旋转变换(一)旋转矩阵
旋转变换(一)旋转矩阵
旋转变换（一）旋转矩阵1. 简介计算机图形学中的应用非常广泛的变换是一种称为仿射变换的特殊变换，在仿射变换中的基本变换包括平移、旋转、缩放、剪切这几种。
本文以及接下来的几篇文章重点介绍一下关于旋转的变换，包括二维旋转变换、三维旋转变换以及它的一些表达方式（旋转矩阵、四元数、欧拉角等）。
2. 绕原点二维旋转首先要明确旋转在二维中是绕着某一个点进行旋转，三维中是绕着某一个轴进行旋转。
二维旋转中最简单的场景是绕着坐标原点进行的旋转，如下图所示：如图所示点v 绕原点旋转θ角，得到点v’，假设v点的坐标是(x, y) ，那么可以推导得到v’点的坐标（x’, y’)(设原点到v的距离是r，原点到v点的向量与x轴的夹角是ϕ )x=rcosϕy=rsinϕx′=rcos(θ+ϕ)y′=rsin(θ+ϕ)通过三角函数展开得到x′=rcosθcosϕ−rsinθsinϕy′=rsinθcosϕ+rcosθsinϕ带入x和y表达式得到x′=xcosθ−ysinθy′=xsinθ+ycosθ写成矩阵的形式是：尽管图示中仅仅表示的是旋转一个锐角θ的情形，但是我们推导中使用的是三角函数的基本定义来计算坐标的，因此当旋转的角度是任意角度（例如大于180度，导致v’点进入到第四象限）结论仍然是成立的。
3. 绕任意点的二维旋转绕原点的旋转是二维旋转最基本的情况，当我们需要进行绕任意点旋转时，我们可以把这种情况转换到绕原点的旋转，思路如下：1. 首先将旋转点移动到原点处2. 执行如2所描述的绕原点的旋转3. 再将旋转点移回到原来的位置也就是说在处理绕任意点旋转的情况下需要执行两次平移的操作。
假设平移的矩阵是T(x,y)，也就是说我们需要得到的坐标v’=T(x,y)*R*T(-x,-y)（我们使用的是列坐标描述点的坐标，因此是左乘，首先执行T(-x,-y)）在计算机图形学中，为了统一将平移、旋转、缩放等用矩阵表示，需要引入齐次坐标。
计算旋转矩阵
计算旋转矩阵旋转矩阵是一种常见的数学变换，它允许我们旋转一个几何图形，而不会更改其形状。
旋转矩阵也可以被用来改变坐标系的特定方向，比如在把笛卡尔坐标系改变为极坐标系，或者相反。
要计算旋转矩阵，我们首先必须了解旋转角度和旋转向量。
旋转角度是指旋转几何图形或坐标轴时所需要的角度。
旋转向量在旋转过程中提供方向，可以理解为旋转面的法向量。
旋转矩阵是一个3x3的方阵，可以用来表示旋转变换。
它可以用关于旋转向量u和旋转角度θ的表达式来构造。
旋转矩阵的构造方式如下：R(u,θ) = cosθ I + (1-cosθ)uuT + sinθ[u]×其中，[u]×是旋转向量的叉乘矩阵。
旋转矩阵的构造需要知道旋转角度和旋转向量。
为计算旋转矩阵，第一步可以用下述公式计算旋转角度θ：tanθ=u×v/|u||v|其中，u和v分别为原始向量和新向量。
旋转矩阵也可以用矩阵操作来构造，它可以用余弦、正弦和叉乘算子构造出来。
它是一个3x3的方阵，可以表示任意旋转对三维空间中的任何一点的影响。
另外，旋转矩阵也可以用欧拉角表示：R(α,β,γ)=cosαcosγsinαsinβcosγsinαcosβsinγcosαsinγ+sinαsinβsinγ+sinαcosβcosγsinαcosβ+cosαsinβcosγcosαsinβsinγsinαsinβ+cosαcosβcosγ+cosαcosβsinγ其中，α、β、γ分别为欧拉角的三个轴方向角。
要计算旋转矩阵，我们需要明确旋转角度和旋转向量，以及对象的原始坐标和新坐标位置，并按照上述方法计算旋转矩阵。
旋转矩阵可以用来改变坐标系的方向，可以用来旋转几何图形，也可以用来改变三维空间中的任意一点的坐标位置，从而实现更好的空间变换。
旋转矩阵的导数公式(一)
旋转矩阵的导数公式(一)旋转矩阵的导数公式1. 旋转矩阵的定义旋转矩阵是一种表示二维或三维旋转变换的矩阵。
在二维情况下，旋转矩阵是一个2x2矩阵，而在三维情况下，旋转矩阵是一个3x3矩阵。
一般来说，旋转矩阵可以通过角度来定义，例如在二维情况下：R(theta) = [cos(theta) -sin(theta)][sin(theta) cos(theta)]其中theta表示旋转角度。
2. 旋转矩阵的导数公式在矩阵求导的过程中，旋转矩阵的导数公式是非常有用的。
根据这些公式，我们可以更方便地计算旋转矩阵的导数。
二维情况下的旋转矩阵导数公式二维情况下，旋转矩阵的导数公式如下：dR(theta)/dtheta = [-sin(theta) -cos(theta)][ cos(theta) -sin(theta)]这个公式表示，在二维旋转中，旋转矩阵关于旋转角度的导数等于一个特殊的矩阵。
三维情况下的旋转矩阵导数公式三维情况下，旋转矩阵的导数公式具有一定的复杂性，但也可以通过一个简洁的形式给出。
假设旋转矩阵为R，对应的旋转向量为omega，则旋转矩阵的导数公式如下：dR/dtheta = J(omega)其中J(omega)表示一个特殊的3x3矩阵，被称为旋转矩阵的“雅可比矩阵”。
3. 公式应用举例二维旋转矩阵导数公式应用假设我们有一个二维的旋转变换，其旋转角度为theta = pi/4，则根据二维情况下的旋转矩阵导数公式，可以得到：dR(theta)/dtheta = [-sin(theta) -cos(theta)][ cos(theta) -sin(theta)]dR(pi/4)/dtheta = [-sin(pi/4) -cos(pi/4)][ cos(pi/4) -sin(pi/4)]= [-1/sqrt(2) -1/sqrt(2)][ 1/sqrt(2) -1/sqrt(2)]这样，我们就得到了旋转角度为pi/4时，二维旋转矩阵关于旋转角度的导数。
矩阵变换 绕轴旋转矩阵
在三维空间中，绕坐标轴进行旋转的矩阵变换通常使用旋转矩阵。
以下是绕坐标轴进行旋转的基本矩阵：### 绕X轴旋转：\[ R_x(\theta) = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\0 & \sin(\theta) & \cos(\theta)\end{bmatrix} \]其中，\(\theta\) 是旋转的角度。
### 绕Y轴旋转：\[ R_y(\theta) = \begin{bmatrix}\cos(\theta) & 0 & \sin(\theta) \\0 & 1 & 0 \\-\sin(\theta) & 0 & \cos(\theta)\end{bmatrix} \]### 绕Z轴旋转：\[ R_z(\theta) = \begin{bmatrix}\cos(\theta) & -\sin(\theta) & 0 \\\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\0 & 0 & 1\end{bmatrix} \]这里，\(\cos(\theta)\) 和\(\sin(\theta)\) 是角度\(\theta\) 的余弦和正弦值，单位为弧度。
要进行绕任意轴的旋转，可以将上述基本旋转矩阵进行组合。
例如，绕任意轴\((x, y, z)\) 旋转的矩阵可以表示为：\[ R_{xyz}(\alpha, \beta, \gamma) = R_x(\alpha) \cdot R_y(\beta) \cdot R_z(\gamma) \]其中，\(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) 是绕各轴的旋转角度。
这些矩阵变换在图形学、计算机视觉和机器人学等领域中广泛应用，用于描述和实现物体在三维空间中的旋转。
三维坐标系的旋转变换
三维坐标系的旋转变换三维坐标系的旋转变换是指通过旋转操作将一个坐标系转换为另一个坐标系的变换。
在三维空间中，我们可以通过旋转矩阵和欧拉角来描述三维坐标系的旋转变换。
1. 旋转矩阵：旋转矩阵是一个3x3的正交矩阵，表示坐标系旋转的变换。
旋转矩阵可以通过绕坐标轴的旋转角度来构造，例如绕x轴旋转θ角度的旋转矩阵为：|1 0 0||0 cosθ -sinθ||0 sinθ cosθ|类似地，绕y轴旋转θ角度和绕z轴旋转θ角度的旋转矩阵可以通过类似的方式构造。
当我们有一个向量[vx, vy, vz]，通过乘以旋转矩阵，可以得到旋转后的向量[v'x, v'y, v'z]，即：[v'x, v'y, v'z] = [vx, vy, vz] * 旋转矩阵2. 欧拉角：欧拉角是另一种描述三维坐标系旋转的方法。
它将旋转操作分解为绕不同坐标轴的连续旋转。
常见的欧拉角有三个分量，分别表示绕x轴、y轴和z轴的旋转角度。
我们通过旋转矩阵和欧拉角之间的转换来实现三维坐标系的旋转变换。
给定一个欧拉角（α，β，γ），我们可以分别构造绕x轴旋转α角度、绕y轴旋转β角度和绕z轴旋转γ角度的旋转矩阵。
然后将这三个旋转矩阵依次相乘，得到整体的旋转矩阵。
将向量[vx, vy, vz]乘以该旋转矩阵，即可得到旋转后的向量[v'x, v'y, v'z]。
总结起来，三维坐标系的旋转变换可以通过旋转矩阵或欧拉角来描述和实现。
旋转矩阵通过乘法操作直接作用在向量上，而欧拉角需要将旋转操作分解为三次绕不同坐标轴的旋转，最后再将三个旋转矩阵相乘。
三维空间旋转方程
三维空间旋转方程三维空间中的旋转是指一个对象在三个不同方向上发生转动的过程。
通过一系列的数学计算，我们可以得到三维空间旋转方程，该方程可以描述旋转对象在不同坐标系下的旋转情况。
以下是具体的讲解：一、旋转矩阵在三维空间中，我们可以通过一个矩阵来表示一个坐标系的旋转变换。
这个矩阵被称为旋转矩阵，通常用R表示。
具体的计算公式如下：（cosθ + (1-cosθ)x²，(1-cosθ)xy-sinθz，(1-cosθ)xz+sinθy）（(1-cosθ)xy+sinθz，cosθ+(1-cosθ)y²，(1-cosθ)yz-sinθx）（(1-cosθ)xz-sinθy，(1-cosθ)yz+sinθx，cosθ+(1-cosθ)z²）其中，θ表示旋转角度，x、y、z表示旋转轴的坐标。
二、欧拉角欧拉角是一种描述三维空间旋转的方法，它是由三个旋转轴依次进行旋转所组成的。
具体的欧拉角可以分为三种：欧拉旋转角、俯仰角和翻滚角。
欧拉角的计算公式如下：欧拉旋转角：Rx(α) × Ry(β) × Rz(γ) = R(θ,φ,ψ)俯仰角：tanβ = sinφcosθ + cosφsinθsinψ翻滚角：tanα = sinφcosθcosψ –cosφsinθsinψ三、四元数四元数是一种描述三维空间旋转的数学工具，它由一个实部和三个虚部组成。
四元数中的实部表示旋转的角度，虚部表示旋转轴的坐标。
具体的计算公式如下：q = (cos(θ/2),sin(θ/2)·(x·i+y·j+z·k))其中，θ表示旋转角度，x、y、z表示旋转轴的坐标，i、j、k表示虚数单位。
总结：三维空间旋转方程是数学上描述旋转变换的一种方法，包括旋转矩阵、欧拉角和四元数。
不同的方法适合不同的应用场景，需要根据实际情况选择合适的方法。
通过运用三维空间旋转方程，我们可以在计算机图形学、机器人控制等领域中实现三维空间的旋转变换，从而实现更为复杂的图形绘制和机器人运动等任务。
常见旋转模型知识点总结
常见旋转模型知识点总结一、常见的旋转模型旋转模型是三维图形学中的重要概念，指的是在三维空间中，通过旋转变换对物体进行转动的模型。
常见的旋转模型包括以下几种：1. 旋转矩阵：旋转矩阵是描述旋转变换的数学工具，通常用一个3x3的矩阵表示。
旋转矩阵可以绕任意轴进行旋转，也可以通过欧拉角（Euler angles）或四元数（quaternions）来描述旋转。
2. 旋转向量：旋转向量是描述绕一个固定轴旋转的向量，通常用一个三维向量表示。
旋转向量可以直观地描述物体的旋转方向和角度。
3. 旋转角度：旋转角度是描述物体旋转的角度，通常用弧度（radians）或角度（degrees）表示。
旋转角度可以描述物体绕任意轴的旋转，也可以描述物体在空间中的旋转方向。
4. 旋转轴：旋转轴是物体进行旋转的轴线，可以是任意方向的直线。
通过旋转轴，可以描述物体进行绕轴旋转的动作。
以上这些旋转模型在三维图形学中都是非常重要的概念，对于理解和实现三维旋转变换具有重要意义。
接下来将分别介绍这些旋转模型的具体知识点。
二、旋转矩阵1. 旋转矩阵的表示方法旋转矩阵通常用一个3x3的矩阵表示，一般情况下，可以表示为：R = \begin{bmatrix}cos\theta & -sin\theta & 0\\sin\theta & cos\theta & 0\\0 & 0 & 1\end{bmatrix}其中θ表示旋转角度，cosθ和sinθ表示角度的余弦和正弦值。
这是绕Z轴旋转的旋转矩阵，同样可以表示为绕X轴和Y轴的旋转矩阵。
2. 旋转矩阵的运算旋转矩阵可以进行相乘运算，表示组合多个旋转变换。
比如，先绕X轴旋转再绕Y轴旋转，可以表示为R_y * R_x，其中R_y是绕Y轴旋转的矩阵，R_x是绕X轴旋转的矩阵。
此外，旋转矩阵还可以进行逆矩阵运算，表示将旋转变换的反向操作。
通过逆矩阵运算，可以将物体进行逆时针旋转变换。
旋转矩阵和平移矩阵点变换
旋转矩阵和平移矩阵点变换旋转矩阵和平移矩阵点变换是计算机图形学中常用的技术，用来实现对图形的平移、旋转等变换操作。
在进行点变换时，我们需要对点的坐标进行相应的计算，以实现所需的变换效果。
接下来将介绍旋转矩阵和平移矩阵的原理和具体操作步骤。
旋转矩阵是一种用来描述二维或三维空间中点相对于某个坐标轴进行旋转的数学工具。
在二维空间中，旋转矩阵可以表示为一个2x2的矩阵，而在三维空间中则为一个3x3的矩阵。
对于二维空间的旋转矩阵，假设点的坐标为(x, y)，旋转角度为θ，旋转矩阵可以表示为：cosθ -sinθsinθ cosθ其中，cosθ和sinθ分别代表旋转角度θ的余弦和正弦值。
通过将点的坐标与旋转矩阵相乘，可以得到旋转后的点的坐标。
平移矩阵用来描述点在坐标系中沿着指定方向移动的操作。
平移矩阵的表示形式与旋转矩阵类似，假设点的坐标为(x, y)，平移矩阵可以表示为：1 0 tx0 1 ty0 0 1其中，tx和ty分别代表点在x轴和y轴上的平移距离。
通过将点的坐标与平移矩阵相乘，可以得到平移后的点的坐标。
在进行点变换时，通常先进行旋转操作，然后再进行平移操作。
这是因为旋转矩阵和平移矩阵的乘法不满足交换律，先旋转后平移和先平移后旋转得到的结果是不同的。
因此，通常将旋转矩阵和平移矩阵相乘，得到的矩阵称为仿射矩阵，可以实现旋转和平移的组合变换。
在实际应用中，点的坐标可以表示为一个列向量，旋转矩阵和平移矩阵可以表示为矩阵形式。
通过矩阵相乘的方式，可以方便地实现点的旋转和平移变换。
在计算机图形学中，旋转矩阵和平移矩阵的应用非常广泛，可以实现对图形的任意变换，从而实现各种炫酷的效果。
总的来说，旋转矩阵和平移矩阵点变换是计算机图形学中的基础知识，通过对点的坐标进行旋转和平移操作，可以实现对图形的各种变换。
熟练掌握旋转矩阵和平移矩阵的原理和操作步骤，对于图形学的学习和实践具有重要的意义。
希望以上内容能够对您有所帮助，如有疑问欢迎继续咨询。
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旋转变换（一）旋转矩阵1. 简介计算机图形学中的应用非常广泛的变换是一种称为仿射变换的特殊变换，在仿射变换中的基本变换包括平移、旋转、缩放、剪切这几种。
本文以及接下来的几篇文章重点介绍一下关于旋转的变换，包括二维旋转变换、三维旋转变换以及它的一些表达方式（旋转矩阵、四元数、欧拉角等）。
2. 绕原点二维旋转首先要明确旋转在二维中是绕着某一个点进行旋转，三维中是绕着某一个轴进行旋转。
二维旋转中最简单的场景是绕着坐标原点进行的旋转，如下图所示：如图所示点v绕原点旋转e角，得到点v'假设v点的坐标是（x, y），那么可以推导得到v'点的坐标（x , y '）（设原点到v的距离是r,原点到v点的向虽与x轴的夹角是）x=rcosy=rsinx，=rcos（ 0 +）y，=rsin（ 0 +）通过三角函数展开得到x' =rcos 0 cosrsin 0 sin y' =rsin 0 cos+rcos 0 sin带入x和y表达式得到x' =xcos 0 ysin 0y' =xsin 0 +ycos 0写成矩阵的形式是：[x ' y' ]=[cos 0 sin 0 sin 0 cos 0 ][xy]尽管图示中仅仅表示的是旋转一个锐角。
的情形，但是我们推导中使用的是三角函数的基本定义来计算坐标的，因此当旋转的角度是任意角度（例如大于180度，导致v'点进入到第四象限）结论仍然是成立的。
3. 绕任意点的二维旋转绕原点的旋转是二维旋转最基本的情况，当我们需要进行绕任意点旋转时，我们可以把这种情况转换到绕原点的旋转，思路如下:1. 首先将旋转点移动到原点处2. 执行如2所描述的绕原点的旋转3. 再将旋转点移回到原来的位置也就是说在处理绕任意点旋转的情况下需要执行两次平移的操作。
假设平移的矩阵是T(x,y),也就是说我们需要得到的坐标v' =T(x,y)*R*T(-x,-y)(我们使用的是列坐标描述点的坐标，因此是左乘，首先执行T(-x,-y))在计算机图形学中，为了统一将平移、旋转、缩放等用矩阵表示，需要引入齐次坐标。
(假设使用2x2的矩阵，是没有办法描述平移操作的，只有引入3x3矩阵形式，才能统一描述二维中的平移、旋转、缩放操作。
同理必须使用4x4的矩阵才能统一描述三维的变换)。
对于二维平移，如下图所示，P点经过x和y方向的平移到P'点，可以得到：x，=x+txy，=y+ty由于引入了齐次坐标，在描述二维坐标的时候，使用（x, y,w）的方式（一般w=1 ）,于是可以写成下面矩阵的形式x' y' 1=100010txty1xy1按矩阵乘法展开，正好得到上面的表达式。
也就是说平移矩阵是100010txty1如果平移值是（-tx, -ty）那么很明显平移矩阵式100010txty1我们可以把2中描述的旋转矩阵也扩展到3x3的方式，变为：x' y' 1=cos 0 sin 0 0sin 0 cos 0 0001xy1从平移和旋转的矩阵可以看出，3x3矩阵的前2x2部分是和旋转相关的，第三列与平移相关。
有了上面的基础之后，我们很容易得出二维中绕任意点旋转的旋转矩阵了，只需要把三个矩阵乘起来即可：M=100010txty1cos 0 sin 0 0sin 0 cos 0 0001100010txty1=cos 0 sin 0 0sin 0 cos 0 0(1cos 0 )tx+tysin 0 (1cos 0 )tytxsin 0 14. 三维基本旋转我们可以把一个旋转转换为绕基本坐标轴的旋转，因此有必要讨论一下绕三个坐标值x、y、z的旋转。
本文在讨论过程中使用的是类似于OpenGL中定义的右手坐标系，同时旋转角度的正负也遵循右手坐标系的约定。
如下图所示4.1绕X轴的旋转在三维场景中，当一个点P(x,y,z)绕x轴旋转。
角得到点P' (x ,y '由,Z是麝x轴进行的旋转，因此x坐标保持不变，y和z组成的yoz (o是坐标原点)平面上进行的是一个二维的旋转，可以参考上图(y轴类似于二维旋转中的x轴，z 轴类似于二维旋转中的y轴)，于是有：x' =x y' =ycos 0 zsin 0 z' =ysin 0 +zcos 0写成（4x4 ）矩阵的形式x' y' z' 1=10000cos 0 sin 0 00sin 0 cos 0 00001xyz14.2绕Y轴旋转绕Y轴的旋转和绕X轴的旋转类似，Y坐标保持不变，除Y 轴之外，ZOX组成的平面进行一次二维的旋转（Z轴类似于二维旋转的X轴，X轴类似于二维旋转中的Y轴，注意这里是ZOX,而不是XOZ,观察上图中右手系的图片可以很容易了解到这一点），同样有：x' =zsin 0 +xcos 0y =yz' =zcos 0 xsin 0写成（4x4 ）矩阵的形式x' y' z' 1=cos 0 0sin 0 00100sin 0 0cos 0 00001xyz14.3绕Z轴旋转与上面类似，绕Z轴旋转，Z坐标保持不变，xoy组成的平面内正好进行一次二维旋转（和上面讨论二维旋转的情况完全一样）x' y' z' 1=cos 0 sin 0 00sin 0 cos 0 0000100001xyz14.4小结上面描述了三维变换中绕单一轴旋转的矩阵表达形式，绕三个轴旋转的矩阵很类似，其中绕y轴旋转的矩阵与绕x和z 轴旋转的矩阵略有点不同（主要是三个轴向顺序和书写矩阵的方式不一致导致的，绕三个不同坐标旋转轴以及其他二个坐标轴组成平面的顺序是：XYZ（绕x轴）YZX （绕y轴）ZXY （绕z轴），其中绕y轴旋转，其他两个轴是ZX,这和我们书写矩阵按xyz1的方式不一致，而导致看起来绕Y轴旋转的矩阵似乎是和其他两个矩阵不一致。
如果我们颠倒写法，将公式写成z' y' x' 1=cos 0 0sin 0 00100sin 0 0cos 0 00001zyx1的方式，那么这三个旋转矩阵看起来在形式上就统一了，都是[cos 0 sin 0 sin 0 cos 0 ]这种表现形式了（左上角都是sin 9 ）5. 绕任意轴的三维旋转绕任意轴的三维旋转可以使用类似于绕任意点的二维旋转一样，将旋转分解为一些列基本的旋转。
绕任意轴旋转如下图所示：P点绕向H u旋转。
角，得到点Q,已知P点的坐标和向H u,如何求Q点的坐标。
我们可以把向虽u进行一些旋转，让它与z轴重合，之后旋转P到Q就作了一次绕Z轴的三维基本旋转，之后我们再执行反向的旋转，将向H u变回到它原来的方向，也就是说需要进行的操作如下：1. 将旋转轴u绕x轴旋转至xoz平面2. 将旋转轴u绕y轴旋转至于z轴重合3. 绕z轴旋转9角4. 执行步骤2的逆过程5. 执行步骤1的逆过程原始的旋转轴u如下图所示:第1、2、3步骤如下图所示:步骤1将向H u旋转至xoz平面的操作是一个绕x轴的旋转操作，步骤2将向虽u旋转到与z轴重合，第1、2步骤的示意图如下：作点P在yoz平面的投影点q, q的坐标是（0, b, c）,原点o与q点的连线oq和z轴的夹角就是u绕x轴旋转的角度。
通过这次旋转使得u向虽旋转到xoz平面（图中的or向虽）【步骤1】过r点作z轴的垂线，or与z轴的夹角为6，这个角度就是绕Y轴旋转的角度，通过这次旋转使得u向虽旋转到与z轴重合【步骤2】步骤1中绕x轴旋转的是一次基本的绕x轴的三维旋转，按照之前的讨论，旋转矩阵是：10000cos 0 sin 0 00sin 0 cos 0 00001这里的。
就是图中所小的以角(注意以角度是绕x旋转的正的角度)从图中我们还可以得到：cos 以=c(b2+c2) Vsin 以=b(b2+c2) V于是旋转矩阵(记作Rx(以))为：10000c(b2+c2) V b(b2+c2) V00b(b2+c2) Vc(b2+c2) V00001在完成步骤1之后，向M u被变换到了r的位置，我们继续步骤2的操作，绕y轴旋转负的6角(注意：这里的6是负的)，经过这次变换之后向M u与z轴完全重合，由于这一步也是执行的一次绕Y轴的基本旋转，旋转矩阵(记作Ry( 6 ))为:cos 0 0sin 0 00100sin 0 0cos 0 00001使用6替换表达式中的。
，此外根据图中描述，我们可以计算得到：cos 6 =(b2+c2) V (a2+b2+c2) Vsin 6 =a(a2+b2+c2) V带入上面的表达式，于是旋转矩阵(记作Ry( 6 ))为：(b2+c2) V (a2+b2+c2) V 0a(a2+b2+c2) V 00100a(a2+b2+c2) V0(b2+c2) V (a2+b2+c2) V 00001在完成前面两个步骤之后，u方向和z轴完全重合，因此执行旋转。
角，执行的是一次绕z轴的基本三维旋转(记作R( e),根据之前的讨论，我们可以得到：cos 0 sin 0 00sin 0 cos 0 0000100001最后两步骤是前面1和2的逆操作，也就是绕Y轴旋转6和绕X轴旋转以，这两个矩阵分别记作Ry( 6 )和Rx(以)得到它们的方式很简单，只需要将上面步骤1和步骤2中的角度修改成相反数即可，也就是：Ry( 6 )=(b2+c2) V (a2+b2+c2) V0a(a2+b2+c2) V00100a(a2+b2+c2) V0(b2+c2) V (a2+b2+c2) V00001Rx(以)=10000c(b2+c2) V b(b2+c2) V00b(b2+c2) V c(b2+c2) VO 0001 最终得到绕任意轴u旋转的旋转矩阵是【因为使用的列向虽，因此执彳了的是左乘(从右往左) 】：MR=Rx(以)Ry( 6 )Rz( 0 )Ry( 6 )Rx(以)=(注：式中的(u,v,w)对应上文中向M (a,b,c),公式我自己笔算过，为了减少编辑公式的时间(使用LaTex编辑太繁琐，因此找了一张公式的图片贴在此处)如果向虽是经过单位化的(单位向虽)，那么有a2+b2+c2=1 ,可以简化上述的公式，得到：参考文献:Wiki Rotation (mathematics)Euler ' s rotation theoremMaths - Rotation Matrices绕任意轴旋转Rotation About an Arbitrary Axis in 3 DimensionsRotation about an Arbitrary Axis (Line)。