最新考研数学一真题及答案完整版

最新考研数学一真题及答案HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】2006年考研数学一真题一、填空题（1~6小题，每小题4分，共24分。

）(1)llll →0lll (1+l )1−llll= 。

【答案】2。

【解析】等价无穷小代换：当l →0时，l l (1+l )~l ,1−llll ~12l 2所以lll l →0lll (1+l )1−llll=lll l →0l 212l 2=2综上所述，本题正确答案是2。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较 (2)微分方程l ′=l (1−l )l的通解为__________。

【答案】l =lll −l (l ≠0)，l 为任意常数。

【解析】 原式等价于ll l=1−llll ll l=1−llll ⇒ll |l |=ll |l |−lll l+ll |l |（两边积分）即l =lll −l (l ≠0)，l 为任意常数综上所述，本题正确答案是l =lll −l (l ≠0)。

【考点】高等数学—常微分方程—一阶线性微分方程(3)设l 是锥面l =√l 2+l 2(0≤l ≤1)的下侧，则∬lllll +l2lllll +3(l −1)llll = 。

【答案】2π。

【解析】设l 1：l =1(l 2+l 2≤1)，取上侧，则∬lllll +2lllll +3(l −1)llll = l∬lllll +2lllll +3(l −1)lllll +l1−∬lllll +l 12lllll +3(l −1)llll而∬lllll +2lllll +3(l −1)llll l +l1=∭6lll =6∫ll 2l∫lll 10∫ll 1l =2l∬lllll +2lllll +3(l −1)llll =l1所以∬lllll+2lllll+3(l−1)llll=l2l 综上所述，本题正确答案是2π。

【考点】高等数学—多元函数积分学—两类曲面积分的概念、性质及计算(4)点(2,1,0)到平面3l+4l+5l=0的距离l=。

【答案】√2。

【解析】点到平面的距离公式：l=|ll+ll+ll+l|其中(l0,l0,l0)为点的坐标，ll+ll+ll+l=0为平面方程所以l=|3×2+4×1+5×0+0|√222=√2综上所述，本题正确答案是√2。

【考点】高等数学—向量代数和空间解析几何—点到平面和点到直线的距离(5)设矩阵l=[21−12]，l为二阶单位矩阵，矩阵l满足ll=l+2l，则|l|=___________。

【答案】2。

【解析】ll=l+2l⇒l(l−l)=2l⇒|l(l−l)|=|ll|⇒|l||l−l| =22=4因为|l−l|=|11−11|=2，所以|l|=2。

综上所述，本题正确答案是2。

【考点】线性代数—行列式—行列式的概念和基本性质线性代数—矩阵—矩阵的线性运算(6)设随机变量l与l相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，则l{lll{l,l}≤1}=___________。

【答案】19。

【解析】本题考查均匀分布，两个随机变量的独立性和他们的简单函数的分布。

事件{lll{l,l}≤1}={l≤1,l≤1}={l≤1}∩{l≤1}, 又根据X,Y相互独立，均服从均匀分布，可以直接写出P{l≤1}=13?13=19。

综上所述，本题正确答案是19。

【考点】概率论—多维随机变量的分布—二维随机变量的分布二、选择题（7~14小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

） (7) 设函数l =l (l )具有二阶导数，且l ′(l )>0,l ′′(l )>0，?l 为自变量l在点l 0处的增量，?l 与ll 分别为l (l )在点l 0处对应的增量与微分，若?l >0，则(A)0<ll <?l (B)0<?l <ll (C)?l <ll <0 (D)ll <?l <0 【答案】A 。

【解析】 【方法一】由函数l =l (l )单调上升且凹，根据?l 和ll 的几何意义，得如下所示的图 由图可得0<ll <?l 【方法二】由凹曲线的性质，得l (l 0+?l )>l (l 0)+l ′(l 0)?l ,?l ≠0，于是l (l 0+?l )−l (l 0)>l ′(l 0)?l >0,?l >0，即0<ll <?l 综上所述，本题正确答案是A 。

【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念，导数的几何意义和物理意义(8) 设l (l ,l )为连续函数，则∫ll l 40∫l (lllll ,lllll )lll 10等于(A)∫ll √220∫l (l ,l )ll √1−l 2l(B) ∫ll √220∫l (l ,l )ll √1−l 2(C)∫ll √220∫l (l ,l )ll √1−l 2l(D)∫ll √220∫l (l ,l )ll √1−l 2【答案】C 。

【解析】如图所示，显然是l 型域，则原式=∫ll √220∫l (l ,l )ll √1−l 2l综上所述，本题正确答案是C【考点】高等数学—多元函数微积分学—二重积分的概念、基本性质和计算 (9) 若级数∑l l ∞l =1收敛，则级数(A) ∑|l l |∞l =1收敛 (B) ∑(−1)l ∞l =1l l 收敛(C) ∑l l l l +1∞l =1收敛 (D) ∑l l +l l +12∞l =1收敛 【答案】D 。

【解析】由∑l l ∞l =1收敛知∑l l +1∞l =1收敛，所以级数∑l l +l l +12∞l =1收敛。

综上所述，本题正确答案是D 。

【考点】高等数学—无穷级数—收敛级数的和的概念(10)设l(l,l)与l(l,l)均为可微函数，且l l′(l,l)≠0。

已知(l0,l0)是l(l,l)在约束条件l(l,l)=0下的一个极值点，下列选项正确的是(A)若l l′(l0,l0)=0，则l l′(l0,l0)=0(B)若l l′(l0,l0)=0，则l l′(l0,l0)≠0(C)若l l′(l0,l0)≠0，则l l′(l0,l0)=0(D)若l l′(l0,l0)≠0，则l l′(l0,l0)≠0【答案】D。

【解析】本题主要考查了二元函数极值的必要条件和拉格朗日乘数法。

作拉格朗日函数l(l,l,l)=l(l,l)+ll(l,l), 并记对应l0,l0的参数l的值为l0, 则{l l′(l0,l0,l0)=0l l′(l0,l0,l0)=0, 即{l l′(l0,l0)+l0ll′(l0,l)=0l l′(l0,l0)+l0l l′(l0,l0)=0, 消去l0得：l l′(l0,l0)l l′(l0,l0)−l l′(l0,l0)l l′(l0,l0)=0, 整理得：l l′(l0,l0)=1l l′(l0,l0)l l′(l0,l0)l l′(l0,l0) (因为l l′(l,l)≠0),若l l′(l0,l0)≠0, 则l l′(l0,l0)≠0。

综上所述，本题正确答案是D【考点】高等数学—多元函数微积分学—二元函数的极限(11)设l1,l2,?,l l均为l维列向量，l是l×l矩阵，下列选项正确的是(A)若l1,l2,?,l l线性相关，则ll1,ll2,?,ll l线性相关(B)若l1,l2,?,l l线性相关，则ll1,ll2,?,ll l线性无关(C)若l1,l2,?,l l线性无关，则ll1,ll2,?,ll l线性相关(D)若l1,l2,?,l l线性无关，则ll1,ll2,?,ll l线性无关【答案】A。

【解析】【方法一】因为l1,l2,?,l l线性相关，故存在不全为零的数l1,l2,?,l l使得l1l1+ l2l2+?+l l l l=0从而有l(l1l1+l2l2+?+l l l l)=l0=0即l1ll1+l2ll2+?+l l ll l=0, 由于l1,l2,?,l l不全为0而是上式成立，说明ll1,ll2,?,ll l线性相关。

【方法二】利用秩来求解，利用分块矩阵有(ll1,ll2,?,ll l)=l(l1,l2,?,l l)那么l(ll1,ll2,?,ll l)≤l(l1,l2,?,l l)因为l1,l2,?,l l线性相关，有l(l1,l2,?,l l)<s从而l(ll1,ll2,?,ll l)<l, 故ll1,ll2,?,ll l线性相关。

综上所述，本题正确答案是A【考点】线性代数—向量—向量组的线性相关与线性无关，向量组的秩(12)设l为三阶矩阵，将l的第2行加到第1行的l，再将l的第1列的−1倍加到第2列得l，记l=[110010001]，则(A)l=l−1ll(B)l=lll−1 (C)l=l T ll(D)l=lll T 【答案】B。

【解析】按已知条件，用初等矩阵描述有l=[110010001]l,l=l[1−10010001]所以l=[110010001]l[1−10010001]=lll−l。

综上所述，本题正确答案是B【考点】线性代数—矩阵—矩阵的线性运算(13)设l,l为随机事件，且l(l)>0,l(l|l)=1,则必有(A)l(l∪l)>l(l) (B)l(l∪l)>l(l)(C)l(l∪l)=l(l) (D)l(l∪l)=l(l)【答案】C。

【解析】由l(l|l)=l(ll)l(l)=1，得到l(ll)=l(l)，又已知l(l∪l)=l(l)+l(l)−l(ll)=l(l)综上所述，本题正确答案是C。

【考点】概率论与数理统计—随机事件和概率—条件概率，概率的基本公式(14)设随机变量l服从正态分布l(l1,l12),l服从正态分布l(l2,l22), 且l{|l−l1|<1}>l{|l−l2|<1}, 则必有(A)l1<l2 (B)l1>l2(C)l1<l2 (D)l1>l2【答案】A。

【解析】由于l与l的分布不同，不能直接判断l{|l−l1|<1}和l{|l−l2|<1}的大小与参数的关系，将其标准化，就可以方便比较。

l{|l−l1|<1}=l{|l−l1l1|<1l1}, 随机变量l−l1l1~l(0,1), 且其概率密度函数为偶函数，故l{|l−l1l1|<1l1}=2l{0<l−l1l1<1l1}=2[Φ(1l1)−Φ(0)]=2Φ(1l1)−1同理l{|l−l2|<1}=2Φ(1l2)−1。