(精校版)2017年全国三卷理科数学高考真题及答案解析
2017全国三卷理科数学高考真题及答案
2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ）理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│，B ={}(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为 A ．3B ．2C ．1D ．02．设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣=A ．12B C D ．23．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图． 根据该折线图，下列结论错误的是 A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 4．(x +y )(2x -y )5的展开式中x 3y 3的系数为 A ．-80B ．-40C ．40D ．805．已知双曲线C ：22221x y a b -= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为y =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为 A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -= 6．设函数f (x )=cos(x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f (x )的一个周期为?2πB ．y =f (x )的图像关于直线x =83π对称 C ．f (x +π)的一个零点为x =6πD ．f (x )在(2π,π)单调递减 7．执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为A ．5B ．4C ．3D ．28．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A ．πB ．3π4C ．π2D ．π49．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为 A ．-24B ．-3C ．3D ．810．已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为ABCD ．1311．已知函数211()2()x x f x x x a ee --+=-++有唯一零点，则a =A ．12-B ．13C ．12D ．112．在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λAB +μAD ，则λ+μ的最大值为A ．3B ．CD ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2017高考全国3卷理科数学试题及答案
2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国）理科数学（试题及答案解析）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则AB 中元素的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0 【答案】B【解析】A 表示圆221x y +=上所有点的集合，B 表示直线y x =上所有点的集合，故A B 表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即A B 元素的个数为2，故选B.2．设复数z 满足(1i)2i z +=，则z =（） A ．12B ．22C ．2D ．2【答案】C【解析】由题，()()()2i 1i 2i 2i 2i 11i 1i 1i 2z -+====+++-，则22112z =+=，故选C.3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是 A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】A【解析】由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A 选项错误，故选A.4．5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为（）A ．-80B ．-40C ．40D ．80 【答案】C【解析】由二项式定理可得，原式展开中含33x y 的项为()()()()2332233355C 2C 240x x y y x y x y ⋅-+⋅-=，则33x y 的系数为40，故选C.5．已知双曲线22221x y C a b -=：（0a >，0b >）的一条渐近线方程为52y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点．则C 的方程为（） A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -= 【答案】B【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为52y x =，则52b a =① 又∵椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，易知3c =，则2229a b c +==② 由①②解得2,5a b ==，则双曲线C 的方程为22145x y -=，故选B.6．设函数π()cos()3f x x =+，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线8π3x =对称C ．()f x π+的一个零点为π6x =D ．()f x 在π(,π)2单调递减【答案】D【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到，如图可知，()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增，D 选项错误，故选D.π23π53-π36πxy O7．执行右图的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2【答案】D【解析】程序运行过程如下表所示：S Mt 初始状态 0 100 1第1次循环结束 100 10- 2第2次循环结束 90 1 3此时9091S =<首次满足条件，程序需在3t =时跳出循环，即2N =为满足条件的最小值，故选D.8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A ．πB ．3π4C ．π２D ．π4【答案】B【解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径r =则圆柱体体积23ππ4V r h ==，故选B.9．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ，6a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为（）A ．24-B ．3-C ．3D ．8 【答案】A【解析】∵{}n a 为等差数列，且236,,a a a 成等比数列，设公差为d . 则2326a a a =⋅，即()()()211125a d a d a d +=++ 又∵11a =，代入上式可得220d d += 又∵0d ≠，则2d =-∴()61656561622422S a d ⨯⨯=+=⨯+⨯-=-，故选A.10．已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段1A 2A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（）ABC．３D ．13【答案】A【解析】∵以12A A 为直径为圆与直线20bx ay ab -+=相切，∴圆心到直线距离d 等于半径，∴d a ==又∵0,0a b >>，则上式可化简为223a b =∵222b ac =-，可得()2223a a c =-，即2223c a =∴c e a ==A11．已知函数211()2(e e )x x f x x x a --+=-++有唯一零点，则a =（）A ．1-２B ．13C ．12D ．1【答案】C【解析】由条件，211()2(e e )x x f x x x a --+=-++，得：221(2)1211211(2)(2)2(2)(e e )4442(e e )2(e e )x x x x x x f x x x a x x x a x x a ----+----+-=---++=-+-+++=-++∴(2)()f x f x -=，即1x =为()f x 的对称轴， 由题意，()f x 有唯一零点， ∴()f x 的零点只能为1x =， 即21111(1)121(e e )0f a --+=-⋅++=，解得12a =．12．在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（）A ．3 B． CD ．2【答案】A【解析】由题意，画出右图．设BD 与C 切于点E ，连接CE ．以A 为原点，AD 为x 轴正半轴， AB 为y 轴正半轴建立直角坐标系， 则C 点坐标为(2,1)． ∵||1CD =，||2BC =．∴BD = ∵BD 切C 于点E ． ∴CE ⊥BD ．∴CE 是Rt BCD △中斜边BD 上的高．12||||22||||||BCD BC CD S EC BD BD ⋅⋅⋅====△即C． ∵P 在C 上．∴P 点的轨迹方程为224(2)(1)5x y -+-=． 设P 点坐标00(,)x y ，可以设出P 点坐标满足的参数方程如下：()A O D x yB P CE0021x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩而00(,)AP x y =，(0,1)AB =，(2,0)AD =．∵(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=∴0112x μθ==+，01y λθ==+． 两式相加得：112)2sin()3λμθθθϕθϕ+=+++=++=++≤(其中sin ϕ，cos ϕ=) 当且仅当π2π2k θϕ=+-，k ∈Z 时，λμ+取得最大值3．二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若x ，y 满足约束条件0,20,0,-⎧⎪+-⎨⎪⎩x y x y y ≥≤≥则34z x y =-的最小值为________．【答案】1-【解析】由题，画出可行域如图：目标函数为34z x y =-，则直线344zy x =-纵截距越大，z 值越小． 由图可知：z 在()1,1A 处取最小值，故min 31411z =⨯-⨯=-．14．设等比数列{}n a 满足121a a +=-，133a a -=-，则4a =________． 【答案】8-【解析】{}n a 为等比数列，设公比为q ．121313a a a a +=-⎧⎨-=-⎩，即1121113a a q a a q +=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩①②， 显然1q ≠，10a ≠，②①得13q -=，即2q =-，代入①式可得11a =，()3341128a a q ∴==⨯-=-．15．设函数1,0,()2,0,+⎧=⎨>⎩xx x f x x ≤则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是________． 【答案】1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】()1,02 ,0+⎧=⎨>⎩x x x f x x ≤，()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，即()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭由图象变换可画出12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与()1y f x =-的图象如下：12-1211(,)44-1()2y f x =-1()y f x =-yx由图可知，满足()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭的解为1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.16．a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB 与a 成60︒角时，AB 与b 成30︒角； ②当直线AB 与a 成60︒角时，AB 与b 成60︒角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45︒； ④直线AB 与a 所成角的最大值为60︒．其中正确的是________（填写所有正确结论的编号） 【答案】②③【解析】由题意知，a b AC 、、三条直线两两相互垂直，画出图形如图．不妨设图中所示正方体边长为1， 故||1AC =，2AB =，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，则A 点保持不变， B 点的运动轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆．以C 为坐标原点，以CD 为x 轴正方向，CB 为y 轴正方向， CA 为z 轴正方向建立空间直角坐标系． 则(1,0,0)D ，(0,0,1)A ，直线a 的方向单位向量(0,1,0)a =，||1a =． B 点起始坐标为(0,1,0)，直线b 的方向单位向量(1,0,0)b =，||1b =． 设B 点在运动过程中的坐标(cos ,sin ,0)B θθ'， 其中θ为B C '与CD 的夹角，[0,2π)θ∈．那么'AB 在运动过程中的向量(cos ,sin ,1)AB θθ'=--，||2AB '=．设AB '与a 所成夹角为π[0,]2α∈，则(cos ,sin ,1)(0,1,0)cos sin |a AB θθαθ--⋅=∈'． 故ππ[,]42α∈，所以③正确，④错误．设AB '与b 所成夹角为π[0,]2β∈，cos (cos ,sin ,1)(1,0,0)cos |AB bb AB b AB βθθθ'⋅='-⋅='.当AB '与a 夹角为60︒时，即π3α=， sin3πθα=． ∵22cos sin 1θθ+=，∴|cos |θ=∴1cos cos |2βθ==．∵π[0,]2β∈．∴π=3β，此时AB '与b 夹角为60︒．∴②正确，①错误．三、解答题：（共70分．第17-20题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共60分． 17．（12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 0A A +=，a =，2b =．（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD △的面积．【解析】（1）由sin 0A A =得π2sin 03A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()ππ3A k k +=∈Z ，又()0,πA ∈，∴ππ3A+=，得2π3A =.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-⋅.又∵12,cos2a b A ===-代入并整理得()2125c +=，故4c =.（2）∵2,4AC BC AB ===，由余弦定理222cos 2a b c C ab +-==. ∵AC AD ⊥，即ACD △为直角三角形，则cos AC CD C =⋅，得CD =由勾股定理AD =又2π3A =，则2πππ326DAB ∠=-=， 1πsin 26ABDS AD AB =⋅⋅=△18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[)2025，，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量n （单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？ 【解析】⑴易知需求量x 可取200,300,500()21612003035P X +===⨯()3623003035P X ===⨯()257425003035P X ++===⨯.⑵①当200n ≤时：，此时max 400Y =，当200n =时取到.②当200300n <≤时：()()4122002200255Y n n =⋅+⨯+-⋅-⎡⎤⎣⎦ 880026800555n n n -+=+= 此时max 520Y =，当300n =时取到. ③当300500n <≤时，()()()()12220022002300230022555Y n n n =⨯+-⋅-+⨯+-⋅-+⋅⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 320025n -=此时520Y <.④当500n ≥时，易知Y 一定小于③的情况.综上所述：当300n =时，Y 取到最大值为520.19．（12分）如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形．ABDCBD ，AB BD ． （1）证明：平面ACD 平面ABC ；（2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分．求二面角D AE C 的余弦值．【解析】⑴取AC 中点为O ，连接BO ，DO ； ABC ∆为等边三角形 ∴BO AC ⊥ ∴AB BC =AB BC BD BDABD DBC =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ABD CBD ∴∆≅∆. ∴AD CD =,即ACD ∆为等腰直角三角形，ADC ∠ 为直角又O 为底边AC 中点 ∴DO AC ⊥令AB a =，则AB AC BC BD a ====易得：OD =，OB = ∴222OD OB BD +=由勾股定理的逆定理可得2DOB π∠=即OD OB ⊥ OD AC OD OB AC OB O AC ABC OB ABC⊥⎧⎪⊥⎪⎪=⎨⎪⊂⎪⊂⎪⎩平面平面OD ABC ∴⊥平面 又∵OD ADC ⊂平面由面面垂直的判定定理可得ADC ABC ⊥平面平面 ⑵由题意可知V V D ACE B ACE --= 即B ,D 到平面ACE 的距离相等 即E 为BD 中点以O 为原点，OA 为x 轴正方向，OB 为y 轴正方向，OD 为z 轴正方向，设AC a =，建立空间直角坐标系，则()0,0,0O ，,0,02a A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,0,2a D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,0B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，,4a E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭易得：,24a a AE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，,0,22a a AD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，,0,02a OA ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 设平面AED 的法向量为1n ，平面AEC 的法向量为2n ，DB C ED A BC EO则1100AE n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得(13,1,n =220AE n OA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得(20,1,n = 若二面角D AE C --为θ，易知θ为锐角，则12127cos 7n n n n θ⋅==⋅20．（12分）已知抛物线2:2C y x ，过点（2，0）的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点P （4，2），求直线l 与圆M 的方程．【解析】⑴显然，当直线斜率为0时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．设:2l x my =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立：222y xx my ⎧=⎨=+⎩得2240y my --=，2416m ∆=+恒大于0，122y y m +=，124y y =-．1212OA OBx x y y ⋅=+ 12(2)(2)my my =++21212(1)2()4m y y m y y =++++ 24(1)2(2)4m m m =-+++0=∴OA OB ⊥，即O 在圆M 上． ⑵若圆M 过点P ，则0AP BP ⋅= 1212(4)(4)(2)(2)0x x y y --+++= 1212(2)(2)(2)(2)0my my y y --+++=21212(1)(22)()80m y y m y y +--++=化简得2210m m --=解得12m =-或1①当12m =-时，:240l x y +-=圆心为00(,)Q x y ，120122y y y +==-，0019224x y =-+=，半径||r OQ ==则圆229185:()()4216M x y -++=②当1m =时，:20l x y --=圆心为00(,)Q x y ，12012y y y +==，0023x y =+=，半径||r OQ ==则圆22:(3)(1)10M x y -+-=21．（12分）已知函数()1ln f x x a x =--．（1）若()0f x ≥，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1)(1)222nm ，求m 的最小值．【解析】⑴ ()1ln f x x a x =--，0x >则()1a x af x x x-'=-=，且(1)0f =当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在()0+∞，上单调增，所以01x <<时，()0f x <，不满足题意； 当0a >时，当0x a <<时，()0f x '<，则()f x 在(0,)a 上单调递减； 当x a >时，()0f x '>，则()f x 在(,)a +∞上单调递增．①若1a <，()f x 在(,1)a 上单调递增∴当(,1)x a ∈时()(1)0f x f <=矛盾 ②若1a >，()f x 在(1,)a 上单调递减∴当(1,)x a ∈时()(1)0f x f <=矛盾③若1a =，()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增∴()(1)0f x f =≥满足题意综上所述1a =．⑵ 当1a =时()1ln 0f x x x =--≥即ln 1x x -≤则有ln(1)x x +≤当且仅当0x =时等号成立∴11ln(1)22k k +<，*k ∈N一方面：221111111ln(1)ln(1)...ln(1) (112222222)n n n ++++++<+++=-<，即2111(1)(1)...(1)e 222n +++<．另一方面：223111111135(1)(1)...(1)(1)(1)(1)222222264n +++>+++=>当3n ≥时，2111(1)(1)...(1)(2,e)222n +++∈∵*m ∈N ，2111(1)(1)...(1)222n m +++<，∴m 的最小值为3．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为,,x t y kt =2+⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为,,x m my k =-2+⎧⎪⎨=⎪⎩（m 为参数），设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程：（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设:(cos sin )l ρθθ3+=0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．【解析】⑴将参数方程转化为一般方程()1:2l y k x =- ……①()21:2l y x k=+ ……②①⨯②消k 可得：224x y -=即P 的轨迹方程为224x y -=； ⑵将参数方程转化为一般方程3:0l x y += ……③联立曲线C 和3l 224x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩解得ρ=即M．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()||||f x x x =+1--2． （1）求不等式()f x ≥1的解集；（2）若不等式()f x x x m 2≥-+的解集非空，求m 的取值范围．【解析】⑴()|1||2|f x x x =+--可等价为()3,121,123,2--⎧⎪=--<<⎨⎪⎩x f x x x x ≤≥.由()1f x ≥可得：①当1-x ≤时显然不满足题意；②当12x -<<时，211-x ≥，解得1x ≥；③当2x ≥时，()31=f x ≥恒成立.综上，()1f x ≥的解集为{}|1x x ≥.⑵不等式()2-+f x x x m ≥等价为()2-+f x x x m ≥，令()()2g x f x x x =-+，则()g x m ≥解集非空只需要()max ⎡⎤⎣⎦g x m ≥.而()2223,131,123,2⎧-+--⎪=-+--<<⎨⎪-++⎩x x x g x x x x x x x ≤≥.①当1-x ≤时，()()max 13115g x g =-=---=-⎡⎤⎣⎦；②当12x -<<时，()2max3335312224g x g ⎛⎫⎛⎫==-+⋅-=⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭； ③当2x ≥时，()()2max 22231g x g ==-++=⎡⎤⎣⎦. 综上，()max 54g x =⎡⎤⎣⎦，故54m ≤.。
2017全国三卷理科数学高考真题及答案
2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ）理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│，B ={}(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为 A ．3B ．2C ．1D ．02．设复数z 满足（1+i ）z =2i ，则∣z ∣= A ．12B ．22C ．2D ．23．某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图．根据该折线图,下列结论错误的是 A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 4．(x +y ）(2x —y )5的展开式中x 3y 3的系数为 A ．—80B ．-40C ．40D ．805．已知双曲线C ：22221x y a b -= (a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程为52y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点,则C 的方程为A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -= 6．设函数f (x )=cos （x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f （x )的一个周期为−2π B ．y =f （x )的图像关于直线x =83π对称 C ．f (x +π)的一个零点为x =6πD ．f (x )在（2π，π)单调递减 7．执行下面的程序框图,为使输出S 的值小于91,则输入的正整数N 的最小值为A ．5B ．4C ．3D ．28．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A ．πB ．3π4C ．π2D ．π49．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为A ．—24B ．—3C ．3D ．810．已知椭圆C :22221x y a b+=，（a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2,且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A 6B 3C ．23D ．1311．已知函数211()2()x x f x x x a ee --+=-++有唯一零点,则a =A．12-B．13C．12D．112．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若AP=λAB+μAD,则λ+μ的最大值为A．3 B．CD．2二、填空题：本题共4小题,每小题5分，共20分.13．若x，y满足约束条件y020xx yy-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩,则z34x y=-的最小值为__________．14．设等比数列{}n a满足a1 + a2 = –1，a1–a3 = –3，则a4 = ___________．15．设函数10()20xx xf xx+≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x+->的x的取值范围是_________。
2017高考全国3卷理科数学试题与答案
2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国）理科数学（试题及答案解析）一、选择题：（本题共12小题，每小题 5分，共 60分）1．已知集合 A ( x, y) x 2 y 2 1 ， B( x, y) y x ，则 AB 中元素的个数为（）A ． 3B ． 2C ． 1D ． 0【答案】 B221 上所有点的集合， B 表示直线 yx 上所有点的集合，【解析】 A 表示圆 x y 故 A B 表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即 A B 元素的个数为2，故选 B.2．设复数 z 满足 (1 i) z 2i ，则 z （）1 B ．2 C ． 2D ． 2A ．22【答案】 C2i 2i 1 i 2i 2 122 ，故选 C.【解析】由题， z1 i 1 ii 1 ，则 z 121 i23．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014 年 1 月至2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是A ．月接待游客量逐月增加B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8 月份D ．各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳【答案】 A【解析】由题图可知， 2014年8月到 9月的月接待游客量在减少，则 A 选项错误，故选 A.4． ( x y)(2 x y)5 的展开式中 x 3 y 3 的系数为（）A ．B ．C ． 40D ． 80【答案】 C【解析】由二项式定理可得，原式展开中含x 3 y3的项为x 22 x 23y 33240x 333 3C 5y C 5 2xyy，则 x y 的系数为 40，故选 C.225x ，且与椭圆5．已知双曲线C ：x2y 2 1（ a 0 ， b 0 ）的一条渐近线方程为 yx 2 y 2ab21 有公共焦点．则 C 的方程为（）123A ． x 2 y 2 1B ． x 2 y 21C ． x 2 y 21D ． x 2 y 218104 55443【答案】 B【解析】 ∵双曲线的一条渐近线方程为y5 x ，则 b5 ① 又∵ 椭圆x 2y 22 a21 与双曲线有公共焦点，易知 c 3 ，则 a 2b 2 c29 ②123x2y2由①② 解得 a 2,b5 ，则双曲线 C 的方程为1，故选 B.456．设函数 f ( x)πcos(x) ，则下列结论错误的是（）38πA ． f (x) 的一个周期为2πB ． y f ( x) 的图像关于直线 x对称3C ． f ( xπ π ) 的一个零点为 xD ． f (x) 在 ( , π) 单调递减【答案】 D 62【解析】函数 fx cos xπ的图象可由 y cosx 向左平移π个单位得到，3 3 如图可知， f x在 π, π 上先递减后递增， D 选项错误，故选 D.2y- Ox67．执行右图的程序框图，为使输出S 的值小于 91，则输入的正整数N的最小值为（） A ． 5 B ．4 C ．3 D ． 2【答案】 D【解析】程序运行过程如下表所示：SM t 初始状态 0 100 1 第1次循环结束 100 10 2 第2次循环结束 90 1 3此时 S 90 91 首次满足条件，程序需在 t 3 时跳出循环，即 N2 为满足条件的最小值，故选 D.8．已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A ．πB ．3π ππ4C ．D ．【答案】 B２41 2【解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径23 ， r122则圆柱体体积 Vπ 23πrh，故选 B.49．等差数列 a n 的首项为 1，公差不为 0．若 a 2 ， a 3 ， a 6 成等比数列，则a n前 6项的和为（）A ． 24B ． 3C ． 3D ． 8【答案】 A【解析】 ∵ a n为等差数列，且 a 2 , a 3 , a 6 成等比数列，设公差为 d .则 a 32 a 2 a 6 ，即 a 12d 2a 1 d a 15d又∵ a 1 1 ，代入上式可得 d 2 2d 0又∵ d 0 ，则 d 2∴ S 66a 1 6 5 d 1 6 6 5 224 ，故选 A.2 222xya b 0A 1A 2A 1 A 210．已知椭圆 C : a 2 b 21（ ）的左、右顶点分别为， ，且以线段 为直径的圆与直线 bx ay 2ab 0 相切，则 C 的离心率为（）A ．6B ．3C ．21 33D ．３3【答案】 A【解析】 ∵ 以 A 1 A 2 为直径为圆与直线 bx ay2ab 0 相切，∴圆心到直线距离d 等于半径，∴ d2aba22又∵ a0,b0 ，则上式可化简为 a 2 3b 2 ∵ b 2 a 2c 2，可得 a 23 a2c2，即 c22a 23∴ ec 6，故选Aa311．已知函数 f ( x) x 2 2xa(e x 1e x 1 ) 有唯一零点，则a（）1 1 1A ． ２B ． 3C ． 2D ． 1【答案】 C【解析】由条件，f ( x) 22xx 1e x 1x a(e) ，得：f (2x) (2 x) 2 2(2x) a(e 2 x 1e (2 x ) 1 )x 2 4 x 4 42x a(e 1 x e x 1 )22 x x 1e x 1x a(e ) ∴ f (2x) f (x) ，即 x 1 为 f (x) 的对称轴，由题意， f (x) 有唯一零点，∴ f ( x) 的零点只能为 x 1 ，即 f (1) 12 2 1 a(e 1 1e 1 1) 0 ，解得 a 1．212．在矩形 ABCD 中， AB 1， AD2 ，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上．若APABAD ，则的最大值为（）yA ． 3B ． 2 2P gC ． 5D ． 2BC【答案】 A【解析】由题意，画出右图．设 BD 与 C 切于点 E ，连接 CE ．E以 A 为原点， AD 为 x 轴正半轴，xA(O)DAB 为y轴正半轴建立直角坐标系，则 C 点坐标为 (2,1) ． ∵|CD| 1，|BC | 2．22．∴BD 1 25 ∵ BD 切 C 于点 E ．∴CE ⊥BD ．∴ CE 是 Rt △ BCD 中斜边 BD 上的高 ．1 |BC| |CD|2 S △ BCD 22 2 2|EC ||BD | 5 5|BD |5即 C 的半径为 25 ．5∵P 在 C 上．∴ P 点的轨迹方程为 ( x 2)2( y 1)245 ．设 P 点坐标(x 0, y 0)，可以设出 P 点坐标满足的参数方程如下：2x 0 2 5 cos 2y 0 15 sin而 AP (x 0 , y 0 ) ， AB (0,1) ， AD (2,0) ．∵ AP AB AD (0,1) (2,0) (2 , )∴115，y 01 2 5 sin ．x 05cos52两式相加得：1 2 5sin15cos552( 2 5 )2 ( 5 )2 sin( )5 5 2 sin( ) ≤ 3(其中 sin5， cos2 5 )55当且仅当π2 k π， kZ 时，取得最大值 3．2二、填空题：（本题共4小题，每小题 5分，共 20分）x y ≥ 0,13．若 x ， y 满足约束条件xy 2 ≤ 0, 则 z 3x 4 y 的最小值为 ________．y ≥ 0,【答案】 1【解析】由题，画出可行域如图：目标函数为 z 3 x 4 y ，则直线 3 zz 值越小．yx 纵截距越大， 由图可知： z 在 A 1,1 4 4处取最小值，故 z min 3 1 4 1 1 ．x y 2 0yA(1,1)B x(2,0)x y 014．设等比数列 a n满足 a 1 a 21 ， a 1 a 33 ，则 a4 ________．【答案】 8【解析】a n 为等比数列，设公比为 q ．a 1 a 2 1a 1 a 1 q 1 ① a 1 a 33 ，即 a 1 a 1 q 2 3 ② ， 显然 q 1， a 1 0 ，②得 1 q3 ，即 q2 ，代入 ① 式可得 a 1 1 ，①a 4 a 1q 3 138 ．2f (x)x 1,x ≤ 0, f ( x1115．设函数 2x , x 0,则满足 f (x))的 x 的取值范围是 ________．2【答案】1 ,4【解析】fxx 1,x ≤ 0， f x f x1 1 1 1 f x2 x , x 02，即 f x2由图象变换可画出yf x1 与 y1 fx的图象如下：2yyf (x 1)2( 1,1)4 4x1 122y 1 f (x)由图可知，满足 f x1 1 1 f x 的解为,.2416． a ， b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边①当直线 AB 与 a 成②当直线 AB 与 a 成AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，有下列结论： 60 角时， AB 与 b 成 30 角；60 角时， AB 与 b 成 60 角；③直线 AB 与 a 所成角的最小值为45 ； ④直线 AB 与 a 所成角的最大值为60 ．其中正确的是 ________（填写所有正确结论的编号）【答案】 ②③【解析】由题意知， a 、 b 、AC 三条直线两两相互垂直，画出图 形如图 ．不妨设图中所示正方体边长为 1，故|AC| 1， AB2，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，则A 点保持不变，B 点的运动轨迹是以C 为圆心， 1为半径的圆 ．以 C 为坐标原点，以 CD 为 x 轴正方向， CB 为 y 轴正方向，CA 为 z 轴正方向建立空间直角坐标系．则 D(1,0,0) ， A(0,0,1) ，直线 a 的方向单位向量 a(0,1,0) ， | a | 1 ．B 点起始坐标为 (0,1,0) ，直线 b 的方向单位向量 b (1,0,0) ， | b | 1 ．设 B 点在运动过程中的坐标B (cos ,sin,0) ， 其中 为 BC 与CD 的夹角， [0,2 π) ． 那么 AB '在运动过程中的向量 AB ( cos, sin ,1) ， | AB | 2 ．设 AB 与 a 所成夹角为[0, π] ，2则cos 故设AB( cos , sin ,1) (0,1,0)2| sin| [0,2] ．a AB22π π[ ,] ，所以③正确，④错误．4 2与 b 所成夹角为π[0, ]，2AB bcosb AB(cos,sin,1) (1,0,0) .b AB2| cos |2当AB与 a 夹角为60π时，即3，sin2cos 2 cos 2 12 ．∵ cos2sin 2322 1，∴ | cos| 2 ．2∴ cos2| cos| 1 ．22π∵[0, ]． 2π∴=，此时AB与b夹角为60．3∴② 正确，①错误．三、解答题：（共70分．第 17-20题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22， 23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分．17．（ 12分）ABC 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A 3 cos A 0 ，a 2 7 ，b 2．（ 1）求 c；（ 2）设D为 BC 边上一点，且AD AC ，求△ ABD 的面积．【解析】（1）由 sin A 3 cos A0 得2sin A π0 ，3即 A πkπk Z ，又A0, π，3∴ A ππ，得A2π33.1由余弦定理222.又∵a 27, b 2,cosAa b c 2 bc cos A代入并整理22得 c25 ，故c 4 .1（2）∵ AC2, BC27, AB 4 ，2 2 22 7 .由余弦定理 cosCab c2ab 7∵ AC AD ，即 △ACD 为直角三角形，则 ACCD cosC ，得 CD 7 .由勾股定理 AD CD 223 .AC 又 A2π DAB2π π π，则32 ，36 S △ ABD1AD AB sinπ3 .2618．（ 12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4元，售价每瓶 6元，未售出的酸奶降价处理， 以每瓶 2元的价格当天全部处理完． 根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间 20 ，25 ，需求量为 300瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温 10 ，1515 ，2020 ，25 25 ，3030 ，3535 ，40天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．（ 1）求六月份这种酸奶一天的需求量 X （单位：瓶）的分布列； （ 2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y （单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量 n （单位：瓶）为多少时， Y 的数学期望达到最大值？【解析】 ⑴易知需求量 x 可取 200,300,500P X 2 16 1200 3 530 P X 36 2300 3 530 P X 25 7 4 2500 3 .30 5则分布列为：X 200 300 500P122555⑵① 当 n ≤ 200 时： Y n 6 4 2n ，此时 Y max 400 ，当 n 200 时取到 .②当 2004 2n 1 2 n 200 2 n ≤ 300 时： Y 2005 58 800 2n 6n 800n5 55此时 Y max 520 ，当 n 300 时取到 .③当 300n ≤ 500 时，Y1200 2n200223002n 30022n 25553200 2n5此时 Y 520.④当 n ≥ 500 时，易知 Y 一定小于 ③ 的情况 .综上所述：当 n 300 时， Y 取到最大值为 520 .19．（12分）如图，四面体 ABCD 中，△ABC 形．?ABD ?CBD ，AB= BD．（1）证明：平面 ACD ^ 平面 ABC ；（2）过 AC 的平面交BD于点E，若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分．求二面角D- AE- C的余弦值．是正三角形，△ACD 是直角三角DECB【解析】⑴取 AC 中点为 O ，连接 BO ， DO ；A DABC 为等边三角形∴ BO AC E∴ AB BC CAB BCOBD BD ABDCBD .B ABDDBC∴ AD CD ,即ACD 为等腰直角三角形，ADC A为直角又 O 为底边 AC 中点∴DO AC令 AB a ，则 AB AC BC BD a易得：OD 2， OB3 a a22222∴ OD OB BD由勾股定理的逆定理可得DOB2即OD OBOD ACOD OB z AC OBO OD平面 ABC D AC平面 ABCOB平面 ABC又∵OD 平面ADC平面 ADC C E由面面垂直的判定定理可得平面 ABC ⑵由题意可知V D ACE V B ACE即B , D 到平面ACE的距离相等即E为 BD中点以 O 为原点， OA 为x轴正方向，OB 为y轴正方向， OD 为 z 轴正方向，设 AC a ，建立空间直角坐标系，则O 0,0,0 ， Aa a3,0,0 ， D 0,0,，B 0,a,0222OB yAx3 a，E 0, a,44a3a a a a易得： AE,a,， AD,0, ， OA,0,0244222设平面 AED的法向量为 n1，平面 AEC 的法向量为n2，AE n 1 03,1, 3则n 1 ，解得 n 1 ADAE n 2 0 0,1, 3OA n 2，解得 n 2若二面角 D AE C 为，易知为锐角，则 cosn 1 n 27n 1 n 272lC于 A ，B 两点，圆 M 是以2012分）已知抛物线 C : y = 2x2 0）的直线 交 ．（，过点（ ， 线段 AB 为直径的圆．（ 1）证明：坐标原点 O 在圆 M 上；（ 2）设圆 M 过点 P （ 4， - 2 ），求直线 l 与圆 M 的方程．【解析】 ⑴显然，当直线斜率为 0 时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．设 l : x my 2 ， A( x 1 , y 1 ) ， B( x 2 , y 2 ) ， 联立：y 22 x得 y 22my 40 ，x my24 m216 恒大于 0 ， y 1 y 22m ， y 1 y 24 ．uuruuurOA OBx 1 x 2 y 1 y 2(my 1 2)( my 2 2)(m 2 1)y 1 y 2 2m( y 1 y 2 ) 4 uur uuur 4( m 2 1) 2 m(2 m) 4∴ OA OB ，即O 在圆 M 上．uuur uur⑵若圆 M 过点 P ，则 AP BP(x 1 4)( x 2 4) ( y 1 2)( y 2 2) 0(my 1 2)( my 2 2) ( y 1 2)( y 2 2) 0(m 2 1)y 1 y 2 (2 m 2)( y 1y 2 ) 8 02m 10 解得 m 1或 1化简得 2m21①当 m时， l : 2xy4 0 圆心为 Q(x 0 , y 0 ) ，2y 0y 1y 2 1， x 01y 0 29 ，22249 22半径 r|OQ |142则圆 M : ( x 9 )2 ( y 1 )2 854 2 16②当 m 1 时， l : x y 2 0 圆心为 Q(x 0 , y 0 ) ，y 0 y 1 y 2 1 ， x 0 y 0 2 3 ， 2半径 r|OQ |32 12则圆 M : ( x 3)2 ( y 1)21021．（ 12分）已知函数 f (x)x 1 a ln x ．（ 1）若 f (x) ≥ 0 ，求 a 的值；（ 2）设 m 为整数，且对于任意正整数 n ， (1 + 1 1 1m ，求 m 的最)(1 + 2 ) 鬃?(1 n ) <2 2 2小值．【解析】 ⑴ f (x) x 1 a ln x ， x 0则 f ( x)1 a xa，且 f (1) 0当 a ≤ 0 x x上单调增， 所以 0x 1时， f x 0 ， f x 在 0 ， 时， f x0 ，不满足题意；当 a 0 时，当 0 x a 时， f (x) 0 ，则 f (x) 在 (0, a) 上单调递减；当 x a 时， f ( x) 0 ，则 f (x) 在 (a,) 上单调递增．①若 a 1 ， f (x) 在 (a,1) 上单调递增 ∴ 当 x (a,1) 时 f ( x) f (1) 0 矛盾 ②若 a 1 ， f (x) 在 (1,a) 上单调递减 ∴ 当 x (1,a) 时 f ( x)f (1) 0 矛盾③若 a1 ， f ( x) 在 (0,1) 上单调递减， 在 (1,) 上单调递增 ∴ f (x) ≥ f (1)0 满足题意综上所述 a 1 ．⑵ 当 a 1 时 f ( x) x 1 ln x ≥ 0 即 ln x ≤ x 1则有 ln( x 1) ≤ x 当且仅当 x0 时等号成立∴ ln(11 1 ， kN *k)k22一方面： ln(11 ) ln(11 ... ln(11 1 1 ...1 1 ，2 2 )n )22n 1n 122222即 (111 1e ．)(122 )...(12 n)2另一方面： (11 11 (1 1 1 )(1 1 1352)(1 2 )...(1 2 n ) )(1 2 2 3 ) 642 2 2 2 当 n ≥3 时， (1 1 1 1 (2,e))(1 2 2 )...(12 n )2 ∵ m *(1 1 1 1 m ，N ， )(1 2 )...(1 2 n )2 2∴ m 的最小值为 3 ．22． [选修 4-4：坐标系与参数方程 ] （ 10分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l的参数方程为x t ,（ t 为参数），直线l的参数方程ykt,xm,为m（ m 为参数），设 l 与 l 的交点为 P ，当 k 变化时， P 的轨迹为曲线 C ．y,k（ 1）写出 C 的普通方程：（ 2）以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 设 l : cos( nis ) ，M 为 l 与 C 的交点，求 M 的极径．【解析】 ⑴将参数方程转化为一般方程l 1 : y k x 2⋯⋯ ① l 2 : y1 x2 ⋯⋯ ②k① ② 消 k 可得： x 2y 24即 P 的轨迹方程为 x 2 y 2 4 ； ⑵将参数方程转化为一般方程l 3 : x y 2 0⋯⋯ ③联立曲线 C 和 l 3x y2x2y24x3 22解得2y2x cos5 由sin 解得y即 M 的极半径是 5 ．23． [选修 4-5：不等式选讲 ]（10分）已知函数 f ( x) | x | | x | ．（ 1）求不等式 f ( x) 的解集；（ 2）若不等式 f ( x) x x m 的解集非空，求 m 的取值范围．3, x ≤ 1【解析】 ⑴ f x| x1| | x2| 可等价为 f x2x 1, 1x 2 .由 f x ≥ 1 可得：3,x ≥ 2①当 x ≤ 1 时显然不满足题意； ②当 1 x 2时， 2x 1≥1 ，解得 x ≥1 ；③当 x ≥ 2 时， f x 3 ≥ 1 恒成立 .综上， f x1的解集为 x | x ≥ 1 .⑵不等式 f x ≥ x 2x m 等价为 f xx 2x ≥ m ，令 g xf xx 2 x ，则 g x ≥ m 解集非空只需要g xmax ≥ m .x 2 x 3, x ≤ 1而 g xx 2 3 x 1, 1 x 2 .2x 3, x ≥ 2x①当 x ≤ 1 时， gxmaxg13 1 15 ；2②当 1 x 2 时， g xmaxg 333 3 1 5 ；222 4③当 x ≥ 2 时， g x maxg 22 22 3 1 .综上， g xmax5，故 m5 .44。
2017年全国卷3高考理科数学含答案详解
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ）理科数学注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的、号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│，B ={}(,)x y y x =│，则A I B 中元素的个数为 A ．3B ．2C ．1D ．02．设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣= A ．12B ．22C ．2D ．23．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．学#科&网根据该折线图，下列结论错误的是 A ．月接待游客量逐月增加B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 4．(x +y )(2x -y )5的展开式中x 3y 3的系数为A ．-80B ．-40C ．40D ．805．已知双曲线C ：22221x y a b -= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为5y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为 A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -= 6．设函数f (x )=cos(x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f (x )的一个周期为−2πB ．y =f (x )的图像关于直线x =83π对称 C ．f (x +π)的一个零点为x =6π D ．f (x )在(2π,π)单调递减 7．执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为A ．5B ．4C ．3D ．28．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A ．πB ．3π4C ．π2D ．π49．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为A ．-24B ．-3C ．3D ．810．已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为ABC．3D ．1311．已知函数211()2()x x f x x x a ee --+=-++有唯一零点，则a =A ．12-B ．13C ．12D ．112．在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP u u u r=λAB u u u r +μAD u u u r，则λ+μ的最大值为A ．3B ．CD ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)(含解析版)
2017 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|y=x}，则A∩B 中元素的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．02．（5分）设复数z 满足（1+i）z=2i，则|z|=（）A．B．C．D．23．（5 分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014 年1 月至2016 年12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（）A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8 月D．各年1 月至6 月的月接待游客量相对于7 月至12 月，波动性更小，变化比较平稳4．（5 分）（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数为（）A．﹣80 B．﹣40 C．40 D．805．（5 分）已知双曲线C：﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y= x，且与椭圆+ =1 有公共焦点，则C 的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1 6．（5分）设函数f（x）=cos（x+），则下列结论错误的是（）A．f（x）的一个周期为﹣2πB．y=f（x）的图象关于直线x=对称C．f（x+π）的一个零点为x=D．f（x）在（，π）单调递减7．（5分）执行如图的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（）A．5 B．4 C．3 D．28．（5 分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A．πB．C．D．9．（5 分）等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6 成等比数列，则{a n}前6 项的和为（）A．﹣24 B．﹣3 C．3 D．810．（5 分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2 为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0 相切，则C 的离心率为（）A．B．C．D．11．（5 分）已知函数f（x）=x2﹣2x+a（e x﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=（）A．﹣B．C．D．112．（5 分）在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ 的最大值为（）A．3 B．2C．D．2二、填空题:本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
2017全国三卷理科数学高考真题及答案
2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ）理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│，B ={}(,)x y y x =│，则AB 中元素的个数为 A ．3B ．2C ．1D ．02．设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣=A ．12BCD ．23．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图． 根据该折线图，下列结论错误的是 A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 4．(x +y )(2x -y )5的展开式中x 3y 3的系数为A ．-80B ．-40C ．40D ．805．已知双曲线C ：22221x y a b -= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为 A ．221810x y -=B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -= 6．设函数f (x )=cos(x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f (x )的一个周期为?2πB ．y =f (x )的图像关于直线x =83π对称 C ．f (x +π)的一个零点为x =6π D ．f (x )在(2π,π)单调递减 7．执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为A ．5B ．4C ．3D ．28．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A ．πB ．3π4C ．π2D ．π49．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a6成等比数列，则{}n a 前6项的和为A ．-24B ．-3C ．3D ．810．已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A．BCD ．1311．已知函数211()2()x x f x x x a ee --+=-++有唯一零点，则a =A ．12-B ．13C ．12D ．112．在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λAB +μAD ，则λ+μ的最大值为A ．3B ．C．D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2017年全国卷3高考理科数学含答案详解
2017年全国卷3高考理科数学含答案详解绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ）理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A={}22x y y x│，则A I B(,)=│，B={}+=(,)1x y x y中元素的个数为A．3 B．2 C．1 D．0 2．设复数z满足(1+i)z=2i，则∣z∣=A．12B．2C．2D．23．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．学#科&网根据该折线图，下列结论错误的是A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳4．(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为A．-80 B．-40 C．40D．805．已知双曲线C ：22221x y a b -= (a ＞0,b＞0)的一条渐近线方程为52y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -= 6．设函数f (x )=cos(x +3π)，则下列结论错误的是A ．f (x )的一个周期为−2πB ．y =f (x )的图像关于直线x =83π对称C ．f (x +π)的一个零点为x =6π D ．f (x )在(2π,π)单调递减 7．执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为A ．5B ．4C ．3D ．28．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A ．πB ．3π4 C ．π2 D ．π49．等差数列{}na 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}na 前6项的和为 A ．-24 B ．-3 C ．3 D ．810．已知椭圆C ：22221x y a b +=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A 6B 3C ．23D ．1311．已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =A ．12-B ．13C ．12D ．112．在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP u u u r =λAB u u u r +μAD u u u r ，则λ+μ的最大值为A ．3B ．2C 5D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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（2）若 z=1+2i，则 4i zz 1
(A)1
(B) -1
(B)（- ，2] [3,+ ） (D)（0，2] [3,+ ）
(C) i
(D)-i
（3）已知向量 BA (1 , 2 ) , BC ( 3 , 1), 则 ABC=
22
22
(A)300
(B) 450
(C) 600
(D)1200
（20）（本小题满分 12 分）
已知抛物线 C： y2 2x 的焦点为 F，平行于 x 轴的两条直线
B 两点，交 C 的准线于 P，Q 两点. （I）若 F 在线段 AB 上，R 是 PQ 的中点，证明 AR∥FQ； （II）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程.
l1,l2 分别交 C 于 A，
（I）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请用相关系数加以说明 （II）建立 y 关于 t 的回归方程（系数精确到 0.01），预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量。
（19）（本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥地面 ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 为线段 AD 上一点，AM=2MD，N 为 PC 的中点. （I）证明 MN∥平面 PAB; （II）求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值.
的图像至少向右平移_____________个单位长
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（15）已知 f(x)为偶函数，当 是_______________。
（16）已知直线
时， 与圆
，则曲线 y=f(x)，在带你（1，-3）处的切线方程 交于 A，B 两点，过 A，B 分别做 l 的垂线与 x 轴交于 C，
D 两点，若
，则
__________________.
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分 12 分）
已知数列 的前 n 项和
，
，其中 0
（I）证明 是等比数列，并求其通项公式
（II）若
S5
31 32
，求
（18）（本小题满分 12 分） 下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图
中 0 的个数不少于 1 的个数.若 m=4，则不同的“规范 01 数列”共有
（A）18 个
（B）16 个
（C）14 个
（D）12 个
二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分
（13）若 x，y 满足约束条件
则 z=x+y 的最大值为_____________.
（14）函数 度得到。
的图像可由函数
（A）18 36 5
（B） 54 18 5
（C）90 （D）81
(10) 在封闭的直三棱柱 ABC-A1B1C1 内有一个体积为 V 的球，若
AB BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则 V 的最大值是
（A）4π
（B） 9 2
（ C ） 6π
（D） 32 3
（11）已知 O
为坐标原点，F
是椭圆
C1
的参数方程为
x y
C：
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的左焦点，A，B 分别为
C 的左，右顶点.P 为 C
上一点，且 PF⊥x 轴.过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的
离心率为
（A） 1 3
（B） 1 2
（C） 2 3
（D） 3 4
（12）定义“规范 01 数列”{an}如下：{an}共有 2m 项，其中 m 项为 0，m 项为 1，且对任意 k 2m ，a1, a2 , , ak
如图，⊙O 中 AB 的中点为 P，弦 PC，PD 分别交 AB 于 E，F 两点.
（I）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD 的大小； （II）若 EC 的垂直平分线与 FD 的垂直平分线交于点 G，证明 OG⊥CD.
23.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系
xOy
中，曲线
Hale Waihona Puke word 版本整理分享范文 范例 指导 学习
（21）（本小题满分 12 分）设函数 f（x）=acos2x+（a-1）（cosx+1），其中 a＞0，记
（Ⅰ）求 f＇（x）；
（Ⅱ）求 A；
（Ⅲ）证明
≤2A.
的最大值为 A.
请考生在[22]、[23]、[24]题中任选一题作答。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。 如果多做，则按所做的第一题计分。 22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲
(D) 16 25
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
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（8）在 △ABC 中， B π ，BC 边上的高等于 1 BC ,则 cos A
4
3
（A） 3 10 10
（B） 10 10
（C） 10 10
（D） 3 10 10
(9)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为
（5）若 tan 3 ，则 cos2 2sin 2 4
(A) 64 25
(B) 48 25
(C) 1
4
3
1
（6）已知 a 23 ， b 44 ， c 253 ，则
（A） b a c （B） a b c （C） b c a （D） c a b
（7）执行下图的程序框图，如果输入的 a=4，b=6，那么输出的 n=
（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。图中
A 点表示十月的平均最高气温约为 150C，B 点表示四月的平均最低气温约为 50C。下面叙述不正确的是
(A) 各月的平均最低气温都在 00C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于 200C 的月份有 5 个
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2016 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
一. 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的.
（1）设集合 S= S x (x 2)(x3) 0,T xx 0 ，则 S T=
(A) [2，3]
(C) [3,+ ）