江苏南京市、盐城市2012届高三年级第一次模拟考试(数学)[1]
南京市、盐城市2012届高三年级第一次模拟考试(数学)
南京市、盐城市2012届高三年级第一次模拟考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上. 1.已知集合{}{}1,3,1,2,A B m ==,若A B ⊆,则实数m = ▲ . 2.若(12)(,i i a bi a b -=+∈R ,i 为虚数单位),则ab = ▲ .3.若向量a (2,3),=b (,6)x =-,且∥ab ,则实数x = ▲ . 4.袋中装有大小相同且形状一样的四个球,四个球上分别标有“2”、“3”、“4”、“6”这四个数.现从中随机选取三个球,则所选的三个球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是 ▲ . 5.某校共有400名学生参加了一次数学竞赛,竞赛成绩的频率分布直方图如图所示(成绩分组为[0,10),[10,20),,[80,90),[90,100]⋅⋅⋅).则在本次竞赛中,得分不低于80分以上的人数为 ▲ .6.在ABC ∆中,已知sin :sin :sin 2:3:4A B C =,则cos C = ▲ .7.根据如图所示的伪代码,当输入a 的值为3时,最后输出的S 的值 为 ▲ .8.已知四边形ABCD 为梯形, ∥ABCD ,l 为空间一直线,则“l 垂直于两腰,AD BC ”是“l 垂直于两底,AB DC ”的 ▲ 条件(填写“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中的一个).9.函数2()(1)xf x x x e =++()x R ∈的单调减区间为 ▲ .10.已知1()21xf x a =--是定义在(,1][1,)-∞-+∞ 上的奇函数, 则()f x 的值域为 ▲ .11.记等比数列{}n a 的前n 项积为*()n T n N ∈,已知1120m m m a a a -+-=,且21128m T -=,则m = ▲ .12.若关于x 的方程1ln kx x +=有解,则实数k 的取值范围是 ▲ .第5题第7题13.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>恒过定点(1,2)A ,则椭圆的中心到准线的距离的最小值▲.14.设a b c x y ===+,若对任意的正实数,x y ,都存在以,,a b c 为三边长的三角形,则实数p 的取值范围是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．(本小题满分14分)已知函数21()cos cos ()2f x x x x x R =-+∈. (1)求函数()f x 的最小正周期； (2)求函数()f x 在区间[0,]4π上的函数值的取值范围.16．(本小题满分14分)如图,在四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 是菱形,PA PC =,E 为PB 的中点.(1)求证:∥PD面AEC ； (2)求证:平面AEC ⊥平面PDB .17．(本小题满分14分)在综合实践活动中,因制作一个工艺品的需要,某小组设计了如图所示的一个门(该图为轴对称图形),其中矩形ABCD 的三边AB 、BC 、CD 由长6分米的材料弯折而成,BC 边的长为2t 分米(312t ≤≤)；曲线AOD 拟从以下两种曲线中选择一种:曲线1C 是一段余弦曲线(在如图所示的平面直角坐标系中,其解析式为cos 1y x =-),此时记门的最高点O 到BC 边的距离为1()h t ；曲线2C 是一段抛物线,其焦点到准线的距离为98,此时记门的最高点O 到BC 边的距离为2()h t .(1)试分别求出函数1()h t 、2()h t 的表达式；(2)要使得点O 到BC 边的距离最大,应选用哪一种曲线?此时,最大值是多少?CBD PE 第16题第17题18．(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xoy 中,已知点A 为椭圆222199x y +=的右顶点, 点(1,0)D ,点,P B 在椭圆上, BP DA =. (1)求直线BD 的方程；(2)求直线BD 被过,,P A B 三点的圆C 截得的弦长；(3)是否存在分别以,PB PA 为弦的两个相外切的等圆?若存在,求出这两个圆的方程；若不存在,请说明理由.19．(本小题满分16分)对于函数()f x ,若存在实数对(b a ,),使得等式b x a f x a f =-⋅+)()(对定义域中的每一个x 都成立,则称函数()f x 是“(b a ,)型函数”.(1)判断函数()4xf x =是否为“(b a ,)型函数”，并说明理由；(2)已知函数()g x 是“(1,4)型函数”, 当[0,2]x ∈时,都有1()3g x ≤≤成立,且当[0,1]x ∈时,2()g x x =(1)1m x --+(0)m >,若,试求m 的取值范围.20．(本小题满分16分) 已知数列{}n a 满足*1(0,)a aa aN =>∈,1210n n a a a pa +++⋅⋅⋅+-=*(0,1,)p p n N ≠≠-∈. (1)求数列{}n a 的通项公式n a ；第18题(2)若对每一个正整数k ,若将123,,k k k a a a +++按从小到大的顺序排列后,此三项均能构成等差数列, 且公差为k d .①求p 的值及对应的数列{}k d ．②记k S 为数列{}k d 的前k 项和，问是否存在a ,使得30k S <对任意正整数k 恒成立?若存在,求出a 的最大值；若不存在,请说明理由． 南京市、盐城市2012届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题] 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.A.（选修4—1：几何证明选讲）如图，O 的半径OB 垂直于直径AC ，D 为AO 上一点，BD 的延长线交O 于点E ，过E 点的圆的切线交CA 的延长线于P .求证：2PD PA PC =⋅.B ．（选修4—2：矩阵与变换）已知矩阵1101,20201⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A B ，若矩阵AB 对应的变换把直线l ：20x y +-=变为直线'l ，求直线'l 的方程.C ．（选修4—4：坐标系与参数方程） 在极坐标系中，圆C的方程为)4πρθ=-，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为11x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），求直线l 被C 截得的弦AB 的长度.D.（选修4—5：不等式选讲） 已知x y z 、、111()x y z ++≤.[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.A BC P O · E D22．（本小题满分10分）如图所示,在棱长为2的正方体1AC 中,点P Q 、分别在棱BCC D 、上,满足11B Q D P ⊥,且PQ =(1)试确定P 、Q 两点的位置.(2)求二面角1C PQ A --大小的余弦值.23．（本小题满分10分）已知整数n ≥4,集合{}1,2,3,,M n =⋅⋅⋅的所有3个元素的子集记为312,,,nC A A A ⋅⋅⋅.(1)当5n =时,求集合3512,,,C A A A ⋅⋅⋅中所有元素之和.(2)设i m 为i A 中的最小元素,设n P =312nC m m m ++⋅⋅⋅+,试求n P .南京市、盐城市2012届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1.3 2. 2 3. －4 4.12 5.120 6.14- 7.21 8.充分不必要 9.(2,1)--(或闭区间) 10.3113[,)(,]2222-- 11.4m = 12.21(,]e-∞2 14. (1,3)二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．解: (1)因为1()2cos 222f x x x =-……………………………………………………………4分DCB 11第22题sin(2)6x π=- ……………………………………………………………………………………………6分故()f x 的最小正周期为π………………………………………………………………………………8分(2)当[0,]4x π∈时,2[,]663x πππ-∈-…………………………………………………………………10分 故所求的值域为1[2-………………………………………………………………………………14分 16．（1）证明:设AC BD O = ,连接EO,因为O,E 分别是BD,PB 的中点,所以∥PD EO …………4分而,PD AEC EO AEC ⊄⊂面面,所以∥PD面AEC …………………………………………………7分(2)连接PO,因为PA PC =,所以AC PO ⊥,又四边形ABCD 是菱形,所以AC BD ⊥…………10分而PO ⊂面PBD ,BD ⊂面PBD ,PO BD O = ,所以AC ⊥面PBD ……………………………13分 又AC ⊂面AEC ,所以面AEC ⊥面PBD ……………………………………………………………14分17．解:(1)对于曲线1C ,因为曲线AOD 的解析式为cos 1y x =-,所以点D 的坐标为(,cos 1)t t -……2分所以点O 到AD 的距离为1cos t -,而3AB DC t ==-,则13()(3)(1cos )cos 4(1)2h t t t t t t =-+-=--+≤≤…………………………………………………4分对于曲线2C ,因为抛物线的方程为294x y =-,即249y x =-,所以点D 的坐标为24(,)9t t -………2分所以点O到AD 的距离为249t ,而3AB DC t ==-,所以2243()3(1)92h t t t t =-+≤≤……………7分(2)因为1()1sin 0h t t '=-+<,所以1()h t 在3[1,]2上单调递减,所以当1t =时,1()h t 取得最大值 为3cos1-…………………………………………………………………………………………………9分又224939()()9816h t t =-+,而312t ≤≤,所以当32t =时,2()h t 取得最大值为52……………………11分 因为1cos1cos 32π>=,所以153cos1322-<-=,故选用曲线2C ,当32t =时,点E 到BC 边的距离最大,最大值为52分米……………………………14分18．解: (1)因为BP DA =,且A(3,0),所以BP DA ==2,而B,P 关于y 轴对称,所以点P 的横坐标为1, 从而得(P B -……………………………………………………………………………………3分 所以直线BD 的方程为10x y +-=………………………………………………………………………5分 (2)线段BP 的垂直平分线方程为x=0,线段AP 的垂直平分线方程为1y x =-, 所以圆C的圆心为(0,－1),且圆C的半径为r =……………………………………………………8分又圆心(0,－1)到直线BD 的距离为d =,所以直线BD 被圆C 截得的弦长为=……………………………………………………………………………………10分(3)假设存在这样的两个圆M 与圆N,其中PB 是圆M 的弦,PA 是圆N 的弦,则点M 一定在y 轴上,点N 一定在线段PC 的垂直平分线1y x =-上,当圆M 和圆N 是两个相外切的等圆时,一定有P,M,N 在一条直线上,且PM=PN …………………………………………………………………………………………12分设(0,)M b ,则(2,4)N b -,根据(2,4)N b -在直线1y x =-上, 解得3b =…………………………………………………………………………………………………14分所以(0,3),(2,1),M N PM PN ==,故存在这样的两个圆,且方程分别为22(3)2x y +-=,22(2)(1)2x y -+-=………………………………………………………………16分 19．解:(1)函数()xf x =是“(ba ,)型函数”…………………………………………………………2分因为由b x a f x a f =-⋅+)()(,得16ab =,所以存在这样的实数对,如1,16a b ==………………6分(2) 由题意得,(1)(1)4g x g x +-=,所以当[1,2]x ∈时, 4()(2)g x g x =-,其中2[0,1]x -∈,而[0,1]x ∈时,22()(1)110g x x m x x mx m =+-+=-++>,且其对称轴方程为2m x =, ① 当12m>,即2m >时,()g x 在[0,1]上的值域为[(1),(0)]g g ,即[2,1]m +,则()g x 在[0,2]上的值域为44[2,1][,2][,1]11m m m m +=+++ ,由题意得13411m m +≤⎧⎪⎨≥⎪+⎩,此时无解………………………11分②当1122m ≤≤,即12m ≤≤时,()g x 的值域为[(),(0)]2m g g ,即2[1,1]4m m m +-+,所以则()g x 在[0,2] 上的值域为2244[1,1][,]4114m m m m m m +-+++-,则由题意得2431413m m m ⎧≤⎪⎪+-⎨⎪+≤⎪⎩且2114411m m m ⎧+-≥⎪⎪⎨⎪≥⎪+⎩,解得12m ≤≤……………………………………………………………………13分 ③ 当1022m <≤,即01m <≤时,()g x 的值域为[(),(1)]2m g g ,即2[1,2]4m m +-,则()g x 在[0,2]上的值域为224[1,2][2,]414m m m m +-+- =224[1,]414m m m m +-+-, 则221144314m m m m ⎧+-≥⎪⎪⎨≤⎪⎪+-⎩,解得21m ≤≤. 综上所述,所求m 的取值范围是22m ≤≤…………………………………………………16分20．解:(Ⅰ)因为1210n n a a a pa +++⋅⋅⋅+-=,所以2n ≥时, 1210n n a a a pa -++⋅⋅⋅+-=,两式相减,得11(2)n n a p n a p++=≥,故数列{}n a 从第二项起是公比为1p p+的等比数列…………………………3分又当n=1时,120a pa -=,解得2aa p=,从而2(1)1()(2)n n a n a a p n p p -⎧=⎪=+⎨≥⎪⎩…………………………5分 (2)①由(1)得11123111(),(),()k k k k k k a p a p a p a a a p p p p p p-+++++++===,[1]若1k a +为等差中项,则1232k k k a a a +++=+,即11p p +=或12p p+=-,解得13p =-…………6分此时1123(2),3(2)k kk k a a a a -++=--=--,所以112||92k k k k d a a a -++=-=⋅……………………8分[2]若2k a +为等差中项,则2132k k k a a a +++=+,即11p p+=,此时无解………………………………9分[3]若3k a +为等差中项,则3122k k k a a a +++=+,即11p p +=或112p p +=-,解得23p =-, 此时11133131(),()2222k k k k a a a a -+++=--=--,所以11391||()82k k k k a d a a -++=-=⋅……………11分 综上所述,13p =-,192k k d a -=⋅或23p =-,191()82k k a d -=⋅…………………………………12分 ②[1]当13p =-时,9(21)k k S a =-,则由30k S <,得103(21)ka <-, 当3k ≥时, 1013(21)k<-,所以必定有1a <,所以不存在这样的最大正整数……………………14分 [2]当23p =-时,91(1())42k k a S =-,则由30k S <,得4013(1())2ka <-,因为404033(1())2k>-,所以13a =满足30k S <恒成立；但当14a =时,存在5k =,使得4013(1())2ka >-即30k S <, 所以此时满足题意的最大正整数13a =……………………………………………………………16分数学附加题部分21．A. 证明：连结OE ，因为PE 切⊙O 于点E ，所以∠OEP=900，所以∠OEB+∠BEP=900，因为OB=OE ，所以∠OBE=∠OEB ，因为OB⊥AC 于点O ，所以∠OBE+∠BDO=900……………5分 故∠BEP=∠BDO=∠PDE ，PD=PE ，又因为PE 切⊙O 于点E ，所以PE 2=PA·PC， 故PD 2=PA·PC………………………………………………………………………………………10分B. 易得11101122020102AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦……3分, 在直线l 上任取一点(,)P x y ''，经矩阵AB 变换为点(,)Q x y ，则11122022x x x y y y y ⎡⎤⎡⎤'''+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦'⎣⎦⎣⎦，∴122x x y y y ⎧''=+⎪⎨⎪'=⎩，即142x x y y y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩……………8分 代入20x y ''+-=中得12042yx y -+-=,∴直线l '的方程为480x y +-=…………………10分 C. 解：C 的方程化为4cos 4sin ρθθ=+，两边同乘以ρ，得24c o s 4s i n ρρθρθ=+由222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+== ,得22440x y x y +--=………………………………5分其圆心C 坐标为(2,2)，半径r =又直线l 的普通方程为20x y --=, ∴圆心C到直线l的距离d ==,∴弦长26AB ==……………………………10分 D.证明:由柯西不等式得2222222111111(111)()()x y z x y z++++≥++……………………………………5分则111x y z≥++,即111()x y z ++≤10分 22. 解:(1)以1,,AB AD AA 为正交基底建立空间直角坐标系A xyz -,设(0CP a a =≤≤ ,则(2,2,0),(2CQ P a Q =-,1(2,2)B Q =-,1(2,,2)D P a =--,∵11B Q D P ⊥,∴110BQ D P ⋅= ，∴240a -+=，解得1a =……………………………4分 ∴PC=1,CQ=1,即P Q 、分别为,BC CD 中点…………………………………………………………5分 (2)设平面1C P Q 的法向量为(,,)n a b c = ，∵1(1,1,0),(0,1,2)PQ PC =-= ,又10n PQ n PC ⋅=⋅= ，∴020a b b c -+=⎧⎨+=⎩，令1c =-，则2a b ==,(2,2,1)n =- ………………………………………………8分∵(0,0,2)k =- 为面APQ 的一个法向量,∴1cos ,3n k <>= ,而二面角为钝角,故余弦值为13-……10分 23.（1）解：当5n =时，含元素1的子集有246C =个，同理含2,3,4,5的子集也各有6个,于是所求元素之和为24(12345)61590C ++++⨯=⨯=……………………………………………5分（2）证明:不难得到12,i i m n m Z ≤≤-∈ ，并且以1为最小元素的子集有21n C -个，以2为最小元素的子集有22n C -个，以3为最小元素的子集有23n C -，…，以2n -为最小元素的子集有22C 个,则32222121232123(2)nn n n n C P m m m C C C n C ---=+++=⨯++++- ………………………………8分2222231(2)(3)(4)n n n C n C n C C -=-+-+-++ 2222222341(3)()(4)n C n C C n C C -=+-++-++2322223341(3)()(4)n C n C C n C C -=+-++-++ 23222441(3)(4)n C n C n C C -=+-+-++2332224441(4)()n C C n C C C -=++-+++ 23322451(4)n C C n C C -=++-++4333445n C C C C =++++ 41n C +=……………………………………………………………………10分。
江苏省南京市、盐城市2024届高三第一次模拟考试数学试题(含答案与解析)_8689
南京市、盐城市2024届高三年级第一次模拟考试数 学注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知全集U 与集合A ，B 的关系如图，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A. U A B ðB. U A B UðC. U B A ⋂ðD. U B A U ð2. 复数z 满足()21i 1i z -=+，（i 为虚数单位），则z =（ ）A.14B.12C.D. 13. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3215S a a ＝＋，54a ＝，则1a =（ ） A.14B. 14-C.12D. 12-4. 德国天文学家约翰尼斯·开普勒根据丹麦天文学家第谷·布拉赫等人的观测资料和星表，通过本人的观测和分析后，于1618年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律——绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长a 与公转周期T 有如下关系：32T a =，其中M 为太阳质量，G 为引力常量．已知火星的公转周期约为水星的8倍，则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的（ ） A. 2倍B. 4倍C. 6倍D. 8倍5. 关于函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0ω>，π02ϕ<<），有下列四个说法： ①()f x 的最大值为3②()f x 图像可由3sin y x =的图像平移得到 ③()f x 的图像上相邻两个对称中心间的距离为π2④()f x 的图像关于直线π3x =对称 若有且仅有一个说法是错误，则π2f ⎛⎫=⎪⎝⎭（ ） AB. 32-C.32D.6. 设O 为坐标原点，圆()()22:124M x y -+-=与x 轴切于点A，直线0x +=交圆M 于,B C 两点，其中B 在第二象限，则OA BC ⋅=（ ）A.B.C.D.7. 在棱长为()20a a >的正方体1111ABCD A B C D -中，点,M N 分别为棱AB ，11D C 的中点．已知动点P 在该正方体的表面上，且0PM PN ⋅=，则点P 的轨迹长度为（ ）A. 12aB. 12πaC. 24aD. 24πa8. 用{}min ,x y 表示x ，y 中的最小数．已知函数()e xxf x =，则()(){}min ,ln 2f x f x +的最大值为( ) A.22e B.1eC.ln 22D. ln2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知,x y ∈R ，且123x =，124y =，则( ) A. y x > B. 1x y +> C. 14xy <D.<10. 有n （n *∈N ，10n ≥）个编号分别为1，2，3，…，n 的盒子，1号盒子中有2个白球和1个黑球，其余盒子中均有1个白球和1个黑球．现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒子；…；以此类推，记“从i 号盒子取出的球是白球”为事件i A （1i =，2，3，…，n ），则（ ）的的.A. ()1213P A A =B. ()124|5P A A = C. ()1279P A A +=D. ()1012P A =11. 已知抛物线E ：24x y =的焦点为F ，过F 的直线1l 交E 于点()11,A x y ，()22,B x y ，E 在B 处的切线为2l ，过A 作与2l 平行的直线3l ，交E 于另一点()33,C x y ，记3l 与y 轴的交点为D ，则（ ） A. 121y y = B. 1323x x x +=C. AF DF =D. ABC 面积的最小值为16三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的常数项为______.13. 设双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)的一个焦点为F ，过F 作一条渐近线的垂线，垂足为E ．若线段EF 的中点在C 上，则C 的离心率为______． 14. 已知π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1sin sin 2αβ-=-，1cos cos 2αβ-=，则tan tan αβ+=______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. ABC 中，()sin sin B A A C -+=． （1）求B 的大小；（2）延长BC 至点M ，使得2BC CM =．若π4CAM ∠=，求BAC ∠的大小． 16. 如图，已知四棱台1111ABCD A B C D -的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面11AA D D ⊥平面ABCD，11A A D D ==，点P 是棱1DD 的中点，点Q 在棱BC 上．（1）若3BQ QC =，证明：PQ ∥平面11ABB A ；在（2）若二面角P QD C --，求BQ 的长． 17. 已知某种机器的电源电压U （单位：V ）服从正态分布()2220,20N ．其电压通常有3种状态：①不超过200V ；②在200V~240V 之间③超过240V ．在上述三种状态下，该机器生产的零件为不合格品的概率分别为0.15，0.05，0.2．（1）求该机器生产的零件为不合格品的概率；（2）从该机器生产的零件中随机抽取n （2n ≥）件，记其中恰有2件不合格品的概率为n p ，求n p 取得最大值时n 的值． 附：若()2~,Z Nμσ，取()0.68P Z μσμσ-<<+=，()220.95P Z μσμσ-<<+=．18. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ，右顶点为A ，直线l ：4x =与x 轴交于点M ，且AM a AF =， （1）求C 的方程；（2）B 为l 上的动点，过B 作C 的两条切线，分别交y 轴于点P ，Q ， ①证明：直线BP ，BF ，BQ 的斜率成等差数列；②⊙N 经过B ，P ，Q 三点，是否存在点B ，使得，90PNQ ∠=︒？若存在，求BM ；若不存在，请说明理由.19. 已知0a >，函数()sin cos 1f x ax x ax =+-，π04x <<． （1）若2a =，证明：()0f x >； （2）若()0f x >，求a 的取值范围； （3）设集合()1π{|cos,N }21nn n k P a a n k k *===∈+∑，对于正整数m ，集合{}|2m Q x m x m =<<，记m P Q 中元素个数为m b ，求数列{}m b 的通项公式．参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．的1. 已知全集U 与集合A ，B 的关系如图，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A. U A B ðB. U A B UðC. U B A ⋂ðD. U B A U ð【答案】A 【解析】【分析】利用韦恩图表示的集合运算，直接写出结果即可.【详解】观察韦恩图知，阴影部分在集合A 中，不在集合B 中，所以所求集合为U A B ð. 故选：A2. 复数z 满足()21i 1i z -=+，（i 为虚数单位），则z =（ ）A.14B.12C.D. 1【答案】C 【解析】【分析】根据复数的运算求出复数z ，再求模长即可求解. 【详解】由已知得：z ()()221i i 1i1i 11i 2i 2i 221i +++====-+---，所以，||z ==故选：C ．3. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3215S a a ＝＋，54a ＝，则1a =（ ） A.14B. 14-C.12D. 12-【答案】A 【解析】【分析】把等比数列{}n a 各项用基本量1a 和q 表示，根据已知条件列方程即可求解. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由3215S a a =+，得：123215a a a a a ++=+， 即：23114a a a q ==，所以，24q =，又54a =，所以，4222111()44a q a q a ==⨯=，所以，114a =. 故选：A.4. 德国天文学家约翰尼斯·开普勒根据丹麦天文学家第谷·布拉赫等人的观测资料和星表，通过本人的观测和分析后，于1618年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律——绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长a 与公转周期T有如下关系：32T a =，其中M 为太阳质量，G 为引力常量．已知火星的公转周期约为水星的8倍，则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的（ ） A. 2倍 B. 4倍C. 6倍D. 8倍【答案】B 【解析】【分析】根据已知的公式，由周期的倍数关系求出长半轴长的倍数关系即可.【详解】设火星的公转周期为1T ，长半轴长为1a ，火星的公转周期为2T ，长半轴长为2a ，则，128T T =，且32113222T T ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①②①②得： 311222(8T a T a ==， 所以，124a a =，即：124a a =. 故选：B ．5. 关于函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0ω>，π02ϕ<<），有下列四个说法： ①()f x 的最大值为3②()f x 的图像可由3sin y x =的图像平移得到 ③()f x 的图像上相邻两个对称中心间的距离为π2④()f x 的图像关于直线π3x =对称 若有且仅有一个说法是错误的，则π2f ⎛⎫=⎪⎝⎭（ ）A. B. 32-C.32D.【答案】D 【解析】【分析】根据题意，由条件可得②和③相互矛盾，然后分别验证①②④成立时与①③④成立时的结论，即可得到结果.【详解】说法②可得1ω=，说法③可得π22T =，则2ππT ω==，则2ω=，②和③相互矛盾；当①②④成立时，由题意3A =，1ω=，ππ2π32k ϕ+=+，k ∈Z ．因为π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故0k =，π6ϕ=，即()3sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭； 说法①③④成立时，由题意3A =，2ω=，2ππ2π32k ϕ+=+，k ∈Z ， 20,62k ππϕπ⎛⎫=-∉ ⎪⎝⎭，故不合题意． 故选：D ．6. 设O 为坐标原点，圆()()22:124M x y -+-=与x 轴切于点A ，直线0x +=交圆M 于,B C 两点，其中B 在第二象限，则OA BC ⋅=（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】先根据圆的弦长公式求出线段BC 的长度，再求出直线0x +=的倾斜角，即可求得OA与BC的的夹角，进而可得出答案.【详解】由题意()1,0A ，圆心()1,2M ，()1,2M 到直线0x -+=距离为12，所以BC ==直线0x +=π6，则OA 与BC 的的夹角为π6，所以cos ,1OA BC OA BC OA BC ⋅===故选：D ．7. 在棱长为()20a a >的正方体1111ABCD A B C D -中，点,M N 分别为棱AB ，11D C 的中点．已知动点P 在该正方体的表面上，且0PM PN ⋅=，则点P 的轨迹长度为（ ） A. 12a B. 12πaC. 24aD. 24πa【答案】B 【解析】【分析】根据条件得到P 点轨迹为以MN 为直径的球，进而得出点P 的轨迹是六个半径为a 的圆，即可求出结果.【详解】因为0PM PN ⋅=，故P 点轨迹为以MN 为直径的球，如图，易知MN 中点即为正方体中心O ，球心在每个面上的射影为面的中心，设O 在底面ABCD 上的射影为1O ，又正方体的棱长为2a ，所以MN =， 易知1OO a =，1O M a =，又动点P 在正方体的表面上运动， 所以点P 的轨迹是六个半径为a 的圆，轨迹长度为6212a a ⨯π=π，故选：B ．8. 用{}min ,x y 表示x ，y 中的最小数．已知函数()ex xf x =，则()(){}min ,ln 2f x f x +的最大值为( ) A.22e B.1eC.ln 22D. ln2【答案】C 【解析】【分析】利用导数研究()e xxf x =的单调性，作出其图象，根据图象平移作出()ln 2y f x =+的图象，数形结合即可得到答案． 【详解】∵()e x x f x =，∴()1e xxf x ='-， 根据导数易知()f x 在(),1∞-上单调递增，在()1,∞+上单调递减; 由题意令()()ln 2f x f x =+，即ln 2ln 2e ex x x x ++=，解得ln 2x =； 作出图象：则()(){}min ,ln 2f x f x +的最大值为两函数图象交点处函数值，为ln 22． 故选：C ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知,x y ∈R ，且123x =，124y =，则( ) A. y x >B. 1x y +>C. 14xy <D.<【答案】ACD 【解析】【分析】用对数表示x ，y ，利用对数函数的性质、对数的计算、基本不等式等即可逐项计算得到答案． 【详解】∵123x =，∴12log 3x =，同理12log 4y =， ∵12log y x =在0x >时递增，故y x >，故A 正确； ∵12log 121x y +==，∴B 错误；∵0x >，0y >，∴2124x y xy +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当x y =时等号成立，而x y <，故14xy <，∴C 正确；∴212x y +=++=+<<，∴D 正确．故选：ACD ．10. 有n （n *∈N ，10n ≥）个编号分别为1，2，3，…，n 的盒子，1号盒子中有2个白球和1个黑球，其余盒子中均有1个白球和1个黑球．现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒子；…；以此类推，记“从i 号盒子取出的球是白球”为事件i A （1i =，2，3，…，n ），则（ ）A. ()1213P A A = B. ()124|5P A A = C. ()1279P A A +=D. ()1012P A =【答案】BC 【解析】【分析】根据题意，由概率的公式即可判断AC ，由条件概率的公式即可判断B ，由()n P A 与()1n P A -的关系，即可得到()11123n n P A ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭，从而判断D 【详解】对A ，()12224339P A A =⨯=，所以A 错误； 对B ，()22211533339P A =⨯+⨯=，故()()()121224|5P A A P A A P A ==，所以B 正确； 对C ，()()()()12121225473999P A A P A P A P A A +=+-=+-=，所以C 正确；对D ，由题意：()()()1121133n n n P A P A P A --⎡⎤=+-⎣⎦，所以()()1111232n n P A P A -⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦， ()123P A =，()112112326P A -=-=，所以()11111126323n nn P A -⎛⎫⎛⎫-=⨯=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()11123n n P A ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭， 则()101011123P A ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭，所以D 错误． 故选：BC ．11. 已知抛物线E ：24x y =的焦点为F ，过F 的直线1l 交E 于点()11,A x y ，()22,B x y ，E 在B 处的切线为2l ，过A 作与2l 平行的直线3l ，交E 于另一点()33,C x y ，记3l 与y 轴的交点为D ，则（ ） A. 121y y = B. 1323x x x +=C. AF DF =D. ABC 面积的最小值为16【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，求出焦点坐标与准线方程，设直线1l 的方程为1y kx =+，联立抛物线方程，得到两根之积，从而求出121y y =；B 选项，求导，得到切线方程，联立抛物线方程，得到1322x x x +=；C 选项，求出()10,2D y +，11DF y =+，结合焦半径公式求出11AF y =+，C 正确；D 选项，作出辅助线，结合B 选项，得到2ABC ABM S S = ，表达出ABM S △，利用基本不等式求出最小值，从而得到ABC 面积最小值. 【详解】A 选项，由题意得()0,1F ，准线方程为1y =-， 直线1l 的斜率存在，故设直线1l 的方程为1y kx =+， 联立24x y =，得2440x k --=，124x x =-，故2212121116y y x x ==，A 正确； B 选项，12y x '=，直线2l 的斜率为212x ，故直线3l 的方程为()2112x y y x x -=-，即2122x y x y =++，联立24x y =，得()2212220x x x y --+=，故1322x x x +=， 所以B 错误；C 选项，由直线3l 的方程()2112x y y x x -=-，令0x =得()2112xy x y =-+， 又124x x =-，所以12y y =+，故()10,2D y +，故11DF y =+，又由焦半径公式得11AF y =+，所以C 正确； D 选项，不妨设12x x <，过B 向3l 作垂线交3l 于M ，根据B 选项知，1322x x x +=， 故2ABC ABM S S = ， 根据直线3l 的方程()2112x y y x x -=-， 当2x x =时，()22221222111122222x x x x x y x x y y y =-+=+-=++， 故2221,22x M x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭， 故222222221211212111614222244444x x x x x BM y y x x x ⎛⎫=++-=+-=++=+ ⎪⎝⎭，故()2212111111114144248ABMS x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3311141888x x ⎛⎫⎛⎫=+≥= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当114x x =，即12x =时，等号成立， 故ABC 的面积最小值为16，D 正确. 故选：ACD【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的常数项为______.【答案】15 【解析】【分析】利用二项式的展开式通项公式求解.【详解】展开式的通项公式为66316621C (1)C kk k k k kk T x x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令630k -=，解得2k =， 所以常数项为236C 15T ==， 故答案为：15.13. 设双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)的一个焦点为F ，过F 作一条渐近线的垂线，垂足为E ．若线段EF 的中点在C 上，则C 的离心率为______．【解析】【分析】由直线EF 与渐近线方程联立求出E 的坐标，代入双曲线标准方程即可求出离心率．【详解】直线EF 与渐近线方程联立得(),,b y x a a y x c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩解得2E a x c =，E ab y c =，∴EF 中点M 的坐标为22,22a c ab cc ⎛⎫+⎪⎝⎭， 又M 点在双曲线上，代入其标准方程，得()2222222144c a c a a c+-=， 化简得222c a =，∴22e =，e =．的． 14. 已知π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1sin sin 2αβ-=-，1cos cos 2αβ-=，则tan tan αβ+=______． 【答案】83##223【解析】【分析】变形后得到sin cos sin cos ααββ+=+，利用辅助角公式得到π2αβ+=，得到1sin cos 2αα-=-，两边平方后得到3sin cos 8αα=，利用同角三角函数关系求出18tan tan sin cos 3αβαα+==.【详解】由题可知sin sin cos cos αβαβ-=-+，所以sin cos sin cos ααββ+=+，ππ44αβ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ3πππ3π,,,244244αβ⎛⎫⎛⎫+∈+∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 又αβ≠，所以πππ44a β+++=，故π2αβ+=， 所以1sin cos 2sin sin αβαα-=--=，两边平方后得221sin 2sin cos cos 4αααα-+=，故3sin cos 8αα=，1sin cos 18tan tan tan tan cos sin sin cos 3αααβαααααα+=+=+==．故答案为：83四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 在ABC 中，()sin sin B A A C -=． （1）求B 的大小；（2）延长BC 至点M ，使得2BC CM =．若π4CAM ∠=，求BAC ∠的大小． 【答案】（1）π4B =； （2）π12BAC ∠=或5π12．【解析】【分析】（1）由()sin sin C A B =+，代入已知等式中，利用两角和与差的正弦公式化简得cos B =可得B 的大小；（2）设BC x =，BAC θ∠=，在ABC 和ACM △中，由正弦定理表示边角关系，化简求BAC ∠的大小.【小问1详解】在ABC 中，A B C π++=，所以()sin sin C A B =+．因为()sin sin B A A C -=，所以()()sin sin B A A A B -+=+，即sin cos cos sin sin cos cos sin B A B A A B A B A -=+2cos sin A B A =． 因为()0,πA ∈，所以sin 0A ≠，cos B =． 因为0πB <<，所以π4B =． 【小问2详解】法1：设BC x =，BAC θ∠=，则2CM x =．由（1）知π4B =，又π4CAM ∠=，所以在ABM 中，π2AMC θ∠=-．在ABC 中，由正弦定理得sin sin BC AC BAC B=∠，即πsin sin 4x ACθ=①． 在ACM △中，由正弦定理得sin sin CM ACCAM M =∠，即2ππsin sin 42x ACθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭②．①÷=，即12sin cos 2θθ=，所以1sin 22θ=．因为3π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3π20,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π26θ=或5π6，故π12θ=或5π12． 法2：设BC x =，则2CM x =，3BM x =． 因为π4CAM B ∠==，所以ACM BAM △△∽，因此AM CM BM AM=， 所以226AM BM CM x =⋅=，AM =．在ABM 中，由正弦定理得sin sin =∠BM AM BAM B，即3sin x BAM =∠，化简得sin BAM ∠=． 因为30,4BAM π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以π3BAM ∠=或2π3，π4BAC BAM ∠=∠-， 故π12BAC ∠=或5π12． 16. 如图，已知四棱台1111ABCD A B C D -的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面11AA D D ⊥平面ABCD，11A A D D ==，点P 是棱1DD 的中点，点Q 在棱BC 上．（1）若3BQ QC =，证明：PQ ∥平面11ABB A ； （2）若二面角P QD C --，求BQ 的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）1． 【解析】【分析】（1）取1AA 的中点M ，先证明四边形BMPQ 是平行四边形得到线线平行，再由线面平行性质定理可得；（2）法一：应用面面垂直性质定理得到线面垂直，建立空间直角坐标系，再利用共线条件设CQ CB λ=()01λ≤≤，利用向量加减法几何意义表示所需向量的坐标，再由法向量方法表示面面角，建立方程求解可得；法二：同法一建立空间直角坐标系后，直接设点Q 坐标()()4,,013Q t t -≤≤，进而表示所需向量坐标求解两平面的法向量及夹角，建立方程求解t ；法三：一作二证三求，设()04BQ x x =≤≤，利用面面垂直性质定理，作辅助线作角，先证明所作角即为二面角的平面角，再利用已知条件解三角形建立方程求解可得. 【小问1详解】证明：取1AA 的中点M ，连接MP ，MB ．在四棱台1111ABCD A B C D -中，四边形11A ADD 是梯形，112AD =，4=AD ， 又点M ，P 分别是棱1A A ，1D D 中点，所以MP AD ∥，且1132A D ADMP +==．在正方形ABCD 中，BC AD ∥，4BC =，又3BQ QC =，所以3BQ =． 从而MP BQ ∥且MP BQ =，所以四边形BMPQ 是平行四边形，所以PQ MB ∥． 又因为MB ⊂平面11ABB A ，PQ ⊄平面11ABB A ，所以PQ ∥平面11ABB A ；【小问2详解】在平面11AA D D 中，作1A O AD ⊥于O ．因为平面11AA D D ⊥平面ABCD ，平面11AA D D ⋂平面ABCD AD =，1A O AD ⊥，1A O ⊂平面11AA D D ，的所以1A O ⊥平面ABCD ．在正方形ABCD 中，过O 作AB 的平行线交BC 于点N ，则ON OD ⊥．以{}1,,ON OD OA为正交基底，建立空间直角坐标系O xyz -．因为四边形11AA D D 是等腰梯形，112AD =，4=AD ，所以1AO =，又11AA D D ==，所以14A O =．易得()4,1,0B -，()0,3,0D ，()4,3,0C ，()10,2,4D ，50,,22P ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()4,0,0DC = ，10,,22DP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，()0,4,0CB =-．法1：设()()0,4,001CQ CB λλλ==-≤≤ ，所以()4,4,0DQ DC CQ λ=+=-．设平面PDQ 的法向量为(),,m x y z = ，由00m DP m DO ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得1202440y z x y λ⎧-+=⎪⎨⎪-=⎩，取()4,4,1m λ= ， 另取平面DCQ 的一个法向量为()0,0,1n =．设二面角P QD C --的平面角为θ，由题意得cos θ==． 又cos cos ,m n m n m nθ⋅===⋅=解得34λ=±（舍负），因此3434CQ =⨯=，1BQ =． 所以当二面角P QDC --时，BQ 的长为1．法2：设()()4,,013Q t t -≤≤，所以()4,3,0DQ t =-．设平面PDQ 的法向量为(),,m x y z = ，由00m DP m DQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得12024(3)0y z x t y ⎧-+=⎪⎨⎪+-=⎩，取()3,4,1m t =- ，另取平面DCQ 的一个法向量为()0,0,1n =．设二面角P QD C --的平面角为θ，由题意得cos θ==． 又cos cos ,m n m n m nθ⋅===⋅=解得0=t 或6（舍），因此1BQ =． 所以当二面角P QDC --时，BQ 的长为1．法3：在平面11A ADD 中，作PH AD ⊥，垂足为H ．因为平面11A ADD ⊥平面ABCD ，平面11 A ADD 平面ABCD AD =，PH AD ⊥，PH ⊂平面11A ADD ，所以PH ⊥平面ABCD ，又DQ ⊂平面ABCD ，所以PH DQ ⊥． 在平面ABCD 中，作HG DQ ⊥，垂足为G ，连接PG ．因为PH DQ ⊥，HG DQ ⊥，PH HG H = ，PH ，HG ⊂平面PHG ， 所以DQ ⊥平面PHG ，又PG ⊂平面PHG ，所以DQ PG ⊥．因为HG DQ ⊥，PG DQ ⊥，所以PGH ∠是二面角P QD A --的平面角． 在四棱台1111ABCD A B CD -中，四边形11A ADD 是梯形，112AD =，4=AD ，11AA D D ==，点P 是棱1DD 的中点， 所以2PH =，12DH =．设()04BQ x x =≤≤，则4CQ x =-，DQ ==在QHD △中，1114222HG ⨯⨯=，从而HG =．因为二面角P QD C --的平面角与二面角P QD A --的平面角互补，且二面角P QD C --sin PGH ∠=tan 5PGH ∠=．所以在Rt PHG △中，5PHHG==，解得1x =或7x =（舍）．所以当二面角P QD C --时，BQ 的长为1． 17. 已知某种机器的电源电压U （单位：V ）服从正态分布()2220,20N ．其电压通常有3种状态：①不超过200V ；②在200V~240V 之间③超过240V ．在上述三种状态下，该机器生产的零件为不合格品的概率分别为0.15，0.05，0.2．（1）求该机器生产的零件为不合格品的概率；（2）从该机器生产的零件中随机抽取n （2n ≥）件，记其中恰有2件不合格品的概率为n p ，求n p 取得最大值时n 的值． 附：若()2~,Z Nμσ，取()0.68P Z μσμσ-<<+=，()220.95P Z μσμσ-<<+=．【答案】（1）0.09；（2）22n =. 【解析】【分析】（1）根据题意，由正态分布的概率公式代入计算，再由全概率公式，即可得到结果； （2）根据题意，由二项分布的概率公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】记电压“不超过200V”、“在200V~240V 之间”、“超过240V”分别为事件A ，B ，C ，“该机器生产的零件为不合格品”为事件D ．因为()2~220,20U N ，所以()()()110.682000.1622P Z P A P U μσμσ--<<+-=≤===，()()()2002400.68P B P U P Z μσμσ=<<=-<<+=，()()()110.682400.1622P Z P C P U μσμσ--<<+-=>===．所以()()()()()()()|||P D P A P D A P B P D B P C P D C =++0.160.150.680.050.160.20.09=⨯+⨯+⨯=，所以该机器生产的零件为不合格品的概率为0.09． 【小问2详解】从该机器生产的零件中随机抽取n 件，设不合格品件数为X ，则()~,0.09X B n ， 所以()2222C 0.910.09n n n p P X -===⋅⋅．由21211222C 0.910.0910.911C 0.910.091n n n n n n p n p n -++-⋅⋅+==⨯>⋅⋅-，解得19129n ≤<． 所以当221n ≤≤时，1n n p p +<； 当22n ≥时，1n n p p +>；所以22p 最大． 因此当22n =时，n p 最大．18. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ，右顶点为A ，直线l ：4x =与x 轴交于点M ，且AM a AF =， （1）求C 的方程；（2）B 为l 上动点，过B 作C 的两条切线，分别交y 轴于点P ，Q ， ①证明：直线BP ，BF ，BQ 的斜率成等差数列；②⊙N 经过B ，P ，Q 三点，是否存在点B ，使得，90PNQ ∠=︒？若存在，求BM ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=的（2）①证明见解析；②存在，BM =【解析】【分析】（1）先求出右顶点D 和M 的坐标，利用题中条件列等式，分类讨论计算得出椭圆的方程； （2）设直线的方程为()4y t k x -=-，将直线方程与椭圆方程联立，得出韦达定理，由题意，将韦达定理代入可出答案. 【小问1详解】由右焦点为()1,0F ，得1c =，因为AM a AF =，所以()41a a a -=-，若4a ≥，则()41a a a -=-，得2402a a -+=，无解，若4a <，则()41a a a -=-，得24a =，所以23b =，因此C 的方程22143x y +=.【小问2详解】设()4,B t ，易知过B 且与C 相切的直线斜率存在， 设为()4y t k x -=-，联立()224143y t k x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()()()222348444120k x k t k x t k ++-+--=，由()()()2222Δ64443444120k t k k t k ⎡⎤=--+--=⎣⎦，得2212830k tk t -+-=， 设两条切线BP ，BQ 的斜率分别为1k ，2k ，则1282123t t k k +==，212312t k k -=. ①设BF 斜率为3k ，则3413t tk ==-， 因为123223tk k k +==，所以BP ，BF ，BQ 的斜率成等差数列， 的②法1：在()14y t k x -=-中，令0x =，得14P y t k =-，所以()10,4P t k -， 同理，得()20,4Q t k -，所以PQ 的中垂线为()122y t k k =-+， 易得BP 中点为()12,2t k -，所以BP 的中垂线为()11122y x t k k =--+-， 联立12112()1(2)2y t k k y x t k k =-+⎧⎪⎨=--+-⎪⎩，解得()()121222,2N k k t k k +-+， 所以()122122,22NP k k k k =--- ，()121222,22NQ k k k k =---，要使0NP NQ ⋅= ，即()()2212124140k k k k +--=，整理得12121k k k k +=-，而12k k -===，所以23112t -+=，解得27t =，t =，因此BM = 故存在符合题意的点B ，使得0NP NQ ⋅=，此时BM =法2：在()14y t k x -=-中，令0x =，得14P y t k =-，因此()10,4P t k -， 同理可得()20,4Q t k -，所以PQ 的中垂线为()122y tk k=-+，因为BP 中点为()12,2t k -，所以BP 的中垂线为()11122y x t k k =--+-， 联立12112()1(2)2y t k k y x t k k =-+⎧⎪⎨=--+-⎪⎩，解得1222N x k k =+， 要使0NP NQ ⋅= ，则2PNQ π∠=，所以2N PQ x =，即1212222k k k k +=-，而12k k -===，所以23112t -+=，解得27t =，t =，因此BM = 故存在符合题意的点B ，使得0NP NQ ⋅=，此时BM =法3：要使90PNQ ∠=︒，即45PBQ ∠=︒或135︒， 从而1tan PBQ ∠=，又1212tan 1k k PBQ k k -∠=+，所以121211k k k k -=+，因为12k k -===，23112t -=+，解得27t =，t =，所以BM =故存在符合题意的点B ，使得0NP NQ ⋅=，此时BM =法4：要使90PNQ ∠=︒，即45PBQ ∠=︒或135︒，从而cos BP BQ PBQ BP BQ⋅∠==⋅ ，在()14y t k x -=-中，令0x =，得14P y t k =-，故()10,4P t k -， 同理可得()20,4Q t k -，因此()14,4BP k =-- ，()24,4BQ k =--，所以BP BQ BP BQ ⋅==⋅)121k k +=，即222222121212122241k k k k k k k k ++=+++， 整理得()22212121261k k k k k k ++=+，所以22223326112123t t t ⎛⎫--⎛⎫+⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得422630t t +-=，解得27t =或9-（舍去），因此t =，BM =故存在符合题意的点B ，使得0NP NQ ⋅=，此时BM =法5：要使90PNQ ∠=︒，即45PBQ ∠=︒或135︒，在()14y t k x -=-中，令0x =，得14P y t k =-，故()10,4P t k -，同理可得()20,4Q t k -， 由等面积法得1122B PBQ PQ x S BP BQ ⋅==⋅即121144422k k -⋅=⋅()22212121261k k k k k k +=++， 所以22222336131212t t t ⎛⎫--⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得422630t t +-=，解得27t =或9-（舍去），因此t =，BM =故存在符合题意的点B ，使得0NP NQ ⋅=，此时BM =【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式； （5）代入韦达定理求解.19. 已知0a >，函数()sin cos 1f x ax x ax =+-，π04x <<． （1）若2a =，证明：()0f x >； （2）若()0f x >，求a 的取值范围； （3）设集合()1π{|cos ,N }21nn n k P a a n k k *===∈+∑，对于正整数m ，集合{}|2mQ x m x m =<<，记m P Q 中元素的个数为m b ，求数列{}m b 的通项公式．【答案】（1）证明见解析；（2）(]0,2；（3）m b m =. 【解析】【分析】（1）通过构造函数，利用导数判断函数单调性，求最小值即可证明；（2）对a 的值分类讨论，利用导数判断函数单调性，求最小值，判断能否满足()0f x >；（3）利用（1）中结论，()()ππcos 12121k k k k >-++，通过放缩并用裂项相消法求()1πcos 21nk k k =+∑，有()1π1cos21nk n n k k =-<<+∑，可得m b m =【小问1详解】因为2a =，所以()()2sin cos 212sin sin f x x x x x x x =+-=-， π04x <<，2sin 0x >． 设()sin gx x x =-，π04x <<， 则()1cos 0g x x ='->，所以()g x 在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 所以()()00g x g >=， 因此()0f x >． 【小问2详解】函数()sin cos 1f x ax x ax =+-，π04x <<， 方法一：()()sin cos sin f x a x x x ax '=+-，当02a <≤时， 注意到π022ax x <≤<，故sin sin2ax x ≤， 因此()()()()sin cos sin2sin 1cos sin cos f x a x x x x a x x x x x '≥+-=-+-⎡⎤⎣⎦， 由（1）得sin 0x x ->，因此()0f x ¢>， 所以()f x 在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，从而()()00f x f >=，满足题意； 当2a >时，令()()()sin cos sin h x f x a x x x ax '==+-，()()()222cos sin cos 2cos cos h x a x x x a ax a a ax a ax a ⎛⎫'=--<-=- ⎪⎝⎭，.因为201a <<，所以存在0,2a θπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得2cos a a θ=， 则当(0,)x θ∈时，0,()ax a θ∈，()2220h x a a a ⎛⎫'<-=⎪⎝⎭，所以()f x '在()0,θ上单调递减， 从而()()00f x f ''<=，所以()f x 在()0,θ上单调递减，因此()()00f f θ<=，不合题意；综上，02a <≤． 方法二：()()sin cos sin f x a x x x ax '=+-，当02a <≤时，注意到π022ax x <≤<，故sin sin2ax x ≤， 因此()()()()sin cos sin2sin 1cos sin cos f x a x x x x a x x x x x '≥+-=-+-⎡⎤⎣⎦， 由（1）得sin 0x x ->，因此()0f x ¢>， 所以()f x 在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，从而()()00f x f >=，满足题意； 当2a >时，先证明当0x >时，2sin x x x -<. 令()2sin G x x x x =--，则()12cos G x x x '=--，令()12cos H x x x =--，则()2sin 0H x x '=-+<， 所以()G x '在()0,∞+上单调递减，有()()00G x G ''<=， 所以()G x 在()0,∞+上单调递减，有()()00G x G <=， 因此当0x >时，2sin x x x -<. 又由（1）得sin 0x x ->，此时()()()()()2222sin cos s 22in 2a x ax ax a a x a x ax a x a f x a x x x ax ⎡⎤⎡⎤⎡⎤<-+=--=--⎣⎦⎣⎦⎣⎦'=+-，则0π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∃且022a x a-<，当()00,x x ∈时，()0f x '<。
江苏省南京市盐城市高三第一次模拟考试数学试题
南京市、盐城市2024届高三年级第一次模拟考试 数 学 2024.03 注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U 与集合A ，B 的关系如图，则图中阴影部分所表示的集合为第1题图A ．A ∪C UB B ．A ∪C U B C ．B ∪C U AD ．B ∪C U A2．复数z 满足(1－i)2z ＝1＋i ，(i 为虚数单位)，则|z |＝A ．14B ．12C ．22D ．1 3．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋5a 1，a 5＝4，则a 1＝A ．14B ．－14C ．12D ．－124．德国天文学家约翰尼斯·开普勒根据丹麦天文学家第谷·布拉赫等人的观测资料和星表，通过本人的观测和分析后，于1618年在《宇宙和谐论)中提出了行星运动第三定律——绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长a 与公转周期T 有如下关系：T ＝2πGM·a 32，其中M 为太阳质量，G 为引力常量．已知火星的公转周期约为水星的8倍，则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的A ．2倍B ．4倍C ．6倍D ．8倍5．关于函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2)，有下列四个说法： ①f (x )的最大值为3②f (x )的图象可由y ＝3sin x 的图象平移得到③f (x )的图象上相邻两个对称中心间的距离为π2④f (x )的图象关于直线x ＝π3对称 若有且仅有一个说法是错误的，则f (π2)＝ A ．－332 B ．－32 C ．32 D ．3326．设O 为坐标原点，圆M ：(x －1)2＋(y －2)2＝4与x 轴切于点A ，直线x －3y ＋23＝0圆M 于B ，C 两点，其中B 在第二象限，则→OA ·→BC ＝A ． 154B ．354C ．152D ．352 7．在棱长为2a (a ＞0)的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M ，N 分别为棱AB ，D 1C 1的中点．已知动点P 在该正方体的表面上，且→PM ·→PN ＝0，则点P 的轨迹长度为A ．12aB ．12πaC ．24aD ．24πa8．用min{x ，y }表示x ，y 中的最小数．已知函数f (x )＝x ex ，则min{f (x )，f (x ＋ln2)}的最大值为A ．2e 2B ．1eC ．ln22D ．ln2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知x ，y ∈R ，且12x ＝3，12y ＝4，则A ．y ＞xB ．x ＋y ＞1C ．xy ＜14D ．x ＋y ＜2 10．有n (n ∈N *，n ≥10)个编号分别为1，2，3，…，n 的盒子，1号盒子中有2个白球和1个黑球，其余盒子中均有1个白球和1个黑球．现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒子；…；以此类推，记“从i 号盒子取出的球是白球”为事件A i (i ＝1，2，3，…，n )，则A ．P (A 1A 2)＝13B ．P (A 1|A 2)＝45C ．P (A 1＋A 2)＝79D ．P (A 10)＝1211．已知抛物线E ：x 2＝4y 的焦点为F ，过F 的直线l 1交E 于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，E 在B 处的切线为l 2，过A 作与l 2平行的直线l 3，交E 于另一点C (x 3，y 3)，记l 3与y 轴的交点为D ，则A ．y 1y 2＝1B ．x 1＋x 3＝3x 2C ．AF ＝DFD ．△ABC 面积的最小值为16三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．在(x －1x 2)6的展开式中，常数项为 ▲ ． 13．设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点为F ，过F 作一条渐近线的垂线，垂足为E ．若线段EF 的中点在C 上，则C 的离心率为 ▲ ．14．已知α，β∈(0，π2)，且sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12，则tan α＋tan β＝ ▲ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分13分)在△ABC 中，sin(B －A )＋2sin A ＝sin C ．(1)求B 的大小；(2)延长BC 至点M ，使得2→BC ＝→CM ．若∠CAM ＝π4，求∠BAC 的大小．16．(本小题满分15分)如图，已知四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面AA 1D 1D ⊥平面ABCD ，A 1A ＝D 1D ＝17，点P 是棱DD 1的中点，点Q 在棱BC 上．(1)若BQ ＝3QC ，证明：PQ ∥平面ABB 1A 1；(2)若二面角P －QD －C 的正弦值为52626，求BQ 的长．第16题图17．(本小题满分15分)已知某种机器的电源电压U(单位：V)服从正态分布N(220，202)．其电压通常有3种状态：①不超过200V；②在200V~240V之间③超过240V．在上述三种状态下，该机器生产的零件为不合格品的概率分别为0.15，0.05，0.2．(1)求该机器生产的零件为不合格品的概率；(2)从该机器生产的零件中随机抽取n(n≥2)件，记其中恰有2件不合格品的概率为p n，求p n取得最大值时n的值．附：若Z~N(μ，σ2)，取P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)＝0.68，P(μ－2σ＜Z＜μ＋2σ)＝0.95．18．(本小题满分17分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (1，0)，右顶点为A ，直线l ：x ＝4与x 轴交于点M ，且|AM |＝a |AF |．(1)求C 的方程；(2)B 为l 上的动点，过B 作C 的两条切线，分别交y 轴于点P ，Q ．①证明：直线BP ，BF ，BQ 的斜率成等差数列；②⊙N 经过B ，P ，Q 三点，是否存在点B ，使得，∠PNQ ＝90°？若存在，求|BM |；若不存在，请说明理由．19．(本小题满分17分)已知a ＞0，函数f (x )＝ax sin x ＋cos ax －1，0＜x ＜π4． (1)若a ＝2，证明：f (x )＞0；(2)若f (x )＞0，求a 的取值范围；(3)设集合P ＝{a n |a n ＝∑nk ＝1cos π2k (k ＋1)，n ∈N *}，对于正整数m ，集合Q m ＝{x |m ＜x ＜2m }，记P ∩Q m 中元素的个数为b m ，求数列{b m }的通项公式．。
南京市2012年高三第一次模拟考试(word版有答案)
南京市、盐城市2012届高三年级第一次模拟考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上. 1.已知集合{}{}1,3,1,2,A B m ==,若A B ⊆,则实数m = . 2.若(12)(,i i a bi a b -=+∈R ,i 为虚数单位),则ab = . 3.若向量a (2,3),=b (,6)x =-,且∥a b ,则实数x = . 4.袋中装有大小相同且形状一样的四个球,四个球上分别标有“2”、“3”、“4”、“6”这四个数.现从中随机选取三个球,则所选的三个球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是 .5.某校共有400名学生参加了一次数学竞赛,竞赛成绩的频率分布直方图如图所示(成绩分组为[0,10),[10,20),,[80,90),[90,100]⋅⋅⋅).则在本次竞赛中,得分不低于80分以上的人数为 .6.在ABC ∆中,已知sin :sin :sin 2:3:4A B C =,则cos C = .7.根据如图所示的伪代码,当输入a 的值为3时,最后输出的S 的值 为 .8.已知四边形ABCD 为梯形, ∥AB CD ,l 为空间一直线,则“l 垂直于两腰,AD BC ”是“l 垂直于两底,AB DC ”的 条件(填写“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中的一个).9.函数2()(1)xf x x x e =++()x R ∈的单调减区间为 . 10.已知1()21x f x a =--是定义在(,1][1,)-∞-+∞上的奇函数, 则()f x 的值域为 . 11.记等比数列{}n a 的前n 项积为*()n T n N ∈,已知1120m m m a a a -+-=,且21128m T -=,则m = .12.若关于x 的方程1ln kx x +=有解,则实数k 的取值范围是 .13.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>恒过定点(1,2)A ,则椭圆的中心到准线的距离的最小值 .14.设a b c x y ===+,若对任意的正实数,x y ,都存在以,,a b c 为三边长的三角形,则实数p 的取值范围是 .二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答第5题第7题题纸的指定区域内. 15．(本小题满分14分)已知函数21()cos cos ()2f x x x x x R =-+∈. (1)求函数()f x 的最小正周期； (2)求函数()f x 在区间[0,]4π上的函数值的取值范围.16．(本小题满分14分)如图,在四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 是菱形,PA PC =,E 为PB 的中点. (1)求证:∥PD 面AEC ；(2)求证:平面AEC ⊥平面PDB . 17．(本小题满分14分)在综合实践活动中,因制作一个工艺品的需要,某小组设计了如图所示的一个门(该图为轴对称图形),其中矩形ABCD 的三边AB 、BC 、CD 由长6分米的材料弯折而成,BC 边的长为2t 分米(312t ≤≤)；曲线AO拟从以下两种曲线中选择一种:曲线1C 是一段余弦曲线(在如图所示的平面直角坐标系中,其解析式为cos 1y x =-),此时记门的最高点O 到BC 边的距离为1()h t ；曲线2C 是一段抛物线,其焦点到准线的距离为98,此时记门的最高点O 到BC 边的距离为2()h t . (1)试分别求出函数1()h t 、2()h t 的表达式；(2)要使得点O 到BC 边的距离最大,应选用哪一种曲线?此时,最大值是多少?18．(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xoy 中,已知点A 为椭圆222199x y +=的右顶点, 点(1,0)D ,点,P B 在椭圆上, BP DA =. (1)求直线BD 的方程；(2)求直线BD 被过,,P A B 三点的圆C 截得的弦长；(3)是否存在分别以,PB PA 为弦的两个相外切的等圆?若存在,求出这两个圆的方程；若不存在,请说明理由. 19．(本小题满分16分)对于函数()f x ,若存在实数对(b a ,),使得等式b x a f x a f =-⋅+)()(对定义域中的每一个x 都成立,则称函数()f x 是“(b a ,)型函数”.(1)判断函数()4xf x =是否为“(b a ,)型函数”，并说明理由； (2)已知函数()g x 是“(1,4)型函数”, 当[0,2]x ∈时,都有1()3g x ≤≤成立,且当[0,1]x ∈时,2()g x x =(1)1m x --+(0)m >,若,试求m 的取值范围.20．(本小题满分16分)已知数列{}n a 满足*1(0,)a a a a N =>∈,1210n n a a a pa +++⋅⋅⋅+-=*(0,1,)p p n N ≠≠-∈.(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)若对每一个正整数k ,若将123,,k k k a a a +++按从小到大的顺序排列后,此三项均能构成等差数列, 且公差为k d .①求p 的值及对应的数列{}k d ．②记k S 为数列{}k d 的前k 项和，问是否存在a ,使得30k S <对任意正整数k 恒成立?若存在,求出a 的最C BDP E 第16题第18题大值；若不存在,请说明理由．南京市、盐城市2012届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1.32. 23. －44.12 5.120 6.14- 7.21 8.充分不必要 9.(2,1)--(或闭区间)10.3113[,)(,]2222-- 11.4m = 12.21(,]e-∞2 14. (1,3)二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．解: (1)因为1()2cos 222f x x x =-……………………………………………………………4分 sin(2)6x π=-……………………………………………………………………………………………6分故()f x 的最小正周期为π………………………………………………………………………………8分 (2)当[0,]4x π∈时,2[,]663x πππ-∈-…………………………………………………………………10分故所求的值域为1[2-………………………………………………………………………………14分 16．（1）证明:设AC BD O =,连接EO,因为O,E 分别是BD,PB 的中点,所以∥PD EO …………4分 而,PD AEC EO AEC ⊄⊂面面,所以∥PD 面AEC …………………………………………………7分 (2)连接PO,因为PA PC =,所以AC PO ⊥,又四边形ABCD 是菱形,所以AC BD ⊥…………10分 而PO ⊂面PBD ,BD ⊂面PBD ,PO BD O =,所以AC ⊥面PBD ……………………………13分 又AC ⊂面AEC ,所以面AEC ⊥面PBD ……………………………………………………………14分 17．解:(1)对于曲线1C ,因为曲线AOD 的解析式为cos 1y x =-,所以点D 的坐标为(,cos 1)t t -……2分 所以点O 到AD 的距离为1cos t -,而3AB DC t ==-,则13()(3)(1cos )cos 4(1)2h t t t t t t =-+-=--+≤≤…………………………………………………4分对于曲线2C ,因为抛物线的方程为294x y =-,即249y x =-,所以点D 的坐标为24(,)9t t -………2分所以点O 到AD 的距离为249t ,而3AB DC t ==-,所以2243()3(1)92h t t t t =-+≤≤……………7分(2)因为1()1sin 0h t t '=-+<,所以1()h t 在3[1,]2上单调递减,所以当1t =时,1()h t 取得最大值为3cos1-…………………………………………………………………………………………………9分又224939()()9816h t t =-+,而312t ≤≤,所以当32t =时,2()h t 取得最大值为52……………………11分因为1cos1cos 32π>=,所以153cos1322-<-=,故选用曲线2C ,当32t =时,点E 到BC 边的距离最大,最大值为52分米……………………………14分18．解: (1)因为BP DA =,且A(3,0),所以BP DA ==2,而B,P 关于y 轴对称,所以点P 的横坐标为1,从而得(1,2),(1,2)P B -……………………………………………………………………………………3分 所以直线BD 的方程为10x y +-=………………………………………………………………………5分 (2)线段BP 的垂直平分线方程为x=0,线段AP 的垂直平分线方程为1y x =-,所以圆C 的圆心为(0,－1),且圆C 的半径为r =8分又圆心(0,－1)到直线BD 的距离为d =所以直线BD 被圆C 截得的弦长为=……………………………………………………………………………………10分(3)假设存在这样的两个圆M 与圆N,其中PB 是圆M 的弦,PA 是圆N 的弦,则点M 一定在y 轴上,点N 一定在线段PC 的垂直平分线1y x =-上,当圆M 和圆N 是两个相外切的等圆时,一定有P,M,N 在一条直线上,且PM=PN …………………………………………………………………………………………12分 设(0,)M b ,则(2,4)N b -,根据(2,4)N b -在直线1y x =-上,解得3b =…………………………………………………………………………………………………14分所以(0,3),(2,1),M N PM PN ==,故存在这样的两个圆,且方程分别为22(3)2x y +-=,22(2)(1)2x y -+-=………………………………………………………………16分19．解: (1)函数()4xf x =是“(b a ,)型函数”…………………………………………………………2分 因为由b x a f x a f =-⋅+)()(,得16ab =,所以存在这样的实数对,如1,16a b ==………………6分 (2) 由题意得,(1)(1)4g x g x +-=,所以当[1,2]x ∈时, 4()(2)g x g x =-,其中2[0,1]x -∈,而[0,1]x ∈时,22()(1)110g x x m x x mx m =+-+=-++>,且其对称轴方程为2m x =,① 当12m>,即2m >时,()g x 在[0,1]上的值域为[(1),(0)]g g ,即[2,1]m +,则()g x 在[0,2]上的值域为44[2,1][,2][,1]11m m m m +=+++,由题意得13411m m +≤⎧⎪⎨≥⎪+⎩,此时无解………………………11分 ②当1122m ≤≤,即12m ≤≤时,()g x 的值域为[(),(0)]2mg g ,即2[1,1]4m m m +-+,所以则()g x 在[0,2] 上的值域为2244[1,1][,]4114m m m m m m +-+++-,则由题意得2431413m m m ⎧≤⎪⎪+-⎨⎪+≤⎪⎩且2114411m m m ⎧+-≥⎪⎪⎨⎪≥⎪+⎩,解得12m ≤≤……………………………………………………………………13分③ 当1022m <≤,即01m <≤时,()g x 的值域为[(),(1)]2mg g ,即2[1,2]4m m +-,则()g x 在[0,2]上的值域为224[1,2][2,]414m m m m +-+-=224[1,]414m m m m +-+-, 则221144314m m m m ⎧+-≥⎪⎪⎨≤⎪⎪+-⎩,解得213m -≤≤. 综上所述,所求m 的取值范围是223m -≤≤…………………………………………………16分20．解:(Ⅰ)因为1210n n a a a pa +++⋅⋅⋅+-=,所以2n ≥时, 1210n n a a a pa -++⋅⋅⋅+-=,两式相减,得11(2)n n a p n a p ++=≥,故数列{}n a 从第二项起是公比为1p p+的等比数列…………………………3分 又当n=1时,120a pa -=,解得2a a p =,从而2(1)1()(2)n n a n a a p n p p -⎧=⎪=+⎨≥⎪⎩…………………………5分 (2)①由(1)得11123111(),(),()k k k k k k a p a p a p a a a p p p p p p-+++++++===,[1]若1k a +为等差中项,则1232k k k a a a +++=+,即11p p +=或12p p +=-,解得13p =-…………6分 此时1123(2),3(2)k k k k a a a a -++=--=--,所以112||92k k k k d a a a -++=-=⋅……………………8分[2]若2k a +为等差中项,则2132k k k a a a +++=+,即11p p +=,此时无解………………………………9分 [3]若3k a +为等差中项,则3122k k k a a a +++=+,即11p p +=或112p p +=-,解得23p =-, 此时11133131(),()2222k k k k a a a a -+++=--=--,所以11391||()82k k k k a d a a -++=-=⋅……………11分综上所述,13p =-, 192k k d a -=⋅或23p =-,191()82k k a d -=⋅…………………………………12分②[1]当13p =-时,9(21)kk S a =-,则由30k S <,得103(21)ka <-, 当3k ≥时, 1013(21)k<-,所以必定有1a <,所以不存在这样的最大正整数……………………14分 [2]当23p =-时,91(1())42k k a S =-,则由30k S <,得4013(1())2k a <-,因为4040133(1())2k >-,所以13a =满足30k S <恒成立；但当14a =时,存在5k =,使得4013(1())2ka >-即30k S <, 所以此时满足题意的最大正整数13a =……………………………………………………………16分。
南京市高三第一次模拟考试(word版有答案)
南京市、盐城市2012届高三年级第一次模拟考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上. 1.已知集合{}{}1,3,1,2,A B m ==,若A B ⊆,则实数m = . 2.若(12)(,i i a bi a b -=+∈R ,i 为虚数单位),则ab = . 3.若向量a (2,3),=b (,6)x =-,且∥a b ,则实数x = . 4.袋中装有大小相同且形状一样的四个球,四个球上分别标有“2”、“3”、“4”、“6”这四个数.现从中随机选取三个球,则所选的三个球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是 .5.某校共有400名学生参加了一次数学竞赛,竞赛成绩的频率分布直方图如图所示(成绩分组为[0,10),[10,20),,[80,90),[90,100]⋅⋅⋅).则在本次竞赛中,得分不低于80分以上的人数为 .6.在ABC ∆中,已知sin :sin :sin 2:3:4A B C =,则cos C = .7.根据如图所示的伪代码,当输入a 的值为3时,最后输出的S 的值 为 .8.已知四边形ABCD 为梯形, ∥AB CD ,l 为空间一直线,则“l 垂直于两腰,AD BC ”是“l 垂直于两底,AB DC ”的 条件(填写“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中的一个).9.函数2()(1)xf x x x e =++()x R ∈的单调减区间为 . 10.已知1()21x f x a =--是定义在(,1][1,)-∞-+∞上的奇函数, 则()f x 的值域为 .11.记等比数列{}n a 的前n 项积为*()n T n N ∈,已知1120m m m a a a -+-=,且21128m T -=,则m = .12.若关于x 的方程1ln kx x +=有解,则实数k 的取值范围是 .13.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>恒过定点(1,2)A ,则椭圆的中心到准线的距离的最小值 .第5题第7题14.设a b c x y ===+,若对任意的正实数,x y ,都存在以,,a b c 为三边长的三角形,则实数p 的取值范围是 .二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．(本小题满分14分)已知函数21()cos cos ()2f x x x x x R =-+∈. (1)求函数()f x 的最小正周期； (2)求函数()f x 在区间[0,]4π上的函数值的取值范围.16．(本小题满分14分)如图,在四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 是菱形,PA PC =,E 为PB 的中点. (1)求证:∥PD 面AEC ；(2)求证:平面AEC ⊥平面PDB .CA B D P E 第16题在综合实践活动中,因制作一个工艺品的需要,某小组设计了如图所示的一个门(该图为轴对称图形),其中矩形ABCD 的三边AB 、BC 、CD 由长6分米的材料弯折而成,BC 边的长为2t 分米(312t ≤≤)；曲线AOD 拟从以下两种曲线中选择一种:曲线1C 是一段余弦曲线(在如图所示的平面直角坐标系中,其解析式为cos 1y x =-),此时记门的最高点O 到BC 边的距离为1()h t ；曲线2C 是一段抛物线,其焦点到准线的距离为98,此时记门的最高点O 到BC 边的距离为2()h t . (1)试分别求出函数1()h t 、2()h t 的表达式；(2)要使得点O 到BC 边的距离最大,应选用哪一种曲线?此时,最大值是多少?第17题如图,在平面直角坐标系xoy中,已知点A为椭圆222199x y+=的右顶点, 点(1,0)D,点,P B在椭圆上,BP DA=.(1)求直线BD的方程；(2)求直线BD被过,,P A B三点的圆C截得的弦长；(3)是否存在分别以,PB PA为弦的两个相外切的等圆?若存在,求出这两个圆的方程；若不存在,请说明理由.第18题对于函数()f x ,若存在实数对(b a ,),使得等式b x a f x a f =-⋅+)()(对定义域中的每一个x 都成立,则称函数()f x 是“(b a ,)型函数”.(1)判断函数()4xf x =是否为“(b a ,)型函数”，并说明理由；(2)已知函数()g x 是“(1,4)型函数”, 当[0,2]x ∈时,都有1()3g x ≤≤成立,且当[0,1]x ∈时,2()g x x =(1)1m x --+(0)m >,若,试求m 的取值范围.20．(本小题满分16分)已知数列{}n a 满足*1(0,)a a a a N =>∈,1210n n a a a pa +++⋅⋅⋅+-=*(0,1,)p p n N ≠≠-∈.(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)若对每一个正整数k ,若将123,,k k k a a a +++按从小到大的顺序排列后,此三项均能构成等差数列, 且公差为k d .①求p 的值及对应的数列{}k d ．②记k S 为数列{}k d 的前k 项和，问是否存在a ,使得30k S <对任意正整数k 恒成立?若存在,求出a 的最大值；若不存在,请说明理由．南京市、盐城市2012届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1.32. 23. －44.12 5.120 6.14- 7.21 8.充分不必要 9.(2,1)--(或闭区间)10.3113[,)(,]2222-- 11.4m = 12.21(,]e-∞2 14. (1,3)二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．解: (1)因为1()2cos 222f x x x =-……………………………………………………………4分 sin(2)6x π=-……………………………………………………………………………………………6分故()f x 的最小正周期为π………………………………………………………………………………8分 (2)当[0,]4x π∈时,2[,]663x πππ-∈-…………………………………………………………………10分故所求的值域为1[,22-………………………………………………………………………………14分 16．（1）证明:设AC BD O =,连接EO,因为O,E 分别是BD,PB 的中点,所以∥PD EO …………4分 而,PD AEC EO AEC ⊄⊂面面,所以∥PD 面AEC …………………………………………………7分 (2)连接PO,因为PA PC =,所以AC PO ⊥,又四边形ABCD 是菱形,所以AC BD ⊥…………10分 而PO ⊂面PBD ,BD ⊂面PBD ,PO BD O =,所以AC ⊥面PBD ……………………………13分 又AC ⊂面AEC ,所以面AEC ⊥面PBD ……………………………………………………………14分 17．解:(1)对于曲线1C ,因为曲线AOD 的解析式为cos 1y x =-,所以点D 的坐标为(,cos 1)t t -……2分 所以点O 到AD 的距离为1cos t -,而3AB DC t ==-,则13()(3)(1cos )cos 4(1)2h t t t t t t =-+-=--+≤≤…………………………………………………4分对于曲线2C ,因为抛物线的方程为294x y =-,即249y x =-,所以点D 的坐标为24(,)9t t -………2分所以点O 到AD 的距离为249t ,而3AB DC t ==-,所以2243()3(1)92h t t t t =-+≤≤……………7分(2)因为1()1sin 0h t t '=-+<,所以1()h t 在3[1,]2上单调递减,所以当1t =时,1()h t 取得最大值为3cos1-…………………………………………………………………………………………………9分又224939()()9816h t t =-+,而312t ≤≤,所以当32t =时,2()h t 取得最大值为52……………………11分因为1cos1cos 32π>=,所以153cos1322-<-=,故选用曲线2C ,当32t =时,点E 到BC 边的距离最大,最大值为52分米……………………………14分18．解: (1)因为BP DA =,且A(3,0),所以BP DA ==2,而B,P 关于y 轴对称,所以点P 的横坐标为1,从而得(1,2),(1,2)P B -……………………………………………………………………………………3分 所以直线BD 的方程为10x y +-=………………………………………………………………………5分(2)线段BP 的垂直平分线方程为x=0,线段AP 的垂直平分线方程为1y x =-,所以圆C 的圆心为(0,－1),且圆C的半径为r =……………………………………………………8分 又圆心(0,－1)到直线BD的距离为d =所以直线BD 被圆C 截得的弦长为= ……………………………………………………………………………………10分 (3)假设存在这样的两个圆M 与圆N,其中PB 是圆M 的弦,PA 是圆N 的弦,则点M 一定在y 轴上,点N 一定在线段PC 的垂直平分线1y x =-上,当圆M 和圆N 是两个相外切的等圆时,一定有P,M,N 在一条直线上,且PM=PN …………………………………………………………………………………………12分 设(0,)M b ,则(2,4)N b -,根据(2,4)N b -在直线1y x =-上,解得3b =…………………………………………………………………………………………………14分所以(0,3),(2,1),M N PM PN ==,故存在这样的两个圆,且方程分别为22(3)2x y +-=,22(2)(1)2x y -+-=………………………………………………………………16分19．解: (1)函数()4xf x =是“(b a ,)型函数”…………………………………………………………2分 因为由b x a f x a f =-⋅+)()(,得16ab =,所以存在这样的实数对,如1,16a b ==………………6分 (2) 由题意得,(1)(1)4g x g x +-=,所以当[1,2]x ∈时, 4()(2)g x g x =-,其中2[0,1]x -∈,而[0,1]x ∈时,22()(1)110g x x m x x mx m =+-+=-++>,且其对称轴方程为2m x =,① 当12m>,即2m >时,()g x 在[0,1]上的值域为[(1),(0)]g g ,即[2,1]m +,则()g x 在[0,2]上的值域为44[2,1][,2][,1]11m m m m +=+++,由题意得13411m m +≤⎧⎪⎨≥⎪+⎩,此时无解………………………11分②当1122m ≤≤,即12m ≤≤时,()g x 的值域为[(),(0)]2mg g ,即2[1,1]4m m m +-+,所以则()g x 在[0,2] 上的值域为2244[1,1][,]4114m m m m m m +-+++-,则由题意得2431413m m m ⎧≤⎪⎪+-⎨⎪+≤⎪⎩且2114411m m m ⎧+-≥⎪⎪⎨⎪≥⎪+⎩,解得12m ≤≤……………………………………………………………………13分 ③ 当1022m <≤,即01m <≤时,()g x 的值域为[(),(1)]2mg g ,即2[1,2]4m m +-,则()g x 在[0,2]上的值域为224[1,2][2,]414m m m m +-+-=224[1,]414m m m m +-+-, 则221144314m m m m ⎧+-≥⎪⎪⎨≤⎪⎪+-⎩,解得21m ≤≤.综上所述,所求m的取值范围是223m -≤≤…………………………………………………16分 20．解:(Ⅰ)因为1210n n a a a pa +++⋅⋅⋅+-=,所以2n ≥时, 1210n n a a a pa -++⋅⋅⋅+-=,两式相减,得11(2)n n a p n a p ++=≥,故数列{}n a 从第二项起是公比为1p p+的等比数列 (3)分又当n=1时,120a pa -=,解得2a a p =,从而2(1)1()(2)n n a n a a p n p p -⎧=⎪=+⎨≥⎪⎩…………………………5分(2)①由(1)得11123111(),(),()k k k k k k a p a p a p a a a p p p p p p-+++++++===, [1]若1k a +为等差中项,则1232k k k a a a +++=+,即11p p +=或12p p +=-,解得13p =-…………6分 此时1123(2),3(2)k k k k a a a a -++=--=--,所以112||92k k k k d a a a -++=-=⋅……………………8分[2]若2k a +为等差中项,则2132k k k a a a +++=+,即11p p +=,此时无解………………………………9分 [3]若3k a +为等差中项,则3122k k k a a a +++=+,即11p p +=或112p p +=-,解得23p =-, 此时11133131(),()2222k k k k a a a a -+++=--=--,所以11391||()82k k k k a d a a -++=-=⋅……………11分综上所述,13p =-, 192k k d a -=⋅或23p =-,191()82k k a d -=⋅…………………………………12分②[1]当13p =-时,9(21)kk S a =-,则由30k S <,得103(21)ka <-, 当3k ≥时,1013(21)k <-,所以必定有1a <,所以不存在这样的最大正整数……………………14分 [2]当23p =-时,91(1())42k k a S =-,则由30k S <,得4013(1())2k a <-,因为4040133(1())2k >-,所以13a =满足30k S <恒成立；但当14a =时,存在5k =,使得4013(1())2ka >-即30k S <, 所以此时满足题意的最大正整数13a =……………………………………………………………16分。
江苏省2012年高考各地模拟试卷--数学
15．（本题满分14分）
已知向量a，b满足|a|=2，|b|=1，|a－b|=2．
（1）求a·b的值；
（2）求|a+b|的值．
16．（本题满分14分）
如图，已知□ABCD，直线BC⊥平面ABE，F为CE的中点．
9．已知双曲线c： (a>0，b>o)的右顶点、右焦点分别为A，F，它的左准线与z轴的交点为B，若A是线段BF的中点，则双曲线C的离心率为__▲___·
10．已知正数数列{an)对任意 ．若a2=4，则a9=__▲___
11．已知l,m是两条不同的直线，a，β是两个不同的平面．下列命题：
其中真命题是_ ___▲___ (写出所有真命题的序号)．
解不等式|2x—4|<4一|x|
必做题第22题、第23题，每题l0分，共计20分．请在答题纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．如图，在直三棱柱。BC-A1B1Cl中， ＝900， =300，BC=1，A，A= ，M是CC1的中点．
(1)求证：A1B1 AM；
(2)求二面角B—AM—C的平面焦的大小．
B．选修4—2：矩阵与变换
在平面直角坐标系xOy，中，直线l：x+y+2=0在矩阵M=对应的变换作用下得到直线m：x-y-4=0,求实数a,b的值．
C．选修444：坐标系与参数方程
在极坐标系中，蹰C：p=lOcosθ和直线l：3pcosθ-4psinθ-30=0相交于A，B两点，求线段AB的长．
D．选修4—5：不等式选讲
3．已知实数x，y满足
则Z＝2x+y的最小值是___▲___
南京市2012届高三第一次调研数学试卷及答案(苏教版)
南京市2012届高三第一次调研测试数 学2011.09注意事项：1. 本试卷共160分.考试用时120分钟.2. 答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题纸上 .考试结束后，交回答题纸.参考公式： 一组数据的方差S 2- ［（X 1 X ）2 （X 2 X ）2L （X n x ）2］，其中x 为这组数据的平均数.n一、填空题（本大题共 14小题，每小题5分，共70分）101 •计算cos 也。
32. 若复数m _ （m R,i 是虚数单位）为纯虚数，则m=。
1 i3. 某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为 x,8,10,11,9.已知这组数据的平均数为 10,则其方差为 ____________ 。
4. 已知等比数列{a n }的各项均为正数.若a 1=3，前三项的和为 21,则a 4+a 5+a 6= ________________ 。
5. 设P 和Q 是两个集合，定义集合P Q {x|x P,且x Q}.若P {1,2,3,4},为 __________ 。
10. 如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔 A , B ，灯塔B 位于灯塔A 的正 南方向.海上停泊着两艘轮船，甲位于灯塔 A 的北偏西750方向，与A 相距3 2海里的D 处；乙船位于灯塔 B 的北偏西600方向，与B 相距5海里的C处.则两艘船之间的距离为 ___________ 海里.11. _________________________________________________ 如图，在正三棱柱 ABC -A 1B 1C 1中，D 为棱AA 1的中点 是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为 ___________________________Q {x|. x 1 2,x R}，则 P Q _____________ 。
6.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果 I 为 ____________ S — 1I — 1While S <5I 1 S —— II 17. 已知扇形的周长为 8cm 则该扇形面积的最大值为 ____________ cm 2。
南京市、盐城市高三第一次模拟考试数学试题(原卷版).docx
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相印位置上.）1．已知集合{3,1,1,2}A =--，集合[0,)B =+∞，则AB = .2. 若复数(1)(3)z i ai =+-（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数a = .3. 现从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动，则甲被选中的概率为 .4. 根据如图所示的伪代码，最后输出的S 的值为 .110Print S For I From To S S I End For S←←+5. 若一组样本数据2，3，7，8，a 的平均数为5，则该组数据的方差2s = .6. 在平面直角坐标系xOy 中，若中心在坐标原点上的双曲线的一条准线方程为12x =，且它的一个顶点与抛物线24y x =-的焦点重合，则该双曲线的渐进线方程为 .7. 在平面直角坐标系xOy 中，若点(,1)P m 到直线4310x y --=的距离为4，且点P 在不等式23x y +≥表示的平面区域内，则m = .8. 在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，侧棱PA ⊥底面ABCD ，2PA =，E 为AB 的中点，则四面体PBCE 的体积为 .9. 设函数()cos(2)f x x ϕ=+，则“()f x 为奇函数”是“2πϕ=”的 条件.（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）10. 在平面直角坐标系xOy 中，若圆22(1)4x y +-=上存在A ，B 两点关于点(1,2)P 成中心对称，则直线AB 的方程为 . 11. 在ABC ∆中，2BC =，23A π=，则AB AC ⋅的最小值为 . 12. 若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0.)+∞上是单调增函数.如果实数t 满足1(l n )(l n )2(1)f t f f t+<时，那么t 的取值范围是 .13. 若关于x 的不等式2(20)lg 0aax x-≤对任意的正实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 .14. 已知等比数列{}n a 的首项为43，公比为13-，其前n 项和为n S ，若1n n A S B S ≤-≤对*n N ∈恒成立，则B A -的最小值为 .二、解答题 （本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知2c =，3C π=.（1）若ABC ∆的面积等于3，求a ，b ；（2）若sin sin()2sin2C B A A +-=，求ABC ∆的面积.16. 如图，在正三棱锥111ABC A B C -中，E ，F 分别为1BB ，AC 的中点. （1）求证：//BF 平面1A EC ； （2）求证：平面1A EC ⊥平面11ACC A .17. 如图，现要在边长为100m 的正方形ABCD 内建一个交通“环岛”.正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为xm （x 不小于9）的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为215x m 的圆形草地.为了保证道路畅通，岛口宽不小于60m ，绕岛行驶的路宽均不小于10m . （1）求x 的取值范围；（运算中2取1.4）（2）若中间草地的造价为a 元2/m ，四个花坛的造价为433ax 元2/m ，其余区域的造价为1211a元2/m ，当x 取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？18. 在平面直角坐标系xOy 中，已知过点3(1,)2的椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F ，过焦点F 且与x 轴不重合的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，点B 关于坐标原点的对称点为P ，直线PA ，PB 分别交椭圆C 的右准线l 于M ，N 两点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点B 的坐标为833(,)55，试求直线PA 的方程；（3）记M ，N 两点的纵坐标分别为M y ，N y ，试问M N y y ⋅是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.19. 已知函数()x f x e =，2()1(,)g x ax bx a b R =++∈.（1）若0a ≠，则a ，b 满足什么条件时，曲线()y f x =与()y g x =在0x =处总有相同的切线？ （2）当1a =时，求函数()()()g x h x f x =的单调减区间； （3）当0a =时，若()()f x g x ≥对任意的x R ∈恒成立，求b 的取值的集合. 20. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，622S =. （1）求n S ；（2）若从{}n a 中抽取一个公比为q 的等比数列{}n k a ，其中11k =，且12n k k k <<<，*n k N ∈.①当q 取最小值时，求{}n k 的通项公式；②若关于*()n n N ∈的不等式16n n S k +>有解，试求q 的值.数学附加题21. （选做题）（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题）A ．如图，AB ，CD 是半径为1的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，若98PC =，12OP =，求PD 的长.B ．已知曲线C ：1xy =，若矩阵22222222M ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应的变换将曲线C 变为曲线C '，求曲线C '的方程. C ．在极坐标系中，圆C 的方程为2cos a ρθ=，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为3242x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值.D ．已知1x ，2x ，3x 为正实数，若1231x x x ++=，求证：2223211231x x x x x x ++≥. （必做题）22. 已知点(1,2)A 在抛物线Γ：22y px =上.（1）若ABC ∆的三个顶点都在抛物线Γ上，记三边AB ，BC ，CA 所在直线的斜率分别为1k ，2k ，3k ，求123111k k k -+的值； （2）若四边形ABCD 的四个顶点都在抛物线Γ上，记四边AB ，BC ，CD ，DA 所在直线的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k ，求12341111k k k k -+-的值. 23. 设m 是给定的正整数，有序数组（1232,,,m a a a a ）中2i a =或2-(12)i m ≤≤.（1）求满足“对任意的1k m ≤≤，*k N ∈，都有2121k ka a -=-”的有序数组（1232,,,m a a a a ）的个数A ；（2）若对任意的1k l m ≤≤≤，k ，*l N ∈，都有221||4li i k a =-≤∑成立，求满足“存在1k m ≤≤，使得2121k ka a -≠-”的有序数组（1232,,,m a a a a ）的个数B。
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南京市、盐城市2012届高三年级第一次模拟考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上. 1.已知集合{}{}1,3,1,2,A B m ==,若A B ⊆,则实数m = . 2.若(12)(,i i a bi a b -=+∈R ,i 为虚数单位),则a b = . 3.若向量a (2,3),=b (,6)x =-,且∥a b ,则实数x = . 4.袋中装有大小相同且形状一样的四个球,四个球上分别标有“2”、“3”、“4”、“6”这四个数.现从中随机选取三个球,则所选的三个球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是 .5.某校共有400名学生参加了一次数学竞赛,竞赛成绩的频率分布直方图如图所示(成绩分组为[0,10),[10,20),,[80,90),[90,100]⋅⋅⋅).则在本次竞赛中,得分不低于80分以上的人数为 .6.在A B C ∆中,已知sin :sin :sin 2:3:4A B C =,则cos C = .7.根据如图所示的伪代码,当输入a 的值为3时,最后输出的S 的值 为 .8.已知四边形A B C D 为梯形, ∥AB C D ,l 为空间一直线,则“l 垂直于两腰,AD BC ”是“l垂直于两底,AB DC ”的 条件(填写“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中的一个).9.函数2()(1)xf x x x e =++()x R ∈的单调减区间为 .10.已知1()21xf x a =--是定义在(,1][1,)-∞-+∞ 上的奇函数, 则()f x 的值域为 .11.记等比数列{}n a 的前n 项积为*()n T n N ∈,已知1120m m m a a a -+-=,且21128m T -=,则m = .12.若关于x 的方程1ln kx x +=有解,则实数k 的取值范围是 . 13.设椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>恒过定点(1,2)A ,则椭圆的中心到准线的距离的最小值 .14.设a b c x y ===+,若对任意的正实数,x y ,都存在以,,a b c 为三边长的三角形,则实数p 的取值范围是 .第5题第7题二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．(本小题满分14分)已知函数21()cos cos ()2f x x x x x R =-+∈.(1)求函数()f x 的最小正周期； (2)求函数()f x 在区间[0,]4π上的函数值的取值范围.16．(本小题满分14分)如图,在四棱锥P A B C D -中,四边形A B C D 是菱形,P A P C =,E 为P B 的中点. (1)求证:∥P D 面AEC ； (2)求证:平面A E C ⊥平面PD B .17．(本小题满分14分)在综合实践活动中,因制作一个工艺品的需要,某小组设计了如图所示的一个门(该图为轴对称图形),其中矩形A B C D 的三边A B 、B C 、C D 由长6分米的材料弯折而成,B C 边的长为2t 分米(312t ≤≤)；曲线A O D 拟从以下两种曲线中选择一种:曲线1C 是一段余弦曲线(在如图所示的平面直角坐标系中,其解析式为cos 1y x =-),此时记门的最高点O 到B C 边的距离为1()h t ；曲线2C 是一段抛物线,其焦点到准线的距离为98,此时记门的最高点O 到B C 边的距离为2()h t .(1)试分别求出函数1()h t 、2()h t 的表达式；(2)要使得点O 到B C 边的距离最大,应选用哪一种曲线?此时,最大值是多少?C BDPE第16题18．(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xo y 中,已知点A 为椭圆222199xy +=的右顶点, 点(1,0)D ,点,P B 在椭圆上,BP DA = .(1)求直线B D 的方程；(2)求直线B D 被过,,P A B 三点的圆C 截得的弦长；(3)是否存在分别以,PB PA 为弦的两个相外切的等圆?若存在,求出这两个圆的方程；若不存在,请说明理由.19．(本小题满分16分)对于函数()f x ,若存在实数对(b a ,),使得等式b x a f x a f =-⋅+)()(对定义域中的每一个x 都成立,则称函数()f x 是“(b a ,)型函数”.(1)判断函数()4x f x =是否为“(b a ,)型函数”，并说明理由；(2)已知函数()g x 是“(1,4)型函数”, 当[0,2]x ∈时,都有1()3g x ≤≤成立,且当[0,1]x ∈时,2()g x x =(1)1m x --+(0)m >,若,试求m 的取值范围.20．(本小题满分16分)已知数列{}n a 满足*1(0,)a a a a N =>∈,1210n n a a a pa +++⋅⋅⋅+-=*(0,1,)p p n N ≠≠-∈.(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)若对每一个正整数k ,若将123,,k k k a a a +++按从小到大的顺序排列后,此三项均能构成等差数列, 且公差为k d . ①求p 的值及对应的数列{}k d ．②记k S 为数列{}k d 的前k 项和，问是否存在a ,使得30k S <对任意正整数k 恒成立?若存在,求出a 的最大值；若不存在,请说明理由．第18题南京市、盐城市2012届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题] 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内. A.（选修4—1：几何证明选讲）如图，O 的半径O B 垂直于直径A C ，D 为A O 上一点，B D 的延长线交O 于点E ，过E 点的圆的切线交C A 的延长线于P .求证：2PD PA PC =⋅.B ．（选修4—2：矩阵与变换）已知矩阵1101,20201⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A B ，若矩阵A B 对应的变换把直线l ：20x y +-=变为直线'l ，求直线'l 的方程.C ．（选修4—4：坐标系与参数方程） 在极坐标系中，圆C的方程为)4πρθ=-，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为11x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），求直线l 被C 截得的弦A B 的长度.D.（选修4—5：不等式选讲） 已知x y z 、、111)3x y z++≤.[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内. 22．（本小题满分10分）如图所示,在棱长为2的正方体1AC 中,点P Q 、分别在棱B C C D 、上,满足11B Q D P ⊥,且PQ =(1)试确定P 、Q 两点的位置.ABC PO·EDB 11(2)求二面角1C PQ A --大小的余弦值.23．（本小题满分10分）已知整数n ≥4,集合{}1,2,3,,M n =⋅⋅⋅的所有3个元素的子集记为312,,,nC A A A ⋅⋅⋅.(1)当5n =时,求集合3512,,,C A A A ⋅⋅⋅中所有元素之和.(2)设i m 为i A 中的最小元素,设n P =312nC m m m ++⋅⋅⋅+,试求n P .南京市、盐城市2012届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1.3 2. 2 3. －4 4.125.1206.14-7.21 8.充分不必要 9.(2,1)--(或闭区间)10.3113[,)(,]2222-- 11.4m = 12.21(,]e-∞ 2 14. (1,3)二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．解: (1)因为1()2cos 222f x x x =-……………………………………………………………4分s i n (2)6xπ=- ……………………………………………………………………………………………6分故()f x 的最小正周期为π………………………………………………………………………………8分 (2)当[0,]4x π∈时,2[,]663x πππ-∈-…………………………………………………………………10分故所求的值域为1[22-………………………………………………………………………………14分16．（1）证明:设AC BD O = ,连接EO,因为O,E 分别是BD,PB 的中点,所以∥P D E O …………4分而,PD AEC EO AEC ⊄⊂面面,所以∥P D 面AEC …………………………………………………7分 (2)连接PO,因为P A P C =,所以A C P O ⊥,又四边形A B C D 是菱形,所以A C B D ⊥…………10分而P O ⊂面PBD ,BD ⊂面PBD ,PO BD O = ,所以A C ⊥面PBD ……………………………13分又A C ⊂面AEC ,所以面A E C ⊥面PBD ……………………………………………………………14分 17．解:(1)对于曲线1C ,因为曲线A O D 的解析式为cos 1y x =-,所以点D 的坐标为(,cos 1)t t -……2分所以点O 到A D 的距离为1cos t -,而3AB D C t ==-, 则13()(3)(1cos )cos 4(1)2h t t t t t t =-+-=--+≤≤…………………………………………………4分 对于曲线2C ,因为抛物线的方程为294x y =-,即249y x =-,所以点D 的坐标为24(,)9t t -………2分所以点O 到A D 的距离为249t ,而3AB D C t ==-,所以2243()3(1)92h t t t t =-+≤≤……………7分(2)因为1()1sin 0h t t '=-+<,所以1()h t 在3[1,]2上单调递减,所以当1t =时,1()h t 取得最大值为3cos 1-…………………………………………………………………………………………………9分 又224939()()9816h t t =-+,而312t ≤≤,所以当32t =时,2()h t 取得最大值为52……………………11分因为1cos1cos32π>=,所以153cos1322-<-=,故选用曲线2C ,当32t =时,点E 到B C 边的距离最大,最大值为52分米……………………………14分18．解: (1)因为BP DA =,且A(3,0),所以BP D A ==2,而B,P 关于y 轴对称,所以点P 的横坐标为1,从而得(1,2),(1,2)P B -……………………………………………………………………………………3分所以直线BD 的方程为10x y +-=………………………………………………………………………5分 (2)线段BP 的垂直平分线方程为x=0,线段AP 的垂直平分线方程为1y x =-, 所以圆C 的圆心为(0,－1),且圆C的半径为r =8分又圆心(0,－1)到直线BD的距离为d =所以直线B D 被圆C 截得的弦长为= ……………………………………………………………………………………10分(3)假设存在这样的两个圆M 与圆N,其中PB 是圆M 的弦,PA 是圆N 的弦,则点M 一定在y 轴上,点N 一定在线段PC 的垂直平分线1y x =-上,当圆M 和圆N 是两个相外切的等圆时,一定有P,M,N 在一条直线上,且PM=PN …………………………………………………………………………………………12分 设(0,)M b ,则(2,4)N b -,根据(2,4)N b -在直线1y x =-上,解得3b =…………………………………………………………………………………………………14分所以(0,3),(2,1),M N P M P N ==故存在这样的两个圆,且方程分别为22(3)2x y +-=,22(2)(1)2x y -+-=………………………………………………………………16分19．解: (1)函数()4xf x =是“(b a ,)型函数”…………………………………………………………2分 因为由b x a f x a f =-⋅+)()(,得16ab =,所以存在这样的实数对,如1,16a b ==………………6分(2) 由题意得,(1)(1)4g x g x +-=,所以当[1,2]x ∈时, 4()(2)g x g x =-,其中2[0,1]x -∈,而[0,1]x ∈时,22()(1)110g x x m x x m x m =+-+=-++>,且其对称轴方程为2m x =,① 当12m >,即2m >时,()g x 在[0,1]上的值域为[(1),(0)]g g ,即[2,1]m +,则()g x 在[0,2]上的值域为44[2,1][,2][,1]11m m m m +=+++ ,由题意得13411m m +≤⎧⎪⎨≥⎪+⎩,此时无解………………………11分②当1122m ≤≤,即12m ≤≤时,()g x 的值域为[(),(0)]2m g g ,即2[1,1]4m m m +-+,所以则()g x 在[0,2] 上的值域为2244[1,1][,]4114m m m m m m +-+++- ,则由题意得2431413m m m ⎧≤⎪⎪+-⎨⎪+≤⎪⎩且2114411mm m ⎧+-≥⎪⎪⎨⎪≥⎪+⎩,解得12m ≤≤……………………………………………………………………13分③ 当1022m <≤,即01m <≤时,()g x 的值域为[(),(1)]2m g g ,即2[1,2]4m m +-,则()g x 在[0,2]上的值域为224[1,2][2,]414m m m m +-+-=224[1,]414m m m m +-+-,则221144314m m m m ⎧+-≥⎪⎪⎨≤⎪⎪+-⎩,解得213m -≤≤.综上所述,所求m的取值范围是223m -≤≤…………………………………………………16分20．解:(Ⅰ)因为1210n n a a a pa +++⋅⋅⋅+-=,所以2n ≥时, 1210n n a a a pa -++⋅⋅⋅+-=,两式相减,得11(2)n na p n a p++=≥,故数列{}n a 从第二项起是公比为1p p+的等比数列…………………………3分又当n=1时,120a pa -=,解得2a a p =,从而2(1)1()(2)n n a n a a p n p p -⎧=⎪=+⎨≥⎪⎩…………………………5分(2)①由(1)得11123111(),(),()k k k k k k a p a p a p a a a pppp p p-+++++++===, [1]若1k a +为等差中项,则1232k k k a a a +++=+,即11p p +=或12p p+=-,解得13p =-…………6分此时1123(2),3(2)k k k k a a a a -++=--=--,所以112||92k k k k d a a a -++=-=⋅……………………8分[2]若2k a +为等差中项,则2132k k k a a a +++=+,即11p p +=,此时无解………………………………9分 [3]若3k a +为等差中项,则3122k k k a a a +++=+,即11p p+=或112p p+=-,解得23p =-,此时11133131(),()2222k k k k a a a a -+++=--=--,所以11391||()82k k k k ad a a -++=-=⋅……………11分 综上所述,13p =-, 192k k d a -=⋅或23p =-,191()82k k ad -=⋅…………………………………12分 ②[1]当13p =-时,9(21)kk S a =-,则由30k S <,得103(21)ka <-,当3k ≥时, 1013(21)k<-,所以必定有1a <,所以不存在这样的最大正整数……………………14分[2]当23p =-时,91(1())42kk aS =-,则由30k S <,得4013(1())2ka <-,因为4040133(1())2k>-,所以13a =满足30k S <恒成立；但当14a =时,存在5k =,使得4013(1())2ka >-即30k S <,所以此时满足题意的最大正整数13a =……………………………………………………………16分数学附加题部分21．A. 证明：连结OE ，因为PE 切⊙O 于点E ，所以∠OEP=900，所以∠OEB+∠BEP=900，因为OB=OE ，所以∠OBE=∠OEB，因为OB⊥AC 于点O ，所以∠OBE+∠BDO=900……………5分故∠BEP=∠BDO=∠PDE ，PD=PE ，又因为PE 切⊙O 于点E ，所以PE 2=PA·PC，故PD 2=PA·PC………………………………………………………………………………………10分 B. 易得11101122020102AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦……3分, 在直线l 上任取一点(,)P x y ''，经矩阵A B 变换为 点(,)Q x y ，则11122022x x x y y y y ⎡⎤⎡⎤'''+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦'⎣⎦⎣⎦，∴122x x y y y ⎧''=+⎪⎨⎪'=⎩，即142x x y y y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩……………8分 代入20x y ''+-=中得12042yx y -+-=,∴直线l '的方程为480x y +-=…………………10分C. 解：C 的方程化为4cos 4sin ρθθ=+，两边同乘以ρ，得24cos 4sin ρρθρθ=+由222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+== ,得22440x y x y +--=………………………………5分 其圆心C 坐标为(2,2)，半径r =又直线l 的普通方程为20x y --=, ∴圆心C 到直线l的距离d ==,∴弦长AB ==……………………………10分 D. 证明:由柯西不等式得2222222111111(111)()()xyzxyz++++≥++……………………………………5分111x y z ≥++,即111()3x y z++≤………………………10分22. 解:(1)以1,,AB AD AA 为正交基底建立空间直角坐标系A xyz -,设(0C P a a =≤≤ ,则(2,2,0),(22,0)CQ P a Q =--,1(2,2)B Q =-,1(2,,2)D P a =-- ,∵11B Q D P ⊥,∴110B Q D P ⋅=，∴240a -+=，解得1a =……………………………4分∴PC=1,CQ=1,即P Q 、分别为,BC CD 中点…………………………………………………………5分(2)设平面1C P Q 的法向量为(,,)n a b c =，∵1(1,1,0),(0,1,2)PQ PC =-= ,又10n PQ n PC ⋅=⋅= ，∴020a b b c -+=⎧⎨+=⎩，令1c =-，则2a b ==,(2,2,1)n =- ………………………………………………8分∵(0,0,2)k =- 为面APQ 的一个法向量,∴1cos ,3n k <>= ,而二面角为钝角,故余弦值为13-……10分23.（1）解：当5n =时，含元素1的子集有246C =个，同理含2,3,4,5的子集也各有6个,于是所求元素之和为24(12345)61590C ++++⨯=⨯=……………………………………………5分 （2）证明:不难得到12,i i m n m Z ≤≤-∈ ，并且以1为最小元素的子集有21n C -个，以2为最小元素的子集有22n C -个，以3为最小元素的子集有23n C -，…，以2n -为最小元素的子集有22C 个,则32222121232123(2)nn n n n C P m m m C C C n C ---=+++=⨯++++- ………………………………8分2222231(2)(3)(4)n n n C n C n C C -=-+-+-++ 2222222341(3)()(4)n C n C C n C C -=+-++-++2322223341(3)()(4)n C n C C n C C -=+-++-++ 23222441(3)(4)n C n C n C C -=+-+-++ 2332224441(4)()n C C n C C C -=++-+++ 23322451(4)n C C n C C -=++-++4333445n C C C C =++++ 41n C +=……………………………………………………………………10分。