二次函数的应用题

二次函数的应用知识点：二次函数图象的画法 （五点绘图法）：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图．一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点．二次函数的图象及性质1． 二次函数2y ax =0a ≠（）的性质：⑴抛物线2y ax =的顶点是坐标原点（0，0），对称轴是0x =（y 轴）． ⑵函数2y ax =的图像与a 的符号关系．①当0a >时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点； ②当0a <时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点；2．二次函数2(0)y ax c a =+≠的性质3． 二次函数2y ax bx c =++0a ≠（）或2()y a x h k =-+（0a ≠）的性质⑴开口方向：00a a >⇔⎧⎨<⇔⎩向上向下⑵对称轴：2bx a=-（或x h =）⑶顶点坐标：24(,)24b ac b a a--（或(,)h k ）⑷最值：0a >时有最小值244ac b a -（或k ）（如图1）； 0a <时有最大值244ac b a-（或k ）（如图2）； ⑸单调性：二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的变化情况（增减性）①如图1所示，当0a >时，对称轴左侧2b x a <-，y 随着x 的增大而减小，在对称轴的右侧2bx a<- ，y 随x 的增大而增大；②如图2所示，当0a >时，对称轴左侧2b x a <-， y 随着x 的增大而增大，在对称轴的右侧2bx a<-，y 随x 的增大而减小； ⑹与坐标轴的交点：①与y 轴的交点：（0，C ）；②与x 轴的交点：使方程20ax bx c ++=（或2()0a x h k -+=） 成立的x 值．一、图象信息题【例1】 如图1，在矩形矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC ，CD ，DA 运动至点A 停止．设点P 运动的路程为x ，ABP ∆的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则ABC ∆的面积是 ( ) A ．10 B ．16 C ．18 D ．20C DBAP【解析】由图象知矩形ABCD 中，5AB CD ==，宽4BC AD ==，所以ABC ∆的面积为145102⨯⨯=．【答案】A2.如图，点G 、D 、C 在直线a 上，点E 、F 、A 、B 在直线b 上，若a b ∥，Rt GEF ∆从如图所示 的位置出发，沿直线b 向右匀速运动，直到EG 与BC 重合．运动过程中GEF ∆与矩形ABCD 重合部分．．．．的面积()S 随时间()t 变化的图象大致是FE GA BCDABCD【答案】B3.正方形边长为3，若边长增加x ，则面积增加y ．求y 与x 之间的函数关系式．【答案】26y x x =+4.有一边长为5米的正方形场地，现在要在里面建一矩形游泳池，如图所示，要求一边距场地边缘为x米，一边为2x 米，求矩形的面积y 与x 的关系表达式．【答案】221525y x x =-+(0 2.5)x <<二、 利润问题1.已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图所示．（1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义．（2）写出批发该种水果的资金金额w （元）与批发量m （kg ）之间的函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果． （3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图所示，该经销商拟每日售出60kg 以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大。

kg ）【答案】（1）图①表示批发量不少于20kg 且不多于60kg 的该种水果，可按5元/kg 批发；图②表示批发量高于60kg 的该种水果，可按4元/kg 批发．（2） 2060 6054m m w m m ⎧=⎨⎩≤≤（）（＞），由图可知资金金额满足240＜w ≤300时，以同样的资金可批发到较多数量的该种水果．（3）即经销商应批发80kg 该种水果，日零售价定为6元/kg ，当日可获得最大利润160元．2.某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元）符合一次函数y kx b =+，且65x =时，55y =；75x =时，45y =． （1）求一次函数y kx b =+的表达式；（2）若该商场获得利润为W 元，试写出利润W 与销售单价x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3） 若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x 的范围．【答案】（1）120y x =-+；（2）W2(90)900x =--+，∴当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元．（3）销售单价x 的范围是7087x ≤≤．3.某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．（1）假设每台冰箱降价x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是y 元，请写出y 与x 之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3） 每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？ 【答案】（1）2224320025y x x =-++；（2）每台冰箱应降价200元．（3）每台冰箱的售价降价150元时，商场的利润最大，最大利润是5000元．三、 增长率问题1某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价y （元）与月份x 之间满足函数关系502600y x =-+，去年的月销售量p （万台）与月份x 之间成一次函数关系，其中两（1（2）由于受国际金融危机的影响，今年1、2月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年12月份下降了%m ，且每月的销售量都比去年12月份下降了1.5m%．国家实施“家电下乡”政策，即对农村家庭购买新的家电产品，国家按该产品售价的13%给予财政补贴．受此政策的影响，今年3至5月份，该厂家销往农村的这种电视机在保持今年2月份的售价不变的情况下，平均每月的销售量比今年2月份增加了1.5万台．若今年3至5月份国家对这种电视机的销售共给予了财政补贴936万元，求m 的值（保留一位小数）．5.831 5.9166.083 6.164）【答案】（1）7月销售金额最大，最大值是10125万元；（2）m=52.78≈52.82.已知某种商品去年售价为每件a 元，可售出b 件．今年涨价x 成（1成=10%），则售出的数量减少x成（m 是正常数）．试问： ⑴ 如果涨价1.25成价格，营业额将达到()214ab m m+，求m ；⑵ 如果适当的涨价，能使营业额增加，求m 应在什么范围内？【答案】（1）89m =；（2）10m >>四、 拱形图问题1某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房．如图，板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成，矩形长为12m ，抛物线拱高为5.6m ． （1）在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的表达式．（2）现需在抛物线AOB 的区域内安装几扇窗户，窗户的底边在AB 上，每扇窗户宽1.5m ，高1.6m ，相邻窗户之间的间距均为0.8m ，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为0.8m ．请计算最多可安装几扇这样的窗户？【解析】（1）设抛物线的表达式为2y ax = 点(6 5.6)B -，在抛物线的图象上．∴ 5.636a -=，745a =-∴抛物线的表达式为2745y x =- （2）设窗户上边所在直线交抛物线于C 、D 两点，D 点坐标为（k ，t ）已知窗户高1.6m ，∴ 5.6( 1.6)4t =---=-27445k --=125.07 5.07k k -≈，≈（舍去）∴ 5.07210.14CD =⨯≈（m ） 又设最多可安装n 扇窗户 ∴1.50.8(1)10.14n n ++≤4.06n ≤．答：最多可安装4扇窗户．（本题不要求学生画出4个表示窗户的小矩形）2.如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM 为12米. 现 以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系. (1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标； (2)求这条抛物线的解析式；(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD - DC- CB ，使C 、D 点在抛物线上，A 、B 点在地面OM 上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？【解析】 (1) M (12，0)，P (6，6).(2) 设抛物线解析式为：2(6)6y a x =-+. ∵抛物线2(6)6y a x =-+经过点(0，0)，∴20(06)6a =-+，即16a =-∴抛物线解析式为：2211(6)6,266y x y x x =--+=-+即 .(3) 设A (m ，0)，则B (12-m ，0)，21(12,2)6C m m m --+，21(,2)6D m m m -+.∴“支撑架”总长AD+DC+CB =2211(2)(122)(2)66m m m m m -++-+-+=2211212(3)1533m m m -++=--+. ∵ 此二次函数的图象开口向下.∴ 当m = 3米时，AD+DC+CB 有最大值为15米.3.王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线、满足抛物线21855y x x =-+，其中y (m)是球的飞行高度， x (m )是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m ．⑴ 请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴． ⑵ 请求出球飞行的最大水平距离． ⑶ 若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式．【解析】⑴ 21855y x x =-+2116(4)55x =--+∴抛物线21855y x x =-+开口向下，顶点为1645⎛⎫ ⎪⎝⎭，，对称轴为4x =.⑵ 令0y =，得：218055x x -+=，解得：10x =，28x =，∴球飞行的最大水平距离是8m ．⑶ 要让球刚好进洞而飞行最大高度不变，则球飞行的最大水平距离为10m ∴抛物线的对称轴为5x =，顶点为1655⎛⎫⎪⎝⎭，设此时对应的抛物线解析式为216(5)5y a x =-+，又∵点(00)，在此抛物线上，∴162505a +=， 16125a =-．五、 面积问题1.张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD ．设AB 边的长为x 米．矩形ABCD 的面积为S 平方米．（1）求S 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）． （2）当x 为何值时，S 有最大值？并求出最大值．（参考公式：二次函数2y ax bx c =++（0a ≠），当2bx a=-时）【解析】由题意得()322S AB BC x x =⋅=-∴223S x x =-+由20a =-<∴()328222b x a =-=-=⨯-241284ac b S a-==最大值∴8x =时，S 有最大值是1282.某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD 是矩形，其中AB=2米，BC=1米；上部CDG 是等边三角形，固定点E 为AB 的中点．△EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB 平行的伸缩横杆．（1）当MN 和AB 之间的距离为0.5米时，求此时△EMN 的面积；（2）设MN 与AB 之间的距离为x 米，试将△EMN 的面积S （平方米）表示成关于x 的函数； （3）请你探究△EMN 的面积S （平方米）有无最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由．E CD【解析】（1）由题意，当MN 和AB 之间的距离为0.5米时，MN 应位于DC 下方，且此时△EMN 中 MN 边上的高为0.5米.所以，S △EMN =120.52⨯⨯=0.5（平方米）.即△EMN 的面积为0.5平方米.（2）①如图1所示，当MN 在矩形区域滑动，即0＜x ≤1时， △EMN 的面积S =122x ⨯⨯=x ；②如图2所示，当MN 在三角形区域滑动，即1＜x＜1 如图，连接EG ，交CD 于点F ，交MN 于点H ， ∵ E 为AB 中点，∴ F 为CD 中点，GF ⊥CD ,且FG又∵ MN ∥CD ， ∴ △MNG ∽△DCG ．∴MN GHDC GF =，即MN = 故△EMN 的面积S＝12x＝2(1x +；综合可得：()(201111x x S x x x ≤⎧⎪=⎛⎨++ ⎪ ⎝⎭⎩，＜．＜＜ （3）①当MN 在矩形区域滑动时，S x =，所以有01S <≤ ②当MN 在三角形区域滑动时，S=2(1x +.因而，当2b x a =-=（米）时， S 得到最大值，最大值S =244ac b a -21-（12（平方米）.∵112>，∴ S有最大值，最大值为12平方米.综合练习1． 进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是x ，降价后的价格为y 元，原价为a 元，则y 与x 之间的函数关系式为（ ）A. 2(1)y a x =-B. 2(1y a x =- 2C. (1)ya x =- 2D. (1)y a x =- 【答案】D2． 某公司生产一种产品，每件成本为2元，售价为3元，年销售量为100万件．为获 取更好的效益，公司准备拿出一定资金做广告．通过市场调查发现：每年投入的广告费用为x （十 万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y 倍；同时y 又是x 的二次函数，相互关系如下表：⑵ 如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S （十万元）与广告费x （十万元）的函数关系式；⑶ 如果一年投入的广告费为10～30万元，问广告费在什么范围内时，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？ 【解析】⑴ 设所求的二次函数关系式为2y ax bx c =++．则有1329425c a b c a b c ⎧⎪=⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩ 解得110a =-，35b =，1c =．∴2131105y x x =-++（0x ≥）．⑵ 依题意，得()21032510S y x x x =⨯--=-++（0x ≥）． ⑶ 由2256551024S x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭又13x ≤≤，∴当1 2.5x ≤≤时，S 随着x 增大而增大．即当广告费在10万元～25万元时，公司获得的年利润随着广告费的增大而增大．3． 甲、乙两个蔬菜基地，分别向A 、B 、C 三个农贸市场提供同品种蔬菜，按签订的合同规定向A 提供45t ，向B 提供75t ，向C 提供40t ．甲基地可安排60t ，乙基地可安排100t ．甲、乙与A 、B 、C【解析】设乙基地向A 提供xt ，向B 提供yt ，向C 提供100x y t -+⎡⎤⎣⎦，则甲基地向A 提供)45x t -，向B提供()75y t -，向C 提供()()4010060x y t x y t ---=+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦． 依题意，总运费为()()()()10455756604815100W x y x y x y x y =-+-++-+++-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()1965323x y x =-++⎡⎤⎣⎦．因为0xy +≤≤100，045x ≤≤，当且仅当100x y +=，45x =时，W 有最小值，则()min 19653200135960W =-+=元．4． 一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m ，宽为2m ，隧道最高点P位于AB 的中央且距地面6m ，建立如图所示的坐标系 （1）求抛物线的解析式；（2）一辆货车高4m ，宽2m ，能否从该隧道内通过，为什么？（3） 如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？【解析】（1）由题意可知抛物线经过点()()()024682A P B ，，，，， 设抛物线的方程为2yax bx c =++ 将A P D ，，三点的坐标代入抛物线方程． 解得抛物线方程为21224y x x =-++（2）令4y =，则有212244x x -++=解得1244x x =+=-212x x -=>∴货车可以通过．（3）由（2）可知21122x x -=> ∴货车可以通过．5． 如图，E 、F 分别是边长为4的正方形ABCD 的边BC CD ，上的点，413CE CF ==，,直线EF 交AB学习好资料 欢迎下载的延长线于G ，过线段FG 上的一个动点H 作HM AG ⊥，HN AD ⊥，垂足分别为M N ，，设H M x =，矩形AMHN 的面积为y⑴ 求y 与x 之间的函数关系式；⑵ 当x 为何值时，矩形AMHN 的面积最大，最大面积为多少？NM H GF ED CB A 【解析】⑴ ∵正方形ABCD 的边长为4，413CE CF ==，， ∴3BE =又AG CF FEC GEB ∥，△∽△，4CF CE BG BG BE==， 又HM BE ∥ ∴HMG EBG △∽△，MG HM BG BE= ∴44833MG x AM x ==-， ∴()244880433y x x x x x ⎛⎫=-=-+<≤ ⎪⎝⎭ ⑵ ∵()2244831233y x x x =-+=--+ ∴当3x =时，矩形面积最大，最大面积为12。