2020年湘教版八年级上册数学3.3 实数 课件
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湘教版-数学-八年级上册-3.3实数 精品课件
现实生活中不是有理数的数， 你能举出几个吗？
• 除了书上举的几个例子，你 还知道那些呢？
2
（动I火m 第 的N 星N 二速a探og宇度o测e宙（器速第脱度一离）宇地与宙球绕速I引m 地度力N球）a的o轨 的g速e道 比度运 是
Image
美国好奇号火星探测器
中国嫦娥三号探测
吉拉峡谷的漂哀布罗罐子
布置作业：
• 1.课本P125 1--4题 • 2.选做题： • （1）证明 2 是无理数 • （2）阅读课本P127-128的“数学与文化”
然后说出你的感想
边长a 1<a<2 1.4<a<1.5 1.41<a<1.42 1.414<a<1.4 15
1<S<4
面积S
1.96<S<2.25
1.988 1<S<2.016 4
1.999 396<S<2.002 225
1.999 961 64<S<2.000 244 49
边长a会不会算到某一位时，它的平方 恰好等于2呢？为什么？
a可能是有限小数吗？它会是一个怎样 的数呢？
事实上，a=1.414 213 56… a是一个无限不循环小数！
通过本课时的学习，需要我们掌握： 无理数的概念：无限不循环的小数叫作无理数. 会判断一个数是有理数还是无理数. 会用计算器求一个非负数的算术平方根。
第一次数学危机
古希腊有一个著名的学派叫做毕达哥拉斯学 派，这个学派有一个信条：“万物皆数”， 即“宇宙间的一切现象都可以归结为整数或
数学
湘教版八年级上册之
湘教版八年级上册3.3实数 无理数
探索发现
使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形 式，你有什么发现？
八年级数学上册 3.3 实数 第2课时 实数的运算和大小比较课件 (新版)湘教版.pptx
(b+c)a = ba + ca （乘法对于加法的分配律） ；
（9）实数的减法运算规定为 a -b = a + (-b)
；
（10）实数的除法运算（除数b≠ a ÷ b = a·
0)1，规定为 b
；
（11）实数有一条重要性质：如果a≠0，b≠0，那么
ab
≠
0.
4
小提示
实数也可以比较大小：对于实数a，b，如果a-b>0， 则a大于b（或者b小于a），记作a>b（或b<a）；
3.
9
2 5(精确到小数点6, 精确到小数点后面第二位得：3.16.
10
用正方形比较
不用计算器，估计 5 与2哪个大.
解： 5 ，2 分别是5，4的正方形的边长. 容易说明，面积大的正方形，它的边长也大. 因此， 5 > 2 .
5
2
11
小提示
在实数运算中，如果遇到无理数，并且要 求出结果的近似值时，可按要求的精确度用相 应的近似有限小数代替无理数，再进行计算.
12
练习
计算（精确到小数点后面第二位）.
（1） 2 + 3； （2） 5 -1 ； （3） 5 .
≈1.414+1.732≈3.15.
≈2.236-1≈1.24. ≈2.236×3.14≈7.02.
同样地，如果a-b<0，则a<b.还可以得出：正实数大 于一切负实数；两个负实数，绝对值大的数反而小.
从而数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的 实数大.
负实数
原点
正实数
0
<
5
结论
每个正实数有且只有两个平方根，它们互 为相反数;
湘教初中数学八年级上册《3.3实数》课堂教学课件 (2)
合作探究
把下列各数分别填入相应的集合内：
3
2,
1 4
,
4 , 0,
9
7, , 5 ,
2
2,
20 3
,
5, 3 8,
（相邻两个3之间
0.3737737773 的7的个数逐次加1）
1 , 5 , 42
4, 9
0,
3 8,
3 2, 7 , , 2, 20 , 3
5, 0.3737737773
5.无理数一定都带根号。（× ）
6.两个无理数之积不一定是无理数。（ ）
7.两个无理数之和一定是无理数。（ ×）
2、P15练习1，2
随堂练习 把下列各数填入相应的集合内：
9 35
64
•
0. 6
3 4
0 3 9
3
0.13
（1）有理数集合：
（2）无理数集合：
（3）整数集合：
（4）分数集合：
（5）正实数数集合： （6）负实数集合： （７）实数集合：
阅读与欣赏
但后来，这学派的一位年轻成员希伯索斯(Hippasus) 发现边 长为1的正方形的对角线的长不能用有理数来表示，这就动摇了 毕达哥拉斯学派的信条，引起了信徒们的恐慌，他们试图封锁这 一发现，然而希伯索斯偷偷将这一发现传播出去，这为他招来了 杀身之祸，在他逃回家的路上，遭到毕氏成员的围捕，被投入大 海。
有理数集合
无理数集合
（1）如果将所有有理数都标到数轴上，那么数轴被
填满了吗？
（2）如下图，OA=OB，数轴上A点对应的数是什么？
它介于哪两个整数之间？
B 2
实数有哪些性质?
－2 －1
0
21
A 2
湘教版八年级数学上册第3章实数课件
故，答案是±2.
例3 若2m-4与3m-1是同一个数的平方根，则m为( C ).
A.-3
B.1
C.-3或1
D.-1
分析
根据平方根的性质，一个正数有两个平方根，且它们互为
相反数，即(2m-4)+(3m-1)=0；而本题隐含一个条件，也就是
说，2m-4与3m-1也可能是其中的一个平方根，即2m-4=3m-1.
解答：A 项小数点移动出错，B 项符号出错，C 项误把算术平方根当作平方根．D 项是正确的， 故选 D．
3．求 81 的平方根．
解： 81 =9，9 的平方根是±3，所以 81 的平 方根是±3．
B组
4．已知 x2 9 y 3 0 ，求 x＋y 的值． 解：由题意得：
把a的负平方根记作 - a ，读作“负根号a”.
这样正数a的平方根可以用符号“ ± a ”来 表示. 读作“正、负根号a” .
说一说
零的平方根是多少？负数有平方根吗？
由于02=0，而非零数的平方不等于0，因此零 的平方根就是0本身.我们把0的平方根也叫作0的 算术平方根，记作 0 ，即 0 = 0 .
算术平方根.
解： 由于92=81
因此 81 9 .
由于
(5)2 25 8 64
因此 25 5 .
64 8
由于0说法是否正确. （1） 5 是 25 的一个平方根； 正确.
7 49
（2） 6 是6的算术平方根； 正确.
（3）16 的值是±4；
本章内容 第3章
3.1.1《平方根（1）》 3.1.2《平方根（2）》 3.2《立方根》 3.3.1《实数（1）》 3.3.2《实数（2）》
实数
本课节内容 3.1
平方根
例3 若2m-4与3m-1是同一个数的平方根，则m为( C ).
A.-3
B.1
C.-3或1
D.-1
分析
根据平方根的性质，一个正数有两个平方根，且它们互为
相反数，即(2m-4)+(3m-1)=0；而本题隐含一个条件，也就是
说，2m-4与3m-1也可能是其中的一个平方根，即2m-4=3m-1.
解答：A 项小数点移动出错，B 项符号出错，C 项误把算术平方根当作平方根．D 项是正确的， 故选 D．
3．求 81 的平方根．
解： 81 =9，9 的平方根是±3，所以 81 的平 方根是±3．
B组
4．已知 x2 9 y 3 0 ，求 x＋y 的值． 解：由题意得：
把a的负平方根记作 - a ，读作“负根号a”.
这样正数a的平方根可以用符号“ ± a ”来 表示. 读作“正、负根号a” .
说一说
零的平方根是多少？负数有平方根吗？
由于02=0，而非零数的平方不等于0，因此零 的平方根就是0本身.我们把0的平方根也叫作0的 算术平方根，记作 0 ，即 0 = 0 .
算术平方根.
解： 由于92=81
因此 81 9 .
由于
(5)2 25 8 64
因此 25 5 .
64 8
由于0说法是否正确. （1） 5 是 25 的一个平方根； 正确.
7 49
（2） 6 是6的算术平方根； 正确.
（3）16 的值是±4；
本章内容 第3章
3.1.1《平方根（1）》 3.1.2《平方根（2）》 3.2《立方根》 3.3.1《实数（1）》 3.3.2《实数（2）》
实数
本课节内容 3.1
平方根
湘教版八年级数学上册第3章实数全章课件
面积为8㎝²的正方形，它的边长应该比2.828大， 比2.829小，……
由此猜想，面积为8㎝²的正方形，它的边长是 一个小数点后面的位数可以不断增加的小数.
事实上，我们可以说明这个边长不是分数，从 而它既不是有限小数，也不是无限循环小数，这 种小数叫作无限不循环小数.
我们把无限不循环小数叫作无理数.
交流总结：
1.举例说明什么数是无理数？实数包括什么数？ 无限不循环小数称为无理数.如π、1.5326…、
3 、2 6 等.实数包括有理数和无理数.
2.一个数的平方等于a，则这个数是 a的平方根 .
交流总结：
3.正数a的平方根有两个： a 和 a ，其 中算术平方根是 a .0的平方根是 0 .
由于正方形的边长的平方等于它的面积，因此面 积为8㎝²的正方形的边长可以记作 8 ㎝. 上述分析知道，8 是一个无限不循环小数，即 8 是一个 无理数 . 圆周率π=3.14159265…，也是一个 无理数 .
的正方形的边长的取值范围是大于 2 而小于 3 ，也 就说明正方形的边长不是 整 数.
探究
观察下列结果：
2.8²=7.84， 2.82²=7.9524， 2.828²=7.997 584，
…
2.9²=8.41；
2.83²=8.0089 2.829²=8.003241；
…
从上述数据，你能猜出面积为8的正方形的边 长为多少吗？
求一个非负数的平方根的运算，叫 作开平方.
【注意】开平方与平方互为逆运算，根据这 种关系，可以求一个数的平方根.
平方
开平方
+1
1
-1
+2
4
-2
+3
9
-3
湘教版八年级数学上册 第3章 实数3.3 实数教学课件(共31张PPT)
设点C表示的实数为x，则点A到点C的距离为－1－x， ∴－1－x＝1＋ 3 ， ∴x＝－2－ 3
新知探究 练一练
2.如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别为和5.1，则A ，B两点之间表示整数的点共有( C )
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
解析：∵ 2 ≈1.414，∴ 2和5.1之间的整数有2，3，4，5 ∴A，B两点之间表示整数的点共有4个．
π 的相反数是 π ，
1 5 的相反数是 5 1 .
2. -π的绝对值是 π ，
3= 3 ，
0= 0 .
例题讲解
3.填空
（1）3.14的相反数是__3__.1_4__，绝对值是___3_.1__4__;
（2） 7 的相反数是____7___，绝对值是____7____;
（3）π
π
π
负实数
原点 正实数 0
<
新知探究 小归纳
与有理数一样，在实数范围内：
1.正数大于零，负数小于零，正数大于负数； 2.两个正数，绝对值大的数较大； 3.两个负数，绝对值大的数反而小.
新知探究 想一想
不用计算器，5 与2比较哪个大？与3比较呢？
5 ，2可以看作分别是面积 为5，4的正方形的边长， 容易说明：面积较大的正 方形，它的边长也较大， 因此 5 2.
【方法总结】数轴上的点与实数一一对应，结合数轴分 析，可轻松得出结论．
新知探究 实数的性质
在实数范围内 ，相反数、倒数、绝对值的
意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的
意义完全一样．
例如： 2 与 2 互为相反数
35
与
1 35
互为倒数
| 3 | 3, | 0 | 0,| |
新知探究 练一练
2.如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别为和5.1，则A ，B两点之间表示整数的点共有( C )
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
解析：∵ 2 ≈1.414，∴ 2和5.1之间的整数有2，3，4，5 ∴A，B两点之间表示整数的点共有4个．
π 的相反数是 π ，
1 5 的相反数是 5 1 .
2. -π的绝对值是 π ，
3= 3 ，
0= 0 .
例题讲解
3.填空
（1）3.14的相反数是__3__.1_4__，绝对值是___3_.1__4__;
（2） 7 的相反数是____7___，绝对值是____7____;
（3）π
π
π
负实数
原点 正实数 0
<
新知探究 小归纳
与有理数一样，在实数范围内：
1.正数大于零，负数小于零，正数大于负数； 2.两个正数，绝对值大的数较大； 3.两个负数，绝对值大的数反而小.
新知探究 想一想
不用计算器，5 与2比较哪个大？与3比较呢？
5 ，2可以看作分别是面积 为5，4的正方形的边长， 容易说明：面积较大的正 方形，它的边长也较大， 因此 5 2.
【方法总结】数轴上的点与实数一一对应，结合数轴分 析，可轻松得出结论．
新知探究 实数的性质
在实数范围内 ，相反数、倒数、绝对值的
意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的
意义完全一样．
例如： 2 与 2 互为相反数
35
与
1 35
互为倒数
| 3 | 3, | 0 | 0,| |
湘教版八年级数学上册3.3实数(共42张PPT)
知5－导
感悟新知
(6)(ab)c=________(乘法结合律)； (7)1·a=a·1=________；
知5－导
(8)a(b +c)=________(乘法对于加法的分配律)，
(b+c)a=________(乘法对于加法的分配律)；
(9)实数的减法运算规定为a-b=a+____；
(10)对于每一个非零实数a，存在一个实数b，满足a·b=b·a=1，
知5－讲
感悟新知
知5－讲
要点精析：在实数范围内做开方运算时，要注意正
实数和零既能开平方，也能开立方，负实数
不能开平方.
(1)运算种类：
运算级别 第一级 运算名称 加 减 运算结果 和 差
第二级 乘除 积商
第三级 乘方 平方 幂 方根
感悟新知
知5－讲
(2)运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后算加减同 级运算按照从左到右的顺序进行，有括号的先算括 号里面的.
下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
2
，0，144，
9 ，π，
2 3
，3
2 ，0.101 001 0001…(邻
两个1之间逐次增加一个0).
解：0，1.414， 9 ， 2 是有理数，
3
2 ，π，3 2，0.1010 000 1是无理数.
感悟新知
结论
知1－讲
有理数和无理数统称为实数(real number). 这样，我们可以得到：
课堂小结
实数
运算种类：
运算级别 第一级 运算名称 加 减 运算结果 和 差
第二级 乘除 积商
第三级 乘方 平方 幂 方根
课堂小结
实数
3.易错警示：(1)负实数只能开奇次方，不能开偶次方； (2)计算结果中如果包含开方开不尽的数，则保留根号，
八年级数学上册3.3实数二教学课件新版湘教版
3.3 实数(shìshù)（二）
第一页，共10页。
识(zhī shi)回顾
把下列(xiàliè)各数分别填入相应的集合内：
0.3737737773……
3 2 ， 7 ， ，- 22 ，
7
2
，
2 5
，
20 ，- 5 ，- 3 8 ， 4 ，0 .
3
9
第二页，共10页。
8 0.3737337522370222773294570，73……
Hale Waihona Puke 1、实数的运算：实数的运算法则(fǎzé)：先算乘方和开方，再算乘和除，最后 算加和减，有括号的先算括号里的。
巩固(gǒnggù)练（1） 7 3 7 3 4 2
习： １、判断：
（2）2 3
1 2
3
2 1 2
1
（3）（-3）2 3
（4）（ 11）2 11
（5）3（-7）3 7
第五页，共10页。
第九页，共10页。
3、计算(jì suàn)：
（1）3 2 2 2 （2）3 5 5
第十页，共10页。
例2，计算(jì suàn)下列各式的值：
（1）（ 3 5） 5
（2）2 3 3 3
解：（1）（ 3 5） 5 （2）2 3 3 3
3 （ 5 5） =（2-3） 3
30
=- 3
3
第六页，共10页。
例3，用计算(jì suàn)器2计算(5jì suàn)：
面第二位）
（精确
第七页，共10页。
知识梳理
1、本节课你学了什么(shén me)知识?
实数的运算，性质
实数比较(bǐjiào)大小
实数的平方根，立方根 2、你有什么(shén me)体会?
第一页，共10页。
识(zhī shi)回顾
把下列(xiàliè)各数分别填入相应的集合内：
0.3737737773……
3 2 ， 7 ， ，- 22 ，
7
2
，
2 5
，
20 ，- 5 ，- 3 8 ， 4 ，0 .
3
9
第二页，共10页。
8 0.3737337522370222773294570，73……
Hale Waihona Puke 1、实数的运算：实数的运算法则(fǎzé)：先算乘方和开方，再算乘和除，最后 算加和减，有括号的先算括号里的。
巩固(gǒnggù)练（1） 7 3 7 3 4 2
习： １、判断：
（2）2 3
1 2
3
2 1 2
1
（3）（-3）2 3
（4）（ 11）2 11
（5）3（-7）3 7
第五页，共10页。
第九页，共10页。
3、计算(jì suàn)：
（1）3 2 2 2 （2）3 5 5
第十页，共10页。
例2，计算(jì suàn)下列各式的值：
（1）（ 3 5） 5
（2）2 3 3 3
解：（1）（ 3 5） 5 （2）2 3 3 3
3 （ 5 5） =（2-3） 3
30
=- 3
3
第六页，共10页。
例3，用计算(jì suàn)器2计算(5jì suàn)：
面第二位）
（精确
第七页，共10页。
知识梳理
1、本节课你学了什么(shén me)知识?
实数的运算，性质
实数比较(bǐjiào)大小
实数的平方根，立方根 2、你有什么(shén me)体会?
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409、:0敏17而.1好2.学20，20不09耻:0下17问.1。2.。2072.1020.92:021079.:1021.:2405270.1029.:200120090:091:00197:0.112:4.2500290:01:45
这醉人芬春芳去的春季又节回，，愿新你桃生换活旧像符春。天在一那样桃阳花光盛，开心的情地像方桃，在 54、海不内要存为知它已的，结天束涯而若哭比，邻应。当为Su它nd的ay开, J始u而ly 笑12。, 270.2102J.2u0ly20270.S1u2n.2d0a2y0, 0J9u:l0y11029,:200120097:0/12:4/250290:01:45 花一这样醉美人丽芬，芳感的谢季你节的，阅愿读你。生活像春天一样阳光，心情像桃 65莫、愁生前命路的无成知长已，，需天要下吃谁饭人，不还识需君要。吃苦9时，1吃分亏9时。1S分un1d2a-Jyu,lJ-2u0ly71.122,.2020July 20Sunday, July 12, 20207/12/2020
（3）a+0=0+a =
a
；
（4）a+(-a)=(-a)+a =
0
；
（5）ab =
ba
（乘法交换律）；
（6）(ab)c =
a(bc)
（乘法结合律）；
（7） 1 ·a = a ·1 =
a
；
（8）a(b+c)= ab+ac （乘法对于加法的分配律），
(b+c)a= ba+ca （乘法对于加法的分配律）；
Байду номын сангаас
实数运算的顺序是先算乘方和开方， 再算乘除，最后算加减. 如果遇到括号， 则先进行括号里的运算.
实数的开方
每个正实数有且只有两个平方根，它们互 为相反数.
0的平方根是0.
在实数范围内，负实数没有平方根.
在实数范围内，每个实数a有且只有一个 立方根.
例2 计算下列各式的值：
（1）( 3+ 5)- 5 ；（2）2 3-3 3 .
52
5 与3比较呢？
课堂总结
1. 试写出几个数来说明什么是一个数的平方根、 算术平方根、立方根.
2. 举例说明乘方与开方之间的关系. 3. 什么叫无理数？有理数和无理数的区别是什么？
4. 实数如何分类？实数与数轴上的点之间有什么关系？
有
无
理
理
数
数
实 数
本章知识结构
实数与数轴上的点一一对应 相反数 绝对值
亲爱的读者：
1、盛生年活不重相来信，眼一泪日，难眼再泪晨并。不及代时表宜软自弱勉。，20岁.7.月12不7.待12人.2。02。00290:.071.10297:0.112:4.250J2u0l-0290:0091:091:01:45Jul-2009:01
亲爱的读者： 2、千世里上之没行有，绝始望于的足处下境。，只20有20对年处7月境1绝2日望星的期人日。二〇二〇年七月十二日2020年7月12日星期日 春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在 3、少成年功易都学永老远难不成会，言一弃寸，光放阴弃不者可永轻远。不。会成09功:01。7.12.202009:017.12.202009:0109:01:457.12.202009:017.12.2020
实数的大小比较 实数的运算
开方
平方根 立方根
加、减、乘、除、乘方
注意事项
1. 当数扩充到实数后，我们现在再说“数”通 常指的是实数.
2. 正数的平方根有两个，零的平方根是零，在实 数范围内，负数没有平方根. 求一个正数的平 方根时，不要漏掉其中的负平方根.
3. 在实数范围内，任何实数有且只有一个立方根.
把数从有理数扩充到实数以后，实数 也可以进行加、减、乘、除、乘方运算， 而且非负数可以进行开平方运算，任意实 数都可以进行开立方运算.
在进行实数的运算时，有理数的运算法 则、运算律等，对于实数仍然成立.
填空：设a，b，c是任意实数，则
（1）a+b=
b+a
（加法交换律）；
（2）(a+b)+c = a+(b+c) （加法结合律）；
在实数运算中，如果遇到无理数，并 且需要求出结果的近似值时，可按要求的 精确度用相应的近似有限小数代替无理数， 再进行计算.
不用计算器，估计 5与 2 的大小 比较两个实数大小的方法都有哪些？
定义法：正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数
数轴法：数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大
绝对值法：对于两个负数，绝对值大的反而小
下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
2 ， 0 ， 1.414 ， 9 ，
，-
2 3
，
3 2 ， 0.1010010001…（相邻两个1之间逐次增加一个0）
0 , 1.414 ,
9
,
2 3
是有理数.
2 ，π，3 2，0.1010010001 是无理数.
一、实数的分类：
按定义分：
按正负分：
正整数(自然数)
整数 零 (自然数)
正整数
负整数
正有理数
有理数
正分数
正实数
正分数
分数
正无理数
实
负分数
数
正无理数
无理数
实零 数
负整数 负有理数
负无理数
负实数
负分数
负无理数
二、用数轴上的点表示实数
问题 每一个有理数都可以用数轴上唯一的一个 点来表示.每一个无理数是不是也可以用数轴上唯 一的一个点来表示呢？
思考：如何用数轴上的 点表示无理数 8？
估算法：将无理数转化为近似的有理数再做比较
平方法：对于两个正数a,b,若 a2 b2，则a>b 作差法：对于两个负数，绝对值大的反而小
作商法：对于两个正数a,b，
若 a 1,则a b;若 a 1,则a b,若 a 1,则a b
b
b
b
解：
2
5
5,22
4
可以利用平方法把无理数
且 5 0,2 0,5 4 转化为有理数
8平方厘米
-1
0
1 28 3
无理数 3，5，7.....是 . 否也可以在数轴上表示出来？
从中我们可以得到什么结论？
这可以说明： 每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点来表示. 我们还可以说明： 数轴上每一个点都表示唯一的一个实数. 上面两个结论结合起来可以简洁地说成： 实数和数轴上的点一一对应.
实数分为正实数、零、负实数
（9）实数的减法运算规定为a-b=a+ (-b)
；
（10）对于每一个非零实数a，存在一个实数b，满足 a·b=b·a=1，我们把b叫作a的＿＿＿倒＿数＿＿＿＿；
（11）实数的除法运算（除数b≠0），规定为
a÷b= a·
1 b
；
（12）实数有一条重要性质：如果a≠0，b≠0， 那么ab＿＿＿≠ ＿＿0.
76、人生生命贵太相过知短，暂何，用今金天与放钱弃。了明20天.7.不12一20定.7能.1得22到0.。7.192时。12分092时0年1分7月121-2J日ul星-20期7日.12二.2〇02二0 〇年七月十二日
花一样美丽，感谢你的阅读。 87、勇放气眼通前往方天，堂只，要怯我懦们通继往续地，狱收。获的09季:01节0就9:0在1前:45方7.。122.02.072.102S2u0n.d7a.1y2, 2J0u.l7y.12,。22002200年7月12日星期日二〇二〇年七月十 二日 8、拥有梦想只是一种智力，实现梦想才是一种能力。09:0109:01:457.12.2020Sunday, July 12, 2020
数轴上表示正实数的点在原点右 边，表示负实数的点在原点左边.
负实数
原点
正实数
0
2与 2 三、实数的性质
1. 相反数 只有符号不同的两个数叫互为相反数，零的 相反数是零. 如：
2. 绝对值 数轴上一个数表示的点离开原点的距离 叫这个数的绝对值. 如： 2 2, 2 2
3. 倒数 如果两个数的积等于1，这两个数叫互为倒数. 其中一个叫另一个的倒数.
如： 2 1 1, 2的倒数是 1
2
2
设a表示一个实数，则
｜a｜=
a，当 a > 0时， 0，当 a = 0时， -a，当 a < 0时.
例1 求下列各数的相反数和绝对值:
- 3 ，π-3.14 . 解： 因为 -(- 3)= 3 ，
-(π - 3.14)= 3.14- π， 所以 - 3 ，π-3.14的相反数分别为 3，3.14-π. 由绝对值的意义得： |- 3 |= 3， |π-3.14|=π-3.14.
解：（1）( 3+ 5)- 5 = 3+( 5- 5)(加法结合律) = 3+0 =3
（2）2 3-3 3 =(2-3) 3 (乘法对于加法的分配律) =- 3
例3 用计算器计算： 2 × （5精确到小数点后面
第二位）
解 按键： 显示：3.162 277 66. 精确到小数点后面第二位得：3.16. 2 × 5 ≈3.16 .
这醉人芬春芳去的春季又节回，，愿新你桃生换活旧像符春。天在一那样桃阳花光盛，开心的情地像方桃，在 54、海不内要存为知它已的，结天束涯而若哭比，邻应。当为Su它nd的ay开, J始u而ly 笑12。, 270.2102J.2u0ly20270.S1u2n.2d0a2y0, 0J9u:l0y11029,:200120097:0/12:4/250290:01:45 花一这样醉美人丽芬，芳感的谢季你节的，阅愿读你。生活像春天一样阳光，心情像桃 65莫、愁生前命路的无成知长已，，需天要下吃谁饭人，不还识需君要。吃苦9时，1吃分亏9时。1S分un1d2a-Jyu,lJ-2u0ly71.122,.2020July 20Sunday, July 12, 20207/12/2020
（3）a+0=0+a =
a
；
（4）a+(-a)=(-a)+a =
0
；
（5）ab =
ba
（乘法交换律）；
（6）(ab)c =
a(bc)
（乘法结合律）；
（7） 1 ·a = a ·1 =
a
；
（8）a(b+c)= ab+ac （乘法对于加法的分配律），
(b+c)a= ba+ca （乘法对于加法的分配律）；
Байду номын сангаас
实数运算的顺序是先算乘方和开方， 再算乘除，最后算加减. 如果遇到括号， 则先进行括号里的运算.
实数的开方
每个正实数有且只有两个平方根，它们互 为相反数.
0的平方根是0.
在实数范围内，负实数没有平方根.
在实数范围内，每个实数a有且只有一个 立方根.
例2 计算下列各式的值：
（1）( 3+ 5)- 5 ；（2）2 3-3 3 .
52
5 与3比较呢？
课堂总结
1. 试写出几个数来说明什么是一个数的平方根、 算术平方根、立方根.
2. 举例说明乘方与开方之间的关系. 3. 什么叫无理数？有理数和无理数的区别是什么？
4. 实数如何分类？实数与数轴上的点之间有什么关系？
有
无
理
理
数
数
实 数
本章知识结构
实数与数轴上的点一一对应 相反数 绝对值
亲爱的读者：
1、盛生年活不重相来信，眼一泪日，难眼再泪晨并。不及代时表宜软自弱勉。，20岁.7.月12不7.待12人.2。02。00290:.071.10297:0.112:4.250J2u0l-0290:0091:091:01:45Jul-2009:01
亲爱的读者： 2、千世里上之没行有，绝始望于的足处下境。，只20有20对年处7月境1绝2日望星的期人日。二〇二〇年七月十二日2020年7月12日星期日 春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在 3、少成年功易都学永老远难不成会，言一弃寸，光放阴弃不者可永轻远。不。会成09功:01。7.12.202009:017.12.202009:0109:01:457.12.202009:017.12.2020
实数的大小比较 实数的运算
开方
平方根 立方根
加、减、乘、除、乘方
注意事项
1. 当数扩充到实数后，我们现在再说“数”通 常指的是实数.
2. 正数的平方根有两个，零的平方根是零，在实 数范围内，负数没有平方根. 求一个正数的平 方根时，不要漏掉其中的负平方根.
3. 在实数范围内，任何实数有且只有一个立方根.
把数从有理数扩充到实数以后，实数 也可以进行加、减、乘、除、乘方运算， 而且非负数可以进行开平方运算，任意实 数都可以进行开立方运算.
在进行实数的运算时，有理数的运算法 则、运算律等，对于实数仍然成立.
填空：设a，b，c是任意实数，则
（1）a+b=
b+a
（加法交换律）；
（2）(a+b)+c = a+(b+c) （加法结合律）；
在实数运算中，如果遇到无理数，并 且需要求出结果的近似值时，可按要求的 精确度用相应的近似有限小数代替无理数， 再进行计算.
不用计算器，估计 5与 2 的大小 比较两个实数大小的方法都有哪些？
定义法：正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数
数轴法：数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大
绝对值法：对于两个负数，绝对值大的反而小
下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
2 ， 0 ， 1.414 ， 9 ，
，-
2 3
，
3 2 ， 0.1010010001…（相邻两个1之间逐次增加一个0）
0 , 1.414 ,
9
,
2 3
是有理数.
2 ，π，3 2，0.1010010001 是无理数.
一、实数的分类：
按定义分：
按正负分：
正整数(自然数)
整数 零 (自然数)
正整数
负整数
正有理数
有理数
正分数
正实数
正分数
分数
正无理数
实
负分数
数
正无理数
无理数
实零 数
负整数 负有理数
负无理数
负实数
负分数
负无理数
二、用数轴上的点表示实数
问题 每一个有理数都可以用数轴上唯一的一个 点来表示.每一个无理数是不是也可以用数轴上唯 一的一个点来表示呢？
思考：如何用数轴上的 点表示无理数 8？
估算法：将无理数转化为近似的有理数再做比较
平方法：对于两个正数a,b,若 a2 b2，则a>b 作差法：对于两个负数，绝对值大的反而小
作商法：对于两个正数a,b，
若 a 1,则a b;若 a 1,则a b,若 a 1,则a b
b
b
b
解：
2
5
5,22
4
可以利用平方法把无理数
且 5 0,2 0,5 4 转化为有理数
8平方厘米
-1
0
1 28 3
无理数 3，5，7.....是 . 否也可以在数轴上表示出来？
从中我们可以得到什么结论？
这可以说明： 每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点来表示. 我们还可以说明： 数轴上每一个点都表示唯一的一个实数. 上面两个结论结合起来可以简洁地说成： 实数和数轴上的点一一对应.
实数分为正实数、零、负实数
（9）实数的减法运算规定为a-b=a+ (-b)
；
（10）对于每一个非零实数a，存在一个实数b，满足 a·b=b·a=1，我们把b叫作a的＿＿＿倒＿数＿＿＿＿；
（11）实数的除法运算（除数b≠0），规定为
a÷b= a·
1 b
；
（12）实数有一条重要性质：如果a≠0，b≠0， 那么ab＿＿＿≠ ＿＿0.
76、人生生命贵太相过知短，暂何，用今金天与放钱弃。了明20天.7.不12一20定.7能.1得22到0.。7.192时。12分092时0年1分7月121-2J日ul星-20期7日.12二.2〇02二0 〇年七月十二日
花一样美丽，感谢你的阅读。 87、勇放气眼通前往方天，堂只，要怯我懦们通继往续地，狱收。获的09季:01节0就9:0在1前:45方7.。122.02.072.102S2u0n.d7a.1y2, 2J0u.l7y.12,。22002200年7月12日星期日二〇二〇年七月十 二日 8、拥有梦想只是一种智力，实现梦想才是一种能力。09:0109:01:457.12.2020Sunday, July 12, 2020
数轴上表示正实数的点在原点右 边，表示负实数的点在原点左边.
负实数
原点
正实数
0
2与 2 三、实数的性质
1. 相反数 只有符号不同的两个数叫互为相反数，零的 相反数是零. 如：
2. 绝对值 数轴上一个数表示的点离开原点的距离 叫这个数的绝对值. 如： 2 2, 2 2
3. 倒数 如果两个数的积等于1，这两个数叫互为倒数. 其中一个叫另一个的倒数.
如： 2 1 1, 2的倒数是 1
2
2
设a表示一个实数，则
｜a｜=
a，当 a > 0时， 0，当 a = 0时， -a，当 a < 0时.
例1 求下列各数的相反数和绝对值:
- 3 ，π-3.14 . 解： 因为 -(- 3)= 3 ，
-(π - 3.14)= 3.14- π， 所以 - 3 ，π-3.14的相反数分别为 3，3.14-π. 由绝对值的意义得： |- 3 |= 3， |π-3.14|=π-3.14.
解：（1）( 3+ 5)- 5 = 3+( 5- 5)(加法结合律) = 3+0 =3
（2）2 3-3 3 =(2-3) 3 (乘法对于加法的分配律) =- 3
例3 用计算器计算： 2 × （5精确到小数点后面
第二位）
解 按键： 显示：3.162 277 66. 精确到小数点后面第二位得：3.16. 2 × 5 ≈3.16 .