抛物线的简单几何性质教案
《抛物线的简单几何性质》教案全面版
《抛物线的简单几何性质》教案课题：8．6抛物线的简单几何性质（一）教学目的：1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化教学重点：抛物线的几何性质及其运用教学难点：抛物线几何性质的运用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：“抛物线的简单几何性质”是课本第八章最后一节，它在全章占有重要的地位和作用本节知识在生产、生活和科学技术中经常用到，也是大纲规定的必须掌握的内容，还是将来大学学习的基础知识之一对于训练学生用坐标法解题，本节一如前面各节一样起着相当重要的作用研究抛物线的几何性质和研究椭圆、双曲线的几何性质一样，按范围、对称性、顶点、离心率顺序来研究，完全可以独立探索得出结论已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标和准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向，一次项的变量如果为x （或y ），则x 轴（或y 轴）是抛物线的对称轴，一次项的符号决定开口方向，由已知条件求抛物线的标准方程时，首先要根据已知条件确定抛物线标准方程的类型，再求出方程中的参数p本节分两课时进行教学第一课时内容主要讲抛物线的四个几何性质、抛物线的画图、例1、例2、及其它例题；第二课时主要内容焦半径公式、通径、例3教学过程：一、复习引入：1．抛物线定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线图形xyOFl xyOFl方程)0(22p px y)0(22p px y)0(22p py x)0(22p py x焦点)0,2(p )0,2(p )2,0(p )2,0(p 准线2p x 2p x 2p y2p yxyO FlxyOF l2．抛物线的标准方程：相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的41，即242p p 不同点：(1)图形关于X 轴对称时，X 为一次项，Y 为二次项，方程右端为px 2、左端为2y ；图形关于Y 轴对称时，X 为二次项，Y 为一次项，方程右端为py 2，左端为2x（2）开口方向在X 轴（或Y 轴）正向时，焦点在X 轴（或Y 轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在X 轴（或Y 轴）负向时，焦点在X 轴（或Y 轴）负半轴时，方程右端取负号二、讲解新课：抛物线的几何性质1．范围因为p ＞0，由方程022p px y 可知，这条抛物线上的点M 的坐标(x ，y)满足不等式x ≥0，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．2．对称性以－y 代y ，方程022p px y 不变，所以这条抛物线关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．3．顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程022p px y中，当y=0时，x=0，因此抛物线022p px y 的顶点就是坐标原点．4．离心率抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e 表示．由抛物线的定义可知，e=1．对于其它几种形式的方程，列表如下：标准方程图形顶点对称轴焦点准线离心率22ppx yxyOFl,0x 轴,2p 2p x1e 022ppx yxyOFl,0x 轴,2p2p x1e22ppy x,0y 轴2,0p 2p y1e 022ppy x,0y 轴2,0p 2p y1e 注意强调p 的几何意义：是焦点到准线的距离抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线通过图形的分析找出双曲线与抛物线上的点的性质差异，当抛物线上的点趋向于无穷远时，抛物线在这一点的切线斜率接近于对称轴所在直线的斜率，也就是说接近于和对称轴所在直线平行，而双曲线上的点趋向于无穷远时，它的切线斜率接近于其渐近线的斜率附：抛物线不存在渐近线的证明．（反证法）假设抛物线y 2＝2px 存在渐近线y ＝mx ＋n ，A （x ，y ）为抛物线上一点，A 0（x ，y 1）为渐近线上与A 横坐标相同的点如图，则有px y2和y 1＝mx ＋n ．∴pxn mxy y 21xp xn mx 2当m ≠0时，若x →＋∞，则yy 1当m ＝0时，px ny y 21，当x →＋∞，则yy 1这与y ＝mx ＋n 是抛物线y 2＝2px 的渐近线矛盾，所以抛物线不存在渐近线三、讲解范例：例1已知抛物线关于x 轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点)22,2(M ，求它的标准方程，并用描点法画出图形．分析：首先由已知点坐标代入方程，求参数p ．xyA 0AO解：由题意，可设抛物线方程为px y 22，因为它过点)22,2(M ，所以22)22(2p ，即2p因此，所求的抛物线方程为x y42．将已知方程变形为x y 2，根据x y2计算抛物线在0x的范围内几个点的坐标，得x 0 1 2 3 4 …y22.83.54…描点画出抛物线的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分点评：在本题的画图过程中，如果描出抛物线上更多的点，可以发现这条抛物线虽然也向右上方和右下方无限延伸，但并不能像双曲线那样无限地接近于某一直线，也就是说，抛物线没有渐近线．例 2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯的圆的直径60cm ，灯深为40cm ，求抛物线的标准方程和焦点位置．分析：这是抛物线的实际应用题，设抛物线的标准方程后，根据题设条件，可确定抛物线上一点坐标，从而求出p 值．解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x 轴垂直于灯口直径．设抛物线的标准方程是px y22(p ＞0)．由已知条件可得点A 的坐标是(40，30)，代入方程，得402302p ，即445p所求的抛物线标准方程为x y 2452．例3 过抛物线px y 22的焦点F 任作一条直线m ，交这抛物线于A 、B 两点，求证：以AB 为直径的圆和这抛物线的准线相切．分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．证明：如图．设AB 的中点为E ，过A 、E 、B 分别向准线l 引垂线AD ，EH ，BC ，垂足为D 、H 、C ，则｜AF ｜＝｜AD ｜，｜BF ｜＝｜BC ｜∴｜AB ｜＝｜AF ｜＋｜BF ｜＝｜AD ｜＋｜BC ｜＝2｜EH ｜所以EH 是以AB 为直径的圆E 的半径，且EH ⊥l ，因而圆E 和准线l 相切．四、课堂练习：1．过抛物线x y42的焦点作直线交抛物线于11,y x A ，22,y x B 两点，如果621x x ，那么||AB =（ B ）（A ）10（B ）8（C ）6（D ）4xyEOF B ADC H2．已知M 为抛物线x y42上一动点，F 为抛物线的焦点，定点1,3P ，则||||MF MP 的最小值为（ B ）（A ）3 （B ）4（C ）5（D ）63．过抛物线02a axy 的焦点F 作直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 、QF 的长分别是p 、q ，则qp11=（ C ）（A ）a2（B ）a21（C ）a4（D ）a44．过抛物线x y42焦点F 的直线l 它交于A 、B 两点，则弦AB 的中点的轨迹方程是______ (答案：122x y )5.定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线x y2上移动，求AB 中点M 到y 轴距离的最小值，并求出此时AB 中点M 的坐标（答案：22,45M , M到y 轴距离的最小值为45）五、小结：抛物线的离心率、焦点、顶点、对称轴、准线、中心等六、课后作业：1．根据下列条件，求抛物线的方程，并画出草图．（1）顶点在原点，对称轴是x 轴，顶点到焦点的距离等于8．（2）顶点在原点，焦点在y 轴上，且过P （4，2）点．（3）顶点在原点，焦点在y 轴上，其上点P （m ，－3）到焦点距离为5．2．过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，若A 、B 在准线上的射影是A 2，B 2，则∠A 2FB 2等于3．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y 轴垂直的弦长为16，求抛物线方程．4．以椭圆1522yx的右焦点，F 为焦点，以坐标原点为顶点作抛物线，求抛物线截椭圆在准线所得的弦长．5．有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶4米时，水面宽40米，当水面下降1米时，水面宽是多少米？习题答案：1．（1）y 2＝±32x （2）x 2＝8y（3）x 2＝－8y2．90°3．x 2＝±16 y 4．545．520米七、板书设计（略）八、课后记：课题：8．6抛物线的简单几何性质（二）教学目的：1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；2．掌握焦半径公式、直线与抛物线位置关系等相关概念及公式；3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化教学重点：抛物线的几何性质及其运用教学难点：抛物线几何性质的运用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：抛物线的几何性质：标准方程图形顶点对称轴焦点准线离心率22ppx yxyOFl,0x 轴,2p 2p x1e 022ppx yxyOFl,0x 轴,2p2p x1e 022ppy x,0y 轴2,0p 2p y1e 022ppy x,0y 轴2,0p 2p y1e 注意强调p 的几何意义：是焦点到准线的距离抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线二、讲解新课：1.抛物线的焦半径及其应用：定义：抛物线上任意一点M 与抛物线焦点F 的连线段，叫做抛物线的焦半径焦半径公式：抛物线)0(22p px y，022x p p x PF抛物线)0(22p px y，0022x p p x PF抛物线)0(22p py x，0022y p p y PF抛物线)0(22p py x，0022y p p y PF2．直线与抛物线：（1）位置关系：相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点）下面分别就公共点的个数进行讨论：对于)0(22p px y当直线为0y y ，即0k，直线平行于对称轴时，与抛物线只有唯一的交点当0k ，设bkxyl :将b kxy l :代入0:22FEy Dx Cy AxC ，消去y ，得到关于x 的二次方程02cbxax （*）若0，相交；0，相切；0，相离综上，得：联立pxyb kx y 22，得关于x 的方程02cbx ax当0a （二次项系数为零），唯一一个公共点（交点）当0a，则若0，两个公共点（交点）0，一个公共点（切点）0，无公共点（相离）（2）相交弦长：弦长公式：21k ad，其中a 和分别是02c bx ax（*）中二次项系数和判别式，k 为直线b kxy l :的斜率当代入消元消掉的是y 时，得到02cby ay ，此时弦长公式相应的变为：211kad（3）焦点弦：定义：过焦点的直线割抛物线所成的相交弦。
教案设计高中数学《抛物线的简单几何性质》
教案设计高中数学《抛物线的简单几何性质》一、教材分析（一）教学内容《抛物线的简单几何性质》是人教版高中数学（必修）第二册上第八章的第6节的内容。
本节课的主要内容是探究抛物线的简单几何性质及应用。
通过对抛物线的简单几何性质进行分析，并利用这些性质来解决简单的几何问题。
（二）教材的地位和作用本节课是在学习了抛物线的定义及其标准方程的基础上，系统地按照抛物线方程来研究抛物线的简单几何性质，该内容是高中数学的重要内容，也是高考的重点与热点内容。
其中，蕴含的数形结合思想也是高中数学的重要思想。
学习本节课的内容能够较好地培养学生抽象概括能力，观察分析能力和探索求知的精神。
（三）课时安排本节内容安排1课时完成教学。
二、教学目标根据新课程标准的理念以及对教材的分析和高中学生的认知规律，本课节的教学目标确定为：知识目标：掌握抛物线的简单几何性质，理解抛物线方程与抛物线曲线间互逆推导的逻辑关系及利用数形结合解决实际问题，初步学习利用方程研究曲线性质的方法。
能力目标：让学生经历知识产生与形成的过程，培养学生观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力，以及对研究方法的思想渗透及运用数形结合思想解决问题的能力。
情感目标：通过数与形的辩证统一，对学生进行辩证唯物主义教育，培养学生认真参与、积极交流的主体意识，锻炼学生善于发现问题的规律和及时解决问题的态度。
三、难重点分析重点：抛物线的简单几何性质。
只有在完全掌握抛物线的简单几何性质的基础上，才能自如地解决相关几何问题。
难点：抛物线的简单几何性质的应用。
要求能灵活地运用抛物线的性质来解决简单的几何问题。
四、教法与学法分析（一）教法分析本节课以启发式教学为主，综合运用演示法、讲授法、讨论法、有指导的发现法及练习法等教学方法。
先通过多媒体动画演示，创设问题情境；在抛物线简单几何性质的教学过程中，通过多媒体演示，有指导的发现问题，然后进行讨论、探究、总结、运用，最后通过练习加以巩固提高。
【公开课教案】高二《抛物线的简单几何性质》公开课教案
《抛物线的简单几何性质》公开课教案一、三维目标：1、知识与能力:（1）掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；（2）能根据抛物线的方程对抛物线几何性质进行讨论，2、过程和方法:（1）掌握抛物线的简单几何性质并会在实际问题中简单运用；（2）训练自己用坐标法解题的能力；3、情感态度与价值观:（1）通过本节学习训练自己分析问题，解决问题和归纳总结能力，并认识到事物之间是相互联系的。
（2）培养学生数形结合及方程的思想，了解抛物线在实际问题中的初步应用。
二、教学重难点：1、教学重点：抛物线的几何性质及其运用2、教学难点：抛物线几何性质的运用三、教学过程：（一）、复习引入：1、抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线.2、抛物线的图象与表示形式：3、学生探究活动：回顾:探究椭圆、双曲线的几何性质时是从哪几个方面研究的？有哪些性质?抛物线呢?简单几何性质：（1）范围，（2）对称轴，（3）顶点，（4）离心率。
（二）新课讲授：1、建构数学归纳：抛物线的几何性质列表如下：程标轴 轴 轴 轴项系数符号决定开口方向，而且可以迅速算出焦点坐标为 （2p，0）和准线方程为x = 2-p 。
2、（学生活动一）问题2：通过和椭圆、双曲线的几何性质相比，抛物线的几何性质有什么特点？抛物线标准方程和椭圆、双曲线的标准方程不同的是：确定抛物线只要一个量p ，而确定椭圆和双曲线则需要两个量a,b 。
（1）、抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线（2）、抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;（3）、抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线（4）、抛物线的离心率是确定的,为1; 问题3：抛物线标准方程中的p 对抛物线开口有何影响?“P越大,开口越开阔”拓展：（1）通径：过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的通径，|AB|=2p 利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图.2p越大，抛物线张口越大.（2）焦半径：连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。
《抛物线的简单几何性质》 学历案
《抛物线的简单几何性质》学历案一、学习目标1、掌握抛物线的定义、标准方程。
2、理解并掌握抛物线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、离心率等。
3、能够运用抛物线的几何性质解决相关问题。
二、学习重难点1、重点（1）抛物线的几何性质。
（2）利用几何性质求抛物线的方程和解决相关问题。
2、难点（1）抛物线的几何性质的应用。
（2）与抛物线相关的综合问题。
三、知识回顾1、抛物线的定义：平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线。
2、抛物线的标准方程：（1）焦点在 x 轴正半轴上，方程为 y²＝ 2px（p ＞ 0），焦点坐标为（＼（＼frac{p}｛2}＼），0），准线方程为 x ＝＼（＼frac{p}｛2}＼）。
（2）焦点在 x 轴负半轴上，方程为 y²＝－2px（p ＞ 0），焦点坐标为（＼（＼frac{p}｛2}＼），0），准线方程为 x ＝＼（＼frac{p}｛2}＼）。
（3）焦点在 y 轴正半轴上，方程为 x²＝ 2py（p ＞ 0），焦点坐标为（0，＼（＼frac{p}｛2}＼）），准线方程为 y ＝＼（＼frac{p}｛2}＼）。
（4）焦点在 y 轴负半轴上，方程为 x²＝－2py（p ＞ 0），焦点坐标为（0，＼（＼frac{p}｛2}＼）），准线方程为 y ＝＼（＼frac{p}｛2}＼）。
四、新课导入我们已经学习了抛物线的定义和标准方程，那么抛物线还有哪些重要的几何性质呢？这些性质又能帮助我们解决哪些问题呢？让我们一起来探究吧。
五、抛物线的几何性质1、范围以抛物线 y²＝ 2px（p ＞ 0）为例，因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以对于抛物线上任意一点 M（x，y），有\（x ＼geq 0\），即抛物线在 x 轴的右侧（包括 x 轴）。
同理，对于抛物线 y²＝－2px（p ＞ 0），有\（x ＼leq 0\），即抛物线在 x 轴的左侧（包括 x 轴）。
抛物线的简单几何性质教案
抛物线的简单几何性质（一）导学案【教学目标】知识与技能：了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.使学生理解并掌握抛物线的几何性质，从定义和标准方程出发，探究有关抛物线的焦半径和焦点弦的常见性质．过程与方法：从抛物线的定义和标准方程出发，结合几何分析和坐标运算，推导抛物线的性质。
培养学生分析、归纳、推理等能力．情感态度与价值观：使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线方程的关系概念的理解，解决抛物线中的弦的问题．【学法指导】结合椭圆和双曲线的几何性质，类比抛物线的性质，通过对抛物线的标准方程的讨论，进一步理解用代数方法研究几何性质的优越性，感受坐标法和数形结合的基本思想.教学重难点：1．重点：有关抛物线焦半径和焦点弦几何性质的推理过程中所应用的方法、技巧和结论．2．难点：对抛物线的几何性质和焦点弦几何性质推理和应用的方法渗透．学情分析：【知识回顾】1．抛物线的定义、标准方程。
（生口述完成）2．焦半径直线过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋p2，|BF|＝x2＋p2，3.填空（顶点在原点，焦点在坐标轴）方程，焦点，准线，开口.1.26y x=2.()1,0F-3.1y=-4.2270x y+=二、新课讲授【问题探究一】探究点一抛物线的几何性质问题1类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，说出抛物线y2＝2px (p>0)的范围、对称性、顶点、离心率.怎样用方程验证？(生通过预习，完成导学案上的表格，并小组之间互相分享结果，互相讨论)1．抛物线的几何性质（方程的方法进行验证）(生口述完成) 研究抛物线)0(22>=p px y ： （1）范围因为0>p ，由方程可知0≥x ，所以抛物线在y 轴的右侧，当x 的值增大时，||y 也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． （2）对称性以y -代y ，方程不变，所以抛物线关于x 轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． （3）顶点抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点，在方程中，当0=y 时0=x ，因此抛物线的顶点就是坐标原点．（4）离心率抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义可知1=e例题1：【引题】已知斜率为1直线经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点.求线段AB 的长。
抛物线的简单几何性质教学设计
抛物线的简单几何性质教学设计教学设计：抛物线的简单几何性质一、教学目标：1.理解抛物线的定义和特点；2.掌握抛物线的几何性质；3.能够应用抛物线的性质解决相关问题。
二、教学过程：1.导入（5分钟）：通过向学生展示一些有关抛物线的图片，引起他们对抛物线的兴趣。
然后询问学生对抛物线的认识，并鼓励他们提出自己对抛物线的猜测。
2.概念讲解（15分钟）：2.1抛物线的定义：抛物线是一个平面曲线，它的定义由以下两个要素确定：焦点F和直线l，且F不在l上。
抛物线上的所有点与F的距离等于该点到直线l的距离。
2.2抛物线的特点：2.2.1抛物线的轴：过焦点F垂直于直线l的直线称为抛物线的轴。
2.2.2焦点和直线的关系：抛物线上任意一点P与焦点F之间的距离等于该点到抛物线的轴的距离。
2.2.3抛物线的对称性：抛物线关于抛物线的轴具有对称性。
2.2.4抛物线的顶点：焦点F和抛物线的轴的交点称为抛物线的顶点。
3.性质探究（30分钟）：3.1性质1：焦点到顶点的距离等于顶点到抛物线轴的距离。
教师通过绘图和具体计算等方法，让学生发现并验证这个性质。
学生可以使用尺子或折纸法等方法进行测量，加深对这个性质的理解。
3.2性质2：顶点到抛物线上任意一点的距离等于该点到抛物线轴的距离。
教师通过绘图和具体计算等方法，让学生发现并验证这个性质。
学生可以使用尺子或折纸法等方法进行测量，加深对这个性质的理解。
3.3性质3：抛物线的对称性。
教师通过绘图和具体计算等方法，让学生发现并验证这个性质。
学生可以在纸上绘制抛物线，使用尺子或折纸法等方法观察抛物线的对称性。
4.拓展应用（30分钟）：4.1问题1：已知抛物线焦点F为(0,4)，顶点为(0,0)，求抛物线的方程。
教师引导学生分析问题，让学生通过已知条件，利用抛物线的特征来确定未知数，并列出方程。
然后让学生自主计算，并核对答案。
4.2问题2：已知抛物线焦点F为(2,2)，顶点为(0,0)，直线l的方程为y=x+1，求抛物线的方程。
抛物线的简单几何性质(第1课时)高中数学获奖教案
2.3.2抛物线的简单几何性质（第一课时）(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第三章)一、教学目标1.掌握抛物线的简单几何性质：范围、对称性、顶点、离心率；2.能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论；3.对通径、焦半径公式进行初步探索；4.进一步理解数形结合的思想方法在解析几何中的应用。
二、教学重难点1.教学重点：抛物线的简单几何性质、利用抛物线的几何性质求方程、对通径与焦半径公式的初步探究。
2.教学难点：利用数形结合法对通径、焦半径公式的探究。
三、教学过程1.利用数形结合的思想探究抛物线的简单几何性质1.1 知识回顾，温故知新【学生活动】学生完成学案内容，对抛物线的四种方程、图形、焦点坐标、准线方程进行复习。
【设计意图】之前学过椭圆、双曲线的几何性质，都是通过图形和方程两方面进行研究的，因此引导学生对抛物线的四种方程、图形、焦点坐标、准线方程进行复习，有利于对抛物线性质的进一步探索。
1.2 数形结合，类比探究问题1：类比用标准方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，请思考：我们要研究抛物线的哪些几何性质？如何研究这些性质？【预设答案】前面我们学习了椭圆、双曲线的范围、对称性、顶点、离心率，在双曲线中还学习了渐近线。
我们是通过“数”和“形”两方面对椭圆、双曲线的几何性质进行探究的。
【设计意图】类比椭圆、双曲线几何性质的研究思路，为接下来用数形结合法研究抛物线的几何性质进行铺垫。
问题2：观察图形，你能发现抛物线横、纵坐标的取值范围吗？【预设答案】通过观察图形，学生很容易得到开口向右的抛物线中横、纵坐标的取值范围，即为问题3：从数的角度，也就是从抛物线方程的角度，怎样得到抛物线中横纵坐标的取值范围呢？【预设答案】在方程中，并无限制，因此。
而因为，且，所以。
【设计意图】让学生从“数”和“形”两个角度探索抛物线的范围。
问题4：观察图形，抛物线有几条对称轴？是否有对称中心？【预设答案】学生观察图形容易得到开口向右的抛物线关于轴对称，没有对称中心。
教学设计2：2.4.2 抛物线的简单几何性质
教学内容 2.4.2 抛物线的简单几何性质三维目标【知识与技能】1．掌握抛物线的简单的几何性质，能根据抛物线的几何性质求抛物线的标准方程；2．能由抛物线方程解决简单的应用问题；3．学会判断抛物线与直线的位置关系；4．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化．【过程与方法】通过抛物线性质的学习，让学生更加熟悉求曲线方程的方法，培养学生的转化能力和数形结合能力。
【情感态度与价值观】通过抛物线性质的学习，培养学生数形结合思想和对立统一的辩证唯物主义观点。
教学重点抛物线的几何性质及其运用，以及抛物线与直线的位置关系。
教学难点抛物线性质的应用．教学方法启发引导，分析讲解，练习领会。
教学过程复习引入一．引入新课【师】复习提问：1、抛物线定义：平面内到一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数1的点的轨迹（或平面内到一个定点F和一条直线l（F不在l上）距离相等的点的轨迹）是抛物线。
点F叫做焦点．．，l叫做准线。
．．．2、抛物线的标准方程标准方程pxy22=pxy22-=pyx22=pyx22-=图形焦点坐标⎪⎭⎫⎝⎛0,2p⎪⎭⎫⎝⎛-0,2p⎪⎭⎫⎝⎛2,0p⎪⎭⎫⎝⎛-2,0p准线方程2px-=2px=2py-=2py=开口方向向右向左向上向下那么，抛物线有哪些几何性质呢？点题，板书课题。
新课学习二．新课讲解1．抛物线的简单几何性质标准方程pxy22=pxy22-=pyx22=pyx22-=图像范围0≥x0≤x0≥y0≤y 对称性关于x轴对称关于x轴对称关于y轴对称关于y轴对称顶点()0,0()0,0()0,0()0,0离心率1=e焦点坐标⎪⎭⎫⎝⎛0,2p⎪⎭⎫⎝⎛-0,2p⎪⎭⎫⎝⎛2,0p⎪⎭⎫⎝⎛-2,0p准线方程2px-=2px=2py-=2py=开口方向向右向左向上向下2．通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦。
直接应用抛物线定义，得到通径：pd2=。
三．练习领会师生共同解答下列各例：【例1】已知点()2,0A和抛物线C：xy62=，求过点A且与抛物线C相切的直线L的方程。
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《抛物线的简单几何性质》教案
授课教师：省市第一中学 卜旭贞
《抛物线的简单几何性质》教案及教材分析
授课教师:省市第一中学 卜旭贞
教材:《全日制高级中学课本(必修)数学》第二册(上)
一. 教学理念
“数学教师不能充当数学知识的施舍者，没有人能教会学生,数学素质是学生在数学活动中自己获得的。
”因此,教师的责任关键在于在教学过程中创设一个”数学活动”环境,让学生通过这个环境的相互作用,利用自身的知识和经验构建自己的理解,获得知识，从而培养自己的数学素质,培养自己的能力。
数学源于生活,高于生活,学习数学的最终目的是应用于生活(回归生活),通过平时教学,注意这方面的渗透,培养学生解决实际问题的能力。
二. 教材分析
1、本节教材的地位
本节通过类比椭圆、双曲线的几何性质,结合抛物线的标准方程讨论研究抛物线的几
何性质,让学生再一次体会用曲线的方程研究曲线性质的方法,学生不难掌握抛物线的围、对称性、顶点、离心率等性质,对于抛物线几何性质的应用是学生学习的难点，教学中应强调几何模型与数学问题的转换。
例1的设计，在于让学生通过作图感知p 的大小对抛物线开口的影响，引出通径的定义。
例2的设计旨在利用抛物线的几何性质数学地解决实际问题即作抛物线的草图。
本节是第一课时,在数学思想和方法上可与椭圆、双曲线的性质对比进行,着重指出它
们的联系和区别，从而培养学生分析、归纳、推理等能力。
2、教学目标 (1) 知识目标：
ⅰ 抛物线的几何性质、围、对称性、定点、离心率。
. ⅱ 抛物线的通径及画法。
(2) 能力目标：.
)
0(22>=p px y
ⅰ使学生掌握抛物线的几何性质，根据给出条件求抛物线的标准方程。
ⅱ掌握抛物线的画法。
(3)情感目标：
ⅰ培养学生数形结合及方程的思想。
ⅱ训练学生分析问题、解决问题的能力，了解抛物线在实际问题中的初步应用。
3、学生情况
我授课的学生是省级重点中学的学生,大部分学生数学基础较好,但理解能力、运算能力、思维能力等方面参差不齐。
4、教学重点、难点
教学的重点是掌握抛物线的几何性质，使学生能根据给出的条件求出抛物线的标准方程和一些实际应用。
难点是抛物线各个知识点的灵活应用。
三、教学方法及手段
采用引导式、讲练结合法；多媒体课件辅助教学。
四、教学程序
教学过程
教学容教师导拨与
学生活动
设计意图
一、知识回顾
1、抛物线的定义：平面与一个点F和一条定直线L的距离相
等的点的轨迹叫做抛物线。
点F→焦点，直线L→准线。
2、抛物线的标准方程。
图形标准方程焦点坐
标准线方
程
抛物线的定
义及标准方
程由学生口
述，老师展示
结论
提出这一
问题的研
究方法—
—对比、数
形结合
二、引入课题
)0
(
2
2>
=p
px
y)0,
2
(
p
2
p
x-
=
)0
(
2
2>
-
=p
px
y)0,
2
(
p
-
2
p
x=
)0
(
2
2>
=p
py
x)
2
,0(
p
2
p
y-
=
)0
(
2
2>
-
=p
py
x)
2
,0(
p
-
2
p
y=
唐朝王翰在《凉州词》中有“葡萄美酒夜光杯，欲饮琵琶马上催”的句子，诗中提到“夜光杯”。
问题1：如果测得酒杯口宽4cm ，杯深8cm ， 试求抛物线方程。
解：如图建立平面直角坐标系, 则可知A(-2,8),B(2,8) 所以设抛物线的方程为：
A 、
B 点在抛物线上，代入抛 物线方程，可得P=41 , 则所求的抛物线方程为：
y x 2
1
2=
问题2：研究酒杯轴截面所在曲线的几何性质。
提出问题由学生完成，引导学生由“数学模型”到“数学问题”的解决问题的方法。
并思考抛物线的几何性质。
通过诗句中的“夜光杯”模型引发学生探究问题本质的热情，同时巩固抛物线方程的知识并提出本节课的标题，起着承上启下的自然过度。
三、讲授新课
我们根据抛物线的标准方程
)0(22 p px y =
来研究它的几何性质。
1、 围：0≥x
2、 对称性：关于x 轴对称
抛物线的对称轴叫做抛物线的轴
3、 顶点：（0，0）
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的的顶点。
4、 离心率：e=1
抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e 表示。
)
0(22>=p py x
标准 方程
)
0(22
p px y =
图形
围
0≥x 0≤x
0≥y 0≤y
对称 轴 关于x 轴对称 关于x 轴对称 关于y 轴对称 关于y 轴对称
焦点坐标
准线方程 顶点 （0，0） 离心率
ｅ＝１
补充说明：1、抛物线只位于半个平面坐标，虽然他可以无限延伸但他没有渐近线。
2、 抛物线只有一条对称轴，没有对称中心
3、 抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线
4、 抛物线的离心率是确定的且为1
问题：椭圆的圆扁程度、双曲线的口大小由e 的大小决定，那么抛物线的开口大小由什么决定？ 通过类比椭圆与双曲线的几何性质，从围、对称性、顶点、离心率方面研究抛物线
的几何性质，并由学生归纳总结出其他三种标准方程的几何性质。
从结论上去找出与椭圆和双曲线的几何性质的不同点 学生较易得出抛物线的围、对称性、顶点、离心率等方面的几何性质，掌握类比研究问题
的方法 培养学生具备“运动变化”和“动中求静”的辩证法的思维
和观点
四、例题讲解
下面我们来看一例题
例1、 在同一坐标系中画出下列抛物线的草图：
（1）x y 2
12
=
（2）x y =2
（3）x y 22
=
通过例1作图实践得出P 对抛物线开口的影响并引导学生找出2P 的几何意义。
引导学生用所学知识解决实践问题
)0(22
>=p px
y )
0(22>-=p px y )
0(22>=p py x )
0(22>-=p py x )0,2(p
F )0,2(p
F -
)
2,0(p
F )
2,0(p F -2p x -=2p x -=2
p x =
2p y -
=
板书设计
§8.6 抛物线的简单几何性质（一）
抛物线的例题练习课时小结几何性质。