莓（每名工人只能做其中一项工作），并且每人每天摘0.4吨枇杷或0.3吨草莓，当天的枇杷售价每吨2000元，草莓售价每吨3000元，设安排其中x名工人采摘枇杷，两种水果当天全部售出，销售总额达y元．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若要求当天采摘枇杷的数量不少于草莓的数量，求销售总额的最大值．【分析】（1）x名工人采摘枇杷，那么30名工人中剩下的人采摘草莓，根据每人采摘枇杷和草莓的数量及其枇杷和草莓分别的售价即可列出销售总额y与x的函数关系，（2）根据当天采摘枇杷的数量不少于草莓的数量列出关于x的一元一次不等式，解出x 的最小值代入y与x之间的函数关系式即可．【解答】解：（1）x名工人采摘枇杷，那么（30﹣x）名工人采摘草莓，采摘的枇杷的数量为0.4x吨，采摘的草莓的数量为0.3（30﹣x）吨，根据题意，得：y＝2000×0.4x+3000×0.3（30﹣x），整理后，得：y＝27000﹣100x，y与x之间的函数关系式为y＝27000﹣100x，（2）根据题意得：0.4x≥0.3（30﹣x），解得：x≥，∵x为正整数，∴x的最小值为13，∵x越小，y越大，∴把x＝13代入y＝27000﹣100x，解得：y＝25700，即：销售综合的最大值为25700元，答：若要求当天采摘枇杷的数量不少于草莓的数量，销售综合的最大值为25700元．22．某中学开展迎十四运主题宣传活动，给同学们分发十四运吉祥物卡片：A卡片“金金”；B卡片“羚羚”；C卡片“熊熊”；D卡片“朱朱”，要求每名学生必须选择且只能选择其中一张卡片，学校随机抽查了部分学生，对他们的卡片选择情况进行了统计，并绘制了两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息解答下列问题：（1）此次共抽查了210名学生；（2）请通过计算补全条形统计图；（3）现有甲，乙两名同学选卡片，求他们选择同一张卡片的概率．【分析】（1）由D课程人数及其所占百分比求解即可；（2）总人数减去A、B、D人数即可求出C课程人数，从而补全图形；（3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【解答】解：（1）此次抽查的学生人数为42÷20%＝210（名），故答案为：210；（2）C课程人数为210﹣（58+50+42）＝60（人），补全图形如下：（3）列表如下：A B C DA（A，A）（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（B，B）（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）（C，C）（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）（D，D）由表知，共有16种等可能结果，其中他们选择同一张卡片的有4种结果，∴他们选择同一张卡片的概率为＝．23．如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，交⊙O于点P，直线AB与⊙O相切于点B，连接BP并延长，交直线l于点C．（1）求证：AB＝AC；（2）若OB＝3，P A＝2，求线段PB的长．【分析】（1）根据切线的性质得到OB⊥AB，根据同角的余角相等、等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，证明结论；（2）过点B作BD⊥OP于D，根据勾股定理求出AB、PC，证明△BDP∽△CAP，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【解答】（1）证明：∵直线AB与⊙O相切于点B，∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，∵OA⊥AC，∴∠OAC＝90°，∵∠OBC+∠ABC＝90°，∠ACP+∠APC＝90°，∵OB＝OP，∴∠APC＝∠OPB＝∠OBP，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC；（2）解：过点B作BD⊥OP于D，在Rt△OBA中，AB＝＝＝4，∴AC＝AB＝4，∴PC＝＝＝2，∵S△ABC＝×OB×AB＝×OA×BD，∴×3×4＝×5×BD，解得，BD＝，∵∠BDP＝∠CAP＝90°，∠BPD＝∠CP A，∴△BDP∽△CAP，∴＝，即＝，解得，PB＝．24．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴与BC交于点E，点M在抛物线的对称轴上，点N在y轴上，当以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形时，求点M的坐标．【分析】（1）将A，B的坐标代入抛物线的解析式，利用待定系数法可求；（2）利用分类讨论的思想，分以CE为边和以CE为对角线两种情形讨论．利用菱形的四条边相等和对角线垂直平分的性质可求点M的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过A（1，0）和B（3，0），∴，解得．∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3；（2）如下图，∵抛物线y＝x2﹣4x+3的对称轴为直线x＝2，直线BC的解析式为y＝﹣x+3，∴点E的坐标为（2，1）．∵C（0，3），∴EC＝2．①当以EC为边时，所得的菱形为CEM1N1和CEM2N2，根据菱形的四条边相等，EM1＝EM2＝EC＝2，∵点M在对称轴x＝2上，∴点M的坐标为（2，1+2）或（2，1﹣2）．②当以EC为对角线时，所得的菱形为CEM3N3，∵CE与M3N3互相垂直平分，又∠BCO＝45°，记CE与M3N3的交点为F，∴△CN3F是等腰直角三角形．∴EM3＝CN3＝CF＝2，则点M3的坐标为（2，3）．综上，M点的坐标为（2，1+2）或（2，1﹣2）或（2，3）．25．问题提出（1）如图①，在△ABC中，D、E分别是AB和AC的中点，连接DE，则DE与BC的数量关系是DE＝BC，位置关系是DE∥BC；问题探究（2）如图②，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，CD＝4，E为AD中点，连接BE，求BE的最大值；问题解决（3）如图③，某小区计划在一片足够大的空地上修建四边形的花园ABCD，其中BC＝20米，AD＝CD，AD⊥CD，AB∥CD，由于受地理位置的影响，∠ABC＜90°．根据要求，现计划给该花园修建条笔直的绿色长廊，且绿色长廊的入口O定为BC的中点，出口定为点D，为了尽可能地提高观赏体验，要求绿色长廊OD最长，试求绿色长廊OD 最长为多少米？【分析】（1 ）根据中位线定理即可得出答案；（2）取AC的中点F，连接EF、BF，由图在△BEF中，BF+EF＞BE，可得当B、E、F 三点共线的时候BE最大，此时BE＝BF+EF，根据中位线可得出EF的长度，在Rt△ABF 中根据勾股定理可得BF的长度，即可得出BE的最大值；（3）过C作CM⊥AB于M点，在AD上截取DN使DN＝BM，连接BN，取CN中点P，连接DP、OP，可证得ADCM为正方形，再证明△CMB≌△CDN，易证△BCN为等腰直角三角形，从而得出BN的长度，根据中位线定理可得出OP的长度；利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半求出DP＝CN＝10，再根据OP+PD＞OD可得，当O、P、D三点共线时OD最大，即可得出答案．【解答】解：（1）由题可知，D、E分别是AB和AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC且DE＝﹣BC；故答案为：DE＝BC，DE∥BC；（2）如图，取AC的中点F，连接EF、BF，∵E、F分别是AD和AC的中点，∴EF为△ADC的中位线，∴EF∥DC且EF＝CD＝×4＝2，在Rt△ABF中，AB＝4，AF＝AC＝2：BF＝＝2；在△BEF中，BF+EF＞BE，∴当B、E、F三点共线的时候BE最大，即此时BE＝BF+EF＝2+2，答：BE的最大值为2+2；（3）过C作CM⊥AB于M点，在AD上截取DN使DN＝BM，连接BN，取CN中点P，连接DP．OP，∵CM⊥AB，AB∥CD，∴∠CMA＝∠MCD＝∠ADC＝90°，∴四边形ADCM为矩形，∵AD＝CD．∴矩形ADCM为正方形，∴CD＝CM，在△CMB与△CDN中，，∴△CMB≌△CDN（SAS），∴CN＝CB，∠BCM＝∠NCD，∴∠BCN＝∠MCD＝90°，在Rt△BCN中，BC＝CN＝20，∴BN＝＝20，在Rt△CDN中，点P为CN中点，∴DP＝CN＝10，在Rt△BCN中，点P、O分别为CN、CB中点，∴OP为△BCN的中位线，∴OP∥BN且OP＝BN＝10，在△OPD中，OP+PD＞OD，∴当O、P．D三点共线的时OD最大，即此时OD＝OP+PD＝10+10，答：绿色长廊OD最长为（10+10）米．。
(绝密陕西专用)2021年陕西省西安市中考数学精品模拟试卷(后附答案详解)
2021年陕西省西安市中考数学精品模拟试卷（后附答案详解）（满分120分，答题时间120分钟）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．数1，0，−23，﹣2中最大的是（ ） A ．1B ．0C ．−23D ．﹣22. 如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图为（ ）A ．B ．C ．D ．3. 如图，点D 在△ABC 的边AB 的延长线上，DE ∥BC ，若∠A ＝35°,∠C ＝24°,则∠D 的度数是（ ）A. 24°B. 59°C. 60°D. 69° 4.如果a+b=2，那么代数（a ﹣）•的值是（ ） A ．2B ．﹣2C ．D ．﹣5. 如图，在等腰△ABC 中，BD 为∠ABC 的平分线，∠A ＝36°，AB ＝AC ＝a ，BC ＝b ，则CD ＝（ ）A ．a+b 2B ．a−b 2C ．a ﹣bD ．b ﹣a6.数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，方程x+5＝ax+b的解是（）A．x＝20B．x＝5C．x＝25D．x＝157.如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB的中线，过点D作DE⊥AC于点E，延长DE至点F，使EF＝DE，连接AF，CF，点G在线段CF上，连接EG，且∠CDE+∠EGC＝180°，FG＝2，GC＝3．下列结论：①DE=12BC；②四边形DBCF是平行四边形；③EF＝EG；④BC＝2√5．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个8.如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线BD的中点，AD∥x轴且AD＝4，∠A＝60°，将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是（）A．（0，2√3）B．（2，﹣4）C．（2√3，0）D．（0，2√3）或（0，﹣2√3）9.如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E、F分别为BC、AD的中点．以C为圆心，2̂，再分别以E、F为圆心，1为半径作圆弧BÔ、OD̂，则图中阴影部分的面积为（）为半径作圆弧BDA．π﹣1B．π﹣2C．π﹣3D．4﹣π10.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1．给出下列结论：①ac＜0；②b2﹣4ac＞0；③2a﹣b＝0；④a﹣b+c＝0．其中，正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题(共4小题，每小题3分，计12分)11.2020年6月23日，中国北斗系统第五十五颗导航卫星暨北斗三号最后一颗全球组网卫星成功发射入轨，可以为全球用户提供定位、导航和授时服务．今年我国卫星导航与位置服务产业产值预计将超过4000亿元．把数据4000亿元用科学记数法表示为．12.如图，在边长为2cm的正六边形ABCDEF中，点P在BC上，则△PEF的面积为cm2．13.在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣2，1），以原点O为位似中心，把线段OA放大为原来的2倍，点A的对应点为A′．若点A'恰在某一反比例函数图象上，则该反比例函数解析式为．14. 如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AB，AD的中点，BF与EC、ED分别交于点M，N．已知AB＝4，BC＝6，则MN的长为．三 解答题(共11小题,计78分.解答应写出过程) 15.(本题满分4分)计算：sin30°﹣（π﹣3.14）0+（−12）﹣2；16.(本题满分4分) 解分式方程：x−2x−3x−2=1．17. (本题满分6分)如图，点O 在∠ABC 的边BC 上，以OB 为半径作⊙O ，∠ABC 的平分线BM 交⊙O 于点D ，过点D 作DE ⊥BA 于点E ．（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹），补全图形； （2）判断⊙O 与DE 交点的个数，并说明理由．18.（本题满分5分）如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形ADE ，连接BE ，CE ． （1）求证：△BAE ≌△CDE ； （2）求∠AEB 的度数．19.（本题满分7分）随着科技的进步和网络资源的丰富，在线阅读已成为很多人选择的阅读方式．为了解同学们在线阅读情况，某校园小记者随机调查了本校部分同学，并统计他们平均每天的在线阅读时间t （单位：min），然后利用所得数据绘制成如下不完整的统计图表．在线阅读时间频数分布表t<3050t<5070t<7090t<90110根据以上图表，解答下列问题：（1）这次被调查的同学共有______人，a=______，m=_____；（2）求扇形统计图中扇形D的圆心角的度数；（3）若该校有950名学生，请估计全校有多少学生平均每天的在线阅读时间不少于50 min?20.（本题满分7分）2020年5月5日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运载火箭在海南文昌首飞成功．运較火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD＝4000米，仰角为30°．3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°．已知C，D两处相距460米，求火箭从A 到B处的平均速度（结果精确到1米/秒，参考数据：√3≈1.732，√2≈1.414）．21.（本题满分7分）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨．（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？（2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．22.（本题满分8分）从2021年起，江苏省高考采用“3+1+2”模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科． （1）若小丽在“1”中选择了历史，在“2”中已选择了地理，则她选择生物的概率是 ； （2）若小明在“1”中选择了物理，用画树状图的方法求他在“2”中选化学、生物的概率．23.（本题满分8分）如图，在Rt ABC △中，90︒∠=C ，点O 在AC 上，以OA 为半径的半圆O 交AB 于点D ，交AC 于点E ，过点D 作半圆O 的切线DF ，交BC 于点F ．（1）求证：BF DF =；（2）若4AC =，3BC =，1CF =，求半圆O 的半径长． 24（本题满分10分）如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A ，B ，C ，它的对称轴为直线l ．（1）求该抛物线的表达式；（2）P 是该抛物线上的点，过点P 作l 的垂线，垂足为D ，E 是l 上的点．要使以P 、D 、E 为顶点的三角形与△AOC 全等，求满足条件的点P ，点E 的坐标．25.（本题满分12分）定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形． 理解：（1）若四边形ABCD 是对余四边形，则A ∠与C ∠的度数之和为______； 证明：（2）如图1，MN 是O 的直径，点,,A B C 在O 上，AM ，CN 相交于点D ．求证：四边形ABCD 是对余四边形；探究：（3）如图2，在对余四边形ABCD 中，AB BC =，60ABC ︒∠=，探究线段AD ，CD 和BD 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由．2021年陕西省西安市中考数学精品模拟试卷（满分120分，答题时间120分钟）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．数1，0，−23，﹣2中最大的是（）A．1B．0C．−23D．﹣2【答案】A【解析】根据有理数大小比较的方法即可得出答案．﹣2＜−23＜0＜1，所以最大的是1．2.如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．从正面看易得第一列有2个正方形，第二列底层有1个正方形．3. 如图，点D在△ABC的边AB的延长线上，DE∥BC，若∠A＝35°,∠C＝24°,则∠D的度数是（）A. 24°B. 59°C. 60°D. 69°【答案】B【解析】∵∠A=35°，∠C=24°，∴∠DBC=∠A+∠C=35°+24°=59°，又∵DE∥BC，∴∠D=∠DBC=59°. 4.如果a+b=2，那么代数（a ﹣）•的值是（ ）A ．2B ．﹣2C ．D ．﹣【答案】A【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值． ∵a+b=2， ∴原式=•=a+b=25. 如图，在等腰△ABC 中，BD 为∠ABC 的平分线，∠A ＝36°，AB ＝AC ＝a ，BC ＝b ，则CD ＝（ ）A ．a+b 2B ．a−b 2C ．a ﹣bD ．b ﹣a【答案】C【解析】根据等腰三角形的性质和判定得出BD ＝BC ＝AD ，进而解答即可． ∵在等腰△ABC 中，BD 为∠ABC 的平分线，∠A ＝36°， ∴∠ABC ＝∠C ＝2∠ABD ＝72°， ∴∠ABD ＝36°＝∠A ， ∴BD ＝AD ，∴∠BDC ＝∠A +∠ABD ＝72°＝∠C ， ∴BD ＝BC ，∵AB ＝AC ＝a ，BC ＝b ， ∴CD ＝AC ﹣AD ＝a ﹣b6.数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，方程x+5＝ax+b的解是（）A．x＝20B．x＝5C．x＝25D．x＝15【答案】A【解析】两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解．∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25）∴直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P为x＝20．7.如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB的中线，过点D作DE⊥AC于点E，延长DE至点F，使EF＝DE，连接AF，CF，点G在线段CF上，连接EG，且∠CDE+∠EGC＝180°，FG＝2，GC＝3．下列结论：①DE=12BC；②四边形DBCF是平行四边形；③EF＝EG；④BC＝2√5．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【分析】证出DE是△ABC的中位线，则DE=12BC；①正确；证出DF＝BC，则四边形DBCF是平行四边形；②正确；由直角三角形斜边上的中线性质得出CD=12AB＝BD，则CF＝CD，得出∠CFE＝∠CDE，证∠CDE＝∠EGF，则∠CFE＝∠EGF，得出EF＝EG，③正确；作EH⊥FG于H，由等腰三角形的性质得出FH＝GH=12FG＝1，证△EFH∽△CEH，则EHCH=FHEH，求出EH＝2，由勾股定理的EF=√5，进而得出BC＝2√5，④正确．【解答】解；∵CD为斜边AB的中线，∴AD＝BD，∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，∵DE⊥AC，∴DE∥BC，∴DE是△ABC的中位线，∴AE＝CE，DE=12BC；①正确；∵EF＝DE，∴DF＝BC，∴四边形DBCF是平行四边形；②正确；∴CF∥BD，CF＝BD，∵∠ACB＝90°，CD为斜边AB的中线，∴CD=12AB＝BD，∴CF＝CD，∴∠CFE＝∠CDE，∵∠CDE+∠EGC＝180°，∠EGF+∠EGC＝180°，∴∠CDE＝∠EGF，∴∠CFE＝∠EGF，∴EF＝EG，③正确；作EH⊥FG于H，如图所示：则∠EHF＝∠CHE＝90°，∠HEF+∠EFH＝∠HEF+∠CEH＝90°，FH＝GH=12FG＝1，∴∠EFH＝∠CEH，CH＝GC+GH＝3+1＝4，∴△EFH∽△CEH，∴EHCH=FHEH，∴EH2＝CH×FH＝4×1＝4，∴EH＝2，∴EF=√FH2+EH2=√12+22=√5，∴BC＝2DE＝2EF＝2√5，④正确；8.如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线BD的中点，AD∥x轴且AD＝4，∠A＝60°，将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是（）A．（0，2√3）B．（2，﹣4）C．（2√3，0）D．（0，2√3）或（0，﹣2√3）【答案】D【解析】分点C旋转到y轴正半轴和y轴负半轴两种情况分别讨论，结合菱形的性质求解．根据菱形的对称性可得：当点D在x轴上时，A、B、C均在坐标轴上，如图，∵∠BAD＝60°，AD＝4，∴∠OAD＝30°，∴OD＝2，∴AO=√42−22=2√3=OC，∴点C的坐标为（0，−2√3），同理：当点C旋转到y轴正半轴时，点C的坐标为（0，2√3），∴点C的坐标为（0，2√3）或（0，−2√3）.9.如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E、F分别为BC、AD的中点．以C为圆心，2̂，再分别以E、F为圆心，1为半径作圆弧BÔ、OD̂，则图中阴影部分的面积为（）为半径作圆弧BDA．π﹣1B．π﹣2C．π﹣3D．4﹣π【答案】B【分析】根据题意和图形，可知阴影部分的面积是以2为半径的四分之一个圆的面积减去以1为半径的半圆的面积再减去2个以边长为1的正方形的面积减去以1半径的四分之一个圆的面积，本题得以解决． 【解析】由题意可得，阴影部分的面积是：14•π×22−12⋅π×12−2（1×1−14•π×12）＝π﹣2，10. 如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴为直线x ＝1．给出下列结论： ①ac ＜0；②b 2﹣4ac ＞0；③2a ﹣b ＝0；④a ﹣b +c ＝0． 其中，正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与x 轴、y 轴的交点，综合进行判断即可． 【解析】抛物线开口向下，a ＜0，对称轴为x =−b2a=1，因此b ＞0，与y 轴交于正半轴，因此c ＞0， 于是有：ac ＜0，因此①正确；由x =−b2a =1，得2a +b ＝0，因此③不正确，抛物线与x 轴有两个不同交点，因此b 2﹣4ac ＞0，②正确，由对称轴x ＝1，抛物线与x 轴的一个交点为（3，0），对称性可知另一个交点为（﹣1，0），因此a ﹣b +c ＝0，故④正确，综上所述，正确的结论有①②④。
陕西省中考数学试卷(含答案解析版)
2021年陕西省中考数学试卷一、选择题〔共10小题，每题3分，计30分。
每题只有一个选项是符合题意的〕1．〔3.00分〕〔2021•陕西〕﹣的倒数是〔〕A．B．C．D．2．〔3.00分〕〔2021•陕西〕如图，是一个几何体的外表展开图，那么该几何体是〔〕A．正方体B．长方体C．三棱柱D．四棱锥3．〔3.00分〕〔2021•陕西〕如图，假设l1∥l2，l3∥l4，那么图中与∠1互补的角有〔〕A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．〔3.00分〕〔2021•陕西〕如图，在矩形AOBC中，A〔﹣2，0〕，B〔0，1〕．假设正比例函数y=kx的图象经过点C，那么k的值为〔〕A．B．C．﹣2 D．25．〔3.00分〕〔2021•陕西〕以下计算正确的选项是〔〕A．a2•a2=2a4B．〔﹣a2〕3=﹣a6C．3a2﹣6a2=3a2D．〔a﹣2〕2=a2﹣4 6．〔3.00分〕〔2021•陕西〕如图，在△ABC中，AC=8，∠ABC=60°，∠C=45°，AD ⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E，那么AE的长为〔〕A．B．2C．D．37．〔3.00分〕〔2021•陕西〕假设直线l1经过点〔0，4〕，l2经过点〔3，2〕，且l1与l2关于x轴对称，那么l1与l2的交点坐标为〔〕A．〔﹣2，0〕B．〔2，0〕 C．〔﹣6，0〕D．〔6，0〕8．〔3.00分〕〔2021•陕西〕如图，在菱形ABCD中．点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点，连接EF、FG、CH和HE．假设EH=2EF，那么以下结论正确的选项是〔〕A．AB=EF B．AB=2EF C．AB=EF D．AB=EF9．〔3.00分〕〔2021•陕西〕如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，∠BCA=65°，作CD∥AB，并与⊙O相交于点D，连接BD，那么∠DBC的大小为〔〕A．15°B．35°C．25°D．45°10．〔3.00分〕〔2021•陕西〕对于抛物线y=ax2+〔2a﹣1〕x+a﹣3，当x=1时，y ＞0，那么这条抛物线的顶点一定在〔〕A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限二、填空题〔共4小题，每题3分，计12分〕11．〔3.00分〕〔2021•陕西〕比拟大小：3〔填“＞〞、“＜〞或“=〞〕．12．〔3.00分〕〔2021•陕西〕如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，那么∠AFE的度数为．13．〔3.00分〕〔2021•陕西〕假设一个反比例函数的图象经过点A〔m，m〕和B 〔2m，﹣1〕，那么这个反比例函数的表达式为．14．〔3.00分〕〔2021•陕西〕如图，点O是▱ABCD的对称中心，AD＞AB，E、F 是AB边上的点，且EF=AB；G、H是BC边上的点，且GH=BC，假设S1，S2分别表示△EOF和△GOH的面积，那么S1与S2之间的等量关系是．三、解答题〔共11小题，计78分。
2021年中考数学模拟试卷附答案解析 (16)
2021年中考数学模拟试卷一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）1．的平方根是（）A．6B．±6C．D．2．如图，几何体的左视图是（）A．B．C．D．3．将0.0000103用科学记数法表示为（）A．1.03×10﹣6B．1.03×10﹣5C．10.3×10﹣6D．103×10﹣4 4．民族图案是数学文化中的一块瑰宝．下列图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．下列计算正确的是（）A．（x﹣y）2＝x2﹣y2B．2x2+x2＝3x2C．（﹣2x2）3＝8x6D．x3÷x＝x36．如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB＝90°，若∠1+∠B＝65°，则∠2的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°7．某射击俱乐部将11名成员在某次射击训练中取得的成绩制成如图所示的条形统计图，由图可知，11名成员射击成绩的众数和中位数分别是（）A．8，9B．8，8C．8，10D．9，88．已知[x]表示不小于x的最小整数，若（x）表示不大于x的最大整数，当x≥1时，[x]﹣（x）的值可能有（）①0 ②1 ③2 ④﹣1A．1个B．2个C．3个D．4个9．在商场里，为方便一部分残疾人出入，商场特意设计了一种特殊通道“无障碍通道”，如图，线段BC表示无障碍通道，线段AD表示普通扶梯，其中“无障碍通道”BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，BC＝12米，CD＝6米，∠D＝30°，（其中点A、B、C、D均在同一平面内）则垂直升降电梯AB的高度约为（）米．A．10B．10﹣12C．12D．10+12 10．抛物线y＝x2﹣9与x轴交于A、B两点，点P在函数y＝的图象上，若△P AB为直角三角形，则满足条件的点P的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．6个11．如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A′B′CD′的位置时，若AB＝2，AD＝4，则阴影部分的面积为（）A．π﹣B．π﹣2C．π﹣4D．π﹣212．平面直角坐标系中，函数y＝（x＞0）的图象G经过点A（4，1），与直线y＝x+b 的图象交于点B，与y轴交于点C．其中横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G 在点A、B之间的部分与线段OA、OC、BC围成的区域（不含边界）为W．若W内恰有4个整点，结合函数图象，b的取值范围是（）A．﹣≤b＜1或＜b≤B．﹣≤b＜1或＜b≤C．﹣≤b＜﹣1或﹣＜b≤D．﹣≤b＜﹣1或＜b≤二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）13．把多项式a4﹣a2分解因式的结果是．14．如图，若正五边形和正六边形有一边重合，则∠BAC＝．15．方程的解是．16．A、B两地之间为直线距离且相距600千米，甲开车从A地出发前往B地，乙骑自行车从B地出发前往A地，已知乙比甲晚出发1小时，两车均匀速行驶，当甲到达B地后立即原路原速返回，在返回途中再次与乙相遇后两车都停止，如图是甲、乙两人之间的距离s（千类）与甲出发的时间t（小时）之间的图象，则当甲第二次与乙相遇时，乙离B 地的距离为千米．17．如图，正方形ABCD的边长为1，AC、BD是对角线，将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG．则下列结论：①四边形AEGF是菱形；②△HED的面积是1﹣；③∠AFG＝135°；④BC+FG＝．其中正确的结论是．（填入正确的序号）18．如图，正方形ABCD的边长为8，E为BC的四等分点（靠近点B的位置），F为B边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为．三．解答题（共9小题，满分78分）19．（6分）计算：﹣3tan30°+（π﹣4）0﹣（）﹣120．（6分）定义：给定两个不等式组P和Q，若不等式组P的任意一个解，都是不等式组Q的一个解，则称不等式组P为不等式组Q的“子集”．例如：不等式组：M：是：N：的“子集”．（1）若不等式组：A：，B：，则其中不等式组是不等式组M：的“子集”（填A或B）；（2）若关于x的不等式组是不等式组的“子集”，则a的取值范围是；（3）已知a，b，c，d为互不相等的整数，其中a＜b，c＜d，下列三个不等式组：A：a ≤x≤b，B：c≤x≤d，C：1＜x＜6满足：A是B的“子集”且B是C的“子集”，求a ﹣b+c﹣d的值；（4）已知不等式组M：有解，且N：1＜x≤3是不等式组的“子集”，则满足条件的有序整数对（m，n）共有多少个？21．（6分）如图，在菱形ABCD中，E、F分别为边AD和CD上的点，且AE＝CF．连接AF、CE交于点G．求证：∠DGE＝∠DGF．22．（8分）甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等．（1）甲、乙二人每小时各做零件多少个？（2）甲做几小时与乙做4小时所做机械零件数相等？23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在半圆上，＝，过D作DE⊥BC于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE＝2CE＝4，求⊙O的半径．24．（10分）有4张不透明的卡片，除正面上的图案不同外，其他均相同，将这4张卡片背面向上洗匀后放在桌面上．（1）从中随机抽取1张卡片，卡片上的图案是中心对称图形的概率为；（2）若从中随机抽取1张卡片后不放回，再随机抽取1张，请用列表的方法，求两次所抽取的卡片恰好都是中心对称图形的概率．25．（10分）如图，A为反比例函数y＝（其中x＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB＝4．连接OA、AB，且OA＝AB＝2．（1）求k的值；（2）过点B作BC⊥OB，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点C．①连接AC，求△ABC的面积；②在图上连接OC交AB于点D，求的值．26．（12分）如图1，△ABC中，∠BAC＝60°，D、E分别为AC、AB边上两点，且CD＝AB，AD＝AE，将线段CD绕点C逆时针旋转α角至CG．（1）如图2，当α＝120°时，连EG取EG中点P，连AP，CP，求证：AP垂直CP；（2）如图3，当α＝240°时，连AG，取AG中点P，连EP，CP，试判断EP与CP的关系，并证明；（3）在图1中，连BD，取BD中点Q，连AQ，则＝．27．（12分）如图1，抛物线C1：y＝ax2+bx﹣2与直线l：y＝﹣x﹣交于x轴上的一点A，和另一点B（3，n）（1）求抛物线C1的解析式；（2）点P是抛物线C1上的一个动点（点P在A，B两点之间，但不包括A，B两点）PM⊥AB于点M，PN∥y轴交AB于点N，求MN的最大值；（3）如图2，将抛物线C1绕顶点旋转180°后，再作适当平移得到抛物线C2，已知抛物线C2的顶点E在第一象限的抛物线C1上，且抛持线C2与抛物线C1交于点D，过点D作DF∥x轴交抛物线C2于点F，过点E作EG∥x轴交抛物线C1于点G，是否存在这样的抛物线C2，使得四边形DFEG为菱形？若存在，请求E点的横坐标；若不存在，请说明理由．2021年中考数学模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）1．的平方根是（）A．6B．±6C．D．【分析】先计算出的值，再求其平方根．【解答】解：∵＝6，∴6的平方根为，故选：D．2．如图，几何体的左视图是（）A．B．C．D．【分析】找到从左面看所得到的图形，比较即可．【解答】解：如图，几何体的左视图是．故选：C．3．将0.0000103用科学记数法表示为（）A．1.03×10﹣6B．1.03×10﹣5C．10.3×10﹣6D．103×10﹣4【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：将0.0000103用科学记数法表示为1.03×10﹣5．故选：B．4．民族图案是数学文化中的一块瑰宝．下列图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项正确；C．既不是轴对称，也不是中心对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．故选：B．5．下列计算正确的是（）A．（x﹣y）2＝x2﹣y2B．2x2+x2＝3x2C．（﹣2x2）3＝8x6D．x3÷x＝x3【分析】分别根据完全平方公式，合并同类项法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．【解答】解：A．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，故本选项不合题意；B.2x2+x2＝3x2，正确；C．（﹣2x2）3＝﹣8x6，故本选项不合题意；D．x3÷x＝x2，故本选项不合题意．故选：B．6．如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB＝90°，若∠1+∠B＝65°，则∠2的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠3＝∠1+∠B，再根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．【解答】解：由三角形的外角性质可得，∠3＝∠1+∠B＝65°，∵a∥b，∠DCB＝90°，∴∠2＝180°﹣∠3﹣90°＝180°﹣65°﹣90°＝25°．故选：B．7．某射击俱乐部将11名成员在某次射击训练中取得的成绩制成如图所示的条形统计图，由图可知，11名成员射击成绩的众数和中位数分别是（）A．8，9B．8，8C．8，10D．9，8【分析】中位数，因图中是按从小到大的顺序排列的，所以只要找出最中间的一个数（或最中间的两个数）即可，本题是最中间的那个数；对于众数可由条形统计图中出现频数最大或条形最高的数据写出．【解答】解：由条形统计图知8环的人数最多，所以众数为8环，由于共有11个数据，所以中位数为第6个数据，即中位数为8环，故选：B．8．已知[x]表示不小于x的最小整数，若（x）表示不大于x的最大整数，当x≥1时，[x]﹣（x）的值可能有（）①0 ②1 ③2 ④﹣1A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】分两种情况考虑，当x为大于1的整数时，当x为大于1的小数时，用给出的新定义分析即可得到答案．【解答】解：∵x≥1，当x为大于1的整数时，[x]﹣（x）＝x﹣x＝0，当x为大于1的小数时，则[x]﹣（x）＝1；则[x]﹣（x）的值可能有两个，故选：B．9．在商场里，为方便一部分残疾人出入，商场特意设计了一种特殊通道“无障碍通道”，如图，线段BC表示无障碍通道，线段AD表示普通扶梯，其中“无障碍通道”BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，BC＝12米，CD＝6米，∠D＝30°，（其中点A、B、C、D均在同一平面内）则垂直升降电梯AB的高度约为（）米．A．10B．10﹣12C．12D．10+12【分析】根据勾股定理，可得CE，BE的长，根据正切函数，可得AE的长，再根据线段的和差，可得答案．【解答】解：如图，延长AB交DC的延长线于点E，，由BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，得BE：CE＝1：2．设BE＝x，CE＝2x．在Rt△BCE中，由勾股定理，得BE2+CE2＝BC2，即x2+（2x）2＝（12）2，解得x＝12（米），∴BE＝12（米），CE＝24（米），DE＝DC+CE＝6+24＝30（米），由tan30°＝，得，解得AE＝10．由线段的和差，得AB＝AE﹣BE＝（10﹣12）（米），故选：B．10．抛物线y＝x2﹣9与x轴交于A、B两点，点P在函数y＝的图象上，若△P AB为直角三角形，则满足条件的点P的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．6个【分析】设点P的坐标为（x，y），分∠APB＝90°、∠P AB＝90°和∠PBA＝90°三种情况考虑：当∠APB＝90°时，以AB为直径作圆，由圆与双曲线4个交点可知此时点P 有4个；当∠P AB＝90°时，可找出x＝﹣3，进而可得出点P的坐标；当∠PBA＝90°时，可找出x＝3，进而可得出点P的坐标．综上即可得出结论．【解答】解：设点P的坐标为（x，y），当∠APB＝90°时，以AB为直径作圆，如图所示，∵圆与双曲线4个交点，∴点P有4个；当∠P AB＝90°时，x＝﹣3，y＝＝﹣，∴点P的坐标（﹣3，﹣）；当∠PBA＝90°时，x＝3，y＝，∴点P的坐标为（3，）．综上所述：满足条件的点P有6个．故选：D．11．如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A′B′CD′的位置时，若AB＝2，AD＝4，则阴影部分的面积为（）A．π﹣B．π﹣2C．π﹣4D．π﹣2【分析】先求出CE＝2CD，求出∠DEC＝30°，求出∠DCE＝60°，DE＝2，分别求出扇形CEB′和三角形CDE的面积，即可求出答案．【解答】解：连接CE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠BCD＝90°，Rt△EDC中，∵CE＝CB＝4，CD＝2，∴ED＝＝2，∠CED＝30°，∴∠ECD＝60°，S阴影＝﹣＝﹣2．故选：D．12．平面直角坐标系中，函数y＝（x＞0）的图象G经过点A（4，1），与直线y＝x+b 的图象交于点B，与y轴交于点C．其中横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A、B之间的部分与线段OA、OC、BC围成的区域（不含边界）为W．若W内恰有4个整点，结合函数图象，b的取值范围是（）A．﹣≤b＜1或＜b≤B．﹣≤b＜1或＜b≤C．﹣≤b＜﹣1或﹣＜b≤D．﹣≤b＜﹣1或＜b≤【分析】由于直线BC：y＝x+b与OA平行，分两种情况：直线l在OA的下方和上方，画图根据区域W内恰有4个整点，确定b的取值范围．【解答】解：如图1，直线l在OA的下方时，当直线l：y＝x+b过（0，﹣1）时，b＝﹣1，且经过（4，0）点，区域W内有三点整点，当直线l：y＝x+b过（1，﹣1）时，b＝﹣，且经过（5，0），区域W内有三点整点，∴区域W内恰有4个整点，b的取值范围是﹣≤b＜﹣1．如图2，直线l在OA的上方时，∵点（2，2）在函数y＝（x＞0）的图象G，当直线l：y＝x+b过（1，2）时，b＝，当直线l：y＝x+b过（1，3）时，b＝，∴区域W内恰有4个整点，b的取值范围是＜b≤．综上所述，区域W内恰有4个整点，b的取值范围是﹣≤b＜﹣1或＜b≤．故选：D．二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）13．把多项式a4﹣a2分解因式的结果是a2（a+1）（a﹣1）．【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝a2（a2﹣1）＝a2（a+1）（a﹣1），故答案为：a2（a+1）（a﹣1）14．如图，若正五边形和正六边形有一边重合，则∠BAC＝132°．【分析】根据正多边形的内角，角的和差，可得答案．【解答】解：正五边形的内角为＝108°，正六边形的内角为＝120°，∠BAC＝360°﹣108°﹣120°＝132°，故答案为：132°．15．方程的解是3．【分析】观察可得最简公分母是（x﹣4），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【解答】解：方程的两边同乘（x﹣4），得2﹣（x﹣1）＝0，解得x＝3．检验：把x＝3代入（x﹣4）＝﹣1≠0．∴原方程的解为：x＝3．16．A、B两地之间为直线距离且相距600千米，甲开车从A地出发前往B地，乙骑自行车从B地出发前往A地，已知乙比甲晚出发1小时，两车均匀速行驶，当甲到达B地后立即原路原速返回，在返回途中再次与乙相遇后两车都停止，如图是甲、乙两人之间的距离s（千类）与甲出发的时间t（小时）之间的图象，则当甲第二次与乙相遇时，乙离B 地的距离为千米．【分析】根据题意和函数图象可以分别求得甲乙的速度，从而可以得到当甲第二次与乙相遇时，乙离B地的距离．【解答】解：设甲的速度为akm/h，乙的速度为bkm/h，，解得，，设第二次甲追上乙的时间为m小时，100m﹣25（m﹣1）＝600，解得，m＝，∴当甲第二次与乙相遇时，乙离B地的距离为：25×（）＝千米，故答案为：．17．如图，正方形ABCD的边长为1，AC、BD是对角线，将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG．则下列结论：①四边形AEGF是菱形；②△HED的面积是1﹣；③∠AFG＝135°；④BC+FG＝．其中正确的结论是①②③．（填入正确的序号）【分析】依据四边形AEGF为平行四边形，以及AE＝GE，即可得到平行四边形AEGF 是菱形；依据AE＝﹣1，即可得到△HED的面积＝DH×AE＝（﹣1+1）（﹣1）＝1﹣；依据四边形AEGF是菱形，可得∠AFG＝∠GEA＝2×67.5°＝135°；根据四边形AEGF是菱形，可得FG＝AE＝﹣1，进而得到BC+FG＝1+﹣1＝．【解答】解：∵正方形ABCD的边长为1，∴∠BCD＝∠BAD＝90°，∠CBD＝45°，BD＝，AD＝CD＝1．由旋转的性质可知：∠HGD＝BCD＝90°，∠H＝∠CBD＝45°，BD＝HD，GD＝CD，∴HA＝BG＝﹣1，∠H＝∠EBG＝45°，∠HAE＝∠BGE＝90°，∴△HAE和△BGE均为直角边为﹣1的等腰直角三角形，∴AE＝GE．在Rt△AED和Rt△GED中，，∴Rt△AED≌Rt△GED（HL），∴∠AED＝∠GED＝（180°﹣∠BEG）＝67.5°，AE＝GE，∴∠AFE＝180°﹣∠EAF﹣∠AEF＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°＝∠AEF，∴AE＝AF．∵AE＝GE，AF⊥BD，EG⊥BD，∴AF＝GE且AF∥GE，∴四边形AEGF为平行四边形，∵AE＝GE，∴平行四边形AEGF是菱形，故①正确；∵HA＝﹣1，∠H＝45°，∴AE＝﹣1，∴△HED的面积＝DH×AE＝（﹣1+1）（﹣1）＝1﹣，故②正确；∵四边形AEGF是菱形，∴∠AFG＝∠GEA＝2×67.5°＝135°，故③正确；∵四边形AEGF是菱形，∴FG＝AE＝﹣1，∴BC+FG＝1+﹣1＝，故④不正确．故答案为：①②③．18．如图，正方形ABCD的边长为8，E为BC的四等分点（靠近点B的位置），F为B边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为5．【分析】由题意分析可知，点F为主动点，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等关系，得到点G的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG最小值．【解答】解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，则CM＝MP+CP＝HE+EC＝2+3＝5，故答案为：5．三．解答题（共9小题，满分78分）19．（6分）计算：﹣3tan30°+（π﹣4）0﹣（）﹣1【分析】直接利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值和负指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝2﹣3×+1﹣2＝2﹣+1﹣2＝﹣1．20．（6分）定义：给定两个不等式组P和Q，若不等式组P的任意一个解，都是不等式组Q的一个解，则称不等式组P为不等式组Q的“子集”．例如：不等式组：M：是：N：的“子集”．（1）若不等式组：A：，B：，则其中不等式组A是不等式组M：的“子集”（填A或B）；（2）若关于x的不等式组是不等式组的“子集”，则a的取值范围是a ≥2；（3）已知a，b，c，d为互不相等的整数，其中a＜b，c＜d，下列三个不等式组：A：a ≤x≤b，B：c≤x≤d，C：1＜x＜6满足：A是B的“子集”且B是C的“子集”，求a ﹣b+c﹣d的值；（4）已知不等式组M：有解，且N：1＜x≤3是不等式组的“子集”，则满足条件的有序整数对（m，n）共有多少个？【分析】（1）求出不等式组A与B的解集，利用题中的新定义判断即可（2）根据“子集”的定义确定出a的范围即可；（3）根据“子集”的定义确定出各自的值，代入原式计算即可求出值；（4）根据“子集”的定义确定出所求即可．【解答】解：（1）A：的解集为3＜x＜6，B：的解集为x＞1，M：的解集为x＞2，则不等式组A是不等式组M的子集；（2）∵关于x的不等式组是不等式组的“子集”，∴a≥2；（3）∵a，b，c，d为互不相等的整数，其中a＜b，c＜d，A：a≤x≤b，B：c≤x≤d，C：1＜x＜6满足：A是B的“子集”且B是C的“子集”，∴a＝3，b＝4，c＝2，d＝5，则a﹣b+c﹣d＝3﹣4+2﹣5＝﹣4；（4）不等式组M整理得：，由不等式组有解得到＜，即≤x＜，∵N：1＜x≤3是不等式组的“子集”，∴≤1，＞3，即m≤2，n＞9，∴满足条件的有序整数对（m，n）无数个．21．（6分）如图，在菱形ABCD中，E、F分别为边AD和CD上的点，且AE＝CF．连接AF、CE交于点G．求证：∠DGE＝∠DGF．【分析】根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴DA＝DC＝AB＝BC，∵AE＝CF，∴DE＝DF，∵∠ADG＝∠CDG，DG＝DG，∴△DEG≌△DFG（SAS），∴∠DGE＝∠DGF．22．（8分）甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等．（1）甲、乙二人每小时各做零件多少个？（2）甲做几小时与乙做4小时所做机械零件数相等？【分析】（1）设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（x+8）个零件，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）根据甲所需的时间＝乙每小时加工零件的个数×4÷甲每小时加工零件的个数，即可求出结论．【解答】解：（1）设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（x+8）个零件，依题意，得：＝，解得：x＝32，经检验，x＝32是原方程的解，且符合题意，∴x+8＝40．答：甲每小时做32个零件，乙每小时做40个零件．（2）40×4÷32＝5（小时）．答：甲做5小时与乙做4小时所做机械零件数相等．23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在半圆上，＝，过D作DE⊥BC于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE＝2CE＝4，求⊙O的半径．【分析】（1）由圆周角定理和垂径定理得出OD⊥AC，得出DE⊥OD，即可得出结论；（2）作OF⊥BC于F，推出四边形OFED是矩形，根据矩形的性质得到OF＝ED＝4，OD＝EF，设⊙O的半径为R，则BF＝CF＝R﹣2，根据勾股定理列方程即可得到答案．【解答】（1）证明：连接OD、AC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵DE⊥BC，∴DE∥AC，∵＝，∴OD⊥AC，∴DE⊥OD，D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）解：作OF⊥BC于F，如图2所示：则BF＝CF，四边形OFED是矩形，∴OF＝DE＝4，OD＝EF，∵DE＝2CE＝4，∴CE＝2，设⊙O的半径为R，则BF＝CF＝R﹣2，在Rt△BOF中，BF2+OF2＝OB2，∴（R﹣2）2+42＝R2，解得R＝5，即⊙O的半径为5．24．（10分）有4张不透明的卡片，除正面上的图案不同外，其他均相同，将这4张卡片背面向上洗匀后放在桌面上．（1）从中随机抽取1张卡片，卡片上的图案是中心对称图形的概率为；（2）若从中随机抽取1张卡片后不放回，再随机抽取1张，请用列表的方法，求两次所抽取的卡片恰好都是中心对称图形的概率．【分析】（1）直接利用概率公式求解可得；（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．【解答】解：（1）从中随机抽取1张卡片，卡片上的图案是中心对称图形的概率为＝，故答案为：；（2）画树状图如下：由树状图知，共有12种等可能结果，其中两次所抽取的卡片恰好都是中心对称图形的有2种结果，则两次所抽取的卡片恰好都是中心对称图形的概率为＝．25．（10分）如图，A为反比例函数y＝（其中x＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB＝4．连接OA、AB，且OA＝AB＝2．（1）求k的值；（2）过点B作BC⊥OB，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点C．①连接AC，求△ABC的面积；②在图上连接OC交AB于点D，求的值．【分析】（1）过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交OC于点M，利用等腰三角形的性质可得出DH的长，利用勾股定理可得出AH的长，进而可得出点A的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值；（2）①由三角形面积公式可求解；②由OB的长，利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出BC的长，利用三角形中位线定理可求出MH的长，进而可得出AM的长，由AM∥BC可得出△ADM∽△BDC，利用相似三角形的性质即可求出的值．【解答】解：（1）过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交OC于点M，如图所示．∵OA＝AB，AH⊥OB，∴OH＝BH＝OB＝2，∴AH＝＝＝6，∴点A的坐标为（2，6）．∵A为反比例函数y＝图象上的一点，∴k＝2×6＝12；（2）①∵BC⊥x轴，OB＝4，点C在反比例函数y＝上，∴BC＝＝3．∵AH⊥OB，∴AH∥BC，∴点A到BC的距离＝BH＝2，∴S△ABC＝×3×2＝3；②∵BC⊥x轴，OB＝4，点C在反比例函数y＝上，∴BC＝＝3．∵AH∥BC，OH＝BH，∴MH＝BC＝，∴AM＝AH﹣MH＝．∵AM∥BC，∴△ADM∽△BDC，∴＝．26．（12分）如图1，△ABC中，∠BAC＝60°，D、E分别为AC、AB边上两点，且CD＝AB，AD＝AE，将线段CD绕点C逆时针旋转α角至CG．（1）如图2，当α＝120°时，连EG取EG中点P，连AP，CP，求证：AP垂直CP；（2）如图3，当α＝240°时，连AG，取AG中点P，连EP，CP，试判断EP与CP的关系，并证明；（3）在图1中，连BD，取BD中点Q，连AQ，则＝．【分析】（1）先判断出△CPG≌△C′PE，得出CP＝C′P，进而得出C'E＝CD，即可得出结论；（2）先判断出△P AE≌△PGE′（ASA），得出AE＝GE'，再判断出△ADE是等边三角形，得出∠ADE＝60°，AE＝DE，再判断出∠CDE＝∠CGE'进而判断出△CDE≌△CGE′，即可得出结论；（3）先判断出四边形ADHB是平行四边形，得出∠BHD＝∠BAC＝60°，再判断出△ADH ≌BHC，得出BC＝AH，即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，延长CP，AB交于点C′，由旋转知，∠ACG＝120°，∵∠BAC＝60°，∴∠BAC+∠ACG＝180°，∴CG∥AB，∴∠PCG＝∠C'，∠PEC'＝∠G，∵点P是EG的中点，∴△CPG≌△C′PE（SAS），∴CP＝C′P，CG═C′E，由旋转知，CG＝CD，∴C'E＝CD，∵AE＝AD，∴AC＝AC′，∵CP＝C'P，∴AP⊥PC；（2）如图2，过点G作GE′∥AB交EP的延长线于E′，∴∠P AE＝∠PGE'，∠AEP＝∠E'，∵点P是AG的中点，∴AP＝GP，∴△P AE≌△PGE′（ASA），∴AE＝GE'，连接CE，CE′，DE，∵AD＝AE，∠BAC＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴∠ADE＝60°，AE＝DE，∴DE＝GE'，∵∠ADE＝60°，∴∠CDE＝120°，∵∠CGE'＝∠CGA+∠AGE'＝180°﹣∠ACG﹣∠CAG+∠BAC+∠CAG＝180°﹣∠ACG+∠BAC＝180°﹣120°+60°＝120°，∴∠CDE＝∠CGE'∴△CDE≌△CGE′（SAS），∴CE＝CE′，且∠ECE′＝120°，又PE＝P E′，∴CP⊥PE，∠PCE＝∠ECE'＝60°，在Rt△CPE中，PE＝PC；（3）如图3，延长AQ至H，使AQ＝QH，连接BH，DH，∵点Q是BD的中点，∴BQ＝DQ，∴四边形ADHB为平行四边形，∴DH∥AB，AD＝BH，AB＝DH，∵AB＝CD，∴DH＝CD，∵DH∥AB，∴∠HDC＝∠BAC＝60°，∴△CDH是等边三角形，∴DH＝CH，∠DHC＝60°，∵四边形ADHB是平行四边形，∴∠BHD＝∠BAC＝60°，∴∠BHC＝∠BHD+∠DHC＝120°，∵∠ADH＝180°﹣∠CDH＝120°，∴∠ADH＝∠BHC，∴△ADH≌BHC（SAS），∴AH＝BC，则＝＝，故答案为：．27．（12分）如图1，抛物线C1：y＝ax2+bx﹣2与直线l：y＝﹣x﹣交于x轴上的一点A，和另一点B（3，n）（1）求抛物线C1的解析式；（2）点P是抛物线C1上的一个动点（点P在A，B两点之间，但不包括A，B两点）PM⊥AB于点M，PN∥y轴交AB于点N，求MN的最大值；（3）如图2，将抛物线C1绕顶点旋转180°后，再作适当平移得到抛物线C2，已知抛物线C2的顶点E在第一象限的抛物线C1上，且抛持线C2与抛物线C1交于点D，过点D作DF∥x轴交抛物线C2于点F，过点E作EG∥x轴交抛物线C1于点G，是否存在这样的抛物线C2，使得四边形DFEG为菱形？若存在，请求E点的横坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）求直线l与x轴交点A坐标、B坐标，用待定系数法求抛物线C1的解析式．（2）延长PN交x轴于点H，设点P横坐标为m，由PN∥y轴可得点N、H横坐标也为m，即能用m表示PN、NH、AH的长．由∠AHN＝∠PMN＝90°及对顶角∠ANH＝∠PNM 可得∠NAH＝∠NPM．发现在Rt△PMN中，MN与PN比值即为sin∠NPM，故先在Rt △ANH中求sin∠NAH的值，再代入MN＝PN•sin∠NPM，即得到MN与m的函数关系式，配方即求得MN最大值．（3）设点E（e，e2﹣e﹣2），所以可设抛物线C2顶点式为y＝﹣（x﹣e）2+e2﹣e﹣2．令两抛物线解析式y＝0列得关于x的方程，解得两抛物线的另一交点D即为抛物线C1的顶点，故DG＝DE＝EF，且求得DF平行且等于GE，即四边形DFEG首先一定是平行四边形．由▱DFEG为菱形可得DF＝DG，故此时△DEF为等边三角形．利用特殊三角函数值作为等量关系列方程，即求得e的值．【解答】解：（1）直线l：y＝﹣x﹣交x轴于点A∴﹣x﹣＝0，解得：x＝﹣1∴A（﹣1，0）∵点B（3，n）在直线l上∴n＝﹣×3﹣＝﹣2∴B（3，﹣2）∵抛物线C1：y＝ax2+bx﹣2经过点A、B∴解得：∴抛物线C1的解析式为y＝x2﹣x﹣2（2）如图1，延长PN交x轴于点H∴∠AHN＝90°设P（m，m2﹣m﹣2）（﹣1＜m＜3）∵PN∥y轴∴x N＝x H＝x P＝m∴N（m，﹣m﹣），AH＝m+1，∴NH＝﹣（﹣m﹣）＝m+，PN＝﹣m﹣﹣（m2﹣m﹣2）＝﹣m2+m+∵Rt△AHN中，tan∠NAH＝∴sin∠NAH＝＝∵PM⊥AB于点M∴∠AHN＝∠PMN＝90°∵∠ANH＝∠PNM∴∠NAH＝∠NPM∴Rt△PMN中，sin∠NPM＝∴MN＝PN＝（﹣m2+m+）＝﹣（m﹣1）2+∴MN的最大值为（3）存在满足条件的抛物线C2，使得四边形DFEG为菱形如图2，连接DE，过点E作EQ⊥DF于点Q∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣）2﹣∴抛物线C1顶点为（，﹣）设E（e，e2﹣e﹣2）（e＞4）∴抛物线C2顶点式为y＝﹣（x﹣e）2+e2﹣e﹣2当﹣（x﹣e）2+e2﹣e﹣2＝x2﹣x﹣2解得：x1＝e，x2＝∴两抛物线另一交点D（，﹣）为抛物线C1顶点∵EG∥x轴，DF∥x轴∴EG＝DF＝2DQ＝2（e﹣）＝2e﹣3，EQ＝e2﹣e﹣2+＝e2﹣e+∴四边形DFEG是平行四边形若▱DFEG为菱形，则DG＝DF∵由抛物线对称性可得：DG＝DE＝EF∴DE＝EF＝DF∴△DEF是等边三角形∴＝tan∠EDQ＝∴e2﹣e+＝（e﹣）解得：e1＝（舍去），e2＝2+∴E点的横坐标为（2）时，四边形DFEG为菱形．。
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陕西省西安市2021年中考数学模拟试卷（解析版）一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的）1．的相反数是（）A．﹣B．C．﹣D．1.414【分析】根据相反数的意义，可得答案．【解答】解：的相反数是﹣，故选：A．【点评】本题考查了实数的性质，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．2．下列几何体中，左视图与主视图相同的是（）A．B．C．D．【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：的主视图与左视图都是下边是梯形上边是矩形，故选：A．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图，从正面看得到的图形是主视图．3．下列计算正确的是（）A．（﹣3a2b）3=﹣3a5b3B． ab2•（﹣4a3b）=﹣2a4b3C．4m3n2÷m3n2=0 D．a5﹣a2=a3【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．【解答】解：∵（﹣3a2b）3=﹣27a6b3，故选项A错误，∵，故选项B正确，∵4m3n2÷m3n2=4，故选项C错误，∵a5﹣a2不能合并，故选项D错误，故选B．【点评】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式的混合运算的计算方法．4．如图，直线a、b被c所截，若a∥b，∠1=45°，∠3=100°，则∠2的度数为（）A．70° B．65° C．60° D．55°【分析】先根据平行线的性质，得到∠4=∠1=45°，再根据∠3=∠2+∠4，即可得到∠2的度数．【解答】解：∵a∥b，∠1=45°，∴∠4=∠1=45°，∵∠3=∠2+∠4，∴100°=∠2+45°，∴∠2=55°，故选：D．【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．5．如果y=（1﹣m）x是正比例函数，且y随x的增大而减小，则m的值为（）A．m=﹣B．m=C．m=3 D．m=﹣3【分析】先根据正比例函数的定义列出关于m的不等式组，求出m的值即可．【解答】解：∵y=（1﹣m）x是正比例函数，且y随x的增大而减小，∴，∴m=，故选B．【点评】本题考查的是正比例函数的定义和性质，即形如y=kx（k≠0）的函数叫正比例函数．6．如图，已知△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，DE是AC的垂直平分线，DE交AB于点D，交AC于点E，连接CD，则CD=（）A．3 B．4 C．4.8 D．5【分析】直接利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而得出线段DE是△ABC的中位线，再利用勾股定理得出AD，再利用线段垂直平分线的性质得出DC的长．【解答】解：∵AB=10，AC=8，BC=6，∴BC2+AC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，∵DE是AC的垂直平分线，∴AE=EC=4，DE∥BC，且线段DE是△ABC的中位线，∴DE=3，∴AD=DC==5．故选：D．【点评】此题主要考查了勾股定理以及其逆定理和三角形中位线的性质，正确得出AD的长是解题关键．7．如图，1﹣4月份，甲、乙两工厂月生产增长量的变化情况，则甲工厂和乙工厂生产增长量差值最大的月份是（）A．1月份B．2月份C．3月份D．4月份【分析】折线最陡的一段线，就是增长量差值最大的月份．【解答】解：甲工厂和乙工厂生产增长量差值最大的月份是2月份，故选B．【点评】本题考查了折线统计图，根据图中的折线的变化和数据进行求解．8．已知一次函数y=kx+b﹣x的图象与x轴的正半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而增大，则k，b 的取值情况为（）A．k＞1，b＜0 B．k＞1，b＞0 C．k＞0，b＞0 D．k＞0，b＜0【分析】先将函数解析式整理为y=（k﹣1）x+b，再根据图象在坐标平面内的位置关系确定k，b的取值范围，从而求解．【解答】解：一次函数y=kx+b﹣x即为y=（k﹣1）x+b，∵函数值y随x的增大而增大，∴k﹣1＞0，解得k＞1；∵图象与x轴的正半轴相交，∴图象与y轴的负半轴相交，∴b＜0．故选：A．【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．9．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，将矩形ABCD绕B逆时针旋转30°后得到矩形GBEF，延长DA交FG 于点H，则GH的长为（）A．8﹣4B．﹣4 C．3﹣4 D．6﹣3【分析】作辅助线，构建直角△AHM，先由旋转得BG的长，根据旋转角为30°得∠GBA=30°，利用30°角的三角函数可得GM和BM的长，由此得AM和HM的长，相减可得结论．【解答】解：如图，延长BA交GF于M，由旋转得：∠GBA=30°，∠G=∠BAD=90°，BG=AB=4，∴∠BMG=60°，tan∠30°==，∴，∴GM=，∴BM=，∴AM=﹣4，Rt△HAM中，∠AHM=30°，∴HM=2AM=﹣8，∴GH=GM﹣HM=﹣（﹣8）=8﹣4，故选A．【点评】本题考查了矩形的性质、旋转的性质、特殊角的三角函数及直角三角形30°的性质，熟练掌握直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半及特殊角的三角函数值，属于基础题．10．如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：①a﹣b+c＞0；②3a+b=0；③b2=4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间，则当x=﹣1时，y＞0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，即b=﹣2a，则可对②进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为n得到=n，则可对③进行判断；由于抛物线与直线y=n有一个公共点，则抛物线与直线y=n﹣1有2个公共点，于是可对④进行判断．【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间．∴当x=﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，即b=﹣2a，∴3a+b=3a﹣2a=a，所以②错误；∵抛物线的顶点坐标为（1，n），∴=n，∴b2=4ac﹣4an=4a（c﹣n），所以③正确；∵抛物线与直线y=n有一个公共点，∴抛物线与直线y=n﹣1有2个公共点，∴一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根，所以④正确．故选C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）：抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）11．﹣13+﹣12sin30°= ﹣5 ．【分析】根据乘方的意义，开平方、特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：原式=﹣1+2﹣12×=﹣1+2﹣6=﹣5，故答案为：﹣5．【点评】本题考查了实数的运算，利用乘方的意义，开平方、特殊角三角函数值，注意﹣13的底数是1．12．（1）正三角形的边长为4，则它的面积为2（2）31+2sin18°≈31.62 （保留两位小数）【分析】（1）求出等边三角形一边上的高，即可确定出三角形面积；【解答】解：如图，过A作AD⊥BC，∵AB=AB=BC=4，∴BD=CD=BC=2，在Rt△ABD中，根据勾股定理得：AD==2，则S△ABC=BC•AD=2；（2）31+2sin18°≈31+2×0.3090=31.62．故答案为：2，31.62．【点评】此题考查了等边三角形的性质，计算器﹣三角函数，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键．13．如图所示，直线y=kx（k＜0）与双曲线y=﹣交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，则x1y2﹣3x2y1的值为﹣．【分析】由反比例函数图象的特征，得到两交点坐标关于原点对称，故x1=﹣x2，y1=﹣y2，再代入x1y2﹣3x2y1，由k=xy得出答案．【解答】解：由图象可知点M（x1，y1），N（x2，y2）关于原点对称，即﹣x1=x2，﹣y1=y2，把M（x1，y1）代入双曲线y=﹣，得x1y1=﹣2，则x1y2﹣3x2y1=﹣x1y1+3x1y1=﹣6=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了正比例函数与反比例函数交点坐标的性质，解决问题的关键是利用两交点坐标关于原点对称．14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，经过点C且与AB边相切的动圆与BC、CA分别相交于点M、N，则线段MN长度的最小值为．【分析】设MN的中点为P，⊙P与AB的切点为D，连接PD，连接CP，CD，则有PD⊥AB；由勾股定理可求得BC的长，由MN=PD+CP可得到MN≥CD，故此当MN=CD时，MN有最小值，此时点C、P、D在一条直线上，最后利用面积法可求得CD的长，从而得到MN的最小值．【解答】解：如图，设MN的中点为P，⊙P与AB的切点为D，连接PD，连接CP，CD，则有PD⊥AB；∵AB=13，AC=12，∴BC==5．∵PC+PD=MN，∴PC+PD≥CD，MN≥CD．∴当MN=CD时，MN有最小值．∵PD⊥AB，∴CD⊥AB．∵AB•CD=BC•AC，∴CD===．∴CD的最小值．∴MN的最小值为．故答案为：．【点评】此题主要考查了切线的性质，勾股定理的逆定理，三角形的三边关系，直角三角形的面积公式求解，得出CD=BC•AC÷AB是解题关键．三、解答题．（共11小题，满分78分，解答题后写出过程）15．（5分）1﹣1﹣2sin30°+|3.14﹣π|+（﹣1）0．【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解：原式=1﹣1+π﹣3.14+1=π﹣2.14．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16．（5分）解方程：﹣=1．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：3﹣x2+x=x2﹣1，即2x2﹣x﹣4=0，解得：x=，经检验x=是分式方程的解．【点评】此题考查了解分式方程，利用转化的思想，解分式方程注意要检验．17．（5分）如图，已知锐角三角形ABC，求作⊙C，使⊙C与AB所在的直线相切于点D（保留作图痕迹，不写作法）．【分析】根据切线的性质，过C先作AB的垂线，垂足为D，以C为圆心，由CD作半径的圆即和AB相切．【解答】解：作法：①过C作CE⊥AB于D，②以C为圆心，以CD为半径画圆，则⊙C就是所求作的圆．【点评】本题考查了切线的性质和复杂作图问题，明确过直线外一点作已知直线的垂线，并熟练掌握圆的切线的性质．18．（5分）某校为了了解七年级学生课外活动情况，随机调查了该校若干名学生，调查他们喜欢各类课外活动的情况（课外活动分为四类：A﹣﹣喜欢打乒乓球的人，B﹣﹣喜欢踢足球的人，C﹣﹣喜欢打篮球的人，D﹣﹣喜欢其他的人），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．根据统计图信息完成下列问题：（1）调查的学生人数为120 人．（2）补全条形统计图和扇形统计图．（3）若该校七年级共有600人，请估计七年级学生中喜欢打乒乓球的人数．【分析】（1）利用A人数除以所占百分比即可得到调查学生数；（2）首先计算出喜欢踢足球的人数，然后计算出喜欢踢足球的人所占百分比，再计算出喜欢其他的人所占百分比，然后补图即可；（3）利用总人数乘以样本中喜欢打乒乓球的人数所占百分比即可．【解答】解：（1）30÷25%=120，故答案为：120；（2）喜欢踢足球的人数：120﹣30﹣60﹣6=24，所占百分比：×100%=20%，喜欢其他的人所占百分比：×100%=5%，如图所示；（3）600×=150（人），答：七年级学生中喜欢打乒乓球的人数为150人．【点评】此题主要考查了条形统计图，以及利用样本估计总体，关键是读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．19．（7分）已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC上，且AE=CF，作EG∥FH，分别与对角线BD交于点G、H，连接EH，FG．（1）求证：△BFH≌△DEG；（2）连接DF，若BF=DF，则四边形EGFH是什么特殊四边形？证明你的结论．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，OB=OD，由平行线的性质得出∠FBH=∠EDG，∠OHF=∠OGE，得出∠BHF=∠DGE，求出BF=DE，由AAS即可得出结论；（2）先证明四边形EGFH是平行四边形，再由等腰三角形的性质得出EF⊥GH，即可得出四边形EGFH是菱形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠FBH=∠EDG，∵AE=CF，∴BF=DE，∵EG∥FH，∴∠OHF=∠OGE，∴∠BHF=∠DGE，在△BFH和△DEG中，，∴BFH≌△DEG（AAS）；（2）解：四边形EGFH是菱形；理由如下：连接DF，如图所示：由（1）得：BFH≌△DEG，∴FH=EG，又∵EG∥FH，∴四边形EGFH是平行四边形，∵DE=BF，∠EOD=∠BOF，∠EDO=∠FBO，∴△EDO≌△FBO，∴OB=OD，∵BF=DF，OB=OD，∴EF⊥BD，∴EF⊥GH，∴四边形EGFH是菱形．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，菱形的判定，等腰三角形的性质，平行四边形的性质和判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．20．（7分）已知某山区的平均气温与该山的海拔高度的关系见下表：（2）若某种植物适宜生长在18℃～20℃（包含18℃，也包含20℃）山区，请问该植物适宜种植在海拔为多少米的山区？【分析】（1）分析数据可知：高度每增加100米，温度下降0.5℃．据此列关系式；（2）取y=18，20，分别求出高度x的值，再回答问题．【解答】解：（1）y=22﹣0.5×=22﹣0.005x；（2）当y=18时，即 22﹣0.005x=18，解得 x=800；当y=20时，即 22﹣0.005x=20，解得 x=400．∴若某种植物适宜生长在18℃～20℃（包含18℃，也包含20℃）山区，那么该植物适宜种植在海拔为400～800米的山区．【点评】此题考查一次函数的应用，正确表示函数关系式是关键．难度不大．21．（7分）如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，在G 处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，求建筑物的高．【分析】根据题意可得出△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，再根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论．【解答】解：∵AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，∴AB∥CD∥EF，∴△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，∴=， =，∵CD=DG=EF=2m，DF=52m，FH=4m，∴=，=，∴=，解得BD=52，∴=，解得AB=54．答：建筑物的高为54米．【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．22．（7分）“五一”小长假期间，某超市为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”、“30元”的字样．规定：顾客在本超市一次性购物满500元以上均可获得两次摸球的机会（摸出小球后放回）．超市根据两小球所标金额的和返还相应的代金券．（1）顾客甲购物1000元，则他最少可获0 元代金券，最多可获60 元代金券．（2）请用树形图或列表方法，求出顾客甲获得不低于30元（含30元）代金券的概率．【分析】（1）至少得到的金额数为0+0=0元，至多得到的金额数为30+30=60元；（2）列举出所有情况，看该顾客所获得购物券的金额不低于30元的情况数占总情况数的多少即可．【解答】解：（1）至少得到的金额数为0+0=0元，至多得到的金额数为30+30=60元，故答案为0、60；（2）画树状图如下：共16种情况，不低于30元的情况数有10种，所以所求的概率为=．【点评】本题考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；得到所求的情况数是解决本题的关键．23．（8分）已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点，∠DOC=2∠ACD=90°．（1）求证：直线AC是圆O的切线；（2）如果∠ACB=75°，圆O的半径为2，求BD的长．【分析】（1）证明OC⊥AC即可．根据∠DOC是等腰直角三角形可得∠DCO=45°．又∠ACD=45°，所以∠ACO=90°，得证；（2）如果∠ACB=75°，则∠BCD=30°；又∠B=∠O=45°，解斜三角形BCD求解．所以作DE⊥BC，把问题转化到解直角三角形求解．先求CD，再求DE，最后求BD得解．【解答】（1）证明：∵OD=OC，∠DOC=90°，∴∠ODC=∠OCD=45°．∵∠DOC=2∠ACD=90°，∴∠ACD=45°．∴∠ACD+∠OCD=∠OCA=90°．∵点C在圆O上，∴直线AC是圆O的切线．（2）解：方法1：∵OD=OC=2，∠DOC=90°，∴CD=2．∵∠ACB=75°，∠ACD=45°，∴∠BCD=30°，作DE⊥BC于点E，则∠DEC=90°，∴DE=DCsin30°=．∵∠B=45°，∴DB=2．方法2：连接BO∵∠ACB=75°，∠ACD=45°，∴∠BCD=30°，∴∠BOD=60°∵OD=OB=2∴△BOD是等边三角形∴BD=OD=2．【点评】此题考查了切线的判定方法和解直角三角形，内容单一，难度不大．注意：解斜三角形通常通过作垂线把问题转化为解直角三角形求解．24．（10分）已知抛物线y=3ax2+2bx+c，（Ⅰ）若a=b=1，c=﹣1，求该抛物线与x轴公共点的坐标；（Ⅱ）若a=b=1，且当﹣1＜x＜1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围；（Ⅲ）若a+b+c=0，且x1=0时，对应的y1＞0；x2=1时，对应的y2＞0，试判断当0＜x＜1时，抛物线与x 轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．【分析】（Ⅰ）把a，b，c的值代入可得抛物线的解析式，求出两根即可；（Ⅱ）把a，b代入解析式可得△=4﹣12c≥0，等于0时可直接求得c的值；求出y的相应的值后可得c的取值范围；（Ⅲ）抛物线y=3ax2+2bx+c与x轴公共点的个数就是一元二次方程3ax2+2bx+c=0的实数根的个数，因此，本题的解答就是研究在不同的条件下一元二次方程3ax2+2bx+c=0根的判别式的符号，依据判别式的符号得出相应的结论．【解答】解：（Ⅰ）当a=b=1，c=﹣1时，抛物线为y=3x2+2x﹣1，方程3x2+2x﹣1=0的两个根为x1=﹣1，．∴该抛物线与x轴公共点的坐标是（﹣1，0）和（，0）；（Ⅱ）当a=b=1时，抛物线为y=3x2+2x+c，且与x轴有公共点．对于方程3x2+2x+c=0，判别式△=4﹣12c≥0，有c≤．①当时，由方程3x2+2x+=0，解得x1=x2=﹣．此时抛物线为y=3x2+2x+与x轴只有一个公共点（﹣，0）；（4分）②当时，x1=﹣1时，y1=3﹣2+c=1+c；x2=1时，y2=3+2+c=5+c．由已知﹣1＜x＜1时，该抛物线与x轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为，应有即，解得﹣5＜c≤﹣1．综上，或﹣5＜c≤﹣1．（6分）（Ⅲ）对于二次函数y=3ax2+2bx+c，由已知x1=0时，y1=c＞0；x2=1时，y2=3a+2b+c＞0，又∵a+b+c=0，∴3a+2b+c=（a+b+c）+2a+b=2a+b．∴2a+b＞0．∵b=﹣a﹣c，∴2a﹣a﹣c＞0，即a﹣c＞0．∴a＞c＞0．（7分）∵关于x的一元二次方程3ax2+2bx+c=0的判别式△=4b2﹣12ac=4（a+c）2﹣12ac=4[（a﹣c）2+ac]＞0，∴抛物线y=3ax2+2bx+c与x轴有两个公共点，顶点在x轴下方．（8分）又该抛物线的对称轴，由a+b+c=0，c＞0，2a+b＞0，得﹣2a＜b＜﹣a，∴．又由已知x1=0时，y1＞0；x2=1时，y2＞0，观察图象，可知在0＜x＜1范围内，该抛物线与x轴有两个公共点．（10分）【点评】借助图象，可将抽象的问题直观化；二次函数与x轴的交点的纵坐标为0；抛物线与x轴交点的个数就是一元二次方程根的个数．25．（12分）问题探究（1）请在图①的正方形ABCD的对角线BD上作一点P，使PA+PC最小；（2）如图②，点P为矩形ABCD的对角线BD上一动点，AB=2，BC=2，点E为BC边的中点，求作一点P，使PE+PC最小，并求这个最小值．问题解决（3）如图③，李师傅有一块边长为1000米的菱形ABCD采摘园，AC=1200米，BD为小路，BC的中点E为一水池，李师傅现在准备在小路BD上建一个游客临时休息纳凉室P，为了节省土地，使休息纳凉室P到水池E与大门C的距离之和最短，那么是否存在符合条件的点P？若存在，请作出的点P位置，并求出这个最短距离；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用正方形的对称性直接连接AC即可；（2）作出点C关于BD的对称性，连接C'E交BD于P，进而判断出△CEC'是直角三角形，利用勾股定理即可求出；（3）直接连接AE交BD于P，再过点E作EF⊥AC，构造出直角三角形，再利用三角形的中位线求出EF，进而利用勾股定理求出CF，最后在Rt△AEF中利用勾股定理即可．【解答】解：（1）如图①，连接AC交BD于P，则AP+CP最小=AC；（2）如图②，作点C关于BD的对称点C'交BD于F，连接C'E交BD于P，则PE+PC最小=C'E．∵BD是矩形ABCD的对角线，∴CD=AB=2，∠BCD=90°，在Rt△BCD中，CD=2，BC=2，∴tan∠CBD===，∴∠CBD=30°，由对称知，CC'=2CF，CC'⊥BD，∴∠CFD=90°，∴∠BCF=60°，∠DCF=30°，在Rt△CDF中，CD=2，∠DCF=30°，∴CF=，∴CC'=2CF=2，∵点E为BC边的中点，∴CE=BC=，∴CF=CE，连接EF，∴△CEF是等边三角形，∴EF=CF=C'F，∴△CEC'是直角三角形，在Rt△CEC'中，CC'=2，CE=，∴C'E=3，∴PE+PC最小为3；（3）如图③，菱形ABCD的对角线相交于点O，∴OC=OA=AC=600，AC⊥BD，在Rt△BOC中，OB==800，过点E作EF⊥AC于F，∴EF∥OB，∵点E是BC的中点，EF=OB=400，∵CE=BC=500，根据勾股定理得，CF==300，∴AF=AC﹣CF=1200﹣300=900，连接AE交BD于P，即：PC+PE最小=AE，在Rt△AEF中，根据勾股定理得，AE==100，【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，菱形的性质，对称的性质，三角形的中位线，勾股定理；解（2）的关键是判断出△CEC'是直角三角形，解（3）的关键是构造出直角三角形AEF．。