电子科技大学随机信号分析课件 第5章_功率谱分析及其应用
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功率谱分析ppt课件
以模下拟是信库号G利自x(-f谱杜) 的T开2 |X估法( 值f的)|计2估算值式计：算式：
功率谱的计算
数字信S x号(k自) 谱N1的| X估(值k)计|2算式：
G
(k
x
)
2 N
|X
(k )|2
其中k
0,1,2..... N 1
模拟信Sx号y( f互) 谱T1的X估 ( f值)Y计( f 算) 式：
为
S R e (f)
( ) j 2f d
xy
xy
（2.36）
R S e
( )
( f ) j 2 f df
其逆变换xy 为 xy
功由S率于( f )谱R()密与 度函的数傅里的叶定变换义对的S关( f )
系，两R()者是唯一对R应X (的) 。 S中x( f包) 含
dt
S x
T T 0
Sx( f )
（2.40）x2(t)
x2(t) T x2(t) T
上式表明： T 2(t)
x lim
dt
T T 0
曲线下的总面积与
曲线下的总面积相等，如图2.17所示
从物理意义讲， 是信号x（t）的能量，
这功一总率S功x(f) 率谱密度函数的物理意义
塞均法功P尔率av 定为Tlim理T1 ，0T x2在(t)d整t 个Tlim时 T1间|X轴( f )上|2df的信号平
（2.41）
S
x
lim
T
1 T
|
X
(
f
)|2
再由式（2.38）、（2.3(9,）) 、（2.41）得：
(,0)
功率谱的计算
数字信S x号(k自) 谱N1的| X估(值k)计|2算式：
G
(k
x
)
2 N
|X
(k )|2
其中k
0,1,2..... N 1
模拟信Sx号y( f互) 谱T1的X估 ( f值)Y计( f 算) 式：
为
S R e (f)
( ) j 2f d
xy
xy
（2.36）
R S e
( )
( f ) j 2 f df
其逆变换xy 为 xy
功由S率于( f )谱R()密与 度函的数傅里的叶定变换义对的S关( f )
系，两R()者是唯一对R应X (的) 。 S中x( f包) 含
dt
S x
T T 0
Sx( f )
（2.40）x2(t)
x2(t) T x2(t) T
上式表明： T 2(t)
x lim
dt
T T 0
曲线下的总面积与
曲线下的总面积相等，如图2.17所示
从物理意义讲， 是信号x（t）的能量，
这功一总率S功x(f) 率谱密度函数的物理意义
塞均法功P尔率av 定为Tlim理T1 ，0T x2在(t)d整t 个Tlim时 T1间|X轴( f )上|2df的信号平
（2.41）
S
x
lim
T
1 T
|
X
(
f
)|2
再由式（2.38）、（2.3(9,）) 、（2.41）得：
(,0)
06第5章_功率谱分析及其应用
随机信号的功率谱密度
谱相干函数(spectral coherence function)的定 义 评测输入、输出信号间的因果性，即输出信号 的功率谱中有多少是所测试输入量引起的响应。
xy
2
G xy
2
G x G y
随机信号的功率谱密度
频率响应函数(frequency response function) 的定义 G xy H G x 谱相干函数的性质 1 y(t)和x(t)完全相关 0 y(t)和x(t)完全无关 1 0 y(t)和x(t)部分相关
R xx 0
1 T
T
T 0
x t x t 0 dt
j 2 f 0
2 x
S ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx
f e
df
S xx
f df
R xx 0
2 x
S xx
f df
随机信号的功率谱密度 Parseral定理 信号的能量在时域与频域是相等的。
x
Rxx ( )
x
2
Rxx ( )
RxT xT ( )
随机信号的功率谱密度 自功率谱密度函数(Auto-power spectral density function)定义 根据维纳—辛钦公式，平稳随机过程的功率谱 密度与自相关函数是一傅里叶变换偶对 (fourier transform dual pair)
S x R x
R x e
j
d
功率谱分析的原理及应用
功率谱分析的原理及应用1. 什么是功率谱分析功率谱分析是一种对信号进行频域分析的方法，它可以将信号在频域上表达出来。
通过功率谱分析，我们可以了解信号的频率分布，并从中提取出信号的特征。
功率谱分析广泛应用于信号处理、通信系统、声学分析等领域。
2. 功率谱分析的原理功率谱分析的原理基于傅里叶变换的思想，将时域上的信号转换为频域上的信号。
傅里叶变换可以将一个信号表示为多个不同频率的正弦波的叠加，而功率谱则表示不同频率正弦波的能量分布情况。
功率谱分析的具体步骤如下：- 第一步：将原始信号转换为时域上的离散信号。
- 第二步：对离散信号进行傅里叶变换，得到频域上的信号。
- 第三步：计算频域上信号的幅度谱，得到信号在不同频率上的能量分布。
- 第四步：对幅度谱进行平方处理，得到功率谱。
3. 功率谱分析的应用功率谱分析在许多领域中都有广泛的应用，以下列举了一些常见的应用场景。
3.1 信号处理功率谱分析在信号处理中具有重要的作用。
通过分析信号的功率谱，我们可以了解信号的频率特性，从而帮助我们对信号进行滤波、降噪等处理。
同时，功率谱分析还能够帮助我们检测信号中的周期性成分，并进行信号的识别和分类。
3.2 通信系统在通信系统中，功率谱分析可以用于频谱分析和带宽分配等任务。
通过对信号的功率谱进行分析，可以确定频率段的使用情况，从而辅助我们进行频谱规划和频率资源的分配。
此外，功率谱分析还可以帮助我们评估信道的质量，从而对通信系统进行优化。
3.3 声学分析声学分析是功率谱分析的另一个重要应用领域。
在声学分析中，功率谱分析可以用于声音信号的频谱分析和特征提取。
通过分析声音信号的功率谱，我们可以了解声音的频率成分和能量分布，进而帮助我们进行声音信号的分类、识别和音频处理等任务。
3.4 振动分析功率谱分析在振动分析中也得到了广泛的应用。
通过对振动信号进行功率谱分析，我们可以了解结构物的固有频率和振动模态，从而帮助我们识别结构物中存在的故障和缺陷。
功率谱分析及其应用
S x Rx e j d
Rx S x e j d
随机信号的功率谱密度
自功率谱密度函数(Auto-power spectral density function)的性质
自功率谱密度函数是实偶函数。 自功率谱密度函数是双边谱。
Cxy 2 R cos d 单边互谱密度函数 (One-sided cross-power spectrum) xy Qxy 2 Rxy sin d 其中 j
实部 Gxy Gxy e 虚部
单边功率谱(one-sided power spectrum)（非负频率 上的谱） G 2S
x x
2 Rx e j d
0
随机信号的功率谱密度
1 T 2 Rxx 0 lim x t x t 0 dt x T T 0
输入x(t)与输出y(t)的互相关函数(crosscorrelation function )为：
Rxy Rx ' x Rx 'n1 Rx 'n2 Rx 'n3
Rxy Rx ' x
S xy f
由于噪音与输入无关，所以后3项为零，于是有
可利用互谱求系统的
X(t)
系统1 系统2 可在强噪声背景下分析系统的传输特性
n1 t
n2 t
y(t)
n3 t
随机信号的功率谱密度 正弦加随机
随机信号
yt x ' t n1 ' t n2 ' t n3 ' t
随机信号第五章
RX ( v) h( v) h(v)dv RX ( ) h( ) h( ) RY
电子科技大学通信学院 12/65
RX
h
RYX
h
RY
定义系统（冲激响应）的相关函数为:
rh (t ) h(t )* h(t )
输入X(t)是零均值平稳高斯信号，自相关函数
RX ( ) e
2 X
a
, (a 0, a b)
。求输出信号
（1）Y(t)的功率谱与自相关函数； （2）Y(t)的一维概率密度函数； （3） P[Y (t )
0]
电子科技大学通信学院
17/65
e
a t
2a 2 a2
输出 Y(t) 的 RY(τ) 也是可测的
则，
RY ( ) RX ( ) rh ( )
rh ( ) H ( j )
F 2
功率谱传输函数
电子科技大学通信学院
13/65
电子科技大学通信学院
14/65
说明： 对于线性时不变系统 h(t)
X(t) h(t) Y(t)
（1）若X(t)是WSS.R.S, 则Y(t)也是WSS.R.S, 且X(t)、
电子科技大学通信学院 21/65
H
SY ( ) S X ( ) H ( )
2
2
1 1 2 R 2C 2
1 ( 2 f0 ) ( 2 f0 ) 2 (1 2 R ( 2 f 0 ) ( 2 f 0 ) 2 2 2 2 2(1 4 f 0 R C )
Y(t)还是JWSS。
（2）若X(t)是各态历经, 则Y(t)也是各态历经, 且X(t)、 Y(t)还是联合各态历经。（统计互相关等于时间互相关）
《随机信号分析》第五章-窄带随机过程
高斯 同一时刻不相关
独立
2020/10/24
06-9-27 28
5.3.2 结论1
对于均值为零的窄带平稳高斯过程
其同相分量和正交分量同样是平稳高斯过程， 而且均值都为零，方差也相同；
在同一时刻上的同相分量与正交分量是不相 关的或统计独立的。
2020/10/24
29
5.3.2
Rc Rs R cos 2 fc Rˆ sin 2 fc
15
2.随机信号的复信号表示
X (t) X (t) jXˆ (t)
R X
(
)
E
X
(t
)
X
*
(t)
E{[ X (t ) jXˆ (t )][ X (t) jXˆ (t)]}
RX ( ) RXˆ ( ) j[RXˆX ( ) RXXˆ ( )]
RX ( ) RXˆ ( ) RXˆX ( ) Rˆ X ( ) RXXˆ ( )
2020/10/24
2
希尔伯特变换 (Hilbert Transform)
1.定义
正变换定义：
H[x(t)] xˆ(t) 1 x( ) d
t
xˆ(t) x(t) 1
t
反变换：
H 1[xˆ(t)] x(t) 1 xˆ( ) d
t
H 1[xˆ(t)] xˆ(t) 1
第5章 窄带随机过程
Narrow-band Random Process
希尔伯特变换 信号的复信号表示 窄带随机过程的统计特性 窄带正态随机过程包络和相位的分布
2020/10/24
1
希尔伯特，D.(Hilbert,David，1862～ 1943)德国著名数学家。
希尔伯特领导的数学学派是19世纪末20 世纪初数学界的一面旗帜，希尔伯特被称 为“数学界的无冕之王”。
独立
2020/10/24
06-9-27 28
5.3.2 结论1
对于均值为零的窄带平稳高斯过程
其同相分量和正交分量同样是平稳高斯过程， 而且均值都为零，方差也相同；
在同一时刻上的同相分量与正交分量是不相 关的或统计独立的。
2020/10/24
29
5.3.2
Rc Rs R cos 2 fc Rˆ sin 2 fc
15
2.随机信号的复信号表示
X (t) X (t) jXˆ (t)
R X
(
)
E
X
(t
)
X
*
(t)
E{[ X (t ) jXˆ (t )][ X (t) jXˆ (t)]}
RX ( ) RXˆ ( ) j[RXˆX ( ) RXXˆ ( )]
RX ( ) RXˆ ( ) RXˆX ( ) Rˆ X ( ) RXXˆ ( )
2020/10/24
2
希尔伯特变换 (Hilbert Transform)
1.定义
正变换定义：
H[x(t)] xˆ(t) 1 x( ) d
t
xˆ(t) x(t) 1
t
反变换：
H 1[xˆ(t)] x(t) 1 xˆ( ) d
t
H 1[xˆ(t)] xˆ(t) 1
第5章 窄带随机过程
Narrow-band Random Process
希尔伯特变换 信号的复信号表示 窄带随机过程的统计特性 窄带正态随机过程包络和相位的分布
2020/10/24
1
希尔伯特，D.(Hilbert,David，1862～ 1943)德国著名数学家。
希尔伯特领导的数学学派是19世纪末20 世纪初数学界的一面旗帜，希尔伯特被称 为“数学界的无冕之王”。
第五章功率谱估计12节ppt课件
20
第二节 经典谱估计方法
21
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
一、相关图法
根 据 维 纳 -辛 欣 定 理 ， 1 9 5 8 年 B la c k m a n 和 T u k e y 给 出 了 相 关 图 法 的 具 体 实 现 。
19
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
然而这些方法在信噪比（SNR）较低时 性能并不好，为此，1982年以来，人们 陆续提出了多种基于矩阵奇异值分解或 特征值分解的改进的谱估计方法，也叫 做超分辨方法。
随机信号能量无限，其功率未必无限， 因而常用功率谱来描述其频率特性。
随机信号自相关函数的傅里叶变换是 信号的功率谱密度。
7
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
3、谱估计定义
谱估计或功率谱估值：根据有限个观测 数据，估计平稳随机信号的功率谱。
14
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
（2）现代谱估计
其基本思想是根据已有的观测数据，建 立信号所服从的模型，从而在观测不到 的区间上，信号的取值服从模型的分布 情况，不再认为是零。
主要讨论参数模型（AR、MA、ARMA） 法。
8
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
第二节 经典谱估计方法
21
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
一、相关图法
根 据 维 纳 -辛 欣 定 理 ， 1 9 5 8 年 B la c k m a n 和 T u k e y 给 出 了 相 关 图 法 的 具 体 实 现 。
19
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
然而这些方法在信噪比（SNR）较低时 性能并不好，为此，1982年以来，人们 陆续提出了多种基于矩阵奇异值分解或 特征值分解的改进的谱估计方法，也叫 做超分辨方法。
随机信号能量无限，其功率未必无限， 因而常用功率谱来描述其频率特性。
随机信号自相关函数的傅里叶变换是 信号的功率谱密度。
7
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
3、谱估计定义
谱估计或功率谱估值：根据有限个观测 数据，估计平稳随机信号的功率谱。
14
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
（2）现代谱估计
其基本思想是根据已有的观测数据，建 立信号所服从的模型，从而在观测不到 的区间上，信号的取值服从模型的分布 情况，不再认为是零。
主要讨论参数模型（AR、MA、ARMA） 法。
8
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
信号分析3.05功率谱和能量谱
1
一．周期信号的功率谱 （离散谱）
第 页
描述功率信号在频域中随ω分布情况
瞬时功率
p(t)
Ri2 (t)
u2 (t) R
f
2 (t)
fT 2 (t)
平均功率
P
1 T
T
0
fT 2 (t) d t
1 T
T
0
fT
(t)(
Fne
jn1tn
[1 T
T
0
fT (t)e jn1t dt]
Fn
Fn
3) Fn 2 ~ 绘成的线状图形，表示 各次谐波的平均功 率随频率分布的情况，称为功率谱系数。离散谱。可
绘单边谱也可绘双边谱. 4)功率谱只与幅频谱有关，与相位无关，由于其收敛性，
能量主要集中在低频段 。
X
3
二．非周期信号的能量谱
第
（连续谱）页
时域中：E
f
2 (t)dt
f
(t)[ 1
2
F(
j)e jtd]dt
页
不同频率下信号的实际振幅为无穷小,能 量实际也为无穷小,为描述不同频率下能量的 分布情况,引入能量密度频谱函数G(w),
E
G
(
)d
G() 1 F 2 ( j) 2
说明： 表示单位频率下的信号能量。
1)能量是整个频域范围内能量谱曲线下的面积
2)能量谱只取决于信号的幅频特性,而与相位无关.
通过能量谱曲线可以了解信号能量在频域
1
2
F(
j
)[
f
(t)e jtdt]d
时域法
1
2
F
(
j )F (
j )d
1
一．周期信号的功率谱 （离散谱）
第 页
描述功率信号在频域中随ω分布情况
瞬时功率
p(t)
Ri2 (t)
u2 (t) R
f
2 (t)
fT 2 (t)
平均功率
P
1 T
T
0
fT 2 (t) d t
1 T
T
0
fT
(t)(
Fne
jn1tn
[1 T
T
0
fT (t)e jn1t dt]
Fn
Fn
3) Fn 2 ~ 绘成的线状图形，表示 各次谐波的平均功 率随频率分布的情况，称为功率谱系数。离散谱。可
绘单边谱也可绘双边谱. 4)功率谱只与幅频谱有关，与相位无关，由于其收敛性，
能量主要集中在低频段 。
X
3
二．非周期信号的能量谱
第
（连续谱）页
时域中：E
f
2 (t)dt
f
(t)[ 1
2
F(
j)e jtd]dt
页
不同频率下信号的实际振幅为无穷小,能 量实际也为无穷小,为描述不同频率下能量的 分布情况,引入能量密度频谱函数G(w),
E
G
(
)d
G() 1 F 2 ( j) 2
说明： 表示单位频率下的信号能量。
1)能量是整个频域范围内能量谱曲线下的面积
2)能量谱只取决于信号的幅频特性,而与相位无关.
通过能量谱曲线可以了解信号能量在频域
1
2
F(
j
)[
f
(t)e jtdt]d
时域法
1
2
F
(
j )F (
j )d
1
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计算方法
xt xn X k X k
FFT
模平方
2
平均
1 2 X k N
S x k Rx r
IFFT
随机信号的功率谱密度 工程应用 1）功率谱在设备诊断中的应用
①汽车变速箱上加速度
信号的功率谱图
正常 异常
随机信号的功率谱密度 可分析系统的 H f
随机信号的功率谱密度
油压脉动自谱 船用柴油机润 滑油泵压油管 振动和压力脉 动间的相干分 析
油管振动自谱
S xy e
j
d
单边互谱密度函数(One-sided cross-power spectrum )
Gxy 2 Rxy e j d
0
随机信号的功率谱密度 单边互谱密度函数(One-sided cross-power spectrum) Gxy Cxy jQxy
第五章 信号(signal)处理 初步
第四节 功率谱(power spectrum)分析及其应用
随机信号的功率谱密度
随机信号是时域无限信号，不具备可积分条件， 因此不能直接进行傅里叶变换。又因为随机信号 的频率、幅值、相位都是随机的，因此从理论上 讲，一般不作幅值谱和相位谱分析，而是用具有 统计特性的功率谱密度(power spectral density) 来作谱分析。 自功率谱密度函数(Auto-power spectral density function) 互功率谱密度函数(cross-power spectral density function) 相干函数(coherence function)与频率响应函 数(frequency response function)
2 1 S x f lim Xf T 2T
随机信号的功率谱密度 功率谱估计 1 2 Sx f X f T 1 2 S x k X k N
其中k 0,1,2 N 1
2 2 单边谱 Gx f X k N
随机信号的功率谱密度
设x(t)是零均值的随机信号，且x(t)中无周期性分 量，其自相关函数 Rx 0 ，自相关函数满足 富立叶变换条件 Rx d 0
工程中对信号进行隔直 处理，使 x 0。 对于含有周期成分的信 号，用窗函Байду номын сангаас(window function)截断，使 得 。
2
2
xy arctan
Qxy C xy
随机信号的功率谱密度 互谱分析的估计 离散点
1 S xy k X k i Y k i N 1 S xy k X k i Y k i N
对应于数字信号
1 S xy f i X f i Y f i T 1 S xy f i X f i Y f i T
其中 Cxy 2 Rxy cos d 实部 Q 2 R sin d xy xy 虚部 j Gxy Gxy e xy
Gxy C xy Qxy
H Gx
谱相干函数的性质 2 xy 1 y(t)和x(t)完全相关 2 xy 0 y(t)和x(t)完全无关 2 1 xy 0 y(t)和x(t)部分相关
测试中有外界干扰
输出y(t)是输入x(t)和其它输入的综合输出 联系x(t)与y(t)的系统是非线性(nonlinear)的
随机信号的功率谱密度 工程应用 可利用互谱求系统的 H f H f
f
Y f Y f X f S xy f H f X f X f X f S x f
可在强噪声背景下分析系统的传输特性 X(t)
Rxy Rx ' x Rx 'n1 Rx 'n2 Rx 'n3
Rxy Rx ' x
S xy f
由于噪音与输入无关，所以后3项为零，于是有
S xx ' f H f Sx f Sx f
随机信号的功率谱密度
谱相干函数(spectral coherence function)的定 义 评测输入、输出信号间的因果性，即输出信号 的功率谱中有多少是所测试输入量引起的响应。
2 xy
Gx Gy
Gxy
2
随机信号的功率谱密度
频率响应函数(frequency response function) 的定义 Gxy
S x Rx e j d
Rx S x e j d
随机信号的功率谱密度 自功率谱密度函数(Auto-power spectral density function)的性质 自功率谱密度函数是实偶函数。 自功率谱密度函数是双边谱。
系统1
系统2
y(t)
n3 t
n1 t
n2 t
随机信号的功率谱密度 正弦加随机
随机信号
随机信号的功率谱密度
yt x ' t n1 ' t n2 ' t n3 ' t
输入x(t)与输出y(t)的互相关函数(crosscorrelation function )为：
Rxx 0 Sxx f e
2 x
j 2 f 0
df Sxx f df
Rxx 0 Sxx f df
随机信号的功率谱密度 Parseral定理 信号的能量在时域与频域是相等的。
x t dt
单边功率谱(one-sided power spectrum)（非 负频率上的谱）
Gx 2S x 2 Rx e j d
0
随机信号的功率谱密度 物理意义 信号的能量在不同频率成分上的分布。
1 T 2 Rxx 0 lim x t x t 0 dt x T T 0
2
X f df
2
自功率谱密度函数(Auto-power spectral density function)与幅值谱(amplitude spectrum)的关系 1 T 2 Rxx 0 lim T x t dt S x f df T 2T 2 1 T 2 1 Rxx 0 lim T x t dt Tlim 2T X f df T 2T
随机信号的功率谱密度
互功率谱密度函数(cross-power spectral density function)定义 Rxy d 如果互相关函数满足福氏变换条件
S xy Rxy e j d
1 Rxy 2
Y f H f Xf
H f H f H f
2
Sy f Yf Y f Yf 2 Xf X f Xf Sx f
2
测量中经常用这个公式计算频率响应函数 (frequency response function)的幅值，但无 法计算它的相位、实部和虚部。
Rxx ( )
x
2
Rxx ( )
RxT xT ( )
随机信号的功率谱密度 自功率谱密度函数(Auto-power spectral density function)定义 根据维纳—辛钦公式，平稳随机过程的功率谱 密度与自相关函数是一傅里叶变换偶对 (fourier transform dual pair)
xt xn X k X k
FFT
模平方
2
平均
1 2 X k N
S x k Rx r
IFFT
随机信号的功率谱密度 工程应用 1）功率谱在设备诊断中的应用
①汽车变速箱上加速度
信号的功率谱图
正常 异常
随机信号的功率谱密度 可分析系统的 H f
随机信号的功率谱密度
油压脉动自谱 船用柴油机润 滑油泵压油管 振动和压力脉 动间的相干分 析
油管振动自谱
S xy e
j
d
单边互谱密度函数(One-sided cross-power spectrum )
Gxy 2 Rxy e j d
0
随机信号的功率谱密度 单边互谱密度函数(One-sided cross-power spectrum) Gxy Cxy jQxy
第五章 信号(signal)处理 初步
第四节 功率谱(power spectrum)分析及其应用
随机信号的功率谱密度
随机信号是时域无限信号，不具备可积分条件， 因此不能直接进行傅里叶变换。又因为随机信号 的频率、幅值、相位都是随机的，因此从理论上 讲，一般不作幅值谱和相位谱分析，而是用具有 统计特性的功率谱密度(power spectral density) 来作谱分析。 自功率谱密度函数(Auto-power spectral density function) 互功率谱密度函数(cross-power spectral density function) 相干函数(coherence function)与频率响应函 数(frequency response function)
2 1 S x f lim Xf T 2T
随机信号的功率谱密度 功率谱估计 1 2 Sx f X f T 1 2 S x k X k N
其中k 0,1,2 N 1
2 2 单边谱 Gx f X k N
随机信号的功率谱密度
设x(t)是零均值的随机信号，且x(t)中无周期性分 量，其自相关函数 Rx 0 ，自相关函数满足 富立叶变换条件 Rx d 0
工程中对信号进行隔直 处理，使 x 0。 对于含有周期成分的信 号，用窗函Байду номын сангаас(window function)截断，使 得 。
2
2
xy arctan
Qxy C xy
随机信号的功率谱密度 互谱分析的估计 离散点
1 S xy k X k i Y k i N 1 S xy k X k i Y k i N
对应于数字信号
1 S xy f i X f i Y f i T 1 S xy f i X f i Y f i T
其中 Cxy 2 Rxy cos d 实部 Q 2 R sin d xy xy 虚部 j Gxy Gxy e xy
Gxy C xy Qxy
H Gx
谱相干函数的性质 2 xy 1 y(t)和x(t)完全相关 2 xy 0 y(t)和x(t)完全无关 2 1 xy 0 y(t)和x(t)部分相关
测试中有外界干扰
输出y(t)是输入x(t)和其它输入的综合输出 联系x(t)与y(t)的系统是非线性(nonlinear)的
随机信号的功率谱密度 工程应用 可利用互谱求系统的 H f H f
f
Y f Y f X f S xy f H f X f X f X f S x f
可在强噪声背景下分析系统的传输特性 X(t)
Rxy Rx ' x Rx 'n1 Rx 'n2 Rx 'n3
Rxy Rx ' x
S xy f
由于噪音与输入无关，所以后3项为零，于是有
S xx ' f H f Sx f Sx f
随机信号的功率谱密度
谱相干函数(spectral coherence function)的定 义 评测输入、输出信号间的因果性，即输出信号 的功率谱中有多少是所测试输入量引起的响应。
2 xy
Gx Gy
Gxy
2
随机信号的功率谱密度
频率响应函数(frequency response function) 的定义 Gxy
S x Rx e j d
Rx S x e j d
随机信号的功率谱密度 自功率谱密度函数(Auto-power spectral density function)的性质 自功率谱密度函数是实偶函数。 自功率谱密度函数是双边谱。
系统1
系统2
y(t)
n3 t
n1 t
n2 t
随机信号的功率谱密度 正弦加随机
随机信号
随机信号的功率谱密度
yt x ' t n1 ' t n2 ' t n3 ' t
输入x(t)与输出y(t)的互相关函数(crosscorrelation function )为：
Rxx 0 Sxx f e
2 x
j 2 f 0
df Sxx f df
Rxx 0 Sxx f df
随机信号的功率谱密度 Parseral定理 信号的能量在时域与频域是相等的。
x t dt
单边功率谱(one-sided power spectrum)（非 负频率上的谱）
Gx 2S x 2 Rx e j d
0
随机信号的功率谱密度 物理意义 信号的能量在不同频率成分上的分布。
1 T 2 Rxx 0 lim x t x t 0 dt x T T 0
2
X f df
2
自功率谱密度函数(Auto-power spectral density function)与幅值谱(amplitude spectrum)的关系 1 T 2 Rxx 0 lim T x t dt S x f df T 2T 2 1 T 2 1 Rxx 0 lim T x t dt Tlim 2T X f df T 2T
随机信号的功率谱密度
互功率谱密度函数(cross-power spectral density function)定义 Rxy d 如果互相关函数满足福氏变换条件
S xy Rxy e j d
1 Rxy 2
Y f H f Xf
H f H f H f
2
Sy f Yf Y f Yf 2 Xf X f Xf Sx f
2
测量中经常用这个公式计算频率响应函数 (frequency response function)的幅值，但无 法计算它的相位、实部和虚部。
Rxx ( )
x
2
Rxx ( )
RxT xT ( )
随机信号的功率谱密度 自功率谱密度函数(Auto-power spectral density function)定义 根据维纳—辛钦公式，平稳随机过程的功率谱 密度与自相关函数是一傅里叶变换偶对 (fourier transform dual pair)