2019-2020年高三数学大一轮复习 2.6对数与对数函数教案理新人教A版

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2019-2020年高中数学必修一《对数函数》教案

2019-2020年高中数学必修一《对数函数》教案教学目标：1．通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数的一类重要的函数模型。

2．了解指数函数y=a x(a>o,a≠1)与指数函数y=㏒a x(a>o,a≠1) 互为反函数。

教学重点：初步理解对数函数的概念，了解指数函数与对数函数的关系。

教学难点：指数函数与对数函数互为反函数的理解。

教学设计：一、问题提出1．在§1正整数函数中，细胞分裂的问题得到细胞分裂个数y与分裂次数x的函数关系是？（y=2x）2．若以个细胞经过多次分裂大约可以得到一万个细胞或十万个细胞，即分裂次数x和细胞个数y之间的关系，可以写成。

X=log 2y3．对于一般的指数函数y=a x(a>o,a≠1)中的两个变量，能不能把y当作自变量，使得x是y的函数？二、分析理解1．指数函数y=a x(a>o,a≠1)对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，当x1≠x2时，y1≠y2,指数函数的反映了数集R与数集﹛y│y＞0﹜之间的一一对应关系。

由此可见对于任意的y∈（0，+∞）,在R一数x满足y=a x，即把y当作自变量，那么x就是y有§4可以知道这个函数就是x=㏒a y (a>o,a≠1)函数x=㏒a y叫做对数函数，(a>o,a≠1)，自变量y＞0。

习惯上，自变量x用表示，所以这个函数就写成y=㏒a x(a>o,a≠1)2．对数函数把函数y=㏒a x(a>o,a≠1)叫做对数函数，a叫做对数函数的底数。

（1）常用对数函数：y=㏒10x=lgx（2）自然对数函数：y=㏒e x=㏑x3．例题讲解，巩固概念。

例1计算（1）计算对数函数y=㏒2x对应于x取1、2、4时的函数值。

（2）计算常用对数函数y= lgx，对应于1、10、100、0.1时的函数值。

解：略。

三、指数函数与对数函数的关系1．问题：我们知道，对数函数与指数函数是刻画的是同一对变量x、y之间的关系，那么我们如何区别呢？（1）学生思考，讨论。

高中数学高三一轮第二章第6课时对数与对数函数(教案)

1。

对数的概念如果a（a>0,a≠1）的b次幂等于N,即a b＝N,那么数b 叫作以a为底N的对数，记作log a N＝b，其中__a__叫作对数的底数,__N__叫作真数。

2。

对数的性质与运算法则（1）对数的运算法则如果a〉0且a≠1,M〉0，N〉0，那么①log a（MN)＝log a M＋log a N；②log a错误!a M－log a N；③log a M n＝n log a M（n∈R）；④log am M n＝错误!log a M(m，n∈R,且m≠0).（2）对数的性质①a log a N＝__N__;②log a a N ＝__N__(a>0且a≠1）。

(3)对数的重要公式①换底公式：log b N＝错误!(a，b均大于零且不等于1）；②log a b＝1log b a，推广log ab·log b c·log c d＝log a d。

3.对数函数的图像与性质a>10〈a〈1图像性质(1)定义域：(0，＋∞)（2)值域：R （3）过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0（4)当x>1时,y>0当0〈x<1时，y<0（5）当x〉1时，y〈0当0〈x〈1时，y>04.反函数指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数，它们的图像关于直线__y＝x__对称.【思考辨析】判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×")(1)若MN〉0，则log a（MN）＝log a M＋log a N.（×)（2)log a x·log a y＝log a（x＋y).（×）3x都是对数函数。

( ×) (3）函数y＝log2x及y＝log13(4）对数函数y＝log a x（a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数。

( ×）（5）函数y＝ln错误!与y＝ln（1＋x）－ln(1－x)的定义域相同.（√）（6)对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)的图像过定点（1,0）,且过点（a，1），错误!,函数图像只在第一、四象限。

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§2.6 对数与对数函数2014高考会这样考 1.考查对数函数的图象、性质；2.对数方程或不等式的求解；3.考查和对数函数有关的复合函数．复习备考要这样做 1.注意函数定义域的限制以及底数和1的大小关系对函数性质的影响；2.熟练掌握对数函数的图象、性质，搞清复合函数的结构以及和对数函数的关系． 1．对数的概念如果a x＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中__a __叫做对数的底数，__N __叫做真数． 2．对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n＝n log a M (n ∈R )；④log am M n＝nmlog a M .(2)对数的性质①a log a N ＝__N __；②log a a N＝__N __(a >0且a ≠1)． (3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .3．对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0(4)当x>1时，y>0当0<x<1时，y<0(5)当x>1时，y<0当0<x<1时，y>0(6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数，它们的图象关于直线__y＝x__对称．[难点正本疑点清源]1．对数值取正、负值的规律当a>1且b>1或0<a<且0<b<1时，log a b>0；当a>1且0<b<1或0<a<1且b>1时，log a b<0.2．对数函数的定义域及单调性对数函数y＝log a x的定义域应为{x|x>0}．对数函数的单调性和a的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0<a<1和a>1进行分类讨论．3．关于对数值的大小比较(1)化同底后利用函数的单调性；(2)作差或作商法；(3)利用中间量(0或1)；(4)化同真数后利用图象比较．1． (2011·江苏)函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是__________．答案⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ 解析函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，令t ＝2x ＋1 (t >0)．因为y ＝log 5t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数，t ＝2x ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上为增函数，所以函数y ＝log 5(2x ＋1)的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.2．函数y ＝log a (x ＋3)－1 (a >0且a ≠1)的图象恒过点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上(其中mn >0)，则1m ＋2n的最小值为________．答案 8解析 y ＝log a (x ＋3)－1 (a >0且a ≠1)的图象恒过点A (－2，－1)，A (－2，－1)在直线mx ＋ny ＋1＝0上，即2m ＋n ＝1.∴1m ＋2n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋2n (2m ＋n )＝4＋n m ＋4mn≥4＋24＝8，当且仅当4m 2＝n 2时取等号． 3．(2012·安徽)(log 29)·(log 34)等于( )A.14B.12 C ．2 D ．4答案 D解析方法一原式＝lg 9lg 2·lg 4lg 3＝2lg 3·2lg 2lg 2·lg 3＝4.方法二原式＝2log 23·log 24log 23＝2×2＝4.4． (2012·重庆)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＝b <cB ．a ＝b >cC ．a b >c 答案 B解析 ∵a ＝log 23＋log 23＝log 233，b ＝log 29－log 23＝log 233，∴a ＝b .又∵函数y ＝log a x (a >1)为增函数，∴a ＝log 233>log 22＝1，c ＝log 32<log 33＝1，∴a ＝b >c . 5． (2011·安徽)若点(a ，b )在y ＝lg x 图象上，a ≠1，则下列点也在此图象上的是 ( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，b B ．(10a,1－b ) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫10a ，b ＋1 D ．(a 2,2b )答案 D解析由点(a ，b )在y ＝lg x 图象上，知b ＝lg a . 对于A ，点⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，b ，当x ＝1a 时，y ＝lg 1a＝－lg a ＝－b ≠b ，∴不在图象上．对于B ，点(10a,1－b )，当x ＝10a 时，y ＝lg(10a )＝lg 10＋lg a ＝1＋b ≠1－b ，∴不在图象上．对于C ，点⎝ ⎛⎭⎪⎫10a ，b ＋1，当x ＝10a 时，y ＝lg 10a＝1－lg a ＝1－b ≠b ＋1，∴不在图象上．对于D ，点(a 2,2b )，当x ＝a 2时，y ＝lg a 2＝2lg a ＝2b ， ∴该点在此图象上. 题型一对数式的运算例1 计算下列各式：(1)lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2； (2)lg 32－lg 9＋1·lg 27＋lg 8－lg 1 000lg 0.3·lg 1.2；(3)(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)．思维启迪：(1)lg 2·lg 50没有办法直接化简，可考虑提取公因数lg 2.(2)将根号下配成完全平方的形式，开根号．(3)利用换底公式，是本题的切入口．解 (1)原式＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5＝(1＋1)lg 2＋2lg 5 ＝2(lg 2＋lg 5)＝2.(2)原式＝lg 32－2lg 3＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫32lg 3＋3lg 2－32lg 3－1·lg 3＋2lg 2－1＝1－lg 3·32lg 3＋2lg 2－1lg 3－1·lg 3＋2lg 2－1＝－32.(3)原式＝⎝⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8 ＝⎝⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2 ＝3lg 22lg 3·5lg 36lg 2＝54. 探究提高 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底或指数与对数互化．(2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧．求值：(1)log 89log 23；(2)(lg 5)2＋lg 50·lg 2；(3)12lg 3249－43lg 8＋lg 245.解 (1)原式＝log 2332log 23＝23.(2)原式＝(lg 5)2＋lg(10×5)lg 105＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)(1－lg 5) ＝(lg 5)2＋1－(lg 5)2＝1.(3)原式＝lg 427－lg 4＋lg(75)＝lg 42×757×4＝lg 10＝12.题型二对数函数的图象与性质例2 已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 123)，c ＝f (0.2－0.6)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <a <bB ．c 532＝2>log 49，又f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞， 0]上是增函数，故f (x )在[0，＋∞)上是单调递减的，∴f (0.2－0.6)<f (log 123)<f (log 47)，即c <b <a .探究提高 (1)函数的单调性是函数最重要的性质，可以用来比较函数值的大小，解不等式等；(2)函数图象可以直观表示函数的所有关系，充分利用函数图象解题也体现了数形结合的思想．(1)(2012·天津)已知a ＝21.2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为 ( )A ．c 0且a ≠1)的图象过两点(－1，0)和(0,1)，则a ＝________，b ＝________.答案 2 2解析 f (x )的图象过两点(－1,0)和(0,1)．则f (－1)＝log a (－1＋b )＝0且f (0)＝log a (0＋b )＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧b －1＝1b ＝a，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ＝2.题型三对数函数的综合应用例3 已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．思维启迪：f (x )恒有意义转化为“恒成立”问题，分离实数a 来解决；探究a 是否存在，可从单调性入手．解 (1)∵a >0且a ≠1，设y ＝3－ax ，则y ＝3－ax 为减函数，x ∈[0,2]时，t 最小值为3－2a ，当x ∈[0,2]，f (x )恒有意义，即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立．∴3－2a >0.∴a <32又a >0且a ≠1，∴a >∈(0,1)∪⎝⎛⎭⎪⎫1，32.(2)t ＝3－ax ，∵a >0，∴函数t (x )为减函数， ∵f (x )在区间[1,2]上为减函数， ∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1,2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0log a 3－a＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <32a ＝32，故不存在．探究提高解决对数函数综合问题的方法无论讨论函数的性质，还是利用函数的性质(1)要分清函数的底数a ∈(0,1)，还是a ∈(1，＋∞)； (2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行；(3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误．已知f (x )＝log 4(4x－1)．(1)求f (x )的定义域； (2)讨论f (x )的单调性； (3)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域．解 (1)由4x－1>0，得x >0. ∴f (x )的定义域为{x |x >0}．(2)设0<x 1<x 2，则0<4x 1－1<4x 2－1，∴log 4(4x 1－1)<log 4(4x 2－1)，∴f (x 1)<f (x 2)．故f (x )＝log 4(4x－1)在(0，＋∞)上为增函数． (3)∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝log 4⎝ ⎛⎭⎪⎫412－1＝0， f (2)＝log 4(42－1)＝log 415.∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域为[0，log 415]．4.数形结合思想在对数函数中的应用典例：(12分)已知函数f (x )＝log a (a x－1) (a >0且a ≠1)．求证：(1)函数f (x )的图象总在y 轴的一侧； (2)函数f (x )图象上任意两点连线的斜率都大于0.审题视角 (1)要证明f (x )的图象总在y 轴的一侧，说明f (x )的自变量只能在(0，＋∞)或(－∞，0)内取值．(2)可以在f (x )上任取两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，证明k ＝y 2－y 1x 2－x 1>0即可．规范解答证明 (1)由a x－1>0，得a x>1，[1分]∴当a >1时，x >0，即函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，此时函数f (x )的图象总在y 轴的右侧；[3分]当0<a <1时，x <0，即函数f (x )的定义域为(－∞，0)，此时函数f (x )的图象总在y 轴的左侧．[5分] ∴函数f (x )的图象总在y 轴的一侧．[6分](2)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)是函数f (x )图象上的任意两点，且x 1<x 2，则直线AB 的斜率k＝y 1－y 2x 1－x 2.[7分] y 1－y 2＝log a (ax 1－1)－log a (ax 2－1)＝log a ax 1－1ax 2－1，[8分]当a >1时，由(1)知0<x 1<x 2，∴1<ax 1<ax 2， ∴0<ax 1－1<ax 2－1.∴0<ax 1－1ax 2－1<1，∴y 1－y 2<0.又x 1－x 2<0，∴k >0.[9分]当0<a <1时，由(1)知x 1<x 2<0，∴ax 1>ax 2>1， ∴ax 1－1>ax 2－1>0.[10分]∴ax 1－1ax 2－1>1，∴y 1－y 2<0.又x 1－x 2<0，∴k >0.∴函数f (x )图象上任意两点连线的斜率都大于0.[12分] 温馨提醒说到数形结合思想，我们想到是更多的以“形”助“数”来解决问题．事实上，本题是以“数”来说明“形”的问题，同样体现着数形结合的思想．本题的易错点：①找不到证明问题的切入口．如第(1)问，不知道求其定义域．②不能正确进行分类讨论．若对数或指数的底数中含有参数，一般要进行分类讨论. 方法与技巧1．指数式a b＝N 与对数式log a N ＝b 的关系以及这两种形式的互化是对数运算法则的关键．2．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过图象与直线y ＝1交点的横坐标进行判定．3．注意对数恒等式、对数换底公式及等式log am b n＝n m·log a b ，log a b＝1log b a 在解题中的灵活应用．失误与防范1．在运算性质log a M n＝n log a M 中，要特别注意条件，在无M ＞0的条件下应为log a M n＝n log a |M |(n ∈N *，且n 为偶数)．2．指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别．3．解决与对数函数有关的问题时需注意两点(1)务必先研究函数的定义域； (2)注意对数底数的取值范围.(时间：60分钟) A 组专项基础训练一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝e －12，则( )A ．x <y <zB ．z <x <yC ．z <y <xD ．y <z <x 答案 D解析 ∵x ＝ln π>ln e ，∴x >1. ∵y ＝log 52<log 55，∴0<y <12.∵z ＝e －12＝1e >14＝12，∴12<z <1.综上可得，y <z <x .2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12－x ，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是 ( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1) 答案 C解析 f (a )>f (－a )⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0log 2a >log 12a 或⎩⎪⎨⎪⎧a <0log 12－a >log 2－a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0a >1或⎩⎪⎨⎪⎧a <0－1<a⇒a >1或－1<a <0.3．函数f (x )＝log a (ax －3)在[1,3]上单调递增，则a 的取值范围是 ( )A ．(1，＋∞)B ．(0,1)C.⎝⎛⎭⎪⎫0，13 D ．(3，＋∞)答案 D解析由于a >0，且a ≠1，∴u ＝ax －3为增函数， ∴若函数f (x )为增函数，则f (x )＝log a u 必为增函数，因此a >1.又y ＝ax －3在[1,3]上恒为正， ∴a －3>0，即a >3，故选D.4．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( )A ．f (13)<f (2)<f (12)B ．f (12)<f (2)<f (13)C ．f (12)<f (13)<f (2)D ．f (2)<f (12)<f (13)答案 C解析由f (2－x )＝f (x )知f (x )的图象关于直线x ＝2－x ＋x2＝1对称，又当x ≥1时，f (x )＝ln x ，所以离对称轴x ＝1距离大的x 的函数值大，∵|2－1|>|13－1|>|12－1|，∴f (12)<f (13)<f (2)．二、填空题(每小题5分，共15分)5． (2012·江苏)函数f (x )＝1－2log 6x 的定义域为________．答案 (0，6]解析要使函数f (x )＝1－2log 6x 有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x >0，1－2log 6x ≥0.解得0<x ≤ 6.6．若f (x )＝ax －12，且f (lg a )＝10，则a ＝__________.答案 10或1010解析 f (lg a )＝a lg a －12＝10，∴lg(a lg a －12)＝lg 10＝12，∴2lg 2a －lg a －1＝0，∴lg a ＝1或lg a ＝－12，∴a ＝10或a ＝1010.7．已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________. 答案 4解析 ∵A ＝(0,4]，又A ⊆B ，∴a >4. 即实数a 的取值范围是(4，＋∞)，∴c ＝4. 三、解答题(共25分)8． (12分)已知函数f (x )＝log a x ＋bx －b(a >0，b >0，a ≠1)．(1)求f (x )的定义域；(2)讨论f (x )的奇偶性．解 (1)使f (x )有意义，则x ＋bx －b>0，∵b >0，∴x >b 或x <－b ，∴f (x )的定义域为{x |x >b 或x <－b }． (2)由(1)知f (x )的定义域关于原点对称，∵f (－x )＝log a －x ＋b －x －b ＝log a x －bx ＋b ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b x －b －1 ＝－log a x ＋bx －b＝－f (x )．∴f (x )为奇函数．9． (13分)若函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M .当x ∈M 时，求f (x )＝2x ＋2－3×4x 的最值及相应的x 的值．解 ∵y ＝lg(3－4x ＋x 2)，∴3－4x ＋x 2>0，解得x <1或x >3，∴M ＝{x |x <1或x >3}，f (x )＝2x ＋2－3×4x ＝4×2x －3×(2x )2.令2x＝t ，∵x <1或x >3，∴t >8或0<t <2. ∴f (t )＝4t －3t2＝－3⎝⎛⎭⎪⎫t －232＋43(t >8或0<t <2)．由二次函数的性质可知，当0<t <2时，f (t )∈⎝⎛⎦⎥⎤－4，43，当t >8时，f (t )∈(－∞，－160)，当2x＝t ＝23，即x ＝log 223时，f (x )max ＝43.综上可知，当x ＝log 223时，f (x )取到最大值43，无最小值．B 组专项能力提升一、选择题(每小题5分，共15分) 1．设f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是 ( )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)答案 A解析由f (x )是奇函数可得a ＝－1， ∴f (x )＝lg 1＋x1－x ，定义域为(－1,1)．由f (x )<0，可得0<1＋x1－x<1，∴－1<x <0.2．已知函数f (x )＝||lg x ，若a ≠b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋b 的取值范围是 ( )A ．(1，＋∞) B.[)1，＋∞ C ．(2，＋∞) D.[)2，＋∞答案 C解析如图，由f (a )＝f (b )，得||lg a ＝||lg b .设0＜a ＜b ，则lg a ＋lg b ＝0. ∴ab ＝1，∴a ＋b ＞2ab ＝2.3． (2012·青岛模拟)已知函数f (x )＝a x＋log a x (a >0，a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为( )A.12B.14 C ．2 D ．4答案 C解析当x >0时，函数y ＝a x，y ＝log a x 的单调性相同，因此函数f (x )＝a x＋log a x 是(0，＋∞)上的单调函数，f (x )在[1,2]上的最大值与最小值之和为f (1)＋f (2)＝a 2＋a ＋log a 2，由题意得a 2＋a ＋log a 2＝6＋log a 2.即a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3(舍去)．二、填空题(每小题4分，共12分)4．函数f (x )＝log 12(x 2－2x －3)的单调递增区间是__________．答案 (－∞，－1)解析设t ＝x 2－2x －3，则y ＝log 12t .由t >0解得x <－1或x >3，故函数的定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．又t ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．而函数y ＝log 12t 为关于t 的减函数，所以，函数f (x )的单调增区间为(－∞，－1)．5． (2012·南京质检)若log 2a 1＋a21＋a <0，则a 的取值范围是____________．答案⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析当2a >1时，∵log 2a 1＋a 21＋a <0＝log 2a 1，∴1＋a 21＋a <1.∵1＋a >0，∴1＋a 2<1＋a ，∴a 2－a <0，∴0<a <1，∴12<a <1.当0<2a <1时，∵log 2a 1＋a21＋a <0＝log 2a 1，∴1＋a 21＋a >1.∵1＋a >0，∴1＋a 2>1＋a ，∴a 2－a >0，∴a <0或a >1，此时不合题意．综上所述，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.6．设函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2 015)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 015)＝________.答案 16解析 f (x 1x 2…x 2 015)＝log a (x 1x 2…x 2 015)＝8，f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 015)＝log a x 21＋log a x 22＋…＋log a x 22 015＝log a (x 1x 2…x 2 015)2＝2log a (x 1x 2…x 2 015)＝16. 三、解答题(13分)7．已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x 1＋x.(1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 014的值； (2)当x ∈(－a ，a ]，其中a ∈(0,1)，a 是常数时，函数f (x )是否存在最小值？若存在，求出f (x )的最小值；若不存在，请说明理由．解 (1)由f (x )＋f (－x )＝log 21－x 1＋x ＋log 21＋x1－x＝log 21＝0.∴f ⎝⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 014＝0. (2)f (x )的定义域为(－1,1)， ∵f (x )＝－x ＋log 2(－1＋2x ＋1)，当x 1<x 2且x 1，x 2∈(－1,1)时，f (x )为减函数， ∴当a ∈(0,1)，x ∈(－a ，a ]时f (x )单调递减， ∴当x ＝a 时，f (x )min ＝－a ＋log 21－a1＋a.。

高三数学大一轮复习对数与对数函数学案理新人教A版

学案8 对数与对数函数导学目标： 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性与函数图象通过的特殊点，知道指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数(a>0，a≠1)，体会对数函数是一类重要的函数模型．自主梳理1．对数的定义如果________________，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作__________，其中____叫做对数的底数，______叫做真数．2．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质(a>0且a ≠1)①Na a log ＝____； ②1log a ＝____；③Na a log ＝____；④a a log ＝____.(2)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝________________(a ，b 均大于零且不等于1)； ②b a log ＝ab log 1，推广d c b c b a log log log ••＝________.(3)对数的运算法则如果a>0且a ≠1，M>0，N>0，那么①log a (MN)＝___________________________；②log a MN ＝______________________；③log a M n＝__________(n ∈R )； ④na M m log ＝n mlog a M . 34.反函数指数函数y ＝a x与对数函数____________互为反函数，它们的图象关于直线______对称．自我检测1．(2010·四川)2log 510＋log 50.25的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．42．(2010·辽宁)设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m 的值为( ) A.10B ．10C ．20D ．100 3．(2009·辽宁)已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x；当x <4时，f (x )＝f (x＋1)．则f (2＋log 23)的值为 ( )A.124B.112C.18D.384．(2010·安庆模拟)定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上递增，f (13)＝0，则满足)(log 81x f >0的x 的取值范围是 ( )A ．(0，＋∞)B ．(0，12)∪(2，＋∞)C ．(0，18)∪(12，2)D ．(0，12)5．(2011·台州期末)已知0<a <b <1<c ，m ＝log a c ，n ＝log b c ，则m 与n 的大小关系是______.探究点一对数式的化简与求值例1计算：(1))32(log 32--；(2)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (3)已知2lg x －y2＝lg x ＋lg y ，求yx )223(log -.变式迁移1 计算：(1)log 2748＋log 212－12log 242－1；(2)(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25.探究点二含对数式的大小比较例2 (1)比较下列各组数的大小．①log 323与log 565；②log 1.10.7与log 1.20.7.(2)已知log 12b <log 12a <log 12c ，比较2b,2a,2c的大小关系．变式迁移2 (1)(2009·全国Ⅱ)设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．b >c >a(2)设a ，b ，c 均为正数，且2a＝a 21log ，(12)b ＝b 21log ，(12)c ＝log 2c ，则( )A ．a 0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈[13，2]都有|f (x )|≤1成立，试求a 的取值范围．变式迁移3 (2010·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝|lg x |，若0<a 0，a≠1)．(1)解关于x的不等式：log a(1－a x)>f(1)；(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)是f (x )图象上的两点，求证：直线AB 的斜率小于0.【答题模板】(1)解 ∵f (x )＝log a (1－a x)，∴f (1)＝log a (1－a )．∴1－a >0.∴0<a <1.∴不等式可化为log a (1－a x)>log a (1－a )．∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a x>0，1－a x<1－a .，即⎩⎪⎨⎪⎧a x<1，a x>a .∴0<x <1.∴不等式的解集为(0,1)．[4分](2)证明设x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝)1(log 2x a a -－)1(log 1x a a -＝1211log x x a aa --. ∵1－a x>0，∴a x<1.∴a >1时，f (x )的定义域为(－∞，0)；[6分] 0<a <1时，f (x )的定义域为(0，＋∞)．当0<a <1时，∵x 2>x 1>0，∴2x a <1xa .∴1211x x a a -->1.∴1211log x x a aa --<0. ∴f (x 2)<f (x 1)，即y 2<y 1.同理可证，当a >1时，也有y 2<y 1.[10分]综上：y 2<y 1，即y 2－y 1<0.∴k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1<0.∴直线AB 的斜率小于0.[12分] 【突破思维障碍】解决含参数的对数问题，不可忽视对底数a 的分类讨论，即a >1或0<a <1，其次要看定义域，如果将函数变换，务必保证等价性．1．求解与对数函数有关的复合函数的单调性的步骤： (1)确定定义域；(2)弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的，将复合函数分解成基本初等函数y ＝f (u )，u ＝g (x )；(3)分别确定这两个函数的单调区间；(4)若这两个函数同增或同减，则y ＝f (g (x ))为增函数，若一增一减，则y ＝f (g (x ))为减函数，即“同增异减”．2．用对数函数的性质比较大小(1)同底数的两个对数值的大小比较例如，比较log a f (x )与log a g (x )的大小，其中a >0且a ≠1.①若a >1，则log a f (x )>log a g (x )⇔f (x )>g (x )>0. ②若0<a <1，则log a f (x )>log a g (x )⇔0<f (x )<g (x )． (2)同真数的对数值大小关系如图：图象在x 轴上方的部分自左向右底逐渐增大，即0<c <d <1<a 0且a ≠1)等价于f (x )＝g (x )，但要注意验根．对于log a f (x )>log a g (x )等价于0<a <1时，⎪⎩⎪⎨⎧<>>);()(,0)(,0)(x g x f x g x f a >1时，⎪⎩⎪⎨⎧>>>).()(,0)(,0)(x g x f x g x f(2)形如F (log a x )＝0、F (log a x )>0或F (log a x )<0，一般采用换元法求解．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2010·北京市丰台区高三一调)设M ＝{y |y ＝(12)x，x ∈[0，＋∞)}，N ＝{y |y ＝log 2x ，x ∈(0,1]}，则集合M ∪N 等于 ( )A ．(－∞，0)∪[1，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(－∞，1]D ．(－∞，0)∪(0,1)2．(2010·全国Ⅰ)设a ＝log 32，b ＝ln 2，c ＝5－12，则( )A ．a 0，log 12(－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1) 4．(2011·济南模拟)设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有 ( )A ．f (13)<f (2)<f (12)B ．f (12)<f (2)<f (13)C ．f (12)<f (13)<f (2)D ．f (2)<f (12)<f (13)5．(2011·青岛模拟)已知函数f (x )＝a x＋log a x (a >0，a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为 ( )A.12B.14 C ．2 D ．46．2lg 5＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋lg 22＝________.7．(2011·湖南师大附中检测)已知函数f (x )＝lg ax ＋a －2x在区间[1,2]上是增函数，则实数a 的取值范围是____________．8．已知f (3x )＝4x log 23＋233，则f (2)＋f (4)＋f (8)＋…＋f (28)＝________. 三、解答题(共38分)9．(12分)已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,9]，求y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值及y 取最大值时x 的值．10．(12分)(2011·北京东城1月检测)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1.(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)若a >1时，求使f (x )>0的x 的解集．11．(14分)(2011·郑州模拟)已知函数f (x )＝lg(a x －b x)(a >1>b >0)． (1)求y ＝f (x )的定义域；(2)在函数y ＝f (x )的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x 轴； (3)当a ，b 满足什么条件时，f (x )在(1，＋∞)上恒取正值．答案自主梳理1．a x＝N(a >0，且a ≠1) x ＝log a N a N 2.(1)①N ②0 ③N ④1 (2)①log a N log a b②log a d (3)①log a M ＋log a N ②log a M －log a N ③nlog a M 3.(1)(0，＋∞) (2)R (3)(1,0) 1 0 (4)y >0 y <0 (5)y <0 y >0 (6)增 (7)减 4.y ＝log a x y ＝x自我检测 1．C 2.A3．A [因为3<2＋log 23<4，故f (2＋log 23)＝f (2＋log 23＋1)＝f (3＋log 23)．又3＋log 23>4，故f (3＋log 23)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋log23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123·13＝124.]4．B [由题意可得：f (x )＝f (－x )＝f (|x |)，f (|log 18x |)>f (13)，f (x )在[0，＋∞)上递增，于是|log 18x |>13，解得x 的取值范围是(0，12)∪(2，＋∞)．]5．m >n解析 ∵m <0，n <0，∵m n＝log a c ·log c b ＝log a b <log a a ＝1，∴m >n . 课堂活动区例1 解题导引在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底和指数与对数互化．解 (1)方法一利用对数定义求值：设)32(log )32(-+＝x ，则(2＋3)x ＝2－3＝12＋3＝(2＋3)－1，∴x ＝－1.方法二利用对数的运算性质求解：)32(log )32(-+＝)32(1log )32(++＝1)32()32(log -++＝－1. (2)原式＝12(lg 32－lg 49)－43lg 812＋12lg 245＝12(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5 ＝12lg (2×5)＝12lg 10＝12. (3)由已知得lg(x －y 2)2＝lg xy ，∴(x －y 2)2＝xy ，即x 2－6xy ＋y 2＝0.∴(x y)2－6(x y )＋1＝0.∴x y＝3±2 2.∵⎩⎪⎨⎪⎧x －y >0，x >0，y >0，∴xy >1，∴x y＝3＋22，∴log (3－22)xy＝log (3－22)(3＋22)＝log3－2213－22＝－1.变式迁移1 解 (1)原式＝log 2748＋log 212－log 242－log 22＝log 27×1248×42×2＝log 2122＝log 22－32＝－32.(2)原式＝lg 2·(lg 2＋lg 50)＋lg 25 ＝21g 2＋lg 25＝lg 100＝2.例2 解题导引比较对数式的大小或证明等式问题是对数中常见题型，解决此类问题的方法很多，①当底数相同时，可直接利用对数函数的单调性比较；②若底数不同，真数相同，可转化为同底(利用换底公式)或利用对数函数图象，数形结合解得；③若不同底，不同真数，则可利用中间量进行比较．解 (1)①∵log 323<log 31＝0，而log 565>log 51＝0，∴log 323<log 565.②方法一 ∵0<0.7<1,1.1<1.2， ∴0>log 0.71.1>log 0.71.2.∴1log 0.71.1<1log 0.71.2，由换底公式可得log 1.10.7<log 1.20.7.方法二作出y ＝log 1.1x 与y ＝log 1.2x 的图象，如图所示，两图象与x ＝0.7相交可知log 1.10.7<log 1.20.7.(2)∵y ＝log 12x 为减函数，且log 12b <log 12a <log 12c ，∴b >a >c .而y ＝2x 是增函数，∴2b >2a >2c.变式迁移2 (1)A [a ＝log 3π>1，b ＝12log 23，则12b >c .](2)A [∵a ，b ，c 均为正，∴log 12a ＝2a>1，log 12b ＝(12)b ∈(0,1)，log 2c ＝(12)c∈(0,1)．∴0<a <12，12<b <1,1<c <2.故a <b <c .]例3 解题导引本题属于函数恒成立问题，即对于x ∈[13，2]时，|f (x )|恒小于等于1，恒成立问题一般有两种思路：一是利用图象转化为最值问题；二是利用单调性转化为最值问题．由于本题底数a 为参数，需对a 分类讨论．解 ∵f (x )＝log a x ，则y ＝|f (x )|的图象如右图．由图示，可使x ∈[13，2]时恒有|f (x )|≤1，只需|f (13)|≤1，即－1≤log a 13≤1，即log a a －1≤log a 13≤log a a ，亦当a >1时，得a －1≤13≤a ，即a ≥3；当0<a <1时，得a －1≥13≥a ，得0<a ≤13.综上所述，a 的取值范围是(0，13]∪[3，＋∞)．变式迁移3 C[画出函数f (x )＝|lg x |的图象如图所示．∵0<a 1，∴lg a <0，lg b >0.由f (a )＝f (b )，∴－lg a ＝lg b ，ab ＝1.∴b ＝1a ，∴a ＋2b ＝a ＋2a，又0<a <1，函数t ＝a ＋2a在(0,1)上是减函数，∴a ＋2a >1＋21＝3，即a ＋2b >3.]课后练习区1．C [∵x ≥0，∴y ＝(12)x∈(0,1]，∴M ＝(0,1]．当0<x ≤1时，y ＝log 2x ∈(－∞，0]，即N ＝(－∞，0]． ∴M ∪N ＝(－∞，1]．]2．C [∵1a ＝log 23>1，1b＝log 2e>1，log 23>log 2e.∴1a >1b>1，∴0<a log 33＝12，∴a >12.b ＝ln 2>ln e ＝12，∴b >12.c ＝5－12＝15<12，∴c <a 0时，f (a )＝log 2a ，f (－a )＝a 21log ，f (a )>f (－a )，即log 2a >a 21log ＝log 21a，∴a >1a，解得a >1.②当a <0时，f (a )＝)(log 21a -，f (－a )＝log 2(－a )，f (a )>f (－a )，即)(log 21a ->log 2(－a )＝a-1log 21， ∴－a <1－a，解得－1<a <0，由①②得－1<a <0或a >1.]4．C [由f (2－x )＝f (x )知f (x )的图象关于直线x ＝2－x ＋x2＝1对称，又当x ≥1时，f (x )＝ln x ，所以离对称轴x ＝1距离大的x 的函数值大，∵|2－1|>|13－1|>|12－1|，∴f (12)<f (13)<f (2)．]5．C [当x >0时，函数a x ，log a x 的单调性相同，因此函数f (x )＝a x＋log a x 是(0，＋∞)上的单调函数，f (x )在[1,2]上的最大值与最小值之和为f (1)＋f (2)＝a 2＋a ＋log a 2，由题意得a 2＋a ＋log a 2＝6＋log a 2.即a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3(舍去)．]6．3 7．(1,2)解析因为f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a －2x 在区间[1,2]上是增函数，所以g (x )＝a ＋a －2x在区间[1,2]上是增函数，且g (1)>0，于是a －2<0，且2a －2>0，即1<a <2. 8．2 008解析令3x＝t ，f (t )＝4log 2t ＋233，∴f (2)＋f (4)＋f (8)＋…＋f (28)＝4×(1＋2＋…＋8)＋8×233＝4×36＋1 864＝2 008.9．解 ∵f (x )＝2＋log 3x ，∴y ＝[f (x )]2＋f (x 2)＝(2＋log 3x )2＋2＋log 3x 2＝log 23x ＋6log 3x ＋6＝(log 3x ＋3)2－3.……(4分)∵函数f (x )的定义域为[1,9]，∴要使函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)有意义，必须⎩⎪⎨⎪⎧1≤x 2≤9，1≤x ≤9，∴1≤x ≤3，∴0≤log 3x ≤1，(8分)∴6≤(log 3x ＋3)2－3≤13.当log 3x ＝1，即x ＝3时，y max ＝13.∴当x ＝3时，函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)取最大值13.………………………………………(12分)10．解 (1)f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1.故所求函数f (x )的定义域为{x |－1<x <1}．………………………………………………(4分)(2)由(1)知f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )，故f (x )为奇函数．………………………………………………………………(8分)(3)因为当a >1时，f (x )在定义域{x |－1<x <1}内是增函数，所以f (x )>0⇔x ＋11－x>1.解得0<x <1.所以使f (x )>0的x 的解集是{x |0<x <1}．…………………………………(12分)11．解 (1)由a x－b x>0，得(a b)x>1，且a >1>b >0，得a b>1，所以x >0，即f (x )的定义域为(0，＋∞)．…………………………………………………………………………………………(4分)(2)任取x 1>x 2>0，a >1>b >0，则1x a >2xa >0，21x x b b<，所以11x x b a ->22x x b a ->0，即)lg(11xxb a ->)lg(22xx b a -．故f (x 1)>f (x 2)．所以f (x )在(0，＋∞)上为增函数．………………………………………………………(8分)假设函数y ＝f (x )的图象上存在不同的两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，使直线平行于x 轴，则x 1≠x 2，y 1＝y 2，这与f (x )是增函数矛盾．故函数y ＝f (x )的图象上不存在不同的两点使过两点的直线平行于x 轴．…………(10分)(3)因为f (x )是增函数，所以当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>f (1)．这样只需f (1)＝lg(a －b )≥0，即当a ≥b ＋1时，f (x )在(1，＋∞)上恒取正值．……………………………………………(14分)。

2019-2020年高中数学《对数函数》教案31 新人教A版必修1

2019-2020年高中数学《对数函数》教案31 新人教A 版必修1教学任务：（1）进一步理解对数函数的图象和性质；（2）熟练应用对数函数的图象和性质，解决一些综合问题；（3）通过例题和练习的讲解与演练，培养学生分析问题和解决问题的能力．教学重点：对数函数的图象和性质．教学难点：对对数函数的性质的综合运用．教学过程：一、回顾与总结1．函数x y x y x y lg ,log ,log 52===的图象如图所示，回答下列问题．（1）说明哪个函数对应于哪个图象，并解释为什么？（2）函数与且有什么关系？图象之间又有什么特殊的关系？（3）以x y x y x y lg ,log ,log 52===的图象为基础，在同一坐标系中画出x y x y x y 1015121log ,log ,log ===的图象．（4）已知函数x y x y x y x y a a a a 4321log ,log ,log ,log ====的图象，则底数之间的关系：．教○1 ○2 ○312 342．完成下表（对数函数且的图象和性质）3．根据对数函数的图象和性质填空．○1已知函数，则当时，；当时，；当时，；当时，．○1已知函数，则当时，；当时，；当时，；当时，；当时，．二、应用举例例1．比较大小：○1，且；○2，．解：（略）例2．已知恒为正数，求的取值范围．解：（略）[总结点评]：（由学生独立思考，师生共同归纳概括）．．例3．求函数的定义域及值域．解：（略）注意：函数值域的求法．例4．（1）函数在[2，4]上的最大值比最小值大1，求的值；（2）求函数的最小值．解：（略）注意：利用函数单调性求函数最值的方法，复合函数最值的求法．例5．（xx 年上海高考题）已知函数，求函数的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性．解：（略）注意：判断函数奇偶性和单调性的方法，规范判断函数奇偶性和单调性的步骤．例6．求函数)54(log )(22.0++-=x x y x f 的单调区间．解：（略）注意：复合函数单调性的求法及规律：“同增异减”．练习：求函数的单调区间．三、作业布置考试卷一套2019-2020年高中数学《对数函数》教案32 新人教A版必修1教材分析：1、对数函数及其性质为必修内容，而且对数函数及其相关知识历来是高考的重点，既有中档题，又能和其它知识相结合、综合性较强、考查也比较深刻。

2019-2020年高中数学对数函数教案(I)新课标人教版必修1(B)

2019-2020年高中数学对数函数教案（I）新课标人教版必修1（B）教学目标：进一步理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象和性质教学重点：掌握对数函数的图象和性质.教学过程：1、复习对数函数的概念2、例子：（一）求函数的定义域1. 已知函数的定义域是F,函数的定义域是N,确定集合F、N的关系？2 •求下列函数的定义域：（1）（2）（二）求函数的值域2• f(x) =log a x x [1,2]3 .4.求函数（1）（2）的值域（三）函数图象的应用的图象如图所示，那么a,b,c的大小关系是2.已知y =logm（二-3）：：：logn（黛「3）：：： 0 , m,n为不等于1的正数，则下列关系中正确的是（）（A）1<m<n （B）m< n<1 （C）1<m<n （D） * m<12. 画出下列函数的图象（1）（2）（四）函数的单调性1、求函数的单调递增区间。

2、求函数的单调递减区间（五）函数的奇偶性1、函数y =log2（x，x2•。

快R）的奇偶性为[]A.奇函数而非偶函数 B •偶函数而非奇函数C.非奇非偶函数 D •既奇且偶函数(五)综合1若定义在区间(一1, 0)内的函数满足,则a的取值范围( )课堂练习：略小结：本节课进一步复习了对数函数的定义、图象和性质课后作业：略教学目标：使学生掌握对数形式复合函数的单调性的判断及证明方法，掌握对数形式复合函数的奇偶性的判断及证明方法，培养学生的数学应用意识；认识事物之间的内在联系及相互转化，用联系的观点分析问题、解决问题.教学重点：函数单调性、奇偶性证明通法.教学难点：对数运算性质、对数函数性质的应用.教学过程：I .复习回顾［师］上一节课后，我要求大家预习函数单调性，奇偶性的证明方法，现在，我们进行一下回顾.1. 判断及证明函数单调性的基本步骤：假设一一作差一一变形一一判断说明：变形目的是为了易于判断；判断有两层含义：一是对差式正负的判断；二是对增减函数定义的判断.2. 判断及证明函数奇偶性的基本步骤：①考查函数定义域是否关于原点对称；②比较f( —X)与f(x)或者一f(x)的关系；③根据函数奇偶性定义得出结论.说明：考查函数定义域容易被学生忽视，应强调学生注意.［师］接下来，我们一起来看例题n.讲授新课［例1］判断下列函数的奇偶性：1 —X j 2(1) f(x)二lg 不(2) f(x)二ln( 一1+X —x)分析：首先要注意定义域的考查，然后严格按照奇偶性证明基本步骤进行.1 一x解：(1)由 > 0可得一1v x V11 + x所以函数的定义域为：(一1, 1)关于原点对称T「 1 + X 1 —X — 1 1 —X 「又f( 一X)= lg 1—X = lg (1 + X) =—lg 1+ X = —f(x)即 f ( —x) = —f (x)1 一x所以函数f(x)二|g苻x是奇函数评述：此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质，说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形•解：(2)由1+x2—x > 0 可得x € R所以函数的定义域为R关于原点对称——2 ( 1+x2+ x) ( . 1+x2—x)又 f ( —x) = In( Q l+x + x) = In ----------- 寸〔+x2Y x-----------—In " ----- 2—一ln( ■ 1+x 一x) = 一f (x)1+x —x即 f ( —x) = —f (x)所以函数f(x) —ln( 1+x2—x)是奇函数评述：此题定义域的确定可能稍有困难，可以讲解此点，而函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，应要求学生掌握.［例2］(1)证明函数f(x) —log 2( x2+ 1)在(0，+x)上是增函数(2)问：函数f (x) —log 2(x2+ 1)在(一X，°)上是减函数还是增函数？分析：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉上一节利用对数函数单调性比较同底数对数大小的方法.(1)证明：设X1, X2 € (0,+ X)，且X1 v X2则 f (xj — f (X2)—log 2(xj+1) —log 2(X22+1)2 2v X1 v X2 ••• X1 +1v X2 +1■/ 0又t y —log 2X在(0，+X)上是增函数.2 2.• log 2(x1 +1)v log 2( X2 +1) 即f(x»v f (X2)•函数f(x) —log 2(X +1)在(0，+X)上是增函数.(2)是减函数，证明可以仿照上述证明过程.评述：此题可引导学生总结函数f(x) —log 2(x2+1)的增减性与函数y= x2+1的增减性的关系，并可在课堂练习之后得出一般性的结论.［例3］求函数y —log (x2—2x —3)的单调区间.解：定义域x2—2x — 3 >0 解得x> 3或x v —1单调减区间是(3，+X)［例4］已知y —log a(2 —ax)在［0，1］上是x的减函数，求a的取值范围.解：••• a>0且a^ 1 •函数t —2—ax是减函数由y —log a(2 —ax)在［0，1］上x的减函数，知y= log a t是增函数，• a> 1由x — 1 时，2 —ax — 2 —a>0，得a v2• 1 v a v 2川.课堂练习(1)证明函数y —log ( x2+1)在(0，+X)上是减函数；(2)判断函数y —log ( x2+1)在(—X ,0 )上的增减性.证明：(1)设 O v X i V X 2，贝U2 2 X i + 1f(x i ) — f(X 2)= log ( X i +1) — log ( X 2+I) = logx^p ^ ■/ O v X i v X 2,.・. O v X i 2v X 22, X*|2+ 1而log X 是减函数二loa 2X 2十i••• f(X i ) — f (X 2) >0 即 f (X i ) >f (X 2)•••函数y = log ( X 2+1)在(0, +x )上是减函数(2)设 X i <X 2<0,贝U f(X i ) — f(X 2)= log ( xj+1) — log ( X 22+1)2 2■/ X i v X 2<0,.°. X i >X 2 >0 而函数y = log X 在(0, +x )上是减函数.•log ( x i 2+1)v log ( X 22+1) 即 f (X i ) v f (X 2)• y = log ( x +1)在(—x, 0)上是增函数.IV.课时小结［师］通过本节学习，大家能进一步熟悉对数函数的性质应用，并掌握证明函数单调性, 奇偶性的通法，提高数学应用的能力.V .课后作业(一) 课本 P 70 4, 5, 8(二) 补充1. 求y = log 0.3(x 2 — 2x)的单调递减区间.解：先求定义域：由x 2— 2x >0,得x(x — 2) >0• x v 0或x >2 •••函数y = log °.3t 是减函数故所求单调减区间即t = x 2— 2x 在定义域内的增区间.又t = x — 2x 的对称轴为x = 1•所求单调递减区间为(2, +x)2. 求函数y = log 2(x 2 — 4x)的单调递增区间解：先求定义域：由x 2— 4x >0得x(x — 4) >0• x v 0或x >4 又函数y = log 2t 是增函数故所求单调递增区间为t = x 2 — 4X 在定义域内的单调递增区间.■/ t = x 2 — 4x 的对称轴为x = 2•所求单调递增区间为：(4, +x)3. 已知y = log a (2 — a x )在］0, 1］上是x 的减函数，求a 的取值范围.解：••• a > 0且a ^ 1 当a > 1时，函数t = 2 — a x >0是减函数由y = log a (2 — a x )在］0, 1］上是x 的减函数，知y = log a t 是增函数，• a > 1 由 x €［0, 1］时，2 — a x >2 — a >0,得 a v 2, • 1v a v 2 当0<a<1时，函数t = 2 — a x >0是增函数由y = log a (2 — a x )在］0, 1］上 x 的减函数，知y = log a t 是减函数，• 0<a<1 由 x €［ 0, 1］时，2— a >2— 1>0, • 0<a<1综上述，0<a<1或1 v a v 2 X i 2+ 1 X i 2+ 1'X 22+ 1 vX i 2+ 1X i 2 + 1> logXT +1 二 logi 二 o。

高三数学一轮复习精品教案4：2.6 对数与对数函数教学设计

2.6 对数与对数函数★ 知识要点 1．对数的概念①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b=，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数。

1）以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ；2）以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称自然对数，N e log ，记作N ln ； ②基本性质：1）真数N 为正数（负数和零无对数）；2）01log =a ； 3）1log =a a ；4）对数恒等式：N aNa =log 。

③运算性质：如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则1）N M MN a a a log log )(log +=；2）N M NMa a a log log log -=； 3）∈=n M n Ma na (log log R ）。

④换底公式：),0,1,0,0,0(log log log >≠>≠>=N m m a a aNN m m a1）1log log =⋅a b b a ；2）b mnb a na m log log =。

2. 对数函数：①定义：函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且称对数函数， 1）函数的定义域为),0(+∞；2）函数的值域为R ； 3）当10<<a 时函数为减函数，当1>a 时函数为增函数；4）对数函数x y a log =与指数函数)1,0(≠>=a a a y x且互为反函数。

②函数图像：1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限；2）对数函数都以y 轴为渐近线（当10<<a 时，图象向上无限接近y 轴；当1>a 时，图象向下无限接近y 轴）；4）对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数x y x y aa 1log log ==与的图象关于x 轴对称。

2019-2020年高三数学一轮复习对数与对数函数(学生)导学案新人教版

2019-2020年高三数学一轮复习对数与对数函数（学生）导学案新人教版一、学习目标：（1）对数函数性质及其应用。

（2）与对数函数有关的复合函数的性质二、自主学习：1. 已知函数（）与函数（），则f(x)、g(x)的值域是（） A ．都是 B ．都是 C ．分别是、 D ．分别是、2. 设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则（） A ． B ．2 C ． D ．43. 已知0log log ,10<<<<n m a a a ，则（）A.1＜n ＜mB. 1＜m ＜nC.m ＜n ＜1D. n ＜m ＜1 4．已知f （x ）=log ［3－（x －1）2］，单调减区间为：（1－，1］，值域为： 5．函数y =log （x －ax ＋3a ）在[2，＋∞）上是减函数，则a 的取值范围是（） A ．（－∞，4） B ．（－4，4] C ．（－∞，－4）∪[2，＋∞] D ．[－4，4]三、合作探究：例1．见《优化设计》P26例2变式训练：比较下列各组数的大小：（1）与（2）与（3）与小结与拓展：比较对数式的大小常用的有三种：（1）当底数相同时可直接利用对数函数的单调性比较；（2）当底数不同，真数相同时，可转化为同底或利用对数函数图像比较；（3）当底数不同，真数也不相同时，则可利用中间量比较例2．已知函数f(x)=log a x(a ＞0,a ≠1)，如果对于任意x ∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立，试求a 的取值范围.变式训练：见《优化设计》例3例3：《优化设计》P26例5四、课堂总结：1．对数函数的定义：一般地，把函数叫做对数函数.3．同底的指数函数与对数函数互为反函数；五、检测巩固：同学们自行完成P25“真题在线”与P29“随堂练习”试题、上交《课时训练3.5》2019-2020年高三数学一轮复习导数及其应用第15课时导数概念及运算一、考纲要求三、考点梳理1、已知函数在处的导数为1,当时,, 则A= .2、已知函数在点处的切线为 y =2x -1,则函数在点处的切线方程为__________.3、某汽车启动阶段的路程函数为s(t)＝2t 3－5t 2(s 的单位为m ，t 的单位为s)，则t ＝2s 时，汽车瞬时速度为________．瞬时加速度为________. 4、若，则f′(0)=_______.5、过坐标原点作函数图像的切线,则切线斜率为____________.6、已知抛物线通过点(1,1),且在点处与直线相切,则的值为7、已知函数c b a c x b x a x x f ,,)()()(()(---=是两两不等的实数）则等于四、典例精讲例1、利用导数的定义求函数f(x)＝1x在x ＝1的导数：例2、求下列函数的导数：（1）（2）（3）y=tanx （4）y= 例3、已知曲线，（1）求曲线在点P （2,4）处的切线方程；（2）求曲线过点P （2,4）的切线方程；（3）求曲线的斜率为4的切线方程。

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2019-2020年高三数学大一轮复习 2.6对数与对数函数教案理新人教A版xx 高考会这样考 1.考查对数函数的图象、性质；2.对数方程或不等式的求解；3.考查和对数函数有关的复合函数．复习备考要这样做 1.注意函数定义域的限制以及底数和1的大小关系对函数性质的影响；2.熟练掌握对数函数的图象、性质，搞清复合函数的结构以及和对数函数的关系．1．对数的概念如果a x＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中__a __ 叫做对数的底数，__N __叫做真数． 2．对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )；④log am M n＝n mlog a M . (2)对数的性质①a log a N ＝__N __；②log a a N＝__N __(a >0且a ≠1)． (3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .3．对数函数的图象与性质指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线__y ＝x __对称． [难点正本疑点清源] 1．对数值取正、负值的规律当a >1且b >1或0<a <且00；当a >1且01时，log a b <0. 2．对数函数的定义域及单调性对数函数y ＝log a x 的定义域应为{x |x >0}．对数函数的单调性和a 的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0<a <1和a >1进行分类讨论． 3．关于对数值的大小比较(1)化同底后利用函数的单调性； (2)作差或作商法； (3)利用中间量(0或1)； (4)化同真数后利用图象比较．1． (xx·江苏)函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是__________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞解析函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，令t ＝2x ＋1 (t >0)．因为y ＝log 5t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数，t ＝2x ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上为增函数，所以函数y ＝log 5(2x ＋1)的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞. 2．函数y ＝log a (x ＋3)－1 (a >0且a ≠1)的图象恒过点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上(其中mn >0)，则1m ＋2n的最小值为________．答案 8解析 y ＝log a (x ＋3)－1 (a >0且a ≠1)的图象恒过点A (－2，－1)，A (－2，－1)在直线mx ＋ny ＋1＝0上，即2m ＋n ＝1.∴1m ＋2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋2n (2m ＋n )＝4＋n m ＋4mn≥4＋24＝8，当且仅当4m 2＝n 2时取等号． 3．(xx·安徽)(log 29)·(log 34)等于( )A.14B.12 C ．2 D ．4 答案 D解析方法一原式＝lg 9lg 2·lg 4lg 3＝2lg 3·2lg 2lg 2·lg 3＝4.方法二原式＝2log 23·log 24log 23＝2×2＝4.4． (xx·重庆)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是 ( ) A ．a ＝b <c B ．a ＝b >c C ．a b >c 答案 B解析 ∵a ＝log 23＋log 23＝log 233，b ＝log 29－log 23＝log 233， ∴a ＝b .又∵函数y ＝log a x (a >1)为增函数，∴a ＝log 233>log 22＝1，c ＝log 32<log 33＝1，∴a ＝b >c .5． (xx·安徽)若点(a ，b )在y ＝lg x 图象上，a ≠1，则下列点也在此图象上的是 ( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，b B ．(10a,1－b ) C.⎝⎛⎭⎪⎫10a ，b ＋1 D ．(a 2,2b )答案 D解析由点(a ，b )在y ＝lg x 图象上，知b ＝lg a .对于A ，点⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，b ，当x ＝1a 时，y ＝lg 1a＝－lg a ＝－b ≠b ，∴不在图象上．对于B ，点(10a,1－b )，当x ＝10a 时，y ＝lg(10a )＝lg 10＋lg a ＝1＋b ≠1－b ，∴不在图象上．对于C ，点⎝⎛⎭⎪⎫10a ，b ＋1，当x ＝10a 时，y ＝lg 10a ＝1－lga ＝1－b ≠b ＋1，∴不在图象上．对于D ，点(a 2,2b )，当x ＝a 2时，y ＝lg a 2＝2lg a ＝2b ， ∴该点在此图象上.题型一对数式的运算例1 计算下列各式：(1)lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2；(2)2－lg 9＋127＋lg 8－lg 1 000lg 0.3·lg 1.2；(3)(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)．思维启迪：(1)lg 2·lg 50没有办法直接化简，可考虑提取公因数lg 2.(2)将根号下配成完全平方的形式，开根号．(3)利用换底公式，是本题的切入口．解 (1)原式＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5＝(1＋1)lg 2＋2lg 5 ＝2(lg 2＋lg 5)＝2.(2)原式＝2－2lg 3＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫32lg 3＋3lg 2－32－＋2lg 2－＝－32＋2lg 2－－＋2lg 2－＝－32.(3)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2＝3lg 22lg 3·5lg 36lg 2＝54.探究提高 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底或指数与对数互化．(2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧．求值：(1)log 89log 23；(2)(lg 5)2＋lg 50·lg 2；(3)12lg 3249－43lg 8＋lg 245. 解 (1)原式＝log 2332log 23＝23.(2)原式＝(lg 5)2＋lg(10×5)lg 105＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)(1－lg 5) ＝(lg 5)2＋1－(lg 5)2＝1. (3)原式＝lg 427－lg 4＋lg(75)＝lg 42×757×4＝lg 10＝12.题型二对数函数的图象与性质例 2 已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log123)，c ＝f (0.2－0.6)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <a <bB ．c 532＝2>log 49，又f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，故f (x )在[0，＋∞)上是单调递减的，∴f (0.2－0.6)<f (log 123)<f (log 47)，即c <b <a .探究提高 (1)函数的单调性是函数最重要的性质，可以用来比较函数值的大小，解不等式等；(2)函数图象可以直观表示函数的所有关系，充分利用函数图象解题也体现了数形结合的思想．(1)(xx·天津)已知a ＝21.2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为 ( ) A ．c 0且a ≠1)的图象过两点(－1，0)和(0,1)，则a ＝________，b ＝________.答案 2 2解析 f (x )的图象过两点(－1,0)和(0,1)．则f (－1)＝log a (－1＋b )＝0且f (0)＝log a (0＋b )＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧b －1＝1b ＝a ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ＝2.题型三对数函数的综合应用例3 已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．思维启迪：f (x )恒有意义转化为“恒成立”问题，分离实数a 来解决；探究a 是否存在，可从单调性入手．解 (1)∵a >0且a ≠1，设y ＝3－ax ，则y ＝3－ax 为减函数，x ∈[0,2]时，t 最小值为3－2a ，当x ∈[0,2]，f (x )恒有意义，即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立．∴3－2a >0.∴a <32又a >0且a ≠1，∴a >∈(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (2)t ＝3－ax ，∵a >0，∴函数t (x )为减函数， ∵f (x )在区间[1,2]上为减函数， ∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1,2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0log a －a ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <32a ＝32，故不存在．探究提高解决对数函数综合问题的方法无论讨论函数的性质，还是利用函数的性质(1)要分清函数的底数a ∈(0,1)，还是a ∈(1，＋∞)；(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行；(3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误．已知f (x )＝log 4(4x－1)． (1)求f (x )的定义域； (2)讨论f (x )的单调性；(3)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域．解 (1)由4x－1>0，得x >0. ∴f (x )的定义域为{x |x >0}． (2)设0<x 1<x 2，则0<4x 1－1<4x 2－1，∴log 4(4x 1－1)<log 4(4x 2－1)，∴f (x 1)<f (x 2)．故f (x )＝log 4(4x－1)在(0，＋∞)上为增函数． (3)∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝log 4⎝⎛⎭⎪⎫412－1＝0， f (2)＝log 4(42－1)＝log 415.∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域为[0，log 415]． 4.数形结合思想在对数函数中的应用典例：(12分)已知函数f (x )＝log a (a x－1) (a >0且a ≠1)．求证：(1)函数f (x )的图象总在y 轴的一侧； (2)函数f (x )图象上任意两点连线的斜率都大于0.审题视角 (1)要证明f (x )的图象总在y 轴的一侧，说明f (x )的自变量只能在(0，＋∞)或(－∞，0)内取值．(2)可以在f (x )上任取两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，证明k ＝y 2－y 1x 2－x 1>0即可．规范解答证明 (1)由a x－1>0，得a x>1，[1分]∴当a >1时，x >0，即函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，此时函数f (x )的图象总在y 轴的右侧；[3分]当0<a <1时，x <0，即函数f (x )的定义域为(－∞，0)，此时函数f (x )的图象总在y 轴的左侧．[5分] ∴函数f (x )的图象总在y 轴的一侧．[6分](2)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)是函数f (x )图象上的任意两点，且x 1<x 2，则直线AB 的斜率k＝y 1－y 2x 1－x 2.[7分] y 1－y 2＝log a (ax 1－1)－log a (ax 2－1)＝log a ax 1－1ax 2－1，[8分]当a >1时，由(1)知0<x 1<x 2，∴1<ax 1<ax 2， ∴0<ax 1－1<ax 2－1.∴0<ax 1－1ax 2－1<1，∴y 1－y 2<0. 又x 1－x 2<0，∴k >0.[9分]当0<a <1时，由(1)知x 1<x 2<0，∴ax 1>ax 2>1， ∴ax 1－1>ax 2－1>0.[10分] ∴ax 1－1ax 2－1>1，∴y 1－y 2<0.又x 1－x 2<0，∴k >0. ∴函数f (x )图象上任意两点连线的斜率都大于0.[12分]温馨提醒说到数形结合思想，我们想到是更多的以“形”助“数”来解决问题．事实上，本题是以“数”来说明“形”的问题，同样体现着数形结合的思想．本题的易错点：① 找不到证明问题的切入口．如第(1)问，不知道求其定义域．②不能正确进行分类讨论．若对数或指数的底数中含有参数，一般要进行分类讨论.方法与技巧1．指数式a b＝N 与对数式log a N ＝b 的关系以及这两种形式的互化是对数运算法则的关键． 2．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过图象与直线y ＝1交点的横坐标进行判定．3．注意对数恒等式、对数换底公式及等式log am b n＝nm ·log a b ，log a b ＝1log b a在解题中的灵活应用．失误与防范1．在运算性质log a M n＝n log a M 中，要特别注意条件，在无M ＞0的条件下应为log a M n＝n log a |M |(n ∈N *，且n 为偶数)．2．指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别． 3．解决与对数函数有关的问题时需注意两点(1)务必先研究函数的定义域； (2)注意对数底数的取值范围.(时间：60分钟)A 组专项基础训练一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝e －12，则 ( )A ．x <y <zB ．z <x <yC ．z <y <xD ．y <z <x 答案 D解析 ∵x ＝ln π>ln e ，∴x >1. ∵y ＝log 52<log 55，∴0<y <12.∵z ＝e －12＝1e >14＝12，∴12<z <1.综上可得，y <z <x .2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12－x ，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1) 答案 C解析 f (a )>f (－a )⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0log 2a >log 12a 或⎩⎪⎨⎪⎧a <0log 12－a 2－a⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0a >1或⎩⎪⎨⎪⎧a <0－1<a⇒a >1或－1<a <0.3．函数f (x )＝log a (ax －3)在[1,3]上单调递增，则a 的取值范围是 ( )A ．(1，＋∞)B ．(0,1)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 D ．(3，＋∞)答案 D解析由于a >0，且a ≠1，∴u ＝ax －3为增函数， ∴若函数f (x )为增函数，则f (x )＝log a u 必为增函数，因此a >1.又y ＝ax －3在[1,3]上恒为正， ∴a －3>0，即a >3，故选D.4．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( )A ．f (13)<f (2)<f (12)B ．f (12)<f (2)<f (13)C ．f (12)<f (13)<f (2)D ．f (2)<f (12)<f (13)答案 C解析由f (2－x )＝f (x )知f (x )的图象关于直线x ＝2－x ＋x 2＝1对称，又当x ≥1时，f (x )＝ln x ，所以离对称轴x ＝1距离大的x 的函数值大，∵|2－1|>|13－1|>|12－1|，∴f (12)<f (13)<f (2)．二、填空题(每小题5分，共15分)5． (xx·江苏)函数f (x )＝1－2log 6x 的定义域为________．答案 (0，6]解析要使函数f (x )＝1－2log 6x 有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，1－2log 6x ≥0. 解得0<x ≤ 6.6．若f (x )＝ax －12，且f (lg a )＝10，则a ＝__________. 答案 10或1010解析 f (lg a )＝a lg a －12＝10， ∴lg(a lg a －12)＝lg 10＝12，∴2lg 2a －lg a －1＝0， ∴lg a ＝1或lg a ＝－12，∴a ＝10或a ＝1010. 7．已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________.答案 4解析 ∵A ＝(0,4]，又A ⊆B ，∴a >4.即实数a 的取值范围是(4，＋∞)，∴c ＝4.三、解答题(共25分)8． (12分)已知函数f (x )＝log a x ＋b x －b(a >0，b >0，a ≠1)． (1)求f (x )的定义域；(2)讨论f (x )的奇偶性．解 (1)使f (x )有意义，则x ＋b x －b>0， ∵b >0，∴x >b 或x <－b ，∴f (x )的定义域为{x |x >b 或x <－b }．(2)由(1)知f (x )的定义域关于原点对称，∵f (－x )＝log a －x ＋b －x －b ＝log a x －b x ＋b ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b x －b －1 ＝－log a x ＋b x －b＝－f (x )． ∴f (x )为奇函数．9． (13分)若函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M .当x ∈M 时，求f (x )＝2x ＋2－3×4x的最值及相应的x 的值．解 ∵y ＝lg(3－4x ＋x 2)，∴3－4x ＋x 2>0，解得x <1或x >3，∴M ＝{x |x <1或x >3}， f (x )＝2x ＋2－3×4x ＝4×2x －3×(2x )2.令2x＝t ，∵x <1或x >3，∴t >8或0<t <2. ∴f (t )＝4t －3t 2＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －232＋43(t >8或0<t <2)．由二次函数的性质可知，当0<t <2时，f (t )∈⎝⎛⎦⎥⎤－4，43，当t >8时，f (t )∈(－∞，－160)，当2x ＝t ＝23，即x ＝log 223时，f (x )max ＝43. 综上可知，当x ＝log 223时，f (x )取到最大值43，无最小值． B 组专项能力提升一、选择题(每小题5分，共15分)1．设f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是 ( )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)答案 A解析由f (x )是奇函数可得a ＝－1，∴f (x )＝lg 1＋x 1－x，定义域为(－1,1)．由f (x )<0，可得0<1＋x 1－x<1，∴－1<x <0. 2．已知函数f (x )＝||lg x ，若a ≠b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋b 的取值范围是( )A ．(1，＋∞) B.[)1，＋∞C ．(2，＋∞) D.[)2，＋∞答案 C解析如图，由f (a )＝f (b )，得||lg a ＝||lg b .设0＜a ＜b ，则lg a ＋lg b ＝0.∴ab ＝1，∴a ＋b ＞2ab ＝2.3． (xx·青岛模拟)已知函数f (x )＝a x ＋log a x (a >0，a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为 ( ) A.12 B.14C ．2D ．4 答案 C解析当x >0时，函数y ＝a x ，y ＝log a x 的单调性相同，因此函数f (x )＝a x＋log a x 是(0，＋∞)上的单调函数，f (x )在[1,2]上的最大值与最小值之和为f (1)＋f (2)＝a 2＋a ＋log a 2，由题意得a 2＋a ＋log a 2＝6＋log a 2.即a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3(舍去)．二、填空题(每小题4分，共12分)4．函数f (x )＝log 12(x 2－2x －3)的单调递增区间是__________．答案 (－∞，－1)解析设t ＝x 2－2x －3，则y ＝log 12t . 由t >0解得x <－1或x >3，故函数的定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．又t ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．而函数y ＝log 12t 为关于t 的减函数，所以，函数f (x )的单调增区间为(－∞，－1)．5． (xx·南京质检)若log 2a 1＋a 21＋a <0，则a 的取值范围是____________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析当2a >1时，∵log 2a 1＋a 21＋a <0＝log 2a 1，∴1＋a 21＋a<1.∵1＋a >0，∴1＋a 2<1＋a ， ∴a 2－a <0，∴0<a <1，∴12<a <1. 当0<2a <1时，∵log 2a 1＋a 21＋a<0＝log 2a 1， ∴1＋a 21＋a>1.∵1＋a >0，∴1＋a 2>1＋a ， ∴a 2－a >0，∴a <0或a >1，此时不合题意．综上所述，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 6．设函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2 015)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 015)＝________.答案 16解析 f (x 1x 2…x 2 015)＝log a (x 1x 2…x 2 015)＝8，f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 015) ＝log a x 21＋log a x 22＋…＋log a x 22 015＝log a (x 1x 2…x 2 015)2＝2log a (x 1x 2…x 2 015)＝16.三、解答题(13分)7．已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x 1＋x. (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 014的值； (2)当x ∈(－a ，a ]，其中a ∈(0,1)，a 是常数时，函数f (x )是否存在最小值？若存在，求出f (x )的最小值；若不存在，请说明理由．解 (1)由f (x )＋f (－x )＝log 21－x 1＋x ＋log 21＋x 1－x＝log 21＝0.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 014＝0. (2)f (x )的定义域为(－1,1)， ∵f (x )＝－x ＋log 2(－1＋2x ＋1)，当x 1<x 2且x 1，x 2∈(－1,1)时，f (x )为减函数，∴当a ∈(0,1)，x ∈(－a ，a ]时f (x )单调递减，∴当x ＝a 时，f (x )min ＝－a ＋log 21－a 1＋a.。

2019-2020年高三数学大一轮复习 2.6对数与对数函数教案 理 新人教A版

2019-2020年高中数学必修一《对数函数》教案

高中数学 高三一轮第二章第6课时 对数与对数函数(教案)

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