IEEE浮点数表示法

IEEE浮点数表示法

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float 共计32位(4字节)

由最高到最低位分别是第31、30、29、 0

31位是符号位，1表示该数为负，0反之

30~23位，一共8位是指数位(-128~127)

22~ 0位，一共23位是尾数位

每8位分为一组，分成4组，分别是A组、B组、C组、D组

每一组是一个字节，在内存中逆序存储，即: DCBA

31 30 23 22 0

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| |

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注: 尾数的存储位为23位，由于没有存储最高位的1，所以实际有效位为24位。如果其中20位都用来表示小数部分，能表示的最大值为0.999999

我们先不考虑逆序存储的问题，因为那样会把读者彻底搞晕，所以我先按照顺序的来讲，最后再把他们翻过来就行了。

纯整数的表示方法

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现在让我们按照IEEE浮点数表示法，一步步的将float型浮点数123456.0f转换为十六进制代码。在处理这种不带小数的浮点数时，直接将整数部转化为二进制表示:

1 11100010 01000000

也可以这样表示:

1 11100010 01000000.0

然后将小数点向左移，一直移到离最高位只有1位:

1.11100010 01000000

一共移动了16位，在布耳运算中小数点每向左移一位就等于在以2为底的科学计算法表示中指数+1，所以原数就等于这样

1 11100010 01000000 =

1.11100010 01000000 * (2^16)

现在我们要的尾数和指数都出来了。显而易见，最高位永远是1，因为你不可能把买了16个鸡蛋说成是买了0016个鸡蛋吧?(呵呵，可别拿你买的臭鸡蛋甩我)，所以这个1我们还有必要保留他吗?(众：没有!)好的，我们删掉他。这样尾数的二进制就变成了: 11100010

01000000 最后在尾数的后面补0，一直到补够23位：11100010 01000000 0000000 (MD，这些个0差点没把我数的背过气去)

再回来看指数，一共8位，可以表示范围是0 ~ 255的无符号整数，也可以表示-128~127的有符号整数。但因为指数是可以为负的，所以为了统一把十进制的整数化为二进制时，都先加上127。

在这里，我们的16加上127后就变成了143，二进制表示为: 10001111

123456.0f这个数是正的，所以符号位是0，那么我们按照前面讲的格式把它拼起来:

01000111111100010 01000000 0000000

再转化为16进制为：47 F1 20 00，最后把它翻过来，就成了: 00 20 F1 47

输出4个字节的浮点数内存数据

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#include

int main()

{

float f = 123456.0;

unsigned char * c = (char *)&f;

int i = 0;

for (i = 3; i >= 0; i--)

printf("%p\n", c[i]);

}

0x47

0xf1

0x20

(nil)

整数和小数混合的表示方法

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有了上面的基础后，下面我再举一个带小数的例子来看一下为什么会出现精度问题。

按照IEEE浮点数表示法，将float型浮点数123.456f转换为十六进制代码。对于这种带小数的就需要把整数部和小数部分开处理。整数部直接化二进制: 1111011。小数部的处理比较麻烦一些，也不太好讲，可能反着讲效果好一点，比如有一个十进制纯小数0.57826，那么5是十分位，位阶是1/10；7是百分位，位阶是1/100；8是千分位，位阶是1/1000 ...，这些位阶分母的关系是10^1、10^2、10^3...，现假设每一位的序列是{S1、S2、S3、 ...、Sn}，在这里就是5、7、8、2、6，而这个纯小数就可以这样表示：

n = S1*(1/(10^1)) + S2*(1/(10^2)) + S3*(1/(10^3)) + ... + Sn*(1/(10^n))

把这个公式推广到b进制纯小数中就是这样：

n = S1*(1/(b^1)) + S2*(1/(b^2)) + S3*(1/(b^3)) + ... + Sn*(1/(b^n))

天哪，可恶的数学，我怎么快成了数学老师了!没办法，为了广大编程爱好者的切身利益，喝口水继续！现在一个二进制纯小数比如0.100101011就应该比较好理解了，这个数的位阶序列就因该是1/(2^1)、1/(2^2)、1/(2^3)、1/(2^4)，即0.5、0.25、0.125、

0.0625...。乘以S序列中的1或着0算出每一项再相加就可以得出原数了。现在你的基础知识因该足够了，再回过头来看0.456这个十进制纯小数，该如何表示呢?现在你动手算一下，最好不要先看到答案，这样对你理解有好处。

我想你已经迫不及待的想要看答案了，因为你发现这跟本算不出来！来看一下步骤：

1/2^1位(为了方便，下面仅用2的指数来表示位)，0.456小于位阶值0.5故为0；1/2^2位，0.456大于位阶值0.25，该位为1，并将0.456减去0.25得0.206进下一位；1/2^3位，0.206大于位阶值0.125，该位为1，并将0.206减去0.125得0.081进下一位；1/2^4位，0.081大于0.0625，为1，并将0.081减去0.0625得0.0185进下一位；1/2^5位0.0185小于0.03125，为0...。问题出来了，即使超过尾数的最大长度23位也除不尽！这就是著名的浮点数精度问题了。不过我在这里不是要给大家讲《数值计算》，用各种方法来提高计算精度，因为那太庞杂了，恐怕我讲上一年也理不清个头绪啊。我在这里就仅把浮点数表示法讲清楚便达到目的了。

0.456 0.5 (1/2^1) 0.456<0.5 0 0.456-0.5*0=0.456

0.456 0.25(1/2^2) 0.456>0.25 1 0.456-0.25*1=0.206

0.206 0.125 0.206>0.125 1 0.206-0.125*1=0.081

0.081 0.0625 0.081>0.0625 1 0.081-0.0625*1=0.0165

0.0165 0.03125 0.0165<0.031250 0.0165-0.03125*0=