高三数学红对勾答案课时作业

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课时作业5 不等式时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分)1．“13<x <12”是“不等式|x －1|<1成立”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：∵不等式|x －1|<1的解集为(0,2)， ∴(13，12)⊆(0,2)，故选A. 答案：A2．关于x 的不等式ax 2＋bx －2>0的解集是(－∞，－12)∪(13，＋∞)，则ab 等于( )A ．－24B ．24C ．14D ．－14解析：由于ax 2＋bx －2>0的解集是(－∞，－12)∪(13，＋∞)，∴ax 2＋bx －2＝0的两个根应分别为：－12，13.∴⎩⎪⎨⎪⎧－12＋13＝－b a ，－12×13＝－2a.∴⎩⎨⎧a ＝12，b ＝2.∴ab ＝24.答案：B3．下列不等式不一定成立的是( ) A ．a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R) B ．a 2＋3>2a ，(a ，b ∈R)C ．|x ＋1x |>2(x >0) D.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a ，b ∈R)解析：由重要不等式知，A 中不等式成立；由于a 2＋3－2a ＝(a －1)2＋2>0，B 中的不等式恒成立； 根据(a ＋b 2)2＝a 2＋b 2＋2ab 4≤a 2＋b 22⇒a ＋b 2≤|a ＋b 2|≤a 2＋b 22，选项D 中的不等式恒成立；只有选项C 中的不等式当x ＝1时不成立．答案：C4．设a >0，b >0.若3是3a与3b的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为( )A ．8B ．4C ．1D ．14解析：∵3是3a 与3b 的等比中项， ∴(3)2＝3a ·3b .即3＝3a ＋b ，∴a ＋b ＝1.此时1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋(b a ＋ab )≥2＋2＝4(当且仅当a ＝b ＝12时取等号)，故选B.答案：B5．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(2,1)，c ＝(x ，y )，且满足x ≥0，y ≥0.若a ·c ≥1，b ·c ≥1，z ＝－(a ＋b )·c ，则( )A ．z 有最大值－2B ．z 有最小值－2C ．z 有最大值－3D ．z 有最小值－3 解析：图1由a ·c ≥1，b ·c ≥1知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥1，2x ＋y ≥1，x ≥0，y ≥0，画出平面区域如图1所示．由题意知z ＝－(a ＋b )·c ＝－3(x ＋y )在点M (13，13)处取最大值－2，故选A.答案：A6．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为12，则a 29＋b 24的最小值为( )A.12B.1325 C ．1 D ．2 解析：图2由题可画出满足x ，y 关系的平面区域如图2. ∵a >0，b >0，∴z ＝ax ＋by 在点M (4,6)处取最大值， ∴4a ＋6b ＝12，即2a ＋3b ＝6. ①设m ＝a 29＋b 24， ②由①②联立得b 2－2b ＋2－2m ＝0.∵b 有解，∴Δ＝4－4(2－2m )≥0，解得m ≥12，故m 的最小值为12，所以选A. 答案：A二、填空题(每小题8分，共计24分)7．不等式x 2－2x －3x －1≥x 的解集为________．解析：原不等式可化为x 2－2x －3x －1－x ≥0，即x ＋3x －1≤0，所以－3≤x <1. 答案：[－3,1)8．已知函数f (x )＝a －2x的图象经过原点，则不等式f (x )>34的解集为________．解析：∵f (x )＝a －2x 的图象过原点， ∴a －20＝0.∴a ＝1.又∵f (x )>34，即1－2x >34， ∴2x <14＝2－2.∴x <－2.答案：(－∞，－2)9．(2011·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2x 的图象交于P ，Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________．解析：假设直线与函数f (x )＝2x 的图象在第一象限内的交点为P ，在第三象限内的交点为Q ，由题意知线段PQ 的长为OP 长的2倍．假设P点的坐标为(x0，2x0)，则|PQ|＝2|OP|＝2x20＋4x20≥4.当且仅当x20＝4x20，即x0＝2时，取“＝”．答案：4三、解答题(共计40分)10．(10分)解关于x的不等式x－ax－a2<0(a∈R)．解：x－ax－a2<0⇔(x－a)(x－a2)<0.①当a＝0或a＝1时，原不等式的解集为Ø；②当a<0或a>1时，a<a2，此时a<x<a2；③当0<a<1时，a>a2，此时a2<x<a.综上，当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|a<x<a2}；当0<a<1时，原不等式的解集为{x|a2<x<a}；当a＝0或a＝1时，原不等式的解集为Ø.11．(15分)某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？解：法1：设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z元，则依题意得z＝2.5x＋4y，且x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.z 在可行域的四个顶点A (9,0)，B (4,3)，C (2,5)，D (0,8)处的值分别是z A ＝2.5×9＋4×0＝22.5，图3z B ＝2.5×4＋4×3＝22， z C ＝2.5×2＋4×5＝25， z D ＝2.5×0＋4×8＝32.比较之，z B 最小，因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．法2：设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费用为z 元，则依题意得z ＝2.5x ＋4y ，且x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.让目标函数表示的直线2.5x ＋4y ＝z 在可行域上平移，由此可知z ＝2.5x ＋4y 在B (4,3)处取得最小值．因此，应该为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．12．(15分)(2011·课标全国卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－1)，B 点在直线y ＝－3上，M 点满足MB →∥OA →，MA →·AB →＝MB →·BA→，M 点的轨迹为曲线C . (1)求C 的方程； (2)P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处的切线，求O 点到l 距离的最小值．解：(1)设M (x ，y )，由已知得B (x ，－3)，A (0，－1)．所以MA→＝(－x ，－1－y )，MB →＝(0，－3－y )， AB→＝(x ，－2)． 再由题意可知(MA →＋MB →)·AB→＝0， 即(－x ，－4－2y )·(x ，－2)＝0.所以曲线C 的方程为y ＝14x 2－2.(2)设P (x 0，y 0)为曲线C ：y ＝14x 2－2上一点，因为y ′＝12x ，所以l 的斜率为12x 0.因此直线l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即x 0x －2y ＋2y 0－x 20＝0.则O 点到l 的距离d ＝|2y 0－x 20|x 20＋4.又y 0＝14x 20－2，所以d ＝12x 20＋4x 20＋4＝12(x 20＋4＋4x 20＋4)≥2，当x 0＝0时取等号，所以O 点到l 距离的最小值为2.。