3讲义特殊的二次函数图像三(教师版)
特殊二次函数的图象PPT课件
1. 二次函数的图像都是抛物线. 2. 抛物线y=ax2的图像性质: (1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点（0，0）.
(2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点 （0，0）是抛物线的最低点;
当a<0时,抛物线的开口向下,顶点 （0，0）是抛物线的最高点;
y
a>0
o
x
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抛物线y=-x2 与y轴的交点是原点(0,0); 除这个交点外,抛物线上的所有点都 在x轴的下 方,这个交点是抛物线的最高点.
抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的 顶点.抛物线 y=-x2 的顶 3 4 5 x -2
-3 -4
-5 -6 -7 -8 -9
它是轴对称图形,对称轴是y轴,即直线x=0.
y 10
9 8
抛物线y=x2 与y轴的交点是原点O(0,0);
7
6
除这个交点外,抛物线上的所有点都
5
在x轴的上方,这个交点是抛物线的最低点.
4 3
抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的
2
顶点.抛物线 y=x2 的顶点是原点O(0,0).
1 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
-10
第8页/共16页
例1.在同一直角坐标系中画出函数y= 21x2和y=2x2的图像
解: (1) 列表
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
(2) 描点
y=
1 2
x2
…8
2
0
2
8…
x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 …
y=2x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 …
26.2(2)(3)特殊二次函数的图像
巩固训练
3、 (1)抛物线y x 向
2
平移
个单位就可以
2 得到y （x 1 ） 1 2 (2)抛物线y x 向 平移 个单位就 2 1 2 可以得到y （x 2） 2 (3)抛物线y ax 2 (a 0)向 平移 个单位
就可以得到y a ( x 2) 2 (4)抛物线y ax (a >0)向
26.2特殊二次函数的图像（2）
教学目标：
1.理解和掌握二次函数y=ax2 +c的图像并从图像观察出二次函 数y=ax2 +c的性质. 2.通过观察、实验、猜想、总结和类比，提高归纳问题的能力
教学重点：
通过二次函数y=ax2 +c的图像总结出有关性质
教学难点：
二次函数y=ax2 +c的图像和性质
教材分析：
总结归纳
抛物线y a( x m) 2 (其中a、m是常数，且a 0) 对称轴:直线x m， 顶点坐标:(m, 0)， 当a 0时，抛物线开口向上， 顶点是抛物线的最低点； 当a 0时，抛物线开口向下， 顶点是抛物线的最高点.
巩固训练
1、函数y=ax2与函数y= -3x2图像的形状相同， 开口方相反.将函数y=ax2图像沿y轴方向向上平 移2个单位，所得的函数 . 2、函数y= -4x2+1图像是 ，开口 ，对 称轴是 ，顶点坐标 ，它的图像有最 __点，此图像由y=-4x2的图像向 平移____ 个单位得到的.
议一议
1 2 函数y x 和 2 1 2 y x 2图像的 2 开口方向、对称轴、 顶点坐标？
总结归纳
抛物线y=ax2+c(其中a,c是常数,且 像a≠0)的图形特征
二次函数的图像和性质、解析式求法(教师版)
二次函数一．二次函数的概念1．二次函数的定义：一般地，形如 2y ax bx c =++（a b c ，，为常数，0a ≠）的函数称为关于x 的二次函数，其中x 为自变量，y 为因变量，,,a b c 分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数．2．二次函数2y ax bx c =++的结构特征：等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x知识图谱错题回顾知识精讲的最高次数是2．一．考点：二次函数的概念．二．重难点：二次函数的概念．三．易错点：二次函数的二次项系数不能等于零，一次项系数和常数项都没有限制．题模一：概念例1.1.1 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）A ． y=3x ﹣1B ． y=ax 2+bx+c C ． s=2t 2﹣2t+1D ． y=x 2+【答案】C【解析】 A 、y=3x ﹣1是一次函数，故A 错误； B 、y=ax 2+bx+c （a≠0）是二次函数，故B 错误； C 、s=2t 2﹣2t+1是二次函数，故C 正确； D 、y=x 2+不是二次函数，故D 错误；例1.1.2 若21(1)3m y m x mx +=-++是二次函数，则m 的值是（ ）A ． 1-B ． 2C ． 1±D ． 1【答案】A【解析】 根据二次函数的定义可得212m +=且10m -≠，解得1m =-，故答案为A 选项．例1.1.3 若()()2322231my m x m x x -=--++-是二次函数，则m 的值是__________．【答案】 2【解析】 由二次函数的定义可知2m =．例1.1.4 二次函数y=ax 2+bx-1（a ≠0）的图象经过点（1，1），则代数式1-a-b 的值为（ ） A ． -3 B ． -1 C ． 2 D ． 5 【答案】B 【解析】∵二次函数y=ax 2+bx -1（a≠0）的图象经过点（1，1）， ∵a+b -1=1，三点剖析题模精讲∵a+b=2，∵1-a -b=1-（a+b ）=1-2=-1． 故选：B ．随练 1.1 已知函数①54y x =-，②2263t x x =-，③32283y x x =-+，④2318y x =-，⑤2312y x x =-+，其中二次函数的个数为（ ） 【答案】 B 【解析】 本题考查的是二次函数概念． ①54y x =-，③32283y x x =-+，⑤2312y x x=-+不符合二次函数解析式， ②2263t x x =-，④2318y x =-符合二次函数解析式，有两个． 故选B ．随练1.2 已知函数()2113m y m x x +=-+，当m =_________时，它是二次函数．【答案】 1-【解析】 本题考查的是二次函数概念． ∵()2113m y m x x +=-+是二次函数，∴212m +=，∴1m =-或1m =（舍去，因为此时二次项系数10m -=）． 故答案为1-．随练1.3 中考）抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）经过点（1，2）和（-1，-6）两点，则a+c=____． 【答案】 -2 【解析】把点（1，2）和（-1，-6）分别代入y=ax 2+bx+c （a≠0）得： 26a b c a b c ++=⎧⎨-+=-⎩①②， 随堂练习∵+∵得：2a+2c=-4， 则a+c=-2； 故答案为：-2．y=ax^2的图象和性质一．2y ax =的图象与性质a 的符号图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 性质0a >向上y 轴()00，0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0．0a <向下y 轴()00，0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．一．考点：2y ax =的图象与性质．二．重难点：1．2y ax =的图象与性质；2．对于211y a x =和222y a x =，若12a a =，则1y 和2y 的函数图像是全等的．三．易错点：开口大小由a 决定，a 越大，开口越小．题模一：y=ax^2的图象和性质例2.1.1 若二次函数y=ax 2的图象经过点P （-2，4），则该图象必经过点（ ） A ． （2，4） B ． （-2，-4） C ． （-4，2） D ． （4，-2） 【答案】A知识精讲三点剖析题模精讲【解析】∵二次函数y=ax 2的对称轴为y 轴， ∵若图象经过点P （-2，4）， 则该图象必经过点（2，4）． 故选A ．例2.1.2 若二次函数22my mx -=有最大值，则m =__________．【答案】 2-【解析】 二次函数有最大值，则开口向下，得出2m =-．例2.1.3 在同一直角坐标系下，画出二次函数2y x =，2y x =-，212y x =-和22y x =的图象．【答案】【解析】 由描点法画出函数图像．例2.1.4 已知1a <-，点()11,a y -，()2,a y ，()31,a y +都在函数2y x =的图象上，则（ ） A ． 123y y y << B ． 132y y y << C ． 321y y y << D ． 213y y y <<【答案】C【解析】 因为1a <-，所以110a a a -<<+<，因为2y x =对称轴为y 轴，且开口向上，所以321y y y <<，故答案为C 选项．随练2.1 已知二次函数2y ax =经过点()3,3A ，点B 也在该二次函数图像上，且AB x ∥，则点B 的坐标为（ ）A ． ()3,3-B ． ()3,3-C ． ()3,1-D ． ()1,3- 【答案】A【解析】 由二次函数的对称性可知点()3,3B -．随练2.2 若二次函数21my mx +=有最小值，则m =__________．【答案】 1【解析】 二次函数有最小值，则开口向上，得出1m =．随堂练习随练2.3 在同一坐标系中画出二次函数214y x =，212y x =，2y x =的函数图像．【答案】【解析】 有描点法画出函数图像．y=a （x-h ）^2+k 的图象和性质一．()2y a x h k =-+（0a ≠）的图像和性质()2y a x h k =-+（0a ≠）是二次函数()20y ax bx c a =++≠的顶点式，其中(),h k 为其顶点坐标，x h =为其对称轴．一般式配成顶点式的方法：222222242224b c b b c b b ac b y ax bx c a x x a x x a x a a a a a a a a ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+++-=++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦． a 的符号 图象开口方向对称轴顶点坐标 性质0a >向上 x h =(,)h kx h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值k ．0a <向下 x h =(,)h kx h <时，y 随x 的增大而增大；x h >时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最大值k ．二．()2y a x h k =-+（0a ≠）图像的平移变换函数()2y a x h k =-+的图象可以看做是由函数2y ax =的图象先向左或向右平移||h 个单位，再向上或向下平移||k 个单位得到的；当0h >时，向右平移，当0h <时，向左平移；0k >时，向上平移，0k <时，向下平移．平移原则：左加右减，上加下减．例如：将()2y a x h k =-+向左或右平移m ()0m >个单位变为()2y a x h m k =-±+，向右平移m ()0m >个单位变为()2y a x h m k =--+；向上或下平移()0n n >个单位后变为()2y a x h k n =-+±，先向左平移m ()0m >个单位再向下平移()0n n >个单位后变为()2y a x h m k n =-++-．知识精讲三点剖析一．考点：()()20y a x h k a =-+≠的图像和性质，()()20y a x h k a =-+≠图像的平移变换．二．重难点：()()20y a x h k a =-+≠的图像和性质，平移变换左加右减，上加下减的原则．三．易错点：1．在判断()()20y a x h k a =-+≠图像的增减性时一定要先确定开口方向；2．左右平移是针对x ，上下平移是针对y ．题模一：y=a （x -h ）^2+k 的图象和性质例3.1.1 抛物线()223y x =++的顶点坐标是（ ） A ． ()2,3-B ． ()2,3C ． ()2,3--D ． ()2,3-【答案】A【解析】 该题考查的是二次函数．二次函数顶点式：()2y a x h k =-+，顶点坐标为(),P h k ，本题中，()223y x =++，顶点坐标()2,3-，故答案是A ．例3.1.2 将二次函数223y x x =--化成()2y x h k =-+形式，则h k +结果为（ ） A ． 5- B ． 5 C ． 3D ． 3-【答案】D【解析】 该题考查的是配方法．()2221414y x x x =-+-=--∴1h =，4k =-∴3h k +=-，故答案选D ．例 3.1.3 已知二次函数()231y x k =--+的图象上有三点()12,A y ，()22,B y ，()35,C y ，则1y 、2y 、3y 的大小关系为（ ）A ． 123y y y >>B ． 213y y y >>C ． 312y y y >>D ． 321y y y >>【答案】A【解析】 该题考查的是二次函数性质． ∵二次函数的解析式()231y x k =--+，∴二次函数的对称轴为1x =， 根据二次函数解析式可知，当1x >时，y 随x 的增大而减小，题模精讲∴123y y y >>，故选A ．题模二：y=a （x -h ）^2+k 平移变换例3.2.1 抛物线2(2)1y x =-+是由抛物线2y x =平移得到的，下列对于抛物线2y x =的平移过程叙述正确的是（ ）A ． 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位B ． 先向右平移2个单位，再向下平移1个单位C ． 先向左平移2个单位，再向上平移1个单位D ． 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位 【答案】A【解析】 该题考查的是二次函数图象的几何变换． 因为函数2y x =的图象沿y 轴向上平移1个单位长度， 所以根据左加右减，上加下减的规律， 直接在函数上加1可得新函数21y x =+；然后再沿x 轴向右平移2个单位长度，可得新函数()221y x =-+． 故选A随练3.1 已知抛物线()21533y x =--+，下列说法正确的是（ ）A ． 开口向下，顶点坐标()5,3B ． 开口向上，顶点坐标()5,3 C ． 开口向下，顶点坐标()5,3-D ． 开口向上，顶点坐标()5,3-【答案】A 【解析】 由()2y a x h k=-+的性质可知，开口向下，顶点为()5,3．随练3.2 将二次函数2281y x x =--化成2()y a x h k =-+的形式，结果为（ ） A ． 22(2)1y x =-- B ． 22(4)32y x =-+ C ． 22(2)9y x =--D ． 22(4)33y x =--【答案】C【解析】 该题考查的是二次函数一般式与顶点式的转换． 通过配方，可得22(2)9y x =--．故选C随堂练习随练3.3 设A （-2，y 1），B （1，y 2），C （2，y 3）是抛物线y=-（x+1）2+a 上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为（ ） A ． y 1＞y 2＞y 3 B ． y 1＞y 3＞y 2 C ． y 3＞y 2＞y 1 D ． y 3＞y 1＞y 2 【答案】A 【解析】∵函数的解析式是y=-（x+1）2+a ，如右图， ∵对称轴是x=-1，∵点A 关于对称轴的点A′是（0，y 1），那么点A′、B 、C 都在对称轴的右边，而对称轴右边y 随x 的增大而减小， 于是y 1＞y 2＞y 3． 故选A ．随练3.4 抛物线23(1)2y x =-+-经过平移得到抛物线23y x =-，平移的方法是（ ） A ． 向左平移1个单位，再向下平移2个单位 B ． 向右平移1个单位，再向下平移2个单位 C ． 向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D ． 向右平移1个单位，再向上平移2个单位 【答案】D【解析】 该题考查的是二次函数图像平移． 二次函数的平移法则是：左右平移变动的是x ，如将()20y ax bx c a =++≠左平移m 个单位，即可得到 ()()()2++0y a x m b x m c a =++≠，右平移m 个单位，即可得到 ()()()20y a x m b x m c a =-+-+≠，上下平移变动的是y ，如将()20y ax bx c a =++≠上平移m 个单位，即可得到()2+0y ax bx c m a =++≠，下平移m 个单位，即可得到()20y ax bx c m a =++-≠总结为：左加右减在括号，上加下减在末梢，本题中，()2312y x =-+-经过向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到23y x =-，故答案是D ．随练3.5 在平面直角坐标系中，如果抛物线221y x =+不动，而把x 轴、y 轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（ ）A ． ()2223y x =-+ B ． ()2221y x =-- C ． ()2221y x =+-D ． ()2223y x =++【答案】C【解析】 该题考查的是二次函数的基本性质．当抛物线不动，而把坐标轴平移时，相当于抛物线向反方向平移，故把x 轴、y 轴分别向上、 向右平移2个单位，相当于把抛物线向下、向左平移两个单位， ∴抛物线221y x =+向下平移两个单位变为221y x =-， 再向左平移两个单位变为：()2221y x =+-， 故选C ．y=a^2+bx+c 的图象和性质一．2y ax bx c =++的图象及性质：a 的符号图象开口方向 对称轴顶点坐标性质0a >向上 2b x a =- 24(,)24b ac b a a --2bx a>-时，y 随x 的增大而增大；2bx a <-时，y 随x 的增大而减小；2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -． 0a <向下 2b x a =- 24(,)24b ac ba a --2bx a<-时，y 随x 的增大而增大；2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-． 二．二次函数2y ax bx c =++图象的画法：知识精讲1．五点绘图法：利用配方法将二次函数()20y ax bx c a =++≠化为顶点式2()y a x h k =-+，一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）． 2．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与y 轴的交点，与x 轴的交点．一．考点：2y ax bx c =++的图象和性质．二．重难点：2y ax bx c =++的图象和性质，参数对图像的影响．三．易错点：利用函数图像推断参数的取值范围或者利用参数的取值范围推断函数图像．题模一：y=a^2+bx+c 的图象和性质例4.1.1 已知二次函数y=（x ﹣h ）2+1（h 为常数），在自变量x 的值满足1≤x ≤3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为5，则h 的值为（ ） A ． 1或﹣5 B ． ﹣1或5 C ． 1或﹣3 D ． 1或3 【答案】B【解析】 ∵当x ＞h 时，y 随x 的增大而增大，当x ＜h 时，y 随x 的增大而减小， ∴①若h ＜1≤x ≤3，x=1时，y 取得最小值5， 可得：（1﹣h ）2+1=5，解得：h=﹣1或h=3（舍）；②若1≤x ≤3＜h ，当x=3时，y 取得最小值5， 可得：（3﹣h ）2+1=5， 解得：h=5或h=1（舍）． 综上，h 的值为﹣1或5例4.1.2 点P 1（﹣1，y 1），P 2（3，y 2），P 3（5，y 3）均在二次函数y=﹣x 2+2x+c 的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ） A ． y 3＞y 2＞y 1 B ． y 3＞y 1=y 2 C ． y 1＞y 2＞y 3 D ． y 1=y 2＞y 3 【答案】D【解析】 ∵y=﹣x 2+2x+c ， ∵对称轴为x=1，P 2（3，y 2），P 3（5，y 3）在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小， ∵3＜5， ∵y 2＞y 3，根据二次函数图象的对称性可知，P 1（﹣1，y 1）与（3，y 1）关于对称轴对称， 故y 1=y 2＞y 3，三点剖析题模精讲例4.1.3 二次函数y=﹣（x ﹣1）2+5，当m ≤x ≤n 且mn ＜0时，y 的最小值为2m ，最大值为2n ，则m+n 的值为（ ） A ． B ． 2C ．D ．【答案】D【解析】 二次函数y=﹣（x ﹣1）2+5的大致图象如下：．①当m≤0≤x≤n ＜1时，当x=m 时y 取最小值，即2m=﹣（m ﹣1）2+5， 解得：m=﹣2．当x=n 时y 取最大值，即2n=﹣（n ﹣1）2+5， 解得：n=2或n=﹣2（均不合题意，舍去）；②当当m≤0≤x≤1≤n 时，当x=m 时y 取最小值，即2m=﹣（m ﹣1）2+5， 解得：m=﹣2．当x=1时y 取最大值，即2n=﹣（1﹣1）2+5， 解得：n=，所以m+n=﹣2+=．例4.1.4 阅读下面的材料：小明在学习中遇到这样一个问题：若1x m ≤≤，求二次函数267y x x =-+的最大值．他画图研究后发现，1x =和5x =时的函数值相等，于是他认为需要对m 进行分类讨论． 他的解答过程如下：∵二次函数267y x x =-+的对称轴为直线3x =，∴由对称性可知，1x =和5x =时的函数值相等． ∴若15m ≤<，则1x =时，y 的最大值为2；若5m ≥，则x m =时，y 的最大值为267m m -+． 请你参考小明的思路，解答下列问题：（1）当24x -≤≤时，二次函数2241y x x =++的最大值为_______； （2）若2p x ≤≤，求二次函数2241y x x =++的最大值；（3）若2t x t ≤≤+时，二次函数2241y x x =++的最大值为31，则t 的值为_______．【答案】 （1）49（2）17或2241p p ++（3）1或5- 【解析】 该题考查二次函数的最值． （1）∵抛物线的对称轴为直线∴当24x -≤≤时，二次函数2241y x x =++的最大值为：22444149⨯+⨯+= （2）∵二次函数2241y x x =++的对称轴为直线1x =-， ∴由对称性可知，4x =-和2x =时函数值相等. ∴若42p -<≤，则2x =时，y 的最大值为17. 若4p ≤-，则x p =时，y 的最大值为2241p p ++. （3）2t <-时，最大值为：224131t t ++=，整理得，22150t t +-=，解得13t =（舍去），25t =- 2t ≥-时，最大值为：()()22242131t t ++++=整理得，()()2222150t t +++-=，解得11t =，27t =-（舍去） 所以t 的值为1或5-题模二：参数对图象的影响例4.2.1 已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论：①b ＜0，c ＞0；②a+b+c ＜0；③方程的两根之和大于0；④a ﹣b+c ＜0，其中正确的个数是（ ）A ． 4个B ． 3个C ． 2个D ． 1个【答案】B【解析】 ∵抛物线开口向下， ∴a ＜0，∵抛物线对称轴x ＞0，且抛物线与y 轴交于正半轴， ∴b ＞0，c ＞0，故①错误；由图象知，当x=1时，y ＜0，即a+b+c ＜0，故②正确， 令方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1、x 2， 由对称轴x ＞0，可知122x x +＞0，即x 1+x 2＞0，故③正确； 由可知抛物线与x 轴的左侧交点的横坐标的取值范围为：﹣1＜x ＜0，∴当x=﹣1时，y=a ﹣b+c ＜0，故④正确．例4.2.2 一次函数y=ax+b （a ≠0）与二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】C【解析】 A 、由抛物线可知，a ＜0，由直线可知，故本选项错误； B 、由抛物线可知，a ＞0，x=﹣＞0，得b ＜0，由直线可知，a ＞0，b ＞0，故本选项错误； C 、由抛物线可知，a ＜0，x=﹣＜0，得b ＜0，由直线可知，a ＜0，b ＜0，故本选项正确； D 、由抛物线可知，a ＜0，x=﹣＜0，得b ＜0，由直线可知，a ＜0，b ＞0故本选项错误．例4.2.3 二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如图所示，求a 的取值范围．【答案】 10a -<<【解析】 由图像可知，0a <，且满足1002c a b c b a ⎧⎪=⎪++=⎨⎪⎪-<⎩，解得a 的取值范围是10a -<<．随练 4.1 若1134A y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，254B y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，314C y ⎛⎫⎪⎝⎭，为二次函数245y x x =+-的图象上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ） A ． 123y y y << B ． 213y y y << C ． 312y y y << D ． 132y y y <<【答案】BO y x11随堂练习【解析】 因为抛物线对称轴为22bx a=-=-，所以A ，B ，C 三点到对称轴的距离分别为135244-+=，53244-+=，19244+=，因为开口向上，所以213y y y <<，故答案为B 选项．随练4.2 y=x 2+（1-a ）x+1是关于x 的二次函数，当x 的取值范围是1≤x ≤3时，y 在x=1时取得最大值，则实数a 的取值范围是（ ） A ． a ≤-5 B ． a ≥5 C ． a=3 D ． a ≥3 【答案】B 【解析】 第一种情况：当二次函数的对称轴不在1≤x≤3内时，此时，对称轴一定在1≤x≤3的右边，函数方能在这个区域取得最大值， x=12a -＞3，即a ＞7， 第二种情况：当对称轴在1≤x≤3内时，对称轴一定是在区间1≤x≤3的中点的右边，因为如果在中点的左边的话，就是在x=3的地方取得最大值，即： x=12a -≥132+，即a≥5（此处若a 取5的话，函数就在1和3的地方都取得最大值） 综合上所述a≥5． 故选B ．随练4.3 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，对称轴是直线x=﹣1，有以下结论：①abc ＞0；②4ac ＜b 2；③2a+b=0；④a ﹣b+c ＞2．其中正确的结论的个数是（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4【答案】C【解析】 ∵抛物线开口向下， ∵a ＜0，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣1，∵b=2a ＜0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方， ∵c ＞0，∵abc ＞0，所以①正确； ∵抛物线与x 轴有2个交点， ∵∵=b 2﹣4ac ＞0，所以②正确； ∵b=2a ，∵2a ﹣b=0，所以③错误； ∵x=﹣1时，y ＞0，∵a ﹣b+c ＞0，所以④正确．随练4.4 在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和函数222y mx x =-+-（m 是常数，且0m ≠）的图像可能是（ ）A ． A 图B ． B 图C ． C 图D ． D 图 【答案】D【解析】 该题考查的是函数的图象． 本题考虑0m >和0m <两种情况：当0m >时，一次函数图象斜率为正且纵截距为正，二次函数图象开口向下且当0x =时与坐标轴交于y 轴下方，没有符合要求的图象；当0m <时，一次函数图象斜率为负且纵截距为负，二次函数图象开口向上且当0x =时与坐标轴交于y 轴下方，只有D 图符合． 所以该题的答案是D ．随练4.5 如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象经过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称轴为直线1x =-，下列5个结论：①0abc >；②240a b c ++=；③20a b ->；④320b c +>；⑤()a b m am b -≥-其中正确的结论__________．（注：只填写正确结论的序号）【答案】 ②④【解析】 该题考察的是二次函数图象与系数的关系．∵抛物线开口向上， ∴0a >∵抛物线对称轴为直线x b =-，2 1a =-， ∴2b a =，则20a b -=，所以③错误； ∴0b >，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方， ∴0c <，∴0abc <，所以①错误；∵12x =时，0y =， ∴11042a b c ++=，即240a b c ++=，所以②正确； ∵12a b =，0a b c ++>，∴1202b bc ++>，即320b c +>，所以④正确； ∵1x =-时，函数最大小，∴()21a b c m a mb cm -+<-+≠，∴()a b m am b -≤-，所以⑤错误．故答案是②④．随练4.6 已知函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象，如图所示．求证：()22a c b +<．【答案】 见解析 【解析】()()()22a c b a c b a c b +-=+-++，由图像可知0a c b +-<，0a c b ++>，故()220a c b +-<，即()22a c b +<二次函数解析式的求法一．二次函数的解析式1. 一般式：()20y ax bx c a =++≠；2. 顶点式：()2y a x h k =-+()0a ≠；3. 两根式（交点式）：()()()120y a x x x x a =--≠（1x ，2x 是方程0y =的两个解）.二．如何设解析式1. 已知任意3点坐标，可用一般式求解二次函数解析式；2. 已知顶点坐标或对称轴时，可用顶点式求解二次函数解析式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点坐标，可用交点式求解二次函数解析式；4. 已知抛物线经过两点，且这两点的纵坐标相等时，可用对称点式求解函数解析式（交点式可视为对称点式的特例）．一．考点：二次函数解析式的求法．二．重难点：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化．三．易错点：顶点式中符号容易代错，例如顶点为()1,3-，错把解析式设为()213y a x =-+．题模一：待定系数法例5.1.1 已知抛物线2y ax bx c =++经过点()0,3A ，()4,3B ，()1,0C ．（1）填空：抛物线的对称轴为直线x = ，抛物线与x 轴的另一个交点D 的坐标为 ； （2）求该抛物线的解析式．【答案】 （1）2x =；()3,0（2）243y x x =-+ 【解析】 该题考查二次函数解析式的求法．（1）抛物线的对称轴为直线2x =，抛物线与x 轴的另一个交点D 的坐标为()3,0；…2分； （2）∵抛物线经过点()1,0C ，()3,0D ，∴设抛物线的解析式为()()13y a x x =--．…………………3分； 由抛物线经过点()0,3A ，得1a =．…………………………4分；知识精讲三点剖析题模精讲∴抛物线的解析式为243y x x =-+．………………………5分．题模二：顶点式例5.2.1 将二次函数223y x x =--化成()2y x h k =-+形式，则h k +结果为（ ） A ． 5- B ． 5 C ． 3D ． 3-【答案】D【解析】 该题考查的是配方法．()2221414y x x x =-+-=--∴1h =，4k =-∴3h k +=-，故答案选D ．例5.2.2 若抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点是A （2，1），且经过点B （1，0），则抛物线的函数关系式为____．【答案】 y=-x 2+4x -3 【解析】设抛物线的解析式为y=a （x -2）2+1， 将B （1，0）代入y=a （x -2）2+1得， a=-1，函数解析式为y=-（x -2）2+1， 展开得y=-x 2+4x -3． 故答案为y=-x 2+4x -3． 题模三：两根式例5.3.1 已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴的两个交点的横坐标是方程220x x +-=的两个根，且抛物线过点()2,8，求二次函数的解析式． 【答案】 2224y x x =+-【解析】 该题考查的是抛物线性质． 解方程220x x +-=可得，11x =，22x =-， ∴抛物线与x 轴交点坐标为()1,0，()2,0-，将三点代入解析式可得， ()()220022822a b c a b c a b c=++⎧⎪=⨯-+⨯-+⎨⎪=⨯+⨯+⎩ 解得2a =，2b =，4c =-，所以抛物线解析式为2224y x x =+-．例 5.3.2 已知抛物线2y ax bx c =++经过()0,6-，()8,6-两点其顶点的纵坐标是2，求这个抛物线的解析式．【答案】 21462y x x =-+-【解析】 该题考查的是抛物线的性质．由题可知，抛物线对称轴为0842x +==， ∴顶点坐标为()4,2， 将三点坐标代入解析式可得，226688244c a b c a b c-=⎧⎪-=⨯+⨯+⎨⎪=⨯+⨯+⎩ 解得12a =-，4b =，6c =- ，所以抛物线解析式为21462y x x =-+-．随练5.1 已知一个二次函数过()0,0，()1,11-，()1,9三点，求二次函数的解析式． 【答案】 210y x x =-【解析】 设二次函数的解析式为2y ax bx c =++（0a ≠），因为抛物线经过点()0,0，()1,11-，()1,9，所以0119c a b c a b c =⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩，解得1010a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以二次函数解析式为210y x x =-．随堂练习随练5.2 将二次函数241y x x =--化为2()y x h k =-+的形式，结果为（ ） A ． ()225y x =++ B ． ()225y x =+- C ． ()225y x =-+ D ． ()225y x =--【答案】D【解析】 该题考查的是配方法．根据完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±，()2224144525y x x x x x =--=-+-=--，故答案是D随练5.3 已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，-2），求这个二次函数的关系式． 【答案】 y=2x 2-4x 【解析】设这个二次函数的关系式为y=a （x -1）2-2， ∵二次函数的图象过坐标原点， ∵0=a （0-1）2-2 解得：a=2故这个二次函数的关系式是y=2（x -1）2-2，即y=2x 2-4x ．随练 5.4 已知二次函数y=x 2+bx+c 经过点（3，0）和（4，0），则这个二次函数的解析式是____． 【答案】 y=x 2-7x+12 【解析】设二次函数的解析式为y=a （x -3）（x -4）， 而a=1，所以二次函数的解析式为y=（x -3）（x -4）=x 2-7x+12． 故答案为y=x 2-7x+12．随练 5.5 已知抛物线()20y ax bx c a =++≠经过点()1,3A -和点()3,3B ，且顶点到x 轴的距离为1，求抛物线的解析式．【答案】 21322y x x =-+或22y x x =- 【解析】 由题意可得抛物线的顶点坐标为()1,1或()1,1-，设抛物线解析式为()()133y a x x =+-+，将顶点坐标分别代入可得21322y x x =-+或22y x x =-．二次函数与一元二次方程一．二次函数与x 轴交点1．抛物线与x 轴的交点：二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程20ax bx c ++=的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0∆>⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0∆=⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0∆<⇔抛物线与x 轴相离.2．平行于x 轴的直线与抛物线的交点：可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是2ax bx c k ++=的两个实数根.3．抛物线与x 轴两交点之间的距离．若抛物线2y ax bx c =++与x 轴两交点为()10A x ，，()20B x ，，由于1x 、2x 是方程20ax bx c ++=的两个根，故1212b cx x x x a a+=-⋅=，： ()()222212121212444b cb ac AB x x x x x x x x a a a a -∆⎛⎫=-=-=--=--==⎪⎝⎭.二．二次函数与一元二次方程根的分布问题如下表（以0a >为例）：判别式:24b ac ∆=-0∆>0∆= 0∆<二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图象一元二次方程:20ax bx c ++=(0)a ≠的根有两相异实根 12,x x = 242b b aca -±-12()x x <有两相等实根122bx x a==-没有实根一．考点：二次函数与x 轴交点问题，利用二次函数解决一元二次方程根的分布问题．二．重难点：1．二次函数与x 轴交点问题即当0y =时，转化为一元二次方程20ax bx c ++=；2．在利用二次函数分析一元二次方程根的分布问题时要结合函数图像的性质来分析．x 2x 1Oyxx 1=x 2O yxO xy知识精讲三点剖析三．易错点：利用二次函数分析一元二次方程根的分布问题时首先确定开口方向，然后再结合函数的增减性，对称轴的位置，函数值等因素最终确定一元二次方程根的分布情况．题模一：一元二次方程根的分布问题例6.1.1 “如果二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个公共点，那么一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m 、n （m ＜n ）是关于x 的方程1-（x-a ）（x-b ）=0的两根，且a ＜b ，则a 、b 、m 、n 的大小关系是（ ） A ． m ＜a ＜b ＜n B ． a ＜m ＜n ＜b C ． a ＜m ＜b ＜n D ． m ＜a ＜n ＜b 【答案】A【解析】 本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，考查了数形结合的数学思想．解题时，画出函数草图，由函数图象直观形象地得出结论，避免了繁琐复杂的计算． 依题意画出函数y=（x -a ）（x -b ）图象草图，根据二次函数的增减性求解．依题意，画出函数y=（x -a ）（x -b ）的图象，如图所示．函数图象为抛物线，开口向上，与x 轴两个交点的横坐标分别为a ，b （a ＜b ）． 方程1-（x -a ）（x -b ）=0 转化为（x -a ）（x -b ）=1，方程的两根是抛物线y=（x -a ）（x -b ）与直线y=1的两个交点． 由m ＜n ，可知对称轴左侧交点横坐标为m ，右侧为n ．由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y 随x 增大而减少，则有m ＜a ；在对称轴右侧，y 随x 增大而增大，则有b ＜n ．综上所述，可知m ＜a ＜b ＜n ． 故选：A ．例6.1.2 求实数a 的取值范围，使关于x 的方程()221260x a x a -=＋＋＋． （1）有两个实根12x x 、，且满足1204x x <<<； （2）至少有一个正根．题模精讲【答案】 （1）715a -<<-（2）1a ≤-【解析】 （1）设2()2(1)26f x x a x a =-＋＋＋；则有:0042(0)0(4)0b af f ∆>⎧⎪⎪<-<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩解得：715a -<<-（2）可以利用韦达定理来解决此题①由图1、图2，可得：121200x x x x ∆≥⎧⎪+>⎨⎪⋅>⎩；解得：31a -<≤-②由图3，可得：121200x x x x ∆>⎧⎪+>⎨⎪⋅=⎩；解得：3a =-；③由图4，可得：1200x x ∆>⎧⎨⋅<⎩；解得：3a <-综上可得1a ≤-．题模二：二次函数与x 轴交点例6.2.1 抛物线y=x 2+2x+m ﹣1与x 轴有两个不同的交点，则m 的取值范围是（ ） A ． m ＜2 B ． m ＞2 C ． 0＜m ≤2 D ． m ＜﹣2 【答案】A【解析】 ∵抛物线y=x 2+2x+m ﹣1与x 轴有两个交点， ∵∵=b 2﹣4ac ＞0， 即4﹣4m+4＞0， 解得m ＜2，例6.2.2 已知关于x 的方程()231220mx m x m --+-=（1）求证：无论m 取任何实数时，方程恒有实数根．（2）若关于x 的二次函数()23122y mx m x m =--+-的图象与x 轴两交点间的距离为2时，求二次函数的表达式．【答案】 （1）见解析；（2）函数解析式为22y x x =-或218233y x x =-+-【解析】 （1）①当0m =时，原方程可化为20x -=，解得2x =； ②当0m ≠时，方程为一元二次方程，图1图3()()231422m m m ∆=----⎡⎤⎣⎦ 221m m =++()210m =+≥，故方程有两个实数根；故无论m 为何值，方程恒有实数根．（2）设1x ，2x 分别为抛物线()23122y mx m x m =--+-与x 轴两交点的横坐标， 令0y =，则()231220mx m x m --+-=， 由求根公式得，12x =，21m x m-=∴抛物线()23122y mx m x m =--+-不论m 为任何不为0的实数时，恒过定点()2,0， ∴20x =或24x =，即10m m -=或14m m-=， 解得11m =，213m =-则函数解析式为22y x x =-或218233y x x =-+-随练6.1 已知关于x 的方程()()2131220k x k x k ++-+-=．（1）讨论此方程根的情况；（2）若方程有两个整数根，求正整数k 的值；（3）若抛物线()()2131220k x k x k ++-+-=与x 轴的两个交点之间的距离为3，求k 的值． 【答案】 （1）见解析（2）1；3（3）0；3-【解析】 该题考查的是二次函数与一元二次方程的综合题．（1）当1k =-时，方程44x --=0为一元一次方程，此方程有一个实数根； 当1k ≠-时，方程2(1)(31)22k x k x k ++-+-=0是一元二次方程， ()()()()223141223k k k k ∆=--+-=-．∵()230k -≥，即0∆≥，∴ k 为除1-外的任意实数时，此方程总有两个实数根． 2分 综上，无论k 取任意实数，方程总有实数根．（2）13(3)2(1)k k x k -±-=+，11x =-，2x =421k -+．∵ 方程的两个根是整数根，且k 为正整数，随堂练习∴ 当1k =时，方程的两根为1-，0； 当3k =时，方程的两根为1-，1-．∴ 1k =，3． 4分（3）∵ 抛物线()()213122y k x k x k =++-+-与x 轴的两个交点之间的距离为3， ∴，123x x -=，或213x x -=．当123x x -=时，3k =-；当213x x -=时，0k =．综上，0k =，-3． 6分随练6.2 若二次函数2(2)31y m x x =+-+与x 轴有两个交点，则m 的取值范围是（ ）A ． 14m <B ． 124m m <≠--且C ． 14m <-D ． 124m m <≠-且【答案】D【解析】 该题考查的是一元二次方程根的判别式． 对于一元二次方程20ax bx c ++= ，判别式24b ac ∆=-： 0∆>，二次函数()20y ax bx c a =++≠与x 轴有两个交点， 0∆=，二次函数()20y ax bx c a =++≠与x 轴有一个交点， 0∆<，二次函数()20y ax bx c a =++≠与x 轴没有交点，本题中，二次函数()2231y m x x =+-+与x 轴有两个交点，故()()22034210m m +≠⎧⎪⎨∆=--⨯+⨯>⎪⎩，解得：14m <且2m ≠-，故答案是D ．随练6.3 如图，平面直角坐标系中，点M 是直线y=2与x 轴之间的一个动点，且点M 是抛物线y=12x 2+bx+c 的顶点，则方程12x 2+bx+c=1的解的个数是（ ）A ． 0或2B ． 0或1C ． 1或2D ． 0，1或2【答案】A【解析】 考查了二次函数的性质，本题涉及分类思想和方程思想的应用．分三种情况：点M 的纵坐标小于1；点M 的纵坐标等于1；点M 的纵坐标大于1；进行讨论即可得到方程12x 2+bx+c=1的解的个数． 分三种情况：点M 的纵坐标小于1，方程12x 2+bx+c=1的解是2个不相等的实数根； 点M 的纵坐标等于1，方程12x 2+bx+c=1的解是2个相等的实数根； 点M 的纵坐标大于1，方程12x 2+bx+c=1的解的个数是0． 故方程12x 2+bx+c=1的解的个数是0或2． 故选：D ．随练 6.4 实数a 在什么范围内取值时，关于x 的方程2(2)50x a x a --+-=的一个根大于0而小于2，另一个根大于4而小于6．【答案】 2955a -<<-【解析】 设2()(2)5f x x a x a =--+-；则有:(0)0(2)0(4)0(6)0f f f f >⎧⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩ 解得2955a -<<-．自我总结作业1 下列函数是二次函数的是（ ） A ． 21y x =+B ． 21y x =-+C ． 22y x =+D ． 2122y x x =-【答案】C【解析】 由二次函数的概念可知22y x =+为二次函数．作业2 二次函数227y x x =+-的函数值是8，那么对应的x 的值是（ ） A ． 3B ． 5C ． 35-和D ． 35-和【答案】D【解析】 由题意得2278x x +-=，解得3x =或5x =-，故答案为D 选项．作业3 已知函数2222()(32)2m my m m x m m x m m -=++++++，当m 是什么数时，函数是二次函数？【答案】 2m =【解析】 根据二次函数定义，只要满足20m m +≠且22m m -=即可，解得2m =作业4 已知二次函数2y ax =经过点()3,1A ，点A 与点'A 关于y 轴对称，则点'A （ ）A ． 在2y ax =图像上B ． 不在2y ax =图像上C ． 不确定是否在2y ax =图像上D ． 以上说法都不对【答案】A【解析】 由二次函数2y ax =的对称性可知点'A 在2y ax =的图像上．作业5 已知点()11,y -，()22,y -，()33,y 都在函数()20y ax a =>的图像上，则（ ） A ． 123y y y <<B ． 132y y y <<C ． 321y y y <<D ． 213y y y <<【答案】A【解析】 由二次函数()20y ax a =>的对称性和增减性可知123y y y <<．作业6 若二次函数2y ax =有最大值，则21y ax =+有__________值（填最大或最小），且为__________．【答案】 最大；1【解析】 由二次函数2y ax =的最值可得出结论．课后作业。
二次函数的图像及性质ppt课件
同一数值时，这两个
7
函数的函数值之间有
6
什么关系?反映在图
象上，相应的两个点
5
之间的位置又有什么 4
关系?
3
y 2x2 1
（0，1）
2 y 2x2
1
24
函数y＝2x2＋1和y＝2x2的图象有什么联系? 1、函数y＝2x2＋1与y＝2x2的图象开口方向、对称轴相同，
但顶点坐标不同，函数y＝ 2x2的图象的顶点坐标是(0，
6
y=2x²的图象有
5
什么关系？
4
y 2x2 1
3
（0，1）
2 y 2x2
1
23
x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 … y=2x2 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 … y=2x2+1 … 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 …
问题1：当自变量x取
y 1 (x 2)2 y 1 (x 2)2
2
2
观察三条抛物线的相互关系,并分别指
出它们的开口方向,对称轴及顶点.
6
y 1 x 22
2
5
4
y 1 x2 2
y 1 x 22
2
3
2
1
-8
-6
-4
-2 B
-1
2
4
6
37
在同一坐标系中作出下列二次函数:
y 1 x 2 y 1 (x 2)2
5
3、画函数图像的基本步骤是： 列表 、 描点 、 连线 。
6
7
1. y=ax2的函数图像
8
1、画函数y=x2的图像； 观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算 相应的y值,完成下表：
中考专题3二次函数动点探究教师版
为 x，则下列图象中能大致表示 y 与 x 之间函数关系图象的是（ ） B
QC
A．
B．
P
C．
D．
A
D
【分析】： 分两种情况：①当动点 Q 在 BC 边上运动时；②当动点 Q 在 CD 边上运动时； 结合“正负大法”，确定正确选项．
【答案】：
B
Q CB
C
①当动点 Q 在 BC 边上运动时，△APQ 的底在增加，高在 增加，所以图象是抛物线，开口向上，自左向右上升；
考查对称性： 已知抛物线图象上有定点 A、B、C，在对称轴上有动点 M，问： ①求 MA+MC 最小值？ ②求|MB﹣MC|最大值？
1. 线段和最小：将两个定点对称到定直线异侧； 2. 线段差最大：将两个定点对称到定直线同侧．
正负大法：
若△ABC 的底为 a，高为 h，随着时间的增加，a 和 h 中至少有一个在变化，且变化 的量是关于时间的一次函数，现在探究△ABC 的面积随时间变化的图象．
【总结】 （1）定值减去开口向上的抛物线：开口向下的抛物线； （2）定值减去开口向下的抛物线：开口向上的抛物线．
7
第三部分 达标练习
【A 组】
1．如图，抛物线 y＝﹣x2+2x+3 交 x 轴与点 A（a，0）和 B（b，0），交 y 轴于点 C，点 E 是
抛物线对称轴上的一点， AE+CE 的最小值是
5
【B 组】
【例 1】如图，四边形 ABCD 是矩形，AB＝8，BC＝4，动点 P 以每秒 2 个单位的速度从点
A 沿线段 AB 向 B 点运动，同时动点 Q 以每秒 3 个单位的速度从点 B 出发沿 B﹣C﹣D 的
方向运动，当点 Q 到达点 D 时 P、Q 同时停止运动，若记△PQA 的面积为 y，运动时间
二次函数的图像说课稿(精选6篇)
二次函数的图像说课稿（精选6篇）二次函数的图像说课稿 1尊敬的各位评委、各位老师：大家好！今天我说课的题目是《二次函数的图像》，这是北师大版必修1第二章的第四节课。
下面我将围绕本节课“教什么？”、“怎样教？”、“为什么这样教？”三个问题，从教材内容、教法学法、教学过程这三个方面逐一分析说明。
一、教材内容分析：１、本节课内容在整个教材中的地位和作用。
概括地讲，二次函数的图像在教材中起着承上启下的作用，它的地位体现在它的思想的基础性。
一方面，本节课是对初中有关内容的深化，为后面进一步学习二次函数的性质打下基础；另一方面，二次函数解析式中的系数由常数转变为参数，使学生对二次函数的图像由感性认识上升到理性认识，能培养学生利用数形结合思想解决问题的能力。
2、教学目标定位。
根据教学大纲要求、新课程标准精神和高一学生心理认知特征，我确定了三个层面的教学目标。
第一个层面是基础知识与能力目标：理解二次函数的图像中a、b、c、k、h的作用，能熟练地对二次函数的一般式进行配方，会对图像进行平移变换，领会研究二次函数图像的方法，培养学生运用数形结合与等价转化等数学思想方法解决问题的能力，提高运算和作图能力；第二个层面是过程和方法：让学生经历作图、观察、比较、归纳的学习过程，使学生掌握类比、化归等数学思想方法，养成即能自主探索，又能合作探究的良好学习习惯；第三个层面是情感、态度和价值观：在教学中渗透美的教育，渗透数形结合的思想，让学生在数学活动中学会与人相处，感受探索与创造，体验成功的喜悦。
3、教学重难点。
重点是二次函数各系数对图像和形状的影响，利用二次函数图像平移的特例分析过程，培养学生数形结合的思想和划归思想。
难点是图像的平移变换，关键是二次函数顶点式中h、k的正负取值对函数图像平移变换的影响。
二、教法学法分析：数学是发展学生思维、培养学生良好意志品质和美好情感的重要学科，在教学中，我们不仅要使学生获得知识、提高解题能力，还要让学生在教师的启发引导下学会学习、乐于学习，感受数学学科的人文思想，感受数学的自然美。
九年级同步第15讲：二次函数的概念及特殊二次函数的图像-教师版
二次函数是九年级上学期第三章的内容．本讲首先讲解二次函数的概念，需学会判断一个函数是否是二次函数，重点是学会在实际问题中用二次函数描述两个变量之间的依赖关系，并确定函数定义域．其次，在理解了二次函数概念的基础上，本讲讲解了特殊二次函数2y ax=的图像，重点是学会利用描点法画出二次函数的图像，并通过观察和分析，归纳出抛物线2y ax=的特征，掌握其直观性质，为学习其他形式的二次函数的图像做好准备．1、二次函数一般地，解析式形如2y ax bx c=++（其中a、b、c是常数，且0a≠）的函数叫做二次函数．二次函数2y ax bx c=++的定义域为一切实数．而在具体问题中，函数的定义域根据实际意义来确定．二次函数的概念与特殊二次函数的图像1内容分析知识结构模块一：二次函数的概念知识精讲【例1】 判断下列函数是否是二次函数．（1）23y x =； （2）2112y x =-+；（3）21y x=； （4）()2y x x =-； （5）()212y x =+-；（6）()222y x x =+-．【难度】★【答案】（1）不是；（2）是；（3）不是；（4）是；（5）是；（6）不是 【解析】（1）没有二次项；（2）符合()20y ax bx c a =++≠；（3）不是整式； （4）()222y x x x x =-=-+，符合()20y ax bx c a =++≠； （5）()221221y x x x =+-=+-，符合()20y ax bx c a =++≠；（6）()22244y x x x =+-=+，没有二次项．【总结】本题考察二次函数的概念，判断一个函数是否是二次函数，关键看是否符合()20y ax bx c a =++≠的形式．【例2】 ()()222231y m m x m x m =--+-+是关于x 的二次函数需要满足的条件是_____________．【难度】★【答案】3m ≠且1m ≠-．【解析】2230m m --≠，解得3m ≠且1m ≠-．【总结】本题考察二次函数的概念，二次函数需满足二次项系数不为零．【例3】 二次函数()22y x =-+的二次项系数为a ，一次项系数为b ，常数项为c ，则24b ac -=_____．【难度】★ 【答案】0．【解析】()22244y x x x =-+=-+，所以1a =，4b =-，4c =，代入得240b ac -=． 【总结】本题考察二次项系数、一次项系数、常数项的概念，做题的关键是把函数化为一般式．例题解析【例4】 已知二次函数2253y x x =-+．（1）当12x =-时，求函数值；（2）当x 取何值时，函数值为0？【难度】★★【答案】（1）6；（2）1或32． 【解析】（1）把12x =-代入2253y x x =-+得6y =；（2）把0y =代入22530x x -+=得11x =，232x =． 【总结】本题一方面考察了函数值求解问题，已知自变量的值代入函数解析式即可，另一方面考察了已知函数值求自变量的值的问题．【例5】 下列函数中（x ，t 为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，请指出二次项、一次项系数及常数项．（1）2132y x =-+；（2）()()23422y x x x =--+； （3）253s t t =++；（4）236y x x =-．【难度】★★【答案】（1）是，二次项是23x 、一次项系数是0、常数项是12-； （2）不是；（325t 、一次项系数是1、常数项是3； （4）不是【解析】形如2y ax bx c =++（0a ≠）的函数叫做二次函数，其中2ax 叫做二次项、b 叫 做一次项系数、c 是常数项．【总结】本题考察二次函数的概念，二次项系数、一次项系数、常数项的概念．xx68【例6】 已知函数()()22932y m x m x =---+．（1）当m 为何值时，这个函数是二次函数？ （2）当m 为何值时，这个函数是一次函数？【难度】★★【答案】（1）3m ≠±；（2）3m =-．【解析】（1）当函数()()22932y m x m x =---+为二次函数时，则290m -≠时，即3m ≠±．（2）当函数()()22932y m x m x =---+为一次函数时，则()29030m m ⎧-=⎪⎨--≠⎪⎩，得3m =-．【总结】本题考察了二次函数与一次函数的概念．【例7】 如图，有一矩形纸片，长、宽分别为8厘米和6厘米，现在长宽上分别剪去宽为x 厘米（6x <）的纸条，则剩余部分（图中阴影部分）的面积y 关于x 的函数关系式为____________．【难度】★★【答案】()2144806y x x x =-+<<．【解析】阴影部分的长方形的的长为()8x cm -，宽为()6x cm -，所以面积()()()286144806y x x x x x =--=-+<<．【总结】此题主要利用长方形的面积公式列出函数关系式，其中根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．【例8】 某公司4月份的营收为80万元，设每个月营收的增长率相同，且为x (0x >)，6月份的营收为y 万元，写出y 关于x 的函数解析．【难度】★★ 【答案】()2801y x =+【解析】因为4月份的营收为80万元，5月份起，每月增长率都为x ，所以5月份的营收为()801x +万元，12月份的营收为()2801x +万元．【总结】本题是平均增长率的问题，可用公式()21a x b +=来解题．【例9】 用长为15米的篱笆，一面靠墙（墙的长度超过15米），围成一个矩形花圃．设花圃的宽为x 米，面积为y 平方米，求y 与x 的函数解析式及函数的定义域．【难度】★★【答案】21521502y x x x ⎛⎫=-+<< ⎪⎝⎭．【解析】设花圃的宽为x 米，则长为()152x -米， ∴面积()2152215y x x x x =-=-+1502x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭．【总结】此题主要利用长方形的面积公式列出函数关系式，其中根据题意，找到所求量 的等量关系是解决问题的关键．【例10】 三角形的两边长的和为10厘米，它们的夹角为30°，设其中一条边长为x 厘米，三角形的面积为y 平方厘米，试写出y 与x 之间的函数解析式及定义域．【难度】★★【答案】()21501042y x x x =-+<<．【解析】如图，过点A 作AH ⊥BC 于点H ．设AB x =厘米，则()10BC x =-厘米，∵30B ∠=︒，∴1122AH AB x ==， 三角形面积()()211151001022242x y BC AH x x x x =⋅⋅=⋅-⋅=-+<<．【总结】此题主要利用三角形的面积公式列出函数关系式，其中根据题意，找到所求量 的等量关系是解决问题的关键．【例11】 设12y y y =-，1y 与1x成反比例，2y 与2x 成正比例，则y 与x 的函数关系是（ ） A ．正比例函数B ．反比例函数C ．二次函数D ．一次函数【难度】★★ 【答案】C ． 【解析】∵1y 与1x成反比例，∴设1111k y k x x==，∵2y 与2x 成正比例，∴设222y k x =，∴21212y y y k x k x =-=-，∴y 与x 的函数关系是二次函数．【总结】本题主要考察反比例、正比例和二次函数的定义，属于基础题．ABCDP 【例12】 已知正方形的周长是C 厘米，面积是S 平方厘米．（1）求S 关于C 的函数关系式；（2）当S =1平方厘米，求正方形的边长．【难度】★★【答案】（1）216C S =；（2）1cm ．【解析】（1）因为正方形的周长是C 厘米，所以边长为4Ca =厘米，所以216C S =；（2）当S =1平方厘米，代入216C S =得正方形的边长为1a =厘米．【总结】此题主要利用正方形的面积公式列出函数关系式，其中根据题意，找到面积与周长之间的等量关系是解决问题的关键．【例13】 某商店将每件进价为8元的某种商品以每件10元出售，一天可售出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润．经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.10元，其销售量可增加10件，将这种商品的售价降低x 元时，设销售利润为y 元，求y 关于x 的函数关系式．【难度】★★★【答案】()210010020002y x x x =-++≤≤． 【解析】∵每降低0.10元，其销售量可增加10件，∴降低x 元，其销售量可增加100x 件， ∵原来每件的利润为2元，现在降价x 元， ∴现在每件的利润为()2x -元，应保证20x -≥∴销售利润()()()210810010010010020002y x x x x x =--+=-++≤≤【总结】解决本题的关键是找到销售利润的等量关系，难点是得到降低价格后增加的销售量．【例14】 如图，线段AB 长为10，点P 自点A 开始在AB 上向点B 移动，并分别以AP 、PB 为边作等边APC ∆和等边PBD ∆．设点P 移动的距离为x ，APC ∆与PBD ∆的面积之和为y ，求y 关于x 函数解析式及函数定义域．【难度】★★★ 【答案】)2353253010y x x =-+<<．【解析】作CH 垂直于AP ，垂足为H 点．∵APC ∆是等边三角形，AP x =，∴12AH x =，得32CH x = ∴211332224APC S AP CH x x x ∆=⋅⋅=⋅⋅=， ∵10AB =，∴10PB x =-，同理()23104PBD S x ∆=-， ∴()()2223331053253010442y x x x x x =+-=-+<<【总结】此题主要利用三角形的面积公式列出函数关系式，其中已知等边三角形的边长会求面积是做题的关键．H ABCDP1、 2y x =的图像在平面直角坐标系xOy 中，按照下列步骤画二次函数2y x =的图像． （1）列表：取自变量x 的一些值，计算相应的函数值y ，如下表所示：x … -2112- -112- 01211122 …2y x = (4)1241141411244 …（2）描点：分别以所取的x 的值和相应的函数值y 作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，如图1所示．（3）连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数2y x =的图像，如图2所示．二次函数2y x =的图像是一条曲线，分别向左上方和右上方无限伸展．它属于一类特殊的曲线，这类曲线称为抛物线．二次函数2y x =的图像就称为抛物线2y x =． 2、 二次函数2y ax =的图像抛物线2y ax =（0a ≠）的对称轴是y 轴，即直线x = 0；顶点是原点．当0a >时，抛物线开口向上，顶点为最低点；当0a <时，抛物线开口向下，顶点为最高点．模块二：二次函数y = ax 2的图像知识精讲12 3 4 12 3 4 xyxyOO1212-2 -1 -2 -1 图1 图2【例15】（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数212y x=、22y x=的图像；（2）函数212y x=、22y x=的图像与函数2y x=的图像，有何异同？【难度】★【答案】（1）如图：（2）相同点：开口方向都向上；顶点都是()0,0点；对称轴都是y轴；不同点：开口大小不同．【解析】（1）略；（2）()20y ax a=≠图像顶点为坐标原点；对称轴为y轴；a>，开口向上，0a<，开口向下；a决定开口大小，a越大，开口越小．【总结】本题考察特殊二次函数的图像画法及二次函数图像的性质．例题解析【例16】 （1）在同一平面直角坐标系中，画出函数2y x =-、212y x =-、22y x =-的图像；（2）函数2y x =-、212y x =-、22y x =-的图像与函数2y x =、212y x =、22y x =的图像有何异同？【难度】★【答案】（1）如图：（2）相同点：a 相同的开口大小一样；顶点都是原点；对称轴都是y 轴；不同点：开口方向不同．【解析】（1）略；（2）()20y ax a =≠图像顶点坐标为()0,0；对称轴为y 轴；0a >，开口向上，0a <，开口向下；a 决定开口大小，a 越大，开口越小．【总结】本题考察特殊二次函数的图像画法及二次函数的性质．【例17】 二次函数223y x =-的图像是______，它的对称轴是______，顶点坐标是______，开口方向是______．【难度】★【答案】抛物线；y 轴；()0,0；向下．【解析】()20y ax a =≠图像为抛物线，顶点坐标为()0,0；对称轴为y 轴； 0a >，开口向上，0a <，开口向下 【总结】本题考察二次函数的性质．【例18】 抛物线22y x =除了点______以外，都位于______上方． 【难度】★【答案】()0,0；x 轴．【解析】抛物线22y x =的图像为顶点是()0,0点，开口向上的抛物线，∴只有()0,0点在x 轴上，其余的都位于x 轴上方．【总结】本题考察了二次函数的图像．【例19】 抛物线2y ax =与225y x =的形状相同，则a 的值为______． 【难度】★【答案】25±．【解析】∵抛物线2y ax =与225y x =的形状相同，∴25a =，得25a =±． 【总结】本题考察二次函数的性质．【例20】 已知点P （32，6）在抛物线2y ax =上，那么a 的值为______． 【难度】★【答案】83．【解析】把P （32，6）代入2y ax =得83a =． 【总结】本题考察待定系数法确定函数关系式，直接把点的坐标代入解析式即可．【例21】 抛物线23y x =经过点A （3，n ），则n = ______，且点A 关于抛物线对称轴的对称点A 1的坐标是______．【难度】★★【答案】27；()3,27-．【解析】把A （3，n ）代入23y x =得27n =；∵抛物线23y x =的对称轴为y 轴， ∴()13,27A -．【总结】本题考察了二次函数图像上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握抛物线上关于对称轴的对称点到对称轴的距离相等的性质．【例22】 已知关于x 的二次函数()21y k x =+，当k 为何值时，它的图像开口向上？当k为何值时，它的图像开口向下？【难度】★★【答案】1k >-时，图像开口向上；1k <-时，图像开口向下． 【解析】当10k +>，即1k >-，抛物线图像开口向上；当10k +<，即1k <-，抛物线图像开口向下．【总结】本题考察二次函数的开口方向与二次项系数a 的关系．【例23】 已知直线423y x =+上有两个点A 、B ，它们的横坐标分别是3和-2，若抛物线2y ax =也经过点A ，试求该抛物线的表达式．该抛物线也经过点B 吗？请说出你的理由．【难度】★★【答案】223y x =；抛物线不经过B 点．【解析】把3和-2分别代入423y x =+得()3,6A 、22,3B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，把()3,6A 代入2y ax =得23a =，∴抛物线的表达式为223y x =；把2x =-代入223y x =得83y =，与B 点纵坐标不同， ∴抛物线不经过点B ．【总结】本题考察利用待定系数法确定函数关系式．【例24】 抛物线212y x =上一点到x 轴的距离为8，求该点的坐标． 【难度】★★【答案】()4,8、()4,8-． 【解析】∵抛物线212y x =上一点P 到x 轴的距离为8，则P 点纵坐标为8， 把8y =代入212y x =得()14,8P 、()24,8P -． 【总结】本题考察了二次函数图像上点的坐标特征．x y x y x y xyO OOO B ．C ．D ．【例25】 抛物线2y ax =与直线23y x =-交于点（1，b ）．（1）求a 和b 的值；（2）求抛物线的解析式，并求顶点坐标和对称轴； （3）当x 取何值时，二次函数的y 值随x 的增大而增大．【难度】★★【答案】（1）1a =-，1b =-；（2）2y x =-，顶点坐标为()0,0，对称轴为y 轴； （3）当0x <时，二次函数的y 值随x 的增大而增大．【解析】（1）把（1，b ）代入23y x =-得1b =-，∴交点坐标为()1,1-．把()1,1-代入2y ax =得1a =-，∴2y x =-；（2）由（1）得抛物线的解析式为2y x =-，顶点坐标为()0,0，对称轴为y 轴； （3）∵抛物线开口向下，在对称轴的左侧二次函数的y 值随x 的增大而增大，即当0x <时，二次函数的y 值随x 的增大而增大．【总结】本题考察了待定系数法确定函数关系式及二次函数的性质．【例26】 函数2y ax =-与y ax b =+的图像可能是（ ）【难度】★★ 【答案】D ．【解析】当0a >时，抛物线开口向下，一次函数一定过第一、三象限，当0a <时，抛物线开口向上，一次函数一定过第二、四象限．【总结】本题考察抛物线和直线的性质，用假设法来解决这种数形结合是一种很好的方法．【例27】 若把抛物线2y ax =（0a ≠）沿着顶点旋转180°，所得抛物线的表达式是__________；若把抛物线2y ax =（0a ≠）沿着x 轴翻折，所得的抛物线的表达式是__________；由这样的旋转与翻折分别得到的两条抛物线______重合的（选填“是”或“不是”）．【难度】★★【答案】2y ax =-；2y ax =-；是．【解析】若把抛物线2y ax =（0a ≠）沿着顶点旋转180°，则新的抛物线顶点和对称轴不变，方向相反，∴新的抛物线的表达式为2y ax =-； 若抛物线2y ax =（0a ≠）沿着x 轴翻折， 则新的抛物线顶点和对称轴不变，方向相反， ∴新的抛物线的表达式为2y ax =-．【总结】本题主要考察了二次函数图像与几何变换．【例28】 已知二次函数()24125m y m x +=-的图像开口向下，求m 的值．【难度】★★★【答案】12m =．【解析】由题意得2412250m m ⎧+=⎨-<⎩，得12m =．【总结】本题考察了二次函数的概念和性质．xyABC DO【例29】 如图，有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位AB 时宽20米，水位上升3米到达警戒线CD ，这时水面宽度10米． （1）在如图所示的坐标系中，求抛物线解析式；（2）若洪水到来时，水位以0.2米/时的速度上升，从警戒线开始，再持续多少时间才能达到拱桥顶？【难度】★★★ 【答案】（1）2125y x =-；（2）5小时． 【解析】（1）设抛物线解析式为2y ax =（0a ≠），如图，设()10,B m ，则()5,3D m +，把()10,B m 、()5,3D m +代入2y ax =得253100a m a m =+⎧⎨=⎩，解得1254a m ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴抛物线的解析式为2125y x =-． （2）由（1）知()5,1D -，∴10.25t =÷=（小时）【总结】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．ABOxy【例30】 如图，在平面直角坐标系内，已知抛物线2y ax =（0a >）上有两个点A 、B ，它们的横坐标分别为-1，2．若AOB ∆为直角三角形，求a 的值．【难度】★★★【答案】2a ，1a =．【解析】把横坐标-1，2分别代入2y ax =（0a >）得()1,A a -、()2,4B a ，∴221AO a =+，22416BO a =+，2299AB a =+，当90AOB ∠=︒时，222AO BO AB +=，即222141699a a a +++=+， 解得122a =，222a =（舍）； 当90OAB ∠=︒时，222AO AB BO +=，即222199416a a a +++=+， 解得11a =，21a =-（舍）；当90OBA ∠=︒时，222AB BO AO +=，222994161a a a +++=+， 此方程无解，综上，当AOB ∆为直角三角形，a 的值为12． 【总结】本题主要考察直角三角形的判定和二次函数的应用，要注意在AOB ∆的直角顶点不确定的情况下，要分类讨论，以免漏解．【习题1】下列函数中哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，请指出a 、b 、c ． （1）21y x =-； （2）21y x x =--； （3）20.3y x =； （4）()()212y x x x =+--； （5）221x x y π--=；（6）2y x =．【难度】★【答案】（1）不是；（2）是，1a =，1b =-，1c =-；（3）是，0.3a =，0b =，0c =；（4）不是；（5）是，1a π=，2b π=-，1c π=-；（6）不是．【解析】形如2y ax bx c =++（0a ≠）的函数叫做二次函数，其中a 叫做二次项系数、 b 叫做一次项系数、c 是常数项，如果不是一般式，先整理成一般式再确定a 、b 、c ． 【总结】本题考察二次函数的概念，二次项系数、一次项系数、常数项的概念．【习题2】已知二次函数2y ax =的图像经过点Q （-1，-2），求a 的值，并写出它的解析式．在平面直角坐标系中，画出它的图像．【难度】★【答案】2a =-，22y x =-．图像如图所示：【解析】把Q （-1，-2）代入2y ax =得2a =-，解析式为22y x =-． 【总结】本题考查待定系数法确定函数关系式及二次函数图像画法．随堂检测O xy【习题3】 函数226mm y mx --=是y 关于x 的二次函数．当m = ______ 时，其图像开口向上；当m = ______ 时，其图像开口向下．【难度】★★【答案】4m =；2m =-． 【解析】∵函数226mm y mx --=为二次函数，∴2262m m --=，解得14m =，22m =-；当0m >，即4m =时，其图像开口向上；当0m <，即2m =-时，其图像开口向下． 【总结】本题考察二次函数的概念和性质．【习题4】 求直线y x =与抛物线22y x =-的交点坐标．【难度】★★【答案】()0,0，11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭．【解析】联立方程得22y x y x =⎧⎨=-⎩，解得1100x y =⎧⎨=⎩，221212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴直线与抛物线的交点坐标为()0,0、11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭．【总结】本题考察了直线与抛物线的交点坐标求法．【习题5】如图所示，在同一坐标系中，作出①23y x =；②212y x =；③2y x =的图像，则图像从里到外的三条抛物线对应的函数依次是____________（填序号）．【难度】★★ 【答案】①③②【解析】()20y ax a =≠图像开口大小由a 决定，a 越大，开口越小．【总结】本题考察二次函数的图像及性质．A BOxyhxx1224【习题6】自由下落的物体的高度h （米）与下落的时间t （秒）的关系为24.9h t =．现有一铁球从离地面19.6米高的建筑物的顶部自由下落，到达地面需要的时间是______秒．【难度】★★ 【答案】2秒．【解析】把19.6h =代入24.9h t =得219.6 4.9t =，解得12t =，22t =-（舍）． 【总结】本题考查二次函数的实际应用．【习题7】如图，桥拱是抛物线形状，其函数解析式为214y x =-，当水位线在AB位置时，水面的宽为12米，此时水面离桥顶的高度h 是______米．【难度】★★ 【答案】9米．【解析】由题意知：()6,A h --，把()6,A h --代入214y x =-得9h =．【总结】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．【习题8】如图，园林工人要在一块长24米，宽12米的矩形土地中砌一个小矩形花坛，四周铺上草，其宽都相等，如果设草地的宽为x ，花坛的面积为S 平方米，求出S 关于x 的函数解析式及其定义域．【难度】★★【答案】()2=47228806S x x x -+<<．【解析】∵花坛的长为()242x -米，宽为()122x -米，∴()()()224212247228806S x x x x x =--=-+<<【总结】此题主要利用长方形的面积公式列出函数关系式，其中根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．xyA B C D O1 2 12【习题9】已知一个二次函数的的顶点为原点，其抛物线开口方向与抛物线()2221mm y m m x +-=-的开口方向相反，而抛物线形状与它相同，求这个二次函数的解析式．【难度】★★★【答案】212y x =-． 【解析】∵()2221m m y m m x +-=-为二次函数，∴2212m m +-=，解得11m =，23m =-，又∵20m m -≠，∴1m ≠，可得3m =-，∴二次函数为212y x =． ∵要求的抛物线与212y x =开口方向相反，形状相同， ∴要求的这个二次函数的解析式为212y x =-．【总结】本题考查二次函数的概念及性质．【习题10】 如图，若一抛物线2y ax =与四条直线x = 1，x = 2，y = 1，y = 2围成的正方形ABCD 有公共点，求a 的取值范围．【难度】★★★【答案】124a ≤≤．【解析】由题意知：()1,2A ，()2,1C ，再根据抛物线的性质a 越大开口越小， 把()1,2A 代入2y ax =得2a =， 把()2,1C 代入2y ax =得14a =，则a 的范围介于这两者之间，即124a ≤≤．【总结】本题考察二次函数的综合题，此题先画出图像，结合图形根据抛物线的性质， a 越大开口越小，代入点的坐标计算即可；考察学生的观察能力，把函数性质与正方形连接起来，要学会数形结合．【作业1】下列函数，不属于二次函数的是（ ）A ．()()12y x x =-+B ．()2112y x =+C ．213y x =-D ．()22232y x x =+-【难度】★ 【答案】D ．【解析】∵()222321218y x x x =+-=+，二次项系数为0，∴不是二次函数． 【总结】本题考查二次函数的概念．【作业2】在同一平面直角坐标系中，作2y x =，212y x =-，213y x =的图像，它们的共同特点是（ ）A ．抛物线的开口方向向上B ．抛物线的开口方向向下C ．都是关于x 轴对称的抛物线D ．都是关于y 轴对称的抛物线【难度】★ 【答案】D ．【解析】二次函数()20y ax a =≠的图像，对称轴为y 轴；顶点为坐标原点；当0a >时，开口向上，当0a <时，开口向下．【总结】本题考察二次函数的图像．【作业3】 二次函数23y x bx =++中，当x = 3时，y = 0，则b 的值为______．【难度】★ 【答案】4b =-．【解析】把3x =，0y =代入得：9330b ++=，解得4b =-． 【总结】本题考察了待定系数法确定函数关系式．课后作业xy12 34 【作业4】 如果抛物线2y ax =过点（cos60°，sin30°），那么a = ______，它的函数表达式是______．【难度】★★【答案】2a =，22y x =． 【解析】∵1cos602︒=，1sin302︒=，∴抛物线2y ax =过点11,22⎛⎫⎪⎝⎭， 把11,22⎛⎫⎪⎝⎭代入2y ax =得2a =，∴函数表达式是22y x =． 【总结】本题考查待定系数法确定函数关系式．【作业5】如图，四个二次函数图像，分别对应的是12y ax =；22y bx =；32y cx =；42y dx =，则a 、b 、c 、d 的大小关系为（ ）A ．a b c d >>>B ．a b d c >>>C ．b a c d >>>D ．b a d c >>>【难度】★★ 【答案】A ．【解析】∵①、②函数图像开口向上，∴0a >，0b >；∵③、④函数图像开口向下，∴0c <，0d <；∵二次函数()20y ax a =≠中，a 越大，开口越小，∴a b c d >>>．【总结】本题考查了二次函数的图像及性质．【作业6】若函数()2221mm y m m x --=+是二次函数，则m = ______，它的图像开口______，顶点是它的最______点，它的对称轴是______．【难度】★★【答案】3；向上；低；y 轴． 【解析】∵函数()2221mm y m m x --=+是二次函数，∴2212m m --=，解得13m =，21m =-，∵20m m +≠，∴1m ≠-，∴3m =，∴函数解析式为212y x =． ∴图像开口向上，顶点是它的最低点，对称轴是y 轴．【总结】本题考查了二次函数的概念、图像及性质．【作业7】 求直线21y x =+与抛物线23y x =的交点坐标．【难度】★★【答案】()1,3，11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭．【解析】将21y x =+代入23y x =得：2213x x +=，解得11x =，213x =-．当1x =时，3y =；当13x =-，13y =，∴线21y x =+与抛物线23y x =的交点坐标()1,3，11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭．【总结】本题考察了直线与抛物线的交点坐标求法．【作业8】一个正方形的面积为16平方厘米，当把边长增加x 厘米时，正方形的面积为y 平方厘米，则y 关于x 的函数关系式为____________．【难度】★★【答案】2816y x x =++．【解析】∵正方形的面积为16平方厘米，∴原正方形边长为4厘米，∴现在正方形的边长为()4x +厘米，∴()224816y x x x =+=++．【总结】此题主要利用正方形的面积公式列出函数关系式，其中根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．【作业9】抛物线的顶点为原点，以y 轴为对称轴，且经过点A （-2，8）．（1）求这个函数的解析式；（2）写出抛物线上与点A 关于y 轴对称的点B 的坐标，并计算OAB ∆的面积．【难度】★★【答案】（1）22y x =；（2）()2,8B ，16OAB S ∆=．【解析】（1）设函数解析式为2y ax =，把A （-2，8）代入2y ax =得2a =，∴函数的解析式为22y x =． （2）∵点B 与点A 关于y 轴对称，∴B 与A 横坐标互为相反数，纵坐标相等，即()2,8B ∴4AB =，设AB 与y 轴交于点D ，则()0,8D ，11481622OAB S AB OD ∆=⋅⋅=⨯⨯=．【总结】本题考察了待定系数法确定函数关系式，二次函数的图像及性质．A BCDEF【作业10】 如图，ABC ∆是等腰直角三角形，90C ∠=︒，2AB =，D 是边AB 的中点，动点E 在边AC 上移动，且在边CB 上截取CF = AE ，联结DE 、DF ． （1）在点E 移动的过程中，判断DE 与DF 的关系？说明你的理由；（2）联结EF ，在E 移动的过程中，DEF ∆的面积是否会变化？若不会，说明你的理由；若会，设AE = x ，DEF S y ∆=，求出y 关于x 的函数解析式及其定义域．【难度】★★★【答案】（1）DE DF =；（2）()211101224y x x x =-+≤≤． 【解析】（1）DE DF =，证明如下：联结DC ，∵ABC ∆是等腰直角三角形，90C ∠=︒， ∴45A B ∠=∠=︒，∵D 是边AB 的中点，∴12CD AB AD ==，∴45DCF A ∠=∠=︒．在DAE ∆和DCF ∆中，DA DC A DCF AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴DAE ∆≌DCF ∆，∴DE DF =． （2）DEF ∆的面积会变化；方法一：∵2AB =，∴1AC BC ==，∵AE=x ，∴CF x =，1EC BF x ==-， DEF ABC AED ECF BDF S S S S S ∆∆∆∆∆=---()()1111112424x x x x =-----()211101224x x x =-+≤≤方法二：∵DAE ∆≌DCF∆，∴DAC DECF S S ∆=四边形， ∴DEF ECF DAC ECFDECF S S S S S ∆∆∆∆=-=-四边形()()21111110142224x x x x x =--=-+≤≤【总结】本题主要考查学生对全等三角形的判定和等腰直角三角形的理解和掌握，同时 考查了利用三角形的面积公式列出函数关系式．ABCDEF。
初三数学暑期讲义 第03讲.二次函数实际应用 教师版
卖花进行中漫画释义满分晋级3函数13级 二次函数的基本解析式与图象变换函数14级 二次函数 实际应用 函数15级 二次函数 图象综合应用暑期班 第二讲暑期班 第三讲秋季班第三讲二次函数实际应用中考内容中考要求A B C二次函数了解二次函数的意义；会用描点法画出二次函数的图象能通过分析实际问题的情境确定二次函数的解析式；能从图象上认识二次函数的性质；会根据二次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标，会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解能用二次函数解决简单的实际问题；能解决二次函数与其他知识综合的有关问题二次函数在北京中考中属于必考考点，并且都以压轴题形式出现，是中考的难点，也是同学们失分最高的一部分。
这部分内容要求学生们⑴能用数形结合、归纳等数学思想，根据二次函数的表达式确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标；⑵综合运用方程、几何、函数等知识解决实际问题。
年份2010年2011年2012年题号24 7，8，23 8，23分值8分11分11分考点确定抛物线的解析式，二次函数与等腰直角三角形综合抛物线顶点坐标；函数图象；二次函数和一次函数解析式（函数图象与坐标轴交点、函数图象交点坐标），二次函数与一元二次方程（判别式、求根）函数图象；二次函数的对称性；二次函数和一次函数解析式（函数图象与坐标轴交点、函数图象交点坐标）；二次函数图象平移，利用函数图象求取值范围中考考点分析中考内容与要求知识互联网实际应用问题主要考查涨降价、面积等问题，讲解时要明确等量关系．【例1】 如图，线段AB 的长为2，C 为AB 上一个动点，分别以AC 、BC 为斜边在AB 的同侧作两个等腰直角三角形△ACD 和△BCE ，则求DE 长的最小值．（2012扬州）EDB C A EDBC A【解析】 如图，连接DE ．设x AC =则x BC -=2，∵△ACD 和△BCE 分别是等腰直角三角形，∴∠DCA ＝45°，∠ECB ＝45°，DC ＝x 22，CE ＝()x -222， ∴∠DCE ＝90°， 故()()1122221212222222+-=+-=-+=+=x x x x x CE DC DE ， 当1=x 时，2DE 取得最小值，DE 也取得最小值，最小值为1． 故答案为：1．夯实基础模块一 实际应用问题知识导航【例2】 某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件。
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复习引入:（一）在同一直角坐标系中画出二次函数y = x2与y = （X T）2+1与y = （x-1 ）2+1的图像列表（取点原则：取原点及左右对称点）描点、连线分（1）函数y（x 1）2+1与y（x-1 ）2+1的图像与y =x2图像有哪些相同处及不同处析：（2）产生这三个图像的差异的本质原因是什么平移（3）这三个二次函数若与坐总结：y =a（x m）2 k的图像性质（左加右减，上加下减）a 的符号开口方向 顶点坐标对称轴 性质a >0 向上(-m,k)直线 x = _m x > —m 时，y 随x 的增大而增大；x £ —m 时， y随x 的增大而减小；x = -m 时，y 有最小值k .a cO向下(-m, k)直线 x = -mx > —m 时，y 随x 的增大而减小；x £ —m 时， y随x 的增大而增大；x = -m 时，y 有最大值k .1 •平移步骤:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y =a(x m)2 k ，确定其顶点坐标(-m,k);⑵ 保持抛物线y 二ax 2的形状不变，将其顶点平移到(-m,k)处，具体平移方法如下:2. 平移规律在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”. 概括成八个字“左加右减，上加下减”. 例题分析 1. 填表抛物线开口方向 对称轴 顶点坐标2y = -(x -2) +4下 直线X=2 (2,4)1 2厂尹3)2_5上 直线X=-3 (-3,-5)2,1y = —3(x —2) + —3下直线X=2(2,1/3)—3、2 7 y = ——(x —一) 一 —12 4 12下 直线X=3/4 (3/4,-7/12) 向左平移1个单位，再向下平移 3个单位，得到的抛物线的表达式为y=-5(x+1) 2-3 ___________3. 抛物线y =2x 2沿x 轴向 _______ 左 ___ 平移_2 ____ 单位，再沿y 轴向 _______ 下 _______ 移¥y=a(x-h)2y=ax 2+k!向右(h>0)【或左(h<0)】 平移KI 个单位 y=a(x-h)2+k向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k 个单位向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】 平移kl 个单位匚J曹立方数肓源于名校，成就所托____ 3___单位，可以得到抛物线y=2(x+2)2-314. 抛物线y =-^(x—1)2向左平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的抛物线表达式为______ y=-1/2(x-3) 2+5_5. 抛物线y =2(x+2)2 -1沿x轴向_______ 右―平移_______ 4_个单位，再沿y轴向—下—平移2__个单位，可以得到抛物线y=2(x-2)2-36. 二次函数y = -(x-2)2+1开口向下，顶点坐标为:(2,1)，与x轴的交点为(3,0 ) (1,0 ) ，与y轴的交点为： (0，-3) _______________ ，对称轴为：直线x=2 ________ 。
7. 已知二次函数y = a -1 x2-3x a2-1的图像经过原点，那么a的值是」_________________ 。
8. 抛物线y = x2—4x + c的顶点在x轴，则c的值__4 ___________9. 已知二次函数y = -3(x -2)2(1) __________________ 抛物线开口方向 __________________________________ 下;对称轴直线x=2__;顶点坐标__(2,9)(2) _______________ 当x=__2 _________ 寸，抛物线有最高点，它的坐标是___ (2,9 ) __(3) 该抛物线图像可以由y = -3x2的图像经过怎样的平移得到右2 上910. 已知二次函数y =(x • 1)2 -4(1)指出函数图像的开口方向，对称轴和顶点坐标(2)沿x轴正方向看，该函数图像在对称轴的左右两部分分别是上升还是下降开口向上直线x=-1 (-1,-4)对称轴左侧下降右侧上升11. 已知二次函数y = a(x +m)2 +k的图像的顶点坐标为(3,2 )，这个图像经过平移能与y = -4x2的图像重合，求这个二次函数的解析式Y=-4(x-3) 2+2(二)在平面直角坐标系中画出函数厂x 2x-3的图像列表：配方得到y=(x」)2-4 (五点法：y轴交点以及关于对称轴的对称点，与x轴的交点，顶点。
)若分析：任意抛物线y 二ax 2 • bx c （a =0）都可以利用配方法得到 顶点式总结:1.当a 0时，抛物线开口向上，对称轴为x = ，顶点坐标为2ai b 4ac-b 2 2a ' 4a当x,P 时，y 随x 的增大而减小；当x .-卫时，y 随x 的增大而增大；当2a2ay 有最小值4a^ •4a时,2•当a ：：：0时，抛物线开口向下，对称轴为^-―，顶点坐标为 2a2 'b 4ac —b 22a' 4a 丿 •当X 」时, 2a 2 y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小；当时，y 有最大值4ac _b2a 2a4a3.任意抛物线y 二ax 2，bx 飞心=0）在平移过程中，都要将其利用配方法配成顶点式进行平4.与x 轴交点坐标为：当L 0时，与x 轴的交点坐标为（-b——2a ，0），（叮 0）与y 轴交点为（0, c ） 例题分析:匚J n 用源于名校，成就所托与x 轴无交点，则取三点即可描点、连线昌立方教冃源于名校，成就所托1. ________________________________ 二次函数y=2x 2—4x —3，当x=___1_______________________________________ 寸，函数y 有最 ____ 小 —值是 ___ -5 _____ 2. __________________________________________________________ 把二次函数y=x 2 -2x —1配方成顶点式为_y=(x-1) 2-2 _____________________________________ 3.先通过配方把下列二次函数的解析式化成 y =a(x • m)2• k 的形式，再指出每个函数的开口方向，对称轴和顶点坐标 1(1) y = —x 2 -2x 1( 2) y = -3x 2 8x -2 2 上 x=2 (2,-1)下 x=4/3 (4/3,10/3)2(4) y =2x 2 -12x 25 上 x=3 (3,7)4. 已知抛物线y =x 2 • (k -1)x -1的顶点的横坐标是2，求k 的值。
K=-341 y = 2x2 -3x -5L(3) y - - —x 2 x _44下 x=2 (2,-3)5. 已知二次函数y = -x2• 4x • m - 2顶点的纵坐标为-5，求m -76. 把抛物线y=-2x2，4x 7沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，求所得抛物线的解析式。
丫=-2(x+1) 2+6巩固练习：1. 二次函数y=x2—1的图象是一条________ ，顶点坐标为：(0,-1 )_，与x轴的交点为 (-1,0 ) (1,0 ) ，与y轴的交点为： (0, -1 ) ，图像有最地点。
2. 二次函数y = —(x-2)27开口向下，顶点坐标为:(2,1 ) _，与x轴的交点为(3,0) (1,0 ) ___ ，与y轴的交点为：(0, -3) _，对称轴为：直线x=2 _______ 。
3. 二次函数y=-(x・2)2-4顶点坐标为：(-2,-4) _，对称轴为：直线x=-2 ________________ ，与y轴的交点为：(0,-8) ______ ，与x轴的交点为_____________ 。
4. 二次函数y=(x-2)2-3的顶点坐标为：(2,-3 ) _,对称轴为：____________ ，与x轴的交点为(2+ , 0) (2- _ x 3 , 0) _,与y轴的交点为：(0,1 ) 。
5. 二次函数y二-3(x 2)2的顶点坐标为：(-2,0 ) _，对称轴为：直线x=-2 ，与x轴的交点为(-2,0) ________________ ，与y轴的交点为：(0,-12) _______________ 。
6. 二次函数y = -3x2-4的顶点坐标为：(0,-4) _________ ，对称轴为：_y ____ ，与x轴的交点为无______________ , y轴的交点为： (0, -4) ________________ 。
2. 用配方法求出下列函数的顶点坐标及对称轴(2) y = -2x2 4x 4z3) 1 2 3 (3)y x -x-2 2 (-1,-1) 直线x=-11 2 (4)y x -3x4(3/4,-49/8) 直线x=3/4 (1,6)直线x=1(6,-9)直线x=-6源于名校，成就所托3.根据图中的抛物线，回答下列问题创新三维学习法让您全面发展11(1) 写出抛物线的对称轴(2) 当x 为何值时，y 随x 的增大而增大；当x 为何值时，y 随x 的增大而减小 当x>2时下降 当x<2时上升4. 将抛物线y=ax 2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线经过点(3, -1)，求移动后的抛物线的解析式Y=-4(x-2) 2+3 5 6轡立方教冃5 已知抛物线y =(x a)2 2a 2 3^5的顶点在坐标轴上，求a 的值，并指出顶点坐标 a=1 (-1,0) a=-5/2 (5/2,0) a=0 (0,-5)6 已知二次函数y=-x 2+bx+c 的图像最高点坐标为(-1，-3)，求b 和c 的值b=-2 c=-4L源于名校，成就所托7. 已知二次函数力=a(x m)7 8 9 10 11 12 13 14 k的图像与y^ x2 2x -1图像开口方向，大小都相同，且最低点的坐标为(-2，-1)，求二次函数％=a(x+m)2+k的解析式，并指出％=a(x + m)2+k能否由y^x2 2x -1平移得到左1上1课后作业:1. 填表7 二次函数y = -x2 +6x +3的图像的顶点坐标在第______ 一________ 限8 抛物线y =3x2 -6x十5的对称轴是—直线x=1 _______________ ，当x___<1 _________ 寸，y 随x的增大而减小，当x ___ >1 _______ 寸，y随x的增大而增大9 抛物线y =ax2 +bx +c的顶点在y轴上则a、b、c中_b__=010 ______________________________________________ 抛物线y =x2 -kx +k -1，过(-1，-2 )，则k=_-1 _____________________________________1 2 511 二次函数y = - —x -3x-—的图象与x轴交点的坐标是(-1,0)(-5,0) 。