(完整版)直线和圆的方程单元测试题含答案解析

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《直线与圆的方程》练习题1

一、 选择题

1.方程x 2+y 2

+2ax-by+c=0表示圆心为C (2,2),半径为2的圆,则a 、b 、c 的值 依次为( B )

(A )2、4、4; (B )-2、4、4; (C )2、-4、4; (D )2、-4、-4 2.点4)()()1,1(22=++-a y a x 在圆的内部,则a 的取值范围是( A )

(A) 11<<-a (B) 10<-

(A) 5 (B) 3 (C) 10 (D) 5

4.已知M (-2,0), N (2,0), 则以MN 为斜边的直角三角形直角顶点P 的轨迹方程是( D )

(A) 222=+y x (B) 422=+y x (C) )2(222±≠=+x y x (D) )2(422±≠=+x y x 5. 若圆2

2

(1)20x y x y λλλ++-++=的圆心在直线1

2

x =左边区域,则λ的取值范围是( C ) A.(0+)∞,

B.()1+∞, C.1

(0)(1)5

?+,,∞

D.R

6. .对于圆()2

211x y +-=上任意一点(,)P x y ,不等式0x y m ++≥恒成立,则m 的取值范围是B

A .1+)∞,

B .)

1+∞, C .(1+)-∞, D .[)1+-∞,

7.如下图,在同一直角坐标系中表示直线y =ax 与y =x +a ,正确的是(C )

8.一束光线从点(1,1)A -出发,经x 轴反射到圆22

:(2)(3)1C x y -+-=上的最短路径是

( A )

A .4

B .5

C .321-

D .26

9.直线0323=-+y x 截圆x 2

+y 2

=4得的劣弧所对的圆心角是 ( C )

A 、

6π B 、4π C 、3π D 、2

π 10.如图,在平面直角坐标系中,Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成的区域(含边界),A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点.若点P (x ,y )、点P ′(x ′,y ′)满足x ≤x ′且y ≥y ′,则称P 优于P ′.如果Ω中的点Q 满足:不存在Ω中的其它点优于Q ,那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧 ( )

A.AB

B.BC

C.CD

D.DA

[答案] D

[解析] 首先若点M 是Ω中位于直线AC 右侧的点,则过M ,作与BD 平行的直线交ADC 于一点N ,则N 优于M ,从而点Q 必不在直线AC 右侧半圆内;其次,设E 为直线AC 左侧或直线AC 上任一点,过E 作与AC 平行的直线交AD 于F .则F 优于E ,从而在AC 左侧半圆内及AC 上(A 除外)的所有点都不可能为Q ,故Q 点只能在DA 上.

二、填空题

11.在平面直角坐标系xoy 中,已知圆224x y +=上有且仅有四个点到直线1250x y c -+=的距离

为1,则实数c 的取值范围是 (13,13)- .

12.圆:0642

2

=+-+y x y x 和圆:062

2=-+x y x 交于,A B 两点,则AB 的垂直平分线的

方程是 390x y --=

13.已知点A(4,1),B(0,4),在直线L :y=3x-1上找一点P ,求使|PA|-|PB|最大时P 的坐标是 (2,5)

14.过点A (-2,0)的直线交圆x 2+y 2

=1交于P 、Q 两点,则AP →·AQ →的值为________.

[答案] 3

[解析] 设PQ 的中点为M ,|OM |=d ,则|PM |=|QM |=1-d 2,|AM |=4-d 2.∴|AP →|=4-d

2

-1-d 2,|AQ →|=4-d 2+1-d 2

∴AP →·AQ →=|AP →||AQ →|cos0°=(4-d 2-1-d 2)(4-d 2+1-d 2)=(4-d 2)-(1-d 2

)=3.

15.如图所示,已知A (4,0),B (0,4),从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上,最后经直线OB 反射后又回到P 点,则光线所经过的路程是________.

[答案] 210

[解析] 点P 关于直线AB 的对称点是(4,2),关于直线OB 的对称点是(-2,0),从而所求路

程为(4+2)2+22

=210.

三.解答题

16.设圆C 满足:①截y 轴所得弦长为2;②被x 轴分成两段圆弧,其弧长之比为3:1;

③圆心到直线:20l x y -=5

C 的方程. 解.设圆心为(,)a b ,半径为r ,由条件①:2

2

1r a =+,由条件②:2

2

2r b =,从而有:

2

2

21b a -=.

|2|15a b =?-=,解方程组2221|2|1b a a b ?-=?-=?

可得:11a b =??

=?或11

a b =-??

=-?,所以22

22r b ==.故所求圆的方程是22(1)(1)2x y -+-=或

22(1)(1)2x y +++=.

17. 已知ABC ?的顶点A 为(3,-1),AB 边上的中线所在直线方程为610590x y +-=,B

∠的平分线所在直线方程为4100x y -+=,求BC 边所在直线的方程. 解:设11(410,)B y y -,由AB 中点在610590x y +-=上, 可得:0592

1

10274611=--?+-?

y y ,y 1 = 5,所以(10,5)B . 设A 点关于4100x y -+=的对称点为'(',')A x y ,

则有)7,1(14

131********A x y y x '???????

?-=?-'+'=+-'?-+'.故:29650BC x y +-=.

18.已知过点()3,3M --的直线l 与圆224210x y y ++-=相交于,A B 两点,

(1)若弦AB

的长为l 的方程; (2)设弦AB 的中点为P ,求动点P 的轨迹方程.

解:(1)若直线l 的斜率不存在,则l 的方程为3x =-,此时有2

4120y y +-=,弦

()||||268A B AB y y =-=--=,所以不合题意.

故设直线l 的方程为()33y k x +=+,即330kx y k -+-=.

将圆的方程写成标准式得()2

2

225x y ++=,所以圆心()0,2-,半径5r =.

圆心()0,2-到直线l

的距离d =

,因为弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形,

所以

()2

2

231251

k k -+=+,即()2

30k +=,所以3k =-.

所求直线l 的方程为3120x y ++=.

(2)设(),P x y ,圆心()10,2O -,连接1O P ,则1O P ⊥AB .当0x ≠且3x ≠-时,

11O P AB

k k ?=-,又(3)

(3)

AB MP y k k x --==

--,

则有()()()23103y y x x ----?=----,化简得2

2

355222x y ????+++= ? ??

???......(1)

当0x =或3x =-时,P 点的坐标为()()()()0,2,0,3,3,2,3,3------都是方程(1)的解,

所以弦AB 中点P 的轨迹方程为22

355222x y ?

???+++= ? ??

???.

19.已知圆O 的方程为x 2+y 2

=1,直线l 1过点A (3,0),且与圆O 相切. (1)求直线l 1的方程;

(2)设圆O 与x 轴交于P ,Q 两点,M 是圆O 上异于P ,Q 的任意一点,过点A 且与x 轴垂直的直线为l 2,直线PM 交直线l 2于点P ′,直线QM 交直线l 2于点Q ′.求证:以P ′Q ′为直径的圆C 总过定点,并求出定点坐标

[解析] (1)∵直线l 1过点A (3,0),∴设直线l 1的方程为y =k (x -3),即kx -y -3k =0,

则圆心O (0,0)到直线l 1的距离为d =|3k |

k 2+1

=1,

解得k =±

24

. ∴直线l 1的方程为y =±

2

4(x -3). (2)在圆O 的方程x 2+y 2

=1中,令y =0得,x =±1,即P (-1,0),Q (1,0).又直线l 2过点A 与x 轴垂直,∴直线l 2的方程为x =3,设M (s ,t ),则直线PM 的方程为y =

t

s +1

(x +1).

解方程组????

?

x =3y =t

s +1

(x +1)得,P ′?

?

?

??

3,

4t s +1. 同理可得Q ′?

?

?

??

3,

2t s -1. ∴以P ′Q ′为直径的圆C 的方程为(x -3)(x -3)+?

?

???y -

4t s +1? ??

??

y -2t s -1=0,

又s 2+t 2=1,∴整理得(x 2+y 2

-6x +1)+6s -2t

y =0,

若圆C 经过定点,则y =0,从而有x 2

-6x +1=0, 解得x =3±22,

∴圆C 总经过的定点坐标为(3±22,0).

20.已知直线l :y=k (x+22)与圆O:4y x 2

2=+相交于A 、B

两点,O 是坐标原点,三角形ABO 的面积为S.

(1)试将S 表示成的函数S (k ),并求出它的定义域; (2)求S 的最大值,并求取得最大值时k 的值.

【解】::如图,

(1)直线l 议程 ),0(022≠=+-k k y kx 原点O 到l 的距离为2

122k

k oc +=

弦长2

2

2

2

18422K

K OC OA AB +-=-= (2)ABO 面积

2221)1(2421

K K K OC AB S +-=

=),0(11,0≠<<-∴>K K AB Θ )011(1)

1(24)(2

22≠<<-+-=

∴K k k

k k k S 且

(2) 令

.8

1

)43(224132241)

1(24)(222

22+--=-+-=+-=

∴t t t k k k k S

∴当t=

43

时, 33,31,431122

±===+k k k

时, 2max =S

,121,112<<=+t t k

21.已知定点A (0,1),B (0,-1),C (1,0).动点P 满足:2||k =?.

(1)求动点P 的轨迹方程,并说明方程表示的曲线类型;

(2)当2k =时,求|2|AP BP +u u u r u u u r

的最大、最小值.

解:(1)设动点坐标为(,)P x y ,则(,1)AP x y =-u u u r ,(,1)BP x y =+u u u r ,(1,)PC x y =-u u u r

.因为

2||k =?,所以

22221[(1)]x y k x y +-=-+.22(1)(1)210k x k y kx k -+-+--=.

若1k =,则方程为1x =,表示过点(1,0)且平行于y 轴的直线. 若1k ≠,则方程化为2221()()11k x y k k ++=--.表示以(,0)1

k

k -为圆心,以

1|1|k - 为半径的圆.

(2)当2k =时,方程化为2

2

(2)1x y -+=,

因为2(3,31)AP BP x y +=-u u u r u u u r ,所以|2|AP BP +=u u u r u u u r

又2

2

43x y x +=-,所以|2|AP BP +=u u u r u u u r

因为22

(2)1x y -+=,所以令2cos ,sin x y θθ=+=,

则36626)46[4646x y θ?--=++∈-+.

所以

|2|AP BP +u u u r u u u r 3=

3=.

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