创新设计2014高三数学三轮复习-考前体系通关：解答题押题练A组

解答题押题练A 组1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝2，C ＝60°.(1)求a ＋b sin A ＋sin B的值； (2)若a ＋b ＝ab ，求△ABC 的面积．解 (1)由正弦定理可设a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2sin 60°＝232＝433， 所以a ＝433sin A ，b ＝433sin B ，(3分) 所以a ＋b sin A ＋sin B ＝433(sin A ＋sin B )sin A ＋sin B＝433.(6分) (2)由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ，(7分)又a ＋b ＝ab ，所以(ab )2－3ab －4＝0.解得ab ＝4或ab ＝－1(舍去)．(12分) 所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×32＝ 3.(14分)2．如图，正方形ABCD 和三角形ACE 所在的平面互相垂直，EF ∥BD，AB ＝2EF .(1)求证：BF ∥平面ACE ；(2)求证：BF ⊥BD .证明 (1)AC 与BD 交于O 点，连接EO .正方形ABCD 中，2BO ＝AB ，又因为AB ＝2EF ，∴BO ＝EF ，又因为EF ∥BD ，∴EFBO 是平行四边形，∴BF ∥EO ，又∵BF ⊄平面ACE ，EO ⊂平面ACE ，∴BF ∥平面ACE .(7分)(2)正方形ABCD 中，AC ⊥BD ，又因为正方形ABCD 和三角形ACE 所在的平面互相垂直，BD ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面ACE ＝AC ，∴BD ⊥平面ACE ，∵EO ⊂平面ACE ，∴BD ⊥EO ，∵EO ∥BF ，∴BF ⊥BD .(14分)3．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，旅游人数f (t )(万人)与时间t (天)的函数关系近似满足f (t )＝4＋1t ，人均消费g (t )(元)与时间t (天)的函数关系近似满足g (t )＝115－|t －15|.(1)求该城市的旅游日收益w (t )(万元)与时间t (1≤t ≤30，t ∈N *)的函数关系式；(2)求该城市旅游日收益的最小值(万元)．解 (1)由题意得，w (t )＝f (t )·g (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1t (115－|t －15|)(1≤t ≤30，t ∈N *)．(5分)(2)因为w (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1t (t ＋100)，(1≤t ＜15，t ∈N *)，⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1t (130－t )，(15≤t ≤30，t ∈N *)，(7分)①当1≤t ＜15时，w (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1t (t ＋100)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋25t ＋401≥4×225＋401＝441，当且仅当t ＝25t ，即t ＝5时取等号．(10分)②当15≤t ≤30时，w (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1t (130－t )＝519＋⎝ ⎛⎭⎪⎫130t －4t ， 可证w (t )在t ∈[15,30]上单调递减，所以当t ＝30时，w (t )取最小值为40313.(13分)由于40313＜441，所以该城市旅游日收益的最小值为40313万元．(14分)4．如图，已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，A 、B 是四条直线x＝±2，y ＝±1所围成的两个顶点．(1)设P 是椭圆C 上任意一点，若OP→＝mOA →＋nOB →，求证：动点Q (m ，n )在定圆上运动，并求出定圆的方程；(2)若M 、N 是椭圆C 上两上动点，且直线OM 、ON 的斜率之积等于直线OA 、OB 的斜率之积，试探求△OMN 的面积是否为定值，说明理由．(1)证明 易求A (2,1)，B (－2,1)．(2分)设P (x 0，y 0)，则x 204＋y 20＝1.由OP →＝mOA →＋nOB →，得⎩⎨⎧x 0＝2(m －n )，y 0＝m ＋n ， 所以4(m －n )24＋(m ＋n )2＝1，即m 2＋n 2＝12.故点Q (m ，n )在定圆x 2＋y 2＝12上．(8分)(2)解 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2＝－14. 平方得x 21x 22＝16y 21y 22＝(4－x 21)(4－x 22)，即x 21＋x 22＝4.(10分) 因为直线MN 的方程为(x 2－x 1)x －(y 2－y 1)y ＋x 1y 2－x 2y 1＝0，所以O 到直线MN 的距离为d ＝|x 1y 2－x 2y 1|(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2，(12分) 所以△OMN 的面积S ＝12MN ·d＝12|x 1y 2－x 2y 1|＝12x 21y 22＋x 22y 21－2x 1x 2y 1y 2 ＝12 x 21⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 224＋x 22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214＋12x 21x 22 ＝12x 21＋x 22＝1.故△OMN 的面积为定值1.(16分)5．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足8S n ＝a 2n ＋4a n ＋3(n ∈N *)，且a 1，a 2，a 7依次是等比数列{b n }的前三项．(1)求数列{a n }及{b n }的通项公式；(2)是否存在常数a ＞0且a ≠1，使得数列{a n －log a b n }(n ∈N *)是常数列？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解 (1)n ＝1时，8a 1＝a 21＋4a 1＋3，a 1＝1或a 1＝3.(2分)当n ≥2时，8S n －1＝a 2n －1＋4a n －1＋3，a n ＝S n －S n －1＝18(a 2n ＋4a n －a 2n －1－4a n －1)，从而(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－4)＝0因为{a n }各项均为正数，所以a n －a n －1＝4.(6分)所以，当a 1＝1时，a n ＝4n －3；当a 1＝3时，a n ＝4n －1.又因为当a 1＝1时，a 1，a 2，a 7分别为1,5,25，构成等比数列， 所以a n ＝4n －3，b n ＝5n －1.当a 1＝3时，a 1，a 2，a 7分别为3,7,27，不构成等比数列，舍去．(11分)(2)假设存在a ，理由如下：(12分)由(1)知，a n ＝4n －3，b n ＝5n －1，从而a n －lon ab n ＝4n －3－log a 5n －1＝4n －3－(n －1)·log a 5＝(4－log a 5)n －3＋log a 5.由题意，得4－log a 5＝0，所以a ＝45.(16分)6．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1(a ∈R )，f ′(x )是f (x )的导函数．(1)若x ∈[－2，－1]，不等式f (x )≤f ′(x )恒成立，求a 的取值范围；(2)解关于x 的方程f (x )＝|f ′(x )|；(3)设函数g (x )＝⎩⎨⎧f ′(x )，f (x )≥f ′(x )f (x )，f (x )＜f ′(x )，求g (x )在x ∈[2,4]时的最小值． 解 (1)因为f (x )≤f ′(x )，所以x 2－2x ＋1≤2a (1－x )，又因为－2≤x ≤－1，所以a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x ＋12(1－x )max 在x ∈[－2，－1]时恒成立，因为x 2－2x ＋12(1－x )＝1－x 2≤32， 所以a ≥32.(4分)(2)因为f (x )＝|f ′(x )|，所以x 2＋2ax ＋1＝2|x ＋a |，所以(x ＋a )2－2|x ＋a |＋1－a 2＝0，则|x ＋a |＝1＋a 或|x ＋a |＝1－a .(7分)①当a ＜－1时，|x ＋a |＝1－a ，所以x ＝－1或x ＝1－2a ；②当－1≤a ≤1时，|x ＋a |＝1－a 或|x ＋a |＝1＋a ，所以x ＝±1或x ＝1－2a 或x ＝－(1＋2a )；③当a ＞1时，|x ＋a |＝1＋a ，所以x ＝1或x ＝－(1＋2a )．(10分)(3)因为f (x )－f ′(x )＝(x －1)[x －(1－2a )]，g (x )＝⎩⎨⎧ f ′(x )，f (x )≥f ′(x )，f (x )，f (x )＜f ′(x )，①若a ≥－12，则x ∈[2,4]时，f (x )≥f ′(x )，所以g (x )＝f ′(x )＝2x ＋2a ，从而g (x )的最小值为g (2)＝2a ＋4；(12分)②若a ＜－32，则x ∈[2,4]时，f (x )＜f ′(x )，所以g (x )＝f (x )＝x 2＋2ax ＋1， 当－2≤a ＜－32时，g (x )的最小值为g (2)＝4a ＋5， 当－4＜a ＜－2时，g (x )的最小值为g (－a )＝1－a 2，当a ≤－4时，g (x )的最小值为g (4)＝8a ＋17.(14分)③若－32≤a ＜－12，则x ∈[2,4]时，g (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2ax ＋1，x ∈[2，1－2a )2x ＋2a ， x ∈[1－2a ，4] 当x ∈[2,1－2a )时，g (x )最小值为g (2)＝4a ＋5；当x ∈[1－2a,4]时，g (x )最小值为g (1－2a )＝2－2a .因为－32≤a ＜－12，(4a ＋5)－(2－2a )＝6a ＋3＜0，所以g (x )最小值为4a ＋5，综上所述，[g (x )]min ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 8a ＋17，a ≤－4，1－a 2，－4＜a ＜－2，4a ＋5，－2≤a ＜－12，2a ＋4，a ≥－12.(16分)。