三角函数定义全面版

三个比值都不会随P在a终边上的位置变化而改变
a的终边
y
P( x，y ) ｒ ox
y ｒ
o
a的终边 P(ｘ，ｙ)
x
设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P，则这
一点的坐标就确定了设为P(x,y)，Py 与原点的距离 r x2 y2 0
y
r
y
x
x
ｒo
o
ｒ
P( x，y )
P( x，y )
x
x
M
a的终边
y
y
a的终边
P( x，y )
r P1 (x1,y1)
y
r1
y1
o
xo
x
x x1
比值 ｙ ｒ
ｙ 称为ａ的正弦，记作sinａ，即sinａ＝ｒ
P(ｘ，ｙ)
y
x
M
y y1 r r1
ｘ
比值
ｒ 比值 ｙ
ｘ
称为ａ的余弦，记作cosａ，即cosａ＝
ｘ ｒ
ｙ
称为ａ的正切，记作tanａ，即tanａ＝ ｘ
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的 函数，它们统称为三角函数
三角函数
定义域
sina
R
cosa tana
R
{a∣ａ≠ 2＋ｋ ，ｋ ｚ}
例1 如图所示，已知角ａ终边上一点P的坐标为（4，－3），求 角ａ的三角函数值。
y
解：∵ ｘ＝4，ｙ＝－3
0
x
∴ r x2y242(3)2
＝5
siany33 r5 5
c osa x 4 r5
ta any33 x4 4
P(4,-3) ａ的终边
3．三角函数的符号 正弦为正 其余为负
y
三角函数全为 正
x o
正切为正
余弦为正
其余为负
其余为负
Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦
比值叫做的余切 比值叫做的正割
角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数
值相等。即：诱导公式一
sin(+2k)=sin cos(+2k)=cos tan(+2k)=tan,
csc(+2k)=csc, sec(+2k)=sec cot(+2k)=cot
例4．（课本第19页）求下列各三角函数值：
§4.3任意角的三角函数
复习:
什么叫做锐角三角函数（即直角三角形中的三角 函数）？
以锐角为自变量，以比值为函数值的函数叫做锐
角三角函数。
y
设是一个任意角，在的终边上任取
（异于原点的）一点P，则这一点的
坐标就确定了设为P(x,y)，P与原点的
距离 r x2 y2 0
o
a的终边
r
P(ｘ，ｙ)
y
(1) sin11500
(2) cos 9
(3) tg ( 7 )
4
6
诱导公式（一）的作用：能把任意角的三角函数化为0~360（或
0~2）间的角的三角函数。其方法是先在0~360（或0~2）内找
出与角终边相同的角，再把它写成诱导公式（一），然后得出结
果。
只要我们坚持了，就没有克服不了的困难。或许，为了将来，为了自己的发展，我们会把一件事情想得非常透彻，对自己越来越严，要求越来越高，对任何机会都不曾错过，其 目的也只不过是不让自己随时陷入逆境与失去那种面对困难不曾屈服的精神。但有时，“千里之行，始于足下。”我们更需要用时间持久的用心去做一件事情，让自己其中那小 小的浅浅的进步，来击破打破突破自己那本以为可以高枕无忧十分舒适的区域，强迫逼迫自己一刻不停的马不停蹄的一直向前走，向前看，向前进。所有的未来，都是靠脚步去 丈量。没有走，怎么知道，不可能；没有去努力，又怎么知道不能实现？幸福都是奋斗出来的。那不如，生活中、工作中，就让这“幸福都是奋斗出来的”完完全全彻彻底底的 渗入我们的心灵，着心、心平气和的去体验、去察觉这一种灵魂深处的安详，侧耳聆听这仅属于我们自己生命最原始最动人的节奏。但，这种聆听，它绝不是仅限于、执着于 “我”，而是观察一种生命状态能够扩展和超脱到什么程度，也就是那“幸福都是奋斗出来的”深处又会是如何？生命不止，奋斗不息！又或者，对于很多优秀的人来说，我们 奋斗了一辈子，拼搏了一辈子，也只是人家的起点。可是，这微不足道的进步，对于我们来说，却是幸福的，也是知足的，因为我们清清楚楚的知道自己需要的是什么，隐隐约 约的感觉到自己的人生正把握在自己手中，并且这一切还是通过我们自己勤勤恳恳努力，去积极争取的!“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。”当我们坦然接受这人生的终局， 或许，这无所皈依的心灵就有了归宿，这生命中觅寻处那真正的幸福、真正的清香也就从此真正的灿烂了我们的人生。一生有多少属于我们的时光？陌上的花，落了又开了，开 了又落了。无数个岁月就这样在悄无声息的时光里静静的流逝。童年的玩伴，曾经的天真，只能在梦里回味，每回梦醒时分，总是多了很多伤感。不知不觉中，走过了青春年少， 走过了人世间风风雨雨。爱过了，恨过了，哭过了，笑过了，才渐渐明白，酸甜苦辣咸才是人生的真味！生老病死是自然规律。所以，面对生活中经历的一切顺境和逆境都学会 了坦然承受，面对突然而至的灾难多了一份从容和冷静。这世上没有什么不能承受的，只要你有足够的坚强！这世上没有什么不能放下的，只要你有足够的胸襟！ 一生有多少 属于我们的时光？当你为今天的落日而感伤流泪的时候，你也将错过了明日的旭日东升；当你为过去的遗憾郁郁寡欢，患得患失的时候，你也将忽略了沿途美丽的风景，淡漠了 对未来美好生活的憧憬。没有十全十美的生活，没有一帆风顺的旅途。波平浪静的人生太乏味，抑郁忧伤的人生少欢乐，风雨过后的彩虹最绚丽，历经磨砺的生命才丰盈而深刻。 见过了各样的人生：有的轻浮，有的踏实；有的喧哗，有的落寞；有的激扬，有的低回。肉体凡胎的我们之所以苦恼或喜悦，大都是缘于生活里的际遇沉浮，走不出个人心里的 藩篱。也许我们能挺得过物质生活的匮乏，却不能抵挡住内心的种种纠结。其实幸福和欢乐大多时候是对人对事对生活的一种态度，一花一世界，一树一菩提，就是一粒小小的 沙子，也有自己精彩的乾坤。如果想到我们终有一天会灰飞烟灭，一切象风一样无影亦无踪，还去争个什么？还去抱怨什么？还要烦恼什么？未曾生我谁是我？生我之时我是谁？ 长大成人方是我，合眼朦胧又是谁？一生真的没有多少时光，何必要和生活过不去，和自己过不去呢。你在与不在，太阳每天都会照常升起；你愁与不愁，生活都将要继续。时
a的终边
a的终边
若角的值组成一个集合，每一个比值的大小组成一个集合，因此，
这些比值都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，故称上述
函数为任意角α的三角函数。
a的终边
P( x,y )
y
ｒ ox
ｙ 正弦sinａ＝ ｒ
ｘ 余弦cosａ＝ ｒ
ｙ 正切tanａ＝ ｘ
ｘ=0
当ａ＝＋ｋ（ｋｚ），
2
ｘ = 0，tana无意义
x y
记作： cot x
r x
记作：
y
sec r
x
比值叫做的余割
r y
记作：
csc r
y
例3．（课本第18页）确定下列各三角函数值的符号：
①cos250 ②
sin( )
4
③tg(-67210’) ④
4．诱导公式一

ctg 11 3
角是“任意角”，当=2k+(kZ)时，与的同名三