2015年人教a版高考数学(理)一轮课件：1.1集合的概念与运算
高三数学一轮复习 第1单元 1.1 集合的概念与运算课件 理 新人教A版
1．集合元素的三个特征：确定性、互异性、 无序性 ． 2．集合的表示法：列举法、 描述法 、图示法．
提示：(1)注意集合表示的列举法与描述法在形式上的区别，列举法一般适合 于有限集，而描述法一般适合于无限集．
(2)注意集合中元素的互异性：集合{x|x2－2x＋1＝0}可写为{1}，但不可写为 {1，1}． 3．元素与集合的关系有：属于和不属于，分别用符号∈ 和 ∉ 表示．
结合思想方法的运用．
二、集合的运算 1．两个集合的交、并、补的运算分别与逻辑联结词且、或、非对应，但不能等同
和混淆． 2．数形结合的思想方法在集合的运算中也是常见的，对于一般的集合运算时可用
文氏图直观显示，例如若A⊆S，B⊆S，则全集S最多被四个集合A∩B，A∩(∁SB)， B∩(∁SA)和∁U(A∪B)所划分；对于可以用区间表示的数集可以利用数轴进行集合 的运算．
【例2】 (2010·衡水中学调研)已知集合A＝{x|x2＋ x＋1＝0}，B＝{y|y＝x2＋a，
x∈R}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－ ] B.
C.
D．(－∞，－2]
解析：由x2＋ x＋1＝0得(2x＋1)(x＋2)＝0，则x＝－ ，或x＝－2，
既A＝ ≤－ .
. 又B＝{y|y＝x2＋a，x∈R}＝[a，＋∞)．由A∩B≠∅，知a
1．已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的韦恩 (Venn)图是( )
解析：N＝{x|x2＋x＝0}＝{－1,0}，则N M，故选B. 答案：B
2． 已知集合A＝{－1,2}，B＝{x|mx＋1＝0}，若A∩B＝B，则所有实数m的值组 成的集合是( ) A．{－1,2} B．{1，－ } C．{1,0，－ } D．{－1,0， } 解析：∵A∩B＝B，即B⊆A，若m＝0，B＝∅⊆A； 若m≠0，B＝{x|x＝－ }；由B⊆A得：－ ＝－1或－ ＝2， ∴m＝1或m＝－ .综上选C. 答案：C
人教A版高考总复习一轮文科数学精品课件 第1章 集合与常用逻辑用语 第1节 集合的概念与运算
A∪B={x|x∈A,或 x
合 B 的元素所组成的集合
∈B}
由全集 U 中不属于集合 A 的
∁UA={x|x∈U,且
x∉A}
所有元素组成的集合
Venn 图
微点拨1.求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”,集合A其实是给定的
条件.从全集U中取出集合A的全部元素,剩下的元素构成的集合即为∁UA.
2.集合运算的基本性质
2.集合间的基本关系
关系
自然语言
集合 A 中 任意一个元素 都是集合 B
子集
中的元素
若 x∈A,则 x∈B
符号
表示
A⊆B
(或B⊇A)
真子
如果集合 A⊆B,但存在元素x∈B,且
A⫋B
集
x∉A,就称集合 A 是集合 B 的真子集
(或B⫌A)
Venn 图
或
关系
符号
自然语言
如果集合 A 是集合 B 的 子集
5.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简
单集合的并集与交集.
6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求
给定子集的补集.
7.能使用Venn图表达集合的关系及运算.
衍生考点
核心素养
1.集合的含
义与表示
2.集合间的
1.直观想象
基本关系
2.逻辑推理
3.集合的基
3.数学运算
本运算
4.集合的新
定义问题
(3)A={x|x2+6x+8≤0}={x|-4≤x≤-2},B={x|x<a},因为A⊆B,所以实数a的取值
范围是(-2,+∞).
规律方法 集合间基本关系的两种判定方法和一个关键
人教A版高中数学必修1第一章1.1集合的概念与运算课件
问：解决这类问题的关键是什么？
P4 思考？
描述法：用集合所含元素的共同特征
表示集合的方法称为描述法.
可分为：
（1）文字描述法——用文字把元素所具有的属性 描述出来，如﹛自然数﹜
（2）符号描述法——用符号把元素所具有 的属性 描述出来，即{x| P（x）} 或{x∈A| P（x）}，{(x,y)|f(x,y)=0}等。
集合通常用大写字母表示，如A，B，C……等， 集合中的元素常用小写的拉丁字母a，b，c……表示。
若某些对象可构成集合,则这些对象必须是确定的.
下列各组对象能否构成集合? (1)30的所有质因数; (2)接近 2 的所有实数; (3)所有素质好的人; (4)高中数学的所有难题; 其中能构成集合的有: (1) 不能构成集合的有: (2)(3)(4)
例（1）中，我们把1~20以内的每一个素数作为元素，这些 元素的全体就是一个集合；同样地，例（2）中，把我国从 1991~2003年的13年内发射的每一颗人造卫星作为元素，这些元 素的全体也是一个集合。
思考？
上面的例（3）到 例（8）也都能组成集 合吗？它们的元素分别 是什么？
1、集合的概念：
一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个 集合.简称为集。 集合中的每个对象叫做这个集合的元素.
(2)我国从1991~2003年的13年内所发射的所有人造卫星;
(3)金星汽车厂2003年生产的所有汽车;
(4)2004年1月1日之前与中华人民共和国建立外交关系的所有国家;
(5)所有的正方形；
(6)到直线l的距离等于定长d 的所有的点；
(7)方程 x2 3x 2 0的所有实数根；
(8)新华中学2004年9月入学的所有的高一学生。
2015高考数学一轮复习配套课件：1-1集合的概念与运算
第一章 第1讲
第6页
第六页，编辑于星期五：十二点 二十六分。
金版教程 ·高三一轮总复习 ·新课标 ·数学 理
抓住3个必备考点 突破3个热点考向
破译5类高考密码
迎战2年高考模拟
限时规范特训
(2)空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何非 空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解． (3)在解决含参数的集合问题时，要检验集合中元素的互异性， 否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误.
迎战2年高考模拟
限时规范特训
[填一填] (1)[2013·重庆高考]已知全集U＝{1,2,3,4}，集合 A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)＝ {4} ．
(2)集合A＝{x|x2－x－6<0}，B＝{y|y＝ ＝ {x|1≤x<3} ．
x2＋1 }，则A∩B
(3)已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－ 2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝ －1 ，n＝ 1 .
1}，若A∩B＝{－3}，则A∪B＝________.
第一章 第1讲
第21页
第二十一页，编辑于星期五：十二点 二十六分。
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抓住3个必备考点 突破3个热点考向
破译5类高考密码
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[解析]
(1)因为x，y∈A，所以
x＝0， y＝0
或
第一章 第1讲
第15页
第十五页，编辑于星期五：十二点 二十六分。
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抓住3个必备考点
1.集合的运算
突破3个热点考向
2015高考数学一轮课件：第1章 第1节 集合
考 纲 展 示
1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系． 2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)
描述不同的具体问题． 3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集
4.在具体情境中，了解全集与空集的含义． 5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合
的并集与交集． 6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子
集的补集． 7.能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．
第一页，编辑于星期五：十三点 四十分。
高频考点全通关——集合的基本运算
闯关一：了解考情，熟悉命题角度
【考情分析】 有关集合运算的考题，在高考中多以选择题或填空题的形
B．{a|a≤2或a≥4}
ห้องสมุดไป่ตู้
于a的不等式求 解即可
C．{a|a≤0或a≥6}
D．{a|2≤a≤4}
【解析】A＝{x| |x－a|＜1，x ∈R}＝{x| a －1＜x＜1＋ a}.∵A∩B＝∅，∴a－1≥5或1＋a≤1，即a≥6或a≤0.
【答案】 C
第六页，编辑于星期五：十三点 四十分。
高频考点全通关——集合的基本运算
【例3】 (2011·湖南高考)设全集U＝M∪N＝{1,2,3,4,5}，
M∩∁U N＝{2,4}，则N＝
A．{1,2,3}
B．{1,3,5}
()
C．{1,4,5} 【解题指导】
D．{2,3,4}
【解析】 画出Venn图，阴影部分为M∩∁U N＝{2,4}，∴N＝
{1，3,5}．
【答案】 B
第五页，编辑于星期五：十三点 四十分。
式呈现，试题难度不大，多为低档题． 【命题角度】
2015高考数学一轮课件：第1篇 第1节 集 合
数学 人教A版 ·理科 (AH) 第十二页，编辑于星期五：十三点 四十分。
基础梳理
课 时 训考练点 突 破
[例3] (1)(2014北京海淀区二模)集合A＝{x∈N|x≤6}，
B＝{x∈R|x2－3x>0}，则A∩B等于( )
A．{3,4,5}
B．{4,5,6}
C．{x|3<x≤6}
D．{x|3≤x<6}
(2)(2013年高考浙江卷)设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|x2
＋3x－4≤0}，则(∁RS)∪T等于( )
课 时 训考练点 突 破
数学 人教A版 ·理科 (AH) 第十六页，编辑于星期五：十三点 四十分。
基础梳理
课 时 训考练点 突 破
解得 m＝－32或 m＝1(舍去)， 当 m＝－32时，m＋2＝12≠3，符合题意． 所以 m＝－32. [答案] (1)D (2)－32
数学 人教A版 ·理科 (AH) 第十七页，编辑于星期五：十三点 四十分。
关系
表示
文字语言
记法
集合 间的 基本
子集 真子集
集合 A 中任意一个元素都是集合 B 的元素 集合 A 是集合 B 的子集，并且 B 中至少有一个元素不属于 A
_A_⊆__B___或__B_⊇__A__
__A__B____或_B___A_
关系
相等
集合 A 的每一个元素都是集合 B 的元素，集合 B 的每一个元素也
课 时 训考练点 突 破
2015届高考数学总复习第一章 第一节集合的概念与运算课件 理
C．a＝1
D．a≥1
解析： (1) 因为 A ＝ {1,2 ， m} ， B ＝ {3,4} ， A∪B ＝ {1,2,3,4} ， 所以m＝3或m＝4，故选D. (2) 由题意得 M ＝ {x|x≥ － a} ， N ＝ {x|1<x<3} ，所以 ∁ UN ＝ {x|x≤1 或 x≥3} ，又 M∩(∁UN) ＝ {x|x ＝ 1 或 x≥3} ，因此－ a ＝ 1 ， a＝－1，故选A. 答案：(1)D (2)A
(2)P＝{y|y≤1}，Q＝{y|y＞0}．∴∁RP＝{y|y＞1}⊆Q.
Байду номын сангаас
答案：(1)B (2)C
集合的运算 【例4】 (1)(2013· 潮州二模)已知集合A＝{1,2，m}，B＝ ) C．4 D．3或4
{3,4}，A∪B＝{1,2,3,4}，则m＝( A．0 B．3
(2)(2013· 石 家 庄 模 拟 ) 已 知 全 集 U ＝ R ， 集 合 M ＝ {x|x ＋ a≥0} ，N ＝{x|log2(x－ 1)<1} ，若M∩(∁UN) ＝{x|x ＝ 1或x≥3}， 那么( ) B．a≤1 A．a＝－1
“∈(∉)”与“⃘(⊄)”．
解析：集合A是用列举法表示，它只含有一个元素，即函 数y＝x2＋2，集合B，C，E中的元素都是数，即这三个集合都 是数集，集合 B 表示的是函数 y ＝ x2 ＋ 2 的值域，集合 C 表示的 是函数y＝x2＋2的定义域R，集合E表示的是不等式x－2≥0的 解集 [2，＋∞)，集合D的元素则是平面上的点，此集合是函数 y＝x2＋2的图象上所有点所组成的集合．故只有 B＝E.故选D. 答案：D
思路点拨：要注意分辨各集合的代表元素是什么，如果性质
高考数学理一轮复习 1.1 集合精品课件 新人教A版
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3
第一节 集合
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4
1.了解集合的含义，元素与集合的属于关系． 2．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描 述法)描述不同的具体问题． 3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合 的子集． 4．在具体情境中，了解全集与空集的含义． 5．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单 集合的并集与交集． 6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给 定子集的补集． 7．能使用精韦选恩版p(pVtenn)图表达集合的关系及运算．5
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18
[课堂记录] 由{1，a＋b，a}＝{0，ba，b}可知 a≠0，则只能 a＋b＝0.则有以下对应关系：
a＋b＝0，
a＋b＝0，
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2
命题热点
1.集合的概念、集合间的关系及运算是高考重点考 查的内容，正确理解概念是解决此类问题的关键．
2．对命题及充要条件这部分内容，重点关注两个 方面，一是命题的四种形式及原命题与逆否命题的等价 性；二是充要条件的判定．
3．全称命题、特称命题的否定也是高考考查的重 点，正确理解两种命题的否定形式是解决此类问题的关 键．
又A∪B＝{0,1,2,4,16}，
∴{a，a2}＝{4,16}．∴a＝4，故选D.
答案：D
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14
4．若集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x≥a}满足A∩B ＝{2}，则实数a＝________.
解析：A∩B＝{x|a≤x≤2}＝{2}． ∴a＝2. 答案：2
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15
5． 设 集 合 U ＝ {1,2,3,4,5} ， A ＝ {2,4} ， B ＝ {3,4,5} ， C ＝ {3,4} ， 则 (A∪B)∩(∁UC) ＝ ________.
2015年高考数学总复习(人教A版,理科)配套【配套Word版文档】教案：第一章 集合与常用逻辑用语 1.1
§1.1集合的概念与运算1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R2.集合间的关系(1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)．(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A B(或B A)．(3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即∅⊆A，∅B(B≠∅)．(4)若A含有n个元素，则A的子集有2n个，A的非空子集有2n－1个．(5)集合相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.3．集合的运算集合的并集集合的交集集合的补集图形符A∪B＝{x|x∈A或x∈B}A∩B＝{x|x∈A且x∈B}∁U A＝{x|x∈U，且x∉A} 号4.集合的运算性质并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；∁U(∁U A)＝A.1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)A＝{x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(×)(2){1,2,3}＝{3,2,1}．(√)(3)∅＝{0}．(×)(4)若A∩B＝A∩C，则B＝C. (×)(5)已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{2,3}，则M∩N＝N. (√)(6)若全集U＝{－1,0,1,2}，P＝{x∈Z|x2<4}，则∁U P＝{2}．(√) 2．(2013·北京)已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x<1}，则A∩B等于() A．{0} B．{－1,0}C．{0,1} D．{－1,0,1}答案 B解析∵－1,0∈B,1∉B，∴A∩B＝{－1,0}．3．(2013·山东)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是() A．1 B．3 C．5 D．9答案 C－2，－1，0，1，2.解析x－y∈{}4．(2013·课标全国Ⅱ)已知集合M＝{x|(x－1)2<4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N等于() A．{0,1,2} B．{－1,0,1,2}C ．{－1,0,2,3}D ．{0,1,2,3}答案 A解析 化简集合M 得M ＝{x |－1<x <3，x ∈R }，则M ∩N ＝{0,1,2}．5．设集合A ＝{x |x 2＋2x －3>0}，集合B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a >0}．若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎭⎫34，43 解析 A ＝{x |x 2＋2x －3>0}＝{x |x >1或x <－3}，因为函数y ＝f (x )＝x 2－2ax －1的对称轴为x ＝a >0，f (0)＝－1<0， 根据对称性可知要使A ∩B 中恰含有一个整数， 则这个整数为2， 所以有f (2)≤0且f (3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－4a －1≤0，9－6a －1>0，所以⎩⎨⎧a ≥34，a <43.即34≤a <43.题型一 集合的基本概念例1 (1)已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．10(2)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝________.思维启迪 解决集合问题首先要理解集合的含义，明确元素的特征，抓住集合的“三性”． 答案 (1)D (2)2解析 (1)由x －y ∈A ，及A ＝{1,2,3,4,5}得x >y ，当y ＝1时，x 可取2,3,4,5，有4个； 当y ＝2时，x 可取3,4,5，有3个； 当y ＝3时，x 可取4,5，有2个； 当y ＝4时，x 可取5，有1个．故共有1＋2＋3＋4＝10(个)，选D.(2)因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，得ba ＝－1，所以a ＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2.思维升华 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条 件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合；(2)集合中元素的互异性常常容易忽 略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．(1)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，且y ＝x }，则A ∩B 的元素个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 (2)若集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}的子集只有两个，则实数a ＝________.答案 (1)C (2)0或98解析 (1)集合A 表示的是圆心在原点的单位圆，集合B 表示的是直线y ＝x ，据此画出图象，可得图象有两个交点，即A ∩B 的元素个数为2. (2)∵集合A 的子集只有两个，∴A 中只有一个元素．当a ＝0时，x ＝23符合要求．当a ≠0时，Δ＝(－3)2－4a ×2＝0，∴a ＝98.故a ＝0或98.题型二 集合间的基本关系例2 (1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________．思维启迪 对于含有有限个元素的集合的子集，可按含元素的个数依次写出；B ⊆A 不要忽略B ＝∅的情形． 答案 (1)D (2)(－∞，4]解析 (1)用列举法表示集合A ，B ，根据集合关系求出集合C 的个数． 由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，∴A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}． (2)当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－22m －1≤7m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4.综上，m 的取值范围为m ≤4.思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解；(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系．常用数轴、V enn 图来直观解决这类问题．(1)设M 为非空的数集，M ⊆{1,2,3}，且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M 共有( )A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个(2)已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________. 答案 (1)A (2)4解析 (1)集合{1,2,3}的所有子集共有23＝8(个)，集合{2}的所有子集共有2个，故满足要求的集合M 共有8－2＝6(个)． (2)由log 2x ≤2，得0<x ≤4， 即A ＝{x |0<x ≤4}， 而B ＝(－∞，a )，由于A ⊆B ，如图所示，则a >4，即c ＝4. 题型三 集合的基本运算例3 (1)(2013·湖北)已知全集为R ，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |(12)x ≤1，B ＝{}x |x 2－6x ＋8≤0，则A ∩(∁R B )等于 ( )A ．{x |x ≤0}B ．{x |2≤x ≤4}C ．{x |0≤x <2或x >4}D ．{x |0<x ≤2或x ≥4}(2)(2012·天津)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________.思维启迪 集合的运算问题可先对集合进行化简，然后结合数轴或Venn 图计算． 答案 (1)C (2)－1 1解析 (1)A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |2≤x ≤4} ∴A ∩(∁R B )＝{x |x ≥0}∩{x |x >4或x <2} ＝{x |0≤x <2或x >4}．(2)先求出集合A ，再根据集合的交集的特点求解． A ＝{x |－5<x <1}，因为A ∩B ＝{x |－1<x <n }， B ＝{x |(x －m )(x －2)<0}，所以m ＝－1，n ＝1.思维升华 (1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn 图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．(1)设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ∈R |⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ＋1≥0，x －3≤0，B ＝{x ∈Z |x －2>0}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |2<x ≤3} B ．{3}C ．{2,3}D ．{x |－1≤x <2}(2)设U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0}．若(∁U A )∩B ＝∅，则m 的值是________． 答案 (1)B (2)1或2解析 (1)A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x ∈Z |x >2}， ∴A ∩B ＝{x ∈Z |2<x ≤3}＝{3}．(2)A ＝{－2，－1}，由(∁U A )∩B ＝∅，得B ⊆A ，∵方程x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0的判别式Δ＝(m ＋1)2－4m ＝(m －1)2≥0，∴B ≠∅. ∴B ＝{－1}或B ＝{－2}或B ＝{－1，－2}． ①若B ＝{－1}，则m ＝1；②若B ＝{－2}，则应有－(m ＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m ＝(－2)·(－2)＝4，这两式不能同时成立，∴B ≠{－2}；③若B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)·(－2)＝2，由这两式得m＝2.经检验知m＝1和m＝2符合条件．∴m＝1或2.题型四集合中的新定义问题例4在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n ＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2 014∈[4]；②－3∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”．其中，正确结论的个数是() A．1 B．2 C．3 D．4思维启迪解答本题要充分理解[k]的意义，然后对选项逐一验证．答案 C解析因为2 014＝402×5＋4，又因为[4]＝{5n＋4|n∈Z}，所以2 014∈[4]，故①正确；因为－3＝5×(－1)＋2，所以－3∈[2]，故②不正确；因为所有的整数Z除以5可得的余数为0,1,2,3,4，所以③正确；若a，b属于同一“类”，则有a＝5n1＋k，b＝5n2＋k，所以a－b＝5(n1－n2)∈[0]，反过来，如果a－b∈[0]，也可以得到a，b属于同一“类”，故④正确．故有3个结论正确．思维升华解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．设U 为全集，对集合X ，Y ，定义运算“”，满足X Y ＝(∁U X )∪Y ，则对于任意集合X ，Y ，Z ，X (YZ )＝( )A ．(X ∪Y )∪(∁U Z )B ．(X ∩Y )∪(∁U Z )C ．[(∁U X )∪(∁U Y )]∩ZD ．(∁U X )∪(∁U Y )∪Z 答案 D 解析 因为X Y ＝(∁U X )∪Y ，所以Y Z ＝(∁U Y )∪Z ， 所以X (YZ )＝(∁U X )∪(YZ )＝(∁U X )∪(∁U Y )∪Z ，故选D.遗忘空集致误典例：(5分)若集合P ＝{x |x 2＋x －6＝0}，S ＝{x |ax ＋1＝0}，且S ⊆P ，则由a 的可取值组成的集合为__________．易错分析 从集合的关系看，S ⊆P ，则S ＝∅或S ≠∅，易遗忘S ＝∅的情况． 规范解答解析 P ＝{－3,2}．当a ＝0时，S ＝∅，满足S ⊆P ；当a ≠0时，方程ax ＋1＝0的解集为x ＝－1a，为满足S ⊆P 可使－1a ＝－3或－1a＝2，即a ＝13或a ＝－12.故所求集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，－12.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，－12温馨提醒 (1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容．解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征．(2)在解答本题时，存在两个典型错误．一是忽略对空集的讨论，如a ＝0时，S ＝∅；二是易忽略对字母的讨论．如－1a 可以为－3或2.因此，在解答此类问题时，一定要注意分类讨论，避免漏解.方法与技巧1．集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到．解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化．2．对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号．3．对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn 图．这是数形结合思想的又一体现． 失误与防范1．集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进行化简．2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解． 3．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系． 4．Venn 图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．5．要注意A ⊆B 、A ∩B ＝A 、A ∪B ＝B 、∁U A ⊇∁U B 、A ∩(∁U B )＝∅这五个关系式的等价性.A组专项基础训练一、选择题1．(2013·重庆)已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)等于() A．{1,3,4} B．{3,4}C．{3} D．{4}答案 D解析因为A∪B＝{1,2,3}，全集U＝{1,2,3,4}，所以∁U(A∪B)＝{4}，故选D.2．下列集合中表示同一集合的是() A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}B．M＝{2,3}，N＝{3,2}C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D．M＝{2,3}，N＝{(2,3)}答案 B解析选项A中的集合M表示由点(3,2)所组成的单点集，集合N表示由点(2,3)所组成的单点集，故集合M与N不是同一个集合．选项C中的集合M表示由直线x＋y＝1上的所有点组成的集合，集合N表示由直线x＋y＝1上的所有点的纵坐标组成的集合，即N＝{y|x ＋y＝1}＝R，故集合M与N不是同一个集合．选项D中的集合M有两个元素，而集合N 只含有一个元素，故集合M与N不是同一个集合．对选项B，由集合元素的无序性，可知M，N表示同一个集合．3．已知全集S＝{1,2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，∁S A＝{3}，则实数a等于() A．0或2 B．0C．1或2 D．2答案 D解析 由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，a 2－2a ＋3＝3，则a ＝2.4．设集合P ＝{3，log 2a }，Q ＝{a ，b }，若P ∩Q ＝{0}，则P ∪Q 等于( )A ．{3,0}B ．{3,0,2}C ．{3,0,1}D ．{3,0,1,2}答案 C解析 由P ∩Q ＝{0}，得log 2a ＝0，所以a ＝1，从而b ＝0， P ∪Q ＝{3,0,1}．5．已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个答案 B解析 ∵M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，∴M ∩N ＝{1,3}． ∴M ∩N 的子集共有22＝4个．6．已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |－1<x <1}，则( )A ．AB B ．B AC ．A ＝BD ．A ∩B ＝∅答案 B解析 因为A ＝{x |x 2－x －2<0}， 所以A ＝{x |－1<x <2}．又B ＝{x |－1<x <1}，画出数轴，可得B A .7．(2013·辽宁)已知集合A ＝{x |0＜log 4x ＜1}，B ＝{x |x ≤2}，则A ∩B 等于( )A ．(0,1)B ．(0,2]C ．(1,2)D ．(1,2]答案 D解析 A ＝{x |1＜x ＜4}，B ＝{x |x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |1＜x ≤2}． 8． 设全集U 为整数集，集合A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}，B ＝{x ∈Z |－1<x ≤3}，则右图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为 ( ) A ．3B ．4C ．7D ．8答案 C解析 因为A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}＝{x ∈N |7x －x 2－6≥0}＝{x ∈N |1≤x ≤6}，由题意，知题图中阴影部分表示的集合为A ∩B ＝{1,2,3}，所以其真子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共7个． 二、填空题9．已知集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且B ⊆A ，则a ＝__________. 答案 －1或2解析 由a 2－a ＋1＝3，得a ＝－1或a ＝2，经检验符合．由a 2－a ＋1＝a ，得a ＝1，由于集合中不能有相同元素，所以舍去．故a ＝－1或2.10．已知集合A ＝{(0,1)，(1,1)，(－1，2)}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －1＝0，x ，y ∈Z }，则A ∩B ＝__________.答案 {(0,1)，(－1,2)}解析 A 、B 都表示点集，A ∩B 即是由A 中在直线x ＋y －1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．11．已知集合A ＝{x ||x |≤2}，B ＝{x |x ≤1}，则A ∩B ＝________. 答案 {x |－2≤x ≤1}解析 易知A ＝{x |－2≤x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}．12．已知集合A ＝{x |1≤x <5}，C ＝{x |－a <x ≤a ＋3}．若C ∩A ＝C ，则a 的取值范围是________． 答案 (－∞，－1]解析 因为C ∩A ＝C ，所以C ⊆A .①当C ＝∅时，满足C ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，得a ≤－32；②当C ≠∅时，要使C ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧－a <a ＋3，－a ≥1，a ＋3<5，解得－32<a ≤－1.B 组 专项能力提升1．设集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{4,5,6,7,8}，则满足S ⊆A 且S ∩B ≠∅的集合S 的个数是( ) A ．57B ．56C ．49D ．8答案 B解析 集合S 的个数为26－23＝64－8＝56.2．已知集合M ＝{x |xx －1≥0，x ∈R }，N ＝{y |y ＝3x 2＋1，x ∈R }，则M ∩N 等于( )A ．∅B ．{x |x ≥1}C ．{x |x >1}D ．{x |x ≥1或x <0}答案 C解析 由xx －1≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠1，x (x －1)≥0，∴x >1或x ≤0，∴M ＝{x |x >1或x ≤0}，N ＝{y |y ≥1}， M ∩N ＝{x |x >1}．3．已知U ＝{x ∈Z |y ＝ln ⎝⎛⎭⎫9x －1}，M ＝{x ∈Z ||x －4|≤1}，N ＝{x ∈N |6x∈Z }，则集合{4,5}等于 ( )A ．M ∩NB ．M ∩(∁U N )C ．N ∩(∁U M )D ．(∁U M )∪(∁U N )答案 B解析 集合U 为函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫9x －1的定义域内的整数集， 由9x －1>0，即9－x x >0，解得0<x <9， 又x ∈Z ，所以x 可取1,2,3,4,5,6,7,8， 故U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}．集合M 为满足不等式|x －4|≤1的整数集， 解|x －4|≤1，得3≤x ≤5， 又x ∈Z ，所以x 可取3,4,5，故M ＝{3,4,5}．集合N 是使6x为整数的自然数集合，显然当x ＝1时，6x ＝6；当x ＝2时，6x ＝3；当x ＝3时，6x ＝2；当x ＝6时，6x ＝1.所以N ＝{1,2,3,6}． 显然M ⊆U ，N ⊆U .而4∈M,4∈U,4∉N,5∈M,5∈U,5∉N ， 所以4∈M,4∈∁U N,5∈M,5∈∁U N ， 即{4,5}＝M ∩(∁U N )． 二、填空题4．已知U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，P ＝{y |y ＝1x，x >2}，则∁U P ＝________.答案 ⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 解析 ∵U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}＝{y |y >0}， P ＝{y |y ＝1x ，x >2}＝{y |0<y <12}，∴∁U P ＝{y |y ≥12}＝⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 5．已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是________． 答案 [1，＋∞)解析 A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0,1)，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝(0，c )， 因为A ⊆B ，画出数轴，如右图所示，得c ≥1.6．已知集合A＝{(x，y)|y＝a}，B＝{(x，y)|y＝b x＋1，b>0，b≠1}，若集合A∩B只有一个真子集，则实数a的取值范围是________．答案(1，＋∞)解析由于集合B中的元素是指数函数y＝b x的图象向上平移一个单位长度后得到的函数图象上的所有点，要使集合A∩B只有一个真子集，那么y＝b x＋1(b>0，b≠1)与y＝a的图象只能有一个交点，所以实数a的取值范围是(1，＋∞)．。
2015届高考数学(理科)一轮复习：1.1《集合的概念与运算》ppt课件
考点一
考点二
考点三
误区警示
第一章
1.1
集合的概念与运算 -16-
举一反三 1{x,x2-x,x3-3x}能表示一个有三个元素的集合吗?如果能表
示一个集合,试说明理由;如果不能表示,则需要添加什么条件才能使它表示 一个有三个元素的集合?
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因为当 x=0 时,x=x -x=x -3x=0, 所以它不一定能表示一个有三个元素的集合. 要使它表示一个有三个元素的集合, ������ ≠ ������ 2 -x, 则应有 ������ 2 -x ≠ ������ 3 -3x, ������ ≠ ������ 3 -3x. 所以 x≠0 且 x≠2 且 x≠-1 且 x≠-2 时,{x,x2-x,x3-3x}能表示一个有三个 元素的集合.
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D
因为 A={x|y=f(x)}={x|1-x2>0}={x|-1<x<1},则 u=1-x2∈(0,1], 所以 B={y|y=f(x)}={y|y≤0}, A∪B=(-∞,1),A∩B=(-1,0], 故图中阴影部分表示的集合为(-∞,-1]∪(0,1),选 D.
解析 考点一 考点二 考点三 误区警示
)
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易知∁ UA={0,4},所以(∁ UA)∪B={0,2,4},故选 C.
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C
解析 答案
第一章
1.1
集合的概念与运算 -10-
3.若集合 A={x|x<1},B={x|x≥a},且 A∩B≠⌀ ,则实数 a 的取值范围为( A.a≤1 B.a<1 C.a≥1 D.a>1
)
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在数轴上表示出两个集合,可以看到,当 a<1 时,A∩B≠⌀ .故选 B.