平抛运动解题方法

平抛运动解题方法
平抛运动是曲线运动中具有代表性的运动，对平抛运动的研究有利于我们探究曲线运动的特点和解决办法。

我们还可以把平抛运动作为一种运动模型，与其相类似的其他恒力作用下（如带电粒子在电场力作用下的偏转）的“类平抛运动”，在解题方法上具有相通之处。

一、平抛运动的特点：
1、 在重力作用下的匀变速曲线运动；
2、 运动轨迹为抛物线；
3、 平抛运动可分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动。

二、平抛运动的解题方法：
平抛运动的解题方法由平抛运动的特点决定的。

1、 由牛顿第二定律及运动学公式可以得t
v
m mg F ∆∆==合，可以看出平抛运动的速度变化方向为竖直向下，速度的变化率为g 。

例：做平抛运动的物体，每秒速度增量总是（ ） A 、 大小相等，方向相同； B 、 大小不等，方向不同； C 、 大小相等，方向不同； D 、 大小不等，方向相同。

[答案]A
2、 做平抛运动的物体，在相邻相等的时间t ：水平方向位移相等，竖直方向位移差等于定
值2
gt 。

例：在“研究平抛物体运动”的实验中，某同学记录了运动轨迹上三点A 、B 、C ，如图1所示，以A 为坐标原点，建立坐标系，各点坐标值已在图中标出，求：
A
C
10
20
40
图1
（1） 小球平抛初速度大小； （2） 小球平抛运动的初始位置坐标。

[解析]小球所做的平抛运动是两个运动的合运动：水平方向的匀速直线运动，竖直方向的自由落体运动，即初速度为零加速度为g 的匀加速直线运动。

如图1可知，在水平方向上，BC AB x x =，所以运动在AB 和BC 的时间间隔相等，设为
t ，
在竖直方向上，2gt y y y AB BC =-=∆，所以，s g y y t AB BC 1.010
15
.025.0=-=-=。

所以，小球平抛初速度大小s m s m t x v AB /1/1
.01
.0===。

又设小球在B 点时竖直方向的分速度为By v ，则t
y v AC
By 2=：（匀变速直线运动中某段时间的平均速度等于其中间时刻的瞬时速度），即s m s m v By /2/1
.024
.0=⨯=。

又因为B By gt v =（B t 为小球从开始运动到B 所用时间），所以s s g v t By B 2.010
2
==
=
，这说明小球到达A 点之前已下落的时间s t t t B A 1.0=-=；下落的高度为h ∆，则
m m gt h A 05.01.0102
1
2122=⨯⨯==
∆。

m m vt x A 1.01.01=⨯==∆。

说明抛出点在A 点的上方cm 5，左侧cm 10处，所以抛出点的坐标为：（10-，5-）。

[答案]（1）s m v /1=；（2）（10-，5-）。

3、 做平抛运动的物体，其运动轨迹为抛物线，如图2所示。

y/cm
图2
以抛出点为坐标原点，水平运动方向为x 轴正向，竖直运动方向为y 轴正向。

由水平方向匀速运动，得t v x 0=；由竖直方向自由落体，得2
2
1gt y =。

联立二式，消去时间t ，可得抛物线方程为2202x v g y =
，。

若物体做类平抛运动，则g 改为a ，即2
2
2x v a y =，m
F a 合=。

例：在光滑水平面，一质量kg m 1=的质点以速度s m v /100=沿x 轴正方向运动，经过原点后受一沿y 轴正方向的恒力N F 15=作用，直线OA 与x 轴成0
37角，图3所示曲线为质点的轨迹图，求：如果质点的运动轨迹与直线OA 相交于P 点，则质点从O 点到P 点所经历的时间以及P 点的坐标。

[解析]设P 点坐标为（x ，y ），直线OA 与x 轴成0
37角，可得0
37tan x y =。

物体在水平
面做平抛运动，其抛物线方程为2
2
2x v a y =
，其中22/15/115s m s m m F a ===合。

联立二式，可解得m x 10=，m y 5.7=。

所以P 点坐标为（10，5.7）。

物体沿x 轴方向做匀速直
图3
线运动，有t v x 0=，所以s s v x t 110
10
0===。

[答案] s t 1=，P 点坐标为（10，5.7）
4、做平抛运动的物体的速度方向可由其匀速方向的位移和加速方向的位移来确定。

如图4所示，图中B 为物体运动中的某一位置，v 为B 位置物体的速度，A 为匀速位移的中点。

可
得，0
0tan v gt v v y ==θ，0022
1212/tan v gt t v gt x y ===
α。

所以θα=，即B 点的速度方向是AB 连线的沿长线方向。

也可以说物体好象是从匀速方向的位移的中点沿直线而来的。

例：以初速度0v 水平抛出一物体，当它的竖直分位移与水平分位移相等时，则（ ） A 、竖直分速度等于水平分速度 B 、瞬时速度等于05v C 、运动的时间为
g
v 0
2 D 、位移大小是g
v 2
22
[解析]当竖直分位移与水平分位移相等时，由图4可知22
/tan ==
x y
α，则2tan =θ，即20
=v v y ，所以A 错；02020220
5)2(v v v v v v y =+=+=，所以B 对；gt v y =，则
图4
g v g
v t y 02=
=
，所以C 对；2
0022222222v g
t v x x x y x s ===+=+=，所以D 对。

[答案]BCD
5、与斜面有关的平抛运动，利用两个分速度的正切值、利用两个分位移或与两个分位移有关线段间的正切值来寻找时间t ，此正切值所对应的角度通常与斜面的倾角相等。

例：如图5所示，AB 为斜面，倾角为0
30，小球从A 点以初速度0v 水平抛出，恰好落到B 点，求：
（1）AB 间的距离；
（2）物体在空中飞行的时间；
（3）从抛出开始经过多少时间小球与斜面间的距离最大？
[解析]物体做平抛运动从A 运动到B ，从图中可以得出0
02
22130tan v gt t v gt x y ===，所以
00033230tan 2v g g v t ==。

竖直位移2023221v g gt y ==，水平位移2
00332v g
t v x ==，所
以AB 间的距离202202202234)32()332(
v g
v g v g y x l =+=+=。

设抛出/t 后小球与斜面间距离最大，由图可知，此时速度/t
v 与斜面平行，由上图速度三角形得，
00
30tan =v v y ，
即33
0/=v gt ，所以g
v t 330/=。

图5
[答案]（1）
2034v g （2）033
2v g （3）g
v 330 例：如图6所示，光滑斜面与半圆形光滑轨道连接，小球从斜面上某点由静止滚下后又沿侧滚上半圆形光滑轨道，小球恰能到达轨道最高点A ，小球从轨道最高点A 飞出后，恰好垂直打在光滑斜面上，求斜面与水平面的夹角θ是多少？
[解析]设半圆形轨道半径为R ，小球在A 点水平飞出做平抛运动，由于小球是恰能从A 点飞出，所以飞出时的速度为Rg v =0。

小球垂直打到斜面上，如图7所示，由速度三角形可得
θtan 0
=gt
v ，由与位移有关的三图6
图7
v
角形可得
θtan 2=-x
y
R ，即θtan 21202=-
t
v gt
R ，联立以上二式可解得22tan =θ，所以2
2arctan
=θ。

[答案] 2
2arctan =θ。