2018年湖南高考数学(理科)高考试题(word版)(附答案)

2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项:1 •答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2•回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3 •考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

要求的。

D •、、2农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经 济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图:则下面结论中不正确的是 A •新农村建设后，种植收入减少B ・新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ・新农村建设后，养殖收入增加了一倍绝密★启用前、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目2i , 则|z|已知集合xx 2，则 G R AC . x| XU x|xD .x| x 1 U x| x 2某地区经过一年的新农村建设, 建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例7.D •新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半设S n为等差数列A •12设函数f(x)A • y 2x在△ ABC中,a n的前n项和，若3S3 S2 S4, a1 2，则a5B •10C •10D •12(a 1)x2 ax，若f (x)为奇函数，则曲线y f (x)在点(0,0)处的切线方程为C • y 2xAD为BC边上的中线，E为AD的中点，贝U EB3 uuu 1 uuurA • AB AC4 41 uuur 3uuur B• AB AC4 43 uuu C •一AB41uuurAC41 uuuD •一AB43 uuurAC4 某圆柱的高为2,底面周长为16，其三视图如图•圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为A • 2 .17 B•2.5 C •3 D • 22uuuu设抛物线C： y■=4x的焦点为F, 过点(—, 0)且斜率为一的直线与C交于M , N两点，贝U3A • 5B•6 C •7 D • 8xe , x 0,已知函数f (x)g(x) f(x)x a •若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是ln x, x 0,A • [ - , 0)B•[0, +m) C •[-,+m) D • [1 , +〜8•9•10 •下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形•此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为uuurFN =直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB , AC. △ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II, 其余部分记为III •在整个图形中随机取一点，此点取自I ,H , III的概率分别记为P1, P2, P3,则A. P1=P2B •p1=p3C • P2=P3D • P1 = P2+P3211.已知双曲线C: — y2 1 , O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点3分别为M、N.若厶OMN为直角三角形，则|MN|=A . 32B . 3C. 2.3D. 412.已知正方体的棱长为 1 ,每条棱所在直线与平面a所成的角相等，则a截此正方体所得截面面积的最大值为A .兰B.二C. 口D.二4342、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

x 2y 2 013 •若x，y满足约束条件x y 1 0 ，则z 3x 2y的最大值为____________________________ .y 014 •记S n为数列a n的前n项和，若S n 2a. 1，则Q ______________ .15.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有___________________种.(用数字填写答案)16 .已知函数f x 2sin x sin2x，则f x的最小值是__________________________ .三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：60分。

17. (12 分)在平面四边形ABCD 中，ADC 90°, A 45o, AB 2, BD 5.(1)求cos ADB ；(2)若DC 2 2，求BC.18. (12 分)如图，四边形ABCD为正方形，E,F分别为AD, BC的中点，以DF为折痕把△ DFC折起，使点C 到达点P 的位置，且PF BF .(1)证明：平面PEF 平面ABFD ;(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值•19. (12 分)2X 2设椭圆C:y 2 1的右焦点为F ，过F 的直线丨与C 交于代B 两点，点M 的坐标为(2,0).2(1)当丨与x 轴垂直时，求直线 AM 的方程;(2)设O 为坐标原点，证明：OMA OMB .20. （ 12 分）200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品•检验时，先从这箱产品中任取 20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验， 设每件产品为不合格品的概率都为 p(0 p 1)，且各件产品是否为不合格品相互独立.学科&网(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为 f(p),求f(p)的最大值点p 0 .(2)现对一箱产品检验了 20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p 0作为p 的值.已知每 件产品的检验费用为 2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25元的赔偿费用.学科网(i)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ;(ii) 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 21. (12 分)1已知函数f (x) x a In x .x(1)讨论f (x)的单调性；某工厂的某种产品成箱包装，每箱(二)选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22.［选修4 坐标系与参数方程］(10分)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y k|x| 2 •以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐(2)若f (x)存在两个极值点x-|,x 2，证明:f x 2 % x 25BC 2 BD 2 DC 2 2 BD DC cos BDC(1) 求C 2的直角坐标方程；(2) 若C !与C 2有且仅有三个公共点，求 G 的方程.23.［选修4 — 不等式选讲］(10分)已知 f(x) |x 1| |ax 1|.(1) 当a 1时，求不等式f(x) 1的解集；(2) 若x(0,1)时不等式 f(x) x 成立，求a 的取值范围由题设知， 52，所以sin ADB 2sin 45 sin ADB5由题设知，ADB 90，所以 cos ADB t 1 223. 丫 25 5(2)由题设及(1)知，cos BDC sin ADB标系，曲线C 2的极坐标方程为 2 cos 3 0.1 2 3 4 5 6 7 8 CBABDABD3、、313.614. 6315.1616.217. (12 分)解：(1)在△ ABD 中， 由正弦定理得BD ABsin A sin ADB10 11 AB12 A参考答案:在厶BCD中，由余弦定理得5 BC2 BD2 DC2 2 BD DC cos BDC2由已知可得，点 ).25.所以BC 5. 18. （12 分）解：（1）由已知可得，BF 丄PF , BF 丄EF ，所以BF 丄平面PEF. 又BF 平面ABFD ，所以平面 PEF 丄平面 ABFD .（2）作PH 丄EF ，垂足为 比由（1）得，PH 丄平面 ABFD.uuir uuu以H 为坐标原点，HF 的方向为y 轴正方向，| BF |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Huuu uuur 3HP DP 4 -utur uuur | I HP I I DP I .3所以DP 与平面ABFD 所成角的正弦值为19. （12 分）解：（1）由已知得F （1,0） , l 的方程为x=1.,2 5xyz.由（1）可得，DE 丄PE.又DP=2， DE=1，所以 PE=、. 3 .又 PF=1 , EF=2，故 PE 丄 PF. 可得 PH -^,EH2则 H (0,0,0), P(0,0,1,uu ur DP33 uuu(1 討)'HP（0,0兰）为平面ABFD 的法向量 2设DP 与平面ABFD 所成角为，贝V sinA 的坐标为（1,一 2所以AM 的方程为y —x \2或y —X 2 .2 2(2)当I 与x 轴重合时， OMA OMB 0 .20. (12 分)2 18 2 17 2 17C 20【2p(1 p) 18p (1 p) ] 2C 20P (1 p) (110 p).令 f(p) 0,得 p 0.1.当 p (0,0.1)时，f (p) 0 ;当 p (0.1,1)时，f(p) 0.所以f ( p)的最大值点为p 0 0.1 .(2)由(1)知，p 0.1.(i )令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y: B(180,0.1)，X 20 2 25Y ，当I 与x 轴垂直时， OM 为AB 的垂直平分线，所以 OMA OMB .当I 与x 轴不重合也不垂直时，设I 的方程为y k(x 1)(k0) , A (知 yj, B(X 2, y 2), 则X 1 2, X 2 .2，直线MA ，MB 的斜率之和为k MA k MB% y ?x-i 2 x 2 2由y 1kx 1 k,y 2 kx 2kMAkMB2kx ,x 2 3k (N x 2)4k(x 2)(X 2 2)k(x21)代入—2所以, X iX 24k 22k 2 1, X1X2则 2kx 1x 2 3k(x-| x 2) 4k从而k MA kMB，故 MA ，综上,OMA OMB .2 2 2 2(2k1)x 4k x 2k2k 2 2 2k 2 13334k 34k 12k 3 8k 34k2k 2 1MB 的倾斜角互补，所以2 0.0.OMA OMB .解:( 1) 20件产品中恰有2件不合格品的概率为 f (p)2218「八C 20P (1 p).因此f (P)即X 40 25Y.所以EX E(40 25Y) 40 25EY 490.(ii)如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400 元.由于EX 400，故应该对余下的产品作检验21.( 12 分)解:(1)f(x)的定义域为(0, )，f (x) X2ax 1-2x(i)若a2，则f (x) 0,当且仅当a(x) 0 ,所以f (x)在(0,)单调递减.(ii)2，令f (x) 0 得，x - - -或x2 aa2 4 2(0,a ■^)U(2 )时，f (x),a 、；a2 4 a ；a2 4、(^^,^^)时, f (x) 0.所以 f (x)在(0, a ；a2 4、，a a2 42),(调递减，在(jp, jp)单调递增.(2)由(1)知，f (x)存在两个极值点当且仅当 a 2.由于f (x)的两个极值点x1,x2满足x2 ax 0，所以XM 1，不妨设X1 X2，则X2 1•由于f(xj f (X2)所以X| x2x1x2ln x1ln x21 ax1x2ln x1ln x22 a 1 2X1x22ln x2X2X2f (x1) f(X2)X1x212等价于—x2X22ln x20.1设函数g (x)—X2山乂，由(1)知，g(x)在(0,)单调递减，又g(1) 0,从而当x (1,) 时，g(x) 0.1所以丄X2 2lnX2 X2f(X1) f(X2)X1 x2a 2.22.［选修4-4：坐标系与参数方程］(10分)【解析】(1)由x cos , y sin得C?的直角坐标方程为(x 1)2 y2 4.(2)由(1)知C?是圆心为A( 1,0)，半径为2的圆.由题设知，C1是过点B(0, 2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为11, y轴左边的射线为12 .由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于h与C2只有一个公共点且12与C2有两个公共点，或12与C2只有一个公共点且11与C2有两个公共点•学#科网I k 2| , 4当h与C2只有一个公共点时，A到h所在直线的距离为2，所以22，故k 或k 0.J k 1 34经检验，当k 0时，h与C2没有公共点；当k -时，h与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公3共点.|k 2| , ^4 当12与C2只有一个公共点时，A到12所在直线的距离为2，所以22，故k 0或k —.V k2 1 34经检验，当k 0时，11与C2没有公共点；当k -时，J与C2没有公共点.34综上，所求G的方程为y |x| 2 .323. ［选修4-5：不等式选讲］(10分)2,x 1,【解析】(1)当a 1 时，f(x) |x 1| |x 1|，即f (x) 2x, 1 x 1,2,x 1.1故不等式f(x) 1的解集为{x| x -}.2(2) 当x(0,1)时|x 1| I ax 1|x成立等价于当x (0,1)时|ax 1| 1 成立若a0, 则当x (0,1)时|ax 1| 1;若a0, I ax 1| 1的解集为0 x22所以一1，故0 a 2 .a a 综上，a的取值范围为(0,2］.。